BAB 3 RUANG BERNORM-2
3.1
Norm-2 dan Ruang `p
De…nisi 3.1 Misalkan V ruang vektor atas R berdimensi d d boleh tak hingga). Sebuah fungsi k:; :k : V
2 (dalam hal ini
V ! R yang memenuhi sifat-sifat
berikut; 1. kx; yk = 0 jika dan hanya jika x; y bergantung linear 2. kx; yk = ky; xk 3. k x; yk = j j kx; yk untuk setiap 4. kx + y; zk
2R
kx; zk + ky; zk
disebut norm-2 pada V . Pasangan (V; k:; :k) disebut ruang bernorm-2. Teori tentang norm-2 pertama kali diperkenalkan oleh Gähler pada pertengahan 1960-an (lihat [1]). Contoh ruang bernorm-2 adalah R2 yang dilengkapi dengan norm-2 kx; yk = Di ruang `p dengan 1
2
det 4
x1 x2 y1 y2
3
5 :
p < 1 ada dua versi norm-2. Yang pertama adalah 8 9 < f (x) f (y) = kx; ykp = sup : f;g2(`p )0 : g(x) g(y) ; kf k;kgk 1
Norm-2 kx; ykp diperkenalkan oleh S. Gähler tahun 1969 (lihat [2]). Belum banyak sifat yang diketahui tentang norm-2 kx; ykp . Versi lain norm-2 untuk ruang `p dengan 1
p < 1 diperkenalkan oleh H. Gunawan tahun 2001 (lihat [3]) yaitu 2
kx; ykp = 4
1 XX 2
j
k
2
det 4
11
xj xk yj yk
3 p 3 p1
5 5 :
12 Pende…nisian Norm-2 kx; ykp diinspirasi oleh observasi terhadap norm-2 baku1 di ruang `2 (lihat [3]), yaitu 2
2
kx; yks2 = 4 det 4
hx; xi hx; yi hx; yi hy; yi
3 2 3 21
5 5 :
(3.1)
Pende…nisian tersebut bisa dilakukan karena `2 adalah Ruang Hilbert atau Ruang Hasil Kali Dalam yang lengkap. Sementara itu, `p dengan p 6= 2 tidak mempunyai hasil kali dalam sehingga norm-2 tidak bisa dide…nisikan seperti (??). Gunawan (lihat [3]) membuktikan bahwa norm-2 baku di `2 dapat ditulis sebagai 2
kx; yk2 = 4
2
3 2 3 21
xj xk 1 XX 5 5 : det 4 2 j k yj yk
Pada saat yang sama, norm 2 versi Gähler dapat ditulis sebagai 8 9 <1 X X x x = z z j k j k : kx; yk2 = sup z;w2`2 : 2 j yj yk wj wk ; k kzk;kwk 1
Ketiga norm-2 di ruang `2 tersebut adalah sama2 , yaitu kx; yks2 = kx; yk2 = kx; yk2 untuk setiap x; y 2 `2 . 3.2
Sifat-Sifat Norm-2 k:; :kp
Sifat-sifat norm-2 kx; ykp yang akan digunakan untuk mencari hubungan antara norm-2 kx; ykp dengan norm-2 kx; ykp adalah sebagai berikut. Buktinya lihat di [3] : Lemma 3.2 Untuk setiap x; y 2 `p berlaku ketaksamaan kx; ykp 1
21
1 p
kxkp kykp :
Tanda s kecil di atas hanya untuk menyatakan norm 2 baku dan membedakan dengan
norm 2 versi Gunawan. 2 Bukti lihat di skripsi Tyas Rangga (2008), Program Studi S1 Matematika ITB.
13 Seperti di ruang bernorm k:k ; di ruang V yang dilengkapi dengan norm-2 k:; :k dide…nisikan juga tentang barisan konvergen dan barisan Cauchy. De…nisi kekonvergenan barisan berikut ekuivalen dengan de…nisi kekonvergenan yang ada di [3] : De…nisi 3.3 Barisan xn di (V; k:; :k) dikatakan konvergen ke x 2 V jika untuk setiap " > 0 terdapat N 2 N sedemikian sehingga untuk setiap n berlaku kxn
N dan y 2 V
x; yk < ". Barisan xn di (V; k:; :k) dikatakan Cauchy jika untuk
setiap " > 0 terdapat N 2 N sedemikian sehingga untuk setiap m; n y 2 `p berlaku kxn
N dan
xm ; yk < ".
Teorema 3.4 Suatu barisan di `p konvergen dalam norm-2 k:; :kp jika dan hanya jika konvergen dalam k:kp . Serupa dengan hal tersebut, suatu barisan di `p Cauchy dalam norm-2 k:; :kp jika dan hanya jika Cauchy dalam norm k:kp : De…nisi 3.5 Ruang (V; k:; :k) dikatakan ruang Banach-2 jika setiap barisan Cauchy di V konvergen dalam norm-2 k:; :k. Akhirnya, hasil penting tentang norm-2 k:; :kp di ruang `p adalah teorema berikut. Teorema 3.6 Ruang `p ; kx; ykp adalah ruang Banach 2: 3.3
Sifat-Sifat Norm-2 k:; :kp
Teorema lain yang diperlukan untuk mengekplorasi sifat-sifat norm-2 k:; :kp dan mencari hubungan antara norm-2 kx; ykp dengan norm-2 kx; ykp adalah ketaksamaan Hölder untuk deret ganda. Teorema 3.7 Untuk setiap x; y 2 `p dan z; w 2 `q dengan 2
3
2
3
1 PP 5 det 4 5 det 4 2 j k yj yk wj wk xj xk
zj
zk
1 p
+
1 q
= 1; berlaku
kx; ykp : kz; wkq :
Bukti. Untuk x; y bergantung linear atau z; w bergantung linear, maka ruas kiri dan ruas kanan sama dengan 0. Jadi, pernyataan benar. Selanjutnya untuk x; y
14 bebas linear dan z; w bebas linear, pilih deret 2 3 2 3 aj ak cj ck PP 1 PP 5 dan 1 5 det 4 det 4 2 j k 2 j k bj bk dj dk sedemikian sehingga 2 3 aj ak 1 PP 5 det 4 2 j k bj bk
1 dan 1 p
Berdasarkan ketaksamaan bantu 2
det 4
3
aj ak bj
2
5 det 4
bk
cj
ck
dj dk
Kemudian didapat
2
det 4
2
maka
atau
3
1 q
2
aj ak
1 det 4 p bj
5
q
+
p
det 4
aj ak bj
zj
bk
zk
wj wk
2
3
5 =
3
2
xj xk yj yk
kx; ykp
2
5 =
1 PP 2 j k
det 4
det 4
zj
zk
wj wk
kz; wkq
2
det 4
aj ak bj
bk
kx; ykp 3
3
2
p
cj
ck
1:
3 5
; untuk setiap j; k = 1; 2; :::
3 5
; untuk setiap j; k = 1; 2; ::: , 2
3
5 det 4
zj
zk
wj wk
kz; wkq
2
1:
zj
zk
3
q
5 + 1 det 4 5 : q bk dj dk
3
1 PP 5 det 4 5 det 4 2 j k yj yk wj wk xj xk
q
, maka
2 3 2 3 a a c c P P 1 j k 5 det 4 j k 5 det 4 2 j k bj bk dj dk
Pilih
dan
2 3 cj ck 1 PP 5 det 4 2 j k dj dk
p
3 5
1
kx; ykp kz; wkq :
15 1
Teorema 3.8 Untuk setiap x; y 2 `p berlaku kx; ykp
2 p kx; ykp :
Bukti. Berdasarkan Teorema Representasi Riesz, terdapat z; w 2 `q dengan kzkq = kf k dan kwkq = kgk sehingga f (x) f (y)
P
P
xj zj
j
=
P
g(x) g(y)
xj wj
j
g(x) g(y)
=
XX j
P
XX
= yj wj
j
j
Dengan cara yang sama didapat, f (x) f (y)
yj zj
j
xk yk
zk wj
=
xj yj
k
xj yj
zj wk
k
XX j
(3.2)
:
xk yk
xj yj
zk wj
:
(3.3)
xk yk
k
Kemudian (??) dan (??) dijumlahkan, maka di dapat f (x) f (y)
2
XX
=
g(x) g(y)
j
(zj wk
xk yk
k
X X zj wj
=
xj yj
zk wj )
xj yj
:
zk wk
xk yk
1 X X zj zk 2 j k wj wk
xj xk
j
k
Jadi, f (x) f (y)
=
g(x) g(y)
(3.4)
:
yj yk
Kita gunakan ketaksamaan Holder untuk deret ganda, maka f (x) f (y)
kz; wkq kx; ykp :
g(x) g(y) Berdasarkan Lemma 3.2, kzkq = kf k kz; wkq sehingga f (x) f (y) g(x) g(y) Akibatnya, sup f;g2(`p )0 kf k;kgk 1
1 q
21
2
8 9 < f (x) f (y) = : g(x) g(y) ;
21
kzkq kwkq
1 2p 4 2 1
1 dan kwkq = kgk
XX j
1
k
2
2p 4
2
det 4
1 XX 2
j
k
1 q
1, maka didapat 1
= 2p
xj yj xk yk 2
det 4
3 p 3 p1
5 5 : xj yj xk yk
3 p 3 p1 5 5
16 atau 1
2 p kx; ykp :
kx; ykp
Berdasarkan (??), norm-2 versi Gähler dapat juga ditulis sebagai 8 9 <1 X X z z xj xk = j k kx; ykp = sup : :2 ; w w y y z;w2`q j j k j k k kzk;kwk 1
Akibat 3.9 Untuk setiap x; y 2 `p berlaku ketaksamaan kx; ykp
2 kxkp kykp :
Bukti. Berdasarkan Teorema 3.8 dan Lemma 3.2, maka didapat kx; ykp
1
2 p kx; ykp
1
2 p :21
1 p
kxkp kykp = 2 kxkp kykp :
Akibat 3.10 Suatu barisan di `p konvergen dalam norm-2 k:; :kp jika konvergen dalam norm k:kp : Serupa dengan hal tersebut, suatu barisan di `p Cauchy dalam norm-2 k:; :kp jika Cauchy dalam norm k:kp : Teorema 3.11 Suatu barisan di `p konvergen dalam norm k:kp jika konvergen dalam norm-2 k:; :kp : Bukti. Misalkan x (n) konvergen ke x 2 `p dalam norm-2 k:; :kp , maka untuk N dan y 2 `p
setiap " > 0 terdapat N 2 N sedemikian sehingga untuk setiap n berlaku kx (n)
x; ykp < "
atau sup z;w2`q kzk;kwk 1
Ini berarti
8 < 1 X X x (n) j :2 yj j k
1 X X xj (n) 2 j k yj
xj xk (n)
xk
yk
xk
zk
wj wk ;
yk
xj xk (n)
zj
9 =
zj
zk
wj wk
<",
< ":
17 untuk setiap z; w 2 `q yang memenuhi kzk ; kwk z = (z1 ; z2 ; :::) 2 `q , dengan zj = maka
1: Pilih y = (1; 0; 0; :::) 2 `p ,
sgn(xj (n) xj )jxj (n) xj jp kx(n) xkp 1
1
dan w = (1; 0; 0; :::) 2 `q ,
1 X jxj (n) xj jp < : kx (n) xkp 1 j=2
(3.5)
x1 )jx1 (n) Jika kita pilih y = (0; 1; 0; :::) 2 `p , z = ( sgn(x1 (n) kx(n) xkp 1
x1 jp
1
; 0; 0; :::) dan
p
w = (0; 1; 0; 0; :::), maka
jx1 (n) x1 jp < ": kx (n) xkpp 1
(3.6)
Kemudian (??) dan (??) dijumlahkan, maka didapat 1 X jxj (n) xj jp < 2" kx (n) xkpp 1 j=1
kx (n)
xkp < 2":
Ini menunjukkan bahwa x (n) konvergen ke x dalam norm k:kp : Diagram berikut merupakan rangkuman dari hasil-hasil di atas. Kekonvergenan di k:; :kp
Kekonvergenan di k:; :kp &
%
Kekonvergenan di k:kp Teorema 3.12 Suatu barisan di `p Cauchy dalam norm k:kp jika Cauchy dalam norm-2 k:; :kp : Bukti. Serupa dengan Teorema 3.11, hanya mengganti kalimat ’konvergen ke x’ dengan ’Cauchy’dan ’x (n)
x’dengan ’x (n)
x (m)’.
Hasil utama pada bagian ini adalah teorema berikut. Teorema 3.13 Ruang (`p ; k:; :kp ) adalah ruang Banach-2. Bukti. Misalkan x (n) barisan Cauchy di `p terhadap norm-2 k:; :kp . Berdasarkan Teorema 3.12, x (n) barisan Cauchy dalam norm k:kp . Karena `p adalah lengkap terhadap norm k:kp ; maka x (n) konvergen ke suatu x 2 `p dalam norm k:kp . Kita gunakan Akibat 3.10, maka x (n) konvergen ke suatu x 2 `p dalam norm k:; :kp . Ini membuktikan bahwa (`p ; k:; :kp ) adalah ruang Banach-2.
18 3.4
Hubungan Norm-2 k:; :kp dengan Norm-2 k:; :kp
Hubungan Norm-2 k:; :kp dengan Norm-2 k:; :kp di ruang `p dapat diketahui dengan mende…nisikan ekuivalensi norm n di suatu ruang vektor. Seperti di Bab 2, de…nisi dua buah norm-2 ekuivalen pada suatu ruang vektor diberikan sebagai berikut. De…nisi 3.14 Dua buah norm-2 k:; :ka dan k:; :kb pada ruang bernorm-2 V adalah ekuivalen jika dan hanya jika terdapat
;
> 0 sehingga
kx; yka
kx; ykb
kx; yka untuk setiap x; y 2 V: Akibat 3.15 Jika k:; :ka dan k:; :kb dua buah norm 2 yang ekuivalen di V , maka suatu barisan xn di V konvergen dalam norm 2 k:; :ka jika dan hanya jika xn konvergen dalam norm 2 k:; :kb : Dua buah norm 2 di suatu ruang vektor yang memberikan kekonvergenan yang sama disebut ’ekuivalensi lemah’. Berdasarkan Teorema 3.8, kekonvergenan dalam norm 2 k:; :kp mengakibatkan kekonvergenan dalam norm 2 k:; :kp . Selain itu, berdasarkan diagram, kekonvergenan dalam norm 2 k:; :kp mengakibatkan kekonvergenan dalam norm 2 k:; :kp : Hal ini berarti norm 2 k:; :kp ’ekuivalen lemah’ dengan norm 2 k:; :kp . Pertanyaan apakah norm-2 k:; :kp ekuivalen dengan norm2 k:; :kp hingga saat ini masih belum terjawab.
