BAB 3 RESPONS SINUSOIDAL PADA RANGKAIAN SERI RL DAN RC

BAB 3 RESPONS SINUSOIDAL PADA RANGKAIAN SERI RL DAN RC

3.1 Respons Sinusoidal Pada Rangkaian RL Seri

Perhatikan rangkaian di bawah ini :

Gambar 3.1 Rangkaian RL dengan sumber tegangan v = Vm sin (ωt + )

Rangkaian di atas memiliki sumber tegangan v = Vm sin (ωt + θ) di mana θ memiliki harga dari 0 → 2π rad/det. Bilamana saklar ditutup pada saat t = 0, maka persamaan tegangan pada rangkaian adalah : R .i  L

di  Vm sin t    dt

(3.1)

Penyelesaian umum persamaan ini adalah : i  i ss  i tr

(3.2)

di mana dalam hal ini : itr = ic = penyelesaian komplementer iss = ip = penyelesaian partikular Adapun penyelesaian komplementer dari Persamaan (3.1) adalah :

Ri c  L

atau :

atau : atau :

di c 0 dt

Ri c   L

di c dt

di c R   dt di c L Ln (i c )  

R t  K' L

61



ic  

atau :

R t K ' L

K'

 



R t L



 K

R t L

R t i c  K L 

atau :

(3.3)

misalkan penyelesaian partikular adalah :

i p  A cos (t  )  B sin (t  ) ....................(a ) di p dt d 2i p dt 2

 A sin (t  )  B cos (t  ) ............(b)   2 A cos (t  )   2 B sin (t  )........(c)

        

(3.4)

Bilamana persamaan (3.1) dideferensialkan satu kali maka :

R

di d 2i L   Vm cos (t  ) dt dt 2

(3.5)

Bilamana harga-harga dari Persamaan (3.4) disubsitusikan ke Persamaan (3.5) dengan mengambil i = ip, maka akan diperoleh :





R  A sin( t  )  B cos(t  ) L   2 A cos(t  )   2 B sin( t  )  Vm cos(t  ) dengan menyamakan koefisien persamaan ini maka didapat : BR   2 LA  Vm  maka : B 

Vm  LA R

RA   2 LB  0  maka : B 

RA L

sehingga diperoleh : Vm  LA RA LVm   maka didapat : A   2 2 R L  L  R2

dan selanjutnya didapat : B

RVm  L2  R 2 2

dan seterusnya bilamana harga-harga A dan B disubsitusikan ke dalam Persamaan (3.4a) diperoleh : ip  

LVm RVm cos( t  )  2 2 sin( t  ) 2 2  L R  L  R2 2

(3.6)

melihat segi tiga impedansi dari RL seri : 62

 Gambar 3.2 Segitiga impedansi RL seri

maka terlihat bahwa :

cos  

sin  

R R  Z  2 L2  R 2

L  Z

(3.7)

L  L2  R 2

  tan 1

2

(3.8)

L R

(3.9)

Persamaan (3.6) dapat dibuat menjadi : ip  

ip  

LVm  2 L2  R 2

L

Vm

2 2 2  2 L2  R 2  L R   

cos(t  ) 

cos(t  ) 

RVm  2 L2  R 2

sin( t  )

Vm

R

2 2 2  2 L2  R 2  L R   





sin 

cos 

sin( t  )

sehingga : ip  

Vm 2 2

 L R

2

sin  cos( t  ) 

Vm 2 2

 L R

2

cos  sin( t  )

atau : ip 

Vm  2 L2  R 2

sin( t  ) cos   cos(t  ) sin 

mengingat : sin (t    )  sin( t  ) cos   cos(t  ) sin 

maka : ip 

Vm 2 L2  R 2

sin (t    )

(3.10)

sehingga dengan demikian :

63

i  ic  ip

atau : R t i  K L  

Vm  2 L2  R 2

sin (t    )

(3.11)

Karena pada t = 0- arus pada rangkaian : i(0-) = iL(0-) = 0, dan karena sifat dari L yang tidak dapat berubah dengan seketika, maka pada t = 0, arus pada rangkaian adalah i(0) = 0 dan kalau harga ini disubsitusikan ke dalam persamaan (3.11) akan diperoleh : 

i  0  K

R .0 L



Vm 2 2

 L R

2

sin (.0    )

sehingga diperoleh : Vm

K

2 2

 L R

2

sin (  )

apabila harga K ini disubsitusikan ke Persamaan (3.11) maka diperoleh :

i



Vm 2 2

 L R

2

sin (  )

R t L

Vm



2 2

 L R

2

sin (t    ) (3.12)

Bilamana Persamaan (3.9) disubsitusikan ke dalam persamaan ini, maka di dapat bentuk persamaan arus pada rangkaian setelah saklar ditutup : 

i

R t L 

 Vm

  2 L2  R 2

sin (   tan 1

L  Vm L )  sin (t    tan 1 ) R  R  2 L2  R 2 

(3.13)

Contoh :

Pada t = 0 saklar ditutup θ = 0, carilah bentuk persamaan arus i.

64

Jawab : Sewaktu rangkaian dihubungkan dengan sumber tegangan v dimana θ = 0 persamaan tegangan pada rangkaian : di v dt

Ri L

atau : 50 i  0,2

di  500 sin 500t dt

(*)

Adapun penyelesaian komplementer dari persamaan di atas adalah :

50 i c  0,2

di c 0 dt

50 i c  0,2

atau :

di c dt

di c  250 dt dt

atau : kalau diintegralkan akan diperoleh :

Ln (i c )  250 t  K'

atau : i c   250 t  K '   K '  250 t K' karena :   K , maka :

i c  K 250 t

(**)

Misalkan persamaan partikular (i = ip) adalah i p  A cos (500t  )  B sin (500t  ) maka :

di p dt

 500 A sin (500t  )  500 B cos (500t  )

(***) maka persamaan (*) untuk i = ip adalah

50i p  0,2

di p dt

 150 sin 500t

atau : di p dt

 250i p  750 sin 500t

65

di p kemudian subsitusikan ip dan dt ke dalam persamaan di atas, maka diperoleh :  500A sin 500t  500B cos 500t  250 ( A cos 500T  sin 50 t )  750 sin 500t

atau :

250B  500Asin 500t  500B  250Acos 500t  750 sin 500t dengan menyamakan koefisien ini di dapat : 250B – 500A = 750 dan 500B+250A = 0 maka diperoleh : A = -1,2 dan B = 0,6 Harga A dan B yang diperoleh disubsitusikan ke persamaan (***) : i p  1,2 cos 500 t  0,6 sin 500 t  0,6 sin 500 t  1, 2 cos 500 t

Mengingat :

a sin (t  )  b cos(t  )  c 2  d 2 sin (t  ) di mana : c  a sin   b cos 

; d  a cos   b sin 

; dan   tan 1

c d

maka : i p  1,31sin (500t  63,4)

(****)

sehingga i = (**) + (****) atau : i = Kε-250.t + 1,34 sin (250.t-63,40)

(*****)

Pada saat t = 0- diketahui iL(0-) = 0, dan karena sifat dari L yang tidak dapat berubah dengan seketika, pada saat t = 0, arus i(0) = 0 sehingga : i(0) = 0 = Kε-250.0 + 1,34 sin (250.0-63,40) Maka diperoleh : K = 1,19, harga K yang diperoleh disubsitusikan ke persamaan (*****), sehingga di dapat persamaan arus pada rangkain bila saklar ditutup adalah :

i  1,19. 250 t sint  mp

66

3.2 Response Sinusoidal Pada RC Seri

Perhatikan gambar di bawah ini :

Gambar 3.3 Rangkaian RC dengan sumber tegangan v = Vm sin (ωt + θ)

Pada saat t = 0 saklar di tutup sehingga rangakaian terhubung dengan sumber tegangan v = Vm sin (ωt + θ) di mana harga θ dari 0 → 2π.rad/det. Setelah saklar di tutup maka persamaan tegangan pada rangkaian adalah : 1 idt  Vm sin( t  ) C

(3.14)

di i   Vm cos( t  ) dt C

(3.15)

R .i 

bila dideferensialkan satu kali : R

sesuai Persamaan (3.2), maka penyelesaian Persamaan (3.14) ini adalah : i  i ss  i tr

dimana : itr = ic = penyelesaian komplementer iss = ip = penyelesaian partikular

Adapun penyelesaian komplementer dari Persamaan (3.15) untuk i = ic adalah :

R

di c i c di i   0 atau : c  c dt C dt RC

atau :

di c dt  ic RC 67

kalau diintegralkan : Ln i c   

t  K' RC

atau : 

ic  

t K' RC

K'

 



t RC

karena : εK' = K, maka : i c  K.



t RC

(3.16)

selanjutnya Persamaan (3.15) untuk i = ip adalah :

R

dip dt



ip C

 Vm cost  

(3.17)

Misalkan penyelesaian partikular sesuai Persamaan (3.4) yaitu : i p  A cost    B sin t   .......................a  di p dt

 A sin t    B cost  .............b 

d 2i p dt

  2 A sin t    2 B sin t   ........c

Bilamana harga-harga Persamaan (3.4) disubsitusikan ke Persamaan (3.5) maka diperoleh : R  A sin t   

1 A cos t   B sin t   Vm cos t   C

atau : A B     RA  sin( t  )   RB   cos(t  )  Vm cost    C C  

dengan menyamakan koefisien ruas kiri dan ruas kanan maka diperoleh : B B    RA   0  maka didapat : A  RC C  A   RB    Vm  maka didapat : A  Vm  RB  C 

dari kedua persamaan ini diperoleh : A

CVm 1  2 C 2 R 2

dan B 

 2 C 2 R 2 Vm 1  2 C 2 R 2

harga- harga A dan B disubsitusikan kepersamaan :

68

ip = A cos (ωt + θ) + B sin (ωt + θ)

sehingga diperoleh

ip 

CVm

cos (t  ) 

1  2 C 2 R 2

 2 C 2 R 2 Vm 1  2 C 2 R 2

sin (t  )

atau :   1 CR i p  CVm  cos (t  )  sin (t  ) 1  2 C 2 R 2 1   2 C 2 R 2 

atau :

 1 i p  CVm   1   2 C 2 R 2

cos (t  ) 1  2 C 2 R 2

CR



1  2 C 2 R 2

sin (t  )   1   2 C 2 R 2  (3.18)

dari segitiga impedansi RC seri terlihat :

 z  R2 



1  2C 2

1 C

Gambar 3.4 Segitiga impedansi RC seri

maka :

R  Z

cos  

R R2 



1 2 C 2

R 1 2 C 2 R 2  1 C

atau : cos  

CR 2C 2 R 2  1

dan :

 sin  

1 C

R2 

 1

2 C 2



1 C

1 2 C 2 R 2  1 C



1 2 C 2 R 2  1

sedangkan :

69

1 1 tan   ωC . maka :   tan 1 R ωCR 

jika besaran cos  dan sin  disubstitusikan kedalam Persamaan (3.18) akan diperoleh :

  cos (t  )  sin (t  ) i p  CVm  sin   cos    2 C 2 R 2  1  2 C 2 R 2  1 atau : ip

CVm 2C 2 R 2  1

sin (t  ) cos   cos (t  ) sin 

mengingat : sin (  )  sin  cos   cos  sin 

maka : sin ( t    )  sin ( t  ) cos   cos ( t  ) sin 

sehingga : ip

CVm 2C 2 R 2  1

sin (t   )

(3.19)

maka, dengan demikian : 

i  i c  i p  K.

t RC



CVm 2 2

2

sin (t   )

 C R 1

(3.20)

untuk mencari harga K, maka Persamaan (79) pada t = 0 adalah : R.i (0) 

1 i (0 ) .d 0  Vm sin( .0  ) C i (0 ) 

maka :

Vm sin  R

kemudian, jika Persamaan (3.20) dibuat pada t = 0, akan diperoleh : 0

i (0)

 Vm CVm  sin   K. RC  sin (.0   ) R 2 C 2 R 2  1

maka diperoleh : K

Vm sin   R

CVm 2 C 2 R 2  1

sin (  )

Bilamana harga K ini disubstitusikan kedalam Persamaan (3.20) akan diperoleh persamaan arus yang mengalir pada rangkaian :

70

 Vm i sin    R

karena :

  tan 1

  t CVm sin (  ) . RC  sin (t   ) 2 C 2 R 2  1 2 C 2 R 2  1  CVm

1 ωCR , maka : t

 Vm CVm CVm 1  1   RC 1  1 i sin   sin (  tan )  .  sin (t   tan ) 2 2 2 2 2 2 ωCR  ωCR  C R 1  C R 1  R (3.21)

Contoh : Perhatikan rangkaian di bawah ini : R  100 

v  250 sin (500 t  ) volt

C  25 F q c (0 )  0

Pada saat t = 0, dan  = 0 saklar ditutup sehingga rangkaian terhubung ke sumber tegangan v, carilah bentuk persamaan arus i pada rangkaian.

Jawab : Adapun persamaan tegangan pada rangkaian setelah saklar ditutup adalah : R .i 

1 i dt  250 sin 500 t C

(a)

atau : 100.i 

1 i dt  250 sin 500 t 25.10 6 

atau : i  400  i dt  2,5 sin 500 t

bila dideferensialkan satu kali : di  400.i  1250 cos 500t dt

(b)

Untuk mencari penyelesaian komplementer maka Persamaan (b) disamakan dengan nol dimana i = ic.

71

di c  400.i c  0 dt atau :

di c  400 dt ic kemudian diintegralkan hasilnya adalah :

Ln (i c )  400t  K ' atau : i c   400 t K '   K ' . 400 t K' karena :   K , maka :

i c  K. 400 t

Misalkan penyelesaian partikular adalah : i p  A cos 500 t  B sin 500 t

di p dt

 500 A sin 500t  500 B cos 500t

(c)

(d)

selanjutnya Persamaan (b) untuk : i = ip, adalah :

di p dt

 400.i p  1250 cos 500t

(e)

di p selanjutnya bilamana harga-harga i p dan dt pada persamaan (c) dan (d) disubstitusikan kedalam persamaan (e), maka diperoleh : ( 500 A sin 500t  500 B cos 500t )  ( 400 A cos 500t  400 B sin 500t )  1250 cos 500t

atau : ( 500 A  400 B) sin 500t  (500 B  400 A ) cos 500t  1250 cos 500t

maka diperoleh : ( 500 A  400 B)  0 dan (500 B  400 A )  1250

maka diperoleh : A = 1,22 dan B = 1,525

Harga A dan B ini disubtitusikan kedalam persamaan (c), maka diperoleh : i p  1,22 cos 500 t  1,525 sin 500 t

atau : 72

i p  1,953 cos (500 t  51,3)

karena : i  ic  ip

atau : i  K. 400 t  1,953 cos (500t  51,3)

(f)

Pada saat t = 0, maka persamaan (a) didapat : R.i ( 0 ) 

1 i.d 0  250 sin 500 .0  maka i ( 0 )  0 C

sehingga persamaan (f) untuk t = 0 adalah :

i ( 0 )  0  K. 400 t  1,953 cos (500.0  51,3)

maka diperoleh : K = -1,22,kemudian harga K ini disubstitusikan ke persamaan (f), maka diperoleh persamaan arus pada rangkaian setelah saklar ditutup adalah :

i  1,22. 400t  1,953 cos (500.t  51,3) Amp.

Contoh : Perhatikan rangkaian di bawah ini : R

100

t =0 v

250 sin ( 500t

i

) volt

+

C 25 F q c ( 0 )  5.10 3 C

Pada saat t = 0, dan  = 45o saklar ditutup, carilah bentuk persamaan arus pada rangkaian.

Jawab : Sebelum saklar kapasitor memiliki muatan qc(0-) = 5.10 -3 C, berarti pada terminal kapasitor telah ada tegangan sebesar :

v c(0) 

q c ( 0 ) C



5.10 3  200 volt 25.10 6

setelah saklar ditutup persamaan tegangan pada rangkaian adalah : 73

R.i 

1 i dt  250 sin (500 t  45) C

(a)

atau : 100.i 

1 i dt  250 sin (500t  45) 25.10 6 

atau : i  400 i dt  2,5 sin 500t

bila dideferensialkan satu kali : di  400.i  1250 cos ( 500 t  45) dt

(b)

Untuk mencari penyelesaian komplementer ic, maka Persamaan (b) disamakan dengan nol dengan menggantikan i = ic.

di c  400.i c  0 dt atau :

di c  400 dt ic jika diintegralkan hasilnya adalah :

Ln (i c )  400t  K ' atau : i c   400t K '   K ' . 400t K' karena :   K , maka :

i c  K. 400 t

(c)

Untuk mendapatkan penyelesaian partikular ip, maka dimisalkan : i p  A cos (500 t  45)  B sin (500 t  45)

(d)

sehingga :

di p dt

 500 A sin (500t  45)  500 B cos (500t  45)

(e)

selanjutnya dengan membuat i = ip pada persamaan (b) dan mensubstitusikan persamaan (d) dan (e) ke dalamnya akan diperoleh :  500 A sin (500t  45)  500 B cos (500t  45)  400 A cos (500t  45)  400 B sin (500t  45)  1250 cos (500t  45)

atau :

74

( 500 A  400 B) sin (500t  45)  (500 B  400 A ) cos (500t  45)  1250 cos (500t  45)

dengan menyamakan koefisien didapat : ( 500 A  400 B)  0

dan : (500 B  400 A )  1250

atau diperoleh : A = 1,22 dan B = 1,525 harga-harga A dan B ini disubtitusikan kedalam persamaan (d), maka diperoleh : i p  1,22 cos (500 t  45)  1,525 sin (500 t  45)

atau : i p  1,953 sin (500t  83,67)

(f)

karena : i  ic  ip

maka diperoleh :

i  K. 400t  1,953 sin (500t  83,67)

(g)

Pada saat t = 0- pada kapasitor telah ada tegangan sebesar vc(0-) = 200 volt dan karena sifat dari kapasitor yang tidak dapat berubah dengan seketika, maka pada t = 0, tegangan pada kapasitor juga sebesar vc(0) = 200 volt. Selanjutnya harga sesaat dari sumber tegangan pada saat t = 0 adalah : v ( 0 )  250 sin (500 .0  45)  176,77 volt

maka melihat dari plaritas sumber dan kapasitor, kedua tegangan ini v(0) dan vc(0) saling menguatkan, sehingga pada saat t = 0, kedua tegangan ini menghasilkan arus pada rangkaian sebesar :

i (0) 

v ( 0 )  v c( 0 ) R



176,77  200  3,76 Amp. 100

maka pada saat t = 0, persamaan (g) menjadi :

i ( 0 )  3,76  K. 400 t  1,953 cos (500.0  83,67)

75

maka dengan menyelesaikan persamaan ini di dapat K = 1,82. Kemudian harga K ini disubstitusikan ke persamaan (g), sehingga diperoleh bentuk persamaan arus pada rangkaian apabila saklar ditutup adalah :

i  1,82. 400t  1,953 cos (500.t  83,67) Amp.

3.3 Soal Latihan

1. Rangkaian seperti di bawah ini :

 v  10 sin(10 4 t  ) V 6

Carilah bentuk persamaan arus i setelah saklar ditutup.

2. Rangkaian seperti di bawah ini :

 v  5 sin(10 5 t  ) V 6

Carilah bentuk persamaan arus i setelah saklar ditutup.

3.

Rangkaian seperti di bawah ini :

76

v  10 sin (1000 t  30) V

Carilah bentuk persamaan arus i setelah saklar ditutup.

77