Maximize or Minimize Z = f (x,y) Subject to: g (x,y) = c
PROGRAM MAGISTER AGRIBISNIS UNIVERSITAS JAMBI Prof. Dr. Ir. ZULKIFLI ALAMSYAH, M.Sc.
Penyelesaian Permasalahan LP Secara Grafik Hanya dapat dilakukan untuk model dengan 2 decision variables) Menggunakan bidang 2 dimensi untuk menggambarkan grafik fungsi kendala dan Fungsi Tujuan (FT) . Gambarkan grafik semua fungsi kendala dan tentukan daerah yang memenuhi semua batasan kendala (daerah kelayakan = feasible region) Tandai dan namakan setiap titik sudut (extreem points) daerah kelayakan tersebut. Gambarkan grafik FT dengan slope yang diketahui pada sembarang nilai. Geser grafik fungsi FT secara paralel hingga menyentuh titik terluar yang memaksimumkan daerah kelayakan (maksimisasi) atau meminimumkan darah kelayakan (minimisasi). Titik terluar yang dilalui Fungsi Tujuan merupakan Titik Optimal yang memberikan solusi optimal terhadap persoalan LP. Magister Agribisnis UNJA
2
Zulkifli Alamsyah
Penyelesaian Permasalahan LP Secara Grafik (lanjutan) …………. Cara lain untuk menentukan titik optimal adalah dengan menghitung nilai Fungsi Tujuan pada setiap titik sudut daerah kelayakan. Nilai FT yang terbesar pada suatu titik (maksimisasi) atau terkecil (minimisasi) menunjukkan titik tersebut merupakan titik optimal yang memberikan solusi optimal.
Contoh: Perhatikan Model LP pada Kasus sebelumnya, sbb: Maks Dk.
Laba (Z) = 8 M + 6 K
(dlm satuan Rp.10. 000)
4M + 2K 60 2M + 4K 48 M, K 0
Magister Agribisnis UNJA
3
Zulkifli Alamsyah
Penyelesaian secara grafik: Gambarkan masing-masing fungsi kendala pada bidang yang sama. K
Laba = 8M + 6K
34
Pada A: M = 0, K = 12 Laba = 6 (12) = 72
32 28
4M + 2K 60
24
M=0 K=30 K=0 M=15
20
Pada B: M = 12, K = 6 Laba = 8(12) + 6(6) = 132 Pada C: M = 15, K = 0 Laba = 8 (15) = 120
Feasible Region
16 A(0,12)
Keputusan: M = 12 dan K = 6 Laba yg diperoleh = 132.000
12 B(12,6)
8
FT dg Slope 8/6
2M + 4K 48
4
O
M=0 K=12 K=0 M=24
C(15,0)
4
8
Magister Agribisnis UNJA
12
16
20
M 24
28 4
32
34 Zulkifli Alamsyah
Contoh Persoalan: 2 (Reddy Mikks Co.) Reddy Mikks Co. mempunyai sebuah pabrik kecil yg menghasilkan 2 jenis cat yaitu utk interirior dan eksterior. Bahan baku utk cat tsb adalah bahan A dan bahan B, yg masing2 tersedia maksimum 6 ton dan 8 ton per hari. Kebutuhan masing2 jenis cat per ton thdp bahan baku disajikan pd tabel berikut:
Bahan baku
Kebuthn bahan baku per ton cat
Bahan A Bahan B
Eksterior 1 2
Interior 2 1
Ketersediaan Maksimum (ton) 6 8
Permintaan harian cat interior lebih tinggi dari permintaan cat eksterior, tetapi tdk lebih dari 1 ton per hr. Sedangkan permintaan cat interior maksimum 2 ton per hari. Harga cat interior dan eksterior masing2 3000 dan 2000. Berapa masing2 cat hrs diproduksi oleh perusahaan utk memaksimumkan pendapatan kotor? Magister Agribisnis UNJA
5
Zulkifli Alamsyah
Definisi variabel keputusan: CE = jmlh cat eksterior yg diproduksi (ton/hari) CI = jmlh cat interior yg diproduksi (ton/hari) Perumusan fungsi tujuan: Maks.: Pdpt kotor, Z = 3 CE + 2 CI (dlm ribuan) Perumusan Fungsi Kendala: Kendala ketersediaan bahan baku A: CE + 2 CI 6
Kendala ketersediaan bahan baku B: 2 CE + CI 8
Kendala Permintaan : CI - CE 1 : jml maks Kelebihan CI dibading CE CI 2 : permintaan maks CI
Kendala non-negatif: CI 0; CE 0.
Magister Agribisnis UNJA
6
Zulkifli Alamsyah
Penyelesaian secara grafik: D (31/3, 11/3) E (4,0)
A (0,1) B (1,3) C (2,2)
CI
Pendapatan kotor: Z = 3 CE + 2 CI Pada A: Z = 3(0) + 2(1) = 2
8
Pada B: Z = 3(1) + 2(3) = 9
2CE + CI 8
7
Pada C: Z = 3(2) + 2(2) = 10
CI - CE 1
6
Pada D: Z = 3(31/3) + 2(11/3) = 122/3
5 4 3 B
2 1
O
Pada E: Z = 3(4) + 2(0) = 12
Feasible Region CI 2
C
A
CE + 2CI 6
D E
1
2
Magister Agribisnis UNJA
3
4
5
7
8 7
CE
Keputusan: CE = 31/3 dan CI = 11/3 Pendapatan kotor: Z = 122/3 ribu. Zulkifli Alamsyah
Extreem points:
Titik-titik sudut daerah kelayakan (feasbile region) Infeasible Solution:
Tidak ada solusi karena tdk semua kendala terpenuhi. Unbounded Solution:
Solusi yang disbebabkan karena fungsi tujuan dibuat tanpa batas dan tdk melanggar funggsi kendala. Redundancy:
Redundancy terjadi karena adanya kendala yg tdk mempengaruhi daerah kelayakan. Alternative optima:
Solusi yang tdk memberikan nilai yang unik, terjadi bila garis fungsi tujuan berimpit dgn garis salah satu kendala. Magister Agribisnis UNJA
8
Zulkifli Alamsyah
Contoh : Bila pada contoh sebelumnya, biaya produksi setiap unit meja dan kursi masing-masing Rp.200.000 dan Rp. 80.000, dan perusahaan bertujuan utk meminimumkan biaya produksi, maka persoalan yang dihadapi adalah persoalan MINIMISASI. Dengan biaya minimum untuk menghasilkan output tertentu. Diperlukan batasan mengenai target yang akan dicapai Secara umum tanda ketidak-samaan adalah “”
Min.: Biaya = 20 M + 8 K (dlm satuan Rp.10. 000) Dengan kendala: 4M + 2K 60 (kendala sumberdaya) 2M + 4K 48 (kendala sumberdaya) M 2 (kendala target) K 4 (kendala target) Magister Agribisnis UNJA
9
Zulkifli Alamsyah
K
Titik A ditentukan oleh perpotongan garis kendala: 2M + 4K = 48 dan M=2
M2
34 32
4M + 2K 60
28
K = (48-4)/4 = 11
M=0 K=30 K=0 M=15
24
2(2) + 4K = 48
Titik A (2;11) Titik B (2;4)
20
Feasible Region
16
A
12
Titik C ditentukan oleh perpotongan garis kendala: 4M + 2K = 60 dan K=4
M=0 K=12 K=0 M=24
D 2M + 4K 48
8
B
4
O
C 4
8
K4
M 12
16
20
24
28
32
34
4M + 2(4) = 60 M = (60-8)/4 = 13
Titik C (13;4) Titik D (12,6)
Magister Agribisnis UNJA
10
Zulkifli Alamsyah
Biaya = 20M + 8K Pada titik A (2;11)
= 20 (2) + 8 (11) = 128
Pada titik B (2;4)
= 20 (2) + 8 (4)
= 72
(minimum)
Pada titik C (13;4) = 20 (13) + 8 (4) = 292 Pada titik D (12;6) = 20 (12) + 8 (6) = 288 Dari perhitungan diatas, terlihat bahwa biaya minimum diperoleh pada titik B dimana jumlah meja dan kursi yang dihasilkan masing-masing sebanyak 2 dan 4 unit dengan biaya 72.atau Rp.720.000.
Magister Agribisnis UNJA
11
Zulkifli Alamsyah
Latihan 2: Modeling Suatu perusahaan makanan kucing menghasilkan produk Tuna-n-Stuff. Pada kemasan kaleng ditulis: Setiap ons Tuna-n-Stuff mengandung kandungan gizi yang lebih besar dari standar minimum (RDA).
Rincian RDA dan ramuan Tuna-n-Stuff adalah sbb: Bahan
% RDA per Ons
Biaya ($/Ons)
Protein
Thiamine
Niacin
Calsium
Iron
Albacore
20
0
0
6
5
0.15
Bonito
12
0
0
5
3
0.10
Suplemen C
0
42
18
22
7
0.20
Suplemen D
0
36
40
8
9
0.12
Filler
0
0
0
0
0
0.02
Menurut peraturan pemerintah, kandungan albacore atau bonito atau campuran keduanya paling kurang 40%. Bagaimana perusahaan menentukan ransum secara optimal agar diperoleh biaya minimum? Rumuskanlah persoalan diatas menjadi model LP! Magister Agribisnis UNJA
12
Zulkifli Alamsyah
Decision Variables: A = Ons albacore per ons produk B = Ons bonito per ons produk C = Ons suolemen C per ons produk D = Ons suplemen D per ons produk E = Ons filler per ons produk
Fungsi Tujuan: Minimum Biaya = 0.15 A + 0.10 B + 0.20 C + 0.12 D + 0.02 E Fungsi Kendala: (target protein) (target thiamine) (target niacin) (target calcium) (target iron) (peraturan pemerintah) (alokasi per ons) (kendala non-negatif) Magister Agribisnis UNJA
20 A + 12 B 42 C + 36 D 18 C + 40 D 6A + 5 B + 22 C + 8 D 5A+3 B + 7C + 9 D A+ B A+ B+ C+ D +E A, B, C, D, E 13
2,6 13.7 14.3 5.7 5.7 0.4 1 0 Zulkifli Alamsyah
