BAB 8 DIFERENSIAL TIPE 1: Turunan pertama fungsi yaitu f ' x Contoh:
ad bc
cx d 2
f x
ax b , dengan cx d
x
d c
determinan koefisien , penyebut kuadrat
adalah
.
4x 5 adalah f ' x .... 3x 2 3x 3 7 B. C. 2 3x 2 3x 22
Turunan pertama dari f x A.
5x 3
3x 2
2
D.
5
3x 2
E.
2
23
3x 22
Solusi 1: [E] u u ' v v' u y y' v v2 43 x 2 34 x 5 23 4x 5 f ( x) f ' ( x) 2 3x 2 3x 2 3x 22 Solusi 2: Care 4 2 5 3 23 4x 5 f ( x) f ' x 2 3x 2 3x 2 3x 22
TIPE 2: Jika luas segi empat yang diarsir maksimum, maka a b 1. Koorinat T adalah , 2 2 1 2. Luas segi empat yang diarsir maksimum = × luas 2 segitiga
Y b T(x,y)
O
a
Contoh: Luas daerah yang diarsir pada gambar akan mencapai maksimum jika koordinat P adalah …. A. 2,3 Y B. 4,3 6 C. 3,2 P(x,y) 4 D. ,2 3 X O 4 43 | Husein Tampomas, Cara Efisien (Care) Menyelesaikan Soal Matematika
X
3 E. 1, 2 Solusi 1: [A]
Persamaan garis yang melalui titik (4,0) dan (0,6) adalah 6 x 4 y 24 atau y 6
3 x 2
3 Koordinat titik T(x,y) = T x,6 x 2 3 3 Luas daerah yang diarsir: L( x) x 6 x 6 x x 2 2 2 L' ( x ) 6 3 x Nilai stasioner dicapai jika L' ( x) 0 , maka 6 3x 0 x2 3 3 x 2 y 6 x 6 2 3 2 2 Jadi, koordinat T adalah 2,3 . Solusi 2: Care a b 4 6 Koordinat T , T , T 2,3 2 2 2 2
TIPE 3: Jika persegi panjang PQRS terletak pada PTU siku-siku di P,
U
dengan PQ dan PS diketahui, maka luas minimum PTU
R
S = 2 × luas segi empat PQRS.
b P
a
Q
T
Contoh: Persegi panjang PQRS terletak pada segitiga siku-siku PTU. Jika PS = 12 dan PQ = 5, maka luas minimum PTU adalah…. U A. 360 B. 180 R S C. 120 D. 80 12 E. 60 Q 5 P T Solusi 1: [C] Ambillah PT x dan PU y . Perhatikan PTU ~ QTR PU PT PS QT y x 12 x 5 44 | Husein Tampomas, Cara Efisien (Care) Menyelesaikan Soal Matematika
y
12 x x5
1 1 12x 6x 2 xy x 2 2 x5 x5 12 x( x 5) 1 6 x 2 6 x 2 60 x L' x 5 2 x 5 2 Nilai stasioner dicapai jika L ' 0 , maka 6 x 2 60 x 0 x 5 2 6 x( x 10) 0 x 0 (ditolak) atau x 10 (diterima) 12 x 12 10 x 10 y 24 x 5 10 5 1 1 Luas minimum PTU = xy 10 24 120 2 2 Solusi 2: Care Luas minimum PTU = 2 × luas segi empat 2 5 12 120
Luas PTU = L
TIPE 4: Jika persegi panjang PQRS terletak pada ABC, dengan PQ
C
dan PS diketahui, maka luas minimum ABC = 2 × luas
S
R
segi empat PQRS. A
P
Q
Contoh: Persegi panjang PQRS terletak pada ABC. Jika PS = 8 dan PQ = 15, maka luas minimum ABC C adalah…. A. 360 B. 180 S R C. 120 12 D. 80 E. 60 15 Q P A B Solusi 1: [A] Misalnya AB x dan CT y . CT AB Perhatikan ABC ~ SRC sehingga AB : SR CT : CU C x : 15 y : ( y 12) 12x U S R y x 15 12 1 1 12 x 6x 2 Luas ABC = L xy x 2 2 x 15 x 15 A P B T Q 45 | Husein Tampomas, Cara Efisien (Care) Menyelesaikan Soal Matematika
B
L'
6x
12 x( x 15) 1 6 x 2
x 15
2
2
180x
x 152
Nilai stasioner dicapai jika L ' 0 , maka 6 x 2 180x 0 x 152 6 x( x 30) 0 x 0 (ditolak) atau x 30 (diterima) 12 30 12x x 30 y 24 x 15 30 15 1 1 Luas minimum ABC = xy 30 24 360 2 2 Solusi 2: Care Luas minimum ABC = 2 × luas segi empat PQRS 2 15 12 360
TIPE 5: Jika persegi panjang PQRS terletak pada ABC, dengan unsur-unsur
C
ABC diketahui maka luas maksimum segi empat PQRS
S
R
1 luassegitiga ABC 2
Q
P
A
B
Contoh: Persegi panjang PQRS terletak pada segitiga ABC. Jika AB = 15, BC = 13, dan AC = 14, maka luas maksimum segi empat PQRS adalah…. C A. 64 B. 54 S R C. 48 D. 42 E. 32 Q A P B Solusi 1: [D] Menurut Heron: 1 1 S (a b c) (13 14 15) 21 2 2 L s(s a)(s b)(s b) 21(21 13)(21 14)(21 15) 84 1 CT AB 2 1 84 CT 15 2 56 CT 5 Misalnya PQ x dan PS y . CT tegak lurus pada AB. Perhatikan ABC ~ SRC sehingga L
C S
A
P
46 | Husein Tampomas, Cara Efisien (Care) Menyelesaikan Soal Matematika
U
T
R
Q
B
AB CT SR CU 56 15 5 x 56 y 5 840 56 x y 75
Luas segi empat PQRS xy x
840 56 x 840x 56 x 2 75 75
840 112x 75 Nilai stasioner dicapai jika L ' 0 , sehingga 840 112x 0 75 840 x 7,5 112 840 56 x 840 56 7,5 5,6 x 7,5 y 75 75 Luas segi empat PQRS maksimum = xy 7,5 5,6 42 Solusi 2: Care 1 1 Luas segi empat PQRS maksimum luassegitiga ABC 84 42 2 2 L'
TIPE 6: Diketahui ABC siku-siku sama kaki di C. Jika AC = BC dan CD = BE, maka luas segi empat ADEB minimum 3 luas ABC . 4
A
D C
E B
Contoh: SPMB Madas Regional I, 2004 Jika ABC siku-siku sama kaki, AC = BC = 20 dan AD = CE, maka luas minimum dari segi empat ABED adalah …. C A. 50 E B. 100 C. 125 D D. 150 E. 200 B A Solusi 1: [D] Misalnya AD CE x , maka CD 20 x . Luas segi empat ABED = Luas ABC luas DCE 1 1 1 L 20 2 x(20 x) 200 10 x x 2 2 2 2 47 | Husein Tampomas, Cara Efisien (Care) Menyelesaikan Soal Matematika
L' 10 x Nilai stasioner fungsi L dicapai jika L ' 0 , maka 10 x 0 x 10
Luas minimum dari segi empat ADEB 200 10 10
1 10 2 150 2
Solusi 2: Care Luas minimum dari segi empat ADEB
3 3 l luas setiga ABC 20 2 150 4 4 2
SOAL-SOAL LATIHAN 1.
UN A35 2012 Sebuah segitiga dibatasi oleh garis x 2 y 4 , sumbu X, dan sumbu Y. dari ebuah titik pada garis itu dibuat garis-garis tegak lurus pada sumbu X dan sumbu Y sehingga membentuk sebuah persegi panjang seperti pada gambar berikut. Luas maksimum daerah persegi panjang yang diarsir adalah…. Y 1 A. satuan luas 4 x 2y 4 1 B. satuan luas 2 x, y C. 1 satuan luas D. 2 satuan luas X O E. 3 satuan luas 2. UN 2007 Perhatikan gambar! Y 3 T(x,y)
X 5 Luas daerah yang diarsir pada gambar akan mencapai maksimum jika koordinat T adalah …. 3 5 6 5 3 9 3 21 A. 3, B. , C. 2, D. , E. , 5 2 2 5 2 10 2 2 3. UN 2004 x5 Turunan pertama dari fungsi yang dinyatakan dengan f ( x) adalah f ' ( x) .... x5 10 5 10 5 10 A. B. C. D. E. 2 2 2 2 ( x 5) ( x 5) ( x 5) ( x 5) ( x 5) 2 4. EBTANAS 1995 2x 1 2 Fungsi f ditentukan oleh f ( x) untuk x . f ' adalah turunan pertama dari f, maka 2 3x 3 f ' ( 2) .... O
48 | Husein Tampomas, Cara Efisien (Care) Menyelesaikan Soal Matematika
1 64 5. EBTANAS 1994
A.
Diketahui f ( x) A. 11
B.
4 64
C.
7 64
D.
5 8
2 3
E.
3x 5 ; x 2 . Turunan pertama f (x) adalah f ' ( x ) . Nilai dari f ' (1) adalah …. 2x 4 5 1 B. C. 1 D. E. 1 2 2
6. EBTANAS 1993 Diketahui f ( x) A.
20 x 11
2 x 1
2
1 5x 3 ; x . Turunan pertamanya adalah f ' ( x) .... 2 2x 1 1 11 11 B. C. D. 2 2 2 x 1 2 x 1 2 x 12
7. EBTANAS 1990
E.
3x 5 3 ; x 1 . Maka f ' ( x) .... 4x 7 4 41 31 31 B. C. D. 2 2 4 x 7 4 x 7 4 x 7 2
20 x 1
2 x 12
Turunan dari f ( x) A.
41
4 x 7
2
E.
1
4 x 7 2
8. EBTANAS 1990 Diketahui f ( x) A.
4x 5
x 2
2
2x 1 ; x 2 . Turunan pertamanya adalah f ' ( x) .... x2 4x 3 3 4 B. C. D. 2 2 x 2 x 2 x 2 2
E.
5
x 2 2
9. EBTANAS 1989 x ; x 2 . Maka x2 2 2 A. B. 2 x 2 x 2 2 10. UMPTN Madas Rayon C, 1993 dy .... Jika xy x 2 y 1 0 , maka dx x 1 x 1 A. B. C. 2 x 2 x 2 2 11. UMPTN Madas Rayon B, 1993 2x 5 Jika f ( x) , maka f 1 (1) .... 3x 2
Ditentukan f ( x)
A. 11
B. 3
f ' ( x) ....
C.
2 x2
1 x
x 2
C. 7
D.
D.
2
D.
2 3
2 x2
E.
11
x 2
E.
2
2x 2 x2
1
x 2 2
E. 11
x4 adalah f ' ( x ) . Nilai dari f ' (2) .... 2x 3 A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 E. 4 13. SPMB Madas, Regional III, 2004 Persegi panjang PQRS terletak pada segitiga siku-siku PTU. Jika PS = 4 dan PQ = 3, maka luas minimum PTU adalah….
12. Turunan pertama dari f ( x)
49 | Husein Tampomas, Cara Efisien (Care) Menyelesaikan Soal Matematika
A. B. C. D. E.
16 18 20 22 24
U R
S 4 P
3
Q
T
14. Persegi panjang PQRS terletak pada segitiga ABC. Jika PQ = 14 dan PS = 8, maka luas minimum ABC adalah…. C A. 224 B. 114 S R C. 112 12 D. 92 E. 72 Q A P B 15 15. Persegi panjang PQRS terletak pada segitiga ABC. Jika AB = 29, BC = 20, dan AC = 21, maka luas maksimum segi empat PQRS adalah…. C A. 210 B. 115 S R C. 105 D. 85 E. 75 Q A P B 16. SMPB Madas Regional I, 2004 Jika ABC siku-siku sama kaki, AC = BC = 5 dan AD = CE, maka luas minimum dari segi empat ABED adalah …. C A. 7,500 E B. 9,375 C. 9,750 D D. 10,375 E. 12,500 B A
50 | Husein Tampomas, Cara Efisien (Care) Menyelesaikan Soal Matematika
