INTEGRASI NUMERIS Numerical Differentiation and Integration

http://istiarto.staff.ugm.a.cid

INTEGRASI NUMERIS Numerical Differentiation and Integration

Integrasi Numeris 2

http://istiarto.staff.ugm.ac.id

q 

Acuan q 

Chapra, S.C., Canale R.P., 1990, Numerical Methods for Engineers, 2nd Ed., McGraw-Hill Book Co., New York. n 

Chapter 15 dan 16, hlm. 459-523.

Diferensial, Derivatif 3


f(xi+Δx) yi +Δy

f(xi)

yi +Δy

Δy

yi

yi

Δx xi

xi +Δx

(a)

Δy f (xi + Δx ) − f (xi ) = Δx Δx difference approximation

yi xi (b)

xi +Δx

xi (c)

dy f (xi + Δx ) − f (xi ) = lim d x Δx →0 Δx

Diferensial, Derivatif 4


Δy f (xi + Δx ) − f (xi ) = Δx Δx pendekatan beda (hingga) difference approximation

dy f (xi + Δx ) − f (xi ) = lim d x Δx →0 Δx derivatif dy = y ʹ′ = f ʹ′(x ) dx

derivatif = laju perubahan y terhadap x

Diferensial http://istiarto.staff.ugm.ac.id

160

24

120 y 80

slope = dy/dx

12

40

6

0

0 0

2

4

6 x

dy = 7.5 x 0.5 dx

18

y = 5 x 1. 5

dy/dx

5

8

10

0

2

4

6 x

8

10

Integral http://istiarto.staff.ugm.ac.id

24

160 y = 7.5 x 0.5

18 y 12

120 ∫y dx

6

x

luas = ∫ y d x 0

6

∫ ydx = 5x

1.5

80 40

0

0 0

2

4

6

8

10

0

2

4

6

8

x x §  “kebalikan” dari proses men-diferensial-kan adalah meng-integral-kan §  integrasi ›‹ diferensiasi

10

Fungsi 7


q 

Fungsi-fungsi yang di-diferensial-kan atau di-integral-kan dapat berupa: q  q 

q 

fungsi kontinu sederhana: polinomial, eksponensial, trigonometri fungsi kontinu kompleks yang tidak memungkinkan didiferensialkan atau dintegralkan secara langsung fungsi yang nilai-nilainya disajikan dalam bentuk tabel [tabulasi data x vs f(x)]

Cara mencari nilai integral 8


2 + cos(1 + x ) 0.5 x ∫0 1 + 0.5sin x e d x 2

32

x

f(x)

0.25

2.599

0.75

2.414

1.25

1.945

1.75

1.993

4 3 2

A1

1

A2

A3

A4

∫f(x) dx = luas = ∑Ai 0 0

0.5

1

1.5

2

2.5

Derivatif 9


u = f (x ) dan v = f (x )

y = un y = uv

y=

u v

dy du = n u n−1 dx dx dy du dv =v +u dx dx dx du dv −u dy = dx 2 dx dx v v

d sin x = cos x dx d cos x = − sin x dx d tan x = sec2 x dx d 1 ln x = dx x d x e = ex dx

d cot x = − csc2 x dx d sec x = sec x tan x dx d csc x = − csc x cot x dx d 1 log a x = dx x ln a d x a = a x ln a dx

Integral 10


1 ( ) cos ax + b d x = sin(ax + b ) + C ∫ a

∫ u dv = uv − ∫ v du u n +1 ∫ u dv = n + 1 + C a bx bx ∫ a d x = blna + C dx ∫ x = ln x + C n

n ≠ −1 a > 0, a ≠ 1

1 ( ) sin ax + b d x = − cos(ax + b ) + C ∫ a

∫ ln x d x = x ln x − x + C e ax ∫e dx = a + C e ax ax ∫ x e d x = a2 (ax − 1) + C dx 1 ab −1 = tan x +C ∫ a + bx2 ab a ax

11

Metode Integrasi Newton-Cotes Metode Trapesium Metode Simpson Metode Kuadratur Gauss


Persamaan Newton-Cotes 12


q 

Strategi q 

mengganti fungsi kompleks dan rumit atau tabulasi data dengan yang mudah untuk diintegralkan b

b

a

a

I = ∫ f (x )d x = ∫ fn (x )d x

fn (x ) = a0 + a1 x + a2 x 2 + ... + an−1 x n−1 + an x n

polinomial tingkat n



f (x )

f (x )

a

b

x

Garis lurus (polinomial tingkat 1) sbg fungsi pendekatan.

a

b

x

Kurva parabola (polinomial tingkat 2) sbg fungsi pendekatan.



f (x ) 1

Fungsi yang diintegralkan didekati dengan 3 buah garis lurus (polinomial tingkat 1). Dapat pula dipakai beberapa kurva polinomial tingkat yang lebih tinggi.

2 3

a

b

x

Garis lurus (polinomial tingkat 1) sbg fungsi pendekatan.

Metode Trapesium 15


q 

Fungsi pendekatan untuk menghitung integral adalah polinomial tingkat 1 b

b

a

a

I = ∫ f (x )d x = ∫ f1 (x )d x q 

Sebuah garis lurus dapat dinyatakan dengan persamaan f1 (x ) = f (a ) +

f (b) − f (a ) (x − a ) b−a

Metode Trapesium 16


f (b) − f (a ) ⎡ ⎤ ( I ≅ ∫ ⎢ f (a ) + x − a )⎥ d x a b−a ⎣ ⎦ f (a ) + f (b) ≅ (b − a ) 2 b

Metode Trapesium

error

f (x )

a

b

x

Metode Trapesium 17


Penyelesaian eksak I=∫

0.8

0

(0.2 + 25x − 200x

2

+ 675x 3 − 900 x 4 + 400 x 5 ) d x 0.8

200 3 675 4 400 6 ⎞ ⎛ = ⎜ 0.2 x + 12.5x 2 − x + x − 180 x 5 + x ⎟ = 1.640533 3 4 6 ⎝ ⎠ 0

Metode Trapesium f (x ) = 0.2 + 25 x − 200 x 2 + 675x 3 − 900 x 4 + 400x 5 f (0 ) = 0.2 dan f (0.8 ) = 0.232 I = (0.8 − 0)

0.2 + 0.232 = 0.1728 2

Et = 1.640533− 0.1728 = 1.467733 (≈ 89%)

[error]

Metode Trapesium 18


4

q 

f(x)

Error atau kesalahan q 

3 2

error q 

1

x

0 0

0.2

0.4

0.6

0.8

bentuk trapesium untuk menghitung nilai integral mengabaikan sejumlah besar porsi daerah di bawah kurva

Kuantifikasi error pada Metode Trapesium Et = −

1 f ʹ′ʹ′(ξ )(b − a )3 12

ξ adalah titik di antara a dan b

Metode Trapesium 19


4

f ʹ′ʹ′(x ) = −400 + 4050 x 3 − 10800x 2 + 8000 x 3

f(x)

nilai rata-rata derivatif kedua:

3

0.8

(− 400 + 4050x ∫ ʹ′ ʹ′ f (x ) = 0

2

Ea = −

1

x 0

0.2

0.4

0.6

− 10800x 2 + 8000x 3 )d x

0.8 − 0

= −60

error:

error

0

3

0.8

1 (− 0.60 )(0.8 − 0)3 = 2.56 12

order of magnitude nilai error ini sama dengan order of magnitude nilai error terhadap nilai penyelesaian eksak dan keduanya sama tanda (sama-sama positif)

Trapesium multi pias 20


q 

Peningkatan akurasi q 

selang ab dibagi menjadi sejumlah n pias dengan lebar seragam h

h=

b−a n



4

b−a h= n

f(x)

3 2

f(x)

3 2

h = 0.2

h = 0.1

1 0

4

1

x 0

0.2

0.4

0.6

0.8

0

x 0

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8



h=

b−a n

Jika a = x0 dan b = xn x1

x2

xn

x0

x1

x n −1

I = ∫ f (x )d x + ∫ f (x )d x + ... + ∫ I≈h

f (x )d x

f (x0 ) + f (x1 ) f (x1 ) + f (x2 ) f (xn−1 ) + f (xn ) +h + ... + h 2 2 2

⎤ h ⎡ ⎧ n−1 ⎫ I ≈ ⎢ f (x0 ) + ⎨2∑ f (xi )⎬ + f (xn )⎥ 2 ⎣ ⎩ i =1 ⎭ ⎦

⎧ n−1 ⎫ f (x0 ) + ⎨2∑ f (xi )⎬ + f (xn ) ⎩ i =1 ⎭ I ≈ (b − a ) $#" 2n lebar $!!!!#!!!!" tinggi rata-‐rata



Error = jumlah error pada setiap pias Et

( b − a )3 =− 3

12n

n

∑ f ʹ′ʹ′(ξ ) i =1

i

1 n f ʹ′ʹ′(ξi ) = f ʹ′ʹ′ ∑ n i =1

Et ≈ Ea

( b − a )3 =− 2

12n

f ʹ′ʹ′

setiap kelipatan jumlah pias, error mengecil dengan faktor kuadrat peningkatan jumlah pias



f (x ) = 0.2 + 25x − 200x 2 + 675x 3 − 900x 4 + 400x 5 0.8

I = ∫ f (x )d x = 1.640533 (exact solution) 0 0.8

I ≈ ∫ f1 (x )d x (the trapezoidal rule) 0

100

%Et vs n

n

h

I

Et

%Et

Ea

60

1

0.8

0.1728

1.4677

89%

2.56

40

2

0.4

1.0688

0.5717

35%

0.64

20

4

0.2

1.4848

0.1557

9%

0.16

8

0.1

1.6008

0.0397

2%

0.04

80

0 1

2

n 4

8

Metode Simpson 25


The trapezoidal rule q 

Fungsi pendekatan: polinomial tingkat 1 q 

Peningkatan ketelitian dpt dilakukan dengan meningkatkan jumlah pias

Simpson’s rules q 

Fungsi pendekatan: polinomial: q  q 

tingkat 2: Simpson 1/3 tingkat 3: Simpson 3/8

Metode Simpson 26


4

4

f(x)

3

3

f2(x)

2

2

1

1

0

x 0

0.2

f(x)

0.4

0.6

Simpson ⅓

0.8

0

f3(x)

x 0

0.2

0.4

0.6

Simpson ⅜

0.8

Metode Simpson 27


q 

Polinomial tingkat 2 atau 3 q 

dicari dengan Metode Newton atau Lagrange (lihat materi tentang curve fitting)

Simpson ⅓ 28


b

b

a

a

I = ∫ f (x )d x ≈ ∫ f2 (x )d x

Jika a = x0 dan b = xn dan f2(x) diperoleh dengan Metode Lagrange ⎡ (x − x1 )(x − x2 ) ⎤ ( ( x − x0 )(x − x2 ) x − x0 )(x − x1 ) I ≈ ∫ ⎢ f (x0 ) + f (x1 ) + f (x2 )⎥ d x a (x − x )(x − x ) ( ) ( ) ( ) ( ) x − x x − x x − x x − x 1 0 1 2 2 0 2 1 ⎣ 0 1 0 2 ⎦ b

I≈

h [f (x0 ) + 4 f (x1 ) + f (x2 )] 3 b−a h= 2

atau

I ≈ (b − a )

Et

f (x0 ) + 4 f (x1 ) + f (x2 ) 6

( b − a )5 4 =− f (ξ) 180n4

Simpson ⅓ multi pias 29


x2

x4

xn

x0

x2

x n−2

I ≈ ∫ f (x )d x + ∫ f (x )d x + ... + ∫ I ≈ 2h

f (x )d x

f (x 0 ) + 4 f (x1 ) + f (x2 ) f (x2 ) + 4 f (x 3 ) + f (x 4 ) f (x n−2 ) + 4 f (x n−1 ) + f (x n ) + 2h + ... + 2h 6 6 6

f (x0 ) + 4 I ≈ (b − a )

Ea

n−1

n−2

∑ f (x ) + 2 ∑ f (x ) + f (x )

i =1 ,3 , 5

i

i =2 , 4 ,6

i

n

3n

( b − a )5 =− 180n

4

f4

(estimasi error, f 4 rata-rata derivatif ke-4)

Simpson ⅜ 30


b

b

a

a

I = ∫ f (x )d x ≈ ∫ f3 (x )d x

Jika a = x0 dan b = xn dan f3(x) diperoleh dengan Metode Lagrange b⎡ (x − x )(x − x )(x − x ) (x − x0 )(x − x2 )(x − x3 ) f (x ) + (x − x0 )(x − x1 )(x − x3 ) f (x ) + (x − x0 )(x − x1 )(x − x2 ) f (x )⎤ d x 1 2 3 I ≈ ∫ ⎢ f (x0 ) + a (x − x )(x − x )(x − x ) (x1 − x0 )(x1 − x2 )(x1 − x3 ) 1 (x2 − x0 )(x2 − x1 )(x2 − x3 ) 2 (x3 − x0 )(x3 − x1 )(x3 − x2 ) 3 ⎥⎦ ⎣ 0 1 0 2 0 3

I≈

3h f (x ) + 3 f (x1 ) + 3 f (x2 ) + f (x3 ) [f (x0 ) + 3 f (x1 ) + 3 f (x2 ) + f (x3 )] atau I ≈ ($ b − a) 0 #" 8 8 " lebar $!!!!!#!!!!! tinggi rata−rata b−a h= 3

Simpson ⅜ 31


Error 3 Et = − h5 f 4 (ξ) 80

atau

Et

( b − a )5 4 =− f (ξ) 6480

Simpson ⅓ dan ⅜ 32


f (x ) = 0.2 + 25x − 200x 2 + 675x 3 − 900x 4 + 400x 5 0.8

I = ∫ f (x )d x = 1.640533 (exact solution) 0

Metode

I

Et

Simpson ⅓ (n = 2)

1.367467

0.273067 (17%)

Simpson ⅜ (n = 3)

1.51917

0.121363 (7%)

Simpson ⅓ (n = 4)

1.623467

0.017067 (1%)

Pias tak seragam: Metode Trapesium 33


i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

xi 0 0.12 0.22 0.32 0.36 0.4 0.44 0.54 0.64 0.7 0.8

f(xi) 0.2 1.309729 1.305241 1.743393 2.074903 2.456 2.842985 3.507297 3.181929 2.363 0.232

I 0.090584 0.130749 0.152432 0.076366 0.090618 0.10598 0.317514 0.334461 0.166348 0.12975 1.594801

f (x ) = 0.2 + 25 x − 200 x 2 + 675x 3 − 900 x 4 + 400 x 5

I dihitung dengan Metode Trapesium di setiap pias: f (x1 ) + f (x0 )

I = h1

+ 2 f (x2 ) + f (x1 ) f (xn ) + f (xn−1 ) h2 + ... + hn 2 2

0.8

∫ f (x )d x = 1.594801 0

Pias tak seragam: Metode Simpson 34


i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

xi 0 0.12 0.22 0.32 0.36 0.4 0.44 0.54 0.64 0.7 0.8

f(xi) 0.2 1.309729 1.305241 1.743393 2.074903 2.456 2.842985 3.507297 3.181929 2.363 0.232

I

f (x ) = 0.2 + 25 x − 200 x 2 + 675x 3 − 900 x 4 + 400 x 5

I dihitung dengan Metode Simpson ⅓ dan Simpson ⅜:

PR, dikumpulkan minggu depan

Metode Integrasi Numeris 35


Metode

Jumlah pias

Lebar pias

Trapesium

1

Trapesium multi pias

n>1

seragam atau tak-seragam

Simpson ⅓

2

seragam

Simpson ⅓ mul( pias

genap (2m, m = 2,3,…)

seragam

Simpson ⅜

3

seragam

Kuadratur Gauss

1

Kuadratur Gauss 36


f (x )

f (x )

error terlalu besar

x

upaya mengurangi error

x

Kuadratur Gauss 37


f (x )

Kuadratur Gauss 2 Titik: Gauss-Legendre f (x1 )

1

I = ∫ f (x )d x ≈ c0 f (x0 ) + c1 f (x1 ) −1

f (x0 )

c , c , x , x : !!unknowns !0 1 0 1 1 c0 f (x0 ) + c1 f (x1 ) = ∫ 1 d x = 2 −1 1

c0 f (x0 ) + c1 f (x1 ) = ∫ x d x = 0 −1

− 1 x0

x1

1

1

x

c0 f (x0 ) + c1 f (x1 ) = ∫ x 2 d x = 2 3 −1 1

c0 f (x0 ) + c1 f (x1 ) = ∫ x 3 d x = 0 −1

Kuadratur Gauss 38


f (x )

2

1.5 1

1.5

f (x ) = 1

0.5

x 1

0

0.5

∫ 1d x = 2 −1

1

-1

-0.5 0 -0.5

0.5

-1

0 -0.5

x

0 -1.5

-1

f (x ) = x

0.5

1

-1.5

f (x )

1.5

-1.5 1

∫ xdx = 0 −1

1

1.5

Kuadratur Gauss 39


f (x )

2

f (x )

3

f (x ) = x

2

2

f (x ) = x 3

1

1

x

0 -1.5

-1

-0.5

0

0.5

-1

x

-2

0 -1.5

-1

-0.5

∫

1

0

0.5

x2 d x = 2 3

−1

1

1.5

-3

∫

1

x3 d x = 0

−1

1

1.5

Kuadratur Gauss 40


1

c0 f (x0 ) + c1 f (x1 ) = ∫ 1 d x = 2 −1 1

c0 f (x0 ) + c1 f (x1 ) = ∫ x d x = 2 −1 1

2

c0 f (x0 ) + c1 f (x1 ) = ∫ x d x = 2 3 −1 1

c0 f (x0 ) + c1 f (x1 ) = ∫ x 3 d x = 0

c0 = c1 = 1 x0 = − 1 x1 = 1

3 3

I ≈ c0 f (x0 ) + c1 f (x1 )

−1

(

I ≈ f −1

) (

3 +f1

3

)

Kuadratur Gauss 41


Untuk batas integrasi dari a ke b: §  diambil asumsi suatu variabel xd yang dapat dihubungkan dengan variabel asli x dalam suatu relasi linear

x = a0 + a1 xd §  jika batas bawah, x = a, berkaitan dengan xd = −1 ⇒ a = a0 + a1 (− 1) §  jika batas atas, x = b, berkaitan dengan xd = 1

x=

⇒ b = a0 + a1 (1)

(b + a ) + (b − a ) xd 2 (b − a ) d x dx = d 2

x = a0 + a1 xd

a0 =

b+a b−a dan a1 = 2 2

Kuadratur Gauss 42


f (x ) = 0.2 + 25x − 200x 2 + 675x 3 − 900x 4 + 400x 5 0.8

I = ∫ f (x )d x = 1.640533 (exact solution) 0

Penyelesaian dengan Metode Kuadratur Gauss: x=

(0.8 + 0 ) + (0.8 − 0 )xd

dx =

2

= 0.4 + 0.4 xd

0.8 − 0 d xd = 0.4 d xd 2

Kuadratur Gauss 43


0.8

∫ (0.2 + 25x − 200x 0

2

+ 675x 3 − 900 x 4 + 400 x 5 )d x =

⎧⎪⎡0.2 + 25(0.4 + 0.4 x d ) − 200(0.4 + 0.4 x d )2 + 675(0.4 + 0.4 x d )3 ∫−1 ⎨⎪⎢⎢900(0.4 + 0.4 x )4 + 400(0.4 + 0.4 x )5 d d ⎩⎣ 1

−⎤ ⎫⎪ ⎥ 0.4 ⎬ d x d = ⎦⎥ ⎪⎭

0.8

(

f xd = − 1

(

f xd = 1

) 3 ) = 1.305837

3 = 0.516741

I ≈ ∫ f (x )d x 0

= 0.516741 + 1.305837 = 1.822578

44


INTEGRASI NUMERIS Numerical Differentiation and Integration

Recommend Documents