BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Masalah Manusia adalah ciptaan Tuhan yang sangat istimewa. Manusia diberi akal budi oleh sang pencipta agar dapat mengetahui dan melakukan banyak hal. Hal lain yang diciptakan Tuhan begitu istemewa adalah alam semesta ini dengan segala isinya. Manusia dan alam semesta ini saling terkait erat. Keterkaitannya terletak pada upaya manusia memahami alam semesta ini menggunakan akal budinya, salah satunya melalui Fisika. Fisika merupakan upaya memahami pola-pola keteraturan alam yang dibingkai dalam bagan berpikir yang runtut dan matematis (Rosyid, 2006). Bagan berpikir yang runtut tersebut disebut sebagai konsep-konsep fisika yang dikaitkan dengan persamaan/konsep matematis yang disebut teori. Banyak teori yang telah dibangun dengan harapan manusia dapat mengenal alam ini, salah satunya adalah mekanika kuantum. Mekanika kuantum merupakan salah satu teori fundamental yang mendasari fisika modern. Banyak ilmuwan yang turut andil dalam perkembangan mekanika kuantum antara lain, Erwin Schrödinger, Werner Heisenberg dan Paul Dirac. Terbentuknya mekanika kuantum berawal dari ketidakmampuan mekanika klasik menjelaskan hukum-hukum fisika untuk dunia mikroskopis (atom, elektron, dan sebagainya). Mekanika kuantum memberikan penjelasan dan prediksi yang akurat tentang peristiwa pada dunia mikro. Dari hasil hasil ini ilmuwan dapat mengembangkan perkembangan baru dalam teknologi. Di bidang nanoteknologi ada graphene yang mendasari teknologi layar sentuh. Graphene merupakan selembar karbon yang hanya memiliki ketebalan satu atom serta memiliki ikatan atom Sp2 (Novoselov, 2004). Banyak peneliti saat ini yang menggembangkan penggunaan material graphene sebagai salah satu komponen bio sensor, dengan alasan graphene memiliki sensitivitas tinggi terhadap perubahan energi dari luar (Physiorg, 2011). Pada tahun 1970-an Feynman membuat suatu model yang menggunakan sistem kuantum untuk komputasi. Hingga saat ini model yang disebut dengan komputer kuantum yang diyakini mampu mengolah data yang sangat banyak dalam waktu singkat terus diteliti. Dalam komputer klasik jumlah data dihitung dengan bit sedangkan dalam komputer kuantum digunakan qubit atau algoritma kuantum.
1
2
Dari paparan tersebut terlihat bahwa mekanika kuantum memiliki banyak manfaat. Jauh sebelum keberadaan teori mekanika kuantum ini telah ada teori mekanika klasik. Kemudian timbul pertanyaan awal mula mekanika klasik menuju mekanika kuantum, atau lebih tepatnya bentuk relasi antar kedua sistem ini. Cara untuk mengetahui relasi antara kedua sistem inilah yang dikenal dengan pengkuantuman. Sejak hampir seabad yang lalu hingga saat ini banyak para ilmuwan baik matematikawan maupun fisikawan yang ikut serta mencari tahu hubungan objek mekanika klasik dengan mekanika kuantum. Usaha tersebut membuahkan hasil, terbukti dengan banyaknya metode pengkuantuman yang ada saat ini. Metode pengkuantuman tersebut antara lain pengkuantuman kanonis, pengkuantuman lintasan, pengkuantuman deformasi, pengkuantuman geometrik, pengkuntuman Borel dan pengkuantuman stokastik (Rosyid, 2005). Metode pengkuantuman pertama yang sangat sederhana yaitu pengkuantuman kanonis. Pengkuantuman ini memberikan hasil yang sesuai untuk pasangan kanonik (q, p) tapi tidak untuk kasus (q 3 , p3 ). Oleh karena itu dibutuhkan suatu metode pengkuantuman lain yang merupakan perluasan dari pengkuantuman kanonis sedemikian rupa sehingga konsisten, artinya bebas dari pemilihan koordinat dan invarian terhadap alih ragam kanonik. Dengan demikian metode pengkuatuman ini dapat diterapkan pada kasus-kasus umum. Pengkuantuman geometrik merupakan pengkuantuman yang memenuhi semua syarat ini (Woodhouse,1993). Hal-hal yang penulis paparkan dalam skripsi ini tidak terdapat suatu hal yang baru, melainkan bersifat studi literatur. Yang penulis lakukan adalah menjelaskan kembali perumusan pengkuantuman geometrik beserta penerapannya dan menurunkan kembali beberapa persamaan. 1.2 Perumusan Masalah Berdasarkan latar belakang yang telah dipaparkan sebelumnya, dapat dirumuskan beberapa permasalahan sebagai berikut: 1. Bagaimana hubungan antara struktur matematik dalam mekanika klasik dan struktur matematik dalam mekanika kuantum? 2. Bagaimana struktur matematik dalam mekanika kuantum diperoleh dari struktur matematik dalam mekanika klasik secara geometrik? 3. Bagaiman prosedur tersebut di atas diterapkan pada osilator harmonis?
3
1.3 Batasan Masalah Penulisan skripsi ini dibatasi untuk pengkuantuman geometrik pada keragaman simplektik finit. 1.4 Tujuan Penelitian Tujuan yang hendak dicapai dalam penelitian ini berdasarkan perumusan masalah yang telah dipaparkan di atas adalah sebagai berikut: 1. Menjelaskan hubungan antara struktur matematik dalam mekanika klasik dan struktur matematik dalam mekanika kuantum. 2. Menjelaskan cara memperoleh struktur matematik dalam mekanika kuantum dari struktur matematik dalam mekanika klasik secara geometrik. 3. Menjelaskan prosedur tersebut di atas diterapkan pada osilator harmonis. 1.5 Manfaat Penelitian Penelitian ini diharapkan mampu memberi pemahaman mendasar yang baik terkait dengan pengkuantuman geometrik, serta penerapannya pada kasus-kasus sederhana. 1.6 Tinjauan Pustaka Pengkuantuman Kanonis merupakan metode pengkuantuman pertama yang dilakukan Dirac (1928) yang dikenal dengan pengkuantuman Dirac. Pada tahun 1924 Dirac memulai dengan catatannya mengenai dinamika relativitas partikel dilanjut-kan pada tahun 1925 menyusun persamaan fundamental bagi mekanika kuantum dan di tahun 1926 ia menyelesaikan disertasinya dengan judul "Quantum Mechanics". Sebelumnya terdapat total 11 paper yang telah dituliskannya. Di dalam disertasinya tersebut dijelaskan metode analogi klasik bagi pengkuantuman, yang secara mendetail dijelaskan dalam bukunya dengan judul "The Principles of Quantum Mechanics" pada tahun 1930. Sayangnya, jenis pengkuantuman ini, hanya berlaku pada keadaan khusus. Setelah Dirac membentuk relasi antara komutator dengan Kurung Poisson, hal ini terlihat sangat menarik bagi ilmuwan lain untuk merumuskan relasi yang berlaku
4
bagi observabel yang lebih umum dengan penggunaan perkalian tersimetri (symmetrized product). Perkalian tersimetri tersebut diperkenalkan oleh Hermann Weyl pada tahun 1927 dalam papernya yang berjudul Quantenmechanik und Gruppentheorie. Herman Weyl ini merupakan murid dari David Hilbert. Gukov dan Witten (2009) dalam papernya D-branes and quantization mengungkapkan bahwa keragaman harus disertai dengan struktur simplektik dengan keragaman tersebut menjadi keragaman simplektik agar apat dikuantumkan. Konsep keragaman itu sendiri telah lama diperkenalkan oleh Bernhard Riemann (1826-1866) dengan istilah mannigfaltigkeit1 pada tahun 1854. Konsep keragaman ini ia gunakan dalam ruang topologi bersifat geometri yang dibangunnya. Konsep geometri sebenarnya merupakan cabang matematika, namun telah menjadi fondasi yang kuat bagi teori-teori fisika. Salah satu contoh penerapan konsep geometri dalam teori fisika adalah penggeometrian mekanika klasik yang diusulkan oleh Poincare (1892) yang dikenal dengan mekanika geometrik. Hal ini terus berkembang hingga ke ranah penggeometrian mekanika kuantum. Dalam artikelnya Alexander Cordona menyebutkan bahwa pengkuantuman geometrik lahir antara tahun 1960 hingga 1970. Pengkuantuman geometrik berasal dari penggabungan teori wakilan dan geometri simplektik. Skema ini bukan merupakan ide baru, melainkan percobaan untuk memberikan fondasi formal bagi formula kuantum dari formula klasik. Dillen dan Verstaelen (1999) menguatkan pernyataan Alexander tersebut dengan menyatakan bahwa geometri simplektik memang telah ada sejak tahun 1960 dan berperan sebagai pusat dari geometri diferensial dan topologi. Yang menjadi penggagas utama dalam perumusan pengkuantuman geometrik adalah Kostant dan Souriou. Mereka bekerja secara terpisah, Kostant (1970) dalam papernya memaparkan tentang konstruksi eksplisit bagi wakilan uniter dari teori pengkuantuman. Sementara Soriou (1970) seorang matematikawan mengembangkan aspek simplektik dari mekanika klasik dan mekanika kuantum. Dia jugalah yang berkontribusi memperkenalkan atau mengembangkan beberapa konsep penting seperti aksi koajoin dan orbit koajoin grup pada ruang momentumnya, serta menyarankan program pengkuantuman geometrik. Souriau dan Kostant juga turut merumuskan pengklasifikasian keragaman simplektik homogeous yang disebut dengan teorema Kirillov-Kostant-Souriou. Selanjutnya Echeverria Enriquez dkk (1998) dalam papernya menjelaskan dasardasar pengkuantuman geometrik. Secara khusus mengenai aspek matematika yang 1
mannigfaltigkeit merupakan bahasa Jerman yang artinya adalah keragaman.
5
terkait dengan strukur geometris yakni untingan garis kompleks, koneksi hermitean, polarisasi riil dan kompleks, dan koreksi metaplektik. Vaisman (1991) dalam papernya menjelaskan tentang teknik pengkuantuman geometrik yang diperumum, yakni dengan menerapkannnya pada keragaman Poisson yang merupakan perumuman bagi keragaman simplektik. Hal serupa juga dilakukan oleh Rosyid (2005). Penerapan pengkuantuman geometrik sudah banyak dilakukan, terutama pengkuantuman geometrik pada sistem finit. Salah satu penerapan pengkuantuman geometri yang cukup menarik adalah pada kasus monopol magnet dan efek Hall kuantum yang dipaparkan oleh Alexander Cardona dalam artikel yang ditulisnya. Sementara pengkuantuman geometrik pada keragaman infinit salah satu penerapanya yang telah dilakukan oleh Woodhouse (1997) adalah usaha membangun teori medan kuantum pada ruang lengkung. Namun yang penulis lakukan dalam skripsi ini hanya menjelaskan pengkuantuman geometrik, peranti yang dibutuhkan untuk memahami pengkuantuman geometrik, dan penerapan pengkuantuman geometrik pada kasus yang sangat sederhana. 1.7 Metode Penelitian Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah kajian teoritis. Mulai dengan pencarian artikel-artikel yang terkait dengan tema skripsi, mengumpulkan banyak sumber bacaan yang terkait, serta meninjau satu per satu konsep yang mendukung pemahaman akan materi penelitian ini. Adapun penulis harus melakukan perhitungan ulang yang cukup panjang secara mandiri dalam menyelesaikan persamaanpersamaan. 1.8 Sistematika Penulisan Skripsi ini terdiri dari 6 bab, masig-masing bab diuraikan sebagai berikut: 1. Bab I Pendahuluan. Bab ini berisi latar belakang masalah, perumusan masalah, batasan masalah, tujuan masalah, manfaat penelitian, tinjauan pustaka, metode penelitian dan sistematika penulisan. 2. Bab II Geometri Simplektik dan Sistem Mekanika Hamiltonan. Bab ini berisi penjelasan terkait ruang vektor simplektik, struktur simplektik, keragaman simplektik serta sistem mekanika hamiltonan.
6
3. Bab III Pengkuantuman Geometri. Bab ini berisi peranti-peranti yang dibutuhkan dalam prosedur pengkuantuman, dan juga berisi prosedur pengkuantuman geometrik dari prapengkuantuman, polarisasi hingga koreksi metaplektik. 4. Bab IV Pembahasan. Bab ini berisi ulasan pengkuantuman geometrik pada keragaman eksak sederhana dan osilator harmonis. 5. Bab V Pentup yang berisi kesimpulan dan saran. 6. Bab VI Lampiran. Bab ini berisi teori grup dan aljabar eksterior, struktur kompleks dan beberapa pembuktian-pembuktian persamaan.
