4. Konzultáció: Periodikus jelek soros RC és RL tagokon, komplex ellenállás Részlet (nagyon béta) "Elektrós"-Zoli 2013. november 3.
1
A jegyzetr˝ol Jelen jegyzet a negyedik konzultációm anyagának egy részletét tartalmazza. A jegyzetben található levezetések nem szükségesek az Elektronika és méréstechnika cím˝u tárgy teljesítéséhez, viszont a második féléves Differenciálegyenletek megoldása cím˝u tárgyhoz jól jöhetnek. Emellett a fizikában máshol is vannak hasonló egyenletek és levezetések, így érdemes átnézni o˝ ket. A jegyzet bárki szabadon letöltheti a honlapomról, viszont nem járulok hozzá, hogy a jegyzeteimet bárki más terjessze, továbbadja, vagy módosítsa! Frissített változatért látogasd meg a honlapomat (ami jelenleg az ls86.net névre hallgat), vagy küldj e-mailt:
[email protected] A jegyzet esetlegesen hibákat tartalmazhat, ha netán valaki találna ilyet, akkor kérem jelezze azt e-mailben! 2013.11.03. Budapest
2
Tartalomjegyzék 1. Periodikus jelek soros RC és RL tagokon: 1.1. Periodikus négyszögjel: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1. Állandósult jelalak: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2. Egyenáramú leválasztás: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 4 4 4
2. Szinuszos jel soros RC és RL tagokon 2.1. Szinuszos áram: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Szinuszos feszültség: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 4 5
3. Komplex ellenállások 3.1. Az eddigi tapasztalatok összefoglalása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. A komplex ellenállások: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8 8 8
3
1.
Periodikus jelek soros RC és RL tagokon:
1.1.
Periodikus négyszögjel:
Mi van, ha nem szimpla tölt˝odés van, hanem valami változik? 1.1.1.
Állandósult jelalak:
Mi történik sok sok id˝o múlva? 1.1.2.
Egyenáramú leválasztás:
Mire jók a nagy kondenzátorok?
2.
Szinuszos jel soros RC és RL tagokon
Emlékeztet˝oül: Elem R L 1 C
C
2.1.
U (t) = I(t)R L dI(t) R d(t)0 0 I(t )dt
I(t) = 1 L
R
U (t) R 0
U (t )dt0
(t) C dU d(t)
Szinuszos áram:
Mint ahogy korábban is láthattuk, soros RL é RC kapcsolás esetén az áram határozza meg a feszültségeket. Legyen az áram: I(t) = Iˆ sin(ω · t) (2.1) Soros RC: UR (t) = RI(t)
UC (t) =
1 C
Z
Z
Iˆ Iˆ sin(ωt0 )dt0 = − cos(ωt) ωC
I(t0 )dt0
(2.2)
Vagyis: ˆ sin(ωt) UR (t) = RIˆ sin(ωt) = U
UC (t) =
1 C
(2.3)
Soros RL:
dI(t) dt ˆ d(I sin(ωt)) ˆ sin(ωt) ˆ cos(ωt) UR (t) = RIˆ sin(ωt) = U UL (t) = L = IωL dt Most pedig vegyünk el˝o néhány trigonometriai azonosságot: UR (t) = RI(t)
UL (t) = L
(2.4) (2.5)
sin(x + π/2)
=
sin(x) cos(π/2) + cos(x) sin(π/2) = sin(x)0 + cos(x)1 = cos(x)
(2.6)
sin(x − π/2)
=
sin(x) cos(π/2) − cos(x) sin(π/2) = sin(x)0 − cos(x)1 = − cos(x)
(2.7)
Vagyis írhatjuk azt, hogy UC (t)
=
UL (t)
=
1 ˆ 1 ˆ I cos(ωt) = · I sin(ωt − π/2) ωC ωC ωLIˆ cos(ωt) = ωL · Iˆ sin(ωt + π/2) −
(2.8) (2.9)
Ha ezekre ránézünk, akkor rádöbbenhetünk, hogy 1/ωC, valamint ωL ellenállás jelleg˝u mennyiségek lehetnek, ugyanis a fázisban eltolt árammal vannak beszorozva. Összefoglalásul azt mondhatjuk, hogy soros RC és RL kapcsolásoknál szinuszos áramforrás esetén a kapacitás és induktivitás ellenállása és fázistolása: 1 ωC XL := ωL XC :=
−90◦ -os fázistolás ◦
+90 -os fázistolás
(2.10) (2.11)
A −90◦ -os fázistolásra azt is szokás mondani, hogy 90◦ -ot "késik" a feszültség az áramhoz képest, a +90◦ -osra pedig hogy "siet". 4
2.2.
Szinuszos feszültség:
Ha szinuszos feszültségforrásunk van, akkor kicsit más a helyzet. Induljunk ki a huroktörvényb˝ol: UL (t) + UR (t) dI(t) L + RI(t) dt dI(t) R + I(t) dt L
=
Ug (t)
=
U · sin(ωt)
=
U · sin(ωt) L
U dI(t) R + I(t) = · sin(ωt) dt L L
⇒
(2.12) /:L
(2.13) (2.14)
t := x I(t) := y(x) R L := a; U L := b
(2.15)
y 0 (x) + a · y(x) = b · sin(ωx)
(2.16)
Ez természetesen egy inhomogén, lineáris, els˝orend˝u differenciálegyenlet, melynek teljes megoldása: y(x) = Y (x) + y0 (x)
(2.17)
Ahol Y a homogén egyenlet általános megoldása, y0 pedig az inhomogén egyenlet egy partikuláris megoldása. A homogén rész: R dY (x) +a·Y =0 Y (x) = Ce− adx = Ce−ax dx Ahol C integrációs konstans. Ez alapján az inhomogén egyenlet partikuláris megoldása:
y0 (x) := C(x)eax
=⇒
(2.18)
dy0 (x) = C 0 (x)e−ax + (−a)C(x)e−ax dx
(2.19)
Visszahelyettesítve: y00 (x) + ay0 (x) = −ax −ax C 0 (x)e−ax −aC(x)e + aC(x)e = C 0 (x)
=
C(x)
=
b sin(ωx)
(2.20)
b sin(ωx) b sin(x)eax Z b sin(ωx)eax dx
(2.21) .Z
dx
(2.22) (2.23)
Itt egy parciális integrálba jutunk1 : Z Z Z a 1 1 1 ax ax eax − − cos(ωx) ae cos(ωx)e + cos(ωx)eax dx sin(ωx) |{z} eax dx = − cos(ωx) |{z} dx = − |{z} | {z } ω ω ω ω | {z } g(x) | {z } g0 (x) f 0 (x) g(x) f (x)
f (x)
(2.27) Most ismét integrálunk egyet parciálisan: Z Z Z 1 1 1 a ax ax cos(ωx) |{z} eax dx = sin(ωx) |{z} eax − sin(ωx) ae dx = sin(ωx)e − sin(ωx)eax dx (2.28) |{z} | {z } ω ω ω ω | {z } g(x) | {z } g0 (x) g(x) f 0 (x) f (x)
f (x)
1
Z
(f (x)g(x))0
=
f (x)g(x)
=
f 0 (x)g(x)dx
=
Z f 0 (x)g(x) + f (x)g 0 (x) dx Z Z f 0 (x)g(x)dx + f (x)g 0 (x)dx Z f (x)g(x) − f (x)g 0 (x)dx
5
(2.24) (2.25) (2.26)
Ha (2.27)-be behelyettesítjük (2.28)-t, akkor: Z 1 sin(ωx)eax dx = − cos(ωx)eax + ω 1 = − cos(ωx)eax + ω
Z a 1 a sin(ωx)eax dx = sin(ωx)eax − ω ω ω 2 Z a a sin(ωx)eax − 2 sin(ωx)eax dx ω2 ω
Ezt szépen átrendezzük: Z a2 1 a sin(ωx)eax dx = − cos(ωx)eax + 2 sin(ωx)eax 1+ 2 ω ω ω Z 2 ω + a2 1 a sin(ωx)eax dx = sin(ωx)eax − cos(ωx)eax ω2 ω2 ω Z a ω2 1 ax ax ax sin(ωx)e − cos(ωx)e sin(ωx)e dx = ω 2 + a2 ω2 ω Z ax e [a sin(ωx) − ω cos(ωx)] sin(ωx)eax dx = ω 2 + a2 Tehát C(x) = b
eax [a sin(ωx) − ω cos(ωx)] ω 2 + a2
(2.29) (2.30)
(2.31) (2.32) (2.33) (2.34)
(2.35)
Így a teljes megoldás: y(x)
= Y (x) + y0 (x) = Ce−ax + b = Ce−ax +
eax = e−ax [a sin(ωx) − ω cos(ωx)] + a2
ω2
b [a sin(ωx) − ω cos(ωx)] ω 2 + a2
(2.36) (2.37)
És most térjünk vissza az eredeti mennyiségekre: R
I(t) = Ce− L t +
U L
1 R 2 L
+ ω2
R sin(ωt) − ω cos(ωt) L
(2.38)
Az egyetlen ismeretlen integrációs konstans a C. A tag, amiben szerepel, egy id˝oben exponenciálisan lecseng˝o tag L (R := τ , szokásos jelölés) tehát ez nyílván azt jelenti, hogy van egy kezdeti mennyiség, ami id˝ovel "elhal", lecseng a veszteségek miatt (R). Logikus következtetés, hogy C a kezdeti áram, I0 . Az id˝oállandónak megfeleltethet˝o egy frekvencia, ezt jelöljük ωh -val (ωh := 1/τ ). Tehát: t
I(t) = I0 e− τ +
1 U [ωh sin(ωt) − ω cos(ωt)] L ωh2 + ω 2
(2.39)
Itt ismét érdemes a cos-t átírni sin-á, mert akkor szuperponálhatjuk a sin-al2 . t U 1 U 1 [ωh sin(ωt) − ω cos(ωt)] = I0 e− τ + [ωh sin(ωt) + ω sin(ωt − π/2)] L ωh2 + ω 2 L ωh2 + ω 2 (2.42) És akkor a jelölések: A1 = ωh A2 = ω ϕ1 = 0 ϕ2 = −π/2 (2.43) t
I(t) = I0 e− τ +
Így: A=
q
A1 2 + A2 2 + 2A1 A2 cos(ϕ2 − ϕ1 ) =
q p ωh 2 + ω 2 + ωh ω cos(π/2 − 0) = ωh 2 + ω 2 | {z }
(2.44)
=0
2
Szinuszos rezgések szuperponálása (Bronstejn 8. kiadás 2.7.3.2. Rezgések szuperpozíciója, vagy összetétele, 84. oldal) A1 sin(ωt + ϕ1 ) + A2 sin(ωt + ϕ2 ) = A sin(ωt + ϕ)
ahol A=
q A1 2 + A2 2 + 2A1 A2 cos(ϕ2 − ϕ1 )
tan(ϕ) =
6
A1 sin(ϕ1 ) + A2 sin(ϕ2 ) A1 cos(ϕ1 ) + A2 cos(ϕ2 )
(2.40)
(2.41)
=0
=−1
z }| { z }| { ω A1 sin(ϕ1 ) + A2 sin(ϕ2 ) ωh sin(0) +ω sin(−π/2) =− tan(ϕ) = = A1 cos(ϕ1 ) + A2 cos(ϕ2 ) ωh cos(0) +ω cos(−π/2) ωh | {z } | {z } =1
(2.45)
=0
Vagyis
ω ϕ = arctan − ωh
= − arctan
Tehát a pusztán sin-al leírt áram: I(t)
− τt
=
I0 e
+
=
I0 e− τ +
=
I0 e− τ +
=
I0 e− τ +
t
t
t
ω R L
!
= − arctan
ωL R
= − arctan
XL R
√ U ωh 2 + ω 2 ωL sin ωt − arctan = L ωh2 + ω 2 R ωL U 1 √ sin ωt − arctan = L ωh 2 + ω 2 R U ωL 1 q sin ωt − arctan = L R R 2 2 + ω L U 1 ωL q sin ωt − arctan = L R2 +ω2 L2 R
(2.46)
(2.47) (2.48) (2.49)
(2.50)
L2
=
t
U L ωL √ sin ωt − arctan R L R2 + ω 2 L2 U ωL +√ sin ωt − arctan R R2 + ω 2 L2
I0 e− τ + t
I(t) = I0 e− τ
Az áram ismeretében az ellenálláson és induktivitáson es˝o feszültség már könnyen számítható: ωL R − τt UR (t) = RI(t) = RI0 e +U√ sin ωt − arctan R R2 + ω 2 L2 t R ωL sin ωt − arctan = U0 e− τ + U √ R R2 + ω 2 L2 t R XL sin ωt − arctan UR (t) = U0 e− τ + U p R R2 + XL 2
(2.51) (2.52)
(2.53) (2.54) (2.55)
Az induktivitásé: UL (t)
= = = =
L d −t d dI(t) ωL τ +U√ L = LI0 e sin ωt − arctan dt dt R R2 + ω 2 L2 dt ωL ωL L t −I0 e− τ + U √ cos ωt − arctan 2 2 2 τ R R +ω L L −t XL π XL τ −I0 e +Up sin ωt + − arctan L 2 R R2 + XL 2 R t XL R sin ωt + arctan −U0 e− τ + U p 2 XL R2 + XL
(2.56) (2.57) (2.58) (2.59)
Felhasználtuk, hogy tan(ϕ) = cot(ϕ0 ) = cot(π/2 − ϕ), valamint hogy tan(ϕ) = 1/ cot(ϕ), így tan(ϕ) = 1/ tan(π/2 − ϕ) t R R UL (t) = −U0 e− τ + U p sin ωt + arctan (2.60) XL R2 + XL 2 És most nézzük a soros RC-t, de csak röviden. Ekkor a huroktörvény: UC (t) + UR (t) = Ug (t) Z 1 RI(t) + I(t0 )dt0 = U · sin(ωt) C dI(t) 1 R + I(t) = U ω · cos(ωt) dt C dI(t) 1 Uω + I(t) = · cos(ωt) dt RC T 7
(2.61) d dt 1 · R
(2.62) (2.63) (2.64)
Ha ezt végigszámolnánk, akkor azt kapnánk eredményül, hogy: I(t) = I0 e
− τt
+Up
1 R2 + XC 2 R
t
UR (t) = U0 e− τ + U p
R2 + XC 2
t
UC (t) = −U0 e− τ + U p
3.
XC sin ωt + arctan R XC sin ωt + arctan R
XC R2 + XC 2
R sin ωt − arctan XC
(2.65)
(2.66)
(2.67)
Komplex ellenállások
3.1.
Az eddigi tapasztalatok összefoglalása
Az eddigi tapasztalatok soros RC kapcsolásoknál: • Áramgenerátor esetén a kondenzátorok feszültsége 90◦ -os késésben van az áramhoz képest (ami mellékesen egybeesik az ellenállás fázisával, mivel az ellenállás feszültsége "leköveti" az áramot. • A kondenzátorok ellenállása alacsony frekvenciákon nagy, magas frekvenciákon kicsi. • Feszültséggenerátor esetén a kondenzátorokon es˝o szinuszos feszültség alacsony frekvenciánál közel egybeesik a bemen˝o jel fázisával, magas frekvenciákon közel −90◦ -os eltolást szenved. • Az ellenállás és a kondenzátor feszültsége közt mindíg van egy −90◦ -os fáziskülönbség. Hasonlóképpen a tapasztalataink soros RL kapcsolások esetén: • Áramgenerátor esetén a tekercsek feszültsége 90◦ -ot siet az áramhoz képest. • A tekercsek ellenállása alacsony frekvenciákon kicsi, míg magas frekvenciákon nagy. • Feszültséggenerátor esetén a tekercseken es˝o szinuszos feszültség alacsony frekvenciánál közel +90◦ -os eltolást szenved, míg magas frekvenciákon közel egybeesik. • A tekercs és az ellenállás feszültsége közt minden pillanatban +90◦ fáziskülönbség van. Tehát akkor vegyük sorra, hogy mi milyen fázisban van? Mivel soros kapcsolásokról van szó, ezért az áram minden alkatrésznél azonos, de csak az ellenálláson es˝o feszültség fázisával esik egybe. Feszültséggenerátorok esetén a bemen˝o feszültség az ered˝o ellenálláson esik, ezáltal fázisa különbözik mind az ellenállás, mind a frekvenciafügg˝o ellenállások3 fázisától, azok "ered˝ojén" esik. Mindezen tulajdonságok precíz matematikai leírása a komplex számok segítségével lehetséges!
3.2.
A komplex ellenállások:
Ellenállások alatt általában az "Ohm-os" ellenállást értjük. A kapacitív és induktív ellenállásokat (valamint az olyan hálózatok ered˝o ellenállását, melyek frekvenciafügg˝o és ohmos ellenállásokat is tartlmaznak) impedanciáknak nevezzük. Az impedanciáknak két f˝o jellemz˝oje van: fázis és abszolút érték. Szokásos ezen mennyiségeket a komplex számok segítségével leírni. A kapacitások impedanciájának a fázisa −90◦ , ami a komplex számok nyelvén: −j (ahol j 2 = −1), az abszolút értéket jelöljük XC -vel, így a kapacitív impedancia: ZC = −jXC = −j 3 Ezáltal
1 1 = ωC jωC
az áramhoz képesti fázistolásban van.
8
|ZC | = XC =
1 ωC
(3.1)
Az induktivitások impedanciájának a fázisa +90◦ , ami a komplex számok nyelvén: j, az abszolút értéket jelöljük XL -el, így az induktív impedancia: |ZL | = XL = ωL
ZL = jXL = jωL
(3.2)
Egyesekben felmerülhet a kérdés, hogy miként kell bánni ezekkel a komplex ellenállásokkal? A válasz: ugyan úgy, ahogy az Ohm-osakkal! ;-) A különbség csak annyi, hogy nem szimplán R-ek lesznek a képletekbnen, hanem lesznek benne ZL -ek és ZC -k is. Csak annyi a különbség, hogy a kiszámításkor kell tudni bánni a komplex számokkal. 1. Példa soros RLC kapcsolás ered˝oje: Ze
1 = = R + ZL + ZC = R + jXL − jXC = R + j (XL − XC ) = R + j ωL − ωC 2 ω LC − 1 = R+j ωC
(3.3) (3.4)
Ha csak az abszolút érték érdekel minket, akkor a komplex számoknál szokásos módon számolunk4 Vagyis a példánknál maradva: s s 2 1 1 1 2 R + j ωL − · R − j ωL − = R + ωL − (3.6) |Ze | = ωC ωC ωC 2. Példa: egy párhuzamosan kapcsolt kapacitással és induktivitással sorosan kapcsolt ellenállás esetén: Ze
= R + ZL × ZC = R +
1 L jωL · jωC ZL · ZC C =R+ =R+ 1 ZL + ZC jωL − j ωC j ωL −
L C = R − j ω2 LC−1 =R−j ωC
ωL −1
1 ωC
=
(3.7) (3.8)
ω 2 LC
És így az abszolút érték: s |Ze | =
R2
+
ωL ω 2 LC − 1
2 (3.9)
A komplex ellenállások és feszültségek ábrázolása: komplex vektorábrák Ide kellenének.
4A
komplex szám szorozva önmaga komplex konjugáltjával megadja az abszolútértékének négyzetét. p |a + i · b|2 = (a + i · b) · (a − i · b) = a2 + b2 → |a + i · b| = a2 + b2
9
(3.5)
