BAB 2 LANDASAN TEORI
2.1 Curah Hujan Curah hujan adalah jumlah air yang jatuh di permukaan tanah datar selama periode tertentu yang diukur dengan satuan tinggi milimeter (mm) di
atas
permukaan horizontal. Curah hujan juga dapat diartikan sebagai ketinggian air hujan yang terkumpul dalam tempat yang datar, tidak menguap, tidak meresap dan tidak mengalir. Tinggi curah hujan diasumsikan sama di sekitar tempat penakaran, luasan yang tercakup oleh sebuah penakar hujan bergantung pada homogenitas daerahnya maupun kondisi cuaca lainnya. Ketepatan asumsi ini tergantung dari kecepatan angin, keterbukaan lapangan, luas alat penampung serta tinggi alat dari permukaan tanah. Kumpulan data curah hujan di suatu tempat sangat bernilai. Curah hujan perlu diukur untuk mendapatkan data hujan yang sangat berguna bagi perencanaan hidrologis (perencanaan pembangunan
bendung, dam, dan
sebagainya) dan pengaturan neraca air (Juaeni, 2006). Neraca air sendiri merupakan neraca masukan dan keluaran air pada periode tertentu yang digunakan untuk mengetahui jumlah air di suatu wilayah berada pada kondisi surplus (berlebih) ataupun defisit (kekurangan). Kegunaan mengetahui jumlah air pada kondisi surplus dan defisit dapat mengantisipasi bencana yang kemungkinan terjadi dan untuk mendayagunakan air secara tepat.
2.2 Metode Deret Waktu (Time Series) Deret waktu (time series) adalah rangkaian data yang berupa nilai pengamatan yang diukur selama kurun waktu tertentu. Santoso (2009) memberikan definisi dari data deret waktu (time series) adalah data yang ditampilkan berdasarkan waktu, seperti data bulanan, data harian, data mingguan atau jenis waktu yang lain. Ciri data deret waktu adalah adanya rentang waktu tertentu, bukannya data pada satu waktu tertentu. Tujuan dari metode deret waktu adalah untuk menggolongkan data, memahami sistem serta melakukan peramalan berdasarkan
Universitas Sumatera Utara
sifatnya untuk masa depan. Persamaan dan kondisi awal dalam peramalan deret waktu mungkin diketahui kedua-duanya atau mungkin saja hanya salah satunya sehingga
dibutuhkan
suatu
aturan
yang
digunakan
untuk
menentukan
perkembangan dan keakuratan sistem. Penentuan aturan tersebut mungkin mengacu dari pencocokkan data masa lalu.
2.3 Pola Data Deret Waktu Untuk memilih suatu metode yang tepat yang digunakan dalam mengolah data deret waktu adalah dengan mempertimbangkan jenis pola data, sehingga metode yang paling tepat dengan pola tersebut dapat diuji (Makridakis, 1999). Pola data dapat dibedakan menjadi: 1.
Pola Horizontal Pola data yang terjadi bilamana nilai data berfluktuasi di sekitar nilai rata-rata yang konstan (data stasioner).
2.
Pola Musiman Pola data yang terjadi bilamana suatu deret dipengaruhi oleh faktor musiman yang signifikan sehingga data naik dan turun dengan pola yang berulang dari satu periode ke periode berikutnya (misalnya kuartal tahun tertentu, bulanan, atau hari-hari pada minggu tertentu).
3.
Pola Siklis Pola data yang terjadi bilamana fluktuasi datanya berbentuk gelombang sepanjang periode yang tidak menentu.
4.
Pola Trend Pola data yang terjadi bilamana terdapat kenaikan atau penurunan pada suatu deret waktu dalam selang periode waktu tertentu.
2.4 Stasioneritas Stasioneritas berarti bahwa tidak terdapat perubahan yang drastis pada data. Fluktuasi data berada di sekitar suatu nilai rata-rata yang konstan, tidak tergantung pada waktu dan variansi dari fluktuasi tersebut (Makridakis, 1999). Sekumpulan data dinyatakan stasioner jika nilai rata-rata dan varians dari data time series tersebut tidak mengalami perubahan secara sistematik sepanjang
Universitas Sumatera Utara
waktu atau dengan kata lain rata-rata dan variansnya konstan. Kestasioneran data ini berkaitan dengan metode estimasi yang digunakan. Tidak stasionernya data akan mengakibatkan kurang baiknya model yang diestimasi. Selain itu apabila data yang digunakan dalam model ada yang tidak stasioner, maka data tersebut dipertimbangkan kembali validitas dan kestabilannya. Salah satu penyebab tidak stasionernya sebuah data adalah adanya autokorelasi. Bila data distasionerkan maka autokorelasi akan hilang dengan sendirinya, karena itu transformasi data untuk membuat data yang tidak stasioner menjadi stasioner sama dengan transformasi data untuk menghilangkan autokorelasi.
2.4.1 Uji Augmented Dickey-Fuller Uji akar unit merupakan pengujian yang dikenalkan oleh David Dickey dan Whyne Fuller. Dalam uji ini dibentuk persamaan regresi dari data aktual pada periode ke-π‘π‘ dan ke-(π‘π‘ β 1). Dalam uji akar unit digunakan model berikut: πππ‘π‘ = πππππ‘π‘β1 + π’π’π‘π‘
(2.1)
Jika koefisien regresi dari πππ‘π‘β1 (ππ) = 1, maka terdapat masalah bahwa πππ‘π‘
tidak stasioner. Dengan demikian πππ‘π‘ dapat disebut mempunyai akar unit atau
berarti data tidak stasioner. Bila persamaan (2.1) dikurangi πππ‘π‘β1 pada sisi kanan
dan kiri maka persamaannya menjadi:
πππ‘π‘ β πππ‘π‘β1 = πππππ‘π‘β1 β πππ‘π‘β1 + π’π’π‘π‘ βπππ‘π‘ = (ππ β 1)πππ‘π‘β1 + π’π’π‘π‘
di mana:
βπππ‘π‘ = πΏπΏπΏπΏπ‘π‘β1 + π’π’π‘π‘
(2.2)
πππ‘π‘
= data aktual pada periode ke-π‘π‘
βπππ‘π‘
= πππ‘π‘ β πππ‘π‘β1 (hasil differencing data pada periode ke-π‘π‘)
πππ‘π‘β1
= data aktual pada periode ke-(π‘π‘ β 1)
πΏπΏ
= koefisien regresi
π’π’π‘π‘
= error yang white noise Pada tahap ini sudah dilakukan pembedaan sebagai metode untuk
menanggulangi masalah ketidakstasioneran data. Kemudian data akan diuji kembali. Dari persamaan (2.2) dapat dibuat hipotesis:
Universitas Sumatera Utara
π»π»0 βΆ πΏπΏ = 0 π»π»1 βΆ πΏπΏ β 0
Jika hipotesis πΏπΏ = 0 ditolak dengan derajat kepercayaan πΌπΌ maka ππ β 1
artinya terdapat akar unit, sehingga data deret waktu πππ‘π‘ tidak stasioner. Dengan
membentuk persamaan regresi antara βπππ‘π‘ dan πππ‘π‘β1 akan diperoleh koefisien regresinya, yaitu πΏπΏΜ .
Hipotesis yang digunakan menjelaskan bahwa apabila hasil uji
menyatakan nilai Augmented Dickey-Fuller test statistic lebih kecil dari pada nilai kritis pada derajat kepercayaan tertentu atau nilai tingkat signifikansinya lebih kecil dari derajat kepercayaan πΌπΌ = 5%, maka hipotesis nol yang menyatakan bahwa data tersebut tidak stasioner ditolak dan demikian sebaliknya.
2.4.2 Transformasi Box-Cox Seringkali data pada suatu penelitian tidak menunjukkan kestasioneran yang disebabkan oleh data yang belum stasioner secara rata-rata, varians, atau keduanya. Pada data yang belum stasioner secara varians, dapat dilakukan transformasi Box-Cox dengan rumus π¦π¦ =
π₯π₯ ππ β1 ππ
dengan ππ β 0. Selain itu, juga
dapat menggunakan transformasi pangkat dengan kriteria sebagai berikut:
Tabel 2.1 Transformasi Pangkat Nilai ππ -1,0 -0,5 0 0,5 1,0
Transformasi 1 πππ‘π‘ 1
οΏ½πππ‘π‘ πππππππ‘π‘ οΏ½πππ‘π‘
Tanpa Transformasi
dengan ππ adalah parameter yang dapat ditaksir dari deret waktu dan π‘π‘ = 1,2, β¦ , ππ. Pada data yang belum stasioner secara rata-rata, maka dapat dilakukan proses
differencing, yakni dengan mengurangi data dengan data itu sendiri namun
Universitas Sumatera Utara
dengan lag yang berbeda sesuai dengan kebutuhan. Jika belum stasioner secara rata-rata maupun varians, maka dilakukan transformasi data dan dilanjutkan proses differencing.
2.5 Fungsi Autokorelasi/Autocorrelation Function (ACF) Fungsi autokorelasi berarti hubungan (korelasi) terhadap diri sendiri, yaitu korelasi antara suatu hasil observasi dengan hasil observasi itu sendiri namun dengan lag waktu yang berbeda, misal πππ‘π‘ dengan πππ‘π‘+ππ . Autokorelasi pada lag ke-
ππ untuk suatu observasi deret waktu dapat diduga dengan koefisisen autokorelasi sampel.
di mana: ππππ
Μ
Μ
βππβππ π‘π‘=1 (πππ‘π‘ β ππ )(πππ‘π‘+ππ β ππ) ππππ = , ππ = 0,1,2, β¦ βπππ‘π‘=1(πππ‘π‘ β ππΜ
)2
(2.3)
= koefisien korelasi untuk lag periode ke-ππ
πππ‘π‘
= nilai observasi pada lag periode ke-π‘π‘
ππ
= rata-rata nilai observasi
πππ‘π‘+ππ = nilai observasi pada periode ke-(π‘π‘ + ππ)
Karena ππππ merupakan fungsi terhadap lag ke- ππ , maka hubungan antara autokorelasi dengan lagnya dapat disebut sebagai fungsi autokorelasi.
Untuk memeriksa apakah suatu ππππ berbeda secara nyata dari nol, dapat
menggunakan rumus kesalahan standar dari ππππ yakni: π π π π ππ ππ =
1
(2.4)
βππ
Seluruh nilai korelasi dari barisan data yang random (tidak berautokorelasi
signifikan) akan terletak di dalam daerah nilai tengah nol ditambah atau dikurangi nilai z-score pada taraf signifikansi 95% yakni 1,96 kali kesalahan standar.
2.6 Fungsi Autokorelasi Parsial/Partial Autocorrelation Function (PACF) Fungsi autokorelasi parsial menyatakan hubungan antara suatu hasil observasi dengan hasil observasi itu sendiri. Autokorelasi parsial pada lag ke-ππ dinyatakan sebagai korelasi πππ‘π‘ dan πππ‘π‘βππ setelah dihilangkannya efek dari variabel-variabel
πππ‘π‘β1 , πππ‘π‘β2 , β¦ , πππ‘π‘βππ+1 . Levinson (1940) dan Durbin (1960) memberikan metode
Universitas Sumatera Utara
yang efisien untuk mendapatkan penyelesaian dari persamaan Yule-Walker untuk mendapatkan nilai autokorelasi parsial sebagai berikut:
di mana:
β
ππππ =
ππππ β βππβ1 ππ =1 β
ππβ1,ππ ππππβππ
(2.5)
1 β βππβ1 ππ =1 β
ππβ1,ππ ππππ
β
ππππ = koefisien autokorelasi parsial untuk lag periode ke-ππ β
ππππ = β
ππβ1,ππ β β
ππππ β
ππβ1,ππ β1 ; ππ = 1,2, β¦ , ππ β 1 2.7 Metode Box-Jenkins Metode Box-Jenkins atau sering disebut sebagai ARIMA (Autoregressive Integrated Moving Average) merupakan integrasi dari beberapa metode runtun waktu terlebih dahulu ada. Model Autoregressive pertama kali diperkenalkan oleh Yule (1926) dan dikembangkan oleh Walker (1931), sedangkan model Moving Average pertama kali digunakan oleh Slutzky (1937). Kemudian dasar-dasar teoritis untuk kombinasi dari kedua model ini (ARMA) dihasilkan oleh Wold (1938). Keseluruhan model ini kemudian dipelajari secara mendalam oleh George Box dan Gwylim Jenkins (1976) dan namanya sering disinonimkan dengan model ARIMA itu sendiri.
2.7.1 Model Autoregressive (AR) Autoregressive memiliki arti regresi pada diri sendiri. Model Autoregressive {πππ‘π‘ } orde p menyatakan persamaan:
πππ‘π‘ = β
1 πππ‘π‘β1 + β
2 πππ‘π‘β2 + β― + β
ππ πππ‘π‘βππ + πππ‘π‘
di mana diasumsikan bahwa πππ‘π‘ stasioner dan πΈπΈ(πππ‘π‘ ) = 0.
(2.6)
Jadi, nilai barisan πππ‘π‘ adalah kombinasi linier dari sejumlah ππ nilai πππ‘π‘
terakhir di masa lampau ditambah sebuah πππ‘π‘ yang menyatakan sesuatu tidak dapat
dijelaskan oleh nilai-nilai πππ‘π‘ di masa lampau tersebut. Selain itu, πππ‘π‘ merupakan variabel acak yang independen dengan rata-rata nol.
Secara umum, rumus untuk mencari nilai autokorelasi untuk model AR(ππ) dapat diperoleh sebagai berikut: ππππ = β
1 ππππβ1 + β
2 ππππβ2 + β― + β
ππ ππππβππ ; ππ β₯ 1
(2.7)
Universitas Sumatera Utara
Dalam proses identifikasi model, jika suatu deret waktu memiliki grafik ACF yang turun secara eksponensial dan PACF terputus pada lag ke-ππ, maka deret waktu tersebut dapat dimasukkan ke dalam proses AR(ππ). 2.7.2 Model Moving Average (MA) Bentuk umum model Moving Average ordo q ditulis dengan MA(q) dinyatakan sebagai berikut: πππ‘π‘ = πππ‘π‘ + ππ1 πππ‘π‘β1 β ππ2 πππ‘π‘β2 β β― β ππππ πππ‘π‘βππ
(2.8)
Nilai barisan πππ‘π‘ adalah kombinasi linier dari sejumlah πππ‘π‘ terakhir di masa lampau.
Secara umum rumus untuk mencari nilai autokorelasi dari model MA(q) adalah: βππππ + ππ1 ππππ+1 + β― + ππππβππ ππππ , ππππ = 1 + ππ12 + β― + ππππ2 0,
ππ = 1,2, β¦ , ππ ππ > ππ
οΏ½ (2.9)
Dalam proses identifikasi model, jika suatu deret waktu memiliki grafik ACF yang terputus pada lag ke-ππ PACF turun secara eksponensial, maka deret waktu tersebut dapat dimasukkan ke dalam model MA(q).
2.7.3 Model Campuran Autoregressive dan Moving Average (ARMA) Jika diasumsikan suatu deret waktu memiliki model yang sebagian Autoregressive dan sebagian lain merupakan Moving Average maka bentuk model tersebut secara umum adalah: πππ‘π‘ = β
1 πππ‘π‘β1 + β― + β
ππ πππ‘π‘βππ + πππ‘π‘ β ππ1 πππ‘π‘β1 β β― β ππππ πππ‘π‘βππ
(2.10)
{πππ‘π‘ } merupakan proses campuran Autoregressive dan Moving Average dengan
orde ππ dan ππ atau biasa ditulis dengan ARMA (ππ, ππ). 2.7.4 Operator Backshift
Operator backshift dinyatakan dengan π΅π΅ adalah sebuah operator dengan
penggunaan sebagai berikut:
π΅π΅π΅π΅π‘π‘ = πππ‘π‘β1
(2.11)
Notasi π΅π΅ yang dipasang pada πππ‘π‘ mempunyai pengaruh menggeser data satu
periode ke belakang. Dua penerapan π΅π΅ untuk shift πππ‘π‘ akan menggeser data tersebut dua periode ke belakang, sebagai berikut: π΅π΅(π΅π΅π΅π΅π‘π‘ ) = π΅π΅ 2 πππ‘π‘ = πππ‘π‘β2
(2.12) Universitas Sumatera Utara
Operator backshift digunakan untuk menggambarkan proses pembedaan (differencing) untuk membuat data yang rata-ratanya tidak stasioner menjadi lebih dekat ke bentuk stasioner. Berikut gambaran pembedaan menggunakan operator backshift. Misalkan πππ‘π‘β² merupakan pembedaan pertama dari πππ‘π‘ . πππ‘π‘β² = πππ‘π‘ β πππ‘π‘β1
πππ‘π‘β² = πππ‘π‘ β π΅π΅π΅π΅π‘π‘ = (1 β π΅π΅)πππ‘π‘
Perhatikan bahwa pembedaan pertama dinyatakan dengan (1 β π΅π΅).
(2.13)
Untuk pembedaan orde kedua:
β² πππ‘π‘β²β² = πππ‘π‘β² β πππ‘π‘β1
πππ‘π‘β²β² = (πππ‘π‘ β πππ‘π‘β1 ) β (πππ‘π‘β1 β πππ‘π‘β2 ) πππ‘π‘β²β² = πππ‘π‘ β 2πππ‘π‘β1 + πππ‘π‘β2 πππ‘π‘β²β² = πππ‘π‘ β 2π΅π΅π΅π΅π‘π‘ + π΅π΅ 2 πππ‘π‘
πππ‘π‘β²β² = (1 β 2π΅π΅ β π΅π΅ 2 ) πππ‘π‘ πππ‘π‘β²β² = (1 β π΅π΅)2 πππ‘π‘
(2.14)
Perhatikan bahwa pembedaan orde kedua dinyatakan dengan (1 β π΅π΅)2 , hal ini
penting untuk memperlihatkan bahwa pembedaan orde kedua tidak sama dengan pembedaan kedua.
2.7.5 Model Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA) Suatu deret berkala {πππ‘π‘ } dikatakan mengikuti model Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA) jika pembedaan orde ke-ππ dari πππ‘π‘ merupakan proses
ARMA yang stasioner yakni π€π€π‘π‘ = (1 β π΅π΅)ππ πππ‘π‘ . Karena π€π€π‘π‘ adalah proses ARMA (ππ, ππ) , maka πππ‘π‘ dapat disebut sebagai proses ARIMA (ππ, ππ, ππ) . Dalam bentuk operator backshift, model ARIMA dapat ditulis sebagai berikut:
di mana:
β
(π΅π΅)(1 β π΅π΅)ππ πππ‘π‘ = ππ(π΅π΅)πππ‘π‘
β
(π΅π΅) = 1 β β
1 π΅π΅ β β
2 π΅π΅ 2 β β― β β
ππ π΅π΅ ππ adalah operator backshift model AR
(2.15)
ππ(π΅π΅) = 1 β ππ1 π΅π΅ β ππ2 π΅π΅ 2 β β― β ππππ π΅π΅ ππ adalah operator backshift model MA (1 β π΅π΅)ππ adalah operator differencing ordo ke-ππ
Universitas Sumatera Utara
2.7.6
Konstanta pada Model ARIMA
Asumsi dasar yang selalu dipakai oleh semua model, dari model AR sampai model ARIMA, adalah model-model tersebut stasioner dan memiliki rata-rata nol. Pada bagian ini akan dibahas bagaimana jika model-model tersebut memiliki nilai ratarata konstan bukan nol. Model stasioner ARMA {πππ‘π‘ } yang memiliki rata-rata konstan ππ bukan nol dapat dibentuk sebagai berikut:
πππ‘π‘ β ππ = β
1 (πππ‘π‘β1 β ππ) + β
2 (πππ‘π‘β2 β ππ) + β― + β
ππ οΏ½πππ‘π‘βππ β πποΏ½ + πππ‘π‘ + ππ1 πππ‘π‘β1
atau
β ππ2 πππ‘π‘β2 β β― β ππππ πππ‘π‘βππ
(2.16)
πππ‘π‘ = β
1 πππ‘π‘β1 + β
2 πππ‘π‘β2 + β― + β
ππ πππ‘π‘βππ + πΏπΏ + πππ‘π‘ + ππ1 πππ‘π‘β1 β ππ2 πππ‘π‘β2 β β― β ππππ πππ‘π‘βππ
(2.17)
di mana πΏπΏ = ππ β (β
1 ππ + β
2 ππ + β― + β
ππ ππ). 2.7.7 Model Seasonal ARIMA
Model Seasonal ARIMA merupakan bentuk khusus dari model ARIMA jika terdapat unsur musiman yang jelas pada hasil observasi {πππ‘π‘ }. Hal ini berarti data
memiliki pola berulang dalam selang waktu yang tetap. Selain melalui grafik data, unsur musiman juga dapat dilihat melalui grafik ACF dan PACF. Untuk menanggulangi ketidakstasioneran data akibat unsur musiman maka dapat dilakukan proses differencing sebesar periode musimannya. Differencing musiman dari πππ‘π‘ dapat ditulis sebagai βπππ‘π‘ ,
βπππ‘π‘ = (1 β π΅π΅ π π ) πππ‘π‘
(2.18)
di mana π π adalah panjang periode per musim.
Model Seasonal ARIMA mengacu pada data sebelumnya dengan jarak
(lag) sepanjang musiman yang terjadi. Berdasarkan acuan tersebut, maka model MA(ππ) yang bersifat seasonal dengan musiman sepanjang π π dinyatakan oleh: πππ‘π‘ = πππ‘π‘ + π©π©1 πππ‘π‘βπ π β π©π©2 πππ‘π‘β2π π β β― β π©π©ππ πππ‘π‘βππππ
Dalam bentuk operator backshift,
πππ‘π‘ = οΏ½1 β π©π©1 π΅π΅ π π β π©π©2 π΅π΅ 2π π β β― β π©π©ππ π΅π΅ ππππ οΏ½πππ‘π‘ = π©π©π π (π΅π΅)πππ‘π‘
(2.19)
(2.20)
Untuk model seasonal AR(ππ) dengan musiman sepanjang π π dinyatakan oleh:
Universitas Sumatera Utara
πππ‘π‘ = π·π·1 πππ‘π‘βπ π + π·π·2 πππ‘π‘β2π π + β― + π·π·ππ πππ‘π‘βππππ + πππ‘π‘
Dalam bentuk operator backshift,
(2.21)
πππ‘π‘ β π·π·1 πππ‘π‘βπ π + π·π·2 πππ‘π‘β2π π + β― + π·π·ππ πππ‘π‘βππππ = πππ‘π‘ (1 β π·π·1 π΅π΅ π π + π·π·2 π΅π΅ 2π π + β― + π·π·ππ π΅π΅ππππ )πππ‘π‘ = πππ‘π‘ π·π·π π (π΅π΅)πππ‘π‘ = πππ‘π‘
(2.22)
Jika suatu hasil observasi {πππ‘π‘ } mengikuti proses yang dibentuk oleh gabungan
antara model ARIMA (ππ, ππ, ππ) dan model Seasonal ARIMA (ππ, π·π·, ππ) maka modelnya dapat dimanipulasi menggunakan operator backshift sebagai berikut:
di mana:
β
(π΅π΅)π·π·π π (π΅π΅)βππ βπ·π·π π πππ‘π‘ = ππ(π΅π΅)π©π©π π (π΅π΅)πππ‘π‘
(2.23)
βππ = operator differencing non musiman orde ke-ππ
βπ·π·π π = operator differencing musiman orde ke-π·π·
π·π·π π (π΅π΅)= operator backshift model AR musiman
π©π©π π (π΅π΅) = operator backshift model MA musiman
2.8 Asumsi White Noise Suatu model yang baik akan memiliki sifat white noise, yaitu memenuhi asumsi residual yang bersifat acak dan berdistribusi normal.
2.8.1 Residu Bersifat Acak Barisan residu yang acak dapat diperiksa dengan memperhatikan ACF dari barisan residu tersebut. Barisan residu dikatakan acak apabila tidak terdapat autokorelasi yang signifikan untuk setiap lag yang ditentukan. Keacakan residu dari suatu model dapat diuji dengan menggunakan uji statistik Q Box-Pierce dengan hipotesis sebagai berikut: π»π»ππ : ππ1 = ππ2 = β― = ππππ = 0 π»π»1 : β ππππ β ππππ = 0
(residu bersifat acak) (residu tidak bersifat acak)
dengan πΌπΌ = 0,05 dan statistik uji:
ππππ 2 ππ = ππ(ππ + 2) οΏ½ ππ=1 ππ β ππ ππ
(2.24)
Universitas Sumatera Utara
Kriteria uji: Terima π»π»ππ jika nilai ππ > ππ(πΌπΌ,ππππ ) atau p-value > πΌπΌ . Artinya secara keseluruhan
dari barisan residu yang diuji tidak berbeda dari nol, atau dengan kata lain residu bersifat acak.
2.8.2 Residu Berdistribusi Normal Untuk memeriksa apakah residu berdistribusi normal dapat dilakukan uji normalitas Kolmogorov-Smirnov dengan hipotesis sebagai berikut: π»π»ππ : residu berdistribusi normal
π»π»1 : residu tidak berdistribusi normal dengan πΌπΌ = 0,05 dan statistik uji:
π·π· = ππππππππππππππππ|πΉπΉ0 (ππ) β ππππ (ππ)|
Kriteria uji:
(2.25)
Terima π»π»ππ jika π·π·βππππ < π·π·π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘ atau p-value > πΌπΌ , artinya residu berdistribusi
normal.
2.9 Metode Dekomposisi Suatu pendekatan pada analisis deret waktu meliputi usaha untuk mengidentifikasi komponen-komponen yang mempengaruhi tiap-tiap nilai pada sebuah data deret waktu. Prosedur pengidentifikasian ini disebut Dekomposisi. Tiap-tiap komponen diidentifikasi secara terpisah. Proyeksi tiap-tiap komponen ini kemudian digabung untuk menghasilkan ramalan nilai-nilai masa mendatang dari data deret waktu tersebut. Metode Dekomposisi biasanya mencoba memisahkan tiga komponen dari pola dasar yang cenderung mencirikan pola data deret waktu. Komponenkomponen
tersebut
adalah
trend,
siklus,
dan
musiman.
Faktor
trend
(kecenderungan) menggambarkan perilaku data dalam jangka panjang yang dapat meningkat, menurun, atau tidak berubah. Faktor siklus menggambarkan naik turunnya data dalam kurun waktu tertentu. Faktor musiman berkaitan dengan fluktuasi periodik dengan panjang konstan. Perbedaan antara faktor musiman dan siklus adalah bahwa faktor musiman itu berulang dengan sendirinya pada interval yang tetap seperti tahun, bulan, atau minggu, sedangkan faktor siklus mempunyai
Universitas Sumatera Utara
jangka waktu yang lebih lama dan lamanya berbeda dari siklus satu ke siklus yang lain. Metode Dekomposisi mempunyai asumsi bahwa data tersusun sebagai berikut (Makridakis, 1999): ππππππππ = ππππππππ + ππππππππππππβππππ = ππ(π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘, π π π π π π π π π π π π , ππππππππππππππ) + ππππππππππππβππππ (2.26)
Jadi, di samping komponen pola, terdapat pula unsur kesalahan atau kerandoman. Kesalahan ini dianggap merupakan perbedaan antara pengaruh gabungan dari tiga sub-pola deret tersebut dengan data sebenarnya. Metode Dekomposisi termasuk metode pendekatan peramalan tertua. Metode ini digunakan oleh para ahli ekonomi untuk mengenali dan mengendalikan siklus bisnis. Terdapat beberapa pendekatan alternatif. Untuk mendekomposisi suatu deret waktu, yang semuanya berfungsi untuk memisahkan data deret waktu seteliti mungkin. Konsep dasar dalam pemisahan tersebut bersifat empiris dan tetap, mulai dari memisahkan komponen musiman, trend, dan akhirnya siklus. Residu yang ada dianggap unsur random yang walaupun tidak dapat ditaksir, tetapi dapat diidentifikasi. Penulisan matematis umum dari metode Dekomposisi adalah:
di mana:
πππ‘π‘ = ππ(πΌπΌπ‘π‘ , πππ‘π‘ , πΆπΆπ‘π‘ , πΈπΈπ‘π‘ )
πππ‘π‘
= nilai deret waktu (data aktual) pada periode ke-π‘π‘
πππ‘π‘
= komponen trend pada periode ke-π‘π‘
πΈπΈπ‘π‘
= komponen kesalahan (random) pada periode ke-π‘π‘
πΌπΌπ‘π‘
= komponen (indeks) musiman pada periode ke-π‘π‘
πΆπΆπ‘π‘
= komponen siklus pada periode ke-π‘π‘
(2.27)
Bentuk fungsional yang pasti dari persamaan (2.26) bergantung pada
metode Dekomposisi yang digunakan di antaranya yaitu metode Dekomposisi rata-rata sederhana yang berasumsi pada model aditif: πππ‘π‘ = (πΌπΌπ‘π‘ + πππ‘π‘ + πΆπΆπ‘π‘ ) + πΈπΈπ‘π‘
(2.28)
πππ‘π‘ = (πΌπΌπ‘π‘ β πππ‘π‘ β πΆπΆπ‘π‘ ) β πΈπΈπ‘π‘
(2.29)
Metode Dekomposisi rasio pada trend yang berasumsi pada model multiplikatif dalam bentuk:
Universitas Sumatera Utara
Metode Dekomposisi rata-rata sederhana dan rasio trend pada masa lalu telah digunakan terutama karena perhitungannya yang mudah tetapi metode tersebut kehilangan daya tarik seiring dikenalnya komputer secara luas, di mana mengakibatkan aplikasi pendekatan dengan variasi metode Dekomposisi rasio rata-rata bergerak lebih disukai. Metode ini berasumsi pada model multiplikatif dalam bentuk: πππ‘π‘ = πΌπΌπ‘π‘ Γ πππ‘π‘ Γ πΆπΆπ‘π‘ Γ πΈπΈπ‘π‘
(2.30)
Metode Dekomposisi rasio rata-rata bergerak mula-mula memisahkan
unsur trend dan siklus dari data dengan menghitung rata-rata bergerak yang jumlah unsurnya sama dengan panjang musiman. Rata-rata bergerak dengan panjang seperti ini tidak mengandung unsur musiman dan tanpa atau sedikit sekali unsur random. Rata-rata bergerak yang dihasilkan adalah: πππ‘π‘ = πππ‘π‘ Γ πΆπΆπ‘π‘
(2.31)
Persamaan (2.30) hanya mengandung faktor trend dan siklus, karena faktor musiman dan kerandoman telah dieliminasi dengan perata-rataan. Persamaan (2.29) dapat dibagi dengan (2.30) untuk memperoleh persamaan: πππ‘π‘ πΌπΌπ‘π‘ Γ πππ‘π‘ Γ πΆπΆπ‘π‘ Γ πΈπΈπ‘π‘ = = πΌπΌπ‘π‘ Γ πΈπΈπ‘π‘ πππ‘π‘ πππ‘π‘ Γ πΆπΆπ‘π‘
(2.32)
Persamaan (2.31) merupakan rasio dari data yang sebenarnya dengan rata-
rata bergerak dan mengisolasi dua komponen deret waktu lainnya. Nilai rasio menunjukkan pengaruh musiman pada nilai rata-rata data yang telah dihilangkan faktor musimannya (deseasonalized). Langkah selanjutnya dalam metode Dekomposisi adalah menghilangkan kerandoman dari nilai-nilai yang diperoleh persamaan (2.31) dengan menggunakan suatu bentuk rata-rata pada bulan yang sama atau disebut dengan metode rata-rata medial pada saat ini. Rata-rata medial disusun menurut bulan untuk setiap tahunnya. Rata-rata medial adalah nilai ratarata untuk setiap bulan setelah dikeluarkan nilai terbesar dan terkecil. Indeks musiman dapat diperoleh dengan mengalikan setiap rata-rata medial dengan faktor penyesuaian dari rata-rata. Maka dari perhitungan ini akan diperoleh indeks musiman atau seasonal index atau dalam literatur lain disebut seasonal factor. Indeks musiman ini memperlihatkan pola musiman dari data yang terjadi dalam
Universitas Sumatera Utara
setiap periodenya sehingga dapat dianalisis adanya pola yang berbeda di setiap bulannya berdasarkan indeks musiman ini. Untuk melakukan proyeksi di masa depan maka dapat menggunakan regresi linier dengan data yang telah di deseasonalized atau seasonally adjusted series. Data ini diperoleh dari rasio atau pembagian antara data asli atau data aktual dengan indeks musimannya. Data inilah yang akan dilakukan regresi linier yang akan menghasilkan persamaan: πππ‘π‘ = ππ + ππππ
(2.33)
Nilai ππ dan ππ yang diperoleh dengan meminimumkan MSE dapat diperoleh dengan menggunakan persamaan berikut: ππ = di mana:
ππ =
ππ β π‘π‘πππ‘π‘ β β π‘π‘ β πππ‘π‘ ππ β π‘π‘ 2 β (β π‘π‘)2 β π‘π‘ β πππ‘π‘ β ππ ππ ππ
πππ‘π‘
= data yang telah di deseasonalized
ππ
= banyak data
π‘π‘
(2.34)
(2.35)
= periode waktu Pada periode π‘π‘ akan dilakukan proyeksi dengan terlebih dahulu melakukan
coding secara berurutan sesuai urutan proyeksi. Hasil πππ‘π‘ yang diperoleh dikalikan dengan indeks musimannya untuk memperoleh hasil prediksi yang lebih akurat.
Dari metode ini dapat dihitung proyeksi bulanan yang dapat dijadikan pedoman untuk menganalisis hasil yang akan diperoleh di bulan tertentu di masa mendatang.
2.10 Evaluasi Model Model yang baik memiliki tingkat keakuratan yang baik. Untuk mengukur tingkat keakuratan, ada beberapa alat ukur yang dapat digunakan untuk mengevaluasi hasil peramalan model terhadap data observasi. Beberapa alat ukur tersebut yaitu: 1.
Mean Square Error (MSE) Model yang baik dinilai dengan melihat nilai MSE yang terkecil. ππππππ =
ππ 1 οΏ½ (πππ‘π‘ β πποΏ½π‘π‘ )2 ππ ππ=1
(2.36)
Universitas Sumatera Utara
di mana: πππ‘π‘ = nilai observasi pada periode ke-π‘π‘
πποΏ½π‘π‘ = nilai peramalan pada periode ke-π‘π‘ ππ = banyaknya data observasi
2.
Mean Absolute Percentage Error (MAPE) MAPE memberikan petunjuk tentang besarnya kesalahan peramalan dibandingkan dengan nilai sebenarnya. MAPE dihitung dengan menggunakan persamaan: πππΈπΈπ‘π‘ =
di mana:
πππ‘π‘ β πποΏ½π‘π‘ Γ 100% πππ‘π‘ ππ
ππππππππ = οΏ½ π‘π‘=1
|πππΈπΈπ‘π‘ | ππ
πππ‘π‘
= nilai observasi pada periode ke-π‘π‘
ππ
= banyaknya data observasi
πποΏ½π‘π‘
= nilai peramalan pada periode ke-π‘π‘
|πππΈπΈπ‘π‘ |
= nilai absolut πππΈπΈπ‘π‘
(2.37)
Universitas Sumatera Utara
