1
BAB I PENDAHULUAN 1.1.
Latar Belakang Masalah Mekanika
geometrik
merupakan
bidang kajian
yang
merupakan
persimpangan antara fisika matematik, teknik, dan matematika yang kaya akan tema penelitian.Pengembangan mekanika geometrik didorong oleh upaya memahami gerak kompleks yang ada di alam dan mimikrinya dalam bentuk perancangan gerak robotika. Terapan mekanika geometrik diantaranya adalah untuk memahamigerak sistem benda tegar. Benda tegar merupakan sistem partikel yang memiliki posisi relatif antar partikel tetap,yakni jarak antara sebarang dua partikel dalam sistem tersebut tetap. Contoh gerak benda tegar adalah gerak gasingbalik dan Gyroscope. Sistem mengalami kendala-kendala yang membatasi gerak partikel penyusun sistem dalam ruang konfigurasi. Kendala secara umum adalah keadaan yang membatasi gerak sistem mekanik sehingga mengurangi baik derajat kebebasan,range tiap derajat kebebasan, maupun arah gerak (kecepatan). Kendala dibagi menjadi dua jenis, yaitu kendala holonomik dan kendala non-holonomik. Kendala holonomik hanya melibatkan fungsi waktu dan koordinat umum saja, sedangkan kendala non-holonomik selain melibatkan fungsi waktu dan koordinat umum, kendala ini juga melibatkan kecepatan sistem. Kendala ini tidak mengurangi derajat kebebasan, membatasi gerakan sistem dalam ruang konfigurasi, dan mengurangi derajat kebebasan (arah) momentum. Sistem dapat digambarkan dalam keragaman (manifold), yaitu suatu upaya membangun tata koordinat dari suatu ruang berupa kumpulan titik-titik, garis-garis, atau fungsifungsi. Jika ruang konfigurasi yang digunakan berupa grup Lie, maka teori grup dapat digunakanuntuk mencari penyelesaian persamaan gerak sistem. Gerak gasing balikpada berbagai arena merupakan contoh keseharian sistem gerak benda tegar dengan kendala non-holonomik, namun dengan kajian mekanika yang tidak sederhana. Gasing balik merupakan sejenis gasing yang memiliki bentuk bola terpotong dengan batang kecil sebagai pegangannya dan 1
2
dapat membalik sendiri dalam keadaan berputar. Ketika bagian bolanya diputar dengan kecepatan sudut yang tinggi pada permukaan bidang datar, maka gasing balik ini akan berbalik berputar pada bagian batangnya tadi. Fenomena ini disebut inversi (Bou-Rabee dkk., 2004). Pada penelitian sebelumnya, persamaan gerak gasing balik dirumuskan untuk gasing balik yang bergerak di bidang datar dengan menggunakan berbagai metode seperti persamaan Euler dan persamaan Maxwell-Bloch. Penulis tertarik untuk merumuskan dinamika gasing balik jika dimainkan baik di bidang datar maupun bidang melengkung yaitu permukaan dalam sebuah tabung. Penulis terlebih dahulu akan meninjau dinamika gasing balik di bidang datar dengan persamaan Poincarékemudian dilanjutkan dengan meninjau dinamika gasing balik yang bergerak di permukaan dalam tabung. Persamaan Poincaré dipilih oleh oleh penulis karena persamaan ini dapat merumuskan dinamika sistem yang bergerak kompleks seperti sistem yang bergerak translasi sekaligus rotasi. Selain itu, persamaan Poincarédapat menggambarkan sistem dinamik berupasistem persamaan diferensial.Dinamika rotasi sulit dirumuskan dengan persamaan Euler-Lagrange karena dinamika rotasi mengandung kecepatan sudut yang pada umumnya bukanlah turunan waktu secara langsung dari koordinat umum. Hal ini disebabkan generator rotasi tidak komutatif, sehingga dinamika rotasi sulit jika diselesaikan dengan persamaan Euler-Lagrange (Talman, 1999). Tesis ini merupakan upaya untuk memahami gerak gasing balikdengan menggunakan teori grup dalam penyederhanaan persamaan gerak gasing balik melalui persamaan Poincaré.
3
1.2.
Perumusan Masalah Masalah yang akan diselesaikan dalam tesis ini sebagai berikut:
Bagaimana merumuskan dinamika gasing balik pada ruang konfigurasi ℝ2 × 𝑆𝑆𝑆𝑆(3)
dan ℝ × S1 × 𝑆𝑆𝑆𝑆(3)melalui persamaan Poincaré? 1.3.
Batasan Masalah Tesis ini meninjau gerak gasing balikpada energi rendah. Gasing balik
hanya bergerak pada arena yang berupa bidang datar dan permukaan dalam tabungyang dianggap cukup besar dari ukuran gasing balik. Gasing balik memiliki bentuk potongan bola dengan batang kecil sebagai pegangannya dan dapat membalik.
1.4.
Tujuan dan Manfaat Penelitian
1.4.1. Tujuan penelitian Berdasarkan masalah-masalah di atas maka tujuan penelitian ini secara rinci dapat dirumuskan sebagai berikut: 1. Menurunkan persamaan gerak gasing balik pada ruang konfigurasi ℝ2 × 𝑆𝑆𝑆𝑆 (3) dan ℝ × 𝑆𝑆 1 × 𝑆𝑆𝑆𝑆(3) melalui persamaan
Poincaré.
2. Memahami dinamika gasing balik pada ruang konfigurasi ℝ2 × 𝑆𝑆𝑆𝑆(3) dan ℝ × 𝑆𝑆 1 × 𝑆𝑆𝑆𝑆(3).
4
1.4.2. Manfaat Penelitian Dengan mengacu pada tujuan penelitian di atas, manfaat penelitian meliputi hal-hal sebagai berikut: 1. Menambah wacana mengenai mekanika geometrik dan penerapannya dalam menganalisis sistem mekanik. 2. Memahami gerak-gerak kompleks yang ada di alam. 3. Teori ini bermanfaat dalam perancangan gerak-gerak kompleks dalam bidang robotika.
1.5.
Tinjauan Pustaka Asal usul penelitian tentang gerakan gasing balikdijelaskan dalam sebuah
buku tahun 1890 oleh John Perry (dalam Cohen, 1977) yang bereksperimen dengan memutar batu bulat yang ditemukan di Pantai. Perry menjelaskan bahwa batu bulat ini memiliki pusat massa yang tidak berimpit dengan pusat geometri batu tersebut. Ketika batu diputar, pusat massa menjadi lebih tinggi menjauhi permukaan tanah. Penjelasan mengenai gerakan gasing balikmulai dituangkan dalam beberapa artikel ilmiah sejak tahun 1950-an, diantaranya oleh Synge tahun 1952 (dalam Pliskin, 1953) menjelaskan bahwa fenomena gerakan gasing balik merupakan akibat ketidakstabilan dinamika tanpa melibatkan gesekan. Sementara Pliskin (1953) yang menyatakan bahwa interaksi gesekan antara gasing balik terhadap lantai berperan penting dalam putaran gasing balik. Selanjutnya, Del Campo pada tahun 1955(dalam Cohen, 1977) menjelaskan secara rinci dengan perhitungan matematis mengenai peranan gesekan pada gasing balik. Del Campo menyimpulkan bahwa gesekanlah yang memengaruhi peristiwa pembalikan pada gasing balik. Dinamika gasing balik dapat dilihat pada gambar (2.1).Gasing balik yang bergerak pada bidang datar memiliki keragaman ruang konfigurasi ℝ2 ×
𝑆𝑆𝑆𝑆(3),sedangkan
gasing balik yang bergerak pada permukaan dalam sebuah
tabung memiliki keragaman konfigurasi ℝ × 𝑆𝑆1 × 𝑆𝑆𝑆𝑆(3). Penelitian tentang sistem
5
gerak
gasing
balikyang
lebih
moderndimulai
olehCohen
(1974)yang
mengemukakan tentang gerakan gasing balik akibat pengaruh gesekan dan menganalisis gerakan gasing balik dengan model matematis, serta membuat simulasi numerik gerakan gasing balik secara sederhana. Hasil penelitian ini menjadi acuan Ciocci, dkk. (1998) dalam pengembangan model matematik sederhana untukgasing balik yang memiliki distribusi massa sumbu (axial) dengan persamaan Euler. Kemudian pada tahun 1999, Gray dan Nickel menurunkan tiga tetapan gerak gasing balik. Penelitian tersebut menyimpulkan bahwa gerakan gasing balik dapat digambarkan secara langsung dari tiga tetapan, yaitu tetapan energi, tetapan Jellett, dan tetapan Routh. Beberapa tahun kemudian, penelitian tentang gerakan gasing balik dikembangkan lebih jauh, Bou-Rabee, dkk. (2004) menjelaskan pembalikan yang terjadi pada gasing balik melalui modifikasi persamaan Maxwell-Bloch. Artikel tersebut menjelaskan secara eksplisit syarat keberadaan orbit heteroklinik pada gasing balik yang terjadi saat proses inversi berlangsung. Beberapa tahun kemudian, Bou-rabee, dkk. (2008) mengembangkan penelitian orbit heteroklinik pada gasing balik.Adanya orbit ini disebabkan oleh disipasi antara keadaan inversi dan non-inversi gasing balik yang ditentukan oleh persamaan osilator harmonik sederhana versi kompleks yang merupakan modifikasi persamaan Maxwell-Bloch. Analisis linier standar menyatakan bahwa modifikasi persamaan Maxwell-Bloch menggambarkan keadaan inversi gasing balik melalui ketidakstabilan spektral, sedangkan keadaan non-inversi gasing balik melalui stabilitas Lyapunov.
Gambar 2.1. Proses pembalikan gasing balik
Dinamika gasing balik merupakan contoh bagi dinamika benda tegar yang dapat disederhanakan melalui penerapan menerapkan teori grup dalam perumusan
6
persamaan geraknya, karena dinamika gasing balik memiliki ruang konfigurasi berupa grup Lie yaitu grup rotasi𝑀𝑀 × 𝑆𝑆𝑆𝑆(3), dengan M suatu keragaman licin
berdimensi dua. Jika gasing balik dimainkan di bidang datar maka ruang konfigurasi gasing balik adalahℝ2 × 𝑆𝑆𝑆𝑆(3),sedangkan jika gasing balik dimainkan
pada bidang melengkung berupa tabung maka ruang konfigurasinya adalah ℝ × 𝑆𝑆 1 × 𝑆𝑆𝑆𝑆(3).Tesis
ini membicarakandinamika gasing balik melalui persamaan
Poincarépada ruang konfigurasi ℝ2 × 𝑆𝑆𝑆𝑆(3) dan ℝ × 𝑆𝑆1 × 𝑆𝑆𝑆𝑆(3)melalui penerapan
teori grup (dinamika gasing balik yang bergerak di bidang datar dan di permukaan dalam tabung).
1.6.
Metode Penelitian Penelitian ini bersifat kajian teoretis matematis. Penelitian dilakukan
dengan tinjauan terhadap beberapa pustaka mengenai sistem mekanik pada kasus gasing balik yang telah dikembangkan sebelumnya serta perhitungan matematis. 1.7.
Sistematika Penulisan Tesis ini tersusun atas empat bab, dengan uraian singkat berikut ini: 1. Bab 1 merupakan pendahuluan 2. Bab II berisi teori dasar geometri dan mekanika yang menampilkan keragaman, vektor singgung, grup matriks, aljabar Lie pada grup Lie matriks, geometri pada keragaman, medan vektor, forma-1 diferensial, aksi grup, kendala, koordinat umum, ruang konfigurasi, gaya umum, persamaan Eular-Lagrange, Persamaan Poincaré, penyederhanaan persamaan Poincaré dengan teori grup, koordinat siklik dan reduksi Routhian. 3. Bab III berisi pembahasan dinamika gasing balik, persamaan gerak gasing balik melalui persamaan Poincaré dan mereduksi persamaan Poincaré dengan reduksi Routhian. 4. Bab IV berisi simpulan dan saran.
