13
Bab 3 Persamaan Perubahan Tekanan di Sepanjang Pipa Alir
Bab berikut membahas tentang model matematika yang digunakan untuk mencegah terjadinya penyumbatan aliran (bottleneck) yaitu model persamaan perubahan tekanan pada aliran multifasa di sepanjang pipa. Persamaan tersebut merupakan turunan dari konsep kesetimbangan energi yang berlaku di pipa alir. Persamaan perubahan tekanan yang digunakan pada pembahasan ini adalah korelasi Beggs-Brill yang berlaku khusus bagi aliran multifasa, selain itu akan dikombinasikan juga persamaan perubahan tekanan dan debit alir fluida yang dilalui choke.
3.1
Persamaan Kesetimbangan Energi Persamaan kesetimbangan energi memperlihatkan kesetimbangan energi
antara 2 titik pada sistem aliran fluida yaitu titik 1 (inlet) dan titik 2 (outlet).[1] Persamaan tersebut merupakan hukum kekekalan energi yang menyatakan bahwa energi fluida yang memasuki titik 1 ditambah usaha tambahan yang dilakukan fluida antara titik 1 dan 2, dikurangi dengan energi yang hilang oleh sistem antara titik 1 dan 2, adalah sama dengan energi dari fluida yang meninggalkan titik 2, seperti terlihat pada gambar 3.1. Persamaan kesetimbangan energi digunakan untuk menyelesaikan berbagai permasalahan yang menyangkut aliran multifasa pada pipa, yaitu
U1 +
mv12 mgz1 mv 2 mgz2 + + p1V1 + q − W = U 2 + 2 + + p2V2 gc gc 2 gc 2 gc
(3.1)
Masing-masing komponen dari persamaan (3.1) didefinisikan sebagai berikut:
14
1. Energi Dalam, U . Energi dalam merupakan energi yang termuat di fluida, dapat berupa energi rotasi, translasi, atau vibrasi dari molekul-molekul. Energi dalam tidak dapat diukur namun nilai mutlaknya dapat dihitung. 2. Energi Kinetik,
mv 2 . 2 gc
Energi kinetik merepresentasikan energi yang terjadi akibat adanya kecepatan dari aliran fluida. 3. Energi Potensial,
mgz . gc
Energi potensial merupakan energi yang dihasilkan akibat dari posisi, dengan z adalah ketinggian pipa dari suatu titik tertentu. Pada aliran horizontal komponen ini tidak ada, sebab z = 0 , sedangkan untuk arah aliran vertikal, komponen energi potensial sangat dominan.
U2
+q (panas yang diberikan ke fluida)
Pout qout d, l
U1 p1V1 2 1
p2V2 mv22 2 gc mgz2 gc
Pin
mv 2 gc
qin
mgz1 gc
pompa
θ
-W (usaha yang dilakukan pompa terhadap fluida)
Gambar 3.1: Skema Ilustrasi Persamaan Kesetimbangan Energi di Sepanjang Pipa.[1]
4. Volume Tekanan, pV .
15
Komponen ini merupakan energi dari tekanan yang merepresentasikan usaha aliran, sebagai properti gabungan dari substansi atau energi potensial akibat tekanan. 5. Perpindahan Kalor, q . Komponen ini merepresentasikan energi kalor yang mungkin memasuki atau meninggalkan sistem. Jika q bernilai positif artinya kalor memasuki sistem, namun jika q bernilai negatif artinya kalor meninggalkan sistem. 6. Usaha, W . Jika terdapat usaha yang diberikan pada aliran fluida (pompa), maka W bernilai negatif, sedangkan jika aliran fluida melakukan suatu usaha terhadap permukaannya (turbin), maka W bernilai positif. 7. Entalpi, H . Entalpi didefinisikan sebagai
H = U + pV .
(3.2)
Karena nilai dari energi dalam, U , tidak dapat diukur, maka nilai entalpi dari suatu substansi pun tidak dapat diukur. Namun pada kenyataannya, biasanya melibatkan perhitungan perubahan entalpi dari satu titik ke titik lainnya. 8. Entropi, S . Entropi dari suatu sistem ditentukan oleh keadaan sistem tersebut. Maka dari itu, perubahan entropi selama suatu proses hanya bergantung pada keadaan awal dan akhir. Entropi didefinisikan sebagai
S 2 − S1 = ∫
2
1
2 dq dT = ∫ mC p , 1 T T
dimana
dq
: perpindahan kalor pada suatu proses reversible,
dq = mC p dT , m
: lb mass,
Cp
: spesifik kalor,
T
: temperatur.
(3.3)
16
Hubungan antara entropi dan energi dalam yaitu S2
V2
S1
V1
ΔU = ∫ Tds + ∫ p (− dV ) + ∫ efek lainnya ,
(3.4)
dimana
∫
S2
∫
V2
S1
V1
Tds
: efek kalor dan
p(−dV )
: efek tekanan.
Sehingga entropi dapat ditulis sebagai S2
∫S
Tds = q + lw .
(3.5)
1
9. Usaha yang hilang, lw . Secara umum komponen ini merupakan usaha yang hilang akibat irreversibilitas dari fluida. Usaha yang hilang tersebut dapat berupa gesekan dinding, kelicinan, efek gesekan antar fasa, efek viskositas, efek tekanan permukaan, dll.
3.2
Penurunan Persamaan Kesetimbangan Energi Pada
subbab
ini
akan
dibahas
tentang
penurunan
persamaan
kesetimbangan energi (3.1) untuk mendapatkan persamaan perubahan tekanan di sepanjang pipa alir. Berawal dari (3.1), kemudian semua komponen di ruas kanan dipindahkan ke ruas kiri, diperoleh ⎛ mv2 2 mv12 ⎞ ⎛ mgz2 mgz1 ⎞ − − ⎟+⎜ ⎟ + ( p2V2 − p1V1 ) + W − q = 0 , gc ⎠ 2 gc ⎠ ⎝ gc ⎝ 2 gc
(U 2 − U1 ) + ⎜
⎛ mv 2 ⎞ ⎛ mgz ⎞ ΔU + Δ ⎜ ⎟+ Δ⎜ ⎟ + Δ ( pV ) + W − q = 0 . g g 2 c c ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Substitusi (3.4) dengan ∫ efek lainnya = 0 dan
∫
V2
V1
(3.6)
pdV + ∫ Vdp = Δ ( pV ) ke (3.6), P2
P1
diperoleh
∫
S2
S1
Tds + ∫
V2
V1
P2 ⎛ mv 2 ⎞ ⎛ mgz ⎞ V2 p (−dV ) + Δ ⎜ ⎟ + Δ⎜ ⎟ + ∫V1 pdV + ∫P1 Vdp + W − q = 0 , ⎝ 2 gc ⎠ ⎝ gc ⎠
17
∫
S2
S1
⎛ mv 2 ⎞ ⎛ mgz ⎞ P2 Tds +Δ ⎜ ⎟+ Δ⎜ ⎟ + ∫P1 Vdp + W − q = 0 . ⎝ 2 gc ⎠ ⎝ gc ⎠
(3.7)
Kemudian substitusi persamaan (3.5) ke (3.7), diperoleh ⎛ mv 2 ⎞ ⎛ mgz ⎞ P2 q + lw + Δ ⎜ ⎟+ Δ⎜ ⎟ + ∫ Vdp + W − q = 0 , ⎝ 2 gc ⎠ ⎝ g c ⎠ P1
∫
P2
P1
⎛ mv 2 ⎞ ⎛ mgz ⎞ Vdp + Δ ⎜ ⎟ + Δ⎜ ⎟ + W + lw = 0 , ⎝ 2 gc ⎠ ⎝ gc ⎠
∫ Vdp
dengan komponen
(3.8)
merupakan penjumlahan dari p1V1 (usaha untuk
memasukkan fluida), p2V2 (usaha untuk mengeluarkan fluida), dan
∫ pdV .
Persamaan (3.8) merepresentasikan persamaan umum energi yang dapat digunakan untuk menyelesaikan berbagai permasalahan arah aliran. Persamaan tersebut dapat ditulis dalam 1 lb-mass yaitu ⎛ v2 + Δ Vdp ⎜ ∫ ⎝ 2 gc
⎞ g ⎟ + Δ ( z ) + W + lw = 0 , ⎠ gc
dimana masing-masing komponen memiliki satuan
(3.9)
ft.lbf . lb m
Selanjutnya (3.9) dapat ditulis dalam bentuk differensial menjadi
144
gc g vdv + dW + d (lw) = 0 , Vdp + dz + g gc gc
(3.10)
dengan 144 satuan merupakan faktor konversi untuk Δp dari lb/sq ft ke lb/sq in . Diketahui bahwa ρ =
m 1 dengan m = 1 , maka ρ = . Sehingga (3.10) menjadi V V dp
ρ
+
g vdv + dW + d (lw) = 0 dz + gc gc
(3.11)
Dengan mengasumsikan bahwa tidak ada usaha yang dilakukan atau terjadi pada fluida
(W = 0 )
dan setiap ruas dari persamaan (3.11) dikalikan
diperoleh dp ρ vdv g ρ ρ d (lw) + + + = 0, dz dz gc dz
ρ dz
, maka
18
⎛ ρ vdv g ρ ρ d (lw) ⎞ dp = −⎜ + + ⎟ = 0. dz gc dz ⎠ ⎝ dz
Didefinisikan
ρ d (lw) dz
=
(3.12)
f ρ v2 , kemudian substitusi ke (3.12) menjadi 2 gc d dp g f ρ v 2 ρ vdv = ρ sin θ + + , dz g c dz 2 gc d
(3.13)
dengan g ρ sin θ gc
⎛ dp ⎞ : faktor elevasi ⎜ ⎟ , ⎝ dz ⎠elevasi
f ρv2 2 gc d
⎛ dp ⎞ : faktor friksi ⎜ ⎟ , dan ⎝ dz ⎠ friksi
ρ vdv
⎛ dp ⎞ : faktor akselerasi ⎜ ⎟ . ⎝ dz ⎠ akselerasi
dz
Jadi, secara umum persamaan perubahan tekanan di sepanjang pipa alir merupakan total dari perubahan tekanan akibat faktor elevasi, friksi, dan akselerasi yaitu[1] dp ⎛ dp ⎞ ⎛ dp ⎞ ⎛ dp ⎞ =⎜ ⎟ +⎜ ⎟ +⎜ ⎟ dz ⎝ dz ⎠elevasi ⎝ dz ⎠ friksi ⎝ dz ⎠ akselerasi
3.3
Korelasi Beggs-Brill: Persamaan Perubahan
(3.14)
Tekanan
Aliran Multifasa di Sepanjang Pipa Alir Persamaan perubahan tekanan pada aliran multifasa yang akan digunakan pada tugas akhir ini adalah korelasi Beggs-Brill, yang merupakan bentuk khusus dari (3.14) yaitu g ρtp g dp = c dz
sin θ +
1−
ftp Gm vm
2 gc d , ρtp vm vsg
(3.15)
gc p
dengan Simbol
Keterangan
Satuan
Dimensi
19
g
Gravitasi lokal
ft/sec2
Lt -2
gc
Konstanta konversi, g c = 32.174
ft/sec2
Lt -2
ρtp
Densitas dua fasa
lbm/cu ft
mL-3
θ
Sudut terhadap sumbu horizontal
-
-
ftp
Faktor friksi dua fasa
-
-
Gm
Debit fluks massa total
lbm/sec.sq ft
mL-2 t -1
vm
Kecepatan campuran
ft/sec
Lt -1
d vsg
Diameter pipa
ft
L
Kecepatan superficial gas insitu
ft/sec
Lt -1
p
Tekanan
lbf/sq ft
mL-1t -2
Tabel 3.1: Tabel Variabel-variabel pada Persamaan Perubahan Tekanan dengan Korelasi Beggs-Brill.
Pada (3.15) komponen-komponen
dp dari masing-masing faktor elevasi, friksi, dz
dan akselerasi yaitu ⎛ dp ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ dz ⎠elevasi
=
⎛ dp ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ dz ⎠ friksi
=
⎛ dp ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ dz ⎠akselerasi
=
g ρtp gc
sin θ ,
f tp Gm vm
2 gc d
ρtp vm dv dz
(3.16)
, dan
(3.17)
,
(3.18)
dengan dv vsg dp = . dz g c p dz
(3.19)
Sehingga apabila (3.16) sampai dengan (3.19) disubstitusi ke (3.14), akan diperoleh korelasi Beggs-Brill seperti pada (3.15) yaitu f G v v dp dp g ρtp = sin θ + tp m m + ρtp vm sg , dz gc g c p dz 2 gc d
20
vsg ⎞ g ρtp f tp Gm vm dp ⎛ , sin θ + ⎜1 − ρtp vm ⎟= dz ⎝ gc p ⎠ gc 2 gc d g ρtp
sin θ +
ftp Gm vm
2 gc d g dp . = c vsg ⎞ dz ⎛ ⎜1 − ρtp vm ⎟ gc p ⎠ ⎝
Prosedur perhitungan nilai perubahan tekanan di sepanjang pipa alir dengan menggunakan korelasi Beggs-Brill, (3.15), sebagai berikut:[1] 1. Diberikan nilai tekanan masukan (inlet), p . 2. Melalui analisa PVT, dapat diperoleh Rs , Bo , Bw , μo , μw , μ g , σ o , σ w , dan
Z g pada tekanan dan temperatur rata-rata, p dan T . 3. Hitung spesifik graviti dari minyak, γ o ,
γo =
141.5 . 131.5 API
4. Hitung densitas liquid dan gas pada tekanan dan temperatur rata-rata,
ρ L dan ρ g , 1 ⎛ ⎞ ⎛ WOR ⎞ ⎟ + ρw ⎜ ⎟ = ρo f o + ρ w f w , ⎝ 1 + WOR ⎠ ⎝ 1 + WOR ⎠
ρ L = ρo ⎜ dengan
ρo =
350γ o + 0.0764 Rsγ g 5.615Bo
ρw = ρg =
,
350γ w , dan 5.615 Bw
0.0764γ g p(520) 14.7(T + 460) Z g
.
5. Hitung debit in situ gas dan liquid, qg dan qL , qg =
3.27 ×10−7 Z g qo ( R − Rs )(T + 460) p
dan
21
qL = 6.49 × 10−5 (qo Bo + qw Bw ) .
6. Hitung nilai kecepatan in situ superficial gas, liquid, dan campuran, vg , vL , dan vm , qL , Ap
vsL =
qg
vsg =
Ap
, dan
vm = vsL + vsg . 7. Hitung debit flux massa liquid, gas, dan total, GL , Gg , dan Gm ,
GL = ρ L vsL ,
Gg = ρ g vsg , dan
Gm = GL + Gg . 8. Hitung the input liquid content (no-slip holdup), λ ,
λ=
qL . qL + q g
9. Hitung bilangan Froude, N FR , viskositas liquid, μ L , viskositas campuran,
μm , dan tegangan permukaan liquid, σ L , N FR =
vm 2 , gd
μ L = μo f o + μ w f w ,
μm = 6.72 ×10−4 ( μ L λ + μ g (1 − λ ) ) , dan σ L = σ o fo + σ w f w . 10. Hitung
bilangan
Reynolds
(no-slip), N Re ns ,
number, N LV , N Re ns =
Gm d
μm
dan
dan
liquid
velocity
22
N LV
⎛ρ ⎞ = 1.938vsL ⎜ L ⎟ ⎝σL ⎠
0.25
.
11. Tentukan pola aliran melalui analisa parameter L1 , L2 , L3 , dan L4 , dengan L1 = 316λ 0.302 , L2 = 0.1λ −1.4516 , L3 = 0.0009252λ −2.4684 , dan L4 = 0.5λ −6.728 .
Jika
λ < 0.01 dan N FR < L1 atau λ ≥ 0.01 dan N FR < L 2 , maka pola aliran bersifat segregated. Jika 0.01 < λ < 0.04 dan L3 < N FR ≤ L1 atau
λ ≥ 0.4 dan L3 < N FR ≤ L4 , maka pola aliran bersifat intermittent. Jika
λ ≥ 0.01 dan L 2 < N FR ≤ L3 , maka pola aliran bersifat transition. Jika
λ < 0.4 dan N FR ≥ L1 atau λ ≥ 0.4 dan N FR > L 4 , maka pola aliran bersifat distributed. 12. Hitung nilai horizontal holdup, H L (O) ,
H L (O) =
aλ b , N FR c
dimana nilai a, b, dan c bergantung pada jenis pola aliran yang diberikan pada tabel 3.2. (Untuk pola aliran transition, perhitungan nilai a, b, dan c menggunakan interpolasi antara nilai segregated dan intermittent).
23
Pola Aliran
a
b
c
Segregated
0.98
0.4846
0.0868
Intermittent
0.845
0.5351
0.0173
Distributed
1.065
0.5824
0.0609
Tabel 3.2: Tabel Nilai Konstanta a, b, dan c untuk Masing-Masing Pola Aliran.
13. Hitung nilai inclination correction factor coefficient, C , C = (1 − λ ) ln ( d λ e N LV f N FR g ) ,
dimana nilai d, e, f, dan g ditentukan berdasarkan masing-masing kondisi aliran pada tabel 3.3. Pola Aliran
d
e
f
g
Segregated uphill
0.011
-3.768
3.539
-1.614
Intermittent uphill
2.96
0.305
-0.4473
0.0978
Distributed uphill
-
-
C=0
C=0
All Downhill
4.70
-0.3692
0.1244
-0.5056
Tabel 3.3: Tabel Nilai Konstanta d, e, f, dan g untuk Masing-Masing Kondisi Aliran.
14. Hitung nilai liquid holdup inclination correction factor, ψ ,
ψ = 1 + C ⎡⎣sin (1.8θ ) − 0.333sin 3 (1.8θ ) ⎤⎦ , dengan θ merupakan sudut kemiringan dari pipa alir terhadap sumbu horizontal. 15. Hitung nilai liquid holdup, H L (θ ) , dan densitas dua fasa, ρtp , H L (θ ) = H L ( O )ψ dan
ρtp = ρ L H L ( O ) + ρ g (1 − H L ( O ) ) . 16. Hitung nilai rasio faktor friksi, ftp f ns
= eS ,
24
dimana S=
ln ( y )
( −0.0523 + 3.182 ln ( y ) − 0.8725 ( ln ( y )) + 0.01853 ( ln ( y )) ) 2
4
dan y=
λ
( H (θ ) )
.
L
S terbatas pada interval 1 < y < 1.2 dan jika nilai y berada pada interval tersebut, maka perhitungan untuk S menjadi S = ln ( 2.2 y -1.2 ) .
17. Hitung nilai faktor friksi (no-slip), f ns , f ns =
1 ⎛ ⎛ ⎞⎞ N Re ns ⎜ 2 log ⎜ ⎟⎟ ⎝ 4.5223log N Re ns − 3.8215 ⎠ ⎠ ⎝
2
.
18. Hitung nilai faktor friksi dua fasa, f tp , ftp = f ns
ftp f ns
.
19. Hitung nilai perubahan tekanan di sepanjang pipa alir dengan menggunakan persamaan (3.15).
Catatan:
Khusus untuk kasus aliran horizontal, langkah 14 – 16 tidak diperhitungkan.
3.4
Persamaan Debit Alir dan Perubahan Tekanan pada Aliran
yang Melalui Choke Hubungan antara tekanan, debit alir, dan ukuran choke untuk aliran kritik dua fasa (gas dan cairan) yang melalui choke adalah p1 =
dimana
bqL R c , da
(3.20)
25
p1
: tekanan awal (upstream), psia,
qL
: debit alir liquid, STB/day,
R
: rasio antara gas dan liquid, scf/STB,
d
: diameter choke, inch, dan
a, b, c : konstanta choke.
Nilai dari konstanta a, b, c diberikan pada tabel 3.4 yaitu
Investigator
a
b
c
Ros
2.00
4.25 ×10−3
0.50
Gilbert
1.89
3.86 ×10−3
0.546
Baxendell
1.93
3.12 ×10−3
0.54
Achong
1.88
1.54 ×10−3
0.65
Tabel 3.4: Tabel Nilai Konstanta Choke a, b, c .[2]
Pada saat choke dialiri suatu fluida, maka aliran fluida tersebut bersifat kritik. Secara empirik, penentuan nilai tekanan keluaran dari sistem (choke) dapat menggunakan persamaan rasio kritik antara tekanan keluaran (downstream), p2 , terhadap tekanan masukan (upstream), p1 , yaitu: Didefinisikan rasio tekanan kritik ⎛ k ⎞
p2 ⎛ N ⎞⎜⎝ k −1 ⎟⎠ = , yc = p1 ⎜⎝ D ⎟⎠
(3.21)
dimana
N=
(1 − X 1 ) ρ g1 (1 − y ) dan k + k −1 X1ρ L
(3.22)
D=
k n n (1 − X 1 ) ρ g 2 n ⎡ (1 − X 1 ) ρ g 2 ⎤ + + + ⎢ ⎥, k −1 2 X1ρ L 2 ⎣ X1ρ L ⎦
(3.23)
dengan X1
: fraksi masa gas pada kondisi awal (kualitas),
26
ρ g1
: densitas gas pada kondisi awal,
ρg 2
: densitas gas pada kondisi akhir (downstream),
ρL
: densitas liquid pada kondisi awal,
k
: rasio dari spesifik kalor untuk gas, C p / Cv ,
n = 1+
X 1 ( C p − Cv )
X 1Cv + (1 − X 1 ) CL
,
(3.24)
dimana CL X1 =
: spesifik kalor untuk liquid. 0.0764γ g ( R − f o Rs )
0.0764γ g ( R − f o Rs ) + 5.615 ( f o Bo ρ o + f w Bw ρ w )
,
(3.25)
dimana
γg
: spesifik graviti dari gas,
R
: GLR, gas liquid rasio, scf/STBL,
fo
: fraksi dari aliran minyak, qo /( qo + q w ) ,
fw
: fraksi dari aliran air, ( 1 − f o ) ,
Rs
: rasio larutan gas-minyak pada p1 , T1 , scf/STBO,
ρo
: densitas minyak pada p1 , T1 , lbm/ft3,
ρw
: densitas air pada p1 , T1 , lbm/ft3,
Bo
: faktor volume formasi minyak pada p1 , T1 , dan
Bw
: faktor volume formasi air pada p1 , T1 .
Berdasarkan fungsi utama dari choke yaitu mengontrol debit alir fluida, maka pada saat fluida memasuki choke, debit alir fluida yang keluar akan berubah. Debit alir fluida tersebut dapat dihitung dengan menggunakan persamaan empirik yaitu
27
(
⎧ ⎡ 1 − X ) ( 1 − y ) X k 1 − y k −1/k 0.525C d d ⎪ 1 1 2 ⎢( qL = + ⎨ p1 ρm 2 ⎢ CM2 ρL 1 ρ g 1 ( k − 1) ⎪ ⎣ ⎩ 2
)
⎤⎫ ⎥ ⎪⎬ ⎥⎪ ⎦⎭
0.5
,
(3.26)
dimana −1
⎡ X ( 1 − X1 ) ⎤⎥ dan 1 =⎢ + 1/ k ρL 1 ⎥⎦ ⎢⎣ ρ g 1 y
(3.27)
C M 2 = 8.84 × 10 −7 γ g ( R − f o Rs ) + 6.5 × 10 −5 ( f o ρ o Bo + f w ρ w Bw ) .
(3.28)
ρm 2
dengan d
: diameter dalam choke, inch,
p1
: tekanan masukan (upstream), psia,
ρL
: densitas liquid, lbm/ft3,
ρ g1
: densitas gas pada p1 , T1 , lbm/ft3, dan
X1
: kualitas pada p1 , T1 .
