ČASOVÁ HODNOTA PENĚZ Manažerská ekonomika obor Marketingová komunikace 8. přednáška Ing. Jarmila Ircingová, Ph.D.
Časová hodnota peněz Každou peněžní operaci prováděnou v současnosti a zaměřenou do budoucnosti lze vyjádřit její budoucí hodnotou (FV) a naopak, operace, které se mají provést v budoucnosti lze vyjádřit v jejich současné hodnotě (PV).
Co je to vlastně úrok ? Odměna za odloženou spotřebu; Vyrovnání inflačního znehodnocení; Pokrytí investičního rizika; Úrok pokrývá vlastníkům peněz náklady a rizika kapitálu
Budoucí hodnota – Future value Budoucí hodnota (FV) vznikne úročením hodnoty současné (PV)
Čas současné peníze enormně zhodnotí
Za 30 let se 1000 Kč při 10% úroku zhodnotí na 17 449 Kč
Perpetuita Perpetuita je do nekonečna se opakující pravidelný roční výnos
Přesto, že se daný roční výnos opakuje do nekonečna, současná hodnota perpetuity je číslo konečné. 80% procent současné hodnoty perpetuity se dosáhne při diskontní sazbě 10% již za 17 let (diskontováním 17ti plateb). Současná hodnota perpetuity se vypočítá velmi snadno: PV perpetuity = opakující se roční výnos / diskontní sazba Příklad: pravidelný roční výnos = 1tis.Kč,, diskontní sazba = 10% PV této perpetuity = 1000 / 0,1 = 10 000 Kč
Finanční výhodnost při respektování časové hodnoty peněz Příklad pro ilustraci: Jsou výhodnější příjmy A nebo B ? diskontní sazba čas současnost konec roku 1 konec roku 2 konec roku 3 konec roku 4 konec roku 5 konec roku 6 konec roku 7 Součet
10% příjmy A PV příjmů A 5000 Kč 5000 Kč 4000 Kč 3636 Kč 3000 Kč 2479 Kč 2000 Kč 1503 Kč 1000 Kč 683 Kč
15000 Kč
13301 Kč
15% příjmy B PV příjmů B
5000 Kč 5000 Kč 5000 Kč 5000 Kč 20000 Kč
2859 Kč 2486 Kč 2162 Kč 1880 Kč 9387 Kč
Příjmy „A“ jsou výhodnější
Současná hodnota – Present value Současná hodnota (PV) vznikne diskontováním hodnoty budoucí (FV)
Čas budoucí peníze enormně znehodnotí
1000 Kč, které obdržím za 30 let mají při 10% diskontní sazbě hodnotu pouhých 57 Kč v současnosti
Důležité vlastnosti diskontování Čím je budoucí výnos vzdálenější v čase, tím nižší je jeho současná hodnota Čím vyšší je diskontní sazba, tím nižší je současná hodnota budoucího výnosu Současná hodnota je diskontovaná hodnota do současnosti => diskontní faktor = 1 / (1+r)n Úroková sazba r představuje úrok, který by mohl být výnosem alternativního investování (oportunitní náklady kapitálu) Diskontní sazba odráží inflační očekávání a rizikovost subjektu, od kterého očekávaný výnos plyne
Úročitel (1) Příklad: Představme si, že vám váš strýček předložil následující nabídku. Když mu půjčíte 1000 EUR, vrátí vám přesně za rok 1100 EUR. Předpokládejme, že strýčkově slibu lze plně důvěřovat a že s vaší zápůjčkou není spojena žádná nejistota. Buď se vám bude zdát nabídka výhodná a půjčíte strýčkovi 1000 EUR, nebo mu půjčit odmítnete. Pro co by jste se rozhodli vy?
BH = PH*(1 + i) = 1000*(1+0,1) = 1100 EUR i = 1100 / 1000 – 1 = 0,1 = 10% BH – budoucí hodnota PH – počáteční hodnota, současná hodnota i – úroková sazba
Úročitel (2) Půjčíte-li strýčkovi peníze, vyděláte ze rok 10%. Ve druhém kroku musíte zvážit, kam jinam byste mohli oněch 1000 EUR vložit, tj. jaké je alternativní použití vašich 1000 EUR.
Výnos i riziko musí být při investičním rozhodování posuzovány současně. S vaší investicí není spojeno prakticky žádné riziko nesplacení. Proto při hodnocení toho, zda 10% je hodně nebo málo, byste měli vycházet z údajů o výnosech na finančních trzích, které jsou rovněž bezrizikové, těmi jsou nejčastěji státní cenné papíry.
Odúročitel (1) Postupujme podobně jako při výpočtu výnosu i, ale hledejme nyní částku, kterou bychom museli dnes mít a investovat na daný alternativní výnos tj. současnou hodnotu, když známe budoucí hodnotu, včetně výnosu. Protože výnos z bezrizikového aktiva např. u státních pokladničních poukázek činí 2,45% a protože známe i budoucí hodnotu 1100 EUR, potom výpočet současné hodnoty je: Známe budoucí hodnotu 1100 EUR a zjišťujeme hodnotu současnou.
SH = BH * 1 / (1+i) 1100 = SH * (1 + 0,0245) SH = 1100 / 1,0245 = 1 073,7 EUR. SH = 1 073,7 EUR i – požadované zhodnocení n – počet let SH – současná hodnota BH – budoucí hodnota
Odúročitel (2) Pokud by strýček potřebovat půjčit na finančních trzích 1100 EUR na jeden rok, musel by zaplatit pouze 1000 * 1,0245 = 1024,5 EUR. U strýčka tedy existuje určitá překážka, která mu znemožňuje vstoupit na finanční trhy, kde by si mohl půjčit levněji tj. za 1024,5 EUR, místo za 1073,7 EUR.
Jednoduché úročení Při jednoduchém úročení se počítá úrok vždy z původní vložené částky. Např. při 4% úroku na 5 let budeme úročit hodnotu 1000 Kč. Parametry Úrok Celková částka
1. rok 40 Kč
2. rok 40 Kč
3. rok 40 Kč
4. rok 40 Kč
5. rok 40 Kč
1 040 Kč 1 080 Kč 1 120 Kč 1 160 Kč 1 200 Kč
Úročitel – jednoduché úročení i - úrokovou sazbu v desetinném vyjádření P0 - částku určenou k uložení na účet na začátku období (tj. pro čas t = 0), n - počet období pak platí: P1 = P0 + P0 * i P2 = P0 + P0 * i * 2 Pt = P0 + P0 * i * t
Odúročitel – jednoduché úročení Otázka typu „Kolik by jste byli ochotni zaplatit za 1 200 EUR , které získáte za 5 let?“ je otázkou po současné hodnotě částky 1 200 EUR. Víme-li že platí: Pt = P0 + P0 * i * t = P0 * /1 + i / Potom hledáme P0 =
Pt * 1 / (1 + i * t)
P0 = 1200 * 1/ (1+0,04*5) = 1200 / 1,2 = 1000 EUR Současná hodnota, za kterou získáme 1200 EUR za 5 let, je ve výši 1000 EUR. Pokud ze současných hodnot počítáme hodnoty budoucí, využíváme principu úročení. Pokud opačně, tj. když z budoucích hodnot kalkulujeme hodnoty současné, tak využíváme principu odúročení (diskontování).
Úročitel – složené úročení O složeném úročení hovoříme v případě, kdy se úročí jak původní částka, tak i připsané úroky. Celkový stav bankovního účtu po jednom roce zůstává při obou typech úročení shodný, a to 1040,- Kč. Následující rok se ale liší v tom, že úročena není pouze původní částka 1000,- Kč, ale 1040,- Kč. Na účtu tedy bude: 1040 + 1040 * 0,04 tj. 1081,60 Kč. P1 = P0 * (1+i) (BH) Pt = (SH) P0 * (1+i)t t – počet let i – úroková sazba
Porovnání Parametry
0. rok
1. rok
2. rok
3. rok
4. rok
5. rok
Jednoduché úročení
1000
1040
Složené úročení
1000
1040 1081,6 1124,9 1169,9 1216,7
1080
1120
1160
1200
Faktor času Při rozhodování o investicích – se posuzuje efektivnost jednotlivých investičních variant s různou dobou životnosti. Čím delší doba výstavby, tím déle jsou peněžní prostředky umrtveny, nepřinášejí žádné efekty, ani v podobě nejnižších depozitních úroky. Také výnosy během doby životnosti je třeba posuzovat z hlediska času: očekávané výnosy v budoucnosti jsou méně hodnotné než výnosy získané okamžitě. Při kalkulaci výhodnosti jednotlivých forem financování fixního majetku – při hledání optimální kapitálové struktury – např. pomocí vlastního kapitálu, úvaru obligací či pomocí leasingu se srovnávají náklady, které souvisí s použitím různých druhů kapitálu po dobu životnosti např. úrokové náklady z úvaru, nájemné při leasingové formě financování. Při stanovení prodejní, či nákupní ceny podniku, nebo jeho jednotlivých složek – konkrétní tržní cena je ovlivněna poptávkou a nabídkou na trhu. Jedna z metod aktualizované hodnoty majetku se opírá o kapitalizaci výnosů během určité doby jejíž trvání ovlivňuje tržní cenu.
Metody složeného úročení Budoucí hodnota jednorázového vkladu – úročitel Současná hodnota peněz – odúročitel Budoucí hodnota pravidelných plateb (anuity) – střadatel Budoucí platba pro dosažení budoucí hodnoty – fondovatel Kapitálová obnova (pravidelné splácení kapitálu) – umořovatel Současná hodnota budoucích plateb (anuity) – zásobitel
Úročitel Při složeném úrokování (kdy se úrok počítá nejen z vkladů, ale i z dosud připsaných úroků) se stanoví pomocí úročitele:
BH = SH * (1+i )n BH – hodnota konečná (budoucí hodnota) SH – hodnota počáteční (jistina) i – úroková míra n – počet let
Odúročitel Odúročitel neboli diskont se používá tam, kde je třeba budoucí příjem nebo výnos převést na současnou hodnotu
SH = BH * 1 / ( 1 + i )n BH – hodnota konečná (budoucí hodnota) SH – hodnota počáteční (jistina) i – úroková míra n – počet let
Střadatel Pomocí střadatele se určuje celková budoucí hodnota pravidelných vkladů (úspor) včetně úroků na určité období. Předpokládá se, že se pravidelné částky pravidelně ukládají koncem každého roku. Určí nám, kolik naspoříme, budeme-li pravidelně spořit určitou částku peněz.
BH = A * ((1 + i )n - 1) / i BH – celková výše úspor A – částka pravidelných úspor (anuita) Používá se pro: stanovení výše rezervních fondů, určení konečné hodnoty pravidelných úspor, výpočet hodnoty pravidelně vkládaných peněžních prostředků do investic
Fondovatel Pomocí fondovatele určíme současnou hodnotu pravidelných vkladů koncem každého období, zajišťující požadovanou konečnou hodnotu. Nebo-li kolik musíme pravidelně spořit, abychom naspořili požadovanou částku peněz A = BH * i / ((1 + i )n - 1) BH – celková výše úspor A – částka pravidelných úspor (anuita)
Umořovatel Pomocí umořovatele se umořuje výše pravidelných splátek (úmor) a úrokových plateb z dosud nezaplaceného úvěru. Dá se také využít pro výpočet ročních odpisů a úroku při propočtu efektivnosti investic pomocí metody ročních nákladů. Můžeme také využít pro výpočet splátek u hypotéčního, nebo investičního úvěru.
K = U * (i * (1+i )n ) / ((1+i )n - 1) K – roční splátka úvěru a úroků U – poskytnutý úvěr
Zásobitel Vzorec podobný odúročiteli, pokud hodnota budoucích výnosů je každý rok ve stejné výši Zásobitel se používá pro: výpočty současné hodnoty pravidelných budoucích výnosů během určité doby, výpočet diskontovaných provozních nákladů investiční varianty, jestli-že jsou roční náklady stejné pro výpočet vnitřního výnosového procenta při pravidelných peněžních příjmech z investice apod.
SH = BH * ((1+i )n - 1) / (i * (1+i )n ) SH = částka, která zajišťuje budoucí výnos BH = pravidelný budoucí výnos
