1
BAB I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang Masalah Fenomena alam sangat beragam dan masing-masing memiliki karakter yang unik, oleh karena itu belum tentu model matematis yang dibangun untuk suatu fenomena dapat digunakan untuk memodelkan fenomena yang lainnya meskipun mungkin ada beberapa besaran fisis yang sama. Selain itu, suatu fenomena juga tidak menutup kemungkinan dapat dimodelkan dengan lebih dari satu model matematis yang berbeda. Mekanika Newton pada umumnya merupakan kajian fenomena fisis perubahan posisi benda terhadap waktu beserta penyebabnya yang dimodelkan dengan ungkapan matematis berupa suatu fungsi beserta turunan-turunannya. Oleh karena itu, tidak menutup kemungkinan cara pandang ini dapat dikembangkan pada perubahan besaran-besaran lain pada fenomena kajian selain fisika, dengan pendekatan lain misalnya teori peluang. Salah satu jenis fenomena alam adalah fenomena yang berasal dari suatu interaksi di alam. Sebagai contoh pergerakan serbuk sari bunga Clarkia Pulchella di dalam cairan hasil pengamatan Robert Brown,
ilmuwan berkebangsaan Skotlandia pada tahun 1827 (A. P.
Philipse, 2011) dan juga pergerakan nilai tukar suatu mata uang suatu negara terhadap mata uang negara lainnya. Kedua fenomena ini memiliki beberapa kesamaan, diantaranya pergerakannya yang secara alamiah acak dan eksistensinya merupakan perwujudan atau hasil interaksi yang begitu kompleks diberbagai tingkatan. Penyebab gerak maupun penyebab perubahan geraknya nampaknya berbeda dengan model yang dibangun oleh Issac Newton tentang gerak, yakni hadirnya Energi dan Gaya. Khusus pergerakan nilai tukar mata uang yang nantinya akan dibahas dalam tulisan ini, penyebab perubahan nilai tukar beberapa diantaranya dikarenakan
hadirnya kesadaran dan
pengaruh
lingkungan yang begitu
kompleks yakni ditentukan oleh semua orang di dunia, terutama yang berkepentingan terhadap sepasang mata uang tersebut, seperti negara, bangkir, perusahaan-perusahaan multinasional sampai kepada para spekulan personal yang membentuk βlingkunganβ yang secara sadar dan tidak sadar menentukan posisi harga pada suatu waktu tertentu. Besaran-besaran fisis yang terlibat pada fenomena ini pun berbeda dengan fenomena alam biasanya, sebagai contoh besaran massa atau kelembaman serta gaya dan energi yang bertangjawab terhadap evolusi sistem sepertinya tidak ada, kalaupun ada kemungkinan berwujud lain. Bahkan satu-satunya besaran yang selama ini menjadi tumpuan pengukuran
2
hanyalah posisi harga pada saat waktu tertentu. Oleh karena itu, terminologi yang diperkenalkan Issac Newton mengenai momentum dan gaya serta akibatnya pada evolusi sistem sepertinya perlu ditinjau ulang untuk memerikan dinamika sistem seperti ini. Sampai saat ini sudah banyak sekali teori atau model matematika yang digunakan untuk memperkirakan dinamika dari sistem ini, yang dalam terminologi forex dikenal dengan technical indikator, mulai dari yang berbasis statistika, fraktal, probabilitas sampai kepada pengenalan pola serta kombinasi dari berbagai teori (Bruce J. West et al, 2003). Namun, pada kenyataannya lebih dari 90 % orang-orang yang memperkirakan pergerakan ini gagal (Jared Martinez, 2007). Dalam tulisan ini akan dirumuskan atau dibangun suatu mekanika yang berbeda dari mekanika yang ada pada fisika pada umumnya untuk memodelkan dinamika fenomena tersebut.
Gambar 1.1. Pergerakan sepasang mata uang EURUSD yang dipantau setiap satu menit pada 30 Desember 2014 dari pukul 15:26 sampai pukul 21:29. Diambil dari software pantau MT4-FX Clearing.
Di dunia matematika ada suatu ekspresi yang berbentuk π1 + π2 + π3 + β― + ππ + β― + ππ
π
dan ekspansinya, yang dikenal dengan nama ekspansi multinomial, dalam hal ini
π1 , π2 , π3 , β¦ , ππ , β¦ , ππ adalah variabel rill. Sebagai contoh binomial π1 + π2 π , trinomial π1 + π2 + π3 π , dan sebagainya. Contoh ekspansi multinomial misalnya binomial dengan π = 2, yakni
π1 + π2
2
= 1 β π1 2 + 2 β π1 π2 + 1 β π2 2 , angka 1,2,1 disebut koefisien
ekspansi dan π1 2 , π1 π2 , π2 2 disebut suku-suku ekspansi, yakni berupa variabel yang saling
3
bebas, merupakan anggota suatu gelanggang dan komutatif terhadap penjumlahan. Koefisien-koefisien ekspansi berpotensi untuk memodelkan fungsi distribusi peluang (Wiiliam J. Stewart, 2009), sedangkan suku-suku ekspansinya dinotasikan β nanti digunakan sebagai anggota ruang sampel Ξ© atau β β Ξ©, yakni lintasan yang mungkin bagi βpartikelβ. Sedangkan himpunan
β¬ = {π1 , π2 , π3 , β¦ , ππ , β¦ , ππ } dengan π1 , π2 , π3 , β¦ , ππ , β¦ , ππ bisa
merupakan vektor ataupun bilangan rill digunakan sebagai basis multinomial, dengan kata lain suku-suku ekspansi adalah himpunan yang beranggotakan kombinasi yang mungkin dari anggota-anggota basis pada π tertentu. Sebenarnya sudah banyak aplikasi dari multinomial ini dalam berbagai bidang, sebagai contoh distribusi probabilitas binomial, ketika jumlah peristiwa sangat sedikit, maka distribusi ini konvergen menuju distribusi Poisson. Dan ketika jumlah peristiwa mendekati tidak berhingga, distribusi ini menjadi distribusi Gauss. Distribusi-distribusi ini digunakan dalam statistika proses-proses yang tidak linier (Markus Aschwanden, 2011). Namun skripsi ini, dicoba penerapannya dengan cara yang berbeda, yakni sebagai fondasi mekanika multinomial. Pada mekanika kuantum, mekanika klasik maupun mekanika fluida, minimal ada dua hal penting yang harus ada di dalamnya, yakni kinematika dan dinamika. Di dalam kinematika, hal-hal yang harus ada adalah ruang fase, aljabar observabel dan aturan akses dari suatu observabel. Sementara dinamika adalah bahasan yang memuat persamaan diferesial, yang jawabannya merupakan suatu kurva dalam ruang fase yang menggambarkan evolusi sistem fisis terhadap waktu (M. F. Rosyid, 2006). 1.2 Rumusan Masalah 1. Dapatkah bentuk aljabar multinomial dan ekspansinya digunakan untuk membangun suatu mekanika yang dapat digunakan untuk memodelkan fenomena-fenomena kompleks? 1.3 Batasan Masalah Agar pembahasan lebih terarah, dikemukakan beberapa batasan: 1. Bahasan pada sekripsi ini tidak sampai pada kasus relativistik.
2. Arah atau basis multinomial dan besarnya panjang langkah konstan, serta jumlah semua anggota basis multinomial sama dengan identitas. 3. Ruang pergerakan sistem (Ruang Jaring) datar dan tidak periodik.
4
4. Pembahasan mengenai besaran acak tidak dikhususkan pada besaran suatu fenomena tertentu.
1.4 Tujuan Penelitian Tujuan penelitian ini adalah 1. Memperoleh
gambaran
awal
mekanika
yang dikembangkan dari
ekspansi
multinomial. 2. Memodelkan dinamika pergerakan nilai tukar sepasang mata uang dengan trinomial.
5
1.5 Tinjauan Pustaka Multinomial Suatu ekspresi aljabar dengan bentuk π1 + π2 + π3 + β― + ππ + β― + ππ
π
disebut
multinomial. Sebagai contoh : Ekspresi aljabar yang hanya memiliki satu suku di dalam tanda kurung π1
π
disebut monomial, dua suku π1 + π2
π
binomial, tiga suku π1 + π2 +
π3π trinomial dan sebagainnya. Expansi Binomial Pada tahun 1303 Chu Shih-chieh, matematikawan Cina menemukan segitiga Chu Shih-chieh. Segitiga ini muncul pada awal 1303-an di Precious Mirror of the Four Elements.
Gambar 1.2. Segitiga Chu Shih-Chiehβs. (Gambar ini diambil dari buku Mathematics from the Birth of Numbers (Jan Gullberg, 2005).)
Selain itu, Blasie Pascal (1623-1662), seorang fisikawan dan matematikawan Prancis juga memperkenalkan suatu ekspansi binomial yang dikenal sebagai segitiga Pascal yang dipublikasikan di Traiteβ du triangle arithmΓ©tique (1665) seperti pada Gambar 1. 3.
6
Gambar 1.3. Segitiga Pascal. (Gambar ini diambil dari buku Mathematics from the Birth of Numbers (Jan Gullberg, 2005).
dan Matematikawan berkebangsaan Inggris Sir Issac Newton (1642 -1727), memperkenalkan teorema binomial yakni π
π+π
π
= π=0
π πβπ π π π , 1
(1.1)
seperti yang sudah disebutkan, ππ βπ π π adalah suku-suku ekspansi binomial dan koefisien ekspansinya adalah π! π = , π π β π ! π! ekspansi binomial yang berbentuk π π₯ = π + π₯
(1.2) π
dengan p anggota bilangan riil bukan nol
dan bilangan asli, dapat diekspansi dengan deret pangkat yang berpusat di 0. π π₯ = π+π₯
π
= π 0 + πβ² 0 +
π β²β² (0) 2 π β²β²β² (0) 3 π₯ + π₯ + β― , (1.3) 2! 3!
jika p bilangan asli, deret tersebut menjadi teorema binomial. Dan pada tahun 1676 Newton kembali menemukan ekspansi binomial dalam bentuk
7 β
π π π₯ , π
(1.4)
π π β 1 π β 2 β¦ (π β π + 1) π = , π π!
(1.5)
π
(1 + π₯) = π=0
dengan
yang dikirimkan lewat surat kepada Leibniz melalui sekretaris Royal Society. Dengan p adalah sembarang bilangan rill kecuali bilangan bulat positif atau nol. Fungsi π(π₯) konvergen untuk semua bilangan real x sedemikian rupa sehingga β1 < π₯ < 1. Bukti kekonvergenan binomial Newton ke Persamaan 1.4
dihadirkan oleh matematikawan Norwegia
Neils
Hendrik Abel(1802 -1829) pada 1826, yakni 10 tahun setelah Newton menemukannya (Jan Gullberg, 2005). Ekspansi Multinomial Berbentuk Khusus (πβ1) π
Multinomial dengan bentuk (π₯10 + π₯21 + π₯32 + π₯43 + β― + π₯π
) , dengan subskrip adalah
indek. Oleh Leonhard Euler (1707 -1783) pada βOn the expansion of the power of any polynomial (1 + π₯ + π₯ 2 + π₯ 3 + π₯ 3 + etc. )π β diekspansikan sebagai berikut: Binomial (1 + π₯)π π 3 π 2 π π 2 π 4 π₯+ π₯ + π₯ + π₯ + β―+ π₯ , 3 π 1 2 4
(1 + π₯)π = 1 + dengan
π π π (πβ1) π π = π; = 1. 2 ; = 3 1 2
πβ1 (π β2) 1. 2. 3
; dsb. Yang secara umum
π πβ1 πβ2 β¦ πβπ+1 π = , π 1 . 2 . 3β¦π
1.6
π π π = = 1, dan memang secara umum = 0 π π
Untuk kasus π = 0 dan π = π menjadi π . πβπ
Untuk trinomial (1 + π₯ + π₯π₯)π ,ekspansinya adalah π 0
3
+
π 1
3
π₯+
π 2
3
π₯2 +
π 3
3
π₯3 + β―
untuk quadronomial (1 + π₯ + π₯π₯ + π₯ 3 )π , ekspansinya adalah π 0
4
+
π 1
4
π₯+
π 2
4
π₯2 +
π 3
4
π₯3 +
π 4
4
π₯4 + β―
8 untuk quitinomial (1 + π₯ + π₯π₯ + π₯ 3 + π₯ 4 )π , ekspansinya adalah π 0
5
+
π 1
5
π₯+
π 2
5
π₯2 +
π 3
5
π₯3 +
π 4
5
π₯4 +
π 5
5
π₯5 + β―
Foreign Exchange (Forex) Pertukaran mata uang atau foreign exchange disingkat FOREX. Proses pertukaran sepasang mata uang terjadi semisal seseorang, suatu bank, pemerintah, perusahaan atau turis di Bali menukarkan suatu mata uang ke mata uang yang lainnya. Naik turunnya nilai suatu mata uang ditentukan oleh beragam faktor yang memicu pembelian atau penjualan suatu mata uang ke mata uang lainnya (Alex Nekitin dan Walter Peters, 2012). Contoh data pergerakan nilai tukar mata uang lihat Gambar 1.1 dan Gambar 1.4. Penggambaran pergerakan sepasang mata uang salah satunya menggunakan grafik lilin, lilin dibedakan menjadi dua yakni Bullish candle untuk menggambarkan kenaikan dan Bearish Candle untuk menggambarkan penurunan. Dan penyajiannya dalam beragam penyajian waktu, mulai dari setiap satu menit, sampai kepada rentang waktu tahunan. Setiap lilin menggambarkan harga sepasang mata uang dalam setiap waktu tersebut (Jared F. Martiez, 2007).
Gambar 1.4 Gerak acak naik turunnya nilai sepasang mata uang USD/JPY. Pada 1 Desember 2014 dari pukul 11:52 sampai pukul 12:50 (courtesy of Meta Pedangang-4 FX-Clearing).
9
1.6 Sistematika Penulisan Skripsi ini kami susun dalam susunan sebagai berikut: Bab I: berisi pendahuluan yang melatar belakangi penulisan, perumusan masalah, batasan masalah, tujuan penelitian, tinjauan pustaka, metodologi penelitian, dan sistematika penulisan. Bab II: berisi teori-teori yang diperlukan sebelum masuk ke pembahasan utama. Bab III: berisi tentang bahasan utama, yakni formalitas dari mekanika multinomial. Bab IV: berisi penerapan mekanika trinomial pada fenomena dinamika nilai tukar sepasang mata uang atau foeign exchange (FOREX). Bab V: berisi tentang kesimpulan dan saran.
