Arief Ikhwan Wicaksono, S.Kom, M.Cs
[email protected] masawik.blogspot.com @awik1212
Kalkulus (Bahasa Latin: calculus, artinya "batu kecil", untuk menghitung) adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit, turunan, integral, dan deret takterhingga. Kalkulus adalah ilmu mengenai perubahan, sebagaimana geometri adalah ilmu mengenai bentuk dan aljabar adalah ilmu mengenai pengerjaan untuk memecahkan persamaan serta aplikasinya. Kalkulus memiliki aplikasi yang luas dalam bidang-bidang sains, ekonomi, dan teknik; serta dapat memecahkan berbagai masalah yang tidak dapat dipecahkan dengan aljabar elementer.
Kalkulus memiliki dua cabang utama, kalkulus diferensial dan kalkulus integral yang saling berhubungan melalui teorema dasar kalkulus. Pelajaran kalkulus adalah pintu gerbang menuju pelajaran matematika lainnya yang lebih tinggi, yang khusus mempelajari fungsi dan limit, yang secara umum dinamakan analisis matematika.
Dalam matematika, bilangan irasional adalah bilangan riil yang tidak bisa dibagi (hasil baginya tidak pernah berhenti). Dalam hal ini, bilangan irasional tidak bisa dinyatakan sebagai a/b, dengan a dan b sebagai bilangan bulat dan b tidak sama dengan nol. Jadi bilangan irasional bukan merupakan bilangan rasional. Contoh yang paling populer dari bilangan irasional ini adalah bilangan π, , dan bilangan e.
Bilangan π sebetulnya tidak tepat, yaitu kurang lebih 3.14, tetapi = 3,1415926535.... atau = 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510...
Untuk bilangan : = 1,4142135623730950488016887242096.... atau = 1,41421 35623 73095 04880 16887 24209 69807 85696 71875 37694 80731 76679 73798..
dan untuk bilangan e: = 2,7182818....
Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan sebagai a/b dimana a, b bilangan bulat dan b tidak sama dengan 0. dimana batasan dari bilangan rasional adalah mulai dari selanga (-∞, ∞).
Bilangan bisa dikatakan dapat dibagi menjadi 2 sekup besar yaitu bilangan rasional dan bilangan irasional. Bila kita mengatakan bilangan rasional berarti di dalamnya sudah mencakup bilanganbilangan lain seperti: bilangan bulat, bilangan asli, bilangan cacah, bilangan prima dan bilangan-bilangan lain yang menjadi subset dari bilangan rasional.
Contoh dari bilangan rasional: Jika a/b = c/d maka, ad = bc.
Pecahan terdiri dari pembilang dan penyebut.
50/100 = 1/2
Hakikat transaksi dalam bilangan pecahan adalah bagaimana cara menyederhanakan pembilang dan penyebut. Penyederhanaan pembilang dan penyebut akan memudahkan dalam operasi aritmetika sehingga tidak menghasilkan angka yang terlalu besar tetapi tetap mempunyai nilai yang sama. Contohnya: bila dibandingkan antara 50/100 dan ½ maka lebih mudah dan sederhana melihat angka ½. 50/100 terlihat sebagai ”angka raksasa” yang kelihatannya lebih kompleks dibandingkan ½, padahal sebenarnya kedua angka ini tetap memiliki nilai yang sama. Pada operasi penjumlahan dan pengurangan pada pecahan selain disederhanakan juga penyebutnya harus disamakan dengan bilangan yang sama, sedangkan pada operasi perkalian caranya adalah pembilang dikali pembilang, penyebut dikali penyebut. dan dalam operasi pembagian, pecahan yang di kanan dibalikkan, setelah dibalikkan, tanda : diubah menjadi tanda kali (X), seperti 3/4 : 5/6 = 3/4 X 6/5 = 18/20 = 9/10.
Bilangan bulat terdiri dari bilangan cacah (0, 1, 2, 3, ...) dan negatifnya (-1, -2, -3, ...; -0 adalah sama dengan 0 sehingga tidak lagi dimasukkan secara terpisah). Bilangan bulat dapat dituliskan tanpa komponen desimal atau pecahan.
Himpunan semua bilangan bulat dalam matematika dilambangkan dengan Z,berasal dari Zahlen (bahasa Jerman untuk "bilangan").
Himpunan Z tertutup di bawah operasi penambahan dan perkalian. Artinya, jumlah dan hasil kali dua bilangan bulat juga bilangan bulat. Namun berbeda dengan bilangan asli, Z juga tertutup di bawah operasi pengurangan. Hasil pembagian dua bilangan bulat belum tentu bilangan bulat pula, karena itu Z tidak tertutup di bawah pembagian.
Bilangan cacah adalah himpunan bilangan bulat yang tidak negatif, yaitu {0, 1, 2, 3 ...}. Dengan kata lain himpunan bilangan asli ditambah 0.Jadi, bilangan cacah harus bertanda positif
Bilangan komposit adalah bilangan asli lebih besar dari 1 yang bukan merupakan bilangan prima. Bilangan komposit dapat dinyatakan sebagai faktorisasi bilangan bulat, atau hasil perkalian dua bilangan prima atau lebih. Sepuluh bilangan komposit yang pertama adalah 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, dan 18. Atau bisa juga disebut bilangan yang mempunyai faktor lebih dari dua.
Ada pertanyaan?
Contoh : Himpunan semua bilangan bulat positif yang lebih kecil dari pada 5, dapat ditulis sebagai A = {1,2,3,4}. Himpunan di atas dapat juga dituliskan dalam
bentuk
A = { x | x adalah bilangan bulat dan 0 < x < 5} yang dibaca “ A adalah himpunan x sedemikian
sehingga x adalah bilangan bulat dan 0 < x < 5”.
Dalam kalkulus sering muncul himpunan bilangan nyata tertentu, yang disebut selang, yang secara geometris berkaitan dengan ruas garis.,
selang terbuka dari a ke b berisi semua bilangan diantara a dan b dinyatakan dengan lambang (a,b). Dalam notasi pembentuk himpunan dituliskan dengan (a,b) ={x | a < x < b}. Perhatikan bahwa kedua titik ujung selang, yaitu a dan b tidak termasuk anggota himpunan tersebut. Ini ditandai dengan tanda kurung biasa ( ) dan dengan bulatan kosong pada gambar dibawah ini. a
b
selang tertutup dari a ke b berisi semua bilangan diantara a dan b dinyatakan dengan lambang [a,b]. Dalam notasi pembentuk himpunan dituliskan dengan [a,b] = {x a ≤ x ≤ b} . Di sini kedua titik ujung selang termasuk anggota himpunan dan ditandai dengan kurung siku [ ] dan dengan bulatan penuh pada gambar
a
b
Notasi
Deskripsi
(a,b)
{x | a < x < b}
[a,b]
{x |a ≤ x ≤ b}
(a,b]
{x |a < x ≤ b}
[a,b)
{x |a ≤ x < b}
(a,∞)
{x |x > a}
[a,∞)
{x |x ≥ a}
(-∞,b)
{x |x < b}
(-∞,b]
{x |x ≤ b}
(- ∞ , ∞ )
Himpunan semua bilangan nyata, R
Notasi dan Tabel sembilan selang yang mungkin tersebut menggunakan asumsi bahwa a
Ada pertanyaan?
