Tartalomjegyzék
Kétváltozós függvény integrálszámítása ................................................................ 2 Primitívfüggvény .............................................................................................................. 2 Kettősintegrál.................................................................................................................... 2 A kettősintegrál téglalap tartományon ................................................................... 2 A kettősintegrál létezésének szükséges feltétele ............................................... 3 Illusztráció .......................................................................................................................... 4 A kettősintegrál kiszámítása téglalap tartományon........................................... 4 A kettősintegrál kiszámítása normál tartományon ............................................ 6 Kettősintegrál y-tengelyre vonatkoztatott normál tartományon.................. 7 A kettősintegrál geometriai jelentése...................................................................... 7 Integráltranszformáció .................................................................................................. 8 Polárkoordinátás transzformáció ............................................................................... 9 Térgörbék ......................................................................................................................... 12 Kísérő triéder................................................................................................................... 15 Térgörbék ívhossza ....................................................................................................... 18
1
Kétváltozós függvény integrálszámítása Primitívfüggvény Az
f ( x, y ) függvény x változó szerinti primitív függvénye F ( x, y ) , ha
Fx′ ( x, y ) = f ( x, y ) Az összes primitív függvény jelölése: Az
∫ f ( x, y )dx = F ( x, y ) + C
f ( x, y ) függvény y változó szerinti primitív függvénye G ( x, y ) , ha
G y ′ ( x, y ) = f ( x , y )
Az összes primitív függvény jelölése:
∫ f ( x, y )dy = G ( x, y ) + C
Példa x
x
x
⎛ 1 xy ⎞ ′ 1 xy ⎛ 1 ⎞ 1 xy ⎜⎜ ⋅ e ⎟⎟ = ⋅ e ⎜ ⎟ = 2 ⋅ e y ⎝ y⎠ y ⎝y ⎠x
∫
1 y 1 1 1 ⋅ e dx = ⋅ ∫ ⋅⋅e y dx = ⋅ e y + C , mert 2 y y y y
∫
1 y 1 ⎛ 1 ⎞ 1 ⋅ e dy = − ∫ − ⎜ 2 ⎟ ⋅ x ⋅e y dy = − ⋅ e y + C , mert 2 y x ⎝y ⎠ x x
x
x
⎛ 1 xy ⎞ ′ ⎛ 1 ⎞ xy ⎛ x ⎞ ⎜⎜ − e ⎟⎟ = ⎜ − ⎟ e ⎜ − 2 ⎟ ⎝ x ⎠y ⎝ x ⎠ ⎝ y ⎠
Kettősintegrál A kettősintegrál téglalap tartományon Legyen T egy téglalap alakú tartomány a koordinátatengelyekkel párhuzamos oldalakkal,
a ≤ x ≤ b⎫ ⎧ T = ⎨ ( x, y ) : ⎬ , osszuk fel az [ a, b ] intervallumot n egyenlő részre, jelölje az c ≤ y ≤ d⎭ ⎩
a = x0 < x1 < ... < xí < xi +1 < ...xn = b , osszuk fel a [ c, d ] intervallumot is m egyenlő részre, jelölje az osztópontokat c = y0 < y1 < ... < y j < y j +1 < ... ym = d . osztópontokat
Legyen
⎧ xi < ui < xi +1 ⎫ ⎬⋅ v y < < j j j + 1 ⎩ ⎭
( u , v ) egy tetszőleges belső pontja az ⎨ y i
j
Képezzük az
téglalapnak.
f ( ui , vi ) ( y j +1 − y j ) ⋅ ( xi +1 − xi )
szorzatot, azaz a téglalap egy tetszőleges belső pontjában vett függvényértéket szorozzuk meg a téglalap területével. Summázzuk a szorzatot az összes téglalapra.
2
A kapott összeg I =
∑∑ f ( u , v )( x n
m
i =1 j =1
i
i +1
j
− xi ) ⋅ ( y j +1 − y j ) , melyet a konkrét (n,m)
felosztáshoz tartozó általános integrálközelítő összegnek nevezünk. Legyen mij = inf
{ f (u , v )} és M i
j
ij
= sup { f (ui , v j )} vagyis mij az alsó határa, M ij a felső
határa a téglalapbeli függvényértékeknek. Legyen sn , m =
n
m
∑∑ m ( x i =1 j =1
i +1
ij
− xi ) ⋅ ( y j +1 − y j ) , ezt az összeget, az adott (n,m) felosztáshoz
tartozó alsó közelítő összegnek nevezzük. Legyen S n , m =
n
m
∑∑ M i =1 j =1
ij
( xi +1 − xi ) ⋅ ( y j +1 − y j ) , ezt az összeget, az adott (n,m) felosztáshoz
tartozó felső közelítő összegnek nevezzük. Ekkor minden integrálközelítő összegre igaz, hogy
sn ,m ≤ I ≤ S n ,m minden I -re. További
osztópontok felvétele esetén az alsó összeg nő (nem csökken), a felső összeg csökken (nem nő). Ha az alsó összegeknek a felső határa és a felső összegeknek alsó határa megegyezik, vagyis ha
sup( sn ,m ) = inf( Sn ,m ) , akkor mondjuk, hogy
f ( x, y ) integrálható T -n. Jele:
∫∫ f ( x, y ) ⋅ dxdy
(szokásos jelölés még dT )
T
A kettősintegrál létezésének szükséges feltétele Az integrál definíciójából következik, hogy ha létezik a kettős integrál, akkor az f ( x, y ) függvény korlátos a T tartományon.
3
Illusztráció ⎧9 − x 2 − y 2 ha x 2 + y 2 ≤ 9 függvényt! ha x 2 + y 2 ≥ 9 0 ⎩
Vegyük az f ( x, y ) = ⎨
A hozzá tartozó felület egy forgás-paraboloid
z = x 2 + y 2 , lefelé fordítva (-1-el
szorozva) és feltolva a z=9 pontba. Legyen a T tartomány egy 6 egység oldalú négyzet melynek középpontja az origó. Elkészítettük az n=m (ugyanannyi részre osztjuk fel a négyzet mindkét oldalát) felosztáshoz tartozó alsó és felső közelítő összegek egyikét-másikát.
A kettősintegrál kiszámítása téglalap tartományon
⎧
A kettősintegrál egy téglalap tartományon T = ⎨( x, y ) :
⎩
a ≤ x ≤ b⎫ ⎬ visszavezethető két c ≤ y ≤ d⎭
egymás után végrehajtható egyszeres integrálra. Téglalap tartomány esetén tetszőleges az integrálás sorrendje. Ha az integrálközelítő összegben az összes téglalapra való összegezést először rögzített ( xi +1 , xi ) mellett végezzük j szerint
[c, d ] -n, majd i szerint [ a, b ] -n, akkor két egyszeres
integrálközelítő összeget kapunk, tehát:
4
∫∫ T
⎛d ⎞ f ( x, y )dxdy = ∫ ⎜ ∫ f ( x, y )dy ⎟dx a⎝c ⎠ b
Könnyen látható, hogy ha fordított sorrendben végezzük az összes téglalapra való összegezést, először rögzített ( y j +1 , y j ) mellett végezzük i szerint
[ a, b] -n, majd j szerint
[c, d ] -n, akkor két egyszeres integrálközelítő összeget kapunk, tehát: ∫∫ T
d b ⎛ ⎞ f ( x, y )dxdy = ∫ ⎜ ∫ f ( x, y )dx ⎟dy Vagyis az integrálás sorrendje tetszőleges. c⎝a ⎠
Példa Határozzuk meg az f ( x, y ) = e
x+ y
függvény kettős integrálját
−1 ≤ x ≤ 1 ⎫ ⎧ ⎪ ⎪ a T = ⎨( x, y ) : −1 1 ⎬ tartományon! ≤ y≤ ⎪ ⎪⎩ 2 2⎭ Megoldás Ha először y-szerint integrálunk azután x-szerint, akkor: 1 ⎛ 12 ⎞ ⎛ 12 ⎞ ⎛ 12 ⎞ 1 1 1 2 ⎜ x+ y ⎟ ⎜ x y ⎟ ⎟ x+ y x⎜ y x y −1 dx = ⎡ ⎤ ⋅ = ⋅ = ⋅ = = e dxdy e dy dx e e dy dx e e dy dx e e ∫∫T ∫⎜∫ ∫⎜∫ ∫ ⎜ −∫1 ⎟ −∫1 ⎣ ⎦ 2 ⎟ ⎟ −1 ⎜ −1 −1 ⎜ −1 −1 ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝2 ⎠ ⎝2 ⎠ ⎝2 ⎠ 1
1 ⎞ x 1 ⎞⎛ 1 ⎞ ⎛ ⎛ =⎜ e− ⎟ ∫ e dx = ⎜ e − ⎟⎜e − e ⎟ e ⎠ −1 e ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎝ 1
Példa Határozzuk meg a z = sin x + 2sin y függvény kettősintegrálját N-en.
N = {( x, y ) :
π
−π π π⎫ ≤ x ≤ ,0 ≤ y ≤ ⎬ 2 2 2⎭
π ⎛ π2 ⎞ π 2 x= ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ∫∫N ( sin x + 2sin y )dxdy = ∫0 ⎜ ∫π ( sin x + 2sin y ) dx ⎟dy = ∫0 ⎜⎝ [ − cos x + 2 x sin y ]x=−2π2 ⎟⎠dy = ⎜− ⎟ ⎝ 2 ⎠ 2
5
π
π
2 π ⎛ ⎞ = ∫ 2π sin ydy = 2π [ − cos y ]0 = 2π ⎜ − cos + cos 0 ⎟ = 2π 2 ⎝ ⎠ 0
2
A kettősintegrál kiszámítása normál tartományon Definíció x-tengelyre vonatkoztatott normál tartománynak nevezzük a következő tartományt.
a≤ x≤b ⎧ ⎫ N x = ⎨ ( x, y ) : ⎬ f1 ( x) ≤ y ≤ f 2 ( x) ⎭ ⎩
xi mellett végezzük előbb az összegezést, [ f1 ( xi ), f 2 ( xi )] .
Ha az integrálközelítő összegben rögzített akkor az
xi hez tartozó intervallum
∫∫
Tehát:
Nx
⎛ f2 ( x ) ⎞ f ( x, y )dxdy = ∫ ⎜ ∫ f ( x, y )dy ⎟dx ⎜ ⎟ a ⎝ f1 ( x ) ⎠ b
Példa Határozzuk meg az f ( x, y ) = 2 xy függvény kettős integrálját
⎧⎪
a N x = ⎨( x, y ) :
⎪⎩
0 ≤ x ≤ 1 ⎫⎪ ⎬ tartományon! x 2 ≤ y ≤ x ⎪⎭
Megoldás 1 1 ⎛ x ⎞ x 1 2 2 5 ∫∫N 2 xy ⋅ dxdy =∫0 ⎜⎜ ∫2 2 xydy ⎟⎟dx = ∫0 ⎡⎣ xy ⎤⎦ x2 dx = ∫0 ( x − x )dx = 6 ⎝x ⎠ x 1
Példa Számítsuk ki az f ( x, y ) =
y függvény kettősintegrálját a D tartományon! x +1
6
⎧ 0 ≤ x ≤1 ⎪⎧ 0 ≤ y ≤ 1 Dx = ⎨ 2 ; Dy = ⎨ ⎪⎩0 ≤ x ≤ y ⎩x ≤ y ≤ 1
1 1 1 1 1 1 ⎛ ⎞ ⎞ y y 1 ⎛ 1 ⎡ y2 ⎤ 1 ⎛ 1 x4 ⎞ ⋅ dxdy = dy dx = ydy dx = dx = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ∫∫D x + 1 ∫0 ⎜ ∫2 x + 1 ⎟ ∫0 x + 1 ⎜ ∫2 ⎟ ∫0 x + 1 ⎢⎣ 2 ⎥⎦ ∫0 x + 1 ⎝⎜ 2 − 2 ⎠⎟ dx = ⎝x ⎠ ⎝x ⎠ x x2 1
1 1 ⎤ 1 ⎛ 1 x4 ⎞ 1⎡ x4 dx ⎥ = = ∫⎜ − ⎟ dx = ⎢ln( x + 1) − ∫ 2 0 ⎝ x +1 x +1⎠ 2⎣ x +1 ⎦ 0
1 ⎞ 1⎛ 1 1 3 2 )dx ⎟ = ⎜ [ ln( x + 1) ]0 − ∫ ( x − x + x − 1 + 2⎝ x +1 ⎠ 0
1
4 ⎤ 1⎡ x x3 x 2 1⎛ 1 1 1 ⎞ 7 = ⎢ln( x + 1) − + − + x − ln( x + 1)) ⎥ = ⎜ − + − + 1⎟ = 2⎣ 4 3 2 ⎦ 0 2 ⎝ 4 3 2 ⎠ 24
Kettősintegrál y-tengelyre vonatkoztatott normál tartományon Definíció: y-tengelyre vonatkoztatott normál tartománynak nevezzük a következő tartományt.
c≤ y≤d ⎧ ⎫ N y = ⎨ ( x, y ) : ⎬ g1 ( y ) ≤ x ≤ g 2 ( y ) ⎭ ⎩
∫∫ Ny
⎛ g2 ( y ) ⎞ f ( x, y )dxdy = ∫ ⎜ ∫ f ( x, y )dx ⎟dy ⎜ ⎟ c ⎝ g1 ( y ) ⎠ d
A kettősintegrál geometriai jelentése A téglalap tartományon vett kettősintegrál geometriai jelentése a felület alatti előjeles térfogat, hiszen egy felosztáshoz tartozó alsó közelítő összeg a beírt hasábok térfogatának összege, a felső összeg pedig a kívül írt hasábok térfogatának összege:
Példa
7
Határozzuk meg a f ( x, y ) = xy függvény kettősintegrálját az egységkörön. Megoldás
∫∫ xy ⋅ dxdy = 0
, mert a függvény értéke szimmetrikus de ellentétes előjelű a következő
K
tartományon.
⎧ x2 + y 2 = 1
Határozzuk meg a f ( x, y ) = xy felület és az egységsugarú henger ⎨
⎩
z=z
közös
részének térfogatát. Megoldás Tekintettel arra, hogy most nem előjeles térfogatot számolunk, kiszámoljuk az első síknegyedbe eső N negyedkörre az integrál értékét és négyszer vesszük.
⎛ V = 4 ∫∫ xy ⋅ dxdy = 4∫ ⎜ ⎜ 0⎝ N 1
1− x 2
∫ 0
1− x 2 1 ⎛ 2 ⎞ ⎡ ⎤ y xy ⋅ dy ⎟dx = 4∫ x ⎜ ⎢ ⎥ ⎜ ⎣ 2 ⎦0 ⎟ 0 ⎠ ⎝
⎞ 1 2 ⎟dx = 4 1 − x x ⋅ dx = ∫0 2 ⎟ ⎠
1
⎛1 ⎡ x2 x4 ⎤ x3 ⎞ 2 = 4 ∫ ⎜ x − ⎟ ⋅ dx = 4 ⎢ − ⎥ = 2 3⎠ ⎣ 4 12 ⎦ 0 3 0⎝ 1
Integráltranszformáció
∫∫ f ( x, y ) ⋅ dxdy
[
]
kettősintegrál kiszámításánál, ha az x, y síkon minden
T
( x, y ) koordinátájú ponthoz az [u, v ] síkon a ( x(u, v), y (u, v) ) pontot rendeljük, akkor f ( x, y ) ⇒ f ( x(u , v), y (u , v) ) és a T tartomány az [u , v ] síkon egy Q tartományba megy át. A kettősintegrál pedig
∫∫ f ( x(u, v), y(u, v) ) ⋅ J dudv integrálba megy át, ahol Q
J =
xu′ ( u, v ) yu′ ( u, v )
xv′ ( u , v ) neve Jacobi determináns. yv′ ( u, v )
8
Polárkoordinátás transzformáció Ha az u paraméter geometriai jelentése az origótól való távolság, a v jelentése pedig a pont irányszöge (x-tengely pozitív felével bezárt szög) akkor a szokásos u = r v = ϕ jelöléssel x ( r , ϕ ) = r ⋅ cos ϕ , y ( r , ϕ ) = r ⋅ sin ϕ
J =
xr′ ( r , ϕ ) yu′ ( r , ϕ )
xϕ′ ( r , ϕ ) cos ϕ = yϕ′ ( r , ϕ ) sin ϕ
[
− r sin ϕ = r cos 2 ϕ + r sin 2 ϕ = r r cos ϕ
]
A transzformációnál az x, y síkban lévő szektor (lásd az ábrát) téglalap tartományba
[
]
megy át az r , ϕ síkon
Példa
f ( x, y ) = ln ( x 2 + y 2 ) függvény kettősintegrálját
Határozzuk meg az
T = {( x, y ) : 3 ≤ x 2 + y 2 ≤ 4, y ≥ 0} tartományon!
A T tartomány egy fél körgyűrű, mely polárkoordinátás transzformációval egy Q téglalap tartományba megy át a polár síkon.
⎧ x = r cos ϕ ⎨ ⎩ y = r sin ϕ
Polár transzformációt alkalmazva kapjuk: π
π 4 π 4 ⎛4 ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 2 ∫∫T ln(x + y )dxdy = ∫0 ⎜⎝ ∫3 ( ln r ) ⋅ r ⋅ dr ⎟⎠dϕ = ∫0 ⎜⎝ ∫3 2 ( ln r ) ⋅ r ⋅ dr ⎟⎠dϕ = 2∫0 ⎜⎝ ∫3 ( ln r ) ⋅ r ⋅ dr ⎟⎠dϕ 2
2
Parciális integrálás segítségével:
r2 1⎞ 2 2 1 2 2 ⎛ ′ ∫ 2r ⋅ ln r ⋅ dr = r ⋅ ln r − ∫ r (ln r ) dr = r ⋅ ln r − ∫ r r dr = r ⋅ ln r − 2 = r ⋅ ⎜⎝ ln r − 2 ⎟⎠ 2
2
9
Tehát visszatérve a keresett integrálra: π
⎛4 ⎞ ⎡ 2⎛ 1 ⎞⎤ 1 1 ⎞ ⎛ ∫0 ⎜⎝ ∫3 2r ln r ⋅ dr ⎟⎠dϕ = π ⎢⎣r ⎜⎝ ln r − 2 ⎟⎠⎥⎦ 3 = π ⋅ ⎜⎝16(ln 4 − 2 ) − 9(ln 3 − 2 ) ⎟⎠ 4
Példa Határozzuk meg a nyeregfelület kettősintegrálját az egységkörön.
10
Példa Számítsuk ki az
x 2 + y 2 = z 2 kúp x 2 + y 2 + z 2 = 1 gömb belsejébe eső részének térfogatát!
Megoldás A térfogatot két egyenlő részből számoljuk. A kúp pozitív fele
z = x2 + y2 .
A test, melynek a térfogatát számoljuk a kúpból és egy gömbszeletből áll. A gömbszelet alatti térfogatból ki kell vonni a kúp alatti térfogatot.
∫∫
1 − x 2 − y 2 dxdy − ∫∫ x 2 + y 2 dxdy
K
K
[ ] kapunk, hogy a gömb és kúp metszetgörbéjét levetítjük az [ x, y ]
Ahol a K tartomány a test vetülete az x, y síkon, melyet úgy
1 − x2 − y 2 = x2 + y 2 ;
A metszetgörbe pontjaira:
⎛ 1 ⎞ 2 x + 2 y = 1 innen x + y = ⎜ ⎟ ⎝ 2⎠ 2
2
2
Tehát a K tartomány egy
síkra.
1 − x 2 − y 2 = x 2 + y 2 ;azaz
2
2
1 sugarú kör origó középpontú kör. 2
Az integrál additivitása miatt
∫∫ K
1 − x 2 − y 2 dxdy − ∫∫ x 2 + y 2 dxdy = ∫∫ ( 1 − x 2 − y 2 − x 2 + y 2 )dxdy = V K
K
Polár transzformációt alkalmazva kapjuk:
⎛ ⎜ 2 2 2 2 ∫∫K ( 1 − x − y − x + y )dxdy = ∫0 ⎜ ⎜ ⎝ 2π
2π
∫ 0
1
1 2
∫( 0
1 ⎞ 2π 3 3 ⎡ 1 ⎟ r ⎤ 2 1 − r 2 − r ⋅ r ⋅ dr ⎟dϕ = ∫ ⎢ − (1 − r 2 ) 2 − ⎥ ⋅dϕ = 3 3 ⎦0 0 ⎣ ⎟ ⎠
)
2π
3 ⎡ 1 r3 ⎤ 2 1 ⎤ π ⎡1 2 2 − − − (1 r ) )r ⎥ = 2− 2 ⎢ ⎥ ⋅dϕ = ⎢ (1 − 3 3 3 3 2 ⎣ ⎦ ⎣ ⎦0 0
(
)
Feladatok: 1. Számítsa ki a z = 8 − 2 x − 2 y paraboloid és a z = 0 sík közé zárt térrész térfogatát! 2
2
11
2.
Határozza meg a
∫∫ xy dxdy 3
kettős integrál értékét, ha a T tartományt az
T
x 2 + y 2 ≤ 4, x ≤ 0, y ≤ 0 egyenlőtlenségek jelölik ki.
Térgörbék
12
Deriválás
13
14
Kísérő triéder
15
16
17
Térgörbék ívhossza
18
Példa
(
a.) Bizonyítsuk be, hogy az astroid r (t ) = (cos t ) , (sin t ) , 0 3
3
) síkgörbe minden
pontjában az érintőjéből a koordináta tengelyek által lemetszett szakasz ugyanakkora. b.) Számítsuk ki az astroid ívhosszát! Megoldás
(
r&(t ) = 3(cos t ) 2 (− sin t ), 3(sin t ) 2 cos t , 0
)
3 r&(t ) = 9(cos t ) 4 (sin t ) 2 + 9(sin t ) 4 (cos t ) 2 = 3cos t sin t = sin 2t 2
A negyed részének ívhossza: π t2
π
π
2
2 2 3 s = ∫ r&(t ) dt = ∫ sin 2t ⋅ dt = −3∫ −2sin 2t ⋅ dt = −3 [ cos 2t ]0 = 3 2 t1 0 0
Tehát az astroid hossza: 12
19
Példa
(
)
Bizonyítsuk be, hogy az r ( t ) = t cos t , t sin t , t térgörbe rajta van az egyenletű kúpfelületen. Adjuk meg a görbületét a Megoldás
t=
π 2
x2 + y 2 = z 2
paraméterű pontban!
[
]
Vetülete az x, y síkon
(
)
r ( t ) = cos t − t sin t , sin t + t cos t , 1 ,
(
⎛π ⎞ ⎛ π ⎞ r ⎜ ⎟ = ⎜ − ,1,1⎟ && r ( t ) = − sin t − (sin t + t cos t ), cos t + (cos t − t sin t ), 0 ⎝2⎠ ⎝ 2 ⎠ π ⎛π ⎞ ⎛ ⎞ && r ( t ) = −2sin t − t cos t ), 2 cos t − t sin t , 0 , && r ⎜ ⎟ = ⎜ −2, − , 0 ⎟ 2 ⎝2⎠ ⎝ ⎠
(
)
i r& × && r=
−π 2 −2
r& =
π2 4
j
k
1
⎛π ⎞ ⎛π2 π2 π2 π4 5π 2 2⎞ & && + 4 + ( + 2) ⎟ = +8+ + 2⎟ , r × r = ⎜ 1 = ⎜ , − 2, 4 4 16 4 ⎝ 4 ⎠ ⎝2 ⎠
−π 2
0
+2
Feladatok 3.
)
g=
(
r& × && r r&
Adott az r ( t ) = e cos t , e cos t , e t
t
t
3
π4 =
5π 2 +8+ 16 4 3
⎛π2 ⎞2 + 2⎟ ⎜ ⎝ 4 ⎠
) térgörbe.
a) Írja fel a térgörbe t0 = 0 pontjához tartozó simulósíkjának és érintő egyenesének egyenletét. b) Számítsa ki a térgörbe t ∈ 0, ln 2 intervallumba eső darabjának az ívhosszát. 4.
(
Határozza meg az r ( t ) = cos t , sin t , ln cos t
)
térgörbe P0 (1,0,0 ) pontbeli kísérő
triéderének egységvektorait, a görbületet! Határozza meg ebben a pontban a simulósík és az érintő egyenes egyenletét is!
20
Példa
⎧ x = cos 2 t ⎪ Igazoljuk, hogy a r (t ) = ⎨ y = cos t sin t ⎪ z = sin t ⎩
−
π 2
≤t ≤
π 2
térgörbe az egység sugarú gömbön van, és
számítsuk ki az ívhosszát! Megoldás Az egységsugarú gömb egyenlete:
(
2
koordináta-függvényeit, cos t
x 2 + y 2 + z 2 = 1 , az egyenletbe behelyettesítve a térgörbe
) + ( cos t ⋅ sin t ) 2
2
+ sin 2 t = cos 2 t ( cos 2 t + sin 2 t ) + sin 2 t = 1 ,
kielégíti azt, tehát valóban a felületen van.
⎧ x& = − sin 2t ⎪ r&(t ) = ⎨ y& = cos 2t , ⎪ z& = cos t ⎩ r&(t ) = sin 2 2t + cos 2 2t + cos 2 t = 1 + cos 2 t Az ívhosszát nyolc egybevágó darabból számolva: π t2
2
t1
0
s = ∫ r&(t ) dt = ∫ 1 + cos 2 t ⋅ dt közelítőleg tudjuk kiszámítani (elliptikus integrál) A görbe nézetei:
21
