BAB I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang Masalah Infeksi virus dengue adalah suatu insiden penyakit yang serius dalam kematian di kebanyakan negara yang beriklim tropis dan sub tropis di dunia. Virus dengue dapat mengakibatkan demam dengue (dengue fever), deman berdarah dengue (dengue hemorrhagic fever), dan juga dengue shock syndrome (DSS) pada manusia. Insiden demam berdarah telah meningkat secara dramatis dalam beberapa tahun terakhir dengan sekitar lebih dari lima kali kasus yang dilaporkan sejak tahun 1980. Selama tiga dekade terakhir beberapa daerah perkotaan besar di Asia termasuk Bangkok melaporkan bahwa demam berdarah menjangkit pada musim hujan dari pertengahan Juni sampai Oktober. Kota-kota Asia yang ditandai dengan sanitasi yang buruk, tempat penyimpanan air yang kurang terawat dan kesesakan oleh padatnya populasi manusia menciptakan kondisi yang kondusif untuk perkembangbiakan nyamuk perantara virus dengue. Kasus demam berdarah diperkirakan 50-100 juta kasus, 500.000 kasus DHF / DSS dan lebih dari 20.000 kematian terjadi setiap tahun. Laporan terakhir sebesar 90% dari anak-anak dibawah lima belas tahun yang menderita demam dengue maupun demam berdarah. WHO (2003) Virus dengue terdiri atas empat serotipe, yaitu DEN-1, DEN-2, DEN-3 dan DEN-4. Secara historis, DEN-2 adalah serotype yang lazim di Asia Tenggara. DEN-3 ditemukan di Karibia dan DEN-1 di Kepulauan Pasifik. Siklus penyebaran virus dengue dimulai dengan nyamuk yang menggigit individu terinfeksi, kemudian nyamuk menjadi terinfeksi namun virus dengue belum dapat ditularkan ke individu selama periode inkubasi, yaitu selama 8-12 hari. Setelah melewati periode inkubasi, nyamuk yang terinfeksi dapat menularkan virus dengue ke individu rentan. Selanjutnya individu rentan menjadi terinfeksi, namun belum dapat menularkan virus
1
2 dengue selama masa inkubasi yaitu sekitar 4-7 hari. Pada masa hidupnya, nyamuk tidak pernah pulih dari infeksi dan berakhir dengan kematian selama periode infektif. WHO (2009) Seseorang yang terinfeksi oleh salah satu dari empat serotipe tidak akan terinfeksi lagi oleh serotype yang sama (kekebalan homologus), tetapi akan kehilangan kekebalan terhadap tiga serotipe lain (kekebalan heterologus) dalam waktu sekitar 12 minggu dan kemudian menjadi lebih rentan untuk berkembang ke demam berdarah dengue. Dua spesies yang diakui sebagai perantara virus dengue adalah Aedes aegypti dan Aedes albopictus. Aedes aegypti sangat berkembang di kota-kota ramai dan menggigit terutama pada siang hari sedangkan Aedes albopictus mendiami daerah pedesaan. Virus dengue berasal dari tubuh pasien yang sedang terserang virus dengue, kemudian apabila ada nyamuk menggigit tubuh individu yang terinfeksi virus maka virus akan bersiklus hidup di dalam tubuh nyamuk. Nyamuk Aedes aegypti yang ditubuhnya tidak membawa virus, bukan nyamuk penular demam berdarah dengue. (WHO (1986); Esteva dan Vargas (1998)) Model matematika yang tepat dapat memberikan wawasan yang lebih dalam tentang mekanisme penularan penyakit. Dalam pemodelan penyakit menular, laju insidensi (angka infeksi baru) dianggap memainkan peran kunci dalam memastikan bahwa model tersebut dapat memberikan gambaran kualitatif yang wajar mengenai dinamika penyakit. Pada kebanyakan model epidemiologi, laju insidensi diasumsikan bilinear, yaitu βSI. Populasi rentan dan terinfeksi masing-masing disimbolkan dengan S dan I . Peluang penularan per kontak disimbolkan dengan β. Sementara itu laju insidensi standar ditunjukkan dengan
βSI , N
yang menyatakan jumlah infek-
si baru. Namun, ada beberapa alasan untuk menggunakan laju insidensi nonlinear seperti menjenuhkan (saturation) dan bilinear. Laju insidensi jenuh digunakan untuk mencegah ketidakterbatasan tingkat kontak karena proporsi infektif dalam suatu populasi sangat tinggi sehingga terjadi kepadatan atau kesesakan. Capasso dan Serio (1978) yang mempelajari penyebaran epidemi kolera di Bari pada tahun 1973 menggunakan laju insidensi jenuh dalam bentuk (2009)
βSI , 1+αI
dengan α > 0. Liming, dkk.
3 Pemodelan matematika menjadi alat yang menarik untuk memahami penyakit demam dengue yang selanjutnya akan dikaji dalam tulisan ini dengan perumusan model dan simulasi menggunakan estimasi parameter. Berdasarkan uraian tersebut, pada tulisan ini penulis memakai kembali model yang digunakan Pongsumpun (2008) dengan menggunakan laju insidensi penyakit berbeda, yaitu laju insidensi nonlinear seperti yang digunakan Liming, dkk. (2009). Tulisan ini membahas kestabilan pada model penyebaran penyakit demam dengue dengan masa inkubasi virus dan laju insidensi nonlinear.
1.2 Rumusan Masalah Berdasarkan uraian latar belakang, maka dapat dirumuskan rumusan masalah sebagai berikut: 1. Bagaimana model pada penyebaran penyakit demam dengue dengan masa inkubasi virus dan laju insidensi nonlinear. 2. Bagaimana bilangan reproduksi dasar model penyebaran penyakit demam dengue dengan masa inkubasi virus dan laju insidensi nonlinear. 3. Bagaimana titik ekuilibrium bebas penyakit dan titik ekuilibrium endemik pada model penyebaran penyakit demam dengue dengan masa inkubasi virus dan laju insidensi nonlinear. 4. Bagaimana sifat kestabilan titik ekuilibrium bebas penyakit dan endemik pada model penyebaran penyakit demam dengue dengan masa inkubasi virus dan laju insidensi nonlinear.
1.3 Tujuan Penelitian Adapun tujuan penelitian ini adalah: 1. Membentuk model penyebaran penyakit demam dengue dengan masa inkubasi virus dan laju insidensi nonlinear.
4 2. Menentukan bilangan reproduksi dasar model penyebaran penyakit demam dengue dengan masa inkubasi virus dan laju insidensi nonlinear. 3. Menentukan titik ekuilibrium bebas penyakit dan titik ekuilibrium endemik. 4. Menentukan sifat kestabilan titik ekuilibrium bebas penyakit dan titik ekuilibrium endemik.
1.4 Manfaaat Penelitian Secara umum, manfaat dari penelitian ini adalah memberikan kontribusi bagi perkembangan ilmu pengetahuan dan menambah wawasan pengetahuan serta sains dalam bidang matematika terapan terutama dalam bidang biomatematika. Secara khusus penelitian ini memberikan gambaran tentang model penyebaran penyakit demam dengue dengan masa inkubasi virus dan laju insidensi penyakit nonlinear.
1.5 Tinjauan Pustaka Model matematika telah sering digunakan untuk mempelajari dinamika penyakit demam dengue di berbagai daerah. Virus dengue yang masuk ke dalam tubuh manusia melalui perantara nyamuk dapat mengakibatkan penyakit demam dengue maupun demam berdarah dengue. Model matematika yang tepat dapat memberikan penilaian kualitatif untuk masalah ini. Esteva dan Vargas (1998) membangun model dinamika penyakit demam dengue dengan populasi manusia yang konstan. Model ini berkaitan erat dengan model yang diusulkan oleh Bailey (1975) dan Dietz (1969). Selanjutnya,Pongsumpun (2008) membahas model matematika penyakit dengue dengan masa inkubasi virus yang menghadirkan kelas laten (exposed) di dalam populasi manusia dan populasi nyamuk.Ma,Z.,dkk. (2004) menyatakan bahwa dalam pemodelan penyakit menular secara umum, laju insidensi (incidence rate) dianggap memainkan peran kunci yang memberikan gambaran kualitatif yang wajar tentang dinamika penyakit. Dalam tesis ini penulis akan memakai model Pongsumpun (2008) dengan menggunakan laju insidensi penyakit berbeda, yaitu laju insidensi nonlinear seperti
5 yang digunakan Liming, dkk. (2009). Beberapa kajian teori untuk mendukung isi dari tulisan ini disajikan dalam bab berikutnya. Dalam model ini digunakan persamaan diferensial biasa yang mendeskripsikan penyebaran penyakit demam dengue. Selanjutnya disajikan pengertian persamaan diferensial kontinu dalam Perko (1991), kemudian menentukan derivatif fungsi pada suatu titik. Berlanjut pada cara menentukan kestabilan dengan memperhatikan solusi ekuilibriumnya. Jika titik ekuilibrium tersebut merupakan titik ekuilibrium hiperbolik maka menentukan sifat kestabilan dengan cara linearisasi apabila titik ekuilibriumnya non-hiperbolik maka salah satu cara yang dilakukan adalah menentukan fungsi Lyapunov yang digunakan untuk menentukan sifat kestabilan global dari titik ekuilibrium tersebut. Anton (2005) mendefinisikan polinomial karakteristik dan persamaan karakteristik dari suatu matriks persegi. Selanjutnya, Olsder (1994) dalam bukunya menjelaskan tentang kestabilan titik ekuilibrium ditinjau berdasarkan nilai eigen matriks Jacobian. Sebagai alternatif untuk menentukan tanda bagian real dari nilai eigen suatu matriks digunakan kriteria Routh Hurwitz yang dibahas oleh Hahn (1967). Wiggins (2003) menyatakan bahwa stabilitas global dari titik ekuilibrium dapat ditentukan dengan teori fungsi Lyapunov.
1.6 Metode Penelitian Penelitian ini dimulai dengan membuat beberapa asumsi berdasarkan referensi yang terkait dengan tujuan untuk membatasi masalah yang akan dimodelkan, selain itu masalah yang akah dibahas akan semakin jelas. Pada penelitian ini akan dijelaskan beberapa variabel yang digunakan sesuai dengan model yang dibentuk. Langkah berikutnya adalah membentuk model matematika dalam bentuk persamaan diferensial. Selanjutnya adalah mencari titik ekuilibrium dari persamaan tersebut, sehingga diperoleh titik ekuilibrium bebas infeksi dan titik ekuilibrium endemik. Titik ekuilibrium yang diperoleh akan diselidiki kestabilannya. Kestabilan lokal dari titik ekuilibrium diperoleh dengan menggunakan matriks Jacobian, sedangkan kestabilan global dari titik ekuilibrium diperoleh dengan salah satunya menggunakan fungsi Lyapunov. Langkah terakhir adalah melakukan simula-
6 si numerik dengan bantuan program MATLAB dari model dengan menggunakan parameter-parameter yang sesuai.
1.7 Sistematika Penulisan Sistematika penulisan tesis ini, disajikan dalam lima bab sebagai berikut, BAB I PENDAHULUAN, berisi latar belakang, tujuan penelitian, tinjauan pustaka, metode penelitian dan sistematika penulisan. BAB II LANDASAN TEORI, memuat tentang sistem persamaan diferensial, kestabilan lokal titik ekuilibrium, kestabilan global titik ekuilibrium, polynomial dari suatu matriks persegi, kriteria Routh Hurwitz, bilangan reproduksi dasar. BAB III PEMBAHASAN, berisi pembentukan model penyebaran penyakit demam dengue dengan masa inkubasi virus laju insidensi nonlinear yaitu laju insidensi jenuh pada populasi manusia dan laju insidensi bilinear pada populasi nyamuk, menemukan bilangan reproduksi dasar, titik ekuilibrium bebas penyakit, dan titik ekuilibrium endemik dari model yang diusulkan. Selanjutnya stabilitas asimtotik lokal titik ekuilibrium bebas penyakit dan endemik dibahas dan mempelajari stabilitas asimtotik global titik ekuilibrium bebas penyakit menggunakan teori fungsi Lyapunov. BAB IV SIMULASI NUMERIK, mempelajari hasil numerik yang diusulkan model dan menyajikan hasil dalam bentuk plot untuk ilustrasi. BAB V berisi kesimpulan dan saran.
