SOROS RLC-KÖR
Ellenállás, kondenzátor és tekercs soros kapcsolása Az átmeneti jelenségek vizsgálatakor – soros RL- és soros RC-körben – egyértelművé vált, hogy a tekercsen késik az áram a feszültséghez képest, a kondenzátoron pedig a feszültség késik az áramhoz képest. Váltakozóáramú körökben ez a késés, pontosan 90 fok. Ezt figyelhetjük meg az 1. és a 2. ábrán. Lényegében viszonyítás kérdése, de lássuk meg, ez azt jelenti, hogy a valós terhelésen (ellenálláson) eső feszültséghez képest a kondenzátoron 90 fokot késik, a tekercsen pedig 90 fokot siet a feszültség. I
I R
R
UR
L
U0
UR
C
U0
UL
UC
1. ábra Soros RL- és soros RC-kör, mint négypólus – kapcsolási rajzok
ω UL
U0
ϕ
ω I
UR
UR ϕ
I
U0 UC
2. ábra Soros RL- és soros RC-kör fázorábrája 2 2 A forrásfeszültség: U 0= √ U R +U C
2 2 A forrásfeszültség: U 0= √ U R +U C
Az ellenállás feszültsége a forrásfeszültség koszinuszos vetülete: U R=U 0⋅cos ϕ
Az ellenállás feszültsége a forrásfeszültség koszinuszos vetülete: U R=U 0⋅cos ϕ
Ebből cos ϕ=
UR U0
Ebből cos ϕ=
Így a valós feszültség és a forrásfeszültség által U bezárt szög: ϕ=arccos( R ) U0 AZ ELEKTROTECHNIKA ALKALMAZÁSAI
UR U0
Így a valós feszültség és a forrásfeszültség által U bezárt szög: ϕ=arccos( R ) U0
Készítette: Mike Gábor
1/9
SOROS RLC-KÖR
Tekintettel arra, hogy soros körökről van szó, megállapítható, hogy közös az áram. Noha a soros egyenáramú köröknél megtanultuk, hogy Kirchhoff II. törvénye (huroktörvény) szerint a részfeszültségek összege egyenlő a forrás feszültségével, itt ez nem járható számítási mód, a valós ellenálláson és a reaktanciákon eső feszültségek által bezárt szög(ek) miatt. Tehát a Pythagoras-tétel alkalmazása válik szükségessé. Az 1. ábra szerinti soros köröket egyesítsük úgy, ahogy azt a 3. ábra mutatja! Az így kialakított kapcsolást soros RLC-körnek nevezzük. Az kapott kapcsolás fázorábrája is a 3. ábra szerinti. Vegyük észre: a tekercsen eső feszültség (U L ) 90 fokot siet, a kondenzátoron mérhető feszültség (U C ) pedig 90 fokot késik a valós ellenálláson eső feszültséghez (U R) képes, így a feszültségfázorok egymáshoz képest mindig 180 fokot zárnak be. A képzetes rész nagyságát tehát a két feszültségfázor különbsége adja. Amennyiben a feszültség-fázorábra komponenseit elosztjuk az egyetlen közös komponenssel, vagyis az árammal, akkor az impedancia-fázorábrát kapjuk eredményül, mely arányos a feszültségfázorábrával.
I
R
X L= UR
UL I
X C=
L
UL
U0
X =X L− X C =
U L−U C UC
C
R=
UR I
Z=
UO I
UC I
U L −U C I
I=
UO Z
ω UL
UC
ω
÷I
XL
XC
U0
U L−U C
ϕ
Z UR
X L− X C
ϕ
R
XC
UC
3. ábra Soros RLC-kör és fázorábrája A feszültség-fázorábra összefüggései:
Az impedancia-fázorábra összefüggései:
U 0= √ U R2 +(U L −U C )2
Z =√ R 2+( X L −X C )2
U R=U 0⋅cos ϕ
R=Z⋅cos ϕ
cos ϕ=
UR U => ϕ=arccos( R ) U0 U0
AZ ELEKTROTECHNIKA ALKALMAZÁSAI
cos ϕ= Készítette: Mike Gábor
R R => ϕ=arccos( ) Z Z 2/9
SOROS RLC-KÖR
Ismétlő fogalmak: • ellenállás: az impedancia valós része; • a kondenzátor kapacitív látszólagos ellenállása: kapacitív reaktancia, kapacitancia, az 1 impedancia képzetes része: |X C|= ; ω⋅C • a tekercs induktív látszólagos ellenállása: induktív reaktancia, induktancia, az impedancia 1 képzetes része: |X C|= ; ω⋅C • impedancia: komplex ellenállás, amely valós ellenállásból és látszólagos ellenállásból tevődik össze. Tanulmányaink folyamán láttuk, hogy mind a kapacitív, mind pedig az induktív reaktancia frekvenciafüggő. 1 1 1 Kapacitív reaktancia: X C = , valamint frekvenciafüggése: X C ∼ . = ω⋅C 2⋅π⋅f ⋅C f Induktív reaktancia: X L=ω⋅L=2⋅π⋅f ⋅L , ha ω nő , akkor
{
az ω L , vagyis X L nő 1 az , vagyis X C csökken ωC
valamint frekvenciafüggése: X C ∼f .
}
ha ω csökken , akkor
{
az ω L, vagyis X L csökken 1 az , vagyis X C nő ωC
}
Amennyiben tehát egy adott soros RLC-kapcsolás esetén változtatjuk a frekvenciát, úgy a reaktanciák értéke is változik, ezzel a rajtuk mérhető feszültség is, valamint a bezárt szög is. Mindennek ismeretében belátható, hogy bizonyos frekvenciákon az induktív reaktancia a domináns, míg más frekvenciákon a kapacitív dominancia a jellemző:
ω UL
UC
÷I
XL
XC
U0
U L−U C
Z
ϕ
X L− X C
UR
UC
ϕ
U L−U C
UL
ω
XL
÷I
ϕ
X L− X C
U0
R
b)
ω UR
ϕ
XC
a)
UL
UC
ω
XC
c)
R Z
XL
d)
4. ábra induktív [a) és b)], valamint kapacitív [c) és d)] dominancia az impedanciában AZ ELEKTROTECHNIKA ALKALMAZÁSAI
Készítette: Mike Gábor
3/9
SOROS RLC-KÖR
Összefoglalva az eddig látottakat: Induktív dominanciáról beszélünk, ha: • X L− X C >0 ; • U L−U C > 0 ; • ϕ>0
Kapacitív dominanciáról beszélünk, ha: • X L− X C <0 ; • U L−U C < 0 ; • ϕ<0
Nézzünk egy számpéldát! Állítsunk össze egy soros RLC-kört, a következő értékek és adatok mellett!
I R
R=100 Ω ; L=1 H ; C=5μ F ; 1 U 0=230 V ; f =50 s
UR
UL
Számítsuk ki a következőket!
L
U L−U C
U0
Induktív reaktancia: X L=? ; Kapacitív reaktancia: X C =? ; Eredő reaktancia: X =? ; Impedancia: Z =? ; Áramerősség: I =? ; A tekercsen eső feszültség: U L=? ; A kondenzátoron eső feszültség: U C =? Az ellenálláson eső feszültség: U R=? ; A forrásfeszültség ellenőrzése: U 0=? A fázisszög: ϕ=?
UC
C
4. ábra a feladat kapcsolási rajza
1 1 Vs V Induktív reaktancia: X L=ω L=2 π f L=2 π⋅50 ⋅1 H=2 π⋅50 ⋅1 =100 π =314,16 Ω s s A A 1 1 Kapacitív reaktancia: X L= = = ωC 2π f C
1 1 106 V = = =636,62 Ω 1 1 As 500 π A 2 π⋅50 ⋅5 μ F 2 π⋅50 ⋅5⋅10−6 s s V
Az eredő reaktancia: X =X L− X C =314,16 Ω−636,62Ω=−322,46Ω
=> kapacitív jellegű
Fontos megállni ezen a helyen! Mint ismeretes negatív ellenállás nem létezik, a negatív előjel általában jelölhet csökkenő változást, vagy – mint ahogy esetünkben – azt mutatja meg, hogy a kapott eredő reaktancia kapacitív jellegű. 2 2 2 2 2 2 Az impedancia: Z =√ R +( X L −X C ) =√ R + X =√ 100 Ω +(−322,46 Ω) =
= √10000 Ω2 +103980,45 Ω2 ==√ 113980,46 Ω2=337,61 Ω
AZ ELEKTROTECHNIKA ALKALMAZÁSAI
Készítette: Mike Gábor
4/9
SOROS RLC-KÖR
Az áramerősség: I =
U0 230 V = =0,68126 A=681,25 mA Z 337,61 Ω
A tekercsen eső feszültség: U L= X L⋅I=314,16 Ω⋅681,25⋅10−3 A=214,02 V A kondenzátoron eső feszültség: U L= X C⋅I =314,16 Ω⋅681,25⋅10−3 A=433,70V Az ellenálláson eső feszültség: U R=R⋅I=100 Ω⋅681,25⋅10−3 A=68,13V 2 2 2 2 A forrásfeszültség ellenőrzése: U 0= √ U R +(U L −U C ) =√ 68,13 V +(214,02 V −433,70 V ) =230 V
A cos ϕ (a feszültség-fázorábrából): cos ϕ=
U R 68,13 V = =0,296 U 0 230 V
R 100 Ω A cos ϕ (az impedancia-fázorábrából): cos ϕ= = =0,296 Z 337,61 Ω A fázisszög: ϕ=arccos(0,296)=(-) 72,77 o => Lássuk meg: azért negatív a szög értéke, mert kapacitív az impedancia, vagyis a kapacitív jellegnek megfelelően valóban késés van. A fázisszög másképpen is kiszámítható. A Z impedancia meredeksége: m=tan(ϕ)=
X −322,16 Ω = =−3,2216 R 100Ω
ebből
ϕ=arctan(−3,2216)=−72,77 o
ω UL
ω
÷I
XL
I UR
R
ϕ
U L−U C
UC
ϕ
U0
X L− X C
UL
XC
Z
XL
5. ábra a kidolgozott feladat fázorábrái
AZ ELEKTROTECHNIKA ALKALMAZÁSAI
Készítette: Mike Gábor
5/9
SOROS RLC-KÖR
Állítsuk össze a feladat kapcsolási rajzát a TINA-TI áramkörszimulátor segítségével, majd végezzük el AC analízisét! I 681,26mA 72,77° +
A
+
+
R1 100
U0
V
UR 68,13V 72,77°
+ C1 5u
V
UC 433,7V -17,23°
+ L1 1
V
UL 214,02V 162,77°
7. ábra a kidolgozott feladat szimulációs mérése A szimulációs mérés eredményeit lehetőségünk van összehasonlítani a számításainkkal. Villamos jellemzők
Számított adatok
Szimulációs adatok
Induktív reaktancia: X L
314,16 Ω
–
Kapacitív reaktancia: X C
636,62Ω
–
−322,46 Ω
–
Impedancia: Z
337,61Ω
–
Áramerősség: I
681,25 mA
681,26 mA
A tekercsen eső feszültség: U L
214,02V
214,02V
A kondenzátoron eső feszültség: U C
433,70 V
433,70 V
Az ellenálláson eső feszültség: U R
68,13 V
68,13 V
A forrásfeszültség ellenőrzése: U 0
230 V
–
−72,77 o
(-) 72,77o
U 0 és U C által bezárt szög
–
(-) 17,23o
U 0 és U L által bezárt szög
–
162,77
U L és U C által bezárt szög
–
180o
Eredő reaktancia: X
A fázisszög, U 0 és U R által bezárt szög: ϕ
o
Jól látható az adatokból, hogy a két reaktancia feszültsége (és vele együtt maguk a reaktanciák is) merev kapcsolatban vannak egymással (180 fok).
AZ ELEKTROTECHNIKA ALKALMAZÁSAI
Készítette: Mike Gábor
6/9
SOROS RLC-KÖR
Soros RLC-rezgőkör Láthattuk, hogy létezik olyan soros RLC-kör, amelyik kapacitív jellegű, s van, amelyik induktív jelleget mutat, a domináns reaktancia függvényében. Joggal tehetjük fel a kérdést: mi van akkor, ha a két reaktancia azonos nagyságú? Ez az állapot csak egy frekvencián következik be. Azt az állapotot, ahol a két reaktancia nagysága – és vele együtt a két reaktancián eső feszültség nagysága – megegyezik, rezonancia-frekvenciának nevezzük. A rezonancia-frekvencia meghatározásának kiinduló tétele tehát a reaktanciák nagyságának azonossága: X L= X C /helyettesítsünk be! ω L= 2
ω= rezonancia-frekvencia:
f 0=
1 ωC
/rendezzük át az egyenletet ω−ra !
1 LC
=>
1
ω0 =
1 √ LC
ez a Thomson-képlet.
2 π √ LC
Mivel X L= X C , ezért belátható, hogy X =X L− X C =0 . Ha eredő reaktancia nulla, akkor az Z =√ R 2+( X L −X C )2 képlet értelmében: Z =R . Amennyiben az impedancia megegyezik az ellenállás értékével, fázistolásról sem beszélhetünk, vagyis ϕ=0 , cos ϕ=1 . Természetesen hasonlóképpen alakul a helyzet a feszültségek esetében is. X L= X C X L− X C =0
U L=U C
=> =>
U L−U C =0
Z =√ R 2+( X L −X C )2
=>
U 0= √ U 2 +(U L−U C )2
Z =R
=>
U 0=U R
=>
ϕ=0
ϕ=0
Mivel a reaktanciákon eső feszültség nagysága egyezik meg a soros rezonancia-frekvencián, ezért feszültségrezonanciáról beszélünk. A soros rezonancián a legnagyobb lesz a soros RLC-kör árama, U U hiszen az impedancia eléri a minimumát. Ekkor I f = 0 = 0 . Z R 0
ω
UL
I
ω
XL
UR
R
U0
Z
UC
XC U L−U C =0
X L− X C =0
7. ábra a feszültség- és impedancia-fázorábra a rezonancia-frekvencián AZ ELEKTROTECHNIKA ALKALMAZÁSAI
Készítette: Mike Gábor
7/9
SOROS RLC-KÖR
Nézzünk egy számpéldát a soros feszültségrezonanciára! Keressük meg az előző példánk rezonancia-frekvenciáját! Állítsunk össze egy soros RLC-kört, a következő értékek és adatok mellett!
I R
R=100 Ω ; L=1 H ; C=5μ F ; U 0=230 V Számítsuk ki a következőket!
UR
A rezonancia-frekvencia:
f 0=
1 2 π √ LC
L
UL
Rezonancia-frekvencia: f 0=? Induktív reaktancia: X L=? ; Kapacitív reaktancia: X C =? ; Eredő reaktancia: X =? ; Impedancia: Z =? ; Áramerősség: I =? ; A tekercsen eső feszültség: U L=? ; A kondenzátoron eső feszültség: U C =? Az ellenálláson eső feszültség: U R=? ; A fázisszög: ϕ=?
U L−U C
U0 C
UC
8. ábra a feladat kapcsolási rajza
=
1 = 2 π √ 1 H⋅5μ F
1
√
2π 1
Vs As ⋅5⋅10−6 A V
=
1 = 2 π √5⋅10−6 s2
1 103 1 √ 5⋅100 1 = = π =71,176 =71,176 Hz −3 s 2 π √ 5⋅10 s 2 π √ 5 s Induktív reaktancia:
1 1 Vs X L=ω L=2 π f 0 L=2 π⋅71,176 ⋅1 H=2 π⋅71,176 ⋅1 =447,214 Ω s s A
Kapacitív reaktancia:
X C=
=
1 1 = = ωC 2π f 0C
1 1 2 π⋅71,176 ⋅5μ F s
1 1 As 2 π⋅71,176 ⋅5⋅10−6 μF s V
=
=447,214 Ω
Eredő reaktancia:
X =X L− X C =447,214 Ω−447,214 Ω=0Ω
Impedancia:
Z =√ R 2+( X L −X C )2=√ R 2+ 02=√ R2=R
Áramerősség:
I=
U U 230 V = = =2,3 A Z R 100 Ω
A tekercsen eső feszültség: U L= X L⋅I =447,214 Ω⋅2,3 A=1028,59 V A kondenzátoron eső feszültség: AZ ELEKTROTECHNIKA ALKALMAZÁSAI
U C = X C⋅I =447,214 Ω⋅2,3 A=1028,59 V Készítette: Mike Gábor
1/9
SOROS RLC-KÖR
Tessék megfigyelni, hogy a tekercsen és a kondenzátoron igen nagy feszültségek alakulhatnak ki, miközben a forrás feszültsége töredéke eme feszültségeknek. A reaktanciákon eső feszültség nagysága U U nagyban függ az áramerősségtől, közvetve pedig a soros ellenállástól. I = = . Z R Az ellenálláson eső feszültség:
U R=R⋅I =100 Ω⋅2,3 A=230 V =U 0
R o ϕ=arccos( ) , mivel Z =R , ezért ϕ=arccos(1)=0 Z
A fázisszög:
Szimulációs ellenőrzés következzék. Állítsuk össze a feladat kapcsolási rajzát a TINA-TI áramkörszimulátor segítségével, majd végezzük el AC analízisét! I 2,3A 0° +
A
+
+
R1 100
V
UR 230V 0°
+
U0
L1 1
V
UC 1,03kV 90°
+
V + C1 5u
V
UL-UC 49,65nV -90°
UL 1,03kV -90°
9. ábra A szimulációs mérés eredményeit lehetőségünk van összehasonlítani a számításainkkal. Villamos jellemzők
Számított adatok
Szimulációs adatok
XL
447,214 Ω
–
447,214 Ω
–
0Ω
–
100 Ω
–
2,3 A
2,3 A
1028,59 V
1,03 kV
1028,59 V
1,03 kV
Induktív reaktancia: Kapacitív reaktancia: Eredő reaktancia: Impedancia:
XC
X
Z
Áramerősség:
I
A tekercsen eső feszültség:
UL
A kondenzátoron eső feszültség:
UC
Az ellenálláson eső feszültség:
UR
230 V
230 V
A forrásfeszültség ellenőrzése:
U0
230 V
–
0o
0o
U 0 és U C által bezárt szög
–
−90
U 0 és U L által bezárt szög
–
90o
U L és U C által bezárt szög
–
180
A fázisszög, U 0 és
ϕ
U R által bezárt szög:
AZ ELEKTROTECHNIKA ALKALMAZÁSAI
Készítette: Mike Gábor
o
o
1/9
