Aturan Pencacahan. Contoh: Berapa banyak kemungkinan jalur yang dapat dilalui dari Kota A ke Kota D?

Aturan Pencacahan A. Aturan Perkalian Definisi (Pengertian) Jika terdapat 𝑘 unsur yang tersedia, dengan: 𝑛1 = banyak cara untuk menyusun unsur pertama 𝑛2 = banyak cara untuk menyusun unsur kedua setelah unsur pertama tersusun 𝑛3 = banyak cara untuk menyusun unsur ketiga setelah unsur kedua tersusun ⋮ 𝑛𝑘 = banyak cara untuk menyusun unsur ke-𝑘 setelah objek- unsur sebelumnya tersusun Maka banyak cara untuk menyusun 𝑘 unsur yang tersedia adalah: 𝑛1 ⋅ 𝑛2 ⋅ 𝑛3 ⋅ ⋯ ⋅ 𝑛𝑘 Contoh: Berapa banyak kemungkinan jalur yang dapat dilalui dari Kota A ke Kota D?

Perhatikan jalur dari kota A ke kota D melalui kota B. Dari kota A ke kota B terdapat 4 jalur yang dapat dilalui, sedangkan dari kota B terdapat 3 jalur yang dapat dilalui menuju kota D. Jadi banyak cara memilih jalur dari kota A menuju kota D melalui kota B adalah 4 × 3 = 12 cara. Perhatikan jalur dari kota A ke kota D melalui kota C. Terdapat 3 jalur dari kota A menuju kota C dan 3 jalur dari kota C menuju kota D. Jadi banyak cara memilih jalur dari kota A menuju kota D melalui kota B adalah 3 × 3 = 9 cara. Jadi banyak jalur yang dapat dilalui melalui Kota A sampai ke Kota D adalah 12 + 9 = 21 cara. Contoh: Seorang manajer supermarket ingin menyusun barang berdasarkan nomor seri barang. Dia ingin menyusun nomor seri yang dimulai dari nomor 3000 sampai

1

dengan 8000 dan tidak memuat angka yang sama. Tentukan banyak nomor seri yang disusun dari angka 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. 



Jawab: Setiap bilangan yang berada diantara 3000 dan 8000 pastilah memiliki banyak angka yang sama yakni 4 angka jika ditampilkan dalam bentuk kolom menjadi:

Perhatikan untuk mengisi ribuan hanya dapat diisi angka 3, 4, 5, 6, 7. Artinya terdapat 5 cara mengisi ribuan.  Untuk mengisi ratusan dapat diisi angka 1 sampai 8 tetapi hanya ada 7 yang mungkin. 

Untuk mengisi puluhan dapat diisi angka 1 sampai 8 tetapi hanya ada 6 angka yang mungkin.



Untuk mengisi satuan dapat diisi angka 1 sampai 8 tetapi hanya ada 5 angka yang mungkin. Dengan demikan, banyak angka yang dapat mengisi keempat posisi tersebut adalah sebagai berikut:

Banyak susunan nomor seri barang yang diperoleh adalah: 5 × 7 × 6 × 5 = 1.050 cara. B. Faktorial Definisi (Pengertian) Jika 𝑛 bilangan asli maka 𝑛! (dibaca “𝑛 faktorial”), ditulis 𝑛! = 𝑛(𝑛 − 1)(𝑛 − 2)(𝑛 − 3) ⋯ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 9!

Contoh: Tentukanlah: 6!, 9!, 6! , 0! Jawab: 6! = 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 30 ⋅ 12 ⋅ 2 = 30 ⋅ 24 = 720 9! = 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 72 ⋅ 63 ⋅ 20 ⋅ 6 = 4536 ⋅ 120 = 544320 9! 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6! 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 1 = = = 72 ⋅ 7 = 504 6! 6! 1 𝑛! = 𝑛(𝑛 − 1)(𝑛 − 2)(𝑛 − 3) ⋯ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 𝑛! = 𝑛(𝑛 − 1)! Jika dan hanya jika 𝑛(𝑛 − 1)! = 𝑛! 2

𝑛! 𝑛 1! (1 − 1)! = 1 1 (0)! = 1 0! = 1 (𝑛 − 1)! =

C. Permutasi Definisi (Pengertian) Permutasi 𝑘 unsur dari 𝑛 unsur dengan memperhatikan urutan tersedia biasa dituliskan 𝑃𝑘𝑛 atau 𝑛𝑃𝑘 serta 𝑃(𝑛, 𝑘) dengan 𝑘 ≤ 𝑛, sehingga 𝑃(𝑛, 𝑘) =

𝑛! (𝑛 − 𝑘)!

Contoh: Seorang resepsionis klinik ingin mencetak nomor antrian pasien yang terdiri tiga angka dari angka 1, 2, 3, dan 4. Tentukan banyak pilihan nomor antrian yang dapat dibuat dari empat angka yang berbeda! Jawab:

Jika nomor antrian disusun dengan menggunakan angka 1, 2, 3, 4 maka banyak susunan nomor antrian adalah 𝑃(𝑛, 𝑘) =

𝑛! (𝑛 − 𝑘)!

𝑃(4,3) =

4! (4 − 3)!

4⋅3⋅2⋅1 = 12 ⋅ 2 = 24 1 Jadi, banyak pilihan nomor antrian yang dapat dibuat dari empat angka yang 𝑃(4,3) =

berbeda adalah 24 cara D. Permutasi Siklis Definisi (Pengertian) Misalkan dari n unsur yang berbeda yang tersusun melingkar. Banyak permutasi siklis dari 𝑛 unsur tersebut dinyatakan 𝑃Siklis = (𝑛 − 1)! Contoh: Beny (B), Edo (E), Lina (L)dan, Siti (S) berencana makan bersama di sebuah restoran. Setelah memesan tempat, pramusaji menyiapkan sebuah meja bundar buat mereka. Berapa banyak cara keempat orang tersebut duduk mengelilingi meja bundar tersebut?

3

Jawab:

𝑃Siklis = (𝑛 − 1)! = (4 − 1)! = 3! =3⋅2⋅1 =6 Jadi, banyak cara keempat orang tersebut duduk mengelilingi meja bundar tersebut adalah 6 cara. E. Kombinasi Definisi (Pengertian) Kombinasi 𝑘 unsur dari 𝑛 unsur tanpa memperhatikan urutan tersedia biasa dituliskan 𝐶𝑘𝑛 atau 𝑛𝐶𝑘 serta 𝐶(𝑛, 𝑘) dengan 𝑘 ≤ 𝑛, sehingga 𝐶(𝑛, 𝑘) =

𝑛! (𝑛 − 𝑘)! ⋅ 𝑘!

Contoh: Hasil seleksi PASKIBRA di Kabupaten Bantul tahun 2012, panitia harus memilih 3 PASKIBRA sebagai pengibar bendera dari 5 PASKIBRA yang terlatih. Berapa banyak pilihan PASKIBRA yang dimiliki panitia sebagai pengibar bendera? Jawab:

𝑛 = 5 =, 𝑘 = 3 𝑛!

𝐶(𝑛, 𝑘) = (𝑛−𝑘)!⋅𝑘! 5!

= (5−3)!⋅3! =

5⋅4⋅3! 2!⋅3! 5⋅4⋅1

= 2⋅1⋅1 =

20 2

= 10

4

Jadi, banyak pilihan PASKIBRA yang dimiliki panitia sebagai pengibar bendera adalah 10 cara. F. Binomial Newton 1 = 20 = (𝑎 + 𝑏)0 1 1 = 21 = (𝑎 + 𝑏)1 1 2 1 = 22 = (𝑎 + 𝑏)2 1 3 3 1 = 23 = (𝑎 + 𝑏)3 ⋯ = ⋮ (𝑎 + 𝑏)𝑛 (𝑎 + 𝑏)0 = 1𝑎0 𝑏 0 (𝑎 + 𝑏)1 = (1)𝑎0 𝑏 0 + (1)𝑎0 𝑏1 (𝑎 + 𝑏)2 = (1)𝑎2 𝑏 0 + (2)𝑎1 𝑏1 + (1)𝑎0 𝑏1 (𝑎 + 𝑏)3 = (1)𝑎3 𝑏 0 + (3)𝑎2 𝑏1 + (3)𝑎1 𝑏 2 + (1)𝑎0 𝑏 3 ⋮ (𝑎 + 𝑏)𝑛 = (𝑑)𝑎𝑛 𝑏 0 + (𝑑)𝑎𝑛−1 𝑏1 + ⋯ + (𝑑)𝑎1 𝑏 𝑛−1 + (𝑑)𝑎0 𝑏 𝑛 , 𝑑 = koefisien (𝑎 + 𝑏)0 = 𝐶(0,0)𝑎0 𝑏 0 (𝑎 + 𝑏)1 = 𝐶(1,0)𝑎0 𝑏 0 + 𝐶(1,1)𝑎0 𝑏1 (𝑎 + 𝑏)2 = 𝐶(2,0)𝑎2 𝑏 0 + 𝐶(2,1)𝑎1 𝑏1 + 𝐶(2,2)𝑎0 𝑏1 (𝑎 + 𝑏)3 = 𝐶(3,0)𝑎3 𝑏 0 + 𝐶(3,1)𝑎2 𝑏1 + 𝐶(3,2)𝑎1 𝑏 2 + 𝐶(3,3)𝑎0 𝑏 3 ⋮ (𝑎 + 𝑏)𝑛 = 𝐶(𝑛, 0)𝑎𝑛 𝑏 0 + 𝐶(𝑛, 1)𝑎𝑛−1 𝑏1 + ⋯ + 𝐶(𝑛, 𝑛 − 1)𝑎1 𝑏 𝑛−1 + 𝐶(𝑛, 𝑛)𝑎0 𝑏 𝑛 𝑛

𝑛

(𝑎 + 𝑏) = ∑ 𝐶(𝑛, 𝑘)𝑎𝑛−𝑘 𝑏 𝑘 𝑘=𝑜

Contoh: Jabarkan bentuk binomial dari (2𝑎 + 5)3 ! Jawab: (𝑎 + 𝑏)3 = 𝐶(3,0)𝑎3 𝑏 0 + 𝐶(3,1)𝑎2 𝑏1 + 𝐶(3,2)𝑎1 𝑏 2 + 𝐶(3,3)𝑎0 𝑏 3 (2𝑎 + 5)3 = 𝐶(3,0)(2𝑎)3 (5)0 + 𝐶(3,1)(2𝑎)2 (5)1 + 𝐶(3,2)(2𝑎)1 (5)2 + 𝐶(3,3)(2𝑎)0 (5)3 3!

3!

3!

3!

= 3!⋅0! (8𝑎3 )(1) + 2!⋅1! (4𝑎2 )(5) + 1!⋅2! (2𝑎)(25) + 0!⋅3! (1)(125) 3!

3⋅2!

3⋅2!

3!

= 3!⋅0! (8𝑎3 ) + 2!1! (20𝑎2 ) + 1!2! (50𝑎) + 0!3! (125) = 1 ⋅ (8𝑎3 ) + 3 ⋅ (20𝑎2 ) + 3 ⋅ (50𝑎) + 1 ⋅ (125) = 8𝑎3 + 60𝑎2 + 150𝑎 + 125 Jadi, (2𝑎 + 5)3 = 8𝑎3 + 60𝑎2 + 150𝑎 + 125

5