BAB I PENDAHULUAN
1.1
Latar Belakang Masalah Ekologi merupakan cabang ilmu dalam biologi yang mempelajari tentang
hubungan makhluk hidup dengan habitatnya. Dalam ekologi, dikenal istilah rantai makanan. Rantai makanan merupakan lintasan konsumsi makanan yang terdiri dari beberapa spesies. Bagian paling sederhana dari rantai makanan berupa interaksi antara spesies mangsa(prey) dengan pemangsa (predator) [13]. Makhluk hidup di bumi ini sangat beraneka ragam, yang terdiri dari campuran populasi dari berbagai spesies yang hidup bersama atau disebut komunitas. Hal itu menunjukan pada hakikatnya makhluk hidup di bumi ini tidak dapat hidup sendiri secara normal, tetapi akan saling berinteraksi dengan berbagai spesies yang ada. Banyak sistem interaksi yang berlangsung dalam ekosistem alami, salah satunya adalah sistem interaksi mangsa-pemangsa (prey-predator). Spesies pemangsa yang secara fisik ukurannya lebih besar dibandingkan dengan mangsa, sedangkan mangsa adalah spesies yang dimangsa yang ukurannya lebih kecil dari pada pemangsa [6]. Interaksi yang terjadi dapat berupa predasi (makan dimakan), kompetisi (persaingan) maupun simbiosis (persekutuan hidup). Model mangsa pemangsa dapat dimanfaatkan pada Taman Nasional dimana mangsa dan pemangsa dapat hidup bersama. Mangsa yang harus dilestarikan dapat dilindungi dari pemangsa dengan menciptakan batasan atau tempat penampungan yang akan membagi habitat menjadi dua wilayah yaitu wilayah yang dilindungi dan wilayah bebas. Adapun yang dimaksud dengan wilayah yang dilindungi adalah dimana spesies pemangsa tidak diperbolehkan masuk kedalam wilayah tersebut, kemudian yang dimaksud dengan wilayah bebas adalah dimana ada percampuran dari spesies mangsa pemangsa pada wilayah tersebut.
1
Kemudian pada tulisan ini, akan dibahas suatu interaksi dari tiga spesies yang terdiri dari satu pemangsa dan dua spesies mangsa, adapun pemangsa berinteraksi dengan salah satu spesies mangsanya bersifat predasi kemudian spesies mangsa yang satunya hanya mengalami perpindahan dari wilayah yang dilindungi pada wilayah bebas dan begitu juga dari wilayah bebas pada wilayah yang dilindungi. Pada model ini juga terdapat dua kasus dimana kasus pertama adalah pemangsa sepenuhnya tergantung pada mangsa di wilayah yang dilindungi dan kasus kedua adalah pemangsa sebagian tergantung pada mangsa di wilayah yang dilindungi. Dan pada kasus pemangsa sebagian tergantung pada mangsa akan dianalisis jenis kestabilan titik ekuilibriumnya. Dimana titik ekuilibrium tersebut akan menunjukan bahwa keadaan model pemangsa sebagian tergantung pada mangsa bersifat stabil, tidak stabil, saddel atau yang lainnya.
1.2
Rumusan Masalah Adapun pada latar belakang diatas, masalah yang akan dibahas dalam tugas
akhir ini sebagai berikut: 1. Bagaimana model matematika mangsa pemangsa di wilayah yang dilindungi dengan kasus pemangsa sebagian tergantung pada mangsa? 2. Bagaimana menganalisis kestabilan titik ekuilibrium model mangsa pemangsa di wilayah yang dilindungi dengan kasus pemangsa sebagian tergantung pada mangsa? 3. Bagaimana teorema yang berkaitan dengan model mangsa pemangsa di wilayah yang dilindungi dengan kasus pemangsa sebagian tergantung pada mangsa? 4. Bagaimana simulasi model matematika mangsa pemangsa di wilayah yang dilindungi dengan kasus pemangsa sebagian tergantung pada mangsa?
2
1.3
Batasan Masalah Pada tugas akhir ini hanya menganalisis model mangsa pemangsa di wilayah
yang dilindungi dengan kasus pemangsa sebagian tergantung pada mangsa. yang memiliki empat titik ekuilibrium kemudian membuat simulasi dari model tersebut.
1.4
Tujuan dan Manfaat Penelitian Adapun tujuan dalam tugas akhir ini sebagai berikut:
1. mengkaji model mangsa pemangsa di wilayah yang dilindungi. 2. Menganalisis lebih dalam kestabilan titik ekuilibrium model mangsa pemangsa di wilayah yang dilindungi. 3. Membahas teorema yang berkaitan dengan model mangsa pemangsa di wilayah yang dilindungi. 4. Melakukan simulasi dengan menggunakan metode adams-Bashfort-Moulton terhadap model mangsa pemangsa di wilayah yang dilindungi. Adapun manfaat penelitian pada tugas akhir ini adalah memperkaya wawasan, khususnya model matematika pada bidang biologi yang berhubungan dengan populasi pada suatu wilayah dan semoga tugas akhir ini dapat memberi manfaat bagi matematikawan yang berkenan untuk membahas yang berhungan dengan model matematika.
1.5
Metode Penelitian Metode penelitian pada tugas akhir ini adalah sebagai berikut:
1. Mempelajari dan mengkaji lebih dalam pada buku-buku yang berhubungan dengan tugas akhir ini diantaranya tentang pemodelan mangsa pemangsa, persamaan diferensial biasa, persamaan diferensial autonomous, sistem persamaan diferensial, titik ekuilibrium, matriks jacobi, nilai eigen dan vektor eigen, jenis kestabilan titik ekuilibrium, dan manifold. 3
2. Menganalisis model secara detail. 3. Membahas teorema dengan membuktikannya menggunakan metode Lyapunov. 4. Membuat simulasi dengan menggunakan metode Adams-Bashforth-Moulton untuk model matematika mangsa pemangsa di wilayah yang dilindungi dengan kasus pemangsa sebagian tergantung pada mangsa. 5. Simulasinya menggunakan data acak (bukan data sekunder maupun primer).
1.6
Sistematika Penulisan Adapun untuk mempermudah pembaca dalam penulisan tugas akhir ini maka
penulis membaginya dalam lima bab yang akan dituliskan sebagai berikut: BAB I:
Merupakan bab pendahuluan yang menjelaskan tentang latar belakang masalah, rumusan masalah, batasan masalah, tujuan dan manfaat penelitian, metode penelitian, sistematika penulisan.
BAB II:
Merupakan bab landasan teori yang akan dipaparkan pemodelan sistem mangsa pemangsa, persamaan diferensial biasa, persamaan diferensial autonomous, sistem persamaan diferensial, matriks Jacobi, metode Lyapunov, nilai eigen dan vektor eigen, titik ekuilibrium, jenis kestabilan titik ekuilibrium, manifold, metode adam-bashfort-moulton.
BAB III:
Pembahasan merupakan bab inti dari penulisan yang berisikan analisis model mangsa pemangsa di wilayah yang dilindungi dengan kasus pemangsa sebagian tergantung pada mangsa.
BAB IV:
Bab ini merupakan simulasi model mangsa pemangsa di wilayah yang dilindungi dengan kasus pemangsa sebagian tergantung pada mangsa.
BAB V :
Penutup yang merupakan kesimpulan dari pembahasan dan dilengkapi dengan saran.
4
BAB II LANDASAN TEORI
2.1
Pemodelan Mangsa Pemangsa Laju populasi mangsa dengan tidak adanya pemangsa tumbuh cepat
mendekati eksponensial dan tak terbatas dalam bentuk sebagai berikut.
Dengan
2.1
merupakan angka pertumbuhan dari mangsa. Laju populasi mangsa
menjadi fungsi logistik karena sumber daya alam yang terbatas, yang kemudian dapat menulisnya sebagaimana persamaan logistik sebelumnya yaitu sebagai berikut.
Dengan
1
2.2
merupakan carrying capacity. carrying capacity ini berhubungan
erat dengan ketersediaan tanaman sebagai makanan mangsa. Kemudian akan ditunjukkan suatu persamaan dimana mangsa dan pemangsa akan saling berinteraksi yaitu sebagai berikut.
Dengan
2.3
adalah laju penangkapan mangsa oleh pemangsa, dalam hal ini
mangsa berinteraksi dengan pemangsa. Dari beberapa penjelasan diatas maka dapat dibentuk model dinamika pertumbuhan populasi mangsa adalah sebagai berikut. Dengan , ,
0
1
2.4
Pada persamaan diatas bersifat mnegurangi jumlah populasi mangsa. Karena
dalam hubungannya mangsa akan berinteraksi dengan pemangsa. Akan tetapi sebaliknya pada model pertumbuhan pemangsa maka respon ini akan bersifat menambah jumlah pemangsa [8].
5
2.2
Persamaan Diferensial Biasa Persamaan diferensial biasa diartikan sebagai suatu persamaan yang
melibatkan turunan pertama atau lebih dari fungsi sebarang persamaan ini dapat pula melibatkan
terhadap peubah
,
itu sendiri.
Contoh sebagai berkut: 1. 2. 3.
cos 4
0
Dari contoh 1 sampai 3 merupakan suatu persamaan diferensial biasa [9].
2.3
Persamaan Diferensial Autonomous Pandang sistem persamaan diferensial berikut: , ,
, ,
" , ,
2.5
, , dan " adalah fungsi kontinu bernilai real dari
,
dan
, dan mempunyai
, , dan " tidak mengandung
turunan parsial kontinu. Sistem persamaan diferensial (2.5) disebut sistem persamaan diferensial autonomous, karena secara eksplisit didalamnya [3].
6
2.4
Sistem Persamaan Diferensial
Sistem persamaan diferensial adalah suatu sistem yang membuat # buah
persamaan diferensial, dengan # merupakan bilangan bulat positif lebih besar sama
dengan 2. Antara persamaan diferensial yang lain saling keterkaitan dan konsisten. Bentuk umum dari suatu sistem # persamaan orde pertama mempunyai bentuk sebagai berikut.
* Dengan $
$
$, &, … , (
,
&
$
%$ ,
$, &, … , (
(
%+ ,
$, &, … , (
&
%& ,
$, &, … , (
adalah variabel bebas dan
&
,…,
(
(
, dimana
26
adalah variabel terikat, sehingga
,-. ,/
merupakan turunan fungsi
terhadap , dan %+ adalah fungsi yang tergantung pada variabel [5].
2.5
$, &, … , (
dan
(
Matriks Jacobi Jika 0 1, 2 , dan 6 1, 2
terdiferensialkan dalam sebuah daerah, maka
deteminan Jacobi, atau singkatnya Jacobi, 0 dan 6 terhadap 1 dan 2 adalah deterninan fungsional orde kedua yang didefinisikan sebagai berikut. 7 0, 6 7 1, 2
70 8 71 76 71
70 72 8 76 72
9
0: 6:
0; 9 6;
Dengan cara yang sama, determinan orde ketiga sebagai berikut.
7
70 71 8 76 8 71 7< 71
7 0, 6, < 7 1, 2, =
70 72 76 72 7< 72
70 7= 8 76 7= 8 7< 7=
0: 6 > : <:
0; 6; <;
0? 6? >
2.7
Persamaan (2.7) dinamakan matriks Jacobi 0, 6, dan < dan 1, 2, dan = [15]. 2.6
Metode Lyapunov Jenis kestabilan titik ekuilibrium ditentukan dari nilai eigen matriks Jacobi.
Selain mementukan nilai eigen dari matriks Jacobi ada metode lain untuk menentukan kestabilan titik ekuilibrium tersebut yaitu dengan memnggunakan metode lyapunov yaitu sebagai berikut.
Didefinisikan fungsi A Dengan C
,,/
AB ,
dan
,
,E ,/
yang memenuhi: ,
A
. AB ,
C ,
A
,
% ,
2.8
dapat didefinisikan sebagai perubahan laju rata-
rata dari A dari sistem persamaan diferensial yang melalui titik G
,
. Jika
adalah solusi dari sistem persamaan diferensial, maka[3]. AHF
,G
I
A HF
A
AB
,
,
,G
C ,
I
F
A
A HF
,
% ,
,G
I
G
F
,
8
Teorema 2.1 Misal E himpunan terbuka dari J# mempunyai titik ekuilibrium
K.
Misalkan
bahwa C adalah kontinu terdiferensilkan dan bahwa ada fungsi kontinu terdiferensialkan A A
K
0; A
1. Jika AB
2. Jika AB
asimtotik.
3. Jika AB
, yang mana memenuhi kondisi berikut[12].
0 jika M
K
.
N 0 untuk semua
Q 0 untuk semua
0 untuk semua
stabil.
O P, maka titik ekuilibrium dikatakan stabil.
O P, maka titik ekuilibrium dikatakan stabil
O P, maka titik ekuilibrium dikatakan tidak
Teorema 2.2 [3]. Fungsi A
,
R
&
S
T
&
Persamaan (2.9) mempunyai definit positif jika dan hanya jika. R
0
dan
RQ0
dan
4RT
S&
0
2.10
0.
2.11
Dan persamaan (2.9) mempunyai definit negatif jika dan hanya jika. 4RT
S&
2.9
Contoh 2.3 Akan diberi contoh dari suatu sistem diferensial yang akan diselesaikan dengan fungsi Lyapunov, sebagai berikut.
$B
&B VB
2
$
&
$ &
& V
& V V
V
&
V
$
V
9
Dengan fungsi Lyapunov sebagai berikut. Memenuhi A AB
Untuk
2.7
2
$
4 2 2
2
& $
$
W
$
W
A
0
&
2
4
2
&
& V
$ & V
W
&
2
W
$ V
V
W
W
V
2
$
$
W
4
Q0
2
& &
4
&
&
$
V
&
& V
4
& $
&
& V $
V
4
2
&
W
V
$ &
2
$ & V
M 0 oleh kareana itu persamaan (2.12) bersifat stabil asimtotik.
V
V
2
V
W
2.12
Nilai Eigen dan Vektor Eigen Jika
adalah matriks # X # maka vektor taknol
vektor eigen dari
jika
adalah kelipatan skalar dari Y
yakni,
Untuk suatu skalar Y. Skalar Y dinamakan nilai eigen dari eigen yang bersesuian dengan Y.
Untuk mencari nilai eigen matriks menuliskan kembali
Y sebagai beriku. YZ
YZ
didalam J# dinamakan
dan
dikatakan vektor
yang berukuran # X # maka dapat
YZ
0
2.13
Supaya Y menjadi nilai eigen, maka harus ada pemecahan taknol dari
persamaan ini. jika
adalah matriks # X #, maka pernyataan-pernyataan berikut
ekivalen satu sama lain ( trivial,
dapat dibalik,
ekivalen baris dengan [# ,
berukuran # X 1, det
M 0,
linear, vektor-vektor kolom
0 hanya mempunyai pemecahan
S konsisten untuk tiap-tiap matriks S yang
mempunayai rank #, vektor-vektor baris
bebas
bebas linear), maka persamaan (2.13) akan mempunyai
pemecahan tak nol jika dan hanya jika 10
\ YZ
0
Ini dinamakan persamaan karakteristik adalah nilai eigen dari
2.14
. skalar yang memenuhi persamaan ini
. Bila diperluas, maka determinan det YZ
polinom Y yang kita namakan polinom karakteristik dari 2.8
adalah
[1].
Titik Ekuilibrium Misalkan diberikan sistem dua dimensi, sebagai berikut. C$
$
C&
&
$, &
$, &
2.15
Diasumsikan bahwa C$ dan C& kontinu dan mempunyai turunan parsial terhadap $
dan
Nilai
&.
$
Titik ekuilibrium diperoleh jika sebagai berikut.
dan
C$
&
C&
$, &
0
$, &
0
2.16
yang memenuhi persamaan (2.16) disebut titik ekuilibrium dari
persamaan (2.15) [6].
2.9
Jenis Kestabilan Titik Ekuilibrium Diberikan suatu persamaan sistem diferensial sebagai berikut. B
B
R T
S
2.17
Adapun untuk menganalisis suatu titik ekuilibrium dengan menggunakan untuk nilai eigen disimbolkan dengan Y+ untuk _
1, 2, 3, … #. kemudian dari
matriks Jacobi kemudian dicari nilai eigen dari persamaan karakteristiknya, adapun
persamaan (2.17) dimisalkan titik ekuilibriumnya (0.0). terdapat teorema kestabilan titik ekuilibrium sebagai beberikut [5].
11
Teorema 2.4 eigennya negatif Y+ Q 0 .
1. Titik ekuilibrium (0,0) dari persamaan (2.17) dikatakan stabil apabila nilai
nilai eigennya positif Y+
0 .
2. Titik ekuilibrium (0,0) dari persamaan (2.17) dikatakan tidak stabil apabila
3. Titik ekuilibrium (0,0) dari persamaan (2.17)
berbeda tanda dari nilai eigennya Y$ Q 0 dan Y&
dikatakan saddel apabila 0 [11].
4. Penjumlahan dan perkalian dua buah Y dikatakan stabil apabila kedua Y nya bernilai negatif. Dengan demikian ketika penjumlahan (Y$
Y& Q 0, dan
nya bernilai positif. Dengan demikian ketika penjumlahan (Y$
Y&
ketika perkalian (Y$ . Y&
0 [7].
5. Penjumlahan dan perkalian dua buah Y dikatakan tidak stabil apabila kedua Y ketika perkalian (Y$ . Y&
2.10
0 [7].
0, dan
Manifold Manifold tebagi dua bagian yaitu saddel manifold stabil dan saddel manifold
tidak stabil, adapun untuk pengertian sebagai berikut [14]. negatif Y Q 0 .
1. Manifold stabil adalah vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen
2. Manifold tidak stabil adalah vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen positif Y
0 .
12
Contoh 2.5 4
2
Penyelesaian Menggunakan matriks jacobi
Cari persamaan karakteristik 1 Persamaan karakteristiknya 1
Jadi diperoleh Y$
Untuk Y$
3
1 4
`
Y
3 dan Y&
4
det `
Y
Y
2
YZ
1 2 Y
Y&
2
1 2
Y
Y
3 Y
0
0
4
0
6
0
2
0
Kemudian untuk mencari vektor eigen sebagai berikut. 1
4
3
1 2 3 4 1 4 1
0
0
Ambil baris pertama yaitu sebagai berikut. 4
Misal
a maka
0
4
4a jadi vektor eigen yang pertama adalah sebagai berikut. A
a 4a
a
1 4
13
Untuk Y&
2
1
4
2
1 2 2 1 1 4 4
0
Ambil baris pertama yaitu sebagai berikut.
Misal
a maka
0
0
a jadi vektor eigen yang kedua adalah sebagai berikut. A
a a
a
1 1
Jadi setelah dijelaskan diatas maka akan didapat kesimpulan yaitu dimana Y$ yang bersesuaian dengan vektor eigennya yaitu dengan
1 dan Y& 4
1 dimana akan menghasilkan grafik sebagai berikut. 1
3
2 yang bersesuaian
Gambar 2.1 manifold
14
2.11
Metode Adam-Bashfort-Moulton Metode numerik untuk poersamaan diferensial peranannya sangat penting
bagi rekayasawan, karena dalam prakteknnya sebagian besar persamaan diferensial tidak dapat diselesaikan secara analitik. Adapun metode numerik terdapat dua bagian. Pertama, metode satu langkah (one step) yang termasuk metode satu langkah adalah metode euler, metode heun, metode deret taylor dan metode runge kutta. Kedua, metode banyak langkah (multi step) metode tersebut sedikit lebih sukar diprogramkan dengan komputer, tetapi mencapai ketelitian yang baik. Adapun yang termasuk metode banyak langkah adalah metode adams-bashfort-moulton, metode milne-simpson, dan metode hamming [10]. Pada tugas akhir ini similasinya menggunakan Metode adam-bashfortmoulton merupakan bagian dari metode banyak langkah (multi step). Pada metode bc$
adam-bashfort-moulton , perkiraan nilai sebelumnya,
b
,
bd$
,
bd&
biasa mempunyai satu nilai awal, yaitu
membutuhkan beberapa taksira nilai
bd(
,e,
0
0
. Karena persamaaan diferensial , dengan demikian. Metode adam-
bashfort-moulton tidak bisa diterapkan langsung, sebab metode tersebut memerlukan beberapa nilai awal. Inilah kelemahan metode adam-bashfort-moulton. Adapun untuk memperoleh beberapa nilai awal tersebut maka akan diketahui dari metode satu langkah (one step) yaitu dari metode euler, metode runge-kutta, atau metode deret taylor. Metode adam-bashfort-moulton mempunyai predictor-corrector adapun yang dimaksud predictor adalah menaksir
1
dari
yang dimaksud corrector adalah memperbaiki nilai
,
1
1,
2 ,e , bd(
sedangkan
dari predictor.
Metode adam-bashfort-moulton orde 3 sebagai berikut. Predictor:
Corrector:
f
1 1
g h23C 12
g h5C 12
16C 1
18C
1
C
5C
1i
2i
15
Metode adam-bashfort-moulton orde 4 sebagai berikut. Predictor:
Corrector:
f
g h 24
1
g hC 24
1
9C
3
5C
2
37C 1
2
19C
59C
9C
1
1i
55C i
Suatu metode numerik memiliki orde #, dimana # adalah bilangan integer
positif. secara umun, semakin besar ordenya maka metodenya menjadi semakin akurat [4]. Contoh 2.6 Berikut ini persamaaan diferensial biasa akan diselesaikan dengan metode adam -bashfort-moulton orde 3 dengan menggunakan pendekatan atau mengetahui beberapa nilai awal menggunakan metode euler, sebagai berikut.
K
K
$
&
CK C$
C&
dan
0
0j
K
K
0,02 j
0,04 j
0
1
0,02
0,04
$
&
1
1
0
1
K
$
1
g
0,02
gC
,
gC
1,0408
1,0200
1,0408
,
1
1
0,02 0
1
0,02 0,02
1,0200
1,0200
1,0400
1,0808
16
Predictor:
f
3
Untuk CW Corrector:
3
g h23C 12
16C
1,0408
0,02 23 1,0808 12
1,0628
0,06
1,0408
0,02 24,8584 12
g h5C 12
1,0408 1,0408
1
1,1228
18C
0,02 h5 1,1228 12 0,02 5,614 12
5C
1
16 1,0400
16,64
C
2i
5
1,0628
1i
18 1,0808
19,4544
5 1
1,0400
1,0400 i 1,0808
17
BAB III ANALISIS MODEL MANGSA PEMANGSA DI WILAYAH YANG DILINDUNGI DENGAN KASUS PEMANGSA SEBAGIAN TERGANTUNG PADA MANGSA
skripsi ini membahas tentang model matematika dalam bidang biologi yaitu makhluk hidup di bumi ini terdiri dari bermacam-macam spesies yang membentuk populasi dan hidup bersama. Makhluk hidup selalu bergantung kepada makhluk hidup yang lain pada suatu wilayah yang dilindungi. Tiap individu akan selalu berhubungan dengan individu lain yang sejenis atau lain jenis, baik individu dalam satu populasi atau individu-individu dari populasi lain. Ada beberapa jenis hubungan yang dapat terjadi antar spesies. Salah satu interaksi tersebut adalah predasi, yaitu hubungan antara mangsa (prey) dan pemangsa (predator) [6]. Adapun pada model mangsa pemangsa ini mempertimbangkan unsur-unsur yang berpengaruh terhadap spesies mangsa, spesies pemangsa ataupun pada wilayahnya. pada kasus pemangsa sebagian tergatung pada mangsa di wilayah yang dilindungi adalah sebagai berikut:
3.1
Unsur-Unsur yang Berpengaruh terhadap Model Sebelum terbentuknya suatu model, ada beberapa unsur-unsur yang
berpengaruh terhadap model tersebut. Dalam skripsi ini penulis membagi mangsa kedalam dua wilayah yaitu: kepadatan mangsa pada wilayah bebas yang disimbolkan dengan
, kepadatan mangsa pada wilayah dilindungi yang disimbolkan
serta kepadatan spesies pemangsa pada waktu
0 yang disimbolkan
.
,
18
Kepadatan spesies mangsa pada wilayah bebas Mangsa pada wilayah bebas adalah mangsa dan pemangsa dapat bergerak bebas pada wilayah tersebut. Adapun yang mempengaruhi laju pertumbuhan kepadatan spesies mangsa pada wilayah bebas persatuan waktu adalah sebagai berikut : 1. Laju pertumbuhan rata-rata mangsa pada wilayah bebas. 2. Adanya carrying capacity. 3. Keluarnya spesies mangsa dari wilayah bebas pada wilayah yang dilindungi. 4. Masuknya spesies mangsa dari wilayah yang dilindungi pada wilayah bebas. 5. Menurunnya mangsa oleh pemangsa. Dimana Laju pertumbuhan rata-rata dari pada wilayah bebas, adanya carrying capacity, keluar spesies mangsa dari wilayah bebas pada wilayah yang dilindungi, masuknya spesies mangsa dari wilayah yang dilindungi pada wilayah bebas, menurunnya mangsa oleh pemangsa adalah konstan. Kepadatan spesies mangsa pada wilayah yang dilindungi Mangsa pada wilayah yang dilindungi adalah dimana mangsa dan pemangsanya tidak dapat hidup bersama pada wilayah tersebut. Adapaun hal-hal yang dapat mempengaruhi laju pertumbuhan kepadatan spesies mangsa pada wilayah yang dilindungi adalah sebagai berikut : 1. Laju pertumbuhan rata-rata mangsa pada wilayah yang dilindungi. 2. Adanya carrying capacity. 3. Masuknya spesies mangsa dari wilayah bebas pada wilayah yang dilindungi. 4. keluarnya spesies mangsa dari wilayah yang dilindungi pada wilayah bebas.
19
0
kepadatan spesies pemangsa pada waktu
0 adalah sebagai berikut :
Adapaun hal-hal yang dapat mempengaruhi laju pertumbuhan kepadatan spesies pemangsa pada waktu
1. rata-rata pertumbuhan pemangsa. 2. kematian pemangsa.
3.2
Model Matematika Mangsa Pemangsa Dinamika populasi mangsa pemangsa dapat dimodelkan sebagai berikut
dengan mengasumsikan kepadatan spesies mangsa di wilayah bebas spesies mangsa di wilayah yang dilindungi
, kepadatan
, kepadatan spesies pemangsa (z).
seperti yang terlihat pada gambar 3.1. km
K nm op
kl
L
M
Gambar 3.1Dinamik Populasi Mangsa Pemangsa.
20
Berdasarkan bagan di atas maka akan diperoleh model matematika mangsa pemangsa terstruktur dapat dinyatakan sebagai berikut: 1
2
Dengan
3
a
R
1
1
1
q
s
t
r$
r1
2
r&
$
r2
3.1
Kepadatan spesies mangsa di wilayah bebas. Kepadatan spesies mangsa di wilayah yang dilindungi. r1
Kepadatan spesies pemangsa pada waktu
0.
Angka perpindahan koefisien spesies mangsa dari wilayah bebas ke wilayah
r2
yang dilindungi.
a
Koefisien laju pertumbuhan intrinsik spesies mangsa pada wilayah bebas.
s
Carrying capacity dari spesies mangsa di wilayah bebas.
q
t
$
2
Angka perpindahan koefisien spesies mangsa dari wilayah yang dilindungi ke wilayah bebas.
Koefisien laju pertumbuhan intrinsik spesies mangsa pada wilayah yang dilindungi.
Carrying capacity dari spesies mangsa di wilayah yang dilindungi. Carrying capacity dari spesies pemangsa. Angka penurunan spesies mangsa yang diakibatkan spesies pemangsa. Tingkat pertumbuhan spesies pemangsa akibat interaksi dengan spesies mangsa.
21
3.3
Titik Ekuilibrium Untuk memcari titik ekuilibrium maka ada tahapan-tahapannya dan salah satu
tahapannya yaitu dengan men-nol kan ruas kiri sistem (1), (2), (3) pada persamaan (3.1). Maka akan didapat persamaan sebagai berikut: 1
a
1
R
r$
q
r$
s
1
t
r&
r&
&
0
0
0
$
3.5
3.6
3.7
Adapun untuk memperoleh titik ekuilibrium ini diperoleh satu persatu kemudian ada yang disubstitusikan pada persamaan-persamaan yang berikutnya. Dengan tahapan-tahapan sebagai berikut: R
Maka didapat
0
1
R 1
t
0
&
t
0
&
3.8
atau
R 1
u
t
2
2
thR
htR
R t
R 1
R 2
R t hR R
2
2
t
&
t
0
R
t
R
i
i 2
Dapat ditulis kembali bahwa
i
0 atau
t R
R
&
.
3.9
22
Kemudian tahapan berikutnya menyederhanakan persamaan (3.6). a
1
a 1
s
a 1
r$
r&
r&
s s
r$
a 1
s
r&
r$
r&
0
r$
0 3.10
Langkah selanjutnya substitusikan persamaan (3.8) dan persamaan (3.10) pada persamaan (3.5).
1
q
1
v Maka didapatkan atau
1
1
q
-
x
r&
r$
r&
r$
q
1
r$
q
r$
r&
r$
r&
0
a 1 a 1
r&
a 1 yz
{ $d
| }
0
$
r$
s
r$
dy~
r&
s
r$ s
0
r&
0
$
r&
0 w
0
0
3.11
Kemudian substitusikan persamaan (3.11) pada persamaan (3.9) dan persamaan t hR R t hR R t R R
(3.10). dengan tahapan sebagai berikut:
t
2 2
i
0 i 3.12
23
kemudian a 1 a 1
0
r$
3.10
r&
s r$ 0
r&
s
Jadi didapatkan titik ekuilibrium 0K
, ,
0,0,0 dan 0$
, ,
3.13
0,0, t .
Langkah Selanjutnya untuk mencari titik ekuilibrium yang lainnnya yaitu
mensubstitusikan persamaan (3.8) pada persamaan (3.5) dengan tahapan sebagai berikut:
1
1
r$
q 2
q
2
q
2
qr&
q
r$
r$ r&
2 1 • r& q
r$
r$ r&
2 1 • r& q
•
r& r&
r&
r$ € r$ €
$
0
$
0
0
0
3.14
Untuk mengetahui • positif maka akan menggunakan ketaksamaan sebagai berikut: 2
q
‚
q
r$
r$ ƒ
0
0
24
1 q
‚
q
q
r$
0
0
r$
1
r$
q
q
r$
q
•
r$ ƒ
r$
3.15
Jadi dari hasil (3.15), (3.14) dan (3.8) maka diperoleh titik ekuilibrium 0& •, •, 0 .
Adapun pada titik ekuilibrium 0& ketika persamaan (3.14) disubstitusikan
pada persamaan (3.6) maka akan menghasilkan suatu polinom yang pangkat tertingginya tiga dengan tahapan-tahapan sebagai berikut: a
r$
& 1 r& ‚ • r& q
r$
r& ‚
r$
r& & ‚ qr&
&
qr&
r$
& 1 a … † r& q
r&
&
a …qr &
r& r&
a & V qr& & s
r$
€ƒ
s
r$ ƒ r& r&
r& r$ ƒ r&
1
a & & r& & s
r$
E „
r&
r&
a
a
& 1 a‚ • r& q
r$
&
& r$ ˆ … r& qr& s
a r$ & r& & s
&
&
‡ˆ
a ‚ qr&
a & ‚ qr&
s
a r&
r&
r$
€ƒ
r$ ƒ r&
r&
ar$ ƒ r&
a r$ V qr& & s
0
r$ r& ˆ
a & W q & r& & s
a r$ & r& & s
a & V qr& & s
ar$ & & r& & s
a r$ V qr& & s
25
r$
r& & • qr&
r$
r& & qr&
r$
r& qr&
0
0
a
2 3
a
2 3
sq2 r2 2
sq r2 2 2
r& r& r$ a & a ar$ a & W a & V r& r& qr& r& r& q & r& & s qr& & s a & & a r$ & a r$ V a r$ & ar$ & & 1 € r& & s r& & s qr& & s r& & s r& & s
r& r&
r& r&
r& r$ r&
a & qr&
a & V qr& & s r& r$ r& a r$ r& & s
2
2a
a & & r& & s
a r& a r$ r& & s
a a ar$ qr& r& r& a r$ & a r$ qr& & s r& & s
ar$ a & W a & V r& q & r& & s qr& & s V & a r$ a r$ ar$ & qr& & s r& & s r& & s
&
a & V q & r& & s ar$ & r& & s
a 2 2 a r1 2 a 2 2 sqr2 2 sqr2 2 sr2 2 r2 ar1 r2 r1 r1 r2 r2 r2 r1
sqr2
2
2
a
r1 sr22
a r$ V qr& & s
2
2
a & & qr& & s
a r1 sr2 2
a r2 qr2
a r$ & qr& & s
ar1 2 sr2 2
a & V qr& & s
a r$ V qr& & s
&
a & & qr& & s
a qr2
r2 qr2
r1 a r2
r2
a & r& & s
a r2
r1
26
R Dengan
R S
T
S
V
T
&
a & sq & r& & 2a
a
sqr& r$
0
&
sr&&
r$
&
r$ a r&
3.16
a r& qr&
r&
r$
Perhatikan bahwa persamaan (3.16) mempunyai solusi unik positif untuk memenuhi pertidaksamaan sebagai berikut: S R
T R
2a a a a
R
2a
…
sqr& a & sq & r& & r$
sqr& & r$
sr&&
r$
sr&
…
&
&
ˆ
a r& qr& a
a
q
q
r$ a r& r& a & sq & r& &
jika
0
0
a & sq & r& &
r$
sr&
&
r$
&
f
r&
r&
3.17 0 0 r$ ˆ
0
3.18
27
r$ a r&
r&
r$ a
r&
r$ a r&
r$ a
r$
r&
r$
0
r$ r&
r& Q r$ r&
3.19
Selanjutnya mensubstitusikan persamaan (3.9) pada persamaan (3.5). Dengan tahapan-tahapanya sebagai berikut: 1
1
q
q
r$ r$
&
q
&
q
&
&
&
r& r&
r&
r&
r& q q r& q
r& q
r2 q
$
r$
r$
r$
r$
r$
r$ q
0 $
$ $ $
$
$
q
r1 q
1
q
r$ q
$
q…
r$ q
r$ q
$
…
q
q
q r& q
$
Rt
qRt
q
2
q
&
&
R r& q R
$
t &
r& q
ˆ
q
&t
q ˆ
&
q
&
28
r$ qR
$
qRt
$
r$ qR
$
qRt
$
1 r$ qR • r& 1 • r&
&
1 • r&
&
R R
qR $
& 1 • r& q
f
Untuk mengetahui berikut:
‚
‚
q
‰‚ 1
q
q
‰‚
q
&
&
R
R
q
q
&
q
&t
qR
&
$
ƒ
&
q
qR
qR
qR
qR
&t
qR r$
r$
&
1 2t
R
qR
r& qR
&t
&t
ˆ
&
&t
q
qR
$ &t
1 •‚ r2 q
r1
2
&t
qR
r$ qR
r$ qR qR
r$ qR $
$t
1t
qR
$ $ $
t€ ‡
€
R
R
&
R
qRt
qRt
qRt
€ €
€
€
3.20
positif maka akan menggunakan pertidaksamaan sebagai ƒ
h
2
1 2t
R
ƒ
1 2t
1 2t
R
$
1 †… r& q
1 2t
R
&
$
& R 1 • r& qR
f
&
$
&t
R r& q
qRt
$
q
&
R
ƒ
ƒ
h
h
r1
h
r1
r1
1 ti
r1
1 tiŠ
1 ti
0
1 tiŠ
h
0
0
r1
1
1 ti
h
r1
1 ti
29
‚
1 2t
q
ƒ
R
r1
h
1 ti
3.21 f
Kemudian dari persamaan (3.21) akan didapatkan berikut:
‚
1 2t
ƒ
R
q
h
‚q
h
h R
h
f
ekuilibrium 0 f
r1
h
r1 r1
1 ti
1 ti
1 2t
r1
h R
adapun tahapannya sebagai
R
ƒ
1 tiqR
1 2 tqi
1 tiqR
3.22
1 2 tqi
Jadi dari hasil persamaan (3.22), (3.20) dan (3.9) maka diperoleh titik f
,
f
,
f
.
Selanjutnya substitusikan persamaan (3.20) pada persamaan (3.6) akan tetapi
persamaan (3.6) akan disederhankan dengan cara perpindahan ruas kiri pada ruas kanan dengan tahapan-tahapan sebagai berikut: a
1
r1
s
r2
r$
a
r&
1
s
0
a 2 3.23 s Setelah terbentuknya suatu persamaan (3.23) maka akan disubstitusikan persamaan r1
r2
a
(3.20) pada persamaan (3.23) dengan tahapan sebagai berikut:
30
r$
r1
r&
1 ‰… r& q
r2 2 q r2
$ &t
R
1 a … †… r& q 1 a …r †… q &
ˆ
1 2 tr2
r2 R
&
$ &t
R
$ &t 2
R
r2 r2
ˆ ˆ
r$ & &
s
r2 r1 r2
$t
Š
r$ r$
r2
$t $t
1t
‡ˆ
&
‡ˆ
a 2 a 1 2t q r2 R r2 & V a a r1 V q r&& s qr&& s
2
a
r2 r2 4 a 1t a 1 2t a r1 a & & r2 r2 q r& s qsRr&& & & a t 1 V a 1 2 t 4 a 1 2 t2 4 a 1 2t V q r&& s qsRr&& sR& r&& sRr&& & a 1 2 tr1 V a 1 2 t2 V a & V a 1 2t V a & & sRr&& sRr&& sqr&& sRr&& sr&& & V r1 a & r1 a V r1 a & r1 & a & 1 ta 1 2 t r1 a sr&& sr&& qsr&& sr&& R sr&& sr&& & & & a 1 t & & a 1 r1 t & a 1 t & a 1 2 t & V 1 r1 ta sr&& sr&& sr&& sr&& sr&& a
1t
qsr&&
& 4
V
31
r1
‹
r2 2 q r2
1 2 tr2
r2 R
a r1
r2
a t a
1
a
V
qr&& s
1 2 tr1
sRr&&
r1 a & sr&& 1 r1 ta sr&& r1
r2 2 q r2
a
1t
r2
1t
V
qsr&&
1 2 tr2
&
€
a
V
a
1
q r&& s
1 2 tr1
sRr&&
r1 a & sr&& 1 r1 ta sr&& a
1t
qsr&&
V
&
qsRr&&
a
2
V
1 2t
a
sr&&
r2 R a 1t a r1 r2 r2 a t
a & 4 q & r&& s
1 ta
1
r2 r1 r2
r2 r2
2
1
1
&
&
V
sr&&
1
2 V 2t
r1 a V qsr&&
&
a
a q & r&& s & 4
1
&
&
&
4
a
sRr&& r1 a V qsr&&
t&
sr&&
&
a
r2
qsRr&&
1
2
&
&
1t
r2
1 2t
qsR r&&
t2 sR& r&&
&
a
a 2 q r2
a & V q r&& s a
4
1 2t
R r2
a r1 V q r&& s
1 2t
sRr&&
a
2
r2
V
a 1 2t V a & & a & V sqr&& sRr&& sr&& V r1 a & r1 & a & 1 2 t r1 a sr&& R sr&& sr&&
sr&&
1
4
t2 sR& r&&
&
1 r1 t
a
2 V 2t
1t
1 2t
r2
r2 r1 r2
qsRr&&
1 ta
a
t&
1 2t
a
a
sRr&&
sr&&
r2 r2
a
&
4
a
r2
2
&
a
4
4
1t
sr&&
a
&
sr&&
s r&& R
&
a
2t
&
sr&&
& V
a 2 a 1 2t 2 q r2 R r2 & V a a r1 V q r&& s q r&& s a
1 2t
sRr&&
a 1 2t a & V & sq r& sRr&& V r1 a 1 2 t r1 a
1 r1 t
1
1t
sr&&
&
V
sr&& a
V
&
1
a &
a
r2
& &
sr&&
r1 & a & sr&& 2t
sr&&
& V
32
r2 q r2
r1
r1
r1
a & V q & r&& s
a
&‚
s r& q
1 2 tr2
a
r2 1 t a a 1 2t a a r1 r2 R r2 q r2 R r2 r2 r2 V & V & & & a 1t a a 1 2t a t 1 & a a r1 r2 q & r&& s qsRr&& q r&& s qr&& s qr&& s & & 2 a 1 2t 3 a 1 2 t 3 a 1 2 t & a 1 2 tr1 & qsRr&& sR& r&& sRr&& sRr&& & 2 a 1 2t & a & & a 1 2t & a & r1 a 1 ta sRr&& sqr&& sRr&& sr&& sr&& sr&& & & a 1 t& r1 a & r1 a r1 & a 1 2 t r1 a 1 r1 ta qsr&& sr&& R sr&& sr&& sr&& sr&& & a 1 r1 t a 1t a 1 2 t& & a 1 t & sr&& sr&& sr&& qsr&&
1 2t
r2 r2
r2 r1 r2
t2 3 a r1 & a t 1 & sRr&& qsRr&& sR& r&& qr&& s qr&& s & a 1 2 t & a 1 2 tr1 & a 1 2 t2 & a & & a & & q r&& s sRr&& sRr&& sRr&& sqr&& & & a 1 2t & a 1 2 t& & a 1 t & r1 a & 1 2 t r1 a sRr&& qsr&& sr&& R sr&& qsr&& a 1 2t r2 a a & r1 a 1 2 tr2 1 ta & & q r2 r2 R q r2 R r2 s r& s r& sr&& & a 1 r1 t a 1 t& a 1t r1 a r1 & a r2 1 r1 ta & & & & & & r2 s r& s r& s r& s r& s r& s r& r2 r1 r2 1 t a a r1 a 1 t r2 r2 r2 r2 r2
1 2t
ƒ
R a • &h s r& a r2
r2
&
h
a
V
V
r1
1 2t
2a ‚ sr&& q
r1
1 ti
&
1 ti
3
a
1
1 2t
&
ƒh R a r2
r2
2
‚
&
q
r1
1 ti
1 2t
R
ƒ€
&
33
0
a
‚ sr&& q
1 2t
R
ƒ
&
a • &h s r& a r2
r2
V
2a ‚ sr&& q
r1
1 ti
r1
h
&
1 2t
R a
r2
‚
r2
r1
1 ti
ƒh
r1
q
1 ti
1 2t
R
&
ƒ€
Maka didapat persamaan polinom yang pangkat tertingginya tiga. Sebagai berikut: R
dengan R
S
T
a
S
V
1 2t
&‚
s r& q
2a ‚ sr&& q
a
h sr&& a
r2
r2
h
T
&
R
0
ƒ
&
1 2t
r1
r1
3.24
R
ƒh
a
1 ti
&
r1
r2
r1
1 ti
r2
1 ti
‚
1 2t
q
R
ƒ
perhatikan bahwa persamaan (3.24) mempunyai akar real positif yaitu
f
jika
memenuhi kondisi berikut: S R
2a … Ž sr&& q • a Œ
2a … sr&& q
r$
$ &t
R
… sr&& q
$ &t
R
$t
ˆ
0
ˆ
$ &t
R
r$
r$ &
ˆ
$t
$t
0
‘ • •
0
3.25
34
T R
a sr&&
r$
a sr&&
r$
$t
a … sr&& q $t
a r& … r& r$ q
sr& a
sr& a
r& …
q
q
a r& r$ Ž r& • a & …q sr & Œ
R
a
a
a
a
r&
r&
r&
r&
r&
r&
$ &t
r$ r$
r$
r$
R
R
a
&
$ &t
r& …
$ &t
a r& … r& r$ q
&
r&
ˆ
$ &t
R
$ &t
R
$t
$ &t
R
$t $t
$t
$t
r&
&
ˆ
…
a sr&&
a
r$ ‘ • •
r$
r$
R
r$
r$
r$
ˆ
0
ˆ
$t
$t
0 &
$t &
&
3.26
0
0
r$ r&
Q r$ r&
$ &t
q
ˆQa
&
ˆ
ˆ
R
3.27
35
3.4
Analisis Kestabilan Titik Ekuilibrium Pada analisis titik ekuilibrium model mangsa pemangsa di wilayah yang
dilindungi dengan kasus pemangsa sebagian tergantung pada mangsa dengan r$
0
a
r&
0,
menggunakan beberapa syarat adapun untuk salah satu syarat tersebut adalah dan
titik
ekuilibrium
yang
dianalisis
yaitu
0K , 0$ , 0& , dan 0 f . Adapun tahapan-tahapan untuk analisis kestabilan titik ekuilibrium
sebagai berikut:
3.4.1
Titik Ekuilibrium ’“ “, “, “
(3.1) maka akan menggunakan matriks jacobi yang berordo 3 X 3 kemudian matriks Pelinearan menggunakan matriks jacobi. Karena sesuai dengan persamaan
jacobi akan disimbolkan dengan .
Persamaan (3.1) beserta penyederhanaannya. 2
a
R 7
Ž 7 • •7 … • • 7 • 7 Œ 7
q
a 2 s
R 2 t 7
7
r1
r2
r1
r2
2
7
7
ˆ 7…
ˆ 7…
7
7
7
7
1
7
7
‘ • ˆ• • • • • 36
2 q
Ž • •
r$
$
r$
Œ
kemudian substitusikan 0K 0,0,0 r$ ‰ r$ 0
K,K,K
a
2a s
a
&
sebagai berikut:
r&
r& r& 0
$
r&
0
R
0
2R t
&
‘ • • •
3.28
pada persamaan (3.28). maka akan diperoleh
0 0Š R
3.29
Setelah mendapatkan (3.29) maka akan dicari persamaan karakteristik dengan tahapan sebagai berikut: det
YZ
r$
‰ r$ 0
r$
‰ r$ 0 ‰
0
r& a r& 0
r$ r$ 0
r& a r& 0 Y
0 0Š R
a
0 0Š R
1 Y ‰0 0
0 0 1 0Š 0 1
Y
0 0 Š R Y
Y 0 ‰0 Y 0 0
r& r& 0
0 0Š Y
0 0 0
3.30
Maka dari persamaan (3.30) akan diperoleh persamaan karakteristik, begitu juga dari persamaan karakteristik akan diperoleh suatu nilai eigen, dengan tahapan sebagai berikut:
r$
R
Y a Y H
r&
r$
Y R
Y a
Y
r&
r$ r& R Y
Y
r$ r& I
0
0
3.31
37
Pada persamaan (3.31) sudah terlihat bahwa terdapat satu nilai eigen yaitu Y$
R,
kemudian nilai eigen yang berikutnya akan diperoleh dari suatu polinom yang pangkat tertingginya dua, dengan tahapan sebagai berikut:
Y&
r$ a a
r&
h
r$
r$ Y
r& Y
Yih a a
r$ Y
r&
Yi
r$ a
r&
r& Y
Y&
r$ r&
r$ r&
r$ r&
0
0
0
3.32
Setelah memperoleh persamaan (3.32) maka akan dicek kestabilan titik ekuilibrium dengan menggunakan syarat yang sudah ditentukan adapaun syarat r$ a
tersebut dapat ditulis kembali yaitu a
r&
r& Q r$ ,
r$
0
dan
0 maka akan diperoleh suatu kestabilan apakah titik ekuilibrium tersebut
stabil, tidak stabil, atau saddel. Dengan tahapan sebagai berikut: Y&
YV
Y& . YV
h
r$
r$
r$ a
a
r$ a
r&
a
r&
r&
r& i 0
r$ r& Q 0 r$ r&
0
3.33
3.34
Dapat dilihat pada persamaan (3.33) ketika penjumlahan dua buah Y bertanda positif, begitu juga pada persamaan (3.34) ketika perkalian dua buah Y bertanda positif. Oleh karena itu dapat ditulis bahwa (Y$ , Y& , YV
0 , dan apabila semua Y-nya bernilai
positif maka dapat disimpulkan bahwa 0K 0, 0, 0 tidak stabil. 3.4.2
Titik Ekuilibrium ’m “, “, ”
Adapun untuk analisis kestabilan titik ekuilibrium 0$ tahapan-tahapannya
sama seperti 0K . Yaitu dengan pelinearan menggunakan matriks jacobi berordo 3 X 3 disimbolkan dengan
yang disesuaikan dengan persamaan (3.1) dan dapat
diperhatikan pada tahapan sebagai berikut: 38
Persamaan (3.1) beserta penyederhanaannya. 1
a
1
R
1
a
7
7
Ž 7 • •7 … • • 7 • 7 Œ 7 Ž • •
R
7
s
7
7
7
2 q
r$
r$
7
$
&
&
R & t
ˆ 7…
7
s
t
ˆ 7… 7
Œ
7
&
q
a
q
7
r1
r2
r$
r&
r$
r&
r1
‘ • ˆ• • • •
&
2
r2
$
1
•
a
r&
2a s
0
r&
$
R
0
2R t
&
‘ • • •
3.35
kemudian substitusikan 0$ 0,0, t pada persamaan (3.35). maka akan diperoleh matriks sebagai berikut: K,K,•
‰
r$ r$ 0
$t
r& a r& 0
0 0Š R
3.36
Setelah mendapatkan (3.36) maka akan dicari persamaan karakteristik dengan tahapan sebagai berikut:
39
\
‰
YZ
0
r$ r& 0 1 $t Š Y ‰ 0 r$ a r& 0 0 0 0 R r$ r& 0 Y $t ‰ r$ a r& 0 Š ‰0 0 0 0 R r$ Y r& $t ‰ r$ a r& Y 0 0
0 0 1 0Š 0 1
0
0 0 Y 0Š 0 Y
0
0 0 Š R Y
0
3.37
Maka dari persamaan (3.37) akan diperoleh persamaan karakteristik, begitu juga dari persamaan karakteristik akan diperoleh suatu nilai eigen, dengan tahapan sebagai berikut: h
r$
R
$t
Y –h
Yih a
r$
r&
$t
Yi
R
Yih a
Y
r&
r$ r&
Yi
R
Y
r$ r& —
0
0
Pada persamaan (3.38) sudah terlihat bahwa terdapat satu nilai eigen yaitu Y$
3.38
R,
kemudian nilai eigen yang berikutnya akan diperoleh dari suatu polinom yang pangkat tertingginya dua, dengan tahapan sebagai berikut:
Y&
r$
a
$t
r& Y
a
r&
h
r$
r$
$t
r$
$t
Y
$t
Y
Yih a
r$
a
r&
r& Y
$t
a
Yi
Y&
r&
r$ r&
0
r$ r&
0
r$ r&
0
3.39
Setelah memperoleh persamaan (3.39) maka akan dicek kestabilan titik r$
$t
0, a
r&
r$
$t
Q r$ r&,
r$
0
ekuilibrium dengan menggunakan syarat-syarat yang sudah ditentukan yaitu sebagai berikut a
r&
dan
0 maka akan diperoleh suatu kestabilan apakah titik ekuilibrium tersebut
stabil, tidak stabil, atau saddel. Dengan tahapan sebagai berikut:
40
Y&
YV
Y& . YV
a
h
a
r&
r$
r$
r& $t
r$
r$
$t
a
$t
a
r&
r&
$t
0
i
r$ r& Q 0 r$ r&
3.40 0
3.41
Dapat dilihat pada persamaan (3.40) ketika penjumlahan dua buah Y bertanda
positif, begitu juga pada persamaan (3.41) ketika perkalian dua buah Y bertanda positif. Oleh karena itu dapat ditulis bahwa (Y$ Q 0 dan disimpulkan bahwa titik ekuilibrium 0$ 0, 0, t
Y& , YV
0 jadi dapat
saddel akan tetapi pada titik
ekuilibrium 0$ juga menggunakan definisi manifold. Menurut definisi manifold
bahwa ada manifold stabil 1-dimensi pada sumbu
dapat dilihat dari persamaan
terdapat manifold tidak stabil 2-dimensi pada sumbu
begitu juga dapat dilihat dari
(3.37) ditunjukkan adanya suatu Y bernilai negatif yang terdapat pada sumbu , dan
persamaan (3.37) ditunjukkan adanya suatu Y bernilai positif yang terdapat pada sumbu
3.4.3
.
˜, ™, ˜“ Titik Ekuilibrium ’l o
Adapun untuk analisis kestabilan titik ekuilibrium 0& tahapan-tahapannya
sama seperti 0K dan 0$ . Yaitu dengan pelinearan menggunakan matriks jacobi
berordo 3 X 3 disimbolkan dengan
yang disesuaikan dengan persamaan (3.1) dan
dapat diperhatikan pada tahapan sebagai berikut:
41
Persamaan (3.1) beserta penyederhanaannya. 1 a
1
R
1
a
7
Ž 7 • •7 … • • 7 • 7 Œ 7 Ž • • Œ
7
R
7
7
&
q
a
s
7
7
7
2 q
r$
r$ &
7
$
&
R & t
ˆ 7…
7
s
t
ˆ 7… 7
q
7
r1
r2
r$
r&
r$
r&
r1
‘ • ˆ• • • •
&
2
r2
$
1
•
a
r&
2a s
0
r&
$
R
0
2R t
&
‘ • • •
3.42
kemudian substitusikan 0& •, ˜, 0 pada persamaan (3.42). maka akan diperoleh
matriks sebagai berikut:
42
Ž •
˜K -•,E,
2 • q
r$
r$ 0
Œ
r&
a
2a • s
r&
0
$•
0
R
‘ •
3.43
& ••
Setelah mendapatkan (3.43) maka akan dicari persamaan karakteristik dengan tahapan sebagai berikut: \
YZ
0
2 • q
r$
Ž •
r$ 0
Œ
r$
Ž •
r$
Œ
Ž • Œ
0
r$
2 • q
a
2 • q
r$ 0
r&
r&
0
a
Y
r&
r&
0
2a • s 2a • s
a
r&
$•
0
R
& ••
$•
0
R
r&
2a • s 0
1 0 Y ‰0 1 0 0
‘ • ‘ •
& ••
Y
0 0Š 1
0
Y 0 0 ‰0 Y 0 Š 0 0 Y
0
‘ •
0
R
$•
0
&•
Y•
3.44
Maka dari persamaan (3.44) akan diperoleh persamaan karakteristik, begitu juga dari persamaan karakteristik akan diperoleh suatu nilai eigen, dengan tahapan sebagai berikut: …
R
Y$
r$
R
&•
2 • q
Y †…
Yˆ …a
r$
r&
2 • q
2a • s
Yˆ R
Yˆ …a
r&
&•
2a • s
Y
Yˆ
r$ r& R r$ r& ‡
0
&•
Y
0
3.45
Pada persamaan (3.45) sudah terlihat bahwa terdapat satu nilai eigen yaitu &•
kemudian nilai eigen yang berikutnya akan diperoleh dari suatu
polinom yang pangkat tertingginya dua, dengan tahapan sebagai berikut:
43
a
…
2 a•
r1
s
2 • q
r$
2 • q
Y
r1 a
Y
Ya
Yˆ …a r1 r2
r&
2r1 a •
2a •
Yr2
2a • s
s
Y
s
Y2
Yˆ
r1 Y
r1 r2
r$ r&
2a • q
0
0
2r2 •
4a • •
q
qs
3.46
Setelah memperoleh persamaan (3.46) maka akan dicek kestabilan titik ekuilibrium dengan menggunakan syarat-syarat yang sudah ditentukan yaitu sebagai a
berikut
r&
r$ Q r$ r&,
r$ Q 0
a
dan
r& Q 0 maka akan
diperoleh suatu kestabilan apakah titik ekuilibrium tersebut stabil, tidak stabil, atau saddel. Dengan tahapan sebagai berikut: Y&
2a • … s
YV
Y& . YV
a
a
2a • s
r2
r$
r$ a
r&
r2
a
r1
2 a• s
r$ a
r&
r&
2 • q
a
2 • q
r$
2a • s
r$ a
r$ r&
r$ r&
r1
2 • q
ˆ Q0
3.47
2r$ a • 2a • 2r& • 4a • • r$ r& s q q qs 2 a • 2r$ a • 2a • 2r& • 4a • • s s q q qs
r$ r&
2a • s
r$
2 • a q
4a • • qs
r&
0
3.48
Dapat dilihat pada persamaan (3.47) ketika penjumlahan dua buah Y bertanda
negatif, begitu juga pada persamaan (3.48) ketika perkalian dua buah Y bertanda negatif. Oleh karena itu dapat ditulis bahwa (Y$
disimpulkan bahwa titik ekuilibrium 0& •, ˜, 0
0 dan
Y& , YV Q 0 jadi dapat
saddel akan tetapi pada titik
ekuilibrium 0& juga menggunakan definisi manifold . Menurut definisi manifold bahwa ada manifold
tidak stabil 1-dimensi pada sumbu
dapat dilihat dari
persamaan (3.44) ditunjukkan adanya suatu Y bernilai positif yang terdapat pada sumbu , dan terdapat manifold stabil 2-dimensi pada sumbu
begitu juga dapat
44
dilihat dari persamaan (3.44) ditunjukkan adanya suatu Y bernilai negatif yang terdapat pada sumbu
3.4.4
.
Untuk Ekuilibrium ’f of , ™f , pf
Pada sub bab ini akan membahas tentang titik ekuilibrium 0 f
f
,
f
,
f
dimana pada titik ekuilibrium ’f ini mencari jenis kestabilannya berbeda dengan sub
bab yang sebelumnya. Pada tiik ekuilibrium ini akan dicari menggunakan metode Lyapunov. Teorema 3.1. Titik ekuilibrium 0 f
f
,
f
,
f
adalah stabil asimtotik.
Untuk mengetahui ’f bersifat stabil asimtotik maka akan dicari menggunakan
metode Lyapunov. Untuk lebih jelas akan dipaparkan dengan pembuktian sebagai berikut. Bukti Misal
f
,
f
š,
f
›
3.49)
Dan akan diberikan fungsi Lyapunov sebagai berikut. A
1 2
&
1 T$ š & 2
1 T& › & 2
3.50
Dimana T$ dan T& konstan positif, adapun untuk mengetahui turunan dari fungsi Lyapunov tersebut negatif maka akan ditunjukan sebagai berikut.
Hal pertama yang harus dilakukan pada pembuktian ini adalah dengan menurunkan persamaan (3.49), kemudian setelah mendapatkan turunan dari persamaan (3.49) maka akan dikalikan dengan persamaan sistem (3.1). Dengan tahapan-tahapan sebagai berikut.
45
AB
T$ š
‚
T& ›
&
q
r$
r&
T& › R
1
t
ƒ
$
a
T$ š ‚a
&
s
&
r$
r& ƒ
3.51 3.52
Kemudian substitusikan persamaan (3.49) pada persamaan (3.52) dengan tahapan sebagai berikut. ‰
f
f
q
T$ š ‰a
T2 › ‰R
‚
f
&
f&
& $
‚a
f f f
f f
2
T$ š
r$ T$ š
‚R T& › f
&
f
q
$
Dari persamaan (3.53)
a
f
f
f & f
›
f
&
T$ š
RT& › &
&
f
s
f
› ‚1
aT$ š
r&
T& › &
š
r$
V
a
$
š t
r$
r&
&
›
T$ š
$
r& T$ š& ˆ
R
T& ›
f&
T& › &
r$
&
r$
$
f
f
2
f
& f
f&
ƒ
š
f
›ˆ
&
r&
f
r&
f
2a f T$ š& s
ašV
2R f T& › & t
R› V
T& › & ˆ
f
š Š
f
› Š
› Š
f
r& š r$
&
f
T$ š
f f
T& ›
3.53
maka akan didapatkan suatu persamaan yang
memenuhi kriteria kestabilan Lyapunov. Dimana syarat fungsi Lyapunov itu dikatakan stabil asimtotik apabila memenuhi teorema 1 dan teorema 2 yang berada
46
pada bab dua yang sudah dipaparkan sebelumnya. Adapun untuk turunan fungsi Lyapunov dapat dilihat pada persamaan berikut. AB
…
2
q
› T&
f
&
r$
f
f
$
$
f
ˆ
2a s
T$ …a
&
Pada teorema ini diasumsikan bahwa T&
œz - f œ~ - f
berada pada bab dua yang akan memenuhi bahwa AB
hanya jika R Q 0
dan
4RT
S&
f
r& ˆ š &
š r&
T$ r$ (3.54)
dan T$
y~ . yz
Teorema 2.2 yang
Q 0 (definit negatif) jika dan
0 apabila terpenuhi maka dikatakan stabil
asimtotik menurut teorema 2.1 pada bab dua. Untuk lebih jelasnya maka dapat dilihat dengan tahapan-tahapan sebagai berikut. R
4RT
S&
4‰
4‚
4‚
2
r$
r$
r1
r1
q
2
f
2
2
q
q
q
f
f
$
$
f
f
Q0
2a s
Š …a
f ƒ ‚a
1 1
f
f ƒ ‚a
r2
2a s
f
f
r& ˆ
2a f ƒ s r2 ƒ
r&
…r2
hr2 2 i
T$ r$
r& r ˆ r$ 1
Jadi syarat yang harus dipenuhi agar 0 f bersifat stabil asimtotik yaitu. r$ Q 0
(i)
r1
(ii) 4
2
q
f
1
f
Setelah terpenuhi bahwa AB 0f
f
,
f
,
f
a
2a f s
r2
hr2 2 i
Q 0 (definit negatif) maka titik ekuilibrium
bersifat stabil asimtotik
•
47
BAB IV SIMULASI MODEL PEMANGSA SEBAGIAN TERGANTUNG PADA MANGSA
Pada bagian ini akan dibahas tentang simulasi model mangsa pemangsa di wilayah yang dilindungi dengan kasus pemangsa sebagian tergantung pada mangsa, kemudian simulasi model mangsa pemangsa ini akan menggunakan metode adam bashfort moulton dan untuk parameter terhadap model tersebut menggunakan data acak. Adapun untuk programnya menggunakan software Matlab R2007b. sistem dinamika model mangsa pemangsa di wilayah yang dilindungi dengan kasus pemangsa sebagian tergantung pada mangsa sebagai berikut.
a
R
1
1
1
q s
t
r$
r$
r&
&
r&
4.1
$
4.2
4.3
Untuk mengetahui suatu pertumbuhan model mangsa pemangsa dengan kasus pemangsa sebagian tergantung pada mangsa maka akan diperlihatkan suatu grafik dari ketiga sistem tersebut. Melakukan simulasi menggunakan metode adam bashfort moulton (ABM) dengan bantuan software matlab yaitu dengan cara mensubstitukan suatu nilai sistem parameter pada persamaan (4.1), (4.2), dan (4.3) kemudian akan diperoleh hubungan dari ketiga sistem tersebut dimana wilayah bebas
kepadatan mangsa pada
, kepadatan mangsa pada wilayah yang dilindungi
kepadatan pemangsa pada waktu
0 yang disimbolkan dengan
, dan
.
48
4.1
Dinamika Populasi Dua Mangsa dan Satu Pemangsa
diberikan nilai parameter sebagai berikut. R
4,
5, a
4.5, q
50, s
60,
Adapun untuk mengetahui suatu grafik dua mangsa satu pemangsa maka akan
t
10,
12,
$
3,
&
7 dan
2, r$
12, dan r&
0.5 adapun untuk g
0.5. nilai awal yang diberikan adalah
0.005. Untuk hasil simulasi dapat
dilihat pada gambar 4.1 yang menunjukan dari populasi dua mangsa satu pemangsa dengan menggunakan dua dimensi.
Gambar 4.1. Dinamika Populasi Dua Mangsa dan Satu Pemangsa Gambar 4.1 untuk menunjukan bahwa adanya laju pertumbuhan populasi pada pemangsa sebagian tergantung pada mangsa dimana model tersebut yang terdiri dari sistem persamaan (4.1) sampai (4.3) bahwa kepadatan spesies mangsa dari wilayah yang dilindungi
, kepadatan spesies mangsa dari wilayah bebas
kepadatan spesies pemangsa
kemudian
dan dapat dilihat pada Tabel 4.1 bahwa kurvanya
akan menuju pada titik ekuilibrium yaitu sebagai berikut:
49
Tabel 4.1. Dinamika Populai Dua Mangsa dan Satu Pemangsa t 0 1 2 3 4 * 457 458 459 460 * 1999 2000
x
y
z
12 11.4355 10.89179 10.17225 9.486375
7 7.841625 8.661528 9.810797 10.92194
0.5 0.5695 0.645367 0.764117 0.896812
0.611781 58.91067 13.79311 0.611781 58.91067 13.79311 0.611781 58.91067 13.79312 0.611781 58.91067 13.79312 0.611782 0.611782
58.91073 58.91073
13.79312 13.79312
Kemudian dari Tabel 4.1 dapat dilihat bahwa dari ketiga sistem tersebut akan menuju kesatu titik. Dimana titik tersebut dimanakan titik ekuilibrium dan akan mengalami kestabilan pada saat
58.91073, dan
mencapai 589 ketika
= 0.611782,
13.79312 ini mendekati pada titik ekuilibrium yang sesuai
dengan teori yang sudah dibahas pada bab sebelumnya adalah C f
f
,
f
,
f
0.611782, 58.91073,13.79312 dimana keadaannya stabil asimtotik. Untuk data
selengkapnya dapat dilihat pada lampiran A-1.
4.2
Dinamika Populasi Mangsa Pemangsa Menggunakan Tiga Dimensi
maka akan diberikan nilai parameter sebagai berikut. R
4,
5, a
4.5, q
50,
Adapun untuk mengetahui suatu grafik dua mangsa satu pemangsa tersebut
s
60, t
10,
$
3,
&
2, r$
0.07, 8, 87, 9 ,
12, dan
r&
0.5. Pada tiga dimensi ini
8, 2.5, 12, 3 dan
1, 13, 6, 20
penulis membedakan nilai awalnya. Dimana nilai awal tersebut memiliki perubahan empat kali yaitu dan g
0.005 Untuk hasil simulasi dapat dilihat pada gambar 4.2 yang menunjukan
dari populasi dua mangsa satu pemangsa dengan menggunakan tiga dimensi.
50
Gambar 4.2. Dinamika Populasi Mangsa Pemangsa menggunakan Tiga Dimensi
Dari Gambar 4.2 sebenarnya sama seperti Gambar 4.1 hanya saja pada kasus ini untuk memperjelas arah kurva ketika memiliki nilai awal yang perbedaan dan nilai awal tersebut mengalami perubahan sebanyak emapat kali ternyata pada gambar tiga dimensi tersebut kurvanya terlihat jelas yaitu menuju kesatu titik. yang mana 13.793122,
58.910726, dan
0.611782 dan titik ekuilibrium tersebut
memenuhi teori yang berada di bab 3 dimana titik ekuilibrium tersebut harus memenuhi syarat
r$ Q 0
dan 4
r$
&b- f x
$
f
a
&{E f „
r&
r& &
adapun
maka
untuk
syarat tersebut terlihat jelas ketika nilai parameternya di inputkan yaitu 938.3354489
0f
f
,
f
,
f
0.25
setelah
syarat
tersebut
=( 0.611782, 58.910726, 13.793122
mencukupi yang
jenis
7 Q 0 dan
kestabilannya
bersifat stabil asimtotik. Untuk data selengkapnya dapat dilihat pada lampiran A-2.
51
4.3
Dinamika Populasi Dari Spesies Pemangsa
diberikan nilai parameter sebagai berikut. R
5,
7, a
1.5, q
45, s
20,
Adapun untuk mengetahui suatu grafik dari ketiga model tersebut maka akan
t
35,
$
2.5, r$
nilai awalnya yaitu
4.2, dan r&
5,
7 dan
1.2 adapun untuk 2 dan g
8.6, 4.1 ,1.7 dan
$
0.005. Untuk hasil simulasi
dapat dilihat pada gambar 4.3 yang menunjukan dari populasi dari spesies pemangsa dengan menggunakan dua dimensi.
Gambar 4.3. Dinamika Populasi Spesies Pemangsa
Kasus Gambar 4.3 ini terlihat bahwa ada hubungan anatara kepadatan spesies mangsa di wilayah bebas pada
dengan kepadatan spesies pemangsa
diamana
terdapat pemangsa yang berinteraksi dengan mangsa pada wilayah
tersebut. Ketika keadaan
mengalami penurunan dikarenkan adanya interaksi
maka secara otomatis kepadatan spesies pemangsa pertumbuhan dan pada
itu sendiri terdapat
maka akan mengakibatkan pertumbuhan
&.
Ketika
akan mengalami &
nya semakin besar
akan semakin tinggi. Dan Gambar 4.3
akan diperjelas oleh Tabel 4.3 sebagai berikut:
52
Table 4.3. Dinamika Populasi Spesies Pemangsa
T 0 1 2 3 4 5 6 7 8 * 1997 1998 1999 2000
z(t) z(t) z(t) beta2=8.6 beta2=4.1 beta2=1.7 2 2 2 2.477143 2.252143 2.132143 3.063818 2.53417 2.272227 4.097431 2.988234 2.488053 5.447343 3.51638 2.722436 7.161776 4.123754 2.975807 9.264306 4.814457 3.248729 11.72471 5.589496 3.54156 14.43654 6.445727 3.854408 42.98024 42.98024 42.98024 42.98024
40.10593 40.10593 40.10593 40.10593
38.38403 38.38403 38.38403 38.38403
Untuk Tabel 4.3 pada saat waktu tertentu kepadatan spesies pemangsa &
saat t=1964 akan mencapai 42.98024 ribu dengan t=1908 akan mencapai 40.10593 ribu dengan akan mencapai 38.38403 ribu dengan
&
8.6, kemudian pada saat
4.1, begitu juga pada saat t=1869
&
1.7. ketika dinamika populasi kepadatan
pemangsa datanya semakin besar maka ada kemungkinan laju pertumbuhan spesies pada kasus ini dibatasi yaitu #
2000. Untuk data selengkapnya dapat dilihat pada
pemangsa tidak akan sama dengan yang didapatkan pada kasus ini, dikarenakan data
lampiran A-3.
4.4
Dinamika Populasi Spesies Mangsa dengan nm ž m dan km ž 1 dan r$
kl r& maka akan
Adapun untuk mengetahui suatu kurva spesies mangsa di wilayah bebas maupun mangsa di wilayah yang dilindungi dengan
diberikan nilai parameter sebagai berikut. R
16,
$
7, a
1.5, q
45, s
20, 53
t
35,
$
1,
&
diberikan adalah
0.001, r$
5,
7 dan
8.5, dan
r&
2.8, 2, 1.2 . nilai awal yang
2 adapun untuk g
0.0005. Untuk hasil
simulasi dapat dilihat pada gambar 4.4 yang menunjukan dinamika populasi mangsa dengan
$
ž 1dan r$
r& menggunakan dua dimensi.
Gambar 4.4. Dinamika Populasi Spesies Mangsa
$
ž 1 dan r$
r&
Pada kasus Gambar 4.4. ini adalah dinamika mangsa yang berada di
wilayah bebas dan mangsa di wilayah yang dilindungi. Kasus ini memiliki r& yang berbeda yaitu (2.8, 2, 1.2) dan
$
ž 1. Ketika r& semakin kecil maka mangsa yang
Pertumbuhan mangsa tersebut bukah hanya di akibatkan oleh r& saja akan tetapi ada berada di wilayah yang dilindungi akan semakin tinggi pertumbuhannya.
faktor lain yaitu
$
ž 1. Dimana pemangsa memiliki kemampuan yang tinggi untuk
berinteraksi dengan mangsa yang berada di wilayah bebas. Jadi keadaaan mangsa di
wilayah bebas akan menurun pertumbuhannya dan mangsa di wilayah yang 1787. akan mencapai 11.999959 ribu dengan
dilindungi akan naik pertumbuhannya. Adapun untuk pertumbuhan mangsa yang di wilayah yang dilindungi pada saat r&
1.2, ketika saat
1508 akan mencapai 7.999650 ribu dengan r&
2, dan
54
1556 akan mencapai 4.999668 ribu dengan r&
kemudian ketika saat
Untuk data selengkapnya dapat dilihat pada lampiran A-4.
Dinamika Populasi Spesies Mangsa dengan nm Q 1 dan km Q kl
4.5
diberikan nilai parameter sebagai berikut. R
16,
7, a
1.5, q
45, s
2.8.
20,
Adapun untuk mengetahui suatu grafik dari spesies mangsa maka akan
t
35,
$
0.001,
diberikan adalah
&
5,
2, r$
7 dan
2.5, dan
r&
10.5, 5, 3 . nilai awal yang
2 adapun untuk g
Q 1 dan r$ Q r& menggunakan dua dimensi.
0.0005. Untuk hasil
simulasi dapat dilihat pada gambar 4.5 yang menunjukan dinamika populasi mangsa dengan
$
Gambar 4.5. Dinamika Populasi Spesies Mangsa
$
Q 1 dan r$ Q r&
Pada kasus Gambar 4.5. ini adalah dinamika mangsa yang berada di wilayah
bebas dan mangsa yang berada di wilayah yang dilindungi. Kasus ini memiliki r& yang berbeda yaitu (10.5, 5, 3) dan
$
Q 1. Ketika r& semakin besar maka mangsa
yang berada di wilayah bebas akan semakin tinggi pertumbuhannya. Dan sebaliknya
keadaan mangsa di wilayah yang dilindungi akan semakin menurun pertumbuhannya.
55
Hal tersebut di akibatkan juga oleh
$
Q 1. Karena pada kasus ini pemangsa memiliki
peran yang kecil untuk berinteraksi dengan mangsa di wilayah bebas. adapun untuk pertumbuhan mangsa di wilayah bebas pada saat ribu dengan r& r& r&
10.5, ketika saat
5, dan kemudian ketika saat
1314 akan mencapai 46.002987
1627 akan mencapai 45.001242 ribu dengan 1470 akan mencapai 42.002752 ribu dengan
3. Untuk data selengkapnya dapat dilihat pada lampiran A-5.
56
BAB V PENUTUP
5.1
Kesimpulan
1.
Model mangsa pemangsa di wilayah yang dilindungi dengan kasus pemangsa sebagian tergantung pada mangsa dapat dibentuk kedalam model matematika sebagai berikut:
a
2.
R
1
1
1
q s
t
r$
r1
2
r&
r2
$
a. 0K 0, 0, 0 jenis kestabilannya adalah tidak stabil.
Untuk jenis kestabilan titik ekuilibrium adalah sebagai berikut: b. 0$ 0, 0, t jenis kestabilannya adalah saddel, dengan manifold stabil 1-dimensi pada sumbu sumbu
dan manifold tidak stabil 2-dimensi pada
.
c. 0& •, ˜, 0 jenis kestabilannya adalah saddel, dengan manifold tidak stabil 1-dimensi pada sumbu sumbu 3.
4.
dan manifold stabil 2-dimensi pada
.
Dari teorema yang dibuktikan menggunakan metode Lyapunov maka
0f
f
,
f
,
f
jenis kestabilannya adalah stabil asimtotik.
Simulasi model pemangsa sebagian tergantung pada mangsa sebagai berikut: dimensi akan menuju pada titik ekuilibrium 0 f
,
,
a. Dinamika populasi dua mangsa dan satu pemangsa menggunakan dua
kestabilannya adalah stabil asimtotik. b.
f
f
f
jenis
Dinamika populasi mangsa pemangsa menggunakan tiga dimensi yang dibedakan nilai awalnya maka lebih jelas bahwa kurvanya
57
menuju pada titik ekuilibrium 0 f yang bersifat stabil asimtotik yaitu 13.793122,
58.910726, dan
0.611782.
c. Dinamika populasi spesies pemangsa ketika pertumbuhan pemangsa akan semakin tinggi. d. Dinamika populasi spesies mangsa dengan
&
semakin besar maka
$
ž 1 dan r$
r& ketika
$
Q 1 dan r$ Q r& ketika
r& semakin kecil maka pertumbuhan mangsa di wilayah yang dilindungi akan semakin tinggi.
e. Dinamika populasi spesies mangsa dengan
r& semakin besar maka pertumbuhan mangsa di wilayah bebas akan semakin tinggi.
5.2
Saran Pada tugas akhir ini mengkaji lebih dalam model mangsa pemangsa di
wilayah yang dilindungi dengan kasus pemangsa sebagian tergantung pada mangsa. Adapun untuk kajian selanjutnya maka saran dari penulis tugas akhir ini dapat mengkaji lebih dalam model mangsa pemangsa di wilayah bebas dengan kasus pemangsa sebagian tergantung pada mangsa.
58
DAFTAR PUSTAKA
1.
Anton, H. Aljabar Linear Elementer, edisi 7 jilid 1, terjemahan Pantur Silaban, I. Nyoman Susila, Penerbit Erlangga, 1987.
2.
Dubey, B. a prey-predator model with a reserved area, mathematics group, Jurnal modeling and control, 12(4):479-494, 2007.
3.
Boyce, W.E dan Diprima, R.C. elementary differential equation and boundary value problems, Seventh edition, Jhon Wiley & Sons, 2001.
4.
Bronson, R, dan Costa, G.B, Persamaan Diferensial, Edisi Tiga, Alih Bahasa Thombi Layukallo, Penerbit Erlangga, 2007.
5.
Fitria, V.A. Analisis Sistem Persamaan Diferensial Model Predator-Prey Dengan Perlambatan, ISSN: 2086-0382, Jurnal Cauchy, 2(1):42-53, 2011.
6.
Gubu, L. Prilaku Penyelesaian Persamaan Lotka-Volterra Akibat Waktu Tunda (Time Delay), Universitas Haluolea Kampus Bumi Tridharma Anduonohu Kendari.
7.
Haberman, R. Mathematical Model: Mechanical Vibration, Population Dynamics, and Traffc Flow. An Inroduction to Applied Mathematics, SIAM, 1998.
8.
Iswanto, R.J. Pemodelan Matematika Aplikasi dan Terapannya, edisi 1, Geraha Ilmu, Yogyakarta, 2012.
9.
Kreyszig, E. Advanced Engineering Mathematics. 9th ed, Jhon Wiley & Sons, Singapore, 2006.
10. Munir, R. Metode Numerik, edisi 3, Penerbit Informatika Bandung, 2010. 11. Murray, J.D. Mathematical Biology: I. An Introduction, Third Edition, Springer Verlag Berlin Heidelberg University Press Cambridge,1993. 12. Perko, L. Differential Equations And Dynamical System, TAM 7, Springer Verlag New York, 1991. 13. Pratikno, W.B, dan Sunarsih. Model Dinamis Rantai Makanan Tiga Spesies, Jurnal Matematika, 13(3):151-158, 2010. 59
14. Robinson, J.C. An Introductionto: Ordinary Differential Equation, Cambridge University Press Cambridge, 2004. 15. Wrede, R dan Spiegel M.R. Alih Bahasa refina Indriasari, Schaum’s Oouline: Teori dan Soal-Soal Kalkulus Lanjut, edisi kedua, Alih Bahasa refina Indriasari, Penerbit Erlangga, 2007.
60
