BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Masalah Fisika merupakan upaya menemukan pola-pola keteraturan alam dan membingkainya dalam bagan berpikir runtut yang berupa kaitan logis antara konsep-konsep tertentu. Bagan berpikir ini secara matematis disajikan sebagai kaitan-kaitan matematis yang menghubungkan struktur-struktur matematis yang mewakili konsep tertentu sehingga fisika dan matematika mempunyai kaitan yang erat [Rosyid, 2005]. Peran matematika yang terpenting untuk fisika adalah matematika menyediakan peranti analisis yang memungkinkan dikembangkannya teori fisika. Matematikawan senantiasa mencari konsep matematika yang baru ataupun melakukan abstraksi dan generalisasi terkait konsep-konsep yang sudah ada. Abstraksi dan generalisasi ini diharapkan mampu membuka pemahaman yang lebih utuh dan mendalam tentang konsep-konsep yang sudah ada serta memunculkan ide-ide yang baru untuk dikembangkan. Membangun teori fisika berarti mencari gambaran matematis bagi teori tersebut. Menurut von Neumann, gambaran matematik bagi mekanika kuantum adalah ruang Hilbert H dan operator-operator yang bekerja dalam ruang Hilbert itu yang dipadukan dengan teori peluang [Sion, 1990]. Keadaan sistem secara tradisional diwakili oleh suatu vektor anggota H yang selanjutnya disebut sebagai vektor keadaan dan observabel kuantum diwakili oleh operator swadamping (self-adjoint) yang bekerja di dalam ruang tersebut. Vektor-vektor keadaan diwakili secara kongkrit dengan fungsi gelombang ataupun matrik kolom. Kaitannya dengan tafsir Kopenhagen, fungsi gelombang yang secara eksplisit mewakili vektor keadaan tidak mempunyai arti fisis apapun. Namun kuadrat modulusnya dapat dipandang sebagai rapat peluang untuk menemukan partikel. Hal inilah yang menandai keterkaitan antara ruang Hilbert dengan konsep peluang dalam penggambaran kuantum. Konsep peluang setidaknya dapat didefinisikan dalam tiga cara. Definisi pertama adalah definisi peluang secara klasik. Definisi ini sangat sederhana dan intuitif karena peluang 'hanya' dipandang sebagai nisbah antara kuantitas kemungkinan yang diharapkan dengan kuantitas kemungkinan luaran. Lebih jauh, definisi ini juga memperkenalkan konsep ruang sampel sebagai himpunan seluruh luaran yang mungkin.
1
2
Definisi yang kedua adalah definisi peluang secara eksperimental. Definisi ini dipandang sebagai rasio antara jumlah kemungkinan eksperimen yang diharapkan dengan jumlah luaran eksperimen. Kedua definisi tersebut muncul dalam bidang fisika. Kemudian definisi peluang secara aksiomatis diperkenalkan oleh Kolmogorov [1933]. Definisi yang ketiga ini secara aksiomatis menelaah sifat-sifat ruang sampel secara mendalam. Perumusan Kolmogorov ini merupakan jawaban (respon) atas permasalahan keenam milik Hilbert [Gérard dan Chuang, 2002]: ''The investigations on the foundations of geometry suggest the problem: To treat in the same manner, by means of axioms, those physical sciences in which mathematics plays an important part; in the first rank are the theory of probabilities and mechanics... .'' (David Hilbert, 1902). Kolmogorov pertama kali mengumumkan hasil pekerjaannya yang secara khusus mencerminkan kalimat Hilbert tentang aksiomatisasi teori peluang sebagai berikut: ''The theory of probability, as a mathematical discipline, can and should be developed from axioms in exactly the same way as Geometry and Algebra. This means that after we have defined the elements to be studied and their basic relations, and have stated the axioms by which these relations are to be governed, all further exposition must be based exclusively on these axioms, independent of the usual concrete meaning of these elements and their relations'' (Kolmogorov, 1933). Pada tataran ini, teori peluang merupakan suatu kasus khusus bagi teori ukuran. Ruang sampel dipandang sebagai ruang berukuran dengan aljabar sigma yang disebut sebagai ruang peristiwa. Peluang sendiri diartikan sebagai suatu ukuran yang ternormalisasi yakni memiliki jangkauan nilai berupa selang [0, 1]. Seperti yang telah diungkapkan di atas, konsep peluang muncul dalam mekanika kuantum sebagai integral modulus kuadrat vektor keadaan pada daerah integrasi tertentu. Vektor-vektor anggota ruang Hilbert yang digunakan untuk memerikan keadaan sistem adalah vektor-vektor yang dinormalisasi yakni yang memiliki panjang satu satuan. Misal suatu sistem kuantum diketahui berada pada keadaan ψ ∈ H, maka segala macam informasi yang berkenaan dengan sistem fisis itu tersimpan dalam fungsi gelombang ψ. Akan tetapi korespondensi keadaan dengan vektor bukan korespondensi satu-satu. Duah buah vektor |ψ⟩ dan |ψ ′ ⟩ yang berbeda satu dengan yang lain karena faktor skalar θ ∈ C dengan θ ̸= 0 sedemikian rupa sehingga |ψ⟩ = θ|ψ ′ ⟩,
3
keduanya mewakili keadaan yang sama [Rosyid, 2005]. Dalam hal ini, ruang Hilbert terpartisi menjadi subruang-subruang vektor berdimensi satu yang diwakili dengan ˆ Setiap vektor satuan mewakili subruang vektor berdimensi satu yang vektor satuan ψ. disebut sinar. Jadi, boleh dikatakan bahwa sinarlah yang mewakili keadaan kuantum. Untuk membangun model yang lebih utuh penggunaan ruang Hilbert tersebut oleh beberapa penulis diganti dengan himpunan yang beranggotakan sinar-sinar. Himpunan semua sinar pada suatu ruang Hilbert H membentuk suatu ruang yang disebut ruang Hilbert proyektif PH. Sayangnya, ruang PH tersebut bukan merupakan ruang vektor di H. Kombinasi linier dua vektor yang mewakili dua sinar tidak well-defined. Oleh karena itu, masalah superposisi keadaan kuantum menjadi kabur. Dalam mekanika kuantum, keadaan sistem dibedakan menjadi keadaan murni (pure state) maupun keadaan tercampur (mixed state). Keadaan murni digambarkan oleh fungsi gelombang sedangkan keadaan tercampur merupakan perluasan konsep keadaan murni yang digambarkan oleh operator rapatan. Peranan keadaan menentukan peluang dalam pengukuran. Untuk keadaan tercampur, adanya peluang merupakan konsekuensi dari ketidaklengkapan informasi sistem. Salah satu cara logis untuk mengatasi permasalahan-permasalahan di atas kemungkinan dapat dilakukan dengan menggantikan ruang Hilbert dengan ruang yang lain. Pada kajian mengenai pengangkutan optimal (optimal transport) terdapat suatu ruang yang berpotensi untuk dijadikan pengganti ruang Hilbert sebagai penggambaran keadaan-keadaan kuantum. Ruang tersebut merupakan suatu ruang bermetrik yang beranggotakan ukuran-ukuran peluang. Ruang yang beranggotakan ukuran-ukuran peluang disertai dengan sifat topologis berupa konsep metrik Wasserstein dikenal sebagai ruang Wasserstein. Hal yang mendorong penggunaan ruang Wasserstein sebagai model matematis bagi mekanika kuantum adalah fakta bahwa setiap vektor keadaan yang diwakili oleh fungsi gelombang dalam ruang Hilbert dapat menghasilkan rapat peluang dan integral rapat peluang tersebut pada suatu wilayah anggota suatu aljabar-σ menghasilkan suatu ukuran peluang. Menurut teorema Ulam, seluruh ukuran peluang yang dibangun tersebut memenuhi sifat Radon anggota suatu ruang Wasserstein. Selain itu, semua ukuran peluang yang diperoleh dari fungsi gelombang merupakan himpunan rapatan di ruang Wasserstein. Penggunaan ruang Wasserstein sebagai ruang keadaan mekanika kuantum merupakan hal yang baru atau belum pernah dilakukan oleh peneliti lain. Keadaan kuantum diwakili oleh ukuran peluang pada ruang Wasserstein. Oleh karenanya, dengan mengaji ruang Wasserstein diharapkan diperoleh gambaran mekanika
4
kuantum yang lebih utuh. 1.2 Perumusan Masalah Merujuk pada hal-hal yang telah dipaparkan, maka dirumuskan permasalahanpermasalahan sebagai berikut: 1. Mungkinkah merumuskan mekanika kuantum dengan ruang keadaan ruang Wasserstein? 2. Sifat-sifat apa saja yang dimiliki oleh mekanika kuantum dalam ruang Wasserstein? 1.3 Batasan Masalah Penelitian ini dibatasi pada tinjauan mekanika kuantum tak relativistik untuk sistem satu partikel tak berspin. 1.4 Tujuan Penelitian Tujuan pada penelitian ini yaitu merumuskan mekanika kuantum dengan ruang keadaan ruang Wasserstein serta mengaji sifat-sifat yang dimiliki oleh mekanika kuantum dalam ruang tersebut. 1.5 Manfaat Penelitian Manfaat penelitian ini yakni perluasan matematik bagi struktur mekanika kuantum. Adanya perluasan matematik ini harapannya dapat dikembangkan untuk menjawab beberapa permasalahan yang terdapat di dalam mekanika kuantum. 1.6 Metode Penelitian Penelitian ini dilakukan dengan kajian teoretis, yakni telaah fisika matematis. Objek-objek dan hasil-hasil dalam aljabar liniear, teori ukuran, teori peluang, geometri diferensial dan analisa fungsional merupakan peranti yang digunakan pada kajian ini. Pemahaman mengenai hal-hal tersebut dilakukan dengan studi literatur, yakni menelaah buku, artikel, dan lain sebagainya.
5
1.7 Tinjauan Pustaka Mekanika kuantum dikembangkan oleh kelompok fisikawan dan matematikawan seperti Schrödinger, Heisenberg, Born, Bohr, Dirac, Pauli, von Neumann dan lainnya pada tahun 1925-1927 [Basdevant dan Dalibard, 2002]. Pada tahun 1925, W. Heisenberg mempublikasikan karya ilmiahnya dengan judul Über quantentheoretische Umdeutung kinematischer und mechanischer Beziehungen yang memperkenalkan mekanika matriks [Waerden, 1968]. Pada tahun 1926, Erwin Schrödinger mempublikasikan empat karya ilmiah secara berurutan yang masing-masing diberi judul Quantisierung als Eigenwertproblem. Di dalamnya, Schrödinger memperkenalkan yang dikenal secara luas pada masa sesudahnya sebagai mekanika gelombang (Wellenmechanik). Dalam tinjauannya Schrödinger berangkat dari pandangan bahwa aras-aras tenaga elektron dalam suatu atom dapat diperlakukan sebagaimana fenomena gelombang tegak (standing wave). Istilah fungsi gelombang baru disebutkan oleh Schrödinger dalam artikel ke empat. Meskipun Schrödinger menafsirkan fungsi gelombang sebagai Gewichtsfunktion im Konfigurationsraum (fungsi bobot dalam ruang konfigurasi) sedemikian rupa sehingga fungsi gelombang dapat dikaitkan dengan pernik-pernik statistik [Rosyid, 2005]. Empat hari setelah karya ilmiah Schrödinger pada bulan Juni, karya ilmiah Max Born dipublikasikan dengan judul Zur Quanten Mechanik der Stossvorgänge. Dalam karya ilmiahnya, Born memaparkan peluang menemukan partikel. Gagasan tersebut diinterpretasikan dalam intensitas gelombang sebagai rapat peluang menemukan partikel. Karya ilmiah Born berikutnya dipublikasikan bulan Juli pada tahun yang sama dengan judul Quantenmechanik der Stossvorgänge. Di dalamnya, Born memaparkan bahwa keadaan suatu sistem dapat dinyatakan ke dalam jumlahan keadaan yang deterministik dan peluang untuk setiap keadaan dinyatakan dalam kuadrat norma koefisien yang menggambarkan sistem pada energi deterministik. Born juga mengusulkan interpretasi statistik fungsi gelombang yang membutuhkan hukum dinamika baru yaitu persamaan gelombang deterministik sebagai dinamika kuantum. Born menjelaskan pergerakan partikel mengikuti hukum peluang tetapi peluang yang sesuai dengan hukum kausalitas [Barret, 1999]. Pada tahun 1927, Heisenberg mempublikasikan karya ilmiahnya. Di dalamnya, Heisenberg mengemukakan prinsip ketakpastian yang juga selaras dengan prinsip indeterministik [Hameka, 2004]. Prinsip tersebut mengindikasikan bahwa meskipun mungkin mengukur momentum atau posisi partikel secara akurat tetapi tidak mungkin
6
mengukur dua observabel tersebut secara serempak dan akurat [Zettili, 2001]. Pada tahun 1930, Dirac mengusulkan formalisme pada mekanika kuantum yang menghubungkan mekanika gelombang Schrödinger dan mekanika matriks Heisenberg. Formalisme Dirac ini mengadopsi notasi vektor berdimensi tak berhingga yang mana vektor tersebut dapat direpresentasikan menjadi basis ortonormal [Dürr dan Teufel, 2009]. Konsep ukuran peluang dalam mekanika kuantum ditentukan oleh besaran yang diukur dan keadaan sistem itu saat dilakukan pengukuran. Penggambaran keadaan sistem dalam mekanika kuantum dengan matrik rapatan diperkenalkan oleh von Neumann [1927]. Matrik rapatan tersebut dikembangkan secara sistematik sebagai operator statistik [Bengtsson dan Życzkowski, 2006]. Keadaan yang tidak murni disebut keadaan tercampur karena digambarkan oleh superposisi tak koheren dari keadaan murni. Konsep keadaan tercampur sebagai campuran keadaan-keadaan murni berasal dari kaitan penelitian mekanika kuantum dan mekanika statistik [Fano, 1957]. Pada tahun 1932, J. von Neumann memperkenalkan ruang keadaan ruang Hilbert dalam penggambaran keadaan kuantum. Pendekatan yang dilakukan oleh von Neumann yakni pendekatan aljabar. Definisi matematik pada aljabar von Neumann memuat operator-operator liniear ruang Hilbert [Landsman, 1998]. Setelah mekanika kuantum memperoleh dukungan yang kuat dari matematikawan seperti D. Hilbert dan J. von Neumann, munculah konsep peluang baru dalam mekanika kuantum [Rédei dan Summers, 2006]. Model peluang yang baru ini dikenal dengan nama model peluang kuantum dan dibangun di atas aljabar von Neumann dan keadaan normal pada aljabar tersebut. Baik model peluang klasik maupun model peluang kuantum menampilkan konsep peluang yang nilainya berupa bilangan di antara 0 dan 1. Perumuman ruang keadaan kuantum yang telah dilakukan oleh von Neumann diikuti oleh Gel'fard dan Neumark. Pada tahun 1941, Gel'fard mengusulkan aljabar Banach. Tahun 1943, Gel'fard dan Neumark mendefinisikan aljabar-C* serta membuktikan bahwa untuk setiap aljabar-C* isomorfis dengan norma operator-operator aljabar-* pada ruang Hilbert. Kontribusi pada teori aljabar kuantum juga dilakukan oleh Segal yang mengusulkan kaitan antara aljabar operator dengan mekanika kuantum serta Haag yang memperumum pada teori aljabar medan kuantum [Landsman, 1998]. Pada tahun 1952, David Bohm mengusulkan mekanika baru tentang pergerakan partikel titik yang dinamakan mekanika Bohm. Dalam mekanika tersebut dinamika
7
partikel bersifat deterministik serta melalui lintasan tertentu. Adanya prinsip ketakpastian Heisenberg merupakan akibat dari mekanika Bohm. Mekanika Bohm berhasil menjelaskan peluang kuantum atau hukum statistik Born pada basis mekanika statistik prinsip Boltzmann [Dürr dan Teufel, 2009]. Pada bidang matematika, dikembangkan cabang matematika yaitu teori distribusi. Teori ini juga menyediakan peranti matematik bagi mekanika kuantum. Selanjutnya teori distribusi ini dikembangkan menjadi ruang Hilbert diperlengkapi (Rigged Hilbert space). Peranti matematika pada ruang tersebut diperkenalkan oleh Gelfand dan Maurin sekitar tahun 1967-1968. Perumusan mekanika kuantum pada ruang Hilbert yang diperlengkapi tidak hanya menggunakan aksioma von Neumann tetapi juga formalisme Dirac [Böhm, 1978]. Tahun 1967, pada bidang matematika juga dikembangkan teori aljabar von Neumann. Teori tersebut yang sekarang disebut teori modular atau teori Tomita-Takesaki [Landsman, 1998]. Pada tahun 1995, upaya mengganti ruang Hilbert dengan obyek yang lebih umum juga dilakukan oleh Busch, dkk. Di dalamnya mekanika kuantum disajikan secara sistematik menggunakan struktur peluang dengan diperkenalkannya observabel sebagai ukuran yang bernilai operator positif (POV measure). Di sisi lain konsep peluang yang beraksioma pertama kali diungkapkan oleh A. N. Kolmogorov pada tahun 1933. Model peluang ini digolongkan sebagai model peluang klasik yakni didasarkan pada satu ruang peristiwa dan satu ukuran peluang [Kolmogorov, 1956]. Pada kajian teori ukuran peluang, telah berkembang kajian mengenai konsep ruang Wasserstein. Konsep ini diinspirasi dari permasalahan dalam bidang ekonomi dan telah memiliki terapan di bidang lain, termasuk fisika. Permasalahan tersebut dikenal dengan nama permasalahan optimal transport [Villani, 2003]. Ukuran peluang pada ruang Wasserstein menyediakan model penting yakni berlakunya teori metrik [Ambrosio dkk., 2005]. 1.8 Sistematika Penulisan Tesis ini disusun menjadi empat bab dengan uraian singkat sebagai berikut: 1. Bab I merupakan pendahuluan yang mengulas mengenai latar belakang, perumusan masalah, batasan masalah, tujuan penelitian, manfaat penelitian, tinjauan pustaka dan sistematika penulisan.
8
2. Bab II beberapa bagian yaitu teori ukuran, ruang Wasserstein, persamaan kontinuitas di Rn , dan principia universalis. Pada bagian pertama yakni teori ukuran yang mengulas ukuran peluang, peubah acak, teori integral, distribusi bersama (joint distribution), dan fungsi rapatan. Bagian kedua, mengulas ruang Wasserstein serta sifat topologis yang terdapat padanya. Bagian ketiga mengulas persamaan kontinuitas di Rn . Bagian keempat mengulas principia universalis. 3. Bab III membahas bahwa dimungkinkannya perumusan mekanika kuantum dalam ruang Wasserstein serta hasil kajian sifat-sifat yang ada padanya. 4. Bab IV membahas simpulan yang diperoleh dari hasil kajian tesis ini dan saran bagi penelitian yang mungkin pada masa mendatang.
