BAB 3 MODEL LEE-CARTER
3.1 Pendahuluan Model Gompertz yang telah dibahas di Bab 2 banyak dimodifikasi oleh para Statistikawan. Pada waktu itu (sekitar tahun 1980-1990), Statistikawan melihat model ini cukup bagus untuk merepresentasikan tingkat mortalita. Pada tahun 1860, Mahekam menambahkan konstanta A pada laju mortalita sehingga modelnya menjadi µx = A + BC x , dengan x ≥ 0, B > 0, C > 1, A > −B . Tahun 1932, Perks memodifikasinya menjadi µx =
A + BC x . Tahun 1943, Van KC − x + 1 + DC x
Der Maen memodifikasi model itu menjadi ln µx = ln A + x ln C + x 2 ln B . Jika kita amati model-model tersebut, hanya ada modifikasi persamaan yang melibatkan komponen umur x saja. Baru pada tahun 1992, Lee dan Carter mengajukan model yang tidak hanya melibatkan komponen umur saja. Lee-Carter menambahkan komponen waktu t dalam modelnya. Modelnya didefinisikan sebagai berikut. ln mx ,t = αx + β x kt + εx ,t
x = x1, x2, x3, …, xk , t = t1, t1 + 1, t1 + 2, …, t1 + h – 1= tn
......(3.1)
dengan
x
: usia orang yang diamati (tahun)
t
: waktu pengamatan (tahun)
mx ,t : tingkat kematian pusat untuk usia x pada tahun ke-t αx : banyaknya komponen khusus umur (ages-spesific) β x : kecenderungan perubahan tingkat kematian pada usia x akibat perubahan parameter κt
κt : level mortalita secara umum (general level of mortality) εx ,t : eror yang identik dan saling bebas ~ N(0, σε2 )
Pembuatan Tabel Mortalita Melalui Model Lee-Carter
30
Ada beberapa asumsi untuk model ini. Lee-Carter mengasumsikan eror pada model ini adalah berasal dari distribusi yang sama (homoskedastic). Model ini juga invarian terhadap transformasi. (α x , β x , κt ) → (α x , β x / c, cκ t ) dan (α x , β x , κ t ) → (α x − cβ x , β x , κ t + c) untuk setiap konstanta c. Akibatnya, solusi dari model ini tidak bisa ditentukan. Agar model ini mempunyai solusi yang unik maka ditambahkan batasan-batasan berikut.
∑ t κt = 0 dan ∑ x β x = 1 3.2 Taksiran Parameter Model Lee-Carter Model pada Persamaan 3.1 bukan merupakan regresi biasa karena bagian kanan dari persamaan tersebut, yaitu αx dan β x kt tidak diketahui. Dengan demikian, untuk mencari penyelesaian dari Persamaan 3.1, kita menggunakan metode aproksimasi. Banyak metode aproksimasi yang bisa digunakan. Salah satunya, yang digunakan Lee-Carter. Langkah-langkahnya sebagai berikut [11]. Langkah 1. Dengan asumsi sebelumnya, kita tentukan dahulu taksiran untuk parameter αx . Hasilnya, taksiran dari α x tidak lain adalah nilai rata-rata dari ln mx ,t untuk setiap t. ax =
⎡ tn 1/ h ⎤ 1 tn ln ln = m ∑ x,t ⎢⎢∏ mx,t ⎥⎥ n t =t1 ⎣ t =t1 ⎦
Langkah 2. Menentukan nilai taksiran dari parameter β x dan κt . Caranya dengan
menggunakan
dekomposisi
nilai
singulir
(Singulir Valued
Decomposition (SVD)) terhadap matrik Yx ,t = ln mx ,t − ax . Hasilnya matrik Yx ,t terdekomposisi seperti berikut. r
SVD(Yx ,t ) = ∑ ρiU x ,iVi ,t ...........(3.2) i=1
Pembuatan Tabel Mortalita Melalui Model Lee-Carter
31
dengan r = rank dari matrik Yx,t dan ρ1 ≥ ρ2 ≥ ... ≥ ρr nilai singulir terurut dari matrik Yx,t. Dengan menggunakan Teorema Eckart dan Young (1936), maka Persamaan 3.2 menjadi h
h
i=1
i=1
Yl x ,t ≈ ∑ ρiU x ,iVi ,t = ∑ β x(i )κt(i ) , h ≤ r dengan β x(i )κt(i ) = ρiU x ,iVi ,t Lee-Carter hanya menggunakan rank h = 1 untuk menaksir dua parameter tersebut. Hal ini memberikan
Yl x ,t ≈ ρ1U x ,1V1,t = β x(1)κt(1) Dari hasil ini kita peroleh taksiran untuk β x dan κt berikut.
bx(1) = (u1,1 u2,1 ... u X ,1 )T dan kt(1) = ρ1 (v1,1 v2,1 ... vT ,1 ) Langkah 3. Mengestimasi lagi nilai taksiran dari κt . Hal ini dilakukan karena estimasi pertama dilakukan terhadap ln mx ,t , bukan pada mx ,t . Untuk mengestimasi lagi nilai κt , kita menggunakan metode iterasi. Metode ini mengatur
κt
sehingga banyaknya orang meninggal setiap tahun
xk
∑ d x,t sama dengan nilai estimasinya
x= x1
xk
∑ Ex,t exp(ax + bx(1)kt(1) ) .
Berikut
x= x1
ini disajikan langkah-langkah metode iterasi. xk
a. Membandingkan
xk
∑ Ex,t exp(ax + bx(1)kt(1) ) dengan
∑ d x,t
x= x1
x= x1
setiap tahun. b. Dari hasil sebelumnya, kita memiliki tiga kemungkinan. xk
Kemungkinan pertama jika
∑ Ex,t exp(ax + bx(1)kt(1) ) >
x= x1
xk
∑ d x,t .
x= x1
Untuk menyamakannya, kita turunkan nilai estimasi dengan mengatur nilai kt(1) .
Pembuatan Tabel Mortalita Melalui Model Lee-Carter
32
Dari hasil ini kita memperoleh nilai estimasi κt yang baru, isalkan kt(2) dengan kt(2) = kt(1) (1− d ) untuk kt(1) > 0 dan d bilangan kecil kt(2) = kt(1) (1 + d ) untuk kt(1) < 0 xk
Kemungkinan kedua
∑ Ex,t exp(ax + bx(1)kt(1) ) =
x= x1
xk
∑ d x,t .
Kita
x= x1
menghentikan iterasi. Kemungkinan ketiga jika nilai dari xk
∑ Ex,t exp(ax + bx(1)kt(1) )
xk
<
x= x1
∑ d x,t . Untuk menyamakannya, kita
x= x1
naikkan nilai estimasi dengan mengatur nilai kt(1) sehingga kt(2) = kt(1) (1 + d ) untuk kt(1) > 0 kt(2) = kt(1) (1− d ) untuk kt(1) < 0 b. Kembali ke Langkah a.
3.3 Algoritma Model Lee-Carter Setelah memperoleh nilai taksiran untuk setiap parameter model Lee-Carter, kita dapat membuat tabel mortalitanya. Langkah-langkah membuatnya sebagai berikut. Langkah 1. Menghitung taksiran setiap parameter model Lee-Carter. Dari bagian sebelumnya, kita peroleh taksiran tiga parameter model Lee-Carter berikut. ax =
⎡ tn 1/ h ⎤ 1 tn = ln ln m ∑ x,t ⎢⎢∏ mx,t ⎥⎥ n t =t1 ⎣ t =t1 ⎦
bx(1) = (u1,1 u2,1 ... u X ,1 )T dan kt(1) = ρ1 (v1,1 v2,1 ... vT ,1 ) Langkah 2. Menghitung taksiran dari ln mx ,t , yaitu ln emx ,t dengan cara memasukkan setiap taksiran parameter hasil Langkah 1 ke persamaan berikut.
Pembuatan Tabel Mortalita Melalui Model Lee-Carter
33
ln emx ,t = ax + bx kt
Langkah 3. Menghitung taksiran dari mx ,t , yaitu emx ,t = exp(ax + bx kt ) . Langkah 4. Menghitung
t qx
. Oleh karena kita menggunakan asumsi
eksponensial untuk usia yang mengandung pecahan maka emx ,t = u x ,t . Akibatnya, t qx = 1− exp(−emx,t ) = 1− exp(−(ax + bx kt )) Langkah 4. Menghitung lx dan dx. Untuk menghitung nilai lx, kita asumsikan banyaknya orang berusia 0 tahun adalah l0 = 100.000. Nilai lx dapat dihitung menggunakan rumus rekursif berikut. lx = lx-1 (1- qx-1) untuk x = 1,2,3, ... Adapun dx dapat dihitung menggunakan rumus dx = lx - lx+1.
BAB 4 STUDI KASUS
4.1 Data Data yang akan digunakan pada penelitian ini adalah data yang ada pada tugas akhir Rizki Irawan [7]. Datanya berupa data mutasi klaim kecelakaan nasabah di suatu perusahaan asuransi yang cukup besar di Jawa Barat. Data yang tersedia sebanyak 247 orang pemegang polis. Setiap data pemegang polis dilengkapi dengan nama, tanggal lahir, tanggal masuk kepesertaan, tanggal terjadinya klaim (mutasi), jenis klaim, dan keterangan. Dari data tersebut, kita menghitung dahulu tingkat kematian pusat (central death rate) menggunakan rumus berikut. mx =
dx Ex
Pembuatan Tabel Mortalita Melalui Model Lee-Carter
34
