Rangkaian RL dan RC Dengan Sumber

Pengantar

Rangkaian RL dgn Sumber

Rangkaian RC dgn Sumber

Rangkaian RL dan RC Dengan Sumber Slide-07 Ir. Agus Arif, MT

Semester Gasal 2016/2017

1 / 32

Pengantar



Materi Kuliah 1

Pengantar Rangkaian Sebelumnya Fungsi Undak Satuan Sumber Ekivalen Fungsi Pulsa

2

Rangkaian RL dgn Sumber Rangkaian RL & Ekivalennya Penentuan Arus Penentuan Tanggapan Lengkap Ringkasan

3

Rangkaian RC dgn Sumber Penentuan Tanggapan Lengkap Ringkasan 2 / 32

Pengantar



Rangkaian RL & RC Bebas-Sumber Rangkaian RL & RC yg bebas-sumber tidak memiliki sumber tegangan/arus independen = forcing function menghasilkan tanggapan alamiah (natural) yg tergantung pd nature rangkaian sj memberikan tanggapan krn adanya simpanan tenaga awal di dalam induktor/kapasitor mempunyai elemen saklar yg pd t = 0 melenyapkan semua sumber independen dlm rangkaian merupakan persoalan rangkaian dgn sumber tenaga yg mendadak dilenyapkan Berikutnya akan dicari tanggapan dr rangkaian dgn sumber tenaga yg mendadak dipasangkan 3 / 32

Pengantar



Fungsi Undak Satuan [1] Fungsi waktu yg bernilai nol utk semua nilai argumennya yg kurang dr nol, dan satu utk semua nilai argumennya yg lebih dr nol Lambang fungsi undak satuan: u dan argumennya: t − t0 maka (

u(t − t0 ) =

0 t < t0 1 t > t0

4 / 32

Pengantar



Fungsi Undak Satuan [2] Kerap kali aksi pengubahan status saklar (switching) terjadi pd saat t = 0 (waktu awal) Fungsi undak satuan yg menyatakan aksi ini memiliki t0 = 0 sehingga (

u(t) =

0 t<0 1 t>0

Fungsi undak satuan adl tanpa-dimensi Tegangan v (t) = 5 u(t − 0.2) V adl sumber tegangan ideal yg bernilai nol sebelum t = 0.2 s dan tetap 5 V sesudah t = 0.2 s 5 / 32

Pengantar



Sumber Tegangan Ekivalen Manakah sumber tegangan fisik yg ekivalen dgn sumber tegangan undak?

(a): sumber tegangan ideal yg berwatak spt fungsi pemaksa undak satuan (b): sumber tegangan fisik yg dpt dipakai ttp bukan ekivalen dr rangkaian (a) → saklar SPST (single-pole-single-throw ) (c): rangkaian yg tepat ekivalen dgn rangkaian (a) → saklar SPDT (single-pole-double-throw ) 6 / 32

Pengantar



Sumber Arus Ekivalen

(a): sumber arus ideal yg berwatak spt fungsi pemaksa undak satuan (b): sumber arus fisik yg dpt dianggap sbg ekivalen dr rangkaian (a) namun tersirat tegangan awal = 0 padahal belum tentu keadaan yg sama terjadi pd rangkaian (a)

7 / 32

Pengantar



Fungsi Pulsa Kotak [1] Fungsi pulsa kotak didefinisikan sbg berikut:

v (t) =

   0

t < t0 V0 t0 < t < t1   0 t > t1

8 / 32

Pengantar



Fungsi Pulsa Kotak [2] Fungsi pulsa kotak dpt dibentuk dr selisih dua fungsi undak: u(t − t0 ) − u(t − t1 ) → (a) dan dpt diwujudkan sbg selisih dua sumber tegangan: V0 u(t − t0 ) − V0 u(t − t1 ) → (b)

9 / 32

Pengantar



Rangkaian RL & Ekivalennya Semua elemen terhubung seri & arus yg sama i(t) mengaliri semua elemen pd rangkaian (a) & (b) Saklar menutup pd saat t = 0 pd rangkaian (a) Sebelum t = 0, saklar masih terbuka & arus i(t) = 0 → sumber tegangan & saklar pd rangkaian (a) adl ekivalen dgn V0 u(t) pd rangkaian (b) Sesudah t = 0, saklar kini tertutup & rangkaian (a) sepenuhnya identik dgn rangkaian (b) 10 / 32

Pengantar



Penentuan Arus i(t) [1] Dgn menerapkan KVL pd rangkaian (b) diperoleh Ri +L

di = V0 u(t) dt

Pd t < 0, sumber tegangan = 0 sejak t = −∞ menghasilkan tanggapan = 0 atau i(t) = 0 t < 0 Pd t > 0, u(t) = 1 & harus diselesaikan pers diferensial (PD): Ri +L

di = V0 dt

t>0

Variabel2 dpt dipisahkan dan langsung diintegralkan: L L di = dt → − ln (V0 − R i) = t + k V0 − R i R 11 / 32

Pengantar



Penentuan Arus i(t) [2] Utk menentukan konstanta integrasi k harus dipakai syarat awal Sebelum t = 0, arus i(t) = 0 berarti i(0− ) = 0 Krn arus induktor tdk dpt berubah scr mendadak maka i(0+ ) = i(0− ) = 0 Dgn menyulihkan i = 0 pd t = 0 ke dlm solusi PD: −

L L ln (V0 − R × 0) = 0 + k → − ln (V0 ) = k R R

Solusi PD kini menjadi −

L [ln (V0 − R i) − ln (V0 )] = t R 12 / 32

Pengantar



Penentuan Arus i(t) [3] Pengaturan kembali suku2 pd solusi PD menghasilkan V0 − R i V0 V0 −R t/L = e −R t/L atau i = − e V0 R R

t>0

Alhasil, tanggapan rangkaian yg berlaku pd semua t:

i=

V0 V0 −R t/L − e R R

u(t)

Tanggapan lengkap ini terdiri dari tanggapan alamiah: V0 − e −R t/L R tanggapan paksaan: V0 R 13 / 32

Pengantar



Contoh #1 - Rangkaian RL dgn Sumber [1] Utk rangkaian di bawah, tentukanlah i(t) pd t = ∞, 3− , 3+ dan 100 µs setelah sumber tegangan berubah nilainya

Pd saat t → ∞, semua gejala transien tlh lenyap shg induktor dpt diperlakukan sbg hubungan-singkat: i(∞) =

12 = 12 mA 1000 14 / 32

Pengantar



Contoh #1 - Rangkaian RL dgn Sumber [2] Pd saat t < 3 s, fungsi undak u(t − 3) = 0 shg sumber tegangan: 12 u(t − 3) = 0 V dan arus rangkaian: i(3− ) = 0 A Pd saat t = 3+ s, sumber tegangan telah berubah mjd 12 u(t − 3) = 12 V, namun krn arus induktor tdk dpt berubah scr mendadak maka i(3+ ) = i(3− ) = 0 A Pd saat t > 3 s, tanggapan rangkaian RL dgn sumber dpt ditulis-ulang mjd i(t 0 ) =

V0 V0 −R t 0 /L − e R R

u(t 0 ) dgn t 0 = t − 3

Krn V0 /R = 12 mA dan R/L = 20000 s−1 mk i(t − 3) = (12 − 12 e −20000(t−3) ) u(t − 3) mA atau i(t) = (12 − 12 e −20000(t−3) ) u(t − 3) mA Alhasil, pd saat t = 3 + 100 × 10−6 s, i(3.0001) = 10.38 mA 15 / 32

Pengantar



Tanggapan yg Lengkap [1] Utk rangkaian berikut, tanggapan yg dicari = arus i(t)

Tanggapan yg lengkap: i = in + if dgn in : arus alamiah (natural) if : arus paksaan (forced)

Tanggapan alamiah = tanggapan rangk RL yg bebas-sumber in = A e −R t/L dgn A adl tetapan yg ditentukan berdasarkan keadaan awal dr tanggapan lengkap; jadi A 6= i(0) 16 / 32

Pengantar



Tanggapan yg Lengkap [2] Tanggapan paksaan berupa tetapan krn sumber = V0 yg tetap (dc) sepanjang t > 0 & ketika t → ∞ tanggapan alamiah akan lenyap serta tegangan induktor = 0 (spt hubung-singkat) mk V0 if = R Penggabungan kedua tanggapan tadi menghasilkan i = A e −R t/L +

V0 R

yg dpt diterapkan keadaan awal utk menentukan A Pd t < 0, arus i(t) = 0 & krn arus induktor tidak dpt berubah scr mendadak mk i(0+ ) = i(0− ) = 0 dan pd t = 0 0=A+

V0 V0 shg A = − R R 17 / 32

Pengantar



Tanggapan yg Lengkap [3] Alhasil, tanggapan lengkap i=

V0 (1 − e −R t/L ) R

Perhatikan A bukan nilai awal dr i(t) krn A = −V0 /R sedangkan i(0) = 0

Grafik tanggapan lengkap dr rangk RL dgn sumber: Arus terbangun dr nol hingga nilai akhirnya V0 /R Perubahan arus scr efektif berlangung slm 3 τ 18 / 32

Pengantar



Contoh #2 - Rangkaian RL dgn Sumber [1] Utk rangkaian di bawah, tentukanlah i(t) pd sepanjang waktu t

Rangkaian mengandung sumber tegangan dc & undak Resistans ekivalen Th´evenin dipandang dr induktor: 2×6 12 Req = 2 k 6 = = = 1.5 Ω 2+6 8 Tetapan waktu dr induktor L 3 τ= = =2s Req 1.5

19 / 32

Pengantar



Contoh #2 - Rangkaian RL dgn Sumber [2] Tanggapan lengkap: i = if + in Tanggapan alamiah = tanggapan rangk RL bebas-sumber: in = K e −t/2 A t > 0 Krn fungsi pemaksa = sumber tegagan dc mk tanggapan paksaan = arus yg tetap & induktor berwatak spt hubungansingkat 100 if = = 50 A t > 0 2 Dgn demikian, tanggapan lengkap: i = 50 + K e −t/2 A t > 0 Sebelum t = 0 arus rangkaian = 25 A & pd t = 0 arus ini tdk dpt berubah mendadak shg 25 = 50 + K e −0/2 → K = −25 20 / 32

Pengantar



Contoh #2 - Rangkaian RL dgn Sumber [3] Alhasil, kini tanggapan lengkap: i = 50 − 25 e −t/2 A t > 0 Dgn mengingat arus dlm keadaan awal, tanggapan lengkap dpt jg ditulis sbb: i(t) = 25 + 25 (1 − e −0.5 t ) u(t) A

Grafik tanggapan lengkap:

21 / 32

Pengantar



Ringkasan Rangkaian RL dgn Sumber Langkah2 menentukan tanggapan rangkaian RL dgn sumber 1 Dgn semua sumber dilenyapkan, sederhanakan rangkaian utk menentukan Req , Leq & tetapan waktu τ = Leq /Req 2 Dgn menganggap L eq sbg hubungan-singkat, pakai analisis dc utk menentukan arus induktor sebelum discontinuity iL (0− ) 3 Dgn menganggap L eq sbg hubungan-singkat, pakai analisis dc utk menentukan tanggapan paksaan i(∞) = lim i(t) 4 5

6

t→∞ −t/τ Ae

Tulis tanggapan lengkap: i(t) = i(∞) + Tentukan i(0+ ) dgn menggunakan syarat arus induktor iL (0+ ) = iL (0− ) sedangkan arus pd elemen lainnya dpt berubah mendadak shg i(0+ ) = i(∞) + A Alhasil, tanggapan lengkap: i(t) = i(∞) + [i(0+ ) − i(∞)] e −t/τ 22 / 32

Pengantar



Contoh #3 - Rangkaian RC dgn Sumber [1] Tentukan tegangan kapasitor vC (t) dan arus i(t) yg mengaliri resistor 200 Ω sepanjang waktu t pd rangkaian berikut

23 / 32

Pengantar



Contoh #3 - Rangkaian RC dgn Sumber [2] Pd t < 0, saklar berada pd kedudukan a shg rangkaian dpt digambar-ulang sbg berikut

Pd t = 0− , semua gejala transien sdh lenyap & kapasitor dpt dipandang sbg hubungan-terbuka (open circuit) shg 24 / 32

Pengantar



Contoh #3 - Rangkaian RC dgn Sumber [3] Kalang-luar (sumber 120 V, resistor2 10 Ω & 50 Ω) yg menentukan tegangan vC pd t = 0− Dgn memakai rumus pembagi-tegangan dpt dihitung vC (0− ) =

50 × 120 = 100 V 10 + 50

Krn tegangan kapasitor tidak dpt berubah scr mendadak mk vC (0+ ) = vC (0− ) = 100 V Pd t > 0, saklar berada pd kedudukan b shg rangkaian dpt digambar-ulang spt pd slide berikut & tanggapan lengkap mjd vC = vCf + vCn

dgn

vCf : tegangan kapasitor paksaan (forced) vCn : tegangan kapasitor alamiah (natural) 25 / 32

Pengantar



Contoh #3 - Rangkaian RC dgn Sumber [4]

Dgn sumber 50 V dilenyapkan, resistor ekivalen Th´evenin dipandang dr posisi kapasitor dpt dihitung sbb: 1 Req = 1 1 1 = 24 Ω 60 + 200 + 50 Dgn demikian, tetapan waktu: τ = Req C = 24 × 50 × 10−3 = 1.2 s 26 / 32

Pengantar



Contoh #3 - Rangkaian RC dgn Sumber [5] Dan tanggapan alamiah: vCn = A e −t/τ = A e −t/1.2 Utk menentukan tanggapan paksaan, dianggap semua gejala transien sdh lenyap & kapasitor dpt dipandang sbg hubungan terbuka shg pemakaian rumus pembagi tegangan: 200 k 50 vCf = × 50 60 + 200 k 50 (200)(50)/250 × 50 = 20 V = 60 + (200)(50)/250 Akibatnya, tanggapan lengkap mjd vC = 20 + A e −t/1.2 Dr keadaan awal vC (0+ ) = 100 V dpt diperoleh 100 = 20 + A e 0/1.2 → A = 80 27 / 32

Pengantar



Contoh #3 - Rangkaian RC dgn Sumber [6] Alhasil, tanggapan lengkap dpt dituliskan sbb: vC = 100 V

t<0

vC = 20 + 80 e −t/1.2 V

t≥0

Grafik tanggapan vC (t):

28 / 32

Pengantar



Contoh #3 - Rangkaian RC dgn Sumber [7] Berikutnya, penentuan arus i(t) yg melalui resistor 200 Ω Arus ini dpt berubah mendadak ketika terjadi perubahan kedudukan saklar Ketika saklar berada pd kedudukan a, penerapan KVL pd kalang-dalam menghasilkan i(0− ) =

50 50 = = 192.3 mA 60 + 200 260

Ketika saklar berada pd kedudukan b, penyederhanaan rangkaian & rumus pembagian arus menghasilkan

if = i(∞) =

50 200 + 50

50 = 0.1 A 60 + 200×50 200+50

Tanggapan lengkap: i = if + in 29 / 32

Pengantar



Contoh #3 - Rangkaian RC dgn Sumber [8] Bentuk arus alamiah = bentuk tegangan alamiah dr kapasitor yg sudah ditentukan shg in = A e −t/1.2 Bentuk tanggapan yg lengkap mjd i = 0.1 + A e −t/1.2 A Utk menentukan A, harus diketahui i(0+ ) yg dpt ditentukan dgn memperhatikan tegangan pd kapasitor, yakni vC (0+ ) = vC (0− ) = 100 V shg i(0+ ) =

100 = 0.5 A 200

krn kapasitor terhubung paralel dgn resistor 200 Ω 30 / 32

Pengantar



Contoh #3 - Rangkaian RC dgn Sumber [9] Pd t = 0, tanggapan lengkap menghasilkan 0.5 = 0.1 + A e 0/1.2 → A = 0.4 A Alhasil, arus i(t) utk sepanjang waktu t adl i(t) = 0.1923 A i(t) = 0.1 + 0.4 e

t<0 −t/1.2

A

t≤0

atau i(t) = 0.1923 + (−00923 + 0.4 e −t/1.2 ) u(t)

Grafik tanggapan i(t):

31 / 32

Pengantar



Ringkasan Rangkaian RC dgn Sumber Langkah2 menentukan tanggapan rangkaian RC dgn sumber 1 Dgn semua sumber dilenyapkan, sederhanakan rangkaian utk menentukan Req , Ceq & tetapan waktu τ = Req Ceq 2 Dgn menganggap C eq sbg hubungan-terbuka, pakai analisis dc utk menentukan tegangan kapasitor pra discontinuity vC (0− ) 3 Dgn menganggap C eq sbg hubungan-terbuka, pakai analisis dc utk menentukan tanggapan paksaan v (∞) = lim v (t) 4 5

6

t→∞ −t/τ Ae

Tulis tanggapan lengkap: v (t) = v (∞) + Tentukan v (0+ ) dgn menggunakan syarat tegangan kapasitor vC (0+ ) = vC (0− ) sedangkan tegangan pd elemen lainnya dpt berubah mendadak shg v (0+ ) = v (∞) + A Alhasil, tanggapan lengkap: v (t) = v (∞) + [v (0+ ) − v (∞)] e −t/τ 32 / 32

Rangkaian RL dan RC Dengan Sumber

Recommend Documents