BAB 1 Konsep Dasar
1
BAB 2 Solusi Persamaan Fungsi Polinomial Denition 2.0.1 (Metoda numeris) Metoda numeris adalah suatu model pendekatan dengan menggunakan teknik-teknik kalkulasi berulang (teknik iterasi) untuk mecari penyelesaian hampiran suatu masalah tertentu. Selanjutnya teknikteknik yang digunakan itu mempunyai potensi membuat suatu nilai kesalahan yang dievaluasi secara bertahap untuk mendapatkan nilai kesalahan yang sangat kecil.
Untuk mengawali penjelasan teknik-teknik aproksimasi ini, dalam bab ini akan dimulai dengan pembahasan aproksimasi terhadap suatu titik melalui penyelesaian persamaan fungsi polinomial.
f := a1xn + a2xn;1 + a3xn;2 +
10
+ an = 0
BAB 2. SOLUSI PERSAMAAN FUNGSI POLINOMIAL
2.1
11
Metoda Biseksi
Denition 2.1.1 (Prosedur Biseksi) Misal f adalah fungsi kontinyu terdenisi pada interval a b], dimana f (a) berbeda tanda dengan f (b). Dengan teori "nilai tengah" maka ada p 2 (a b) dengan f (p) = 0 dengan asumsi akar dalam interval (a b) adalah tungal. Selanjutnya untuk melakukan perhitungan yang akurat kita set a1 = a dan b1 = b dan tentukan p1 lewat
p1 = 12 (a1 + b1) Jika f (p1 ) = 0, maka p = p1. Jika tidak, f (p1 ) akan mempunyai tanda yang sama dengan f (a1 ) atau f (b1 ). Jika f (p1 ) dan f (a1 ) mempunyai tanda yang sama maka
p (p1 b1) jika tidak maka p (a1 p1). Selanjutnya set a2 dan b2 yang baru dan tentukan p2 melalui perhitungan yang sama dengan p1 , dan lakukan pengulangan 2
2
sampai tingkat akurasi tertentu.
Untuk menghentikan pengulangan penghitungan dalam mencari solusi yang akurat harus dikonrmasikan dengan nilai kesalahan (selanjuntya kita sebut toleransi) dimana toleransi dalam hal ini dapat dipilih
pn pn;1 < e pn pn;1 < e pn f (pn ) < e
j
;
j
j
;
j
j
j
j
pn = 0 6
j
Algoritma Metoda Biseksi INPUT batas interval a b, (Toleransi), Jumlah iterasi maximum (N) OUTPUT nilai aproksimasi p
BAB 2. SOLUSI PERSAMAAN FUNGSI POLINOMIAL
12
Step 1 Set i=1
FA = f (a) Step 2 While i N do Steps 3-6 Step 3 Set p = a + (b a)=2 FP = f (p) Step 4 IF FP = 0, atau (b a)=2 < OUTPUT(p)
;
;
STOP Step 5 Set i = i + 1. Step 6 If FA FP > 0 then a = p FA = FP
else Set b = p. Step 7 OUTPUT (Metoda gagal setelah N iterasi)
STOP.
2.2
Metoda Newton-Raphson
Jika f 2 C 2 a b], dan x 2 a b] adalah nilai aproksimasi terhadap p sehingga
f 0 (x) = 0 dan x p sangat kecil, maka polynomial Taylor dapat dikembangkan untuk x sebagai: 6
j
;
j
f (x) = f (x) + (x x)f 0 (x) + (x 2!x) f 00( (x)) + : : : 2 f (x) = f (x) + (x x)f 0 (x) + (x 2 x) f 00( (x)) (x) (x x): (2.1) ;
;
;
2
;
Jika f (p) = 0 maka untuk x = p persamaan (2.1) menjadi 2 0 = f (x) + (p ; x)f 0 (x) + (p ;2 x) f 00 ( (p))
2
BAB 2. SOLUSI PERSAMAAN FUNGSI POLINOMIAL
13
Telah diasumsikan jx ; pj sangat kecil, maka suku ketiga dapatlah diabaikan sehingga 0 = f (x) + (p ; x)f 0 (x): Formulasikan untuk p didapat
x) : p x ff0( (x)
;
Dengan menggati x = pn;1 maka formulasi Newton-Raphson dapat diturunkan untuk menggeneralisasi suatu deret fpng melalui
pn = pn;1
;
f (pn;1 ) f 0 (pn;1 )
for n 1.
(2.2)
Sama halnya dengan metoda biseksi, untuk menghentikan pengulangan penghitungan dalam mencari solusi yang akurat harus dikonrmasikan dengan nilai kesalahan yang telah ditentukan sehingga
pn pn;1 < e pn pn;1 < e pn f (pn ) < e
j
;
j
j
;
j
j
j
j
pn = 0 6
j
Algoritma Metoda Newton-Raphson INPUT nilai awal p0, (Toleransi), Jumlah iterasi maximum (N) OUTPUT nilai aproksimasi p Step 1 Set i=1 Step 2 While i N do Steps 3-6 Step 3 Set p = p0 ; f (p0 )=f 0 (p0 )
BAB 2. SOLUSI PERSAMAAN FUNGSI POLINOMIAL
14
Step 4 IF jp ; p0j <
OUTPUT(p) STOP. Step 5 Set i = i + 1. Step 6 Set p0 = p (Perbaharui p0 ) Step 7 OUTPUT (Metoda gagal setelah N iterasi)
STOP. Metoda Newton ini lebih baik dibandingkan metoda Biseksi, namun demikian proses menentukan f 0 (x) kadangkala merupakan proses yang lebih susah dibandingkan dengan operasi artmatikanya. Untuk menghindari hal tersebut dikembangkan metoda berikut. Ingat denisi turunan
f (x) f (pn;1) : f 0 (pn;1) = x!lim pn;1 x pn;1 ;
;
Misal x = pn;2 maka
f 0 (pn;1) f (ppn;2) fp (pn;1) = f (ppn;1) fp (pn;2) : n;2 n;1 n;1 n;2
;
;
;
;
Substitusikan rumusan ini kedalam rumusan Newton diperoleh rumus:
pn = pn;1
;
;
f (pn;1 )(pn;1 pn;2 ) f (pn;1 ) f (pn;2 )
;
:
Rumus ini kemudian disebut Metoda Secant
Algoritma Metoda Secant INPUT nilai awal p0 p1, (Toleransi), Jumlah iterasi maximum (N) OUTPUT nilai aproksimasi p Step 1 Set i=2
q0 = f (p0).
(2.3)
BAB 2. SOLUSI PERSAMAAN FUNGSI POLINOMIAL
15
q1 = f (p1). Step 2 While i N do Steps 3-6 Step 3 Set p = p1 q1(p1 p0 )=(q1 q0 ). (hitung pi ) Step 4 IF p p1 < OUTPUT(p)
;
j
;
;
;
j
STOP. Step 5 Set i = i + 1. Step 6 Set p0 = p1 (Perbaharui p0 q0 p1 q1 )
q0 = q1 p1 = p q1 = f (p). Step 8 OUTPUT (Metoda gagal setelah N iterasi)
STOP.
2.3
Metoda Posisi Palsu
Metoda ini menggabungkan ide metoda biseksi dan metoda secant. Dalam penyelesaian f (x) = 0, ditentukan suatu interval p0 p1] dimana f kontinyu pada interval ini, dan f (p0):f (p1) < 0 (berlawanan tanda). Prosedur selanjutnya dapat dilihat dalam algoritma berikut ini.
Algoritma Metoda Posisi Palsu INPUT nilai awal p0 p1, (Toleransi), Jumlah iterasi maximum (N) OUTPUT nilai aproksimasi p Step 1 Set i=2
q0 = f (p0).
BAB 2. SOLUSI PERSAMAAN FUNGSI POLINOMIAL q1 = f (p1). Step 2 While i N do Steps 3-7 Step 3 Set p = p1 q1(p1 p0 )=(q1 q0 ). (hitung pi ) Step 4 IF p p1 < OUTPUT(p)
;
j
;
;
;
j
STOP. Step 5 Set i = i + 1.
q = f (p) Step 6 IF q q1 < 0 maka p0 = p1 q0 = q1 Step 7 p1 = p1 q1 = q Step 8 OUTPUT (Metoda gagal setelah N iterasi)
STOP.
16
BAB 2. SOLUSI PERSAMAAN FUNGSI POLINOMIAL
17
Latihan Tutorial 2 p
1. Gunakan algoritma biseksi untuk menentukan anilai aproksimasi pada 3 p
dan 3 25 2. Suatu model yang dipakai untuk mengadakan aproksimasi terhadap suatu masalah adalah metoda numeris, sebutkan denisi formal metoda ini. Selanjutnya implikasi dari penggunaan metoda ini, komputer programming merupakan hal yang sangat penting. Untuk mempermudah menginterpretasikan suatu metoda menjadi suatu programming dibutuhkan algoritma,
jelaskan apa yang disebut dengan algoritma. Salah satu algoritma yang digunakan untuk menginterpretasikan proses kalkulasi metoda numeris adalah metoda Newton-Raphson dengan rumusan pn = pn;1 ; ff0((ppn;1)) untuk n 1 n;1 Metoda ini adalah metoda yang cukup terkenal, namun proses menentukan
f 0 (x) kadangkala merupakan proses yang lebih sulit dibandingkan dengan operasi artmatiknya. Untuk menghindari hal tersebut ditawarkan metoda lain yaitu Metode Secant dengan rumus n;1 ; pn;2 ) pn = pn;1 ; f (fp(np;1)()p; f (pn;2) untuk n 1: n;1 Uraikan bagaimana metoda Newton dikembangkan sehingga menjadi metoda Secant ini. Kemudian bila kalkulasi iteratif diterapkan terhadap metoda ini, maka kalkulasi berulang (looping) akan terus dilakukan, jelaskan apa
yang harus dilakukan untuk menghentikan kalkulasi tersebut. 3. f (x) = ;x3 ; cos x dan p0 = ;1, gunakan metoda Newton Raphson untuk menentukan p2
BAB 2. SOLUSI PERSAMAAN FUNGSI POLINOMIAL
18
4. Gunakan algoritma Newton untuk menentukan masing-masing soal dibawah ini dengan tingkat ketelitian (toleransi) e = 1e ; 5 (a) ex + 2;x + 2 cos x ; 6 = 0
untuk 1,2]
(b) ln(x ; 1) + cos(x ; 1) = 0
untuk 1.3,2]
(c) 2x cos 2x ; (x ; 2)2 = 0
untuk 2,3]
5. Ulangi soal nomor 8 diatas dan gunakan metoda secant 6. Ulangi soal nomor 8 diatas dan gunakan metoda posisi palsu
