3. Konzultáció: Kondenzátorok, tekercsek, RC és RL tagok, bekapcsolási jelenségek (még nagyon Béta-verzió) Zoli 2009. október 28.
1
Tartalomjegyzék 1. Frekvenciafügg˝o elemek, kondenzátorok és tekercsek: 1.1. Kondenzátorok: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Tekercsek: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Nem ideális eszközök: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Négypólusok: 2.1. Négypólusok általában: . . . . . . . . . . . . . 2.2. Soros kapcsolások: . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1. Soros RC feszültséggenerátorral: . . . 2.2.2. Soros RL feszültséggenerátorral: . . . 2.2.3. Soros RC áramgenerátorral: . . . . . . 2.2.4. Soros RL áramgenerátorral: . . . . . . 2.3. Párhuzamos kapcsolások: . . . . . . . . . . . . 2.3.1. Párhuzamos RC feszültséggenerátorral: 2.3.2. Párhuzamos RL feszültséggenerátorral: 2.3.3. Párhuzamos RC áramgenerátorral: . . 2.3.4. Párhuzamos RL áramgenerátorral: . . .
2
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
4 4 5 6 6 6 6 6 12 14 15 15 15 15 15 16
A jegyzetr˝ol: Jelen jegyzet a harmadik konzultációm anyagát tartalmazza, egyel˝ore sajnos még kissé hiányos, de ami ki van dolgozva, az korrektül végig van számolva. A jegyzet tartalmaz olyan levezetéseket, amelyek ismerete nem szükséges a ZH-khoz. Az órákon és ZH-kon általában csak speciális esetekkel foglalkozunk és a megoldások ismerete b˝oven elég. A levezetések konkrétan differenciálegyenlet-megoldások. A differenciálegyenletek megoldásának készsége nélkülözhetetlen az egyetemen, ezért gondoltam nem árt, ha a jegyzetem ezeket alapból tartalmazza, lehet˝oleg korrekt végigszámításokkal. A második félévben lév˝o Differenciálegyenletek (vagy hasonló) cím˝u tárgy kapcsán el˝o szoktak fordulni RC, illetve RL áramkörök m˝uködésének leírása differenciálegyenletek segítségével, ebben sokat segíthet ez a jegyzet. A jegyzet szabadon hozzáférhet˝o a honlapomon, saját felel˝osségre letölthet˝o és használható, az egyetlen kérésem, hogy senki ne terjessze! Továbbá, hogy tanárok nem tudhatnak róla! A jegyzet esetlegesen hibákat tartalmazhat, ha netán valaki találna, akkor kérem jelezze azt e-mailben! Kés˝obbi verziók várható módosításai, b˝ovitései: a kondenzátorok feszültséggel való töltése külön fejezetbe kerül, továbbá b˝ovül majd periodikus jelek vizsgálatával, állandósult jelalak kiszámításával és egyenáramú leválasztással. Továbbá várható függelékek: határozott integrálok számítása és differenciálegyenletek megoldása (persze szorítkozva a jelen esetben szükséges esetekre).
3
1.
Frekvenciafügg˝o elemek, kondenzátorok és tekercsek:
1.1.
Kondenzátorok:
A kondenzátor egy töltéstárolásra alkalmas eszköz. F˝o jellemz˝o paramétere a kapacitás, mely definíció szerint azt mondja meg, hogy egy kondenzátor hány Coulomb töltést tud tárolni 1 Volt feszültség mellett: C=
Q U
[C] = F
F : Far´ad
Egy kondenzátor általános felépítése: van két vezet˝o réteg (ezeket fegyverzeteknek nevezzük), melyeket valamilyen szigetel˝o választ el (vákuum, leveg˝o, vagy valamilyen dielektrikum). A kapacitás pontos értéke az adott geometriai elrendezést˝ol függ, így általánosan csupán annyi mondható, hogy a fegyverzetek felületével egyenes, távolságukkal fordítottan arányos a kapacitás1 . Például síkkondenzátor esetén:
Csik =
Q A·ε·E A = =ε U E·d d
Ahol A a síkkondenzátor egyik fegyverzetének felülete, d a fegyverzetek távolsága, ε pedig a két fegyverzet közti anyag dielektromos állandója. Most vizsgáljuk olyan tekintetben a kondenzátort, hogy mi történik, ha valamilyen áramot kapcsolunk rá. Ekkor az áramgenerátor által kiadott töltések mind a kondenzátor fegyverzetein halmozódnak fel. Hogyan is kell ezt precízen megfogalmazni? A kondenzátor összegyüjti az id˝oben érkez˝o töltéseket, vagyis nem csinál mást, mint az áramot id˝o szerint integrálja: Z t
I(t0 )dt0 + Q0
Q(t) =
(1)
t0
Ahol Q0 a kondenzátoron a t = 0 id˝opillanatban lév˝o töltés (egy konstans paraméter). A kapacitás definíciója alapján ebb˝ol megkapható a kondenzátor id˝ofügg˝o feszültsége: Z Z 1 t 0 0 Q0 1 t 0 0 Q(t) = I(t )dt + = I(t )dt + U0 (2) U (t) = C C t0 C C t0 Ahogy fent is jelölve van, a kezdeti Q0 töltés egy
Q0 C
= U0 kezdeti feszültséget okoz a kondenzátorban.
De mi van abban az esetben, ha nem áramot, hanem feszültséget kapcsolunk a kondenzátorra? Ebben az esetben az áram id˝ofüggése a kérdéses, így az ide vonatkozó összefüggést a (2) egyenlet id˝o szerinti deriválásával kaphatjuk meg: Z 1 t 0 0 Q0 d U (t) = I(t )dt + (3) C t0 C dt dU (t) 1 d Q0 = I(t) + /·C (4) dt C |dt{zC} =0
I(t)
dU (t) = C· dt
Összefoglalva a számunkra szükséges összefüggések: Z 1 t 0 0 Q0 U (t) = I(t )dt + C t0 C 1A
(5)
I(t) = C ·
dU (t) dt H
pontos számításokhoz a Gauss-törvényt kell alkalmazni (ez egyben az I. Maxwell egyenlet): R ~ r)dr integrállal kell kiszámítani. az U = E(~
4
A
~ r)df~ = E(~
(6) Q . ε0
Továbbá a potenciált is
Ered˝o kapacitás: ugyan úgy, ahogy az ellenállásokat, a kondenzátorokat is lehet sorosan, illetve párhuzamosan kapcsolni és ezeknek is van egy ered˝o kapacitása. Soros kapcsolás esetén: Ce = C1 × C2 × . . . × Cn
(7)
Szemléletesen úgy is lehet tekinteni, mintha az egymás utáni kondenzátorok fegyverzetei közti szigetel˝orétegek vastagságai összeadódnának (n˝o a d, csökken a kapacitás). Párhuzamos kapcsolás esetén: Ce =
n X
Ck
(8)
k=1
Szemléletesen: mintha a párhuzamosan kapcsolt kondenzátorok felületei összeadódnának.
1.2.
Tekercsek:
Egy tekercs jellemz˝o paramétere az induktivitás. Hasonlóan, mint a kondenzátor esetében, itt is a konkrét geometriától függ, hogy ez a paraméter mekkora. Általánosan annyi mondható, hogy minél nagyobb az n menetszám (változatlan N tekercshosszúság mellett), és nagyobb a felület, annál nagyobb az induktivitás. Egy egyszer˝u henger alakú tekercs esetében: L=
µ · N2 · A l
[L] = H
H : Henry
Ahol A a henger alapjának felülete, l a tekercs hossza, N a menetszáma, µ a tekercs belsejét kitölt˝o anyag permeabilitása. Ha valamilyen áramot kapcsolunk a tekercsre, akkor az indukciós törvény alapján: U (t) = L ·
dI(t) dt
Ebb˝ol integrálással kapható meg az az eset, amikor a feszültség adott, és az áram ismeretlen: Z t dI(t) U (t) = L · dt dt t0 Z t U (t0 )dt0 + L · I0 = L · I(t) /: L
(9)
(10) (11)
t0
I(t)
=
1 · L
Z
t
U (t0 )dt0 + I0
(12)
t0
Ahol I0 egy integrációs konstans, jelentése: a t = 0 id˝opillanatban a folyó áram2 . A számunkra lényeges két f˝o összefüggés tehát: Z t 1 dI(t) I(t) = · U (t0 )dt0 + I0 (13) U (t) = L · dt L t0 Ered˝o induktivitás: a rizsa hasonló, mint a kondiknál. Soros kapcsolás esetén: Le =
n X
Lk
(14)
k=1
Párhuzamos kapcsolás esetén: Le = L1 × L2 × . . . × Ln
2 Ez
a jelentés rögtön meg is kapható, ha az I(t) =
1 L
·
Rt t0
(15)
U (t0 )dt0 + I0 egyenletbe behelyettesítjük a t0 = t = 0 kezdeti paramétereket,
ekkor az integrál értéke 0, és marad az, hogy I(t = 0) = I0 .
5
1.3.
Nem ideális eszközök:
Természetesen (ahogy forrásoknál és m˝uszereknél is megbeszéltük már), ideális tekercsek és kondenzátorok sincsenek. S˝ot, ami azt illeti, sok esetben messze nem tekinthet˝oek az egyes eszközök pusztán tekercsnek, vagy kondenzátornak (vagy akár ellenállásnak). Tekercs esetében: ha nagy induktivitású tekercset akarunk készíteni, akkor minél nagyobb menetszámot kell feltekercselnünk minél kisebb helyre. Ez így hosszú és vékony vezetékkel érhet˝o el, ami egyértelm˝uen nagy ellenállást jelent. Emellett az egymás mellett lév˝o huzalok kondenzátornak is felfoghatóak, így részben ellenállások, és kondenzátorok is. De azt hozzá kell tenni, hogy az idealizált esett˝ol való eltérések nem mindíg mutatkoznak meg látványosan. Kapacitások esetében: kapacitásoknál a lényeg a minél nagyobb felölet, és minél közelebbi vezet˝o rétegek. Ahhoz, hogy ezek használhatóak legyenek, minél vékonyabb anyagokat kell minél kisebb helyre összepréselni. A vékony vezet˝orétegek ellenállása szintén lehet nagy (bár messze nem olyan nagy, mint a hosszú vékony vezetékeké), továbbá a feltekert vezet˝orétegek valamelyest tekercsként is felfoghatóak, így a kapacitás mellett is jelen lehet mind az ohm-os ellenállás, mind az induktivitás. Általában nagyon nehéz jó tekercseket készíteni, kondenzátorokból jobbak vannak, ezért ha egy áramkör megvalósítható tekercses kapcsolások helyett kondenzátorokkal is, akkor inkább a kondenzátorosat választják.
2. 2.1.
Négypólusok: Négypólusok általában: Általában négypólusnak nevezünk egy olyan "dobozt", aminek van két bemeneti pontja, és két kimeneti pontja. El˝ofordulhat, hogy egy négypólus bels˝o felépítése ismeretlen. Ekkor, ha meg szeretnénk tudni, hogy mit is rejt a doboz, akkor valahogy meg kell vizsgálnunk (lehet˝oleg nem kalapáccsal ;) ). A vizsgálatnak többféle módja is lehet. Az egyik mód, hogy különböz˝o id˝ofüggés˝u feszültség és áramjeleket adunk be az egyik oldalon, és megnézzük, hogy miként alakul a "túlvég".
Ennek egy speciális esete, ha különböz˝o frekvenciájú szinuszos jeleket adunk be az egyik oldalon, majd megfigyeljük, hogy a kimenet amplitúdója és fázisa hogyan viszonyul a bemenethez képest. Ez utóbbi vizsgálatra kés˝obb térünk vissza. A következ˝okben megnézzük, hogy különböz˝o id˝ofügg˝o jelekre hogyan reagálnak a soros és párhuzamos RC és RL kapcsolások. Most el˝oször megnézzük, hogy az egyes kapcsolások hogyan reagálnak tetsz˝oleges id˝ofüggés˝u áramokra és feszültségekre. Ezek egy részét "Bekapcsolási jelenségeknek3 " is szokás nevezni. Külön kell választanunk az RL és RC kapcsolásokat soros-párhuzamos esetekre, valamint ezeken belül is még áramgenerátor és feszültséggenerátor esetére is.
2.2.
Soros kapcsolások:
2.2.1.
Soros RC feszültséggenerátorral:
Általánosan: Ekkor az id˝ofügg˝o feszülség tekinthet˝o "adottnak", és ennek megfelel˝oen alakul majd az áram. Továbbá a huroktörvény itt is teljesül: egy adott pillanatban a kondenzátoron és az ellenáson es˝o feszültségek összege megegyezik a generátor feszültségéve. Induljunk ki ebb˝ol: Ug (t)
=
Ug (t)
=
UR (t) + UC (t) Z 1 t 0 0 Q0 R · I(t) + I(t )dt + C t0 C
(16) (17)
3 A bekapcsolási jelenségek konkrétan azt takarják, hogy ha rákapcsolunk egy feszültséget, vagy áramot egy kapcsolásra, akkor abban különböz˝o jelalakok fordulnak el˝o. Például ha felkattintunk egy kapcsolót, akkor durva közelítéssel az történik, hogy t = 0 id˝o alatt 0V -ról egy bizonyos feszültségre ugrik fel a potenciál, ekkor nem árt, ha tudjuk, hogy mi törtnik bekapcsoláskor az áramkörben. De ugyanakkor az is el˝ofordulhat, hogy mondjuk lineárisan növeljük az áramot, és így állítjuk be a kívánt értéket (lehet, hogy pont bizonyos bekapcsolási jelenségek kivédése érdekében).
6
Ez így egy integrálegyenlet I(t)-re. Az integrálegyenleteket "nem szeretjük", a differenciálegyenleteket sokkal inkább, ezért inkább deriváljuk le az integrálegyenletet, és oldjuk meg a kapott differenciálegyenletet! Z d 1 t 0 0 Q0 I(t )dt + (18) Ug (t) = R · I(t) + C t0 C dt dUg (t) dI(t) 1 = R· + · I(t) /: R (19) dt dt C dI(t) 1 1 dUg (t) + · I(t) = · (20) dt RC R dt Ez így egy inhomogén differenciálegyenlet az I(t) áramra. Az ilyen differenciálegyenletek általános megoldása úgy kapható meg, ha összeadjuk a homogén eset általános megoldását és az inhomogén egyenlet egy partikuláris megoldását: I(t) = Ih (t) + Ip (t) (21) A homogén eset az (20) egyenlet esetéban az, amikor a differenciálegyenlet jobb oldala 0. A homogén egyenletb˝ol kapott megoldás alapján írjuk fel el˝oször a partikuláris megoldást. Tehát vizsgáljuk el˝oször a homogén esetet: 1 dIh (t) + · Ih (t) dt RC dIh (t) dt Z 1 1 dIh (t) + ln Ih (t) A 1 ln Ih (t) + ln A Ih (t) ln A Ih (t) A Ih (t)
=
0
(22)
1 · Ih (t) RC Z 1 = − dt RC t = − RC t = − RC = −
t
= e− RC = A·e
(23) (24) (25) (26) (27)
t − RC
(28)
Szokásos jelölés az RC = τ , ahol τ egy id˝o dimenziójú mennyiség, karakterisztikus id˝onek, vagy id˝oállandónak is szokás nevezni, egy adott RC kapcsolásra jellemz˝o érték. A homogén egyenlet megoldása így: t
Ih (t) = A · e− τ
(29)
Az egyenletekben A egy integrációs konstans, melynek jelentését akkor kapjuk meg, ha a megoldást illesztjük t = 0-ban a kezdeti feltételekhez. Vagyis: 0
Ih (t = 0) = A · |{z} e− τ = A := I0
(30)
=1
Vagyis A az az áram, amely az áramkörben t = 0 id˝opillanatban folyik. Ezt a megoldást kés˝obb még részletezzük a lépcs˝ofüggvényes speciális esetnél. Az inhomogén egyenlet partikuláris megoldását hasonló alakúnak feltételezzük, mint a (29) homogén megoldást. A különbség az, hogy ebben az esetben az A integrációs konstansnál feltételezzük, hogy van valamilyen id˝ofüggése. Tehát a partikuláris megoldás alakja: t (31) Ip (t) = A(t) · e− τ Ekkor persze A(t) egy ismeretlen függvény. Ahhoz, hogy megkapjuk az A(t) függvényt, és ezáltal a teljes partikuláris megoldást, a partikuláris megoldás feltételezett (31) alakját be kell helyettesítenünk az (20) inhomogén differenciálegyenletbe:
dA(t) − t ·e τ dt
dIp (t) 1 + · Ip (t) = dt τ 1 t t d A(t) · e− τ + · A(t) · e− τ = dt τ t t 1 1 + A(t) · − · e− τ + · A(t) · e− τ = τ τ 7
1 R 1 R 1 R
dUg (t) dt dUg (t) · dt dUg (t) · dt ·
(32) (33) (34)
dA(t) − t ·e τ dt dA(t) dt A(t)
. t 1 dUg (t) ·e τ · R dt 1 dUg (t) t · eτ R Z dt 1 dUg (t) t e τ dt R dt
= = =
(35) (36) (37)
Így a partikuláris megoldás: Ip (t) =
1 R
Z
t dUg (t) t e τ dt · e− τ dt
(38)
És az inhomogán egyenlet általános megoldása: I(t) = I0 · e
− τt
1 + R
Z
t dUg (t) t τ e dt · e− τ dt
(39)
Az integrál természetesen nem számítható ki a konkrét feszültségfüggvény ismrete nélkül. Egy speciális megoldás: lépcs˝ofüggvény esetében Vegyük azt az esetet, amikor t = 0-ban rákapcsolunk egy konstans feszültséget a kapcsolásra. Ekkor Ug (t)-t lépcs˝ofüggvénynek is szokás nevezni, matematikai megfogalmazásban4 : 0 ha t < 0s Ug (t) = U ha t ≥ 0s
1. ábra. U (t) lépcs˝ofüggvény Továbbá a kondenzátoron kezdetben ne legyen semennyi töltés (Q0 = 0). Számunkra csupán a t = 0 utáni id˝oszak érdekes. Ebben a tartományban a feszültésg id˝oben állandó, vagyis deriváltja zérus. Ez nem más, mint a differenciálegyenletünk homogén esete: 1 1 dUg (t) 1 dU dI(t) + · I(t) = · = · dt RC R dt R |{z} dt
(40)
dI(t) 1 + · I(t) = 0 dt RC
(41)
=0
Ennek megoldását ismerjük: t
I(t) = A · e− τ
(42)
4 A lépcs˝ ofüggvényt szokás Heavyside-függvénynek is nevezni, különböz˝o függvények és függvénysorozatok limeseként is szokás felírni, most mi egy egyszer˝ubb megfogalmazásnál maradunk.
8
Ahhoz, hogy megkapjuk az A paraméter értékét (azt már tudjuk, hogy kezdeti áram lesz, de hogy mégis mik határozzák meg, azt még csak sejthetjük), vissza kell helyettesítenünk az EREDETI egyenletbe, NEM A DIFFERENCIÁLEGYENLETBE!!!5 Azt kell csinálni, hogy az eredeti integrálegyenletbe (17) kell visszaírni a megoldást, mégpedig úgy, hogy az integrál t0 = 0-tól t-ig tart: Z 1 t 0 0 I(t )dt (46) U = R · I(t) + C t0 Z t0 1 t − τt A · e− τ dt0 + (47) U = R·A·e C t0 i0 t t0 t =t Ah (48) U = R · A · e− τ + −τ · e− τ 0 C t =t0 =0 i t t 0 A h U = R · A · e− τ + − τ · e− τ − − τ · |{z} e− τ (49) C =1 i A h − τt − τt U = R·A·e + −τ ·e +τ (50) C t t A U = R · A · e− τ + · τ 1 − e− τ (51) C t t A (52) U = R · A · e− τ + · RC 1 − e− τ C t t U = R · A · e− τ + R · A 1 − e− τ (53) t
t
U
= R · A · e− τ + R · A − R · A · e− τ
(54)
U
= R·A U = := I R
(55)
A
(56)
Ha belegondolunk, akkor ez egy tökéletesen ésszer˝u megoldás, ugyanis abban a pillanatban, mikor bekapcsoljuk a feszültséget, a kondenzátor még semmilyen ellenállást nem tanusít. Egyedül az Ohm-os ellenállás korlátozza az elektronok áramlását, vagyis az Ohm-törvénynek megfelel˝o áram folyik, ami megegyezik a mostani I-vel. Tehát az áram: t U −t I(t) = · e τ = I · e− τ (57) R
2. ábra. Az áramkörben folyó I(t) áram, fépcs˝os generátorfeszültség esetén 5 Ha
nem az eredeti egyenletbe helyettesítünk vissza, akkor nem kapjuk meg az A paraméter értékét: dI(t) 1 + · I(t) dt RC t t 1 1 A· − · e− τ + A · e− τ τ τ 0
9
=
0
(43)
=
0
(44)
=
0
(45)
Ennek megfelel˝oen az ellenálláson es˝o feszültséget rögtön kiszámolhatjuk: UR (t) = R · I(t) = R ·
t U −t · e τ = U · e− τ R
(58)
3. ábra. Az ellenálláson es˝o UR (t) feszültség lépcs˝os generátorfeszültség esetén És mivel a huroktörvénynek teljesülnie kell, így a kondenzátor feszültsége: t t UC (t) = Ug (t) − UR (t) = U − U · e− τ = U · 1 − e− τ
(59)
4. ábra. Az kondenzátoron es˝o UC (t) feszültség lépcs˝os generátorfeszültség esetén (kondenzátor tölt˝odése) Az eredmények összefoglalva: I(t) =
U −t ·e τ R
t
UR (t) = U · e− τ
t UC (t) = U · 1 − e− τ
(60)
Megjegyzés: jogosan merülhet fel az a kérdés, hogy miért van az, hogy a homogén megoldást az integrálegyenletbe helyettesítettük vissza, hogy megkapjuk az A paramétert, míg a partikuláris megoldás esetében az inhomogén differenciálegyenletbe. Azért az integrálegyenletbe helyettesítettünk vissza a homogén esetben, mert a deriválással elveszítjük a konstanst, amib˝ol az A paramétert megkapjhatjuk. Nem veszítünk el akkor semmit, ha a partikuláris megoldást nem oda írjuk vissza? Nem! Mivel csak olyan információt veszítünk el a deriválással, ami a homogén esethez tartozik, vagyis a partikuláris megoldásnak nem része, mivel az csak olyan megoldásokat tartalmaz, melyek esetében a jobb oldal nem nulla, vagyis konstanstól különbözik.
10
A kondenzátorok tölt˝odése: Most kicsit részletezzük a kondenzátorok tölt˝odését, valamint megbeszéljük a hasonló jelleg˝u görbék pár jellemvonását. A korábbi képletek alapján kiszámítható, hogy tetsz˝oleges id˝o elteltével mekkora lesz egy kondenzátor feszültsége (és mivel az ellenálláson lév˝o feszültség U − UC (t), ez is hasonlóan egyszer˝uséggel számítható). El˝ofotdul, hogy nem az id˝o adott, hanem azt kell meghatározni, hogy mennyi id˝o alatt tölt˝odik fel egy kondenzátor valamekkora feszültségre. Ekkor (117) alapján: t (61) UC (t) = U · 1 − e− τ UC (t) U
=
t
1 − e− τ
UC (t) 1− U t UC (t) − = ln 1 − τ U UC (t) t = −τ · ln 1 − U t
e− τ
=
(62) (63) (64) (65)
A kondenzátor tölt˝odési idejének azt az id˝ot nevezzük, amennyi id˝o alatt a kondenzátor 0.1 · U -ról 0.9 · U -ig feltölt˝odik, mint ahogy a 5. ábrán is látható. Legyen t1 az az id˝otartam, ameddig a kondenzátor 0.1 · U -ig feltölt, t2 pedig az az id˝o, amíg 0.9 · U -ra felt˝olt, ekkor ttolt = t2 − t1 . Ez az el˝oz˝o összefüggés alapján: UC (t1 ) UC (t2 ) + τ · ln 1 − = ttolt = t2 − t1 = −τ · ln 1 − U U 0.9 · U 0.1 · U = −τ ln 1 − + τ ln 1 − = −τ · ln(1 − 0.9) + τ · ln(1 − 0.1) = U U 0.9 = = −τ · ln(0.1) + τ · ln(0.9) = τ · (ln(0.9) − ln(0.1)) = τ · ln 0.1 = τ · ln(9) = 2.19722 · τ ' 2.2 · τ
5. ábra. A kondenzátor töltési ideje Tehát a tölt˝odési id˝o: ttolt ' 2.2 · τ
(66)
A tölt˝odési id˝o egy eléggé önkényes definíció, semmi komoly fizikai alapja nincs. Az 5. ábrán egyértelm˝uen látható, hogy messze sem mondható, hogy ennyi id˝o alatt feltölt a kondenzátor. Talán a legtöbben azt mondanánk, hogy úgy kb. 5 − 6 τ id˝o az, amíg 0-ról közel a maximumig tölt. De ez épp ugyan olyan onkényes definíció volna, mint a 2.2 · τ -s definíció. . .
11
2.2.2.
Soros RL feszültséggenerátorral:
Általánosan: Most is abból indulunk ki, hogy a feszültségek összeadódnak: Ug (t)
= UR (t) + UL (t) dI(t) Ug (t) = R · I(t) + L · dt
(67) (68)
Szuper! Ugyanis rögtön egy differenciálegyenlet adódott. Ráadásul hasonló alakú, mint az imént. Az egyetlen dolgunk, hogy leosszunk az induktivitással, és máris beazonosíthatjuk a megoldásokat. Ug (t) dI(t) R + I(t) = dt L L
(69)
Tehát ismét inhomogén a differenciálegyenletünk, a megoldás hasonló képen keresend˝o, mint az el˝obb: I(t) = Ih (t) + Ip (t)
(70)
dIh (t) R + Ih (t) = 0 dt L
(71)
A homogén esetet vizsgálva:
Ez ugyan az a differenciálegyenlet, mint az RC esetében, az egyetlen különbség, hogy most τ = homogén eset általános megoldása (29)-hez hasonlóan: t
Ih (t) = A · e− τ
L R.
Tehát a
(72)
Ez alapján az inhomogén eset partikuláris megoldásának feltételezett alakja: t
Ip (t) = A(t) · e− τ
(73)
Visszahelyettesítve az eredeti differenciálegyenletbe:
dA(t) − t 1 · e τ + A(t) · − dt τ
t
· e− τ
dIp (t) 1 + Ip (t) = dt τ t 1 + · A(t) · e− τ = τ dA(t) − t ·e τ = dt dA(t) = dt A(t)
=
Ug (t) L Ug (t) L Ug (t) L Ug (t) t · eτ L Z t0 1 Ug (t0 ) · e τ dt0 L
(74) (75) (76) (77) (78)
Tehát az általános megoldás: I(t) = A · e
− τt
+
1 L
Z
0
t0 τ
Ug (t ) · e dt
0
t
· e− τ
(79)
Egy speciális megoldás: lépcs˝ofüggvény esete Most is vizsgáljuk meg azt a speciális esetet, amikor ugrásfüggvény érkezik a kapcsolásra. 0 ha t < 0s Ug (t) = U ha t ≥ 0s Tehát t = 0 után Ug (t) = U . Ekkor a differenciálegyenlet: U dI(t) R + I(t) = dt L L
12
(80)
6. ábra. Az U (t) lépcs˝os generátorfeszültség Nézzük meg az inhomogén esetet: Z Z Z i0 t0 t0 t0 t =t 1 t 1 t U t t0 0 Uh A(t) = Ug (t0 ) · e τ dt0 = U · e τ dt0 = e τ dt = τ ·eτ 0 = L 0 L 0 L 0 L t =0 U t i L U t 0 Uh t = τ e τ − |{z} eτ − 1 = eτ − 1 eτ = · L R L R
(81) (82)
=1
Így a partikuláris megoldás: t
Ip (t) = A(t) · e− τ =
t t U t U e τ − 1 · e− τ = 1 − e− τ R R
(83)
Ekkor az inhomogén egyenlet általános megoldása: t
I(t) = Ih (t) + Ip (t) = A · e− τ +
t U 1 − e− τ R
(84)
Az A paraméter jelentsének megértéséhez helyettesítsük be a t = 0 id˝opontot 0
I(t = 0) = A · |{z} e− τ + =1
0 U U 1 − |{z} e− τ = A + (1 − 1) = A R R | {z } =1
(85)
=0
Tehát A nem más most sem, mint egy I kezdeti áram az áramkörben6 . Jelen esetben nincs ilyen, de ha volna, akkor az exponenciálisan lecsengene, elhalna. Így a mostani áram: I(t) =
t U 1 − e− τ R
(86)
7. ábra. Az áramkörben folyó I(t) áram lépcs˝os generátorfeszültség esetén Ennek megfelel˝oen az ellenálláson es˝o feszültséget rögtön kiszámolhatjuk: UR (t) = R · I(t) = R ·
t t U 1 − e− τ = U · 1 − e− τ R 13
(87)
8. ábra. Az ellenálláson es˝o UR (t) feszültség lépcs˝os generátorfeszültség esetén És mivel a huroktörvénynek teljesülnie kell, így a tekercs feszültsége: t t UL (t) = Ug (t) − UR (t) = U − U 1 − e− τ = U · e− τ
(88)
9. ábra. Az induktivitáson es˝o UL (t) feszültség lépcs˝os generátorfeszültség esetén Az eredmények összefoglalva: t U I(t) = · 1 − e− τ R 2.2.3.
t UR (t) = U · 1 − e− τ
t
UL (t) = U · e− τ
(89)
Soros RC áramgenerátorral: Ez egy nagyon jó kis eset, mert ekkor nincs sok számolni valónk. Soros kapcsolás lévén az összes elemen folyó áram ugyan az kell legyen, és most pont a generátor mondja meg, hogy mi legyen ez az áram: Ig (t) = IR (t) = IC (t)
(90)
Ekkor az ellenállás feszültsége "leköveti" a generátor áramát: UR (t) = R · Ig (t) A kondenzátor meg a korábban megbeszélteknek megfelel˝oen integrál: Z 1 t UC (t) = Ig (t0 )dt0 + U0 C t0
(91)
(92)
6 Ezt úgy kéne elképzelni, hogy kezdtben direkt folyatunk egy áramot (már jó sok ideje), mondjuk áramgenerátorral tápláljuk, majd t = 0 id˝opillanatban rövidre zárjuk az áramgenerátor helyét. Ekkor az indukció miatt a tekercs még egy ideig folyatja az áramot, de az Ohm-os ellenállás okozta veszteségek miatt leáll az áramlás.
14
2.2.4.
Soros RL áramgenerátorral: Ez is egy kedvelt eset hasonló okokból. Az áramok: Ig (t) = IR (t) = IL (t)
(93)
Ekkor az ellenállás feszültsége "leköveti" a generátor áramát: UR (t) = R · Ig (t)
(94)
dIg (t) dt
(95)
A tekercs pedig "derivál": UL (t) = L ·
2.3.
Párhuzamos kapcsolások:
2.3.1.
Párhuzamos RC feszültséggenerátorral: Párhuzamos kapcsolás esetén a feszültségek megegyeznek. Mivel pont feszültséggenerátor van az áramkörre kapcsolva, ezért a generátor mondja meg azt. Így ismét egy egyszer˝u esettel állunk szemben: Ug (t) = UR (t) = UC (t)
(96)
Az ellenálláson folyó áram "leköveti" a feszültséggenerátor jelét: IR (t) =
Ug (t) R
(97)
A kondenzátor pedig "derivál": IC (t) = C · 2.3.2.
dUg (t) dt
(98)
Párhuzamos RL feszültséggenerátorral: Ez a másik könny˝u eset párhuzamos kapcsolás esetén. A feszültségek itt is megegyeznek, tehát: Ug (t) = UR (t) = UL (t)
(99)
Az ellenállás hasonló, mint az el˝obb: IR (t) =
Ug (t) R
(100)
A tekercs viszont integrál: 1 IL (t) = L 2.3.3.
Z
t
Ug (t0 )dt0 + I0
(101)
t0
Párhuzamos RC áramgenerátorral:
Általánosan: Na ez már nem olyan egyszer˝u, mint az el˝oz˝o pár eset. Induljunk ki abból, hogy áramgenerátor által leadott áram megoszlik a két alkatrész között, vagyis: Ig (t) = IR (t) + IC (t)
(102)
Írjuk be az egyes értékek számítási módjait: U (t) dU (t) +C · (103) R dt Ezen egyenletekben az U (t) nem más, mint a két elemen ugyan abban a pillanatban es˝o feszültség. Erre a feszültségre kaptunk tehát egy differenciálegyenletet, ami pont olyan, mint a soros kapcsolás esetében az RL kapcsolásé volt, Ig (t) =
15
a különbség az, hogy itt L helyett C van, R helyett R1 , valamint az áramok és feszültségek szerepe felcserél˝odött. Írjuk fel a differenciálegyenletet hasonló alakban, mint a korábbi esetnél: dU (t) 1 1 + · U (t) = · Ig (t) dt RC C A megoldás számításának módja ugyan az, mint korábban. Az általános megoldás: Z t t0 1 0 − τt 0 + U (t) = U0 · e Ig (t ) · e τ dt · e− τ C
(104)
(105)
L Természetesen most τ = R . U0 jelentése: ha kezdetben van valamekkora töltés a kondenzátoron, akkor ez egy bizonyos potenciálkülönbséget okoz. Ekkor elindul egy áram az ellenálláson keresztül a kondenzátor másik fegyverzete felé, a töltéskiegyenlít˝odés érdekében. Ha nem lenne ellenállás, akkor 0 id˝o alatt végbemenne a kiegyenlít˝odés, de mivel van, így csupán exponenciálisan csökken.
Speciális eset: ugrásfüggvény Ig (t) =
0 I
ha t < 0s ha t ≥ 0s
Ebben az esetben a feszültség: t U (t) = I · R 1 − e− τ
(106)
Ennek alapján az ellenálláson folyó áram: IR (t) =
t t U (t) 1 = · I · R 1 − e− τ = I 1 − e− τ R R
(107)
A kondenzátor árama pedig: t t IC (t) = Ig (t) − IR (t) = I − I 1 − e− τ = I · e− τ
(108)
Összefoglalva: t U (t) = I · R 1 − e− τ
t IR (t) = I 1 − e− τ
t
IC (t) = I · e− τ
(109)
Gondoljunk bele, hogy mit is jelentenek az eredmények: kezdetben a kondenzátor nem jelent semekkora ellenállást, ezért nagy áram folyik. Ahogy kezd feltölt˝odni, a potenciálkülönbség egyre nagyobb lesz, és elkezdi akadályozni az áramlást. A tölt˝odésb˝ol származó potenciál jelenik meg az ellenálláson, és az ennek megfelel˝o áram folyik azon. A kondenzátor akkora feszültségre tölt fel, mint ami akkor esne a kapcsoláson, ha az ellenálláson folyna az összes generátoráram. 2.3.4.
Párhuzamos RL áramgenerátorral:
Általánosan: Ez az eset a feszültséggenerátoros soros RC esethez lesz hasonló. Persze hasonlóan az el˝obbi esethez, itt is felcserél˝odik L és C szerepe, valamint a feszültség és áram is. De azért írjuk fel rendesen az áramkört jellemz˝o egyenleteket. Induljunk ki hasonlóan, mint az el˝oz˝o esetben: Ig (t) Ig (t)
= IR (t) + IL (t) Z t U (t) 1 = + · U (t0 )dt0 + I0 R L t0
(110) (111)
Ez ugye egy integrálegyenlet, amit nem szeretünk, ezért lederiváljuk: dIg (t) dt
=
1 dU (t) 1 dI0 + · U (t) + R dt L dt |{z}
(112)
=0
dU (t) R + · U (t) dt L
dIg (t) = R· dt 16
(113)
A megoldás: U (t) = U0 · e
− τt
Z +R
t dIg (t) t τ e dt · e− τ dt
(114)
Speciális eset: ugrásfüggvény Ig (t) =
0 I
ha t < 0s ha t ≥ 0s
A speciális megoldás is hasonló alakú lesz, mint a soros RC feszültséggenerátor esetében: t
t
U (t) = U · e− τ = I · R · e− τ
(115)
Ennek megfelel˝oen az ellenálláson es˝o feszültséget rögtön kiszámolhatjuk: t
IR (t) = I · e− τ
(116)
És mivel a huroktörvénynek teljesülnie kell, így a kondenzátor feszültsége: t IC (t) = I · 1 − e− τ
(117)
Az eredmények összefoglalva: t
U (t) = I · R · e− τ
t
IR (t) = I · e− τ
17
t IC (t) = I · 1 − e− τ
(118)
