BAB II DASAR TEORI. Universitas Sumatera Utara

BAB II DASAR TEORI

2.1 Inter Symbol Interference (ISI) Dalam telekomunikasi, gangguan ISI merupakan bentuk distorsi sinyal di mana satu simbol mengganggu simbol berikutnya. Ini adalah fenomena yang tidak diinginkan sebagai simbol sebelumnya memiliki efek yang sama seperti kebisingan, sehingga membuat komunikasi kurang dapat diandalkan. ISI biasanya disebabkan oleh propagasi multipath atau respons non-linier yang melekat frekuensi saluran menyebabkan simbol berurutan untuk "blur" bersama-sama. Kehadiran ISI dalam sistem memperkenalkan kesalahan dalam perangkat keputusan pada output penerima. Oleh karena itu, dalam desain filter transmisi dan menerima, tujuannya adalah untuk meminimalkan efek dari ISI, dan dengan demikian memberikan data digital ke tujuan dengan tingkat kesalahan sekecil mungkin. Cara untuk melawan gangguan intersymbol meliputi pemerataan adaptif dan kode koreksi kesalahan. ISI dapat menyebabkan kesalahan penerjemahan bit dari informasi yang diterima. Hal ini terjadi karena adanya penerimaan sinyal informasi yang berulang dengan waktu yang berbeda, sehingga memungkinkan sebuah sinyal bertumpuk dengan sinyal berikutnya. Untuk menghilangkan ISI dapat dilakukan dengan memberikan filter ekualizer disisi penerima. Selain gangguan yang berupa ISI, gangguan lain yang biasanya terjadi adalah noise. Pada Gambar 2.1 ditunjukkan terjadinya ISI dimana pada gambar (a) menunjukkan ilustrasi data yang dikirimkan dan pada gambar (b) menunjukkan data yang diterima. Terlihat bahwa data yang diterima mengalami pelebaran energi akibat adanya delay dari saluran transmisi. Dimana keberadaan ISI ini sangat tidak diperlukan seperti layaknya noise yang dapat mengakibatkan komunikasi kurang baik untuk diandalkan [1].

Universitas Sumatera Utara

Gambar 2.1 (a) Data yang dikirim (b) Data yang diterima

Untuk menghilangkan gangguan tersebut, salah satu caranya adalah dengan membuat jajaran filter yang nilai koefisien-koefisiennya harus direncanakan terlebih dahulu. Dibawah ini ditunjukkan bagaimana pelebaran sinyal seperti diatas dapat mengakibatkan dampak yang buruk pada sinyal. Gambar 2.2. menunjukkan sinyal yang dikirimkan mengalami banyak peristiwa pada kanal yang mengakibatkan sinyal tersebut tercampur dengan noise dan mengalami ISI sehingga pada saat diterima simbol-simbol melebar dan mengganggu simbol yang lain.[1]

Gambar 2.2 Intersymbol Interference

2.2 SNR (Signal To Noise Ratio) SNR merupakan perbandingan antara daya sinyal yang diinginkan terhadap daya noise yang diterima pada suatu titik pengukuran. SNR ini merupakan sebuah parameter untuk menunjukkan tingkat kualitas sinyal pada jalur koneksi. Makin besar nilai SNR, makin tinggi kualitas jalur tersebut.


Artinya, makin besar pula kemungkinan jalur itu dipakai untuk lalu lintas komunikasi data dan sinyal dalam kecepatan tinggi. Biasanya SNR diukur pada sisi penerima, karena nantinya digunakan untuk memproses sinyal yang diterima dan menghilangkan derau yang tidah diinginkan. Secara matematis, SNR dinyatakan dalam satuan decibel (dB). Adapun persamaannya adalah sebagai berikut: 𝑃𝑃

𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑑𝑑𝑑𝑑 = 10 log10 �𝑃𝑃𝑠𝑠 � 𝑛𝑛

(2.1)

Dimana Ps=Power Signal (daya sinyal), Pn =Power Noise (daya bising).

2.3 Konsep Modulasi QAM Modulasi adalah suatu proses untuk merubah gelombang pembawa (carrier) sebagai fungsi dari sinyal informasi. Sedangkan demodulasi adalah proses suatu sinyal modulasi yang dibentuk kembali seperti sinyal aslinya dari suatu gelombang pembawa (carrier) yang termodulasi oleh ragkaian. Kegunaan dari modulasi adalah untuk memudahkan radiasi, multiplexing, mengatasi keterbatasan peralatan, pembagian frekuensi dan mengurangi noise dan interferensi. Sistem modulasi dibagi menjadi 2 yaitu antara lain : 1. Modulasi Analog Yaitu teknik modulasi dimana gelombang pembawa (carrier) merupakan gelombang analog (kontinyu). Meliputi antara lain : a. Modulasi Amplitudo (AM) b. Modulasi Frekuensi (FM) c. Modulasi Phase (PM) 2. Modulasi Digital Yaitu teknik modulasi dimana gelombang pembawanya (carrier) adalah merupakan gelombang pulsa, meliputi antara lain : a. Amplitude-Shift Keying (ASK) b. Frekuensi-Shift Keying (FSK) c. Phase-Shift Keying (PSK) Pada Tugas Akhir ini penulis menggunakan modulasi 4 QAM. Quadrature Amplitude Modulation (QAM) merupakan salah satu teknik modulasi digital. Pada QAM, informasi yang akan dikirimkan diubah menjadi simbol QAM yang


dapat direpresentasikan sebagai sinyal analog pemodulasi. Sinyal pemodulasi ini mengubah amplitude dan fase dari sinyal pembawa. Setiap perubahan fase dan amplitude sinyal pembawa merepresentasikan satu simbol QAM yang terdiri sejumlah bit informasi. Orde QAM yang sering dinyatakan sebagai M-ary QAM menunjukkan jumlah simbol QAM yang dapat dihasilkan (M = 2 n ), dengan n adalah jumlah bit penyusun satu simbol. Bentuk sinyal modulasi QAM dapat ditunjukkan pada Gambar 2.3. Sedangkan diagram konstelasinya ditunjukkan pada Gambar 2.4 dan 2.5 [4].

Gambar 2.3 Bentuk sinyal 8-QAM untuk jumlah bit = 3

Gambar 2.4 Diagram konstelasi modulasi 4-QAM dan 8-QAM

Gambar 2.5 Diagram kontelasi modulasi 16-QAM


Orde QAM yang sering digunakan dalam sistem komunikasi adalah orde 16, 64, dan 256. Dengan demikian pada orde 16-QAM dapat terbentuk 16 simbol. Orde 64-QAM dapat menghasilkan 64 simbol, dan orde 256-QAM dapat menghasilkan simbol sebanyak 256 simbol. Pengubah bit ke simbol berfungsi memetakan runtun bit informasi menjadi simbol QAM. Runtun bit informasi dibagi menurut banyak bit dalam satu simbol dan diubah ke bentuk paralel kemudian dirutekan menjadi bit ganjil dan bit genap. Pada umumnya, keluaran pengubah bit-ke-simbol akan dipetakan ke bentuk kode Gray (Gray Code) terlebih dulu sebelum dipetakan ke analog. Dengan dipetakan ke kode Gray, antar simbol terdekat pada diagram konstelasi hanya akan berbeda satu bit. Hal ini akan membantu mengurangi error di penerima dan untuk mempermudah dalam desain perangkat keras. Jika misalnya di penerima terjadi satu kesalahan pembacaan simbol maka hanya akan ada satu bit yang salah karena jarak antar simbol terdekat hanya berbeda satu bit [4].

2.4

Filter Digital Finite Impuls Respons (FIR) Filter adalah sebuah sistem atau jaringan yang secara selektif merubah

karakteristik (bentuk gelombang, frekuensi, fase dan amplitudo) dari sebuah sinyal. Secara umum tujuan dari pemfilteran adalah untuk meningkatkan kualitas dari sebuah sinyal sebagai contoh untuk menghilangkan atau mengurangi noise, mendapatkan informasi yang dibawa oleh sinyal atau untuk memisahkan dua atau lebih sinyal

yang sebelumnya dikombinasikan, dimana sinyal tersebut

dikombinasikan dengan tujuan mengefisiensikan pemakaian saluran komunikasi yang ada. Filter digital adalah sebuah implementasi algoritma matematik ke dalam perangkat keras dan/atau perangkat lunak yang beroperasi pada sebuah sinyal input digital untuk menghasilkan sebuah output sinyal digital agar tujuan pemfilteran tercapai. Filter digital memainkan peranan yang sangat penting dalam pemrosesan sinyal digital. Diagram blok filter digital dapat dilihat pada Gambar 2.10. Berdasarkan diagram blok tersebut secara garis besar filter digital dapat dibagi menjadi dua yaitu filter digital dengan tanggapan impuls berhingga (FIR) dan filter digital dengan tanggapan impuls tak berhingga (IIR) [5].


X(n-1)

x(n)

Z

input

W0

−1

W1

Z −1

X(n-2)

Z

−1

X(n-L+1)

W2

WL −1

∑

∑

Y(n)

∑

output

Gambar 2.7 Blok Diagram Dari Bentuk Langsung Filter Digital FIR

Filter digital FIR dapat dituliskan dengan persamaan: 𝑦𝑦(𝑛𝑛) = ∑𝑁𝑁−1 𝑘𝑘=0 ℎ(𝑘𝑘 )𝑥𝑥(𝑛𝑛 − 𝑘𝑘) −1 𝐻𝐻 (𝑧𝑧) = ∑𝑁𝑁−1 𝑘𝑘=0 ℎ(𝑘𝑘)𝑧𝑧

(2.5) (2.6)

Dimana : h(k), k = 0,1,….,N-1 adalah respons impuls atau koefisien dari filter H(z) adalah fungsi alih dari filter N adalah panjang dari filter yang merupakan jumlah dari koefisien filter. Persamaan 2.5 adalah persamaan selisih untuk FIR, ini adalah persamaan dalam domain waktu dan menyatakan filter FIR dalam bentuk tidak rekursif yaitu output pada suatu saat, y(n) merupakan sebuah fungsi yang hanya bergantung pada input yang sebelumnya dan input yang sekarang, x(n). jika filter FIR dinyatakan dengan persamaan 2.5 maka filter tersebut akan selalu stabil. Persamaan 2.6 merupakan fungsi alih dari filter, persamaan ini digunakan untuk maenganalisa tanggapan frekuensi dari filter. Realisasi struktur untuk filter FIR adalah penggambaran fungsi alih filter ke dalam bentuk blok diagram. Struktur yang sering dipakai adalah struktur transversal yang diperoleh langsung dari persamaan 2.5 dan digambarkan pada Gambar 2.7 [5].


y(n) input

w0

Z −1

Z −1

x

w1

w2

x

Z −1 wN −1

x

x

+

yeq x(n)

-

e(n)

Gambar 2.8 Struktur Tranversal Filter FIR -1

z

melambangkan penundaan sebesar satu satuan waktu pencuplikan. Pada

implementasi ke dalam program kotak dengan label z-1 dapat direalisasikan dengan shift register atau lokasi memori pada sebuah RAM. Pada Gambar 2.8 terlihat struktur transversal filter FIR.

2.5

Fading Rayleigh Pada sistem komunikasi amplitudo terdapat gangguan khusus berupa

komponen multipath dari sinyal yang dipancarkan. Multipath merupakan jalur propagasi yang berbeda-beda, yang dilalui sinyal antara pengirim dan penerima, yang disebabkan karena pantulan oleh halangan-halangan dan benda-benda yang ada sepanjang propagasi. Lingkungan kanal multipath ditunjukkan pada Gambar 2.6 [3].

Gambar 2.6 Lingkungan Kanal Multipath


Perbedaan jalur propagasi menimbulkan komponen multipath dari sinyal yang dipancarkan tiba pada penerima melalui jalur propagasi yang berbeda dan pada waktu yang berbeda pula. Perbedaan waktu tiba pada penerima tersebut menyebabkan sinyal yang diterima mengalami interferensi, yang akan menimbulkan fenomena fluktuasi amplitudo dan fasa sinyal yang diterima, dan menimbulkan fenomena mendasar yang disebut fading.

Efek dari multipath

fading adalah fluktuasi dari amplitudo, fasa dan sudut dari sinyal yang masuk ke penerima. Ada tiga mekanisme dasar yang terjadi pada propagasi sinyal dalam sistem komunikasi bergerak, yaitu : 1. Refleksi, terjadi ketika gelombang elektromagnet yang merambat mengenai permukaan halus dengan dimensi besar dibandingkan dengan panjang gelombang sinyal. 2. Difraksi, terjadi ketika lintasan radio terhalang oleh objek padat yang lebih besar dari pada panjang gelombang sinyal. Biasa disebut juga dengan shadowing. 3. Hamburan, terjadi ketika gelombang yang merambat mengenai permukaan kasar dengan dimensi yang lebih besar dibandingkan dengan panjang gelombang sinyal atau mengenai permukaan yang berdimensi kecil. Fluktuasi amplitudo sinyal yang terjadi adalah acak dan tidak dapat ditentukan sebelumnya, besar dan kapan terjadinya. Namun berdasarkan penelitian, fading tersebut dapat diperkirakan secara statistik, berupa perubahan nilai secara acak dengan distribusi tertentu. Salah satu distribusi tersebut Distribusi Rayleigh. Distribusi Rayleigh merupakan salah satu distribusi yang dapat menjadi model untuk mewakili fading, sehingga fading memiliki Distribusi Rayleigh ini disebut Fading Rayleigh. Pada Fading Rayleigh, setiba sinyal yang melalui jalur yang berbedabeda tersebut, memberikan sejumlah energy yang sama terhadap sinyal gabungan yang ada pada penerima. Sinyal yang dipengaruhi Fading Rayleigh yang sampai pada penerima dapat dipresentasikan dengan persamaan: [3] 𝑒𝑒(𝑡𝑡) = 𝑟𝑟(𝑡𝑡)cos⁡ [2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 + 𝜃𝜃 (𝑡𝑡)]

(2.2)

Dimana : r (t) = fluktuasi amplitudo sinyal e(t) sebagai fungsi waktu = |𝑒𝑒(𝑡𝑡)| 𝜃𝜃(𝑡𝑡) = fluktuasi fasa sinyal e(t) sebagai fungsi waktu = ∠𝑒𝑒(𝑡𝑡)


Fluktuasi amplitude gelombang pembawa pada sinyal yang dipengaruhi Fading Rayleigh mengikuti Distribusi Rayleigh, dengan persamaan[6]. 𝑟𝑟

𝑝𝑝(𝑟𝑟) =

𝜎𝜎 2

𝑒𝑒

−�

𝑟𝑟 2 � 2𝜎𝜎 2

dengan ( r ≥ 0)

(2.3)

Dimana: p(r) = fungsi kepadatan probabilitas munculnya r r

= amplitudo acak

𝜎𝜎 2 = varians

Fungsi kerapatan probabilitas Distribusi Rayleigh dapat dilihat pada

Gambar 2.7 berikut. 1

2𝜋𝜋

𝑝𝑝(𝜃𝜃 ) = � 2.6

0

untuk −𝜋𝜋 ≤ 𝜃𝜃 ≤ 𝜋𝜋

(2.4)

untuk −𝜋𝜋 ≤ 𝜃𝜃 ≤ 𝜋𝜋

AWGN (Additive White Gaussian Noise) Salah satu jenis noise yang ada pada sistem komunikasi adalah noise

thermal. Noise thermal ini disebabkan oleh pergerakan-pergerakan elektron di dalam konduktor yang ada pada sistem telekomunikasi, misalnya pada perangkat penerima. Pada bidang frekuensi, noise thermal ini memiliki nilai kepadatan spektrum daya yang sama untuk daerah frekuensi yang lebar, yaitu sebesar N0/2, seperti yang dapat dilihat pada Gambar 2.9 (a) sedangkan fungsi kepadatan probabilitas AWGN ditunjukkan pada Gambar 2.9 (b) [3]. White Noise

Prob f(n)

No / 2

σ f 0

f(n) µ

Gambar 2.9 (a) Grafik Kepadatan Spektrum Daya White Noise (b) Fungsi Kepadatan Probabilitas AWGN

Karakteristik seperti ini disebut white. Noise yang memiliki karakteristik white disebut white noise, sehingga noise thermal merupakan white noise.


Pergerakan elektron menyebabkan noise thermal bersifat acak, sehingga besarnya noise thermal juga berubah secara acak terhadap waktu. Perubahan secara acak tersebut dapat diperkirakan secara statistik, yaitu mengikuti Distribusi Gaussian, dengan rata-rata nol. Noise ini merusak sinyal dalam bentuk aditif, yaitu ditambahkan ke sinyal utama, sehingga noise thermal pada perangkat penerima ini disebut Additive White Gaussian Noise (AWGN). Persamaan Distribusi Gaussian yang mewakili AWGN yaitu [3] :

𝑓𝑓 (𝑛𝑛) =

𝑒𝑒

−�

𝑧𝑧 2 � 2𝜎𝜎 2

(2.7)

√2𝜋𝜋𝜎𝜎 2

Dimana: mean = 0 dan varians = 𝜎𝜎 2 varians memiliki nilai :

Dimana

𝑁𝑁0 2

Sehingga :

Dimana :

=

𝑘𝑘𝑘𝑘𝑥𝑥 𝐵𝐵 2

𝜎𝜎 2 =

𝑁𝑁0

(2.8)

2𝑇𝑇𝑏𝑏

adalah kerapatan spektral daya dari noise Tb adalah laju bit.

𝜎𝜎 2 =

𝑘𝑘𝑘𝑘𝑥𝑥 𝐵𝐵

(2.9)

2𝑇𝑇𝑏𝑏

k = konstanta Boltzman (1,38.10-23 J/K) Ts = temperatur noise (K) B = bandwith noise (Hz)

2.7

Ekualizer Ekualizer merupakan alat yang digunakan untuk memperbaiki data yang

rusak akibat distorsi kanal. Ekualizer merupakan filter digital yang dipasang pada sisi penerima yang bertujuan agar sinyal yang masuk pada sisi penerima tidak lagi berupa sinyal yang mengalami interferensi. Untuk kanal komunikasi yang karakteristiknya tidak diketahui filter di penerima tidak dapat didesain secara langsung. Proses ekualisasi dapat mengurangi efek ISI (Inter Symbol Interference), dan noise untuk demodulasi yang lebih baik. Ada beberapa jenis ekualizer diantaranya : 1. Maximum Likelihood (ML) Sequence Detetction, optimal namun tidak ada dalam praktik.


2. Linear Equalization, tidak begitu optimal namun sederhana. 3. Non-Linear Equalization digunakan untuk beberapa jenis ISI. Linear equalization sangat mudah diimplementasikan dan sangat efektif untuk kanal yang tidak mengandung ISI (seperti kanal dalam kabel telephone) maupun kanal yang mengandung ISI (seperti kanal wireless). Kebanyakan linear equalizer diimplementasikan sebagai linear transversal filter. Struktur ekualizer seperti yang ditunjukkan pada Gambar 2.10 [2].

Gambar 2.10 Struktur equalizer

2.8

Algoritma SATO Dalam mengimplementasikan algoritma SATO, fungsi nilai minimisasi

dianggap sama dengan algoritma MMSE. Artinya, algoritma SATO terdiri dari meminimalkan fungsi biaya non-cembung. J(k)=E[(𝑥𝑥� (𝑘𝑘 ) − 𝑦𝑦(𝑘𝑘))2 ]

dimana y(k)

: filter output melintang dan

𝑥𝑥� (𝑘𝑘 )

: perkiraan urutan ditransmisikan.

(2.10)

Sedangkan nilai x(k) didapatkan dari :

dimana : sgn function ( )

�𝑥𝑥 (𝑘𝑘 ) = 𝛾𝛾𝛾𝛾𝛾𝛾𝛾𝛾[𝑦𝑦(𝑘𝑘 )]

(2.11)

: fungsi signum yang mengembalikan tanda argumen.

Nilai konstan γ tersebut mengatur nilai gain equalizer, yang didefinisikan oleh:


γ =

E[ x 2 (k )] E[| x(k ) |]

(2.12)

dan persamaan adaptif untuk algoritma SATO adalah : y(k) = u(k)T wabs(k)

(2.13)

e (k) = 𝑥𝑥� (𝑘𝑘 ) − y (k) = γ sgn( y (k )) − y (k )

wabs(k+1) = wabs(k) +

(2.14)

µe( k )u ( k )

(2.15)

dimana e (k) adalah kesalahan estimasi dan wabs (k) adalah koefisien vektor. Untuk mengetahui kinerja dari algoritma SATO tersebut diperlukan penambahan noise dengan cara menambahkan Fading Rayleigh dan AWGN [8].

2.9

Metode Pembangkitan Bilangan Acak Berdistribusi Uniform Pembangkitan bilangan acak digunakan untuk menghasilkan deretan angka-

angka sebagai hasil perhitungan, yang diketahui distribusinya sehingga angkaangka tersebut muncul secara acak. Pembangkitan data masukan pada simulasi ini berdasarkan pada pembnagkitan bilangan acak berdistribusi Uniform. Distribusi ini memiliki kepadatan probalilitas yang sama untuk semua besaran yang diambil yang terletak antara 0 dan 1. Fungsi kepadatan probabilitas dinyatakan dengan persamaan [9] 1

𝑓𝑓 (𝑥𝑥 ) = �𝑏𝑏−𝑎𝑎 0

Dimana : a dan b = konstanta

untuk 𝑎𝑎 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 𝑏𝑏

(2.16)

𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙

Proses pembangkitan distribusi Uniform dilakukan dengan persamaan: 𝑋𝑋 = 𝑎𝑎 + (𝑏𝑏 − 𝑎𝑎)𝑈𝑈𝑛𝑛

(2.17)

Salah satu cara untuk membangkitkan bilangan acak dengan distribusi Uniform adalah dengan menggunakan metode Linear Congruent Method (LCM). Linear Congruent Method (LCM) sangat banyak dipakai untuk membangkitkan bilangan acak r1, r2, ……………..rn yang bernilai [0,m] dengan memanfaatkan nilai sebelumnya, untuk membangkitkan bilangan acak ke n+1 (rn+1) dengan LCM didefenisikan sebagai[9]: 𝑟𝑟𝑛𝑛 +1 = (𝑎𝑎𝑟𝑟𝑛𝑛 + 𝑐𝑐 )𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑚𝑚

𝑈𝑈𝑛𝑛 = 𝑟𝑟𝑛𝑛 /𝑚𝑚

(2.18) (2.19)


Dimana: a, c, dan m adalah nilai pembangkitan dan r adalah bilangan acak ke-n Ui adalah bilangan acak dalam interval [0,1] Agar didapat bilangan yang lebih acak (periode bilangan acaknya besar) perlu diperhatikan syarat-syarat sebagai berikut : a. Konstanta a harus lebih besar dari m. biasanya dinyatakan dengan syarat: 𝑚𝑚

100

< 𝑎𝑎 < 𝑚𝑚 − √𝑚𝑚 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎

𝑚𝑚

100

+ 𝑚𝑚 > 𝑎𝑎√𝑚𝑚

b. Untuk konstanta c harus berangka ganjil, apabila m bernilai pangkat dua. c. Untuk modulo m harus bilangan prima atau bilangan tak terbagikan. d. Untuk pertama r harus merupakan angka integer dan juga ganjil dan cukup besar.

2.10 Metode Pembangkitan AWGN AWGN memiliki distribusi Gaussian, yang juga disebut Distribusi Normal. Distribusi ini memiliki kepadatan probabilitas yang simetris dan berbentuk seperti lonceng, dan fungsi kepadatan dinyatakan dengan[6]:

Dimana :

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝜎𝜎

µ = rata-rata x

1

√

1 𝑥𝑥−𝜇𝜇 2 ] � 𝜎𝜎

𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 �− 2 [ 2𝜋𝜋

(2.20)

x = nilai data 𝜎𝜎 = standar deviasi 𝜋𝜋 = 3.14

Persamaan di atas merupakan fungsi kerapatan probabilitas untuk distribusi standar normal. Proses pembangkitan ini mula-mula membangkitkan sebuah variabel Z dengan persamaan[6]: 𝑍𝑍 = (−2𝑙𝑙𝑙𝑙𝑈𝑈1 )12 sin⁡ (2𝜋𝜋𝑈𝑈2 )

(2.21)

Dimana Ui dan U2 adalah bilangan acak antara 0 sampai 1 yang berdistribusi Uniform. Nilai distribusi normal, X didapat dari persamaan 2.21 [6].

2.11 Metode Pembangkitan Fading Rayleigh Distribusi Rayleigh seperti yang diilustrasikan pada Gambar , dapat dibangkitkan melalui pembangkitan distribusi Gamma. Distribusi ini memiliki kepadatan probabilitas sebagai berikut[6]:


𝑓𝑓(𝑥𝑥) =

Dimana : 𝛼𝛼 = konstanta positif

𝛼𝛼 𝛽𝛽 𝑥𝑥 (𝛽𝛽 −1)𝑒𝑒 −𝑎𝑎𝑎𝑎 (𝛽𝛽 −1)!

(2.22)

𝛽𝛽 = konstanta integer positif

Distribusi Gamma ini memiliki mean, 𝜇𝜇 = 𝛽𝛽/𝛼𝛼 dan varians, 𝜎𝜎 2 =

𝛽𝛽

𝛼𝛼 2

=

𝜇𝜇/𝛼𝛼. Distribusi Rayleigh merupakan distribusi Gamma dengan 𝛼𝛼 = 3 dan 𝛽𝛽 = 3.

Distribusi Gamma dapat dibangkitkan dengan menjumlahkan bilangan acak eksponensial sebanyak 𝛽𝛽, dengan persamaan sebagai berikut[6]: 1

𝛽𝛽 𝑋𝑋 = − ∑𝑖𝑖=1 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑈𝑈𝑖𝑖 𝛼𝛼

(2.23)

Dimana Ui adalah bilangan acak antara 0 dan 1 berdistribusi uniform. Persamaan (2.24) dapat ditulis dalam bentuk: 1

𝛽𝛽

𝑋𝑋 = − � � 𝑙𝑙𝑙𝑙 ∏𝑖𝑖=1 𝑈𝑈𝑖𝑖 𝛼𝛼

(2.24)


BAB II DASAR TEORI. Universitas Sumatera Utara

Recommend Documents