ANALYTISCHE MODELLERING VERVORMINGSGEDRAG EN KRACHTSWERKING TUNNELLINING VAN DE GROENE HART TUNNEL

ANALYTISCHE MODELLERING VERVORMINGSGEDRAG EN KRACHTSWERKING TUNNELLINING VAN GROENE HART TUNNEL

ANALYTISCHE MODELLERING VERVORMINGSGEDRAG EN KRACHTSWERKING TUNNELLINING VAN DE GROENE HART TUNNEL

ring 1 langsvoeg

ring 2 langsvoeg

ringvoegkoppeling



COLOFON ANALYTISCHE MODELLERING VERVORMINGSGEDRAG EN KRACHTSWERKING TUNNELLINING VAN GROENE HART TUNNEL EINDRAPPORT

Auteur : C.W. Tang Studienummer : 9823632 Technische Universiteit Delft Faculteit der Civiele Techniek en Geowetenschappen Afstudeerrichting: constructieve waterbouw Stevinweg 1, Delft Opdrachtgever: Projectorganisatie HSL-Zuid Projectbureau Noordelijk-Holland Bospolder 5, Leiderdorp Afstudeercommissie: Prof. dr. ir. J.C. Walraven Dr. ir. C. van der Veen Ir. C.B.M. Blom Dr. ir. A.G. Kooiman Dr. ing. A. Romeijn Ir. J.M.J. Spijkers

TU Delft TU Delft TU Delft / Holland Railconsult HSL-Zuid TU Delft TU Delft

Leiderdorp, november 2002

3



Voorwoord Het rapport is geschreven in opdracht van het projectorganisatie Hogesnelheidslijn-Zuid (HSL-Zuid).

projectbureau

Noordelijk

Holland,

Dit rapport maakt deel uit van mijn afstudeeronderzoek aan de faculteit Civiele Techniek en Geowetenschappen van de Technische Universiteit Delft. In dit rapport zal een beschouwing van een analytisch rekenmodel worden gegeven van het constructiegedrag van de tunnellining (in het bijzonder radiale vervormingen en krachtsverdelingen), geïllustreerd aan de hand van de Groene Hart Tunnel. Met dit model kan duidelijk en snel inzicht verschaft worden in het vervormingsgedrag en de krachtswerking van de tunnellining en consequenties van parameters zoals grond hierop. Het resultaat van het rekenmodel zal ter verificatie vergeleken worden met een raamwerkberekening. Vervolgens wordt met behulp van een parameterstudie de gevoeligheid van de modelresultaten onderzocht voor een aantal invoerparameters, zoals o.a. de grondbelasting en de stijfheid van grond en lining. Bij dit afstudeeronderzoek ben ik veel dank verschuldigd aan dr. ir. C. van der Veen (TU Delft), ir. C. B. M. Blom (TU Delft/Holland Railconsult), dr. ir. A. G. Kooiman (HSL-Zuid) en dr. ing. A. Romeijn (TU Delft) voor hun goede begeleiding.

C.W. Tang Leiderdorp, november 2002

I


II


Samenvatting Om tot een goed ontwerp van gesegmenteerde betonnen boortunnels te komen is het noodzakelijk om het gedrag van de tunnellining goed te begrijpen en te voorspellen. Om het tunnellininggedrag te voorspellen wordt dit vaak in de praktijk vertaald in modellen. Bij het ontwerpen van boortunnels kan globaal onderscheid gemaakt worden tussen het gedrag van de tunnel als ring (ringwerking) en het gedrag als ligger (liggerwerking). In dit afstudeeronderzoek wordt vooral aandacht besteed aan het gedrag (in het bijzonder radiale vervormingen en krachtsverdelingen) van de tunnellining t.g.v. de ringwerking. Het ontwerpen van een liningconstructie is relatief eenvoudig, omdat veel analytische en numerieke ontwerpmodellen in de praktijk beschikbaar zijn. Om daarmee een nauwkeurig lininggedrag te voorspellen is daarentegen niet eenvoudig. De beschikbare analytische modellen voor gesegmenteerde tunnellinings kunnen een globale inschatting geven van het werkelijke constructiegedrag. Deze modellen zijn in de meeste gevallen eenvoudig en de vraag is dan ook in hoeverre deze modellen geschikt zijn voor ontwerpdoeleinden. Een drie dimensionale (eindige elementen) modellering van de tunnellining geeft een meer realistischer (en nauwkeuriger) voorspelling van het lininggedrag. Deze modellen zijn echter zeer uitgebreid en complex, waardoor het maken van analyses veel tijd kost. De juistheid van de verkregen resultaten zijn vaak moeilijk te achterhalen. Om toch een model te verkrijgen dat zowel snel en eenvoudig is te hanteren, als nauwkeurige voorspellingen kan geven van het lininggedrag, is in dit afstudeeronderzoek een dubbelrings analytisch rekenmodel beschouwd en vervolgens gevalideerd aan de hand van een raamwerkberekening voor het constructiegedrag van een gesegmenteerde betonnen tunnellinning. Dit rekenmodel wordt geïllustreerd aan de hand van de Groene Hart Tunnel. Het model van ir. C.B.M. Blom [lit. 1] vormt de basis van dit analytische rekenmodel. Voor een willekeurige dwarsdoorsnede van de Groene Hart Tunnel is het mogelijk om m.b.v. dit analytische rekenmodel snel inzicht te verkrijgen in de radiale vervormingen en snedekrachten, rekening houdend met de invloeden van langsvoegen en ringvoegen. Voor berekeningen van de lining van de Groene Hart Tunnel heeft de aannemer een enkele monoliete ring toegepast, zonder de invloeden van de langsvoegen en de ringvoegen te betrekken. Onderzocht zal worden in hoeverre de tunnellining gemodelleerd kan worden met één enkele ring en onder welke omstandigheden de lining gemodelleerd moet worden met twee (of meerdere) gekoppelde ringen. Het analytische rekenmodel voor de tunnellining bestaat uit twee gekoppelde ringen. In de ringvoegen tussen de twee ringen wordt een overdracht van koppelkrachten verondersteld. Deze overdracht wordt gemodelleerd door radiale lineaire translatieveren. De segmenten in de lining zijn geschematiseerd als staafelementen met een normaalstijfheid en een buigstijfheid. De

[lit. 1] Blom, C.B.M., Preliminary Thesis “Design Philosophy of Concrete Linings of Shield Driven Tunnels in soft soils”. Delft: Delft University of Technology, 2002.

III


langsvoegen in de lining worden gemodelleerd door rotatieveren met rotatiestijfheden volgens de Janen theorie [lit. 1]. Het model van de tunnellining is stapsgewijs opgebouwd, met een oplopende complexiteit: 1.

De modellering is gestart met het opstellen van een model voor een homogene tunnellining, waarbij alleen een uniforme radiaal gerichte belasting 0 is meegenomen. De tunnellining zal t.g.v. de optredende normaalkrachten een compressie ondergaan. Buigende momenten treden niet op.

2.

Het voorgaande model is vervolgens belast door enkel de ovaliserende belasting 2. De tunnellining zal t.g.v. de optredende buigende momenten een ovalisering ondergaan. Compressie t.g.v. de optredende normaalkrachten is gering, omdat de normaalkrachten t.g.v. 2 klein zijn.

3.

Vervolgens wordt dit model zowel door de uniforme belasting 0 als door de ovaliserende belasting 2 belast. De tunnellining zal t.g.v. de optredende normaalkrachten en buigende momenten een compressie en een ovalisering ondergaan.

4.

De tunnellining wordt gemodelleerd met een uniforme belasting 0 en een ovaliserende belasting 2, waarbij de invloeden van langsvoegen zijn toegevoegd. Het ringsysteem wordt slapper door de aanwezigheid van langsvoegen.

5.

Het uiteindelijke model is het modelleren van de tunnellining met een uniforme belasting 0 en een ovaliserende belasting 2, waarbij de invloeden van langsvoegen en ringvoegkoppelingen zijn toegevoegd. Door de ringvoegkoppelingen neemt de systeemstijfheid weer toe.

In alle fasen van de modelopbouw is voor een willekeurige doorsnede van de Groene Hart Tunnel het verloop van radiale verplaatsingen, de normaalkrachten en buigende momenten bepaald. Deze resultaten zijn vergeleken met die uit de raamwerkberekening. Op basis van deze vergelijking kan geconcludeerd worden dat het analytische rekenmodel voor een gekoppeld gesegmenteerd ringsysteem in het algemeen een nauwkeurige voorspelling kan geven voor de radiale verplaatsingen en de normaalkrachten. De verschillen met de raamwerkberekening bedragen minder dan 0.5%. Het bepalen van de maximale buigende momenten geeft echter een groter verschil. In de beschouwde doorsnede was dit verschil 16.8% met de raamwerkberekening. Het verschil wordt veroorzaakt door de invloed van de grondbedding op de buigende momenten t.g.v de koppelkrachten. In het rekenmodel is verondersteld dat, in een ring met grondondersteuning, de buigende momenten t.g.v de koppelkrachten lineair afnemen met het ringaandeel in de grondbelasting. Dat is echter niet het geval, waardoor de verkregen waarden voor de buigende momenten uit het rekenmodel groter zijn dan die uit de raamwerkberekening: een bovengrensbenadering voor de buigende momenten. De buigende momenten t.g.v. de koppelkrachten zullen meer dan lineair afnemen. Indien dit effect in rekening wordt gebracht in de vorm van een reductiefactor op de buigende momenten, zal het verschil voor de maximale buigende momenten ongeveer 6.1% bedragen.

IV


Met behulp van een parameterstudie is vervolgens de gevoeligheid van de resultaten uit het rekenmodel voor verschillende invoerparameters onderzocht. Hierbij zijn de parameters m.b.t. de geometrie van de Groene Hart Tunnel constant gehouden. De onderzochte parameters zijn: 

  

de grondbelasting: 1. door het variëren van de diepteligging van de tunnellining (constante verhouding tussen ovaliserende belasting en uniforme belasting) 2. door het variëren van de ovaliserende belasting t.o.v. de uniforme belasting de elasticiteitsmodulus van beton de koppelstijfheid van ringvoegkoppelingen de elasticiteitsmodulus van grond

Een aantal relaties t.a.v. de veranderingen in de radiale verplaatsingen en snedekrachten als gevolg van het variëren van één van de beschouwde parameters zijn onderzocht. De resultaten uit de parameterstudie komen overeen met de verwachtingen. De parameterstudie met het variëren van de koppelstijfheid van de ringvoegkoppelingen leidt tot de opvatting dat de tunnellining, bij de gegeven geometrie en belastingen, voor de radiale verplaatsingen en de normaalkrachten bepaald kan worden met een enkelringsmodel, waarin de langsvoegen impliciet of expliciet worden meegemodelleerd. Het is gebleken dat de invloed van de ringvoegkoppelingen op de radiale verplaatsingen en de normaalkrachten gering zijn, wanneer de ring elastisch ondersteund wordt door de grond. De maximale buigende momenten zullen echter onderschat worden, omdat de invloed van de koppelingen op de buigende momenten relatief groot is. Uit de resultaten van de parameterstudie volgt dat het verschil in radiale verplaatsing en normaalkracht tussen een enkele ring en een gekoppeld ringsysteem met koppelstijfheid gevarieerd van 0.01kv tot 10kv (met kv=1*106N/mm) kleiner is dan respectievelijk 5% en 1%. Bij een variatie van de koppelstijfheid (0.01kv tot 10kv) in de parameterstudie blijkt dat de onderschatting van het maximum buigend moment in een enkele ring minder dan 37% bedraagt dan het maximum buigend moment in een gekoppelde ring. Voor het bepalen van de radiale verplaatsingen en de normaalkrachten is het mogelijk om de tunnellining onder deze omstandigheden (geometrie en belasting) te modelleren met een enkele ring. De maximale buigende momenten zullen echter aan de hand van een gekoppeld ringsysteem bepaald moeten worden.

V


VI


Inhoudsopgave Voorwoord _______________________________________________________________ I Samenvatting ____________________________________________________________ III 1 INLEIDING _____________________________________________________________ 1 1.1

Probleembeschrijving ______________________________________________________________ 1

1.2

Probleemstelling __________________________________________________________________ 2

1.3

Doelstelling ______________________________________________________________________ 2

1.4

Leeswijzer _______________________________________________________________________ 2

1.5

Lijst van notaties en symbolen _______________________________________________________ 3

2 UITGANGSPUNTEN MODELLERING ______________________________________________ 7 2.1

Tekenafspraak en assenstelsel_______________________________________________________ 7

2.2

Geometrie _______________________________________________________________________ 8

2.3

Materiaal ________________________________________________________________________ 9

2.4

Bedding _________________________________________________________________________ 9

2.5

Belasting ________________________________________________________________________ 9

2.5.1 Modellering grondbelasting ___________________________________________________________ 9 2.6

Opzet modellering ________________________________________________________________ 15

3 ENKELE RING MET UNIFORME BELASTING ________________________________________ 17 3.1

Analytische berekening ring ________________________________________________________ 17

3.2

Raamwerkberekening ring _________________________________________________________ 19

3.3

Vergelijking berekeningen__________________________________________________________ 20

4 ENKELE RING MET OVALISERENDE BELASTING _____________________________________ 23 4.1


4.2


4.3


5 ENKELE RING MET UNIFORME EN OVALISERENDE BELASTING ____________________________ 27 5.1


5.2


5.3


6 ENKELE RING MET UNIFORME EN OVALISERENDE BELASTING, EN LANGSVOEGEN _______________ 31 6.1


6.1.1 Analytische beschouwing rotatiestijfheid langsvoeg _______________________________________ 31 6.1.2 Situatie uitsluiting vervorming segmenten en grondreactie __________________________________ 33 6.1.3 Situatie met vervorming segmenten en grondreactie ______________________________________ 36 6.2


6.3


VII


7 DUBBELE RING MET UNIFORME EN OVALISERENDE BELASTING, LANGSVOEGEN EN RINGVOEGKOPPELINGEN_____43 7.1


7.1.1 Analytische beschouwing ringvoegkoppelingen ___________________________________________43 7.1.1.1 Lokale invloed koppelkracht op langsvoegen ____________________________________46 7.1.2 Situatie uitsluiting vervorming segmenten en grondreactie __________________________________48 7.1.2.1 Methode 1: terugrekening uit topverplaatsingen __________________________________53 7.1.2.2 Methode 2: terugrekening uit topverplaatsingen met extra randvoorwaarde ____________55 7.1.3 Situatie met vervorming segmenten en grondreactie _______________________________________61 7.2


7.3

Vergelijking berekeningen _________________________________________________________ 74

7.3.1 Vergelijking radiale verplaatsing_______________________________________________________74 7.3.2 Vergelijking normaalkracht en buigend moment___________________________________________76 7.3.2.1 Lokale invloed koppelkracht op ringvoegkoppelingen______________________________78 7.3.2.2 Bepaling buigend moment voor gekoppeld gesegmenteerd ringsysteem_______________80

8 RESULTATEN BEREKENINGEN ________________________________________________ 83 8.1

Resultaten enkele ring met uniforme belasting _________________________________________ 83

8.2

Resultaten enkele ring met ovaliserende belasting ______________________________________ 84

8.3

Resultaten enkele ring met uniforme en ovaliserende belasting ____________________________ 84

8.4

Resultaten enkele ring met grondbelasting en langsvoegen _______________________________ 85

8.5

Resultaten dubbele ring met grondbelasting, langsvoegen en ringvoegkoppelingen ____________ 86

8.6

Interpretatie resultaten ____________________________________________________________ 87

9 PARAMETERSTUDIE ______________________________________________________ 91 9.1

Uitgangspunten parameterstudie ____________________________________________________ 91

9.1.1 Constante modelparameters _________________________________________________________91 9.1.2 Gevarieerde modelparameters________________________________________________________92 9.1.3 Onderzochte relaties m.b.t. modelparameters ____________________________________________94 9.2

Resultaten variatie modelparameters ________________________________________________ 96

9.2.1 9.2.2 9.2.3 9.2.4 9.2.5 9.3

Variatie diepteligging tunnellining ______________________________________________________96 Variatie ovaliserende belasting t.o.v. uniforme belasting ___________________________________100 Variatie elasticiteitsmodulus beton ____________________________________________________103 Variatie koppelstijfheid _____________________________________________________________111 Variatie elasticiteitsmodulus grond ____________________________________________________118

Conclusies parameterstudie_______________________________________________________ 125

10 CONCLUSIES EN AANBEVELINGEN ____________________________________________ 127 10.1 Conclusies ____________________________________________________________________ 127 10.2 Aanbevelingen _________________________________________________________________ 128

Literatuur ______________________________________________________________ 129 Bijlage 1: Beschrijving raamwerkprogramma LDesign ______________________________ 130 Bijlage 2: Invoerparameters raamwerkprogramma LDesign__________________________ 132 Bijlage 3: Sekant methode uitsluiting grondreactie________________________________ 133 Bijlage 4: Tangent methode uitsluiting grondreactie _______________________________ 138 Bijlage 5: Sekant methode met grondreactie ____________________________________ 147 Bijlage 6: Tangent methode met grondreactie____________________________________ 150

VIII


HOOFDSTUK

1

Inleiding

De tunnellining vormt een grote kostenpost in een boortunnelproject. Het is belangrijk dat deze tunnelconstructie zo goed mogelijk wordt ontworpen. Schades (door scheurvorming e.d.) moeten zo min mogelijk voorkomen. Een goed ontwerp is noodzakelijk om kosten t.a.v. bouw, reparatie en onderhoud zo laag mogelijk te houden. Om tot een goed ontwerp van gesegmenteerde betonnen boortunnels te komen is het noodzakelijk om het gedrag van de tunnellining goed te begrijpen en te voorspellen. Om het tunnellininggedrag te voorspellen wordt dit vaak in de praktijk vertaald in modellen.

1.1

PROBLEEMBESCHRIJVING

Bij het ontwerpen van boortunnels kan globaal onderscheid gemaakt worden tussen het gedrag van de tunnel als ring (ringwerking in dwarsrichting) en het gedrag als ligger (liggerwerking in langsrichting). In dit afstudeeronderzoek wordt vooral aandacht besteed aan het gedrag van de tunnellining t.g.v. de ringwerking. Het ontwerpen van een liningconstructie is relatief eenvoudig, omdat veel analytische en numerieke ontwerpmodellen in de praktijk beschikbaar zijn. Om daarmee een nauwkeurig lininggedrag te voorspellen is daarentegen niet eenvoudig. De beschikbare analytische modellen voor gesegmenteerde tunnellinings kunnen een globale inschatting geven van het werkelijke constructiegedrag. Deze modellen zijn in de meeste gevallen eenvoudig en de vraag is dan ook in hoeverre deze modellen geschikt zijn voor ontwerpdoeleinden. Een drie dimensionale (eindige elementen) modellering van de tunnellining geeft een meer realistischer (nauwkeuriger) voorspelling van het lininggedrag. Deze modellen zijn echter zeer uitgebreid en complex, waardoor het maken van analyses veel tijd kost. De juistheid van de verkregen resultaten zijn vaak moeilijk te achterhalen. Om toch een model te verkrijgen dat zowel snel en eenvoudig is te hanteren, als nauwkeurige voorspellingen kan geven van het lininggedrag, zal in dit afstudeeronderzoek een analytische rekenmodel beschouwd en vervolgens gevalideerd worden aan de hand van een raamwerkmodel voor het constructiegedrag van een gesegmenteerde betonnen tunnellinning. Dit rekenmodel wordt geïllustreerd aan de hand van de Groene Hart Tunnel. Het model van ir. C.B.M. Blom [lit. 1] vormt de basis van dit analytische rekenmodel.

1


1.2

PROBLEEMSTELLING

Voor het lininggedrag van de Groene Hart Tunnel is geen geschikte analytische rekenmodel beschikbaar (rekening houdend met de invloeden van langsvoegen en ringvoegen), waarmee snel inzicht verschaft kan worden in de radiale vervormingen en snedekrachten. Voor berekeningen van de lining van de Groene Hart Tunnel heeft de aannemer een enkele monoliete ring (met grondondersteuning) toegepast, zonder rekening te houden met de invloeden van de langsvoegen en ringvoegen.

1.3

DOELSTELLING

Primaire doelstelling: Voor een willekeurige (ronde) dwarsdoorsnede van de Groene Hart Tunnel dient een analytische rekenmodel ontwikkeld en gevalideerd te worden aan de hand van een raamwerkberekening, waarmee snel inzicht verkregen kan worden in de radiale vervormingen en de krachtsverdelingen (snedekrachten), rekening houdend met de invloeden van langsvoegen en ringvoegen. Secundaire doelstelling: Onderzocht zal worden in hoeverre de tunnellining gemodelleerd kan worden met één enkele ring en onder welke omstandigheden de lining gemodelleerd moet worden met twee (of meerdere) gekoppelde ringen.

1.4

LEESWIJZER

De opbouw van dit rapport is als volgt: In hoofdstuk 2 zijn de uitgangspunten weergegeven, waarop de modellering is opgebouwd. Tevens zal hierin de opbouw van het model voor de tunnellining beschreven worden. In hoofdstuk 3 wordt een model opgesteld voor een homogene tunnellining, die alleen belast wordt door een uniforme belasting. Vervolgens wordt het model belast door een ovaliserende belasting, waarvan de analyse is opgenomen in hoofdstuk 4. Een combinatie van deze belastingen op de lining is beschouwd in hoofdstuk 5. In hoofdstuk 6 wordt de complexiteit verhoogd door het toevoegen van langsvoegen aan de homogene tunnelring, waardoor deze gesegmenteerd wordt. Hoofdstuk 7 behandelt een model voor twee gesegmenteerde tunnelringen, waarbij samenwerking in krachtsafdracht wordt bereikt door de aanwezigheid van ringvoegkoppelingen. Interpretatie van de resultaten verkregen uit de modelleringstappen staat in hoofdstuk 8. In hoofdstuk 9 zal een parameterstudie worden uitgevoerd met betrekking tot een aantal modelparameters.

2


Conclusies en aanbevelingen volgen in hoofdstuk 10.

1.5

LIJST VAN NOTATIES EN SYMBOLEN

Hieronder volgt een lijst van notaties en symbolen: Latijnse hoofdletters: A oppervlakte van de doorsnede van een half segment B stijfheidsfactor die de buigstijfheid van segmenten in rekening brengt Cx stijfheidsfactor die de stijfheid van langsvoegen in de horizontale richting in rekening brengt Cy stijfheidsfactor die de stijfheid van langsvoegen in de verticale richting in rekening brengt Dinw inwendige diameter van de tunnel Duitw uitwendige diameter van de tunnel Eb elasticiteitsmodulus van beton elasticiteitsmodulus van grond Eg Faxiaal,max maximale belasting in axiale richting I traagheidsmoment van de doorsnede van de tunnellining K’(0) horizontale gronddrukcoëfficiënt L lengte van een segment in tangentiële richting N0 normaalkracht t.g.v. uniforme belasting 0 normaalkracht t.g.v. initiële uniforme belasting 0,i N0,i N2 normaalkracht t.g.v. ovaliserende belasting 2 N2,i normaalkracht t.g.v. initiële ovaliserende belasting 2,i normaalkracht t.g.v. ovaliserende belasting 2 t.p.v. de flank van de ring N2,flank N2,top normaalkracht t.g.v. ovaliserende belasting 2 t.p.v. de top van de ring Nbodem totale normaalkracht t.p.v. de bodem van de ring totale normaalkracht t.p.v. de flank van de ring Nflank Ntop totale normaalkracht t.p.v. de top van de ring Nu maximale opneembare normaalkracht in betonnen segment buigend moment t.g.v. ovaliserende belasting 2 M2 M2,i buigend moment t.g.v. initiële ovaliserende belasting 2,i M2,flank buigend moment t.g.v. ovaliserende belasting 2 t.p.v. de flank van ring buigend moment t.g.v. ovaliserende belasting 2 t.p.v. de top van ring M2,top Mi,j buigend moment t.p.v. locatie i op liningomtrek in ring j Mbodem totale buigend moment t.p.v. de bodem van de ring totale buigend moment t.p.v. de flank van de ring Mflank Mgrens grenswaarde voor buigend moment tussen het lineaire en het niet lineaire gebied van de M- relatie vector met buigende momenten voor stap n {Mi}stap n {Mi}stap n vector met buigende momenten voor stap n in een incrementele berekening (tangent methode) {Mi}tot sommatie van {M}stap n in een directe berekening (sekant methode) of {M}stap n in een incrementele berekening (tangent methode) Mtop totale buigend moment t.p.v. de top van de ring koppelkracht t.g.v. ringvoegkoppelingen t.p.v. locatie i op liningomtrek Pi [S] stijfheidsmatrix [S]increment stijfheidsmatrix voor incrementele berekening (tangent methode) 3

[mm2] [-] [-] [-] [mm] [mm] [MPa] [MPa] [N] [mm4] [-] [mm] [N] [N] [N] [N] [N] [N] [N] [N] [N] [N] [Nmm] [Nmm] [Nmm] [Nmm] [Nmm] [Nmm] [Nmm] [Nmm] [Nmm] [Nmm] [Nmm] [Nmm] [N] [N/mm3] [N/mm3]


X-as Y-as Z-as

lokale as in de axiale richting, parallel met de ringas van de tunnel lokale as in de tangentiële richting lokale as in de radiale richting

Latijnse kleine letters: b breedte van een half segment c' cohesie van grond constante rotatiestijfheid van langsvoeg i ci cri reducerende rotatiestijfheid van langsvoeg i vector met reducerende rotatiestijfheid van langsvoeg i voor stap n {cri}stap n d dikte van de tunnellining {f} belastingsvector fb betontreksterkte f’b betondruksterkte {f}increment belastingsvector voor incrementele berekening (tangent methode) h diepte tunnelas tot maaiveld hi dikte van grondlaag i hklei+veen dikte klei+veenpakket diepte van de grondwaterstand tot de ringas hw i natuurlijk getal (locatie op de liningomtrek) j ringnummer kv koppelstijfheid van de ringvoegkoppelingen lv contactvlakdikte van de langsvoeg n natuurlijk getal (belastingsterm in fourierreeks) r systeemstraal tot hartlijn van de tunnellining u radiale verplaatsing van de ring u0 radiale verplaatsing t.g.v. uniforme belasting 0 radiale flankverplaatsing van de ring t.g.v. uniforme belasting 0 u0,flank u0,gem gemiddelde radiale verplaatsing t.p.v. top van de ring u0,i radiale verplaatsing t.g.v. initiële uniforme belasting 0,i radiale topverplaatsing van de ring t.g.v. uniforme belasting 0 u0,top radiale verplaatsing t.g.v. ovaliserende belasting 2 u2 u2,flank radiale flankverplaatsing van de ring t.g.v. ovaliserende belasting 2 radiale verplaatsing t.g.v. initiële ovaliserende belasting 2,i u2,i radiale topverplaatsing van de ring t.g.v. ovaliserende belasting 2 u2,top u2.25,gem gemiddelde radiale verplaatsing t.p.v. flank van de ring totale radiale bodemverplaatsing van de ring ubodem radiale verplaatsing t.g.v. de normaalstijfheid van de ring uEA uEI radiale verplaatsing t.g.v. de buigstijfheid van de ring totale radiale flankverplaatsing van de ring uflank ui,j radiale verplaatsing t.p.v. locatie i op liningomtrek in ring j ulv radiale verplaatsing t.g.v. hoekverdraaiingen in de langsvoegen radiale verplaatsing van gekoppelde gesegmenteerde ringsysteem ulv+P zonder buigstijfheid van segmenten utop totale radiale topverplaatsing van de ring totale radiale verplaatsing van gekoppelde gesegmenteerde ringsysteem utot initiële horizontale topverplaatsing van de ring ux0 uxB horizontale verplaatsing van punt B (=½) t.g.v. rotaties in langsvoegen initiële verticale flankverplaatsing van de ring uy0 4

[-] [-] [-]

[mm] [-] [Nmm/rad] [Nmm/rad] [Nmm/rad] [mm] [MPa] [MPa] [MPa] [MPa] [mm] [mm] [mm] [mm] [-] [-] [N/mm] [mm] [-] [mm] [mm] [mm] [mm] [mm] [mm] [mm] [mm] [mm] [mm] [mm] [mm] [mm] [mm] [mm] [mm] [mm] [mm] [mm] [mm] [mm] [mm] [mm] [mm]


uyB verticale verplaatsing van punt B (=½) t.g.v. rotaties in langsvoegen [mm] u=90,x0=0,y0=0 horizontale flankverplaatsing t.g.v. rotaties in langsvoegen [mm] zonder ux0 en uy0 u radiale verplaatsingsverschil tussen twee ringen [mm] ui radiale verplaatsingsverschil tussen twee ringen t.p.v. locatie i op [mm] liningomtrek {ui} vector met verplaatsingsverschillen t.p.v. de ringvoegkoppelingen [mm] tussen twee ringen {ui}stap n vector met verplaatsingsverschillen t.p.v. de ringvoegkoppelingen [mm] tussen twee ringen voor stap n {ui}increment,stapn vector met verplaatsingsverschillen t.p.v. ringvoegkoppelingen tussen [mm] twee ringen voor stap n in een incrementele berekening (tangent methode) {ui}tot sommatie van {u}stap n in een directe berekening (sekant methode) [mm] of {u}stap n in een incrementele berekening (tangent methode) x afstand tot puntlast P [mm] Griekse letters: 0 het aandeel van de initiële uniforme belasting 0,i dat opgenomen wordt door de grond 2 het aandeel van de initiële ovaliserende belasting 2,i dat opgenomen wordt door de grond  waarde voor meewerkende breedte lv,i poolhoek van langsvoeg i in de liningomtrek  rekvervorming grens grenswaarde voor hoekverdraaiing in de langsvoeg tussen het lineaire en het niet lineaire gebied van de M- relatie i hoekverdraaiing in de langsvoeg t.p.v. locatie i op liningomtrek lv hoekverdraaiing in de langsvoeg {i}stap n vector met hoekverdraaiingen in langsvoeg voor stap n {i}stap n vector met hoekverdraaiingen in langsvoeg voor stap n in een incrementele berekening (tangent methode) sommatie van {}stap n in een directe berekening (sekant methode) {i}tot of {}stap n in een incrementele berekening (tangent methode)  wrijvingscoëfficiënt i volumegewicht van grondlaag i w volumegewicht van water ’ hoek van inwendige wrijving  poolhoek bij gebruik van poolcoördinaten A starre lichaamsrotatie om punt A (=-1/2) i poolhoek bij gebruik van poolcoördinaten t.p.v. locatie i op liningomtrek 0 uniforme belasting op de tunnellining 0,i initiële uniforme belasting op de tunnellining 2 ovaliserende belasting op de tunnellining 2,i initiële ovaliserende belasting op de tunnellining flank horizontale grondspanning ter plaatse van de flank van de ring gr elastische grondreactie door vervormen van de ring r radiale belasting op de tunnellining r,bodem radiale grondspanning ter plaatse van de bodem van de ring n nde amplitude van de radiale belasting op de tunnellining 5

[-] [-] [mm] [rad], [] [-] [rad], [] [rad], [] [rad], [] [rad], [] [rad], [] [rad], [] [-] [kN/m3] [kN/m3] [] [rad], [] [rad], [] [rad], [] [MPa] [MPa] [MPa] [MPa] [MPa] [MPa] [MPa] [MPa] [MPa]


r,flank r,ringas r,ringas,eff r,top t top v,ringas w,ringas

radiale grondspanning ter plaatse van de flank van de ring radiale grondspanning ter hoogte van de ringas radiale effectieve grondspanning ter hoogte van de ringas radiale grondspanning ter plaatse van de top van de ring tangentiële belasting op de tunnellining verticale grondspanning ter plaatse van de top van de ring verticale grondspanning ter hoogte van de ringas waterspanning ter hoogte van de ringas

6

[MPa] [MPa] [MPa] [MPa] [MPa] [MPa] [MPa] [MPa]


HOOFDSTUK

2

Uitgangspunten modellering

In dit hoofdstuk worden de uitgangspunten beschouwd met betrekking tot:     

tekenafspraak en assenstelsel geometrie materiaal bedding belasting

Aan het eind van dit hoofdstuk zal de opzet van de modellering beschreven worden.

2.1

TEKENAFSPRAAK EN ASSENSTELSEL

In dit rapport wordt gebruik gemaakt van lokale assen door de zwaartelijnen van een willekeurige segment (zie figuur 1). Dit assenstelsel geeft de positieve richting aan van de snedekrachten en de radiale verplaatsingen.   

de X-as : de Y-as : de Z-as :

de lokale as in de axiale richting, parallel met de ringas van de tunnel de lokale as in de tangentiële richting de lokale as in de radiale richting X (axiaal)

Z (radiaal)

beschouwde segment

 Y

ringas

(tangentieel) langsvoeg (axiaal)

ringvoeg (tangentieel)

Figuur 1: overzicht lokaal assenstelsel segment

7


2.2

GEOMETRIE

Het model wordt geïllustreerd aan de hand van de Groene Hart Tunnel. De Tunnel maakt deel uit van de hogesnelheidslijn Zuid. De tunnel begint in de Bospolder bij Leiderdorp en eindigt aan het Westeinde in Hazerswoude-dorp. De tunnel heeft een totale lengte van 8.5km, waarvan 7160meter geboord wordt. De lining van de Groene Hart Tunnel bestaat uit ringen, die opgebouwd zijn uit 9 segmenten en een sluitsteen. De inwendige diameter van de tunnel bedraagt 13300mm. De segmenten hebben een dikte van 600mm. De straal van de tunnel gerekend tot het hart van de lining bedraagt 6950mm. De tunnellining kent een verloop van 40mm over de ringbreedte. Deze tapsheid is nodig voor het maken van bochten. De gemiddelde breedte is gelijk aan 2000mm. De tunnelsegmenten liggen t.p.v. de langsvoegen tegen elkaar aan met een 400mm hoge centreerstrook (bearing pads). In de ringvoegen worden geen voegplaatjes toegepast. Contact tussen de ringen wordt gemaakt door twee betonnen bearing pads per segment met een lengte van 1250mm in de tangentiële richting. Deze pads bevinden zich op een vierde en drievierde van de segmentlengte. Uitgangspunten m.b.t. lining:  De sluitsteen wordt niet gemodelleerd.  Rechthoekige segmenten worden toegepast in het model. De tapsheid wordt niet beschouwd.  De segmenten beslaan in het model ieder een hoek van 360/9 = 40 van de omtrek. De breedte van de segmenten in de tangentiële richting is 40/360*2*6950 = 4852mm.  De segmenten worden ideaal geplaatst gedurende de bouwfase.  De segmenten zijn in halfsteensverband geplaatst.  De tunnellining is geschematiseerd als gekoppeld gesegmenteerde (dubbele) ringsysteem.  De segmenten zijn geschematiseerd als staafelementen met een normaalstijfheid en een buigstijfheid.  Het eigen gewicht van de betonnen lining wordt klein verondersteld t.o.v. de ontgraven grondmassa t.p.v. de tunnel. Het eigen gewicht heeft geringe invloed op de grondspanning en wordt verwaarloosd. Uitgangspunten m.b.t. langsvoegen:  De langsvoegen blijven vlak.  De langsvoegen zijn geschematiseerd als rotatieveren met rotatiestijfheden volgens de Janen theorie [lit. 1].  In de langsvoegen zal geen slip optreden. Uitgangspunten m.b.t. ringvoegen:  De ringvoegen zijn geschematiseerd als lineaire translatieveren in de radiale richting, waarbij koppelkrachten worden overgebracht.  De invloed van de koppelkrachten is alleen lokaal. Hiermee wordt gezegd dat de koppelkracht alleen invloed heeft ter plaatste waar deze aangrijpt tot de dichtstbijzijnde langsvoegen en ringvoegkoppelingen. Het zal blijken dat dit uitgangspunt goed is genomen (zie 7.1.1.1 en 7.3.2.1).  Voor een correcte bepaling van de koppelkrachten moet de breedte van elk van de twee ringen in het model gelijk zijn aan de halve breedte van de tunnelring.

8




2.3   

2.4    

2.5

De stijfheid die aan de ringvoegkoppelingen wordt toegekend is gelijk aan 1*106N/mm. Deze waarde dient door berekening te worden bepaald op basis van de fysische karakteristieken van de werkelijke constructie. Meestal zijn hiertoe modelproeven nodig.

MATERIAAL Voor de betonnen tunnellining wordt een elasticiteitsmodulus van 36000MPa aangehouden [lit. 1]. De wrijvingscoëfficiënt van beton op beton wordt op 0.4 gesteld [lit. 1]. Het materiaalgedrag van de lining wordt lineair elastisch verondersteld.

BEDDING Het grondpakket wordt homogeen van samenstelling verondersteld. Een stijfheid van de grond (zandlaag) van 38MPa wordt aangehouden. In de omringende grond wordt van een vlakke vervormingstoestand uitgegaan. Verondersteld wordt dat de grond zich lineair elastisch gedraagt.

BELASTING

In het model worden de volgende belastingen niet meegenomen:        

groutbelasting vijzelbelasting montagebelasting explosie temperatuurverschillen mobiele belasting ontgravingen vollopen van tunnel

De belasting die beschouwd wordt, is de grondbelasting. De grondbelasting op de lining wordt afgeleid uit de initiële spanningen van de ongeroerde grond. Voor de bepaling van de rekenwaarden t.b.v. de grondbelasting wordt ter illustratie een bodemprofiel genomen van een doorsnede t.p.v. de Groene Hart Tunnel. Een bodemprofiel is gegeven in figuur 5. Het model is geldig vlak na het verharden van grout. In de tangentiële richting wordt verondersteld dat de grond en de tunnel vrij ten opzichte van elkaar kunnen glijden (slipgedrag).

2.5.1 MODELLERING GRONDBELASTING De gronddruk veroorzaakt een normaalkracht en een buigend moment in de lining. De gronddruk kan worden uitgedrukt in een radiale en een tangentiële component. Of de tangentiële component daadwerkelijk optreedt, is afhankelijk van de tangentiële wrijving, die plaatsvindt tussen de grond en de lining.

9


Dit rekenmodel is geldig vlak na het verharden van het grout, waarbij aangenomen wordt dat geen tangentiële component van de grondbelasting optreedt. Alleen grote zettingen zijn nodig om de tangentiële component te activeren. Verondersteld wordt dat de staartspleet volledig is opgevuld met grout. r t



 : r : t :

poolhoek bij gebruik van poolcoördinaten radiale belasting tangentiële belasting

[rad], [] [MPa] [MPa]

Figuur 2: overzicht radiale en tangentiële belasting

In [lit. 2 ] zijn voor de normaalkracht en het buigend moment in cirkelvormige ringen differentiaalvergelijkingen en oplossingen daarvan opgesteld. De vergelijkingen volgen uit de evenwichtsvergelijkingen in radiale en tangentiële richting van een ringvormig segment. 2

Door het verschil in gronddrukken langs de tunnelwand heeft de gronddruk een periodieke karakter. De gronddruk kan ontwikkeld worden in een Fourierreeks. Vanwege de aanwezigheid van een symmetrieas, kan worden volstaan met een cosinusreeks: 

1

 r    n cos(n ) n 0

 r  radiale belasting [MPa]  n cos(n )  n de radiale belastingsterm als functie van n Voor een aantal waarden van n zijn de belastingstermen weergegeven in figuur 3.

Figuur 3: belastingstermen voor n=0, n=1, n=2 en n=3

2

De gronddruk wordt geschematiseerd als een alzijdige radiale belasting, zie figuur 4. De radiale belasting kan worden samengesteld uit een constante uniforme verdeelde belasting die gelijk is aan de eerste term van de Fourierreeks (n=0) en een periodieke ovaliserende belasting 2, die gelijk is aan de derde term van de Fourierreeks (n=2). De overige termen van de reeks worden gelijkgesteld aan nul. De radiale belasting ziet als volgt uit:  r   0   2 cos(2 ) 

[lit. 2] Bouma, A.L., Mechanica van constructies: elasto-statica van slanke structuren. 2e druk. Delft: Delftse Uitgevers Maatschappij, 1993.

10


verloop r

verloop 0

verloop 2cos(2)

top

flank



=

+

bodem=top Figuur 4: samenstelling radiale belasting

3

0  2  0 2  top

 top   flank 2

 top   flank 2  uniforme verdeelde belasting [MPa]  ovaliserende verdeelde belasting [MPa]  verticale grondspanning t.p.v. de top van de ring [MPa]

 bodem  verticale grondspanning t.p.v. de bodem van de ring [MPa]  flank  horizontale grondspanning t.p.v. de flank van de ring [MPa] Opgemerkt dient te worden, als uitgegaan wordt van deze samenstelling van de grondbelasting op de lining, dat de resulterende krachtsverdeling (normaalkracht en buigend moment) niet geheel zal overeenkomen met de metingen in de praktijk [lit. 5 ]. Volgens [lit. 5] hebben oorzaken als onregelmatigheden in de grond, grouten en het plaatsen van segmenten invloed op de spanningsverdeling. Deze afwijking in de belasting heeft echter een periodiek karakter (een cosinusreeks). Om dit te modeleren zou een extra belasting kunnen worden ingevoerd: geval n = 6, volgens [lit. 5]. 433

Het geval n = 6 wordt echter achterwege gelaten, omdat analytische modellen voornamelijk in vroege ontwerpfases gebruikt worden. Naar locale verschijnselen worden in dit geval niet gekeken. Overigens levert het aandeel 6 in verhouding tot het aandeel 2 een verwaarloosbare bijdrage op aan de vervormingen. Immers de radiale en de tangentiële verplaatsing zijn evenredig met respectievelijk n  1 en n  1 . 2 2 nn  1 n 2 n  1 Aan de hand van een bodemprofiel [lit. 3 ] zoals in figuur 5 wordt weergegeven voor een doorsnede in het hart van de Groene Hart Tunnel, worden de belastingscomponenten 0 en 2 op de lining bepaald. 44

[lit. 3] Instrumented plot, Settlement calculation. Leiderdorp: Consortium Bouygues / Koop, 2002. [lit. 5] Vrijling, J.K. e.a., Geboorde en gezonken tunnel CT5305. Delft: Technische Universiteit Delft, Faculteit Civiele Techniek en Geowetenschappen, Sectie Waterbouwkunde, 2002.

11


Voor de vertaling van deze gegevens naar die componenten kunnen drie schematisaties gebruikt worden, gegeven in [lit. 1]. In deze belastingschematisaties wordt de belasting alleen in de radiale richting beschouwd. De tangentiële richting wordt niet meegenomen.  (kN/m3) K'(0) c' (kPa)

1.3 m -NAP maaiveld

' (d°) Eg (MPa)

2.5 m -NAP

clay 12

13

0.7

0

17.5

0.6

6.7 m -NAP

peat 4

10.5

0.7

2

17.5

0.3

8.1 m -NAP

clay 6A

13

0.7

0

17.5

0.3

8.9 m -NAP

peat 4

10.5

0.7

2

17.5

0.5

11.2 m -NAP

clay 6

13.5

0.7

0

17.5

0.6

11.9 m -NAP

peat 9

10.5

0.7

5

17.5

1.2

26.3 m -NAP

sand 22

19.5

0.46

0

32.5

38

35.4 m -NAP

sand 34

19

0.48

0

31

35

sand 38B

19.5

0.48

0

32.5

55

17.3 m

r=6.95m

Figuur 5: bodemprofiel doorsnede Groene Hart Tunnel

Schematisatie 1 De verticale grondspanning over de bovenste helft van de tunnellining volgt uit het gewicht van de bovenliggende grond. In de verticale gronddruk over de onderste helft van de tunnel zal naast de bovenliggende grond ook het “gewicht” van de tunnel meegenomen worden. Het gewicht van de tunnel bestaat alleen uit de betonnen lining. De grondmassa t.p.v. de tunnel is verwijderd. Het eigengewicht van de betonnen lining is klein verondersteld t.o.v. de ontgraven grondmassa. Gesteld wordt dat het eigen gewicht van de betonnen lining geringe invloed heeft op de grondspanning en wordt verwaarloosd. De verticale grondspanning zal gereduceerd worden in de onderste helft van de ring, zie figuur 6. Het verloop van de verticale korreldruk in de onderste helft van de lining is gelijk aan dat van de bovenste helft van de lining. De waterspanning over de onderste helft is niet gereduceerd.

12


waterspanning

verticale korrelspanning

reductie verticale korrelspanning Figuur 6: schematisatie 1 van grondbelasting

Deze belastingschematisatie zal een lagere gemiddelde belasting opleveren dan schematisaties 2 en 3. Daarmee zullen ook de radiale vervormingen en de snedekrachten lager uitvallen (vergeleken met schematisatie 2 en 3). Schematisatie 1 zal verder buiten beschouwing gelaten worden. Schematisatie 2 In deze schematisatie is gesteld dat de verticale korrelspanning rond de ring gelijk is aan de initiële verticale korrelspanning aan de flankzijde van de tunnel. De horizontale korrelspanning is constant langs de lining. De waterspanning neemt lineair toe met de diepte. Een opdrijvende component t.g.v. de waterspanning wordt in deze schematisatie beschouwd. De tunnel drijft op en de grondondersteuning zorgt voor het verticale evenwicht. Een voordeel van deze schematisatie is het verschaffen van informatie over de verticale translatie van de tunnellining in grond. waterspanning

verticale korrelspanning

constant verticale korrelspanning Figuur 7: schematisatie 2 van grondbelasting

Schematisatie 3 De derde schematisatie hanteert dezelfde aanpak als schematisatie 2, maar laat de opdrijvende component t.g.v. de waterspanning buiten beschouwing. Door de opdrijvende component zal de ring een verticale translatie ondergaan. Het is gebleken dat deze schematisatie gelijke resultaten voor de interne snedekrachten en radiale vervormingen (zonder de verticale translatie) oplevert als schematisatie 2 [lit. 1]. De opdrijvende component resulteert alleen in een starre lichaamsverplaatsing en heeft geen invloed op de krachtsverdeling in de tunnellining. De opdrijvende component is niet interessant en kan worden weggelaten, omdat hier naar de krachtsverdeling in de lining wordt gekeken. Door het buiten beschouwing laten van de opdrijvende component ontstaat een evenwichtssysteem in de grondbelasting. Deze aanname betekent dat de ring eerst transleert en daarna pas vervormt. De grondbelasting wordt bepaald nadat de ring is getransleerd. De translatie wordt hier niet beschouwd.

13


Voor de verdere uitwerking wordt de derde geschematiseerde belastingsgeval aangehouden als de belasting op het analytische rekenmodel. Bepaling belastingstermen 0 en 2 volgens schematisatie 3 De belastingstermen 0 (de uniforme belasting) en 2 (de ovaliserende belasting) worden bepaald aan de hand van het bodemprofiel gegeven in figuur 5:  de verticale gronddruk ter hoogte van de ringas v,ringas: n

 v ,ringas    i hi  13.0 * (2.5  1.3)  10.5 * (6.7  2.5)  13.0 * (8.1  6.7)  10.5 * (8.9  8.1) i 0

 13.5 * (11.2  8.9)  10.5 * (11.9  11.2)  19.5 * (17.35  11.9  6.95)  0.366 MPa

 i  volumegewicht van grondlaag i [kN/m 3 ] hi  dikte van grondlaag i [m]

 de radiale gronddruk in de top r,top en in de bodem r,bodem van de ring: Door het opdrijven zal de ring een verticale translatie ondergaan. De gronddruk in de top van de ring zal toenemen, terwijl de gronddruk in de bodem zal afnemen. Evenwicht zal vervolgens optreden als de verticale gronddrukken in top en bodem aan elkaar gelijk zijn. Deze verticale gronddrukken zullen gelijk zijn aan de verticale gronddruk ter hoogte van de ringas.

 r ,top   r ,bodem   v ,ringas  0.366MPa  de waterdruk ter hoogte van de ringas w,ringas:

 w,ringas   w hw  10 * (17.35  1.3  6.95)  0.230MPa  w  volumegewicht van water [kN/m 3 ] hw  diepte grondwaterspiegel tot ringas van tunnel [m] De grondwaterspiegel is op maaiveldniveau :1.3m - NAP

 de radiale (in dit geval horizontale) gronddruk ter hoogte van de ringas r,ringas: De grondrukcoëfficiënt K’(0) kan afgelezen worden uit figuur 5. K’(0) bedraagt 0.46.

 r ,ringas  K ' (0) r ,ringas ,eff   w,ringas  K ' (0) v ,ringas   w,ringas    w,ringas  0.46 * (0.366  0.230)  0.230  0.293MPa  r , flank   r ,ringas  0.293MPa  r ,ringas ,eff  radiale effectieve grondbelasting t.h.v. de ringas [MPa]  r , flank  radiale grondbelasting t.h.v. de ringas (flankzijde van de ring) [MPa] In het analytische rekenmodel zal uitgegaan worden van de volgende belastingen:  r ,top   r , flank 0.366  0.293 uniforme belasting :  0    0.330MPa 2 2  r ,top   r , flank 0.366  0.293 ovaliserende belasting :  2    0.0365MPa 2 2

14


2.6

OPZET MODELLERING

De samenstelling van het model van de tunnellining zal stapsgewijs verlopen, met een oplopende complexiteit: 1.

Modelleren van de homogene tunnellining met een uniforme belasting 0. De tunnellining zal t.g.v. de optredende normaalkrachten een compressie ondergaan.

2.

Modelleren van de homogene tunnellining met een ovaliserende belasting 2. De tunnellining zal t.g.v. de optredende buigende momenten een ovalisering ondergaan. Compressie t.g.v. de optredende normaalkrachten is gering.

3.

Modelleren van de homogene tunnellining met een uniforme belasting 0 en een ovaliserende belasting 2. De tunnellining zal t.g.v. de optredende normaalkrachten en buigende momenten een compressie en een ovalisering ondergaan.

4.

Modelleren van de tunnellining met een uniforme belasting 0 en een ovaliserende belasting 2, waarbij de invloeden van langsvoegen zijn toegevoegd.

5.

Modelleren van de tunnellining met een uniforme belasting 0 en een ovaliserende belasting 2, waarbij de invloeden van langsvoegen en ringvoegkoppelingen zijn toegevoegd.

De berekeningen, die in elke modelleringstap zijn uitgevoerd, worden gebruikt in de daaropvolgende stap. De berekeningen worden steeds per stap uitgebreid met een nieuwe “component”. Stap 5 is het uiteindelijke analytische rekenmodel voor de Groene Hart Tunnel. Opgemerkt wordt dat in de stappen 1 t/m 3 berekeningen worden gemaakt die in eerste instantie veel makkelijker gedaan kunnen worden, bijvoorbeeld met de wet van Hook. De berekeningen zijn immers lineair elastisch. Dit is echter gedaan om inzicht te verschaffen in de opbouw van het rekenproces. Deze berekeningsstappen zijn nodig om tot het uiteindelijke rekenmodel te komen.

15


16


HOOFDSTUK

3

Enkele ring met uniforme belasting

Bij deze modellering wordt alleen de uniforme belasting 0 aanwezig verondersteld. Deze werkt in de radiale richting en heeft een grootte van 0.330MPa.

3.1

ANALYTISCHE BEREKENING RING

De omliggende grond zal in dit geval alleen een gelijkmatig verdeelde radiaal gerichte belasting uitoefenen op de tunnelring. De ring en de belasting zijn axiaalsymmetrisch, zodat ook een axiaalsymmetrische krachtsverdeling aanwezig zal zijn. In de ring zal een constante normaaldrukkracht optreden. Een buigend moment zal niet plaatsvinden. Door deze belasting zal de ring een radiale uniforme vervorming ondergaan: alleen compressie treedt op. De omringende grond zal daardoor worden ontlast. Als uitgegaan wordt dat de grond zich lineair elastisch gedraagt, zal een wijziging plaatsvinden in de initiële belasting op de ring. De uiteindelijke belasting zal gelijk zijn aan de sommatie van de initiële uniforme belasting 0,i en de elastische grondreactie door het vervormen van de ring gr.

4

Verondersteld wordt dat door de uniforme vervorming de omliggende grond ontlast zal worden met: Egu  gr  r E g  elasticiteitsmodulus van grond [MPa] u  radiale verplaatsing [mm] r

 systeemstraal tot hartlijn van lining [mm]

Hier is een lineaire relatie tussen de vervorming en de belasting gebruikt.

5

De resulterende belasting op de ring zal zijn: E g u0  0   0,i   gr   0,i  r u 0  radiale verplaatsing t.g.v. ı 0 [mm] De normaalkracht in de ring volgt uit de ketelformule [lit. 2]:

6

N 0   0 br N 0  normaalkracht t.g.v. ı 0 [N] b  breedte van een half segment [mm]

17


De uniforme vervorming met een lineair elastische grondreactie en een normaalstijfheid EbA kan uit [lit. 2] bepaald worden:

7 



u0 N  0 r Eb A

E b  elasticiteitsmodulus van beton [MPa] A  oppervlakte van de doorsnede van een half segment  b * d [mm 2 ] d

 dikte van lining [mm]

E u    0,i  g 0 r  r u0   0    Eb d Eb d 2

 2 r 

 0 ,i r 2

8

9

 0 ,i r  0 ,i Eb d   Eg r Eb d  E g r Eb d E g 1  r Eb d r2 2

u0  

De reductie van het comprimeren door het ontspannen van de grond is:  gr u 1 0    Eg 0   0 ,i  0 ,i r E b d 1 Eg r De factor 0 geeft het aandeel aan van de uitwendige grondbelasting dat opgenomen wordt door de grond. Voor de doorsnede, weergegeven in figuur 5, van de Groene Hart Tunnel zal het volgende gelden: 

Zonder de grondreactie bedragen de initiële normaalkracht N0,i en de initiële radiale verplaatsing u0,i t.g.v. 0,i: N 0,i   0,i br  0.330 * 1000 * 6950  2293.5  2.29 * 10 3 kN u 0 ,i  

 0 ,i r 2 Eb d



 0.330 * 6950 2  0.738mm 36000 * 600

Het aandeel 0 bedraagt: 1 1 0    0.0121 36000 * 600 Eb d 1 1 38 * 6950 Eg r 

Met de grondreactie zijn de normaalkracht N0 en de radiale verplaatsing u0 t.g.v. 0=(1-0) 0,i: N 0  1   0  N 0,i  1  0.0121 * 2293.5  2265.8kN  2.27 * 10 3 kN u 0  1   0  u 0,i  1  0.0121 * 0.738  0.729mm

Het aandeel dat wordt afgedragen naar de grond bedraagt 1.2%. Het aandeel dat opgenomen wordt door de ring is (1-0)*100% = 98.8%.

18


3.2

RAAMWERKBEREKENING RING

De analytische oplossingen worden vergeleken met een raamwerkberekening. Daarvoor wordt het raamwerkprogramma LDesign gebruikt. Een beschrijving van LDesign is opgenomen in bijlage 1. De resultaten uit de raamwerkberekening zijn gegeven in figuur 8a en 8b.

Figuur 8a: raamwerkberekening N0 in [N] voor enkele ring inclusief grondreactie

Figuur 8b: raamwerkberekening u0 in [mm] voor enkele ring inclusief grondreactie

Volgens de raamwerkberekening bedragen de normaalkracht en de radiale verplaatsing met grondreactie: N 0  2365.3  2.36 * 10 3 kN u 0  0.76mm

19


3.3

VERGELIJKING BEREKENINGEN

Beide berekeningen komen goed met elkaar overeen (<5%):  2265.8  2365.3 * 100%  4.3%  2365.3  0.73  0.76 u 0  * 100%  4.3%  0.76 N 0 

N 0  verschil in normaalkracht tussen analytische berekening en raamwerkberekening u 0  verschil in radiale verplaatsing tussen analytische berekening en raamwerkberekening

Het verschil wordt veroorzaakt door de schematisatie van de tunnellining en de grondbelasting. De belastingen die toegepast zijn in LDesign, werken op de buitenkant van de tunnellining. De belastingen in het model werken daarentegen op de systeemlijn (hartlijn) van de lining. Door een factor van ruitwendig/rsysteem = 7250/6950 = 1.043 (het verschil van 4.3%!) te verdisconteren in de raamwerkberekening, zullen de verkregen resultaten exact overeenkomen met de resultaten uit het analytische model. Wanneer de factor 1.043 in rekening wordt gebracht, worden de inputwaarden voor de grondbelasting in het raamwerkprogramma als volgt: De grondspanning t.p.v. de top van de ring : 0.366  0.351MPa  top  1.043 De grondspanning t.p.v. de flank van de ring : 0.293  0.281MPa  flank  1.043

De inputwaarden voor de grondbelasting in de raamwerkberekening is een factor 1.043 te groot. De grondbelasting wordt vermenigvuldigd met 1/1.043 = 0.959. Omdat de grondspanning gr aangrijpt op de buitenkant van de tunnellining, zal deze ook worden aangepast, door de inputwaarde voor de elasticiteitsmodulus van grond Eg in de raamwerkberekening te vermenigvuldigen met 1/1.043 = 0.959: Eg = 38/1.043 = 36.4MPa. belasting LDesign

belasting model

dikte lining uitwendige

systeemlijn (hartlijn)

straal, ruitwendig=7250mm systeemstraal

tot hartlijn, rsysteem=6950mm Figuur 9: overzicht aangrijpen belasting in analytisch model en raamwerkprogramma LDesign

20


De resultaten uit de raamwerkberekening inclusief de factor 1.043 zijn gegeven in figuur 10a en 10b.

Figuur 10a: raamwerkberekening N0 in [N] voor enkele ring inclusief grondreactie, inclusief factor 1.043

Figuur 10b: raamwerkberekening u0 in [mm] voor enkele ring inclusief grondreactie, inclusief factor 1.043

 2265.8  2368.6 * 100%  0%  2368.6  0.73  0.73 * 100%  0% u 0   0.73 N 0 

De resultaten komen inderdaad exact met elkaar overeen.

21


22


HOOFDSTUK

4

Enkele ring met ovaliserende belasting

Bij deze modellering wordt alleen de ovaliserende belasting 2 aanwezig verondersteld. Deze werkt in de radiale richting en heeft een grootte van 0.0365MPa.

4.1


Op de ring wordt alleen een ovaliserende belasting 2 uitgeoefend. De belasting geeft naast een normaalkracht ook een buigend moment in de ring. De optredende normaalkracht is echter (in absolute waarde) gering, als deze vergeleken wordt met de normaalkracht t.g.v. de uniforme belasting.

10

11

De normaalkracht N2, het buigend moment M2 en de radiale verplaatsing u2 t.g.v. 2 volgen uit [lit. 2]: 1 1  N 2   2  n br cosn  n  2   2 br cos2  3 n 1 n  natuurlijk getal [-] De maximale normaalkracht zonder grondreactie is: 1 1 N 2,max   2 br  * 0.0365 * 1000 * 6950  84.6kN  N 0  2293.5kN 3 3 1 1  M2   n br 2 cosn  n  2    2 br 2 cos2  2 3 n 1 2 4 1  2 br 4  1   n br cosn  n  2   cos2    u2   2 9 Eb I  n  1  Eb I I  traagheidsmoment van de doorsnede van de tunnellining [mm 4 ] 1 met I  bd 3 volgt : 12

12

u2  

4  2r 4 cos2  3 Eb d 3

Door het ovaliseren van de ring zal een deel van de grond worden ontlast, omdat de ring daar wijkt van de grond. Dat deel van de grond zal ontspannen. Het komt ook voor dat een ander deel van de grond wordt opgespannen, omdat de grond daar door de ring wordt ingedrukt.

13

De resulterende ovaliserende belasting 2 samen met het grondaandeel wordt: Eg u2  2   2,i   gr   2,i  r u 2  radiale verplaatsing t.g.v. ı 2 [mm]

23


14

15

De ovaliserende verplaatsing met grondreactie en een buigstijfheid EbI wordt: Eg u2   4 r4  u2   cos2    2,i  3 r  3 Eb d   2 ,i u2   Eg 3 Eb d 3  4 4 r cos2  r Het aandeel dat door de grond wordt gedragen is:  gr u 1 2    Eg 2   2 ,i  2 ,i r 3 Eb d 3 1 4 E g r 3 cos2  Voor de doorsnede met het bijbehorende bodemprofiel van de Groene Hart Tunnel in figuur 5 geldt het volgende: 

Zonder grondreactie zijn de initiële normaalkracht N2,i, het initiële buigend moment M2,i en de initiële radiale verplaatsing u2,i t.p.v. de top  = 0: 1 1 N 2,i   2,i br cos2   0  * 0.0365 * 1000 * 6950  84.6kN 3 3 1 1 2 M 2,i    2,i br cos2   0   * 0.0365 * 1000 * 6950 2  587.7  5.88 * 10 2 kNm 3 3 4 4 r 4 6950 4 u 2 ,i    2,i cos2   0   * * 0.0365  14.6mm 3 3 Eb d 3 36000 * 600 3 Het grondaandeel 2 bedraagt: 1 1 2    0.686 3   0 36000 * 600 3 E d 3 3 b *  1  1 4 38 * 6950 3 4 E g r 3 cos2 



De omliggende grond neemt 68.6% van de grondbelasting op. Met de grondreactie zijn de normaalkracht N2, het buigend moment M2 en de radiale verplaatsing u2 in de top: N 2,top  1   2  N 2,i  1  0.686  * 84.6  26.5kN M 2,top  1   2  M 2,i  1  0.686  * 587.7  184.4  1.84 * 10 2 kNm u 2,top  1   2  u 2,i  1  0.686  * 14.6  4.58mm

Omdat de belasting 2 spiegelsymmetrisch is om de diagonalen zullen de normaalkracht, het buigend moment en de radiale verplaatsing aan de flankzijde van de ring gelijk zijn aan respectievelijk -N2,top, -M2,top en -u2,top. In de flank zijn de snedekrachten en de radiale verplaatsing: N 2, flank  26.5kN M 2, flank  184.4  1.84 * 10 2 kNm u 2, flank  4.58mm

24


4.2


De analytische oplossingen worden vergeleken met een raamwerkberekening. Daarvoor wordt het raamwerkprogramma LDesign gebruikt. De resultaten uit de raamwerkberekening zijn gegeven in figuur 11, 12 en 13.

Figuur 11: raamwerkberekening N2 in [N] voor enkele ring inclusief grondreactie

Figuur 12: raamwerkberekening M2 in [Nmm] voor enkele ring inclusief grondreactie

25


Figuur 13: raamwerkberekening u2 in [mm] voor enkele ring inclusief grondreactie

Volgens de raamwerkberekening bedragen de normaalkracht, het buigend moment en de radiale verplaatsing met grondreactie: N 2  26.1kN M 2  186.5  1.87 * 10 2 kNm u 2  4.57 mm

4.3


Beide berekeningen komen goed met elkaar overeen (<5%): 26.5  26.1 * 100%  1.5% 26.1  184.4  186.5 M 2  * 100%  1.1%  186.5  4.58  4.57 u 2  * 100%  0.2%  4.57 N 2 

N 2  verschil in normaalkracht tussen analytische berekening en raamwerkberekening M 2  verschil in buigend moment tussen analytische berekening en raamwerkberekening u 2  verschil in radiale verplaatsing tussen analytische berekening en raamwerkberekening

De verschillen tussen beide resultaten zijn gering. De factor 1.043 is in rekening gebracht.

26


HOOFDSTUK

5

Enkele ring met uniforme en ovaliserende belasting

Bij deze modellering worden de uniforme belasting 0 en de ovaliserende belasting 2 aanwezig verondersteld.

5.1


De belasting op de tunnellining is samengesteld uit een sommatie van de uniforme belasting 0 en de ovaliserende belasting 2. De snedekrachten en de radiale verplaatsingen kunnen ook bepaald worden uit de sommatie van de bijdragen van de afzonderlijke belastingsgevallen. Uniforme belasting (hoofdstuk 3):  Zonder de grondreactie bedragen de initiële normaalkracht N0,i en de initiële radiale verplaatsing u0,i t.g.v. 0,i: N 0,i   0,i br  0.330 * 1000 * 6950  2293.5  2.29 * 10 3 kN u 0 ,i  

 0 ,i r 2 Eb d



 0.330 * 6950 2  0.738mm 36000 * 600

Het aandeel 0 bedraagt: 1 1 0    0.0121 Eb d 36000 * 600 1 1 38 * 6950 Eg r 

Met de grondreactie zijn de normaalkracht N0 en de radiale verplaatsing u0: N 0  1   0  N 0,i  1  0.0121 * 2293.5  2265.8  2.27 * 10 3 kN u 0  1   0  u 0,i  1  0.0121 * 0.738  0.729mm

Ovaliserende belasting (hoofdstuk 4):  Zonder grondreactie zijn de initiële normaalkracht N2,i, het initiële buigend moment M2,i en de initiële radiale verplaatsing u2,i t.p.v. de top  = 0: 1 1 N 2,i   2,i br cos2   0  * 0.0365 * 1000 * 6950  84.6kN 3 3 1 1 2 M 2,i    2,i br cos2   0   * 0.0365 * 1000 * 6950 2  587.7  5.88 * 10 2 kNm 3 3 4 r4 4 6950 4       * 0.0365  14.6mm u 2 ,i   cos 2 *  2 ,i  0 3 Eb d 3 3 36000 * 600 3

27


Het grondaandeel 2 bedraagt: 1 1 2    0.686   0 Eb d 3 3 36000 * 600 3 3 1 * 1 4 38 * 6950 3 4 E g r 3 cos2  

Met de grondreactie zijn de normaalkracht N2, het buigend moment M2 en de radiale verplaatsing u2 in de top: N 2,top  1   2  N 2,i  1  0.686  * 84.6  26.5kN M 2,top  1   2  M 2,i  1  0.686  * 587.7  184.4  1.84 * 10 2 kNm

u 2,top  1   2  u 2,i  1  0.686  * 14.6  4.58mm

In de flank zijn de snedekrachten en de radiale verplaatsing: N 2, flank  26.5kN M 2 , flank  184.4  1.84 * 10 2 kNm u 2, flank  4.58mm

Combinatie uniforme en ovaliserende belasting met grondreactie:  Normaalkracht: De normaalkracht in de top en in de bodem van de tunnelring ( = 0 en  = ) bedraagt: N top  N bodem  N 0  N 2,top  2265.8  26.5  2239.3  2.24 * 10 3 kN De normaalkracht in de flanken van de tunnelring ( = -1/2 en  = 1/2) bedraagt: N flank  N 0  N 2, flank  2265.8  26.5  2292.3  2.29 * 10 kN 

Buigend moment: Het buigend moment in de top en in de bodem van de tunnelring ( = 0 en  = ) bedraagt: M top  M bodem  M 2,top  184.4  1.84 * 10 2 kNm Het buigend moment in de flanken van de tunnelring ( = -1/2 en  = 1/2) bedraagt: M flank  M 2, flank  184.4  1.84 * 10 2 kNm



Radiale verplaatsing: De radiale verplaatsing in de top en in de bodem van de tunnelring ( = 0 en  = ) bedraagt: u top  u bodem  u 0  u 2,top  0.729  4.58  5.31mm De radiale verplaatsing in de flanken van de tunnelring ( = -1/2 en  = 1/2) bedraagt: u flank  u 0  u 2, flank  0.729  4.58  3.85mm

Door de uniforme belasting 0 en de ovaliserende belasting 2 zal de ring respectievelijk comprimeren en ovaliseren. De normaalkracht in de ring zal veranderen door 2. De wijziging in de normaalkracht is echter gering, waardoor de compressieverandering door de normaalkrachtwijziging hier verwaarloosd kan worden.

5.2



28


Figuur 14: raamwerkberekening N=N0 +N2 in [N] voor enkele ring inclusief grondreactie

Figuur 15: raamwerkberekening M=M2 in [Nmm] voor enkele ring inclusief grondreactie

Figuur 16: raamwerkberekening u=u0 +u2 in [mm] voor enkele ring inclusief grondreactie

29


Volgens de raamwerkberekening bedragen de normaalkracht, het buigend moment en de radiale verplaatsing met grondreactie:  N top  2239.3  2.24 * 10 3 kN N flank  2291.6  2.29 * 10 3 kN  M top  186.6  1.87 * 10 2 kNm M flank  186.6  1.87 * 10 2 kNm  u top  5.30mm u flank  3.85mm

5.3


Beide berekeningen komen goed met elkaar overeen (<5%):  2239.3  2239.3 * 100%  0%  2239.3  2292.3  2291.6 * 100%  0% N flank   2291.6  184.4  186.6 * 100%  1.2%  M top  M flank   186.6  5.31  5.30 * 100%  0%  u top   5.30 3.85  3.85 * 100%  0% u flank  3.85

 N top 

N top  verschil in normaalkracht in de top tussen analytische berekening en raamwerkberekening N flank  verschil in normaalkracht in de flank tussen analytische berekening en raamwerkberekening M top  verschil in buigend moment in de top tussen analytische berekening en raamwerkberekening M flank  verschil in buigend moment in de flank tussen analytische berekening en raamwerkberekening u top  verschil in radiale verplaatsing in de top tussen analytische berekening en raamwerkberekening u flank  verschil in radiale verplaatsing in de flank tussen analytische berekening en raamwerkberekening

De verschillen tussen beide resultaten zijn gering. De factor 1.043 is in rekening gebracht.

30


HOOFDSTUK

6

Enkele ring met uniforme en ovaliserende belasting, en langsvoegen

Bij deze modellering worden de uniforme belasting 0 en de ovaliserende belasting 2 aanwezig verondersteld. De ring wordt uitgebreid met langsvoegen.

6.1


6.1.1 ANALYTISCHE BESCHOUWING ROTATIESTIJFHEID LANGSVOEG De stijfheid van de ring wordt beïnvloedt door de stijfheid van de langsvoegen. Deze werken als betonscharnieren. De stijfheid is sterk afhankelijk van de contactdruk in de langsvoeg. De stijfheid blijft constant (volledige contact) totdat zoveel rotatie optreedt in de langsvoeg dat gaping optreedt. Als gaping plaatsvindt, neemt het contactvlak af en zal de weerstand tegen de rotaties in de langsvoegen afnemen. Een analytische omschrijving van de stijfheid van het betonscharnier volgens de Janen theorie is gegeven in [lit. 1]. M N langsvoegbreedte lv

langsvoeg storingszone

dikte segment d

Figuur 17: langsvoeg met contactbreedte lv en storingszone

De rotatie waarbij nog geen gaping optreedt is:

16  

12 M 2 Eblv b

  hoekverdraaiing in de langsvoeg [rad] , [  ] M  buigend moment in de langsvoeg [kNm]

31


Eb  elasticiteitsmodulus van beton [MPa] lv  langsvoegcontactbreedte [mm] b  breedte van half segment [mm]

17 

De relatie tussen het buigend moment en de rotatie is: dM cr  d M



niet lineair

lineair

niet lineair

Figuur 18: M- gedrag langsvoegen

18

Voor de lineaire tak van de M- relatie (zie figuur 18) geldt een constante rotatiestijfheid c: 2 bl E c v b 12

19

De reducerende rotatiestijfheid treedt op als niet meer over de volledige dikte van de langsvoeg contact optreedt: Nl M  v 6 Dit betekent dat de normaalkracht buiten de kern van de doorsnede valt. De trekspanning t.g.v. M wordt groter dan de drukspanning t.g.v. N. Gaping treedt dan vervolgens op.

20

De optredende rotatie die geldt voor de niet lineaire tak van de M- relatie is: 8N  2  2M  9bl v Eb   1  Nl v  De reducerende rotatiestijfheid cr kan bepaald worden door vergelijking (20) te differentiëren:

21

2

9bl v E b dM  cr  32 d

 2M    1  Nl v 

3

Samengevat zijn de rotaties lv in de langsvoegen als volgt: Nl Nl 12 M M Voor - v  M  v :  lv   2 6 6 c Eb lv b Nl 8N Voor M  v :  lv  2 6   2M   9bl v E b   1   Nl v

32


22

23

Voor negatieve waarden van M kunnen de rotaties en de rotatiestijfheid in de langsvoegen beschreven worden als: Nl 8N Voor M   v :  lv   2 6 2M   1 9bl v E b   Nl v  3

2M     Nl  1  v  Opgemerkt wordt dat de waarde van de rotatiestijfheid van de langsvoegen altijd positief blijft. 2

9bl v E b cr   32

Een analytische beschrijving van de invloed van de langsvoegen op de vervorming van de ring is weergegeven in [lit. 1]. De analytische beschouwing bestaat uit twee stappen: 1. Situatie enkele gesegmenteerde ring met oneindig grote buigstijfheid (EbI) en normaalstijfheid (EbA) van segmenten, d.w.z. geen vervorming van de segmenten, en uitsluiting van de grondreactie. 2. Situatie enkele gesegmenteerde ring met reële buigstijfheid (EbI) en normaalstijfheid (EbA) van segmenten, d.w.z. vervorming van de segmenten, en bijdrage van de grondreactie.

6.1.2 SITUATIE UITSLUITING VERVORMING SEGMENTEN EN GRONDREACTIE Omdat de buigstijfheid en de normaalstijfheid van de segmenten oneindig zijn verondersteld, kan de vervorming van de ring bepaald worden op basis van de vervormingen van de langsvoegen. Bij de analytische bepaling wordt gesteld dat de rotatie van de langsvoeg een bijdrage levert aan de verplaatsing van een willekeurig punt in de ring. De invloed van de rotatie op een radiale verplaatsing ulv, van een punt wordt bepaald door de rotatie lv,i van een langsvoeg i te vermeningvuldigen met de afstand sin(-lv,i)r loodrecht op de diameterlijn vanuit het middelpunt tot dat punt (zie figuur 19). diameterlijn

sin(-lv,i)r langsvoeg i

 lv,i

lv,i

ulv,

Figuur 19: invloed rotatie op verplaatsingen

met

 = hoek van de diameterlijn [rad], [] lv,i = hoek van de langsvoeg i [rad], []

33


Door de bijdragen van alle langsvoegen op te tellen, wordt de totale radiale verplaatsing van dat punt bepaald:

24

u lv  r

 lv , i 



 lv , i  0

lv ,i

sin    lv ,i   cos  u y 0  sin   u x 0

Het punt (ux0,uy0) stelt een referentiepunt voor in de verplaatsing. De waarde ux0 is een initiële horizontale flankverplaatsing en de waarde uy0 een initiële verticale topverplaatsing. Eigenlijk wordt in eerste instantie uitgegaan van een vast punt in de ring. De radiale verplaatsing ulv wordt dan vervolgens gecorrigeerd door de systeemverplaatsing ux0 en uy0. Ze volgen uit de absolute verticale topverplaatsing en de absolute horizontale flankverplaatsing van de ring. Absolute verticale topverplaatsing Bij de bepaling van de absolute verticale topverplaatsing wordt uitgegaan dat geen verticale verplaatsing optreedt aan de flanken. Alle bijdragen van rotatie in de langsvoegen tussen top en flank dragen bij aan de verticale verplaatsing van de top. De tunnellining tussen =-1/2 en =1/2 wordt beschouwd. =0 langsvoeg i=8

r*sinlv,i

i=1

lv,i, 

i=7 =-1/2

i=0

A

A

arm=r*(1-sinlv,i)

i=2 =1/2 B uyB

Figuur 20: liningdeel ter bepaling van absolute topverplaatsing

Stel punt A is ingeklemd. De verplaatsing uyB t.g.v. de rotaties in de langsvoegen is:

25

1  2

u yB  A  cos2  lv ,i 1  sin  lv ,i  1   2

A

26

 2 r 3b 3c r

Vervolgens wordt met een starre lichaamsrotatie om punt A de rotatie A gevonden: u yB A  2r De absolute topverplaatsing wordt:

27 

0

u top   A r  A  cos2  lv ,i sin  lv ,i  1   2

34


Absolute horizontale flankverplaatsing Bij de bepaling van de absolute horizontale flankverplaatsing wordt uitgegaan dat geen horizontale verplaatsing optreedt aan de top van de tunnellining. De tunnellining tussen =0 en = wordt beschouwd. =0

i=0

A

i=1 r*coslv,i

A arm=r*(1+coslv,i)

lv,i, 

i=2

i=3 B

uxB

langsvoeg i=4

= Figuur 21: liningdeel ter bepaling van absolute flankverplaatsing

Stel punt A is ingeklemd. De verplaatsing uxB t.g.v. de rotaties in de langsvoegen is:

28



u xB  A cos2  lv ,i 1  cos lv ,i  0

A

29 

 2 r 3b 3c r

Vervolgens wordt met een starre lichaamsrotatie om punt A de rotatie A gevonden: u  A  xB 2r De absolute flankverplaatsing wordt:

30 

1  2

u flank   A r  A cos2  lv ,i cos lv ,i  0

31

Systeemverplaatsingen uy0 en ux0: De systeemverplaatsingen volgen uit de absolute verticale topverplaatsing en de absolute horizontale flankverplaatsing. u y 0  u top 0

met u top   A r  r   lv ,i sin  lv ,i  ;  A 

32 

1   2

u x0  u

1      ;u y 0  0 ;u x 0  0  2  

met u 

1      ;u y 0  0;u x 0  0  2  

u yB 2r

1  2

en u yB  r   lv ,i 1  sin  lv ,i  1   2

 u flank 

 r   lv ,i cos lv ,i  ; 0

1  2

u flank   A r  r   lv ,i cos lv ,i  ;  A  0

 u xB en u xB  r   lv ,i 1  cos lv ,i  2r 0

35


6.1.3 SITUATIE MET VERVORMING SEGMENTEN EN GRONDREACTIE

8

In het geval dat de normaalstijfheid en de buigstijfheid van de segmenten worden meegenomen, bestaat de totale vervorming uit een sommatie van de vervormingen door uniforme belasting (EbA), door ovaliserende belasting (EbI) en door langsvoegen.  Uniforme belasting (hoofdstuk 3):  0 ,i r 2 u 0 ,i   Eb d

6

N 0 ,i   0 ,i br

9

0  

12  10  11 

24

33

1 Eb d 1 Eg r

Ovaliserende belasting (hoofdstuk 4): 4 r4 u 2 ,i    2,i cos2  3 Eb d 3 1 N 2 ,i   2,i br cos2  3 1 M 2,i    2 ,i br 2 cos2  3 Langsvoegen: u LV 

 2 r 3b 

lv , i 

1 cos2  lv ,i sin    lv ,i   cos  u y 0  sin   u x 0 c r ,i lv , i  0

 

3

De volgende uitdrukkingen zijn afkomstig uit [lit. 1]. De factor B is een stijfheidsfactor die de buigstijfheid van de segmenten in rekening brengt. De factoren Cy en Cx brengen de stijfheid van de langsvoegen in rekening. 4 r4 B 3 Eb d 3

34

Cy 

1 r 3b cos2  lv ,i sin  lv ,i   6 0  lv ,i  c r ,i

35

Cx 

r 3b 1 cos2  lv ,i cos lv ,i   6  1     1  c r ,i 2

u top   2,i

37 

u flank   2,i

2 

2

B  Cy r Eg r  B  Cy Eg

36

38

lv , i

B  Cx r Eg r  B  Cx Eg

E g u top  u flank r 2 ,i

2

   BC  B  Cx  1 y    r  2 r  E  B  C y E  B  Cx  g  g 

36




39

De totale vervorming zonder grondreactie:  0 ,i r 2 4 r 4  2 r 3 b  lv ,i  1   u   cos 2    cos2  lv,i sin    lv,i   cos  u y 0  sin   u x0 2 , i Eb d 3 Eb d 3 3  lv ,i 0 c r ,i

40

Met grondreactie 0 (9) en 2 (38) wordt de totale vervorming:  0 ,i r 2 1   0  u Eb d  4 r4   2 r 3 b  lv ,i  1     cos  2   cos2  lv ,i sin    lv ,i   cos  u y 0  sin   u x 0  1   2   2 ,i 3 3  lv ,i 0 c r ,i  3 E b d 



41

De uitdrukkingen voor uy0 en ux0 zijn gegeven in (31) en (32). De normaalkracht met grondreactie: N  N 0,i 1  Į 0   N 2,i 1   2  met N 0 ,i volgens 6  en N 2,i volgens 10 



42

Het buigend moment met grondreactie: M  M 2,i 1   2 

met M 2,i volgens 11

Aan de hand van de vergelijkingen (8), (9) en (33) t/m (38) worden de topverplaatsing en de flankverplaatsing berekend:  Volgens hoofdstuk 3: u 0  1   0  u 0 ,i  1  0.0121 * 0.738  0.729mm

 0  0.0121 

Gesteld wordt dat de rotatiestijfheid van de langsvoegen constant is. 2 E l b 36000 * 400 2 * 1000  4.8 * 1011 Nmm c b v  rad 12 12 B

3 4 r4 4 * 6950 4   400.057  4.00 * 10 2 mm 3 N 3 Eb d 3 * 36000 * 600 3

Cy 

r 3b  cos2  lv,i sin  lv,i  6c r 0  lv ,i 

Cx 

r 3b  cos2  lv,i cos lv,i  6c r  1     1  2

i=0 i=1 i=2 i=3 i=4

lv , i

2

lv,i [] 0 40 80 120 160

cos(2lv,i)sin(lv,i) 0 0.112 -0.925 -0.433 0.262 =-0.985

i=7 i=8 i=0 i=1 i=2

lv,i [] 280 320 0 40 80

cos(2lv,i)cos(lv,i) -0.163 0.133 1 0.133 -0.163 =0.940

Cy 

3 6950 3 * 1000 r 3b     cos 2  sin   * 0.985  114.792  1.1 * 10 2 mm  lv ,i lv ,i 11 N 6c r 0  lv ,i  6 * 4.8 * 10

Cx 

3 6950 3 * 1000 r 3b cos2  lv ,i cos lv ,i   * 0.940  109.534  1.1 * 10 2 mm  11 N 6c r  1     1  6 * 4.8 * 10 2

lv , i

2

37




De top- en de flankverplaatsing t.g.v. ovaliserende belasting en langsvoegen met grondreactie: u top   2,i

B  Cy 400.057  114.792 r 6950  4.93mm  0.0365 * * 6950 Eg r 38  400.057  114.792  B  Cy Eg 38

u flank   2,i

2  

B  Cx r 400.057  109.534 6950  4.91mm  0.0365 * * r 6950 Eg 38  400.057  109.534  B  Cx Eg 38

E g u top  u flank r 2 , i

2



38 4.93  4.91  0.737 6950 * 0.0365 2

De totale top- en flankverplaatsing met grondreactie: u top  0.729  4.93  5.66mm u flank  0.729  4.91  4.18mm



De normaalkracht (41) en het buigend moment (42): N  N 0,i 1  Į 0   N 2,i 1   2   2293.5 * 1  0.0121  84.6 * 1  0.737   2265.8  22.2kN N top  2243.6  2.24 * 10 3 kN N flank  2288.0  2.29 * 10 3 kN M  M 2,i 1   2   587.7 * 1  0.737   154.6kNm M top  154.6  1.55 * 10 2 kNm M flank  154.6  1.55 * 10 2 kNm

Opmerking: Als reductie in de rotatiestijfheid van de langsvoegen wordt beschouwd (m.b.v. de sekant methode of de tangent methode, zie hoofdstuk 7), blijkt dat de oplossing van deze methoden niet convergeert in het geval zonder grondreactie. Uit de raamwerkberekening blijkt dit ook het geval te zijn (zie figuur 22). Met grondreactie blijft de rotatiestijfheid constant. De rotaties in de langsvoegen zijn kleiner dan de grenswaarde voor het lineaire gebied van de M- relatie, zie hoofdstuk 7. De raamwerkberekening toont dit ook aan (zie figuur 23). 1  2,i br 2 cos2  3 1   2    grens  cr

 grens 

2N 2 * 0.330 * 1000 * 6950   0.319 * 10 3 rad Eb lv b 36000 * 400 * 1000

 grens  grenswaarde voor hoekverdraaiing in langsvoeg tussen lineair en niet lineair gebied van M - ș relatie [rad], [  ] N  N 0 omdat N 2  N 0

38


Figuur 22: M- gedrag zonder grondreactie

Figuur 23: M- gedrag met grondreactie

De doorgaande lijn is de theoretische relatie voor de langsvoegen volgens (16) en (20). De stippen geven het optredende gedrag aan in de langsvoegen in het raamwerkmodel. Uit figuur 22 blijkt dat bij de optredende rotatie in een aantal van de langsvoegen een te groot buigend moment wordt geleverd. De stippen liggen niet op de doorgaande lijn. Ondanks het itereren van de reducerende rotatiestijfheden (systeem zonder grondreactie) blijven een aantal stippen buiten de doorgaande lijn (figuur 22). Het iteratieproces lijkt niet te convergeren naar een oplossing voor de rotatiestijfheden. De tunnellining blijkt instabiel te zijn zonder grondondersteuning, wanneer de reducerende rotatiestijfheden worden toegepast. De tunnellining wordt “plat”. Dit blijkt ook uit figuur 22. In figuur 23 is te zien dat de rotatiestijfheden constant zijn in de langsvoegen voor een systeem met grondreactie. De doorgaande lijn is immers lineair.

39


6.2



Figuur 24: raamwerkberekening u in [mm] voor enkele ring inclusief grondreactie

Figuur 25: raamwerkberekening N in [N] voor enkele ring inclusief grondreactie

40


Figuur 26: raamwerkberekening M in [Nmm] voor enkele ring inclusief grondreactie

Volgens de raamwerkberekening bedragen de radiale verplaatsing, de normaalkracht en het buigend moment met grondreactie:  5.56  5.78  u top   5.67 mm 2 u flank  4.16mm  N top  2243.5  2.24 * 10 3 kN N flank  2287.4  2.29 * 10 3 kN  M top  156.8  1.57 * 10 2 kNm M flank  156.8  1.57 * 10 2 kNm

6.3


Beide berekeningen komen goed met elkaar overeen (<5%):  5.66  5.67  u top  * 100%  0.2%  5.67 4.18  4.16 u flank  * 100%  0.5% 4.16  2243.6  2243.5  N top  * 100%  0%  2243.5  2288.0  2287.4 N flank  * 100%  0%  2287.4  154.6  156.8  M top  M flank  * 100%  1.4%  156.8 u top  verschil in radiale verplaatsing in de top tussen analytische berekening en raamwerkberekening u flank  verschil in radiale verplaatsing in de flank tussen analytische berekening en raamwerkberekening N top  verschil in normaalkracht in de top tussen analytische berekening en raamwerkberekening N flank  verschil in normaalkracht in de flank tussen analytische berekening en raamwerkberekening M top  verschil in buigend moment in de top tussen analytische berekening en raamwerkberekening M flank  verschil in buigend moment in de flank tussen analytische berekening en raamwerkberekening

De verschillen tussen beide resultaten zijn gering. De factor 1.043 is in rekening gebracht. 41


42


HOOFDSTUK

7

Dubbele ring met uniforme en ovaliserende belasting, langsvoegen en ringvoegkoppelingen

De gesegmenteerde ring wordt uitgebreid met ringvoegkoppelingen. Bij deze modellering worden de uniforme belasting en de ovaliserende belasting aanwezig verondersteld.

7.1


7.1.1 ANALYTISCHE BESCHOUWING RINGVOEGKOPPELINGEN Tussen de ringen bevinden zich ringvoegplaten, die worden voorgespannen door axiale belastingen. Door de voorspanning en de karakteristieken van de voegplaten kan bij radiale vervormingverschillen over de ringvoegen een zogenaamde koppelkracht ontstaan als gevolg van de wrijvingskrachten in de contactvlakken. De koppelkracht vormt een puntlast op de lining en zal daardoor invloed hebben op de buigende momenten in de ring. De ringen moeten echter een vervormingverschil ondergaan om koppelkrachten te laten optreden. Een analytische oplossing voor de invloed van de ringvoegkoppelingen op de ring is afgeleid in [lit. 1] voor twee ringen met halve breedte, in halfsteensverband, die t.p.v. de voegplaten elastisch zijn gekoppeld (zie figuur 27 en 28). De koppelingen hebben een lineaire veerkarakteristiek kv. Voor de stijfheid van de ringvoegkoppelingen kv wordt gesteld dat deze 1*106 N/mm groot is. koppelkracht P

¼L ½L ringvoegplaat

Ring 1

L

¼L L=lengte segment in tangentiële richting

koppelkracht

ringvoegplaat

Ring 2

Figuur 27:locaties koppelkrachten bij halfsteensverband 43


koppelkracht Ring 2

langsvoeg

segment

Ring 1

koppelkracht

segment

langsvoeg

ring 2 met EbA en EbI Figuur 28: schematisatie ring

koppelveer kv

ring 1 met EbA en EbI

43

rotatieveer cr

Aan de koppelkracht P kan een maximale waarde Pmax worden gebonden: Pmax  Faxiaal ,max

  wrijvingscoëfficiënt, voor beton op beton is  0.4 groot [-] Faxiaal ,max  maximale belasting in de axiale richting [N]

i= 0 / 0 ° i= 8.75 / 350 ° i= 8.5 / 340 ° i= 8.25 / 330 °

P2

i= 0.25 / 10 ° i= 0.5 / 20 ° i= 0.75 / 30 ° i= 1 / 40 °

i= 8 / 320 ° i= 7.75 / 310 °

i= 1.25 / 50 °

i= 7.5 / 300 °

i= 1.5 / 60 °

P1

i= 7.25 / 290 °

i= 1.75 / 70 °

i= 7 / 280 °

i= 2 / 80 °

i= 6.75 / 270 °

i= 2.25 / 90 °

i= 6.5 / 260 °

i= 2.5 / 100 ° i= 2.75 / 110 °

i= 6.25 / 250 °

P2 i= 6 / 240 °

i= 3 / 120 °

i= 5.75 / 230 °

i= 3.25 / 130 °

i= 5.5 / 220 °

i= 3.5 / 140 °

i= 5.25 / 210 ° i= 5 / 200 ° i= 4.75 / 190 °

P1

i= 3.75 / 150 ° i= 4 / 160 ° i= 4.25 / 170 °

i= 4.5 / 180 °

ring onvervormd

ring 1 LV vervormd

langsvoeg ring 1

langsvoeg ring 2

Figuur 29: vervormingen ring 1 en ring 2

44

ring 2 LV vervormd


Ten gevolge van de grondbelasting (de ovaliserende belasting) zal de tunnellining ovaliseren. Omdat de buigstijfheid van de segmenten veel groter is dan de rotatiestijfheid van de langsvoegen, zal de vervorming voor een groot gedeelte plaatsvinden in de langsvoegen. Door het halfsteensverband lopen de langsvoegen in de axiale richting niet door. Hierdoor zullen twee opeenvolgende ringen verschillend vervormen. Als een ring (ring 1) wordt geplaatst met het eerste scharnier in de top, en de ring wordt opgebouwd uit 9 segmenten, zal t.p.v. de bodem geen scharnier aanwezig zijn (zie figuur 29). Opgemerkt wordt dat de sluitsteen niet in het model is opgenomen. Een tweede ring wordt genomen met het eerste scharnier op een half segment verder. Het hoekverschil met het eerste scharnier van ring 1 is 20. De oriëntatie van de langsvoegen in de ringen is spiegelsymmetrisch om de horizontale as en tevens symmetrisch om de verticale as. De straalveranderingen van de ringen zijn in absolute waarden identiek. Het vervormingsbeeld tussen de ringen is gespiegeld om de horizontale as (figuur 29). Deze verschillen veroorzaken de hierboven genoemde koppelkrachten. In [lit. 1] is afgeleid dat door deze vervormingen van de twee ringen gelijkgerichte puntlasten door koppelkrachten optreden. Als de vervormingsbeelden van ring 1 en ring 2 worden vergeleken, blijkt dat ring 1 in de top een grotere radiale verplaatsing ondergaat dan de top van ring 2. Omdat de ringen gekoppeld zijn met veren, zal in ring 1 een kracht P1 worden uitgeoefend die naar boven is gericht en dezelfde kracht P2 in ring 2 naar beneden (zie figuur 29). Aan de bodem heeft ring 1 een kleinere radiale verplaatsing waarbij de kracht in ring 1 ook naar boven zal richten, terwijl dezelfde kracht in ring 2 weer naar beneden is gericht. In [lit. 1] is een afleiding gegeven voor de invloed van deze diametraal gelijkgerichte koppelkrachten op de buigende momenten: 44a  M    1 Pr 1  sin    2 cos   voor - 1     1  (bovenste helft van de tunnellining)  2  2 2  44b  M     1 Pr 1  sin    2 cos   voor 1     3  (onderste helft van de tunnellining)  2  2 2  P  k v u k v  koppelstijfheid [N/mm] u  radiale verplaatsingsverschil tussen ring 1 en ring 2 [mm] De termen cos en sin zijn absoluut gesteld zodat ook bij negatieve waarden voor  de momentenlijn geldig is. De momentenlijn t.g.v. koppelkracht P is weergegeven in figuur 30.

45


M (Nmm)

Aandeel koppelkracht in buigend moment met P=1N en r=1mm

2.00E-01 1.50E-01 1.00E-01 5.00E-02 0.00E+00 -5.00E-02

0

40

80

120

160

200

240

280

320

360

-1.00E-01 -1.50E-01

graden)

-2.00E-01

Figuur 30: momentenlijn t.g.v. koppelkracht met P=1 N en r=1 mm

7.1.1.1

Lokale invloed koppelkracht op langsvoegen

Omdat implementatie van vergelijking (44) een zeer complexe afhankelijkheid geeft in de op te stellen vergelijkingen, wordt gesteld dat de koppelkracht alleen invloed heeft ter plaatse waar deze aangrijpt tot de dichtstbijzijnde langsvoegen aan weerszijden van dit aangrijpingspunt (-10    10). langsvoeg in ring 1 P

langsvoeg in ring 2

-10    10

Figuur 31: lokale invloed koppelkracht P op dichtstbijzijnde langsvoegen

Dat dit uitgangspunt tot goede resultaten leidt, kan als volgt worden aangetoond. De tunnellining, omringd door grond wordt gemakshalve geschematiseerd als een elastisch ondersteunde ligger om de invloed van de koppelkracht te onderzoeken, zie figuur 32.

P

grond r

P



P x elastische ondersteuning

r tunnellining

P Figuur 32: schematisatie ring in elastisch ondersteunde ligger

46


45

Volgens vergelijking (44) volgt het maximale moment t.p.v. koppelkracht P met grondreactie: 1  2 M  Pr 1   1   2  2    2  aandeel belasting dat door de grond wordt opgenomen, een waarde van 0.7 wordt aangenomen Vermenigvuldiging met (1-2) is toegestaan, omdat koppelkracht recht evenredig is met u en dus ook met 2.

46

47 

Het buigend moment voor een elastisch ondersteunde ligger volgt uit [lit. 2]:  P  x  M  e sin  x   4  2    een waarde voor meewerkende breedte [m] x  afstand tot puntlast P [m] In deze beschouwing wordt x  0 genomen. Het maximale moment (met grondondersteuning) is: P voor x  0 M  2 De overige extremen treden op in x = /2, 3/2... Vergelijking (46) bezit een sterk dempend karakter. De golf neemt snel af met toenemende x. De verhouding van de absolute waarden van twee opvolgende extremen is:  *

 

 e 2  e 2  0.208   *0 e  *

3 3

 e 2  e 2  0.00898   *0 e Dit betekent dat de waarde van het buigend moment Mx waarde Mx = 0, het maximale moment t.p.v. de puntlast P.

= 3/2

nog maar 0.9% bedraagt van de

P

M x x = /2

x = 3/2

x=0 Figuur 33: momentenlijn volgens (46)

48

De parameter  kan worden afgeleid uit (45) en (47). 1 2   1   2  1   r    Globaal gesproken kunnen waarden voor x > / (e-=0.0432) worden verwaarloosd [lit. 2]. De afstand van de koppelkracht P tot de grens van verwaarlozen is:  2  x    1   2  1  r  0.109r   

47


De hoek waarbij koppelkracht nog invloed heeft is:   0.109  19.6   19.6     19.6 

De dichtstbijzijnde langsvoeg ter plaatse van een ringvoegkoppeling bevindt zich op  = 10 (en =-10) afstand, de daaropvolgende op  = 10 + 20 = 30 en ( = -30) afstand. 30    0.167 180  0.167  x  1.529  0.109  e 1.529  0.00820 De invloed van P op deze langsvoeg ( = 30) is 0.82%, d.w.z. 0.82% van het maximale moment t.p.v. van de koppelkracht. De koppelkracht heeft nauwelijks invloed op deze langsvoeg (< 1%).

De veronderstelling dat de koppelkracht alleen lokale invloed op de dichtstbijzijnde langsvoegen heeft, is hiermee aangetoond. Invloed van de koppelkracht op de dichtstbijzijnde ringvoegkoppelingen wordt beschouwd in 7.3.2.1. Aan de hand van de theoretische beschouwing van de uniforme belasting, de ovaliserende belasting, de langsvoegen en de ringvoegkoppelingen wordt een berekeningsmodel opgesteld voor het vervormingsbeeld van twee gekoppelde gesegmenteerde ringen belast door uniforme en ovaliserende belasting. De analytische berekening bestaat uit twee stappen: 1. Situatie gekoppeld gesegmenteerde ringsysteem met oneindig grote buigstijfheid (EbI) en normaalstijfheid (EbA) van segmenten, d.w.z. geen vervorming van de segmenten, en uitsluiting van de grondreactie. 2. Situatie gekoppeld gesegmenteerde ringsysteem met reële buigstijfheid (EbI) en normaalstijfheid (EbA) van segmenten, d.w.z. vervorming van de segmenten, en bijdrage van de grondreactie.

7.1.2 SITUATIE UITSLUITING VERVORMING SEGMENTEN EN GRONDREACTIE Om het aantal op te lossen vergelijkingen te beperken wordt uitgegaan van een systeem van ringen met een zo hoog mogelijke graad van symmetrie om de verticale as, terwijl om de horizontale as van spiegelsymmetrie wordt uitgegaan. Dit betekent dat voor ring 1 het eerste scharnier in de top van de ring wordt geplaatst, terwijl voor de tweede ring het eerste scharnier een half segment versprongen zit. De langsvoegen, gemodelleerd als rotatieveren, en de ringvoegkoppelingen, gemodelleerd als lineaire radiale translatieveren, worden om de 20 geplaatst (zie figuur 34).

48


De volgende parameters zijn toegepast: Voor locatie i in ring j geldt: locatie i op de liningomtrek

0, 0.25, ... , i+0.25,..., 8.75

ring j

1, 2

radiale verplaatsing t.p.v. locatie i in ring j

ui,j

radiale verplaatsingsverschil t.p.v. locatie i

ui

poolhoek t.p.v. locatie i

i

buigend moment t.p.v. locatie i in ring j

Mi,j

hoekverdraaiing van langsvoeg t.p.v. locatie i

i

koppelkracht t.p.v. locatie i

Pi i= 0 / 0 °

i= 8.75 / 350 ° i= 8.5 / 340 ° i= 8.25 / 330 °

i= 0.25 / 10 ° i= 0.5 / 20 ° i= 0.75 / 30 °

i= 8 / 320 °

i= 1 / 40 °

i= 7.75 / 310 °

i= 1.25 / 50 °

i= 7.5 / 300 °

i= 1.5 / 60 °

i= 7.25 / 290 °

i= 1.75 / 70 °

i= 7 / 280 °

i= 2 / 80 °

i= 6.75 / 270 °

i= 2.25 / 90 °

i= 6.5 / 260 °

i= 2.5 / 100 °

i= 6.25 / 250 °

i= 2.75 / 110 °

i= 6 / 240 °

i= 3 / 120 °

i= 5.75 / 230 °

i= 3.25 / 130 °

i= 5.5 / 220 °

i= 3.5 / 140 °

i= 5.25 / 210 ° i= 5 / 200 ° i= 4.75 / 190 °

i= 3.75 / 150 ° i= 4 / 160 ° i= 4.25 / 170 ° i= 4.5 / 180 °

langsvoegen ring 1

langsvoegen ring 2

ring 1

ring 2

ringkoppeling

Figuur 34: locatie langsvoegen en ringvoegkoppelingen in ring 1 en ring 2

Vervorming in het systeem vindt alleen plaats door vervorming van de langsvoegen. De buigstijfheid en de normaalstijfheid van de segmenten zijn oneindig groot verondersteld. De veerstijfheid van de koppelingen wordt overal gelijk en constant gehouden. De koppelstijfheid kv is 1*106 N/mm. Voor de rotatiestijfheid in de langsvoegen wordt een stijfheid cr verondersteld. Voor de eenvoud zal in eerste instantie een constante rotatiestijfheid c genomen worden. Later in de berekening wordt de reductie van de rotatiestijfheid in rekening gebracht.

49


Constante rotatiestijfheid Vervorming van de langsvoegen treedt op door hoekverdraaiingen in de langsvoegen. Om de rotaties van de langsvoegen te bepalen, is het nodig om het buigend moment t.p.v. de langsvoegen te vinden. Alleen de ovaliserende belasting 2 en de koppelkrachten in de ringvoegen leveren een bijdrage aan het buigend moment.

11 49 50  51

Voor het buigend moment t.g.v. 2 is: 1 M i , j  i    2 br 2 cos2 i  3 Het buigend moment t.p.v. de langsvoeg i t.g.v. de koppelkracht Pi0.25 is: 1 2   M i , j  i  0.25   Pi  0.25 r 1  sin  i  0.25   cos  0.25   2    De koppelkracht bevindt zich op 10 afstand van de langsvoeg: 1 2   M i , j  10    Pi  0.25 r 1  sin  10    cos 10     0.0997 Pi  0.25 r 2    Voor de koppelkracht geldt: Pi  0.25  k v u i  0.25

Het buigend moment wordt vervolgens: M i , j  i  0.25   0.0997 k v ru i  0.25 Mlangsvoeg = 0.0997Pi-0.25 r + 0.0997Pi+0.25 r Mmax = ½(1-2/)Pi+0.25 r

i

i-0.25

i-0.25 = 10 i+0.25 = 10

Pi-0.25

i+0.25

momentenlijn

Pi+0.25

Figuur 35: overzicht locatie koppelkracht P en langsvoegen

Superpositie van de twee bijdragen van de naastliggende koppelkrachten t.p.v. de langsvoeg i levert:

52 

M i , j  i  0.25   0.0997 k v r u i 0.25  u i  0.25 

De invloed van de koppelkracht is lokaal. Het betekent dat alleen de dichtstbijzijnde langsvoegen t.p.v. de ringvoegkoppeling worden beïnvloed door de koppelkracht in deze ringvoegkoppeling. Twee koppelkrachten bevinden zich op 10 afstand aan weerszijden van de langsvoeg i (zie figuur 35). Ter plaatse van deze langsvoeg worden het buigend moment en de optredende rotatie afgeleid om de vervormingen van de ringen te bepalen. Deze twee koppelkrachten leveren ieder een aandeel aan het buigend moment t.p.v. de langsvoeg.

53

Het totale buigend moment t.p.v. de langsvoeg kan als volgt worden geformuleerd: 1 M i , j  i    2 br 2 cos2 i   0.0997 k v r u i 0.25  u i  0.25  3

50


Het aandeel van de koppelkracht is negatief als i een locatie betreft in ring 1, terwijl het aandeel positief is als i een locatie betreft in ring 2. Dit heeft te maken met het tekenverschil van het buigend moment t.g.v. 2 en die t.g.v. P. Voor de hoekverdraaiing in de langsvoegen kan worden geschreven: M i, j  i, j  cr Deze uitdrukking geldt voor de zogenaamde sekant methode, die later in het hoofdstuk wordt beschouwd. Vanwege de spiegelsymmetrie van de ringen kan het volgende worden gesteld: ui u2.75 u3.25 u3.75 u4.25

= -ui+4.5 = -u1.75 = -u1.25 = -u0.75 = -u0.25

Vervolgens wordt voor de analyse van de vervormingsverschillen (vanwege de symmetrie) een kwart van de ringen beschouwd: 0    ½ . Als uitwendige belasting zal alleen de ovaliserende belasting 2 op de ringen beschouwd worden. Omdat in eerste instantie alleen naar de vervormingverschillen worden gekeken, zal de uniforme belasting 0 niet in rekening worden gebracht. De uniforme belasting 0 zal bij de bepaling van de radiale vervormingen wel opgenomen worden in het model. De langsvoegen bevinden zich op de volgende posities: index i 0 0.5 1 1.5 2

hoek  [] 0 20 40 60 80

ring 1 rotatieveer

ring 2 rotatieveer

rotatieveer rotatieveer rotatieveer

Tabel 1: posities langsvoegen (rotatieveren)

Voor de vervormingen zijn alleen de buigende momenten t.p.v. de langsvoegen van belang. Daaruit kunnen vervolgens de hoekverdraaiingen van de langsvoegen worden afgeleid met:

 i, j  M i, j / c c  constante rotatiesti jfheid [Nmm/rad]

51


Met de uitdrukking voor het buigend moment t.p.v. de langsvoeg (53) kan het volgende worden gevonden: 1 M i , j   2 br 2 cos2 i   0.0997 k v r u i  0.25  u i  0.25  3



i 0

0

0.5

20

1

40

1.5

60

2

80

ring 1 M 0,1  0.333 2 br 2

ring 2

 0.0997 k v r u 0.25  u 0.25  M 0.5, 2  0.255 2 br 2

 0.0997 k v r u 0.25  u 0.75 

M 1,1  0.0579 2 br

2

 0.0997 k v r u 0.75  u1.25  M 1.5, 2  0.167 2 br 2

 0.0997 k v r u1.25  u1.75 

M 2,1  0.313 2 br

2

 0.0997 k v r u1.75  u 2.25 

Tabel 2: buigend moment t.p.v. langsvoegen door 2 en Pi

Opgemerkt wordt dat door de verticale symmetrie geldt: u-0.25 = u0.25. De rotaties i,j worden:



i 0

0

0.5

20

1

40

1.5

60

2

80

ring 1  0,1  0.333 A  0.0997 Bu 0.25  u 0.25 

ring 2

 0.5, 2  0.255 A  0.0997 Bu 0.25  u 0.75 

 1,1  0.0579 A  0.0997 Bu 0.75  u1.25 

 1.5, 2  0.167 A  0.0997 Bu1.25  u1.75 

 2,1  0.313 A  0.0997 B u1.75  u 2.25 

Tabel 3: rotaties t.p.v. langsvoegen

54 55

met A 

 2 br 2

c kv r B c

De radiale verplaatsingen van ring 1 en ring 2 t.p.v. de ringvoegkoppelingen kunnen worden bepaald. Als beide verplaatsingen bekend zijn, kunnen de verplaatsingsverschillen ui worden gevonden. De bepaling van de radiale verplaatsingen wordt uitgewerkt in twee methoden, gegeven in [lit. 1].

52


Methode 1: terugrekening uit topverplaatsingen

7.1.2.1

Methode 1 gaat uit van de randvoorwaarde dat geen verticale verplaatsing optreedt aan de flank t.g.v. de ovaliserende belasting 2. De radiale verplaatsing van locatie i van ring j ui,j wordt als volgt bepaald: 1. het bepalen van de topverplaatsing u0,j op basis van de hoekverdraaiingen i,j in de langsvoegen in ring j met: 1

u 0, j



0 1 2   i , j r 1  sin  i    i , j r sin  i  2  1 1   2

2

2. het bepalen van de radiaal gerichte bijdrage van u0,j in ui,j: u 0, j cos i 

3. het sommeren van stap 2 met de bijdragen van de hoekverdraaiingen i,j in de langsvoegen in ui,j: u 0, j cos i    i , j r sin  i   i 0.5 

Het betekent dat de rotatie van langsvoeg i wordt vermenigvuldigd met de loodrechte afstand op diameterlijn vanuit middelpunt tot dat betreffende punt. De bijdragen zijn negatief, omdat ze in de negatieve richting werken. i,j i i u0,j

sin(i)r

i

i

i,jsin(i)r

cos(i)u0,j

Figuur 36: radiaalgerichte bijdrage u0,j in ui,j (links, stap 2) en bijdrage hoekverdraaiing langsvoeg in ui,j (rechts, stap 3)

Eerst wordt de topverplaatsing van de ringen bepaald op basis van de bepaalde hoekverdraaiingen van de langsvoegen, weergegeven in tabel 3. 1

u 0, j



0 1 2   i , j r 1  sin  i    i , j r sin  i  2  1 1   2

2

u 0,1  0.5 0,1 r   1,1 r 1  sin  1    2,1 r 1  sin  2   0.5 0,1 r  0.357 1,1 r  0.0152 2,1 r

56

u 0, 2   0.5, 2 r 1  sin  0.5    1.5, 2 r 1  sin  1.5   0.658 0.5, 2 r  0.134 1.5, 2 r

u 0  u 0,1  u 0, 2  0.5 0,1 r  0.658 0.5, 2 r  0.357 1,1 r  0.134 1.5, 2 r  0.0152 2,1 r

De factor 0.5 voor 0,1 komt door de verticale symmetrie van ring 1. Dit verplaatsingsverschil u0 (56) wordt verder gebruikt bij het oplossen van de radiale verplaatsingen op de overige locaties in de ringen. Op dezelfde wijze kunnen de volgende radiale verplaatsingen worden afgeleid: u 0.25,1  u 0,1 cos 0.25   0.5 0,1 r sin  0.25   0.985u 0,1  0.0868 0,1 r

57 

u 0.25, 2  u 0, 2 cos 0.25   0.985u 0, 2 u 0.25  0.985u 0  0.0868 0,1 r

53


De termen voor u0,j worden vermenigvuldigd met cos0.25 om de radiaal gerichte bijdrage van u0,j in u0.25,j in rekening te brengen. u 0.75,1  u 0,1 cos 0.75   0.5 0,1 r sin  0.75   0.866u 0,1  0.25 0,1 r

58

u 0.75, 2  u 0, 2 cos 0.75    0.5, 2 r sin  0.75   0.5   0.866u 0, 2  0.174 0.5, 2 r u 0.75  0.866u 0  0.25 0,1 r  0.174 0.5, 2 r u1.25,1  u 0,1 cos 1.25   0.5 0,1 r sin  1.25    1,1 r sin  1.25   1   0.643u 0,1  0.383 0,1 r  0.174 1,1 r

59

u1.25, 2  u 0, 2 cos 1.25    0.5, 2 r sin  1.25   0.5   0.643u 0, 2  0.5 0.5, 2 r u1.25  0.643u 0  0.383 0,1 r  0.5 0.5, 2 r  0.174 1,1 r

u1.75,1  u 0,1 cos 1.75   0.5 0,1 r sin  1.75    1,1 r sin  1.75   1   0.342u 0,1  0.470 0,1 r  0.5 1,1 r

u1.75, 2  u 0, 2 cos 1.75    0.5, 2 r sin  1.75   0.5    1.5, 2 r sin  1.75   1.5 

60

 0.342u 0, 2  0.766 0.5, 2 r  0.174 1.5, 2 r u1.75  0.342u 0  0.470 0,1 r  0.766 0.5, 2 r  0.5 1,1 r  0.174 1.5, 2 r

Het invullen van de rotaties (tabel 3) in deze uitdrukkingen voor de verplaatsingenverschillen (56) t/m (60) levert het volgende stelsel vergelijkingen op:

61

 0.165 Br  0.101Br  0.049 Br  0.0149 Br   u 0   0.0373 Ar   1  u   0.0289 Ar  0.985 0.0173Br  1 0 0 0    0.25     u 0.75    0.0389 Ar  0.866 0.0671Br 0.0173Br  1 0 0      0.126 Br 0.0672 Br 0.0173Br  1 0   u1.25   0.0101Ar  0.643 0.342 0.170 Br 0.126 Br 0.0672 Br 0.0173Br  1  u1.75   0.0201Ar 

met A volgens (54) en B volgens (55)

In matrixnotatie kan deze worden weergegeven door:

S u   f  S   stijfheidsmatrix u  vector met verplaatsingsverschillen t.p.v. de koppelingen tussen ringen 1 en 2  f   belastingsvector De volgende waarden worden gesubstitueerd in (54) voor A en in (55) voor B:  2  0.0365MPa b  1000mm r  6950mm k v  1 * 10 6 N / mm 2

bl v Eb 1000 * 400 2 * 36000   4.8 * 1011 Nmm / rad (constante rotatiestijfheid) 12 12  br 2  3.67 * 10 3 A 2 c k r B  v  0.0145 c Het stelsel vergelijkingen (61) kan worden opgelost met standaard methoden volgens de lineaire algebra. c 

54


De oplossing van het stelsel wordt:

62

 0.6878   0.688   0.08139   0.0814      u    0.2049     0.205  mm      0.2293   0.229   0.08966  0.0897 

7.1.2.2

Methode 2: terugrekening uit topverplaatsingen met extra randvoorwaarde

Methode 2 maakt daarnaast nog gebruik van een extra voorwaarde dat het verplaatsingsverschil aan de flank gelijk is aan nul. Dit komt door de spiegelsymmetrische vervormingen van de ringen. Een extra randvoorwaarde wordt beschouwd: uflank = u2.25 = 0. u 2.25,1  u 0,1 cos 2.25   0.5 0,1 r sin  2.25    1,1 r sin  2.25   1    2,1 r sin  2.25   2   0.5 0,1 r  0.766 1,1 r  0.174 2,1 r

u 2.25, 2  u 0, 2 cos 2.25    0.5, 2 r sin  2.25   0.5    1.5, 2 r sin  2.25   1.5 

63

 0.940 0.5, 2 r  0.5 1.5, 2 r u 2.25  0.5 0,1 r  0.940 0.5, 2 r  0.766 1,1 r  0.5 1.5, 2 r  0.174 2,1 r  0

Hieruit volgt:

64  2,1  2.874 0,1  5.402 0.5, 2  4.402 1,1  2.874 1.5, 2 De uitdrukkingen voor i,j (tabel 3) ingevuld levert: u 2.25  0.0004 Ar  0.194 Bru 0.25  0.170 Bru 0.75  0.126 Bru1.25  0.0672 Bru1.75  0

65

u1.75  0.00595

A  2.887 u 0.25  2.530u 0.75  1.875u1.25 B

De vergelijking voor u0 verandert van: u 0  0.5 0,1 r  0.658 0.5, 2 r  0.357 1,1 r  0.134 1.5, 2 r  0.0152 2,1 r

in, na substitutie van 2,1:

66

u 0  0.456 0,1 r  0.576 0.5, 2 r  0.290 1,1 r  0.0903 1.5, 2 r

De vergelijkingen voor u0.25 (57), u0.75 (58) en u1.25 (59) blijven ongewijzigd. Het stelsel kan nu geschreven worden:

67 

 0.148 Br  0.0863Br  0.0379 Br  0.009 Br   u 0    0.0369 Ar   1 0.985 0.0173Br  1  u   0.0289 Ar  0 0 0     0.25   0.866  u 0.75    0.0389 Ar  0.0671Br 0.0173Br  1 0 0   0.0101Ar    0.126 Br 0.0672 Br 0.0173Br  1 0  0.643   u1.25   A   0 . 00595    0   2.887  2.530  1.875  1   u1.75   B  

55


De oplossing van dit stelsel is:

68

 0.6869   0.687   0.08228   0.0823      u   0.2128   0.213 mm      0.2849   0.285   0.2322  0.232

 2 br 2

 3.67 * 10 3 c k r B  v  0.0145 c De oplossing voor u1.75 met methode 2 ligt dichter bij de waarde die gevonden wordt met de raamwerkberekening: u1.75 = 0.21mm. Verder in de berekening wordt methode 2 toegepast. met A 

Opgemerkt wordt dat de stelsels ((61) met methode 1) en ((67) met methode 2) alleen geldig zijn voor de constante rotatiestijfheid c.

69 70

Reducerende rotatiestijfheid Een stelsel vergelijkingen wordt bepaald met methode 2, waarin de reductie van de rotatiestijfheid in de langsvoegen wordt opgenomen. De rotatiestijfheid cr in tabel 3 wordt nu expliciet gemaakt. De bepaalde rotaties worden opnieuw gesubstitueerd in u0 (66), u0.25 (57), u0.75 (58), u1.25 (59) en u1.75 (65). A' A met A'   2 br 2 cr B' B met B '  k v r cr De stijfheidsmatrix [S] ziet als volgt uit:

71

  -1   0.985   0.866 S     0.643     0   

 0.091 0.0574     B' r  c r 0.5   cr 0  0.0173   B' r  1  cr 0   0.0498 0.0173    B' r  c r 0.5   cr 0  0.0764 0.0499    B' r  c r 0.5   cr 0  0.0998 0.0937     c r 0.5    cr 0  0.0499 0.0173     c r1.5 cr 2  

 0.0574 0.0289     B' r  c r1   c r 0.5

 0.0289 0.009     B' r  c r1 c r1.5  

0

0

 0.0173   B' r  1  c r 0.5   0.0499 0.0173    B' r  c r1   c r 0.5  0.0937 0.0764     c r1    c r 0.5  0.0499 0.0173     c r1.5 cr 2  

56

0  0.0173   B ' r  1 c  r1   0.0764 0.0499     c r1.5    c r1  0.0499 0.0173     c r1.5 cr 2  



 0.009 B' r  c r1.5   0    0    0      1   


De belastingsvector {f} wordt:

72

   0.152 0.147 0.0168 0.0151    A' r      c r 0.5 c r1 c r1.5   cr 0   A'   0.0289 r   cr 0    0.0833 0.0444       '  c A r   c r 0.5   r0  f     0.128 0.128 0.0101        ' A r   c   c c r 0.5 r1  r0      0.167  0.240  0.0444  0.0835  0.0545      cr 0 c r 0.5 c r1 c r1.5 c r 2  A'     B'  0.0499 0.0173      c r1.5 cr 2  

De oplossing kan worden gevonden, als de rotatiestijfheid voor elke langsvoeg bekend is. De reducerende rotatiestijfheden kunnen bepaald worden met twee methoden:  De sekant methode (een directe berekening). De methode kan als volgt beschreven worden: 1. Schat een waarde voor de rotatiestijfheid van langsvoeg i=0, i=0.5, i=1, i=1.5 en i=2 (zie figuur 34). Neem in eerste instantie voor alle langsvoegen de constante rotatiestijfheid aan: {cri}stap0=4.8*1011Nmm/rad. 2. De geschatte rotatiestijfheden worden gesubstitueerd in [S] volgens (71). De waarde voor 2 wordt ingevuld in {f} volgens (72). In het model is 2 0.0365MPa groot. 3. De oplossing voor {ui}stap1=[S]-1{f} wordt bepaald met lineaire algebra. 4. Met oplossing {ui}stap1 worden de buigende momenten {Mi}stap1 met tabel 2 en de rotaties {i}stap1 met tabel 3 afgeleid. 5. De rotaties {i}stap1 worden vergeleken met grens of de buigende momenten {Mi}stap1 met Mgrens. De grens of Mgrens geeft de grenswaarde aan tussen het lineaire en het niet lineaire gebied van de M- relatie. Als de bepaalde rotaties of momenten kleiner zijn dan de grenswaarde, bevinden ze zich in het lineaire gebied. Omgekeerd (groter dan de grenswaarde) bevinden ze zich in het niet lineaire gebied. 2 0,i br 2 * 0.330 * 1000 * 6950 2Ni    0.319 * 10 3 rad  grens  36000 * 400 * 1000 Eb l v b Eb lv b  0,i brl v 0.330 * 1000 * 6950 * 400 Nl M grens  i v    152.9kNm 6 6 6 6. Als |{i}stap1|  grens  lineair: de rotatiestijfheid is constant, ci=4.8*1011Nmm/rad. De absolute teken is nodig, zodat ook bij negatieve waarden voor  de ongelijkheid geldig blijft. 7. Als |{i}stap1| > grens  niet lineair: de rotatiestijfheid is gereduceerd. Deze rotaties {i}stap1 worden gesubstitueerd in:   8N i 8N i 8N i  N i lv   i stap1       M of 1        i stap1 i 2 2  2     bl E 9  2M i    2 M i   v b i stap1   9bl v E b   1 9bl v E b   1  N i lv   N i lv    Nl 8N i voorwaarde : M i   M i stap1  M i      1 i v  2  9bl v E b  i stap1  

57


8. 9.

Uit deze uitdrukkingen worden de buigende momenten {Mi} bepaald. Deze liggen op de M- lijn. Met deze buigende momenten kunnen de rotatiestijfheden bepaald worden: {cri}stap1={Mi}/{i}stap1. De “nieuwe” rotatiestijfheden {cri}stap1 worden vergeleken met de “oude” geschatte rotatiestijfheden {cri}stap0. Als de nieuwe en de oude rotatiestijfheden aan elkaar gelijk zijn, is het iteratieproces voltooid. Het resultaat is: {ui}stap1, {i}stap1, {Mi} en {cri}stap1. Opgemerkt moet worden dat de “nieuwe” rotatiestijfheden bepaald zijn met c r  M /  . Ze zijn niet de “echte” rotatiestijfheden. De rotatiestijfheden kunnen worden afgeleid uit (21):

 2 M i   .    N l  1  iv  10. Als de nieuwe en de oude rotatiestijfheden niet allemaal aan elkaar gelijk zijn, zal het hele proces opnieuw gedaan moeten worden. De nieuwe invoer is {cri}stap1.

cri    9bl v

2

Eb 32

3

benadering met secant methode

M

i=0 stap 1

M stap 1

i=0 stap 2

M stap 2 M stap 3

exacte M- lijn

i=0 stap 3 i=0 stap 4

M stap 4 Mop lijn stap 1 cr0 stap 1 cr0 stap 2 cr0 stap 3 cr0 stap 4

 stap 1  stap 2



 stap 4  stap 3

Figuur 37: sekant methode geïllustreerd a.d.h.v. i=0, de overige stippen op de rechte punt-streep lijn stellen de overige langsvoegen i=0.5, i=1, i=1.5 en i=2 voor.



De tangent methode (een incrementele berekening). De methode kan als volgt beschreven worden: 1. Neem een stapsgrootte voor 2. Ter oriëntatie: een stapsgrootte van 2 = 0.10*2 wordt genomen (10% van 2). In n = 10 stappen wordt de incrementele berekening voltooid. 2. Schat een waarde voor de rotatiestijfheid van langsvoeg i=0, i=0.5, i=1, i=1.5 en i=2. Neem in eerste instantie voor alle langsvoegen de constante rotatiestijfheid aan: {cri}stap1=4.8*1011Nmm/rad. 3. De geschatte rotatiestijfheden worden gesubstitueerd in [S]increment volgens (71). De waarde voor 2 wordt ingevuld in {f}increment volgens (72). De stijfheidsmatrix [S] volgens (71) en de belastingsvector {f} volgens (72) gelden ook voor de incrementele berekening. Nu worden de (incrementele) rotaties bepaald met {i} = {Mi}/cri. Deze relatie is geldig als

58


4. 5. 6.

7.

8.

9.

de stapsgrootte voldoende klein wordt genomen. De {i} en de {Mi} stellen de incrementele rotaties en de incrementele buigende momenten in langsvoeg i voor. De oplossing voor {ui}increment,stap1=[S]increment-1{f}increment wordt bepaald met lineaire algebra. {ui}increment stelt het incrementele verplaatsingsverschil in langsvoeg i voor. Met oplossing {ui}increment,stap1 worden de buigende momenten {Mi}stap1 met tabel 2 en de rotaties {i}stap1 met tabel 3 afgeleid. Het resultaat is: {Mi}tot = (beginwaarde Mi} + {Mi}stap1, {i}tot = {beginwaarde i} + {i}stap1, {ui}tot={beginwaarde ui} + {ui}increment,stap1. Voor de beginwaarden worden de waarden nul aangehouden. De rotaties {i}tot worden vergeleken met grens of de buigende momenten {Mi}tot met Mgrens. De grens of Mgrens geeft de grenswaarde aan tussen het lineaire en het niet lineaire gebied van de M- relatie. Als de bepaalde rotaties of momenten kleiner zijn dan de grenswaarde, bevinden ze zich in het lineaire gebied. Omgekeerd (groter dan de grenswaarde) bevinden ze zich in het niet lineaire gebied. 2 0,i br 2 * 0.330 * 1000 * 6950 2Ni    0.319 * 10 3 rad  grens  Eb l v b Eb lv b 36000 * 400 * 1000  0,i brl v 0.330 * 1000 * 6950 * 400 Nl M grens  i v    152.9kNm 6 6 6 Als |{i}tot|  grens  lineair: de rotatiestijfheid is constant, ci=4.8*1011Nmm/rad. De absolute teken is nodig, zodat ook bij negatieve waarden voor  de ongelijkheid geldig blijft. Als |{i}tot| > grens  niet lineair: de rotatiestijfheid is gereduceerd. Deze rotaties {i}tot worden gesubstitueerd in: Nl  8N i 8N i 8N i of  i tot    i tot   M i      1 i v 2 2 9bl v E b  i tot  2   2 M i    2M i   9bl v E b   1 9bl v E b   1  N i lv   N i lv   Nl 8N i voorwaarde : M i   M i tot  M i      1 i v 9bl v E b  i tot   2 Uit deze uitdrukkingen worden de buigende momenten {Mi} bepaald. Deze liggen op de M- lijn. Met deze buigende momenten kunnen de rotatiestijfheden bepaald worden:

 2 M i      N l  1  iv  10. Na 10 stappen is het resultaat: {Mi}tot={Mi}stap1+...+{Mi}stap10, {i}tot={i}stap1+...+{i}stap10, {ui}tot={ui}increment,stap1+ ...+{ui}increment,stap10.

cri    9bl v

2

Eb 32

3

De incrementele berekening is een bovengrensbenadering voor de M- lijn. Als de stapsgrootte voldoende klein wordt genomen, zal deze benadering nagenoeg exact overeenkomen met de M- lijn. Het eindresultaat van de tangent methode zal ook geheel overeenkomen met het resultaat van de sekant methode. De tangent methode geeft daarnaast ook informatie over de afgelegde weg: voor elke toename van 2 wordt het bijbehorende buigend moment, de rotatie en de rotatiestijfheid bepaald. Het gedrag van de langsvoegen is bekend. De sekant methode geeft alleen een eindantwoord op het buigend moment, rotatie en rotatiestijfheid voor een 2 waarde. Het doorlopen traject geeft geen belangrijke informatie weer.

59


Een voordeel van de sekant methode is dat deze snelt convergeert naar een oplossing. De tangent methode heeft echter veel stappen nodig om tot een goede schatting te komen voor een oplossing. M benadering met tangent methode i=0 stap 4 i=0 stap 3 i=0 stap 2 cr0 stap 1 i=0 stap 1

exacte M- lijn

cr0 stap 2 cr0 stap 2

cr0 stap 1

overige langsvoegen i=0.5, i=1, i=1.5 en i=2

  stap 1  stap2  stap 3

 stap 4

Figuur 38: tangent methode geïllustreerd a.d.h.v. i=0 met gelijke 2, de overige stippen op de rechte punt-streep lijn stellen de overige langsvoegen i=0.5, i=1, i=1.5 en i=2 voor.

De berekeningen met de sekant methode en de tangent methode zijn opgenomen in bijlage 3 en bijlage 4. De resultaten van beide methoden worden weergegeven in tabel 4 en 5. Uit de tabellen blijkt dat beide resultaten met elkaar overeenkomen volgens de verwachting. Beide methoden geven dezelfde oplossing, maar de afgelegde trajecten zijn verschillend. {u} [mm] i=0 i=0.25 i=0.75 i=1.25 i=1.75

1.267E+00 1.864E-01 -3.915E-01 4.048E-01 -3.629E-01

{M} [Nmm] i=0; j=1 i=0.5; j=2 i=1; j=1 i=1.5; j=2 i=2; j=1

{} [rad]

3.288E+08 3.074E+08 9.287E+07 -2.654E+08 -3.003E+08

i=0; j=1 i=0.5; j=2 i=1; j=1 i=1.5; j=2 i=2; j=1

1.760E-03 1.299E-03 1.935E-04 -7.969E-04 -1.187E-03

{cr} [Nmm/rad] i=0; j=1 i=0.5; j=2 i=1; j=1 i=1.5; j=2 i=2; j=1

3.680E+10 5.809E+10 4.800E+11 1.212E+11 6.665E+10

Tabel 4: resultaat sekant methode (i=locatie ringomtrek, j=ringnummer)

{u} [mm] i=0 i=0.25 i=0.75 i=1.25 i=1.75

1.255E+00 1.845E-01 -3.865E-01 3.979E-01 -3.583E-01

{M} [Nmm] i=0; j=1 i=0.5; j=2 i=1; j=1 i=1.5; j=2 i=2; j=1

{} [rad]

3.314E+08 3.096E+08 9.414E+07 -2.669E+08 -3.036E+08

i=0; j=1 i=0.5; j=2 i=1; j=1 i=1.5; j=2 i=2; j=1

1.743E-03 1.290E-03 1.961E-04 -7.950E-04 -1.199E-03

Tabel 5: resultaat tangent methode na 100 stappen (i=locatie ringomtrek, j=ringnummer)

60

{cr} [Nmm/rad] i=0; j=1 i=0.5; j=2 i=1; j=1 i=1.5; j=2 i=2; j=1

3.749E+10 5.893E+10 4.800E+11 1.218E+11 6.572E+10


7.1.3 SITUATIE MET VERVORMING SEGMENTEN EN GRONDREACTIE Om het systeem te integreren met de grondreactie wordt uitgegaan dat de grondbelasting wordt gereduceerd met het aandeel dat door de grond wordt opgenomen. De grondreactie wordt gesplitst in twee groepen:  De grondreductiefactor 0: de bijdragen omvatten de uniforme belasting 0 (de normaalstijfheid van segment EbA) en de ringvoegkoppelingen. Omdat de ringvoegkoppelingen voornamelijk invloed hebben op de buigende momenten, zal de normaalkracht in de tunnellining niet (of nauwelijks) veranderen. Deze veronderstelling blijkt ook uit de raamwerkberekening (figuur 39). Volgens hoofdstuk 3 is de grondreductiefactor 0 gelijk aan 0.0121.

Figuur 39: gekoppeld ringsysteem met grondreactie onder uniforme belasting (links) en enkele ring met grondreactie onder uniforme belasting (rechts). Het blijkt dat de ringvoegkoppelingen nauwelijks invloed hebben op de uniforme vervorming van de ring.



De grondreductiefactor 2: de bijdragen omvatten de ovaliserende belasting 2 (de buigstijfheid van segment EbI), de langsvoegen en de ringvoegkoppelingen. De ovalisering van de tunnellining zal wijzigen t.g.v. de koppelkrachten, waardoor de factor 2 opnieuw bepaald moet worden. De eerder bepaalde waarde voor 2 (hoofdstuk 6) is niet meer geldig.

Voor de eenvoud zal in eerste instantie een constante rotatiestijfheid c genomen worden. Later in de berekening wordt de reductie van de rotatiestijfheid in rekening gebracht. Constante rotatiestijfheid In de berekening wordt uitgegaan van methode 2, beschreven in 7.1.2. Het blijkt dat tussen de radiale verplaatsingsverschillen en de spanning een lineaire relatie bestaat: {u}~{f}~{}, omdat [S]{f}={u}. Verder is gebleken dat een lineair verband bestaat tussen de ringverplaatsingen en de langsvoegrotaties, die ook lineair afhangen van de radiale verplaatsingsverschillen (zie tabel 2): {u}~{lv}~{u}

61


Met deze lineaire relaties kan de ovaliserende belasting 2 in de uitdrukkingen voor de hoekverdraaiingen in de langsvoegen, gebruikmakend van tabel 2, expliciet worden gemaakt. i 0.333 A' 2  0.09972u 0.25 B

i 0

0.255 A' 2  0.0997u 0.25  u 0.75 B

0.5 1

0.0579 A' 2  0.0997u 0.75  u1.25 B

1.5 2

 0.313 A' 2  0.0997u1.75  u 2.25 B

 0.167 A' 2  0.0997u1.25  u1.75 B

Tabel 6: hoekverdraaiing langsvoegen als functie van 2

br 2 c kv r B c De top- en flankverplaatsingen worden uitgedrukt als functie van 2: met A' 

De topverplaatsingen als functie van 2: u 0,1  0.5 0,1 r  0.357 1,1 r  0.0152 2,1 r  0.183 A' r 2   0.0997 u 0.25  0.0356u 0.75  u1.25   0.00152u1.75 Br u 0, 2  0.658 0.5, 2 r  0.134 1.5, 2 r  0.146 A' r 2  0.0656u 0.25  u 0.75   0.0134u1.25  u1.75 Br

De flankverplaatsingen als functie van 2: u 2.25,1  0.5 0,1 r  0.7661,1 r  0.174 2,1 r  0.157 A' r 2  0.0997 u 0.25  0.0764u 0.75  u1.25   0.0173u1.75 Br u 2.25  0  u 2.25, 2  u 2.25,1

73 74

De gemiddelde radiale verplaatsing aan top en flank als functie van 2 is: u 0,1  u 0, 2 u 0, gem   0.165 A' r 2   0.0171u 0.25  0.015u 0.75  0.0111u1.25  0.0594u1.75 Br 2 u 2.25, gem  u 2.25,1  0.157 A' r 2  0.0997 u 0.25  0.0764u 0.75  u1.25   0.0173u1.75 Br Als deze uitdrukkingen worden ingevuld, zullen de waarden aan elkaar gelijk zijn. De ovaliserende belasting 2 geeft immers gelijke radiale verplaatsingen in de top en in de flank. Tot nu toe is bij de beschouwing van het gekoppelde ringsysteem geen rekening gehouden met de buigstijfheid en de normaalstijfheid van de segmenten. Als de buigstijfheid en de normaalstijfheid van de segmenten wel worden beschouwd, zullen de totale vervormingen van de ringen toenemen bij een gelijke belasting. Door de grotere vervormingen zal de grond meer elastisch vervormen, wat gevolgen heeft voor de belasting die door de ringen moet worden opgenomen. Opgemerkt wordt dat de buigstijfheid EbI geen invloed heeft op de koppelkrachten P. De koppelkrachten treden immers op door de vervormingsverschillen tussen de ringen. Deze

62


verschillen worden veroorzaakt door het halfsteensverband, waarbij de rotaties in de langsvoegen de radiale verplaatsingsverschillen bepalen. Samen met de buigstijfheid EbI van de segmenten wordt de grondreductiefactor 2 afgeleid. De normaalstijfheid van de segmenten is reeds opgenomen in de factor 0. Vergelijking (74) geeft de radiale verplaatsing ulv+P aan van het gekoppelde gesegmenteerde ringsysteem zonder buigstijfheid van de segmenten. Vergelijking (12) geeft de radiale verplaatsing uEI aan van een ring alleen door de buigstijfheid EbI.

76

De totale radiale verplaatsing van het gekoppelde systeem is een sommatie van deze bijdragen. 4  2r 4 u top  u lv  P  u EI  0.157 A' r 2  0.0997 u 0.25  0.0764u 0.75  u1.25   0.0173u1.75 Br  3 Eb d 3 Vergelijking (75) kan als volgt worden vereenvoudigd : u  Dr 2  C

77 

met D  0.157 A'

75

78

4 r3 3 Eb d 3

C  0.0997 u 0.25  0.0764u 0.75  u1.25   0.0173u1.75 Br ~  2

Omdat ui recht evenredig is met 2, is C ook afhankelijk van 2. Als de ui’s worden uitgeschreven, ziet de uitdrukking voor C als volgt uit:

79

C



1797k



r  143800k v r 4 c  0.1504 * 10 7 k v r 2 c 2  205900c 3 r 3 2 b

3 6 v 3 6

2

2

c 11470k v r  0.4800 * 10 7 k v r 4 c  0.2736 * 10 9 k v r 2 c 2  0.2000 * 1010 c 3



De topverplaatsing wordt:

80

u  Dr 2  C ' r 2

81

met C ' 

C r 2

Volledig uitgeschreven levert:

82





3 2  r 2 1797 k v r 6  143800k v r 4 c  0.1504 * 10 7 k v r 2 c 2  205900c 3 b u  r 2   3 6 2 4 7 9 2 2 10 3  c 11470k v r  0.4800 * 10 k v r c  0.2736 * 10 k v r c  0.2000 * 10 c





br 2 4 r 3    3 Eb d 3  c De factor 2 kan als volgt gevonden worden:  0.157

Eg u    u  D  C 'r   2,i  r   u

83

D  C 'r 2,i 1  E g  D  C '

 2 

Eg u r 2 , i



E g  D  C '

1  E g  D  C '



1 1 1 E g  D  C '

Substitutie van de parameters in (83) levert: 2 = 0.7252. Deze waarde is alleen geldig voor de constante rotatiestijfheid in alle langsvoegen.

63


Reducerende rotatiestijfheid De rotatiestijfheden voor elke langsvoeg zijn nu expliciet gemaakt. De uitdrukkingen (75) t/m (83) worden herschreven en zien als volgt uit:

84

76 85 86

81

 0.167 0.0444 0.0545  3 br  2   u top  u lv  P  u EI   c r1 c r 2   cr 0  0.0997  4  2r 4 0.0764 0.0764 0.0173  k v r 2  u 0.25  u 0.75  u1.25  u1.75   3 c r1 c r1 cr 2  cr 0  3 Eb d u  Dr 2  C  0.167 0.0444 0.0545  2 4 r 3 br  met D     3 Eb d 3 c r1 c r 2   cr 0  0.0997  0.0764 0.0764 0.0173 u 0.25  u 0.75  u1.25  u1.75  ~  2 C   k v r 2  c c c c r1 r1 r2  r0  C C'  r 2

De factor 2 wordt: Eg u    u  D  C 'r   2,i  r   u

87 

D  C 'r 2,i 1  E g  D  C '

 2 

Egu r 2,i



E g  D  C '

1  E g  D  C '



1 1 1 E g  D  C '

Een uitdrukking voor de grondreductiefactor 2 is afgeleid m.b.t. de reducerende rotatiestijfheid. Om de reducerende rotatiestijfheden voor ieder langsvoeg te bepalen, kunnen de sekant methode en de tangent methode toegepast worden. De beschrijvingen van beide methode zijn hieronder alsnog weergegeven, nu met grondreacties. 

De sekant methode (een directe berekening): 1. Schat een waarde voor de rotatiestijfheid van langsvoeg i=0, i=0.5, i=1, i=1.5 en i=2. Neem in eerste instantie voor alle langsvoegen de constante rotatiestijfheid aan: {cri}stap0=4.8*1011Nmm/rad. 2. De geschatte rotatiestijfheden worden gesubstitueerd in [S] volgens (71). De waarde voor 2 wordt ingevuld in {f} volgens (72). In het model is 2 0.0365MPa groot. 3. De oplossing voor {ui}stap1=[S]-1{f} wordt bepaald met lineaire algebra. 4. Met oplossing {ui}stap1 worden de buigende momenten {Mi}stap1 met tabel 2 en de rotaties {i}stap1 met tabel 3 afgeleid. 5. Het substitueren van {cri}stap0 en {ui}stap1 in de uitdrukkingen (85 voor D), (86 voor C), (81 voor C’) en (87 voor 2) kan de grondreductiefactor 2,stap1 bepaald worden. 6. De rotaties (1-2,stap1)*{ i}stap1 worden vergeleken met grens of de buigende momenten (12,stap1)*{Mi}stap1 met Mgrens. De grens of Mgrens geeft de grenswaarde aan tussen het lineaire en het niet lineaire gebied van de M- relatie. Als de bepaalde rotaties of momenten kleiner zijn dan de grenswaarde, bevinden ze zich in het lineaire gebied. Omgekeerd (groter dan

64


de grenswaarde) bevinden ze zich in het niet lineaire gebied. 2 N i 1    2 0,i br 1   0   2 * 0.330 *1000 * 6950 (1  0.0121)  0.315 *10 3 rad  grens   36000 * 400 * 1000 Eb l v b Eb lv b  0,i brl v Nl 1   0   0.330 *1000 * 6950 * 400 (1  0.0121)  151kNm M grens  i v 1     6 6 6 Het blijkt dat de grenswaarde nauwelijks afhangt van de grondreactie. 7.

8.

lineair: de rotatiestijfheid is constant, Als |(1-2,stap1)*{i}stap1|grens ci=4.8*1011Nmm/rad. De absolute teken is nodig, zodat ook bij negatieve waarden voor  de ongelijkheid geldig blijft. Als |(1-2,stap1)*{i}stap1|>grensniet lineair: de rotatiestijfheid is gereduceerd. Deze rotaties (1-2,stap1)*{i}stap1 worden gesubstitueerd in: 8N i 8N i 1   2,stap1  i stap1  of 1   2 , stap1  i stap1   2 2  2M i    2 M i       9bl v E b   1 9bl v E b   1   N i lv  N i lv    8N i Nl  M i      1 i v   2 9bl v E b 1   2, stap1  i stap1  

  8N i Nl voorwaarde : M i   1   2, stap1 M i stap1  M i      1 i v   2 9bl v E b 1   2, stap1  i stap1   Uit deze uitdrukkingen worden de buigende momenten {M} bepaald. Deze liggen op de M- lijn. Met deze buigende momenten (inclusief grondreactie) kunnen de rotatiestijfheden bepaald worden: {cri}stap1={Mi}/[(1-2,stap1)*{ i}stap1]. 9. De “nieuwe” rotatiestijfheden {cri}stap1 worden vergeleken met de “oude” geschatte rotatiestijfheden {cri}stap0. 10. Als de nieuwe en de oude rotatiestijfheden aan elkaar gelijk zijn, is het iteratieproces voltooid. Het resultaat is: (1-2,stap1)*{ui}stap1, (1-2,stap1)*{i}stap1, {Mi} en {cri}stap1. Opgemerkt moet worden dat de “nieuwe” rotatiestijfheden bepaald zijn met c r  M /  . Ze zijn niet de

“echte” rotatiestijfheden. De rotatiestijfheden kunnen worden afgeleid uit (21):

 2 M i   .    N l  1  iv  11. Als de nieuwe en de oude rotatiestijfheden niet allemaal aan elkaar gelijk zijn, zal het hele proces opnieuw gedaan moeten worden. De nieuwe invoer is {cri}stap1.

cri    9bl v

2

Eb 32



3

De tangent methode (een incrementele berekening): 1. Neem een stapsgrootte voor 2. Ter oriëntatie: een stapsgrootte van 2 = 0.10*2 wordt genomen (10% van 2). In n = 10 stappen wordt de incrementele berekening voltooid. 2. Schat een waarde voor de rotatiestijfheid van langsvoeg i=0, i=0.5, i=1, i=1.5 en i=2. Neem in eerste instantie voor alle langsvoegen de constante rotatiestijfheid aan: {cri}stap1=4.8*1011Nmm/rad. 3. De geschatte rotatiestijfheden worden gesubstitueerd in [S]increment volgens (71). De waarde voor 2 wordt ingevuld in {f}increment volgens (72). De stijfheidsmatrix [S] volgens (71) en de belastingsvector {f} volgens (72) gelden ook voor de incrementele berekening. Nu worden de (incrementele) rotaties bepaald met {i} = {Mi}/cri. Deze relatie is geldig als de stapsgrootte voldoende klein wordt genomen. De {i} en de {Mi} stellen de incrementele rotaties en de incrementele buigende momenten in langsvoeg i voor. 4. De oplossing voor {ui}increment,stap1=[S]increment-1{f}increment wordt bepaald met lineaire algebra. {u}increment stelt het incrementele verplaatsingsverschil in langsvoeg i voor.

65


5. 6. 7. 8. 9.

Het totale verplaatsingsverschil is: {ui}tot={beginwaarde ui} + {ui}increment,stap1. Voor de beginwaarden worden de waarden nul aangehouden. Het substitueren van {cri}stap1 en {ui}tot in de uitdrukkingen (85 voor D), (86 voor C), (81 voor C’=C/(r*2)) en (87 voor 2) kan de grondreductiefactor 2,stap1 bepaald worden. Met oplossing {ui}increment,stap1 worden de buigende momenten {Mi}stap1 met tabel 2 en de rotaties {i}stap1 met tabel 3 afgeleid. Het resultaat is: {Mi}tot=(1-2,stap1)*{Mi}stap1, {i}tot=(1-2,stap1)*{i}stap1 en {ui}tot=(12,stap1)*{ui}increment,stap1. De rotaties {i}tot worden vergeleken met grens of de buigende momenten {Mi}tot met Mgrens. De grens of Mgrens geeft de grenswaarde aan tussen het lineaire en het niet lineaire gebied van de M- relatie. Als de bepaalde rotaties of momenten kleiner zijn dan de grenswaarde, bevinden ze zich in het lineaire gebied. Omgekeerd (groter dan de grenswaarde) bevinden ze zich in het niet lineaire gebied. 2 N i 1    2 0,i br 1   0   2 * 0.330 *1000 * 6950 (1  0.0121)  0.315 *10 3 rad   grens  36000 * 400 * 1000 Eb lv b Eb l v b  0,i brl v Nl 1   0   0.330 *1000 * 6950 * 400 (1  0.0121)  151kNm M grens  i v 1     6 6 6 Het blijkt dat de grenswaarde nauwelijks afhangt van de grondreactie.

10. Als |{i}tot|grens  lineair: de rotatiestijfheid is constant, ci=4.8*1011Nmm/rad. De absolute teken is nodig, zodat ook bij negatieve waarden voor  de ongelijkheid geldig blijft. 11. Als |{i}tot|>grens  niet lineair: de rotatiestijfheid is gereduceerd. Deze rotaties {i}tot worden gesubstitueerd in: 8N i 8N i  i tot  of  i tot   2 2  2 M i    2M i        1 9bl v E b   1 9bl v Eb   N i lv   N i lv   Nl 8N i  M i      1 i v 2 9bl v E b  i tot    Nl 8N i voorwaarde : M i   M i tot  M i      1 i v 9bl v Eb  i tot  2  Uit deze uitdrukkingen worden de buigende momenten {Mi} bepaald. Deze liggen op de M- lijn. Met deze buigende momenten (inclusief grondreactie) kunnen de rotatiestijfheden bepaald worden:

 2 M i      N l  1  iv  12. Na 10 stappen is het resultaat: {Mi}tot=(1-2,stap1)*{Mi}stap1+ ... + (1-2,stap10)*{Mi}stap10), {i}tot=(1-2,stap1)*{i}stap1+...+(1-2,stap10)*{i}stap10, {ui}tot=(1-2,stap1)*{ui}increment,stap1+...+(12,stap10)*{ui}increment,stap10. 2

cri    9bl v Eb 32

3

De berekeningen met de sekant methode en de tangent methode zijn opgenomen in bijlage 5 en bijlage 6. De resultaten van beide methoden zijn dezelfde en worden weergegeven in tabel 7.

66


(1-2)*{u} [mm] i=0 1.89E-01 i=0.25 2.26E-02 i=0.75 -5.85E-02 i=1.25 7.82E-02 i=1.75 -6.34E-02

(1-2)*{M} [Nmm] i=0; j=1 1.30E+08 i=0.5; j=2 9.86E+07 i=1; j=1 1.44E+07 i=1.5; j=2 -7.07E+07 i=2; j=1 -1.08E+08

(1-2)*{} [rad] i=0; j=1 2.71E-04 i=0.5; j=2 2.06E-04 i=1; j=1 2.98E-05 i=1.5; j=2 -1.48E-04 i=2; j=1 -2.24E-04

{cr} [Nmm/rad] i=0; j=1 4.80E+11 i=0.5; j=2 4.80E+11 i=1; j=1 4.80E+11 i=1.5; j=2 4.80E+11 i=2; j=1 4.80E+11

Tabel 7: resultaat sekant methode en tangent methode met grondreactie (i=locatie ringomtrek, j=ringnummer)

Uit tabel 7 blijkt dat de rotatiestijfheden voor alle langsvoegen constant zijn. De grondreductiefactor 2 is gelijk aan 0.7252. Voor de Groene Hart Tunnel gelden een aantal eisen m.b.t. de waterdichtheid:  Het maximale radiale verplaatsingsverschil is gesteld op 20mm. Deze eis is voldaan: het maximale optredende verplaatsingsverschil is 0.19mm.  De maximale hoekverdraaiing van de langsvoegen is gesteld op 4*10-3rad. Ook deze eis wordt voldaan: de maximale langsvoegrotatie is 2.7*10-4rad. De raamwerkberekening geeft ook dezelfde uitkomst, zie figuur 40.

Figuur 40: constante rotatiestijfheden voor alle langsvoegen (lineair verloop M- lijn)

De vervormingen van het ringsysteem met de constante rotatiestijfheid in de langsvoegen worden hieronder bepaald. De rotaties in de langsvoegen zijn gegeven in tabel 7. De top- en de flankverplaatsing van beide ringen kunnen worden bepaald. Deze zijn nodig om de systeemverplaatsing ux0 en uy0 te vinden.  ring 1

25

1  2

u yB  r  i 1  sin  i  1   2

67


Hieruit volgt: i i 7 280 8 320 0 0 1 40 2 80

i -0.224*10-3 0.0298*10-3 0.271*10-3 0.0298*10-3 -0.224*10-3

i(1-sini)r -3.090 0.340 1.883 0.0740 -0.0237  = -0.890mm

Met uyB wordt φA berekend:

26  A 

u yB 2r



 0.890  0.0640 * 10 3 rad 2 * 6950

De topverplaatsing is :

27 

0

u top   A r  r  i sin  i 1   2

i 7 8

i 280 320

i -0.224*10-3 0.0298*10-3

i(sini)r 1.533 -0.133  = 1.400mm

u top  0.0640 * 10 3 * 6950  1.400  0.955mm

Voor de flankzijde van de ring kan dezelfde aanpak worden toegepast.

28



u xB  r  i 1  cos i  0

i 0 1 2 3 4

i 0 40 80 120 160

29  A  u xB 2r



i 0.271*10-3 0.0298*10-3 -0.224*10-3 -0.148*10-3 0.206*10-3

i(1+cosi)r 3.767 0.366 -1.827 -0.514 0.0863  = 1.878mm

1.878  0.135 * 10 3 rad 2 * 6950

De flankverplaatsing is :

30

1  2

u flank   A r  r  i cos  i 0

i 0 1 2

i 0 40 80

i 0.271*10-3 0.0298*10-3 -0.224*10-3

i(cosi)r 1.883 0.159 -0.270  = 1.772mm

u flank  0.135 * 10 3 * 6950  1.772  0.834mm

De rotaties in de langsvoegen en de top- en flankverplaatsing van ring 1 zijn bekend. De systeemverplaatsingen kunnen vervolgens worden afgeleid. 68


31

u y 0  u top  0.955mm

32

u x 0  u 90 ;u

y 0  0 ;u x 0  0

 u flank  1.772  0.834  0.938mm

Op dezelfde wijze volgt voor ring 2 de top- en flankverplaatsing en daarmee de systeemverplaatsing.  ring 2

25

1  2

u yB  r  i 1  sin  i  1   2

Hieruit volgt: i i i 7.5 300 -0.148*10-3 8.5 340 0.206*10-3 0.5 20 0.206*10-3 1.5 60 -0.148*10-3

26  A 

u yB 2r



i(1-sini)r -1.919 1.921 0.942 -0.138  = 0.806mm

0.806  0.058 * 10 3 rad 2 * 6950

De topverplaatsing volgt uit :

27 

0

u top   A r  r  i sin  i 1   2

i 7.5 8.5

i 300 340

i -0.148*10-3 0.206*10-3

i(sini)r 0.891 -0.490  = 0.401mm

u top  0.058 * 10 3 * 6950  0.401  0.804mm

Voor de flankzijde van de ring:

28



u xB  r  i 1  cos i  0

i 0.5 1.5 2.5 3.5

i 20 60 100 140

29  A  u xB 2r



i 0.206*10-3 -0.148*10-3 -0.224*10-3 0.0298*10-3

i(1+cosi)r 2.777 -1.543 -1.286 0.0485  = -0.00385mm

 0.00385  0.277 * 10 6 rad 2 * 6950

De flankverplaatsing volgt uit :

30

1  2

u flank   A r  r   i cos  i 0

69


i 20 60

i 0.5 1.5

i 0.206*10-3 -0.148*10-3

i(cosi)r 1.345 -0.514  = 0.831mm

u flank  0.277 * 10 6 * 6950  0.831  0.833mm

31 32

De systeemverplaatsingen zijn : u y 0  u top  0.804mm u x 0  u 90 ;u

y 0  0 ;u x 0  0

 u flank  0.831  0.833  0.00198mm

Met de afgeleide rotaties in de langsvoegen en de systeemverplaatsingen kunnen de radiale verplaatsingen van de ringen 1 en 2 worden bepaald met:

88

u tot  u lv ,  u EI ,  u EA u tot  totale radiale verplaatsing van het gekoppelde gesegmenteerde ringsysteem u lv ,  radiale verplaatsing van het gekoppelde systeem t.g.v. langsvoegrotaties u EI ,  radiale verplaatsing van de ring t.g.v. ovaliserende belasting (buigstijfheid van segmenten) u EA  radiale verplaatsing van de ring t.g.v. uniforme belasting (normaalstijfheid van segmenten)

24

 i 0  u lv ,  r   i sin    i   cos  u y 0  sin   u x 0  1   2   i 0 

12

u EI ,  

8

u EA  

4 r4  2,i cos2 1   2  3 Eb d 3

 0 ,i r 2 Eb d

1   0 

De radiale verplaatsingen zijn weergegeven in tabel 8 en 9. ring 1 i= i= i= i= i= i= i= i= i= i= i= i= i= i= i= i= i= i= i=

i 0 0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 1.75 2 2.25 2.5 2.75 3 3.25 3.5 3.75 4 4.25 4.5

  uLV, [uy0=0;ux0=0] / / / / / / / / / / / / / / / / / / /

0 ° 10 ° 20 ° 30 ° 40 ° 50 ° 60 ° 70 ° 80 ° 90 ° 100 ° 110 ° 120 ° 130 ° 140 ° 150 ° 160 ° 170 ° 180 °

0.00E+00 3.27E-01 6.45E-01 9.42E-01 1.21E+00 1.48E+00 1.70E+00 1.87E+00 1.99E+00 1.77E+00 1.50E+00 1.19E+00 8.36E-01 2.81E-01 -2.83E-01 -8.38E-01 -1.37E+00 -1.61E+00 -1.80E+00

uLV, -9.93E-01 -8.14E-01 -6.10E-01 -3.88E-01 -1.54E-01 1.21E-01 3.92E-01 6.51E-01 8.90E-01 8.32E-01 7.49E-01 6.42E-01 5.17E-01 1.98E-01 -1.27E-01 -4.49E-01 -7.56E-01 -7.92E-01 -8.04E-01

uEI, -4.01E+00 -3.77E+00 -3.07E+00 -2.01E+00 -6.97E-01 6.97E-01 2.01E+00 3.07E+00 3.77E+00 4.01E+00 3.77E+00 3.07E+00 2.01E+00 6.97E-01 -6.97E-01 -2.01E+00 -3.07E+00 -3.77E+00 -4.01E+00

Tabel 8: radiale verplaatsingen van ring 1 met grondreactie in [mm] 70

uEA -7.29E-01 -7.29E-01 -7.29E-01 -7.29E-01 -7.29E-01 -7.29E-01 -7.29E-01 -7.29E-01 -7.29E-01 -7.29E-01 -7.29E-01 -7.29E-01 -7.29E-01 -7.29E-01 -7.29E-01 -7.29E-01 -7.29E-01 -7.29E-01 -7.29E-01

utot, -5.73E+00 -5.31E+00 -4.41E+00 -3.12E+00 -1.58E+00 8.83E-02 1.67E+00 3.00E+00 3.93E+00 4.12E+00 3.79E+00 2.99E+00 1.79E+00 1.65E-01 -1.55E+00 -3.18E+00 -4.56E+00 -5.29E+00 -5.55E+00


ring 2 i i= 0 i= 0.25 i= 0.5 i= 0.75 i= 1 i= 1.25 i= 1.5 i= 1.75 i= 2 i= 2.25 i= 2.5 i= 2.75 i= 3 i= 3.25 i= 3.5 i= 3.75 i= 4 i= 4.25 i= 4.5

  uLV, [uy0=0;ux0=0] / / / / / / / / / / / / / / / / / / /

0 ° 10 ° 20 ° 30 ° 40 ° 50 ° 60 ° 70 ° 80 ° 90 ° 100 ° 110 ° 120 ° 130 ° 140 ° 150 ° 160 ° 170 ° 180 °

0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 2.49E-01 4.89E-01 7.16E-01 9.20E-01 9.19E-01 8.89E-01 8.33E-01 7.51E-01 3.76E-01 -9.80E-03 -3.96E-01 -7.70E-01 -1.08E+00 -1.37E+00 -1.61E+00 -1.80E+00

uLV, -8.04E-01 -7.92E-01 -7.56E-01 -4.49E-01 -1.27E-01 1.98E-01 5.17E-01 6.42E-01 7.49E-01 8.32E-01 8.90E-01 6.51E-01 3.92E-01 1.21E-01 -1.54E-01 -3.88E-01 -6.10E-01 -8.14E-01 -9.93E-01

uEI, -4.01E+00 -3.77E+00 -3.07E+00 -2.01E+00 -6.97E-01 6.97E-01 2.01E+00 3.07E+00 3.77E+00 4.01E+00 3.77E+00 3.07E+00 2.01E+00 6.97E-01 -6.97E-01 -2.01E+00 -3.07E+00 -3.77E+00 -4.01E+00

uEA -7.29E-01 -7.29E-01 -7.29E-01 -7.29E-01 -7.29E-01 -7.29E-01 -7.29E-01 -7.29E-01 -7.29E-01 -7.29E-01 -7.29E-01 -7.29E-01 -7.29E-01 -7.29E-01 -7.29E-01 -7.29E-01 -7.29E-01 -7.29E-01 -7.29E-01

utot, -5.55E+00 -5.29E+00 -4.56E+00 -3.18E+00 -1.55E+00 1.65E-01 1.79E+00 2.99E+00 3.79E+00 4.12E+00 3.93E+00 3.00E+00 1.67E+00 8.83E-02 -1.58E+00 -3.12E+00 -4.41E+00 -5.31E+00 -5.73E+00

ui ui sekant -0.188 -0.189 -0.022 -0.0226 0.146 0.061 0.0585 -0.027 -0.077 -0.0783 -0.125 0.008 0.0638 0.141 0.000 0 -0.141 -0.008 -0.0638 0.125 0.077 0.0783 0.027 -0.061 -0.0585 -0.146 0.022 0.0226 0.188 0.189

Tabel 9: radiale verplaatsingen van ring 2 met grondreactie in [mm]

u i  u tot , ,ring 1  u tot , ,ring 2 u i sekant  de ǻu i , bepaald uit de sekant methode

7.2



Figuur 41: raamwerkberekening u in [mm] gekoppeld gesegmenteerde ringsysteem met grondreactie

71


Figuur 42: raamwerkberekening N in [N] gekoppeld gesegmenteerde ringsysteem met grondreactie

Figuur 43: raamwerkberekening M in [Nmm] gekoppeld gesegmenteerde ringsysteem met grondreactie member 1 member 3 node 1

2

3

uy

member 5 4 5

member 2 member 4 member 6 member 8

node

6 member 7

7

ux ux= verplaatsing van een node in de horizontale richting [mm]

8 9

member 9

node member

uy= verplaatsing van een node in de verticale richting [mm]

10

Figuur 44: locatie members en nodes in raamwerkmodel (een kwart van de ring is beschouwd met node 1, 5 en 9 als langsvoegen in ring 1 en node 3 en 7 als langsvoegen in ring 2)

72


member 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

node 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

x 0.00E+00 1.21E+03 2.38E+03 3.48E+03 4.47E+03 5.32E+03 6.02E+03 6.53E+03 6.84E+03 6.95E+03 6.84E+03 6.53E+03 6.02E+03 5.32E+03 4.47E+03 3.48E+03 2.38E+03 1.21E+03 0.00E+00

y 6.95E+03 6.84E+03 6.53E+03 6.02E+03 5.32E+03 4.47E+03 3.48E+03 2.38E+03 1.21E+03 0.00E+00 -1.21E+03 -2.38E+03 -3.48E+03 -4.47E+03 -5.32E+03 -6.02E+03 -6.53E+03 -6.84E+03 -6.95E+03

ux 0.00E+00 -1.00E-01 -5.00E-02 2.40E-01 8.00E-01 1.61E+00 2.51E+00 3.37E+00 4.06E+00 4.14E+00 3.89E+00 3.34E+00 2.59E+00 1.64E+00 8.30E-01 2.40E-01 -1.00E-01 -1.10E-01 0.00E+00

uy -5.75E+00 -5.39E+00 -4.70E+00 -3.79E+00 -2.77E+00 -1.77E+00 -9.90E-01 -4.50E-01 -1.30E-01 0.00E+00 1.50E-01 4.30E-01 9.30E-01 1.75E+00 2.74E+00 3.80E+00 4.82E+00 5.36E+00 5.56E+00

Tabel 10: raamwerkberekening verplaatsingen in [mm] van ring 1

member 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

node 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

N -2.24E+06 -2.25E+06 -2.25E+06 -2.26E+06 -2.27E+06 -2.27E+06 -2.28E+06 -2.28E+06 -2.29E+06 -2.29E+06 -2.29E+06 -2.28E+06 -2.27E+06 -2.26E+06 -2.26E+06 -2.25E+06 -2.25E+06 -2.24E+06 -2.24E+06

M -1.50E+08 -1.41E+08 -1.26E+08 -9.68E+08 -2.60E+08 4.81E+08 8.24E+08 1.07E+08 1.41E+08 1.57E+08 1.55E+08 1.34E+08 7.48E+08 6.66E+08 -2.87E+08 -6.04E+08 -1.15E+08 -1.55E+08 -1.65E+08

Tabel 11: raamwerkberekening normaalkracht in [N] en buigend moment in [Nmm] van ring 1

73


Omdat de oriëntatie van de langsvoegen in de ringen 1 en 2 spiegelsymmetrisch is om de horizontale as en tevens symmetrisch om de verticale as, zijn de straalveranderingen van de ringen in absolute waarden identiek. Het vervormingsbeeld (de radiale verplaatsingen) tussen de ringen is gespiegeld om de horizontale as. Op dezelfde wijze kunnen de normaalkrachten en de buigende momenten in ring 2 afgeleid worden. Volgens de raamwerkberekening bedragen de radiale verplaatsing, de normaalkracht en het buigend moment met grondreactie (zie figuur 41, 42 en 43 en tabel 10 en 11):  u top ,ring 1  5.58mm u top ,ring 2  u bodem ,ring 1  5.41mm u flank ,ring 1  u flank ,ring 2  3.99mm  N top ,ring 1  2243.4  2.24 * 10 3 kN N top ,ring 2  N bodem ,ring1  2240.2  2.24 * 10 3 kN Ringvoegkoppelingen hebben nauwelijks invloed op normaalkrachten. N flank ,ring1  N flank ,ring 2  2285.5  2.29 * 10 3 kN  M top ,ring1  142.0  1.42 * 10 2 kNm M top ,ring 2  M bodem ,ring1  164.4  1.64 * 10 2 kNm M flank ,ring 1  153.2  1.53 * 10 2 kNm M flank ,ring 2  153.2  1.53 * 10 2 kNm

7.3


De resultaten van de analytische berekening en de raamwerkberekening worden samengevat in tabel 12 en 13. De factor 1.043 is in rekening gebracht.

7.3.1 VERGELIJKING RADIALE VERPLAATSING De resultaten voor de radiale verplaatsing zijn gegeven in tabel 12.

74


analytische berekening i i= 0 i= 0.25 i= 0.5 i= 0.75 i= 1 i= 1.25 i= 1.5 i= 1.75 i= 2 i= 2.25 i= 2.5 i= 2.75 i= 3 i= 3.25 i= 3.5 i= 3.75 i= 4 i= 4.25 i= 4.5

  ring 1 utot, ring 2 utot, / / / / / / / / / / / / / / / / / / /

0 ° 10 ° 20 ° 30 ° 40 ° 50 ° 60 ° 70 ° 80 ° 90 ° 100 ° 110 ° 120 ° 130 ° 140 ° 150 ° 160 ° 170 ° 180 °

-5.74E+00 -5.31E+00 -4.41E+00 -3.12E+00 -1.58E+00 8.80E-02 1.67E+00 3.00E+00 3.93E+00 4.12E+00 3.79E+00 2.99E+00 1.79E+00 1.65E-01 -1.55E+00 -3.18E+00 -4.56E+00 -5.29E+00 -5.55E+00

-5.55E+00 -5.29E+00 -4.56E+00 -3.18E+00 -1.55E+00 1.65E-01 1.79E+00 2.99E+00 3.79E+00 4.12E+00 3.93E+00 3.00E+00 1.67E+00 8.83E-02 -1.58E+00 -3.12E+00 -4.41E+00 -5.31E+00 -5.73E+00

raamwerkberekening ugemiddeld node ring 1 ux ring 1uy ring 1 uradiaal -5.64E+00 1 0.00E+00 -5.75E+00 -5.75E+00 -5.30E+00 2 -1.00E-01 -5.39E+00 -5.33E+00 -4.49E+00 3 -5.00E-02 -4.70E+00 -4.43E+00 -3.15E+00 4 2.40E-01 -3.79E+00 -3.16E+00 -1.57E+00 5 8.00E-01 -2.77E+00 -1.61E+00 1.27E-01 6 1.61E+00 -1.77E+00 9.56E-02 1.73E+00 7 2.51E+00 -9.90E-01 1.68E+00 2.99E+00 8 3.37E+00 -4.50E-01 3.01E+00 3.86E+00 9 4.06E+00 -1.30E-01 3.98E+00 4.12E+00 10 4.14E+00 0.00E+00 4.14E+00 3.86E+00 11 3.89E+00 1.50E-01 3.80E+00 2.99E+00 12 3.34E+00 4.30E-01 2.99E+00 1.73E+00 13 2.59E+00 9.30E-01 1.78E+00 1.27E-01 14 1.64E+00 1.75E+00 1.31E-01 -1.57E+00 15 8.30E-01 2.74E+00 -1.57E+00 -3.15E+00 16 2.40E-01 3.80E+00 -3.17E+00 -4.49E+00 17 -1.00E-01 4.82E+00 -4.56E+00 -5.30E+00 18 -1.10E-01 5.36E+00 -5.30E+00 -5.64E+00 19 0.00E+00 5.56E+00 -5.56E+00

ring 2 uradiaal -5.56E+00 -5.30E+00 -4.56E+00 -3.17E+00 -1.57E+00 1.31E-01 1.78E+00 2.99E+00 3.80E+00 4.14E+00 3.98E+00 3.01E+00 1.68E+00 9.56E-02 -1.61E+00 -3.16E+00 -4.43E+00 -5.33E+00 -5.75E+00

Tabel 12: vergelijking radiale verplaatsingen in [mm]

u gemiddeld 

u tot , ,ring1  u tot , ,ring 2

2 u gemiddeld  gemiddelde radiale ringverplaatsing uit analytische berekening [mm] u radiaal  u y cos   u x sin  

u radiaal  gemiddelde radiale ringverplaatsing uit raamwerkberekening [mm] u y  verticale verplaatsing van een node [mm] u x  horizontale verplaatsing van een node [mm]

De kolom “ring 2 uradiaal” wordt gevonden door de radiale verplaatsingen uit kolom “ring 1 uradiaal” te spiegelen om de horizontale as (i=2.25/node 10). Het vervormingsbeeld is immers spiegelsymmetrisch om de horizontale as.  u node i ,ring 1  u node ( 20 i ),ring 2 b.v. : u node 1,ring1  u node 19,ring 2

Beide resultaten voor de radiale verplaatsingen komen goed met elkaar overeen (<5%).  ring 1 u top , 0  u flank , 90

 5.74  5.75 * 100%  0.2%  5.75 4.12  4.14  * 100%  0.5% 4.14

75


 ring 2 u top , 0  u flank , 90

 5.55  5.56 * 100%  0.2%  5.56 4.12  4.14  * 100%  0.5% 4.14

u top , 0  verschil in radiale verplaatsing in de top tussen analytische berekening en raamwerkberekening u flank , 90  verschil in radiale verplaatsing in de flank tussen analytische berekening en raamwerkberekening

7.3.2 VERGELIJKING NORMAALKRACHT EN BUIGEND MOMENT De resultaten voor de normaalkracht en het buigend moment zijn gegeven in tabel 13.

i i= 0 i= 0.25 i= 0.5 i= 0.75 i= 1 i= 1.25 i= 1.5 i= 1.75 i= 2 i= 2.25 i= 2.5 i= 2.75 i= 3 i= 3.25 i= 3.5 i= 3.75 i= 4 i= 4.25 i= 4.5

/ / / / / / / / / / / / / / / / / / /

  0 ° 10 ° 20 ° 30 ° 40 ° 50 ° 60 ° 70 ° 80 ° 90 ° 100 ° 110 ° 120 ° 130 ° 140 ° 150 ° 160 ° 170 ° 180 °

analytische berekening ring 1en 2 ring 1 (1-2)ui Nanalytisch Manalytisch 1.89E-01 -2.2425E+06 -1.30E+08 2.26E-02 -2.2439E+06 -1.31E+08 -2.2479E+06 -1.49E+08 -5.85E-02 -2.2541E+06 -1.34E+08 -2.2617E+06 -1.44E+07 7.82E-02 -2.2698E+06 1.02E+08 -2.2774E+06 9.09E+07 -6.34E-02 -2.2835E+06 5.97E+07 -2.2876E+06 1.08E+08 0 -2.2890E+06 1.61E+08 -2.2876E+06 -1.96E+08 6.34E-02 -2.2835E+06 -1.88E+08 -2.2774E+06 -7.05E+07 -7.82E-02 -2.2698E+06 4.55E+07 -2.2617E+06 4.16E+07 5.85E-02 -2.2541E+06 2.77E+07 -2.2479E+06 9.88E+07 -2.26E-02 -2.2439E+06 1.73E+08 -2.2425E+06 1.93E+08

raamwerkberekening ring 2 ring 1 ring 2 ring 1 Manalytisch node Nraamwerk Nraamwerk Mraamwerk 1.93E+08 1 -2.24E+06 -2.24E+06 -1.50E+08 1.73E+08 2 -2.25E+06 -2.24E+06 -1.41E+08 9.88E+07 3 -2.25E+06 -2.25E+06 -1.26E+08 2.77E+07 4 -2.26E+06 -2.25E+06 -9.68E+08 4.16E+07 5 -2.27E+06 -2.26E+06 -2.60E+08 4.55E+07 6 -2.27E+06 -2.26E+06 4.81E+08 -7.05E+07 7 -2.28E+06 -2.27E+06 8.24E+08 -1.88E+08 8 -2.28E+06 -2.28E+06 1.07E+08 -1.96E+08 9 -2.29E+06 -2.29E+06 1.41E+08 -1.61E+08 10 -2.29E+06 -2.29E+06 1.57E+08 -1.08E+08 11 -2.29E+06 -2.29E+06 1.55E+08 -5.97E+07 12 -2.28E+06 -2.28E+06 1.34E+08 -9.09E+07 13 -2.27E+06 -2.28E+06 7.48E+08 -1.02E+08 14 -2.26E+06 -2.27E+06 6.66E+08 1.44E+07 15 -2.26E+06 -2.27E+06 -2.87E+08 1.34E+08 16 -2.25E+06 -2.26E+06 -6.04E+08 1.49E+08 17 -2.25E+06 -2.25E+06 -1.15E+08 1.31E+08 18 -2.24E+06 -2.25E+06 -1.55E+08 1.30E+08 19 -2.24E+06 -2.24E+06 -1.65E+08

Tabel 13: vergelijking normaalkracht in [N] en buigend moment in [Nmm]

89

1 N analytisch  N 0,i 1   0   N 2,i 1   2    0,i br 1   0    2,i br cos2 1   2  3 N 0,i  normaalkracht t.g.v. initiële uniforme belasting  0,i [N] N 2,i  normaalkracht t.g.v. initiële ovaliserende belasting  2,i [N]

 0  0.0121  2  0.7252

76

ring 2 Mraamwerk 1.65E+08 1.55E+08 1.15E+08 6.04E+08 2.87E+08 -6.66E+08 -7.48E+08 -1.34E+08 -1.55E+08 -1.57E+08 -1.41E+08 -1.07E+08 -8.24E+08 -4.81E+08 2.60E+08 9.68E+08 1.26E+08 1.41E+08 1.50E+08


Voor i  0, 0.5, 1, 1.5 en 2 (locatie langsvoegen) volgt M analytisch uit (53) :

53

1  M i , j  i     2 br 2 cos2 i   0.0997 k v r u i 0.25  u i  0.25  1   2  3  Voor i  0.25, 0.75, 1.25, 1.75 en 2.25 (locatie ringvoegkoppelingen) volgt M analytisch uit (90) in 7.3.2.1 :

90

1  M i , j  i     2 br 2 cos2 i   k v r 0.182u i  0.0299u i 0.5  u i  0.5  1   2  3  De uitdrukkingen voor M analytisch zijn gegeven in 7.3.2.2. u i  verplaatsingsverschil t.p.v. locatie i op ringomtrek Opmerking : 1 Het gemiddelde buigend moment is gelijk aan M i , j  i    2 br 2 cos2 i  (buigend moment t.g.v.  2 ) 3

De waarden in de kolommen “ring 2” volgen uit symmetrie overwegingen: N node i ,ring1  N node ( 20i ),ring 2 M node i ,ring 1  M node ( 20i ),ring 2

De verschillen tussen de raamwerkberekening zijn:

normaalkrachten

uit

de

analytische

berekening

 ring 1 N top  N flank

 2242.5  2243.8 * 100%  0%  2243.8  2289.0  2286.3  * 100%  0.1%  2286.3

 ring 2 N top  N flank

 2242.5  2241.6 * 100%  0%  2241.6  2289.0  2286.3  * 100%  0.1%  2286.3

N top  verschil in normaalkracht in de top tussen analytische berekening en raamwerkberekening N top  verschil in normaalkracht in de flank tussen analytische berekening en raamwerkberekening

Beide resultaten voor de normaalkracht komen goed met elkaar overeen (<5%). Voor de buigende momenten zijn de verschillen als volgt:  ring 1 M top  M flank

 130.2  149.6 * 100%  13.0%  149.6 161.5  157.4 * 100%  2.6%  157.4

77

en

de


 ring 2 M top  M flank

 192.8  165.0 * 100%  16.8%  165.0 161.5  157.4 * 100%  2.6%  157.4

M top  verschil in buigend moment in de top tussen analytische berekening en raamwerkberekening M flank  verschil in buigend moment in de flank tussen analytische berekening en raamwerkberekening

Uit de vergelijking van de resultaten voor het buigend moment blijkt dat een groot verschil (16.8%) optreedt t.p.v. de top (en bodem) van de lining. De waarden voor het buigend moment aan de flankzijde komen daarentegen goed met elkaar overeen (2.6%). Opgemerkt moet worden dat de waarde voor het maximale buigend moment uit de analytische berekening hoger uitvallt dan die uit de raamwerkberekening. In 7.3.2.1 wordt de locale invloed van de koppelkracht op de ringvoegkoppelingen aangetoond. Deze veronderstelling is nodig om het buigend moment t.p.v. de ringvoegkoppelingen te bepalen (voor tabel 13). Een samenvatting van vergelijkingen voor de buigende momenten is gegeven in 7.3.2.2.

7.3.2.1

Lokale invloed koppelkracht op ringvoegkoppelingen

Verondersteld wordt dat de koppelkracht alleen invloed heeft op de dichtstbijzijnde ringvoegkoppelingen.

53

Het buigend moment t.p.v. de langsvoeg i volgt uit (53): 1 M i , j  i    2 br 2 cos2 i   0.0997 k v r u i 0.25  u i  0.25  3 Een uitdrukking voor het buigend moment t.p.v. de ringvoegkoppelingen wordt als volgt bepaald: De hoek waarbij de koppelkracht P (inclusief grondreactie) nog invloed heeft, is volgens 7.1.1.1:   0.109  19.6   19.6     19.6 

De dichtstbijzijnde ringvoegkoppeling ter plaatse van de betreffende ringvoegkoppeling bevindt zich op  = 20 (en  = -20) afstand, de daaropvolgende op  = 20 + 20 = 40 (en  = -40) afstand. 20    0.111 180  0.111  x  1.019  0.109  e 1.019  0.04066

78


40   0.222 180  0.222  x  2.04  0.109 



e  2.04  0.00165

De invloed van P op de ringvoegkoppeling  = 20 is 4.1%, d.w.z. 4.1% van het maximale moment t.p.v. van de koppelkracht. De invloed van P op de ringvoegkoppeling  = 40 is daarentegen 0.17%, d.w.z. 0.17% van het maximale moment t.p.v. van de koppelkracht. De veronderstelling dat de koppelkracht alleen lokale invloed op de dichtstbijzijnde ringvoegkoppelingen heeft, is hiermee aangetoond. Mmax = ½(1-2/)Pi r Mringvoeg = 0.0299Pi-0.5 r

momentenlijn

+ 0.0299Pi+0. 5 r

i-0.25

i Pi

i-0.5 Pi-0.5

i+0.25

 = -20

 = 20

i+0.5 Pi+0.5

Figuur 45: overzicht locatie koppelkrachten en langsvoegen

11

49

Voor het buigend moment t.g.v. 2 is: 1 M i , j  i    2 br 2 cos2 i  3 Het buigend moment t.g.v. koppelkracht Pi in ringvoegkoppeling i is: 1  2  M i , j  i   Pi r 1  sin  i   cos i   2     Ter plaatse van de ringvoegkoppeling i is het buigend moment t.g.v. Pi: 1  2  M i , j 0    Pi r 1  sin 0    cos0     0.182 Pi r  2    T.g.v. de invloed van de dichtstbijzijnde ringvoegkoppelingen i-0.5 en i+0.5 is het buigend moment t.p.v. ringvoegkoppeling i: 1 2   M i , j 20    Pi 0.5 r 1  sin 20    cos20     0.0299 Pi 0.5 r  2   2 1   M i , j  20    Pi  0.5 r 1  sin  20    cos 20     0.0299 Pi  0.5 r  2   De ringvoegkoppelingen i-0.5 en i+0.5 bevinden zich op 20 afstand van ringvoegkoppeling i. Voor de koppelkracht geldt:

51

Pi  k v u i

79


90 

Het totale buigend moment t.p.v. ringvoegkoppeling i wordt: 1 M i , j  i    2 br 2 cos2 i   k v r 0.182u i  0.0299u i 0.5  u i  0.5  3 Het aandeel van de koppelkracht is negatief als i een locatie betreft in ring 1, terwijl het aandeel positief is als i een locatie betreft in ring 2. Dit heeft te maken met het tekenverschil van het buigend moment t.g.v. 2 en die t.g.v. P.

7.3.2.2

Bepaling buigend moment voor gekoppeld gesegmenteerd ringsysteem

Het buigend moment in locatie i kan worden afgeleid uit de vergelijkingen voor M t.p.v. langsvoegen (53) en t.p.v. ringvoegkoppelingen (90). Vanwege symmetrie overwegingen wordt enkel het liningdeel tussen =0 en =90 beschouwd. i  0 / 0 : M 0,1  0.333 2 br 2  0.0997 k v r u 0.25  u 0.25  M 0, 2  0.333 2 br 2  0.0997 k v r u 0.25  u 0.25  u 0.25  u 0.25 i  0.25 / 10  : M 0.25,1  0.313 2 br 2  k v r 0.182u 0.25  0.0299u 0.25  u 0.75  M 0.25, 2  0.313 2 br 2  k v r 0.182u 0.25  0.0299u 0.25  u 0.75  i  0.5 / 20  : M 0.5,1  0.255 2 br 2  0.0997 k v r u 0.25  u 0.75  M 0.5, 2  0.255 2 br 2  0.0997 k v r u 0.25  u 0.75  i  0.75 / 30  : M 0.75,1  0.167 2 br 2  k v r 0.182u 0.75  0.0299u 0.25  u1.25  M 0.75, 2  0.167 2 br 2  k v r 0.182u 0.75  0.0299u 0.25  u1.25  i  1 / 40  : M 1,1  0.0579 2 br 2  0.0997 k v r u 0.75  u1.25  M 1, 2  0.0579 2 br 2  0.0997 k v r u 0.75  u1.25  i  1.25 / 50  : M 1.25,1  0.0579 2 br 2  k v r 0.182u1.25  0.0299u 0.75  u1.75  M 1.25, 2  0.0579 2 br 2  k v r 0.182u1.25  0.0299u 0.75  u1.75  i  1.5 / 60  : M 1.5,1  0.167 2 br 2  0.0997 k v r u1.25  u1.75  M 1.5, 2  0.167 2 br 2  0.0997 k v r u1.25  u1.75 

80


i  1.75 / 70  : M 1.75,1  0.255 2 br 2  k v r 0.182u1.75  0.0299u1.25  u 2.25  M 1.75, 2  0.255 2 br 2  k v r 0.182u1.75  0.0299u1.25  u 2.25  u 2.25  0 i  2 / 80  : M 2 ,1  0.313 2 br 2  0.0997 k v r u1.75  u 2.25  M 2 , 2  0.313 2 br 2  0.0997 k v r u1.75  u 2.25  i  2.25 / 90  : M 2.25,1  0.333 2 br 2  k v r 0.182u 2.25  0.0299u1.75  u 2.75  M 2.25, 2  0.333 2 br 2  k v r 0.182u 2.25  0.0299u1.75  u 2.75  u 2.75   u1.75

De uitkomsten van deze vergelijkingen zijn gegeven in tabel 13.

81


82


HOOFDSTUK

8

Resultaten berekeningen

Het resultaat van het analytische rekenmodel is vergeleken met het resultaat van de raamwerkberekening. In tabel 14 zijn alle resultaten van de analytische bepalingen en de raamwerkberekening weergegeven. De samenstelling van het model van de tunnellining verloopt stapsgewijs, met een oplopende complexiteit. De samenstelling is ook terug te vinden in tabel 14. In de volgende paragrafen worden de resultaten van elke modelleringstap toegelicht. In elke modelleringstap worden de bijdragen aan radiale verplaatsingen, normaalkrachten en buigende momenten beschreven (zie tabel 14).

8.1

RESULTATEN ENKELE RING MET UNIFORME BELASTING

Toelichting tabel 14: EbA (normaalstijfheid segment) Modelleren van de homogene tunnellining met een uniforme belasting 0. De tunnellining zal t.g.v. de optredende normaalkrachten een compressie ondergaan. Buigende momenten treden niet op. EbA met grond De grondreactie wordt in rekening gebracht. Het aandeel dat afgedragen wordt naar de grond, de grondreductiefactor 0, is gering (0.0121), omdat de uniforme radiale verplaatsing klein is. Het grootste deel van de belasting wordt opgenomen door de tunnellining. Raamwerk met grond Raamwerkberekening van de homogene tunnellining met een uniforme belasting 0 en grondreactie. Verschil = (analytisch - raamwerk)/ raamwerk * 100% (inclusief grondreactie) Het verschil tussen de analytische berekening en de raamwerkberekening. Het verschil voor de radiale verplaatsing en de normaalkracht in de top en in de flank is 0%. Opgemerkt wordt dat de inputwaarden van de grondbelasting en de elasticiteitsmodulus van grond in de raamwerkberekening een factor ruitwendig/rsysteem = 7250/6950 = 1.043 kleiner zijn genomen t.o.v. die voor de grondbelasting en de elasticiteitsmodulus van grond toegepast in de analytische berekening.

83


Het verschil wordt veroorzaakt door de schematisatie van de tunnellining en de grondbelasting. De belastingen die toegepast zijn in LDesign, werken op de buitenkant van de tunnellining. De belastingen in het model werken daarentegen op de systeemlijn (hartlijn) van de lining. Door een factor van 1.043 in rekening te brengen komen de resultaten uit de analytische berekening exact overeen met de raamwerkresultaten.

8.2

RESULTATEN ENKELE RING MET OVALISERENDE BELASTING

Toelichting tabel 14: EbI (buigstijfheid segment) Modelleren van de homogene tunnellining met een ovaliserende belasting 2. De tunnellining zal t.g.v. de optredende buigende momenten een ovalisering ondergaan. Compressie t.g.v. de optredende normaalkrachten is gering, omdat de normaalkrachten t.g.v. 2 klein zijn (84.6kN t.g.v. 0 tegen 2293.5kN t.g.v. 2). EbI met grond De grondreactie wordt in rekening gebracht. De radiale verplaatsing t.g.v. de ovalisering is veel groter dan die t.g.v. de compressie. De grondreactie zal ook groter worden. Het aandeel van de belasting dat door de grond wordt opgenomen, wordt daardoor ook groter. Dit blijkt uit de grondreductiefactor 2 (0.686), die groter is dan de grondreductiefactor 0 (0.0121). Door het aanbrengen van grond wordt het totale krachtenevenwicht voor 68.6% door de grond opgenomen. De resterende 31.4% wordt door de lining opgenomen. De snedekrachten en de vervormingen zijn dan ook 68.6% kleiner t.o.v. de situatie zonder grond. Raamwerk met grond Raamwerkberekening van de homogene tunnellining met een ovaliserende belasting 2 en grondreactie. Verschil = (analytisch - raamwerk)/ raamwerk * 100% (inclusief grondreactie) De verschillen tussen de analytische berekening en de raamwerkberekening zijn als volgt: Het verschil voor de normaalkracht in de top en in de flank is -1.5%. Het verschil voor het buigend moment in de top en in de flank is -1.1%. Het verschil voor de radiale verplaatsing in de top en in de flank is 0.2%.

8.3

RESULTATEN ENKELE RING MET UNIFORME EN OVALISERENDE BELASTING

Toelichting tabel 14: EbA+EbI Modelleren van de homogene tunnellining met een uniforme belasting 0 en een ovaliserende belasting 2. De tunnellining zal t.g.v. de optredende normaalkrachten en buigende momenten een compressie en een ovalisering ondergaan. De normaalkracht is bepaald uit de sommatie van de bijdrage EbA en EbI. De buigende momenten zijn gelijk aan die van bijdrage EbI. De radiale verplaatsingen zijn afgeleid door de verplaatsingen van EbA en EbI bij elkaar op te tellen.

84


EbA+EbI met grond De grondreactie wordt in rekening gebracht. De snedekrachten en de radiale verplaatsing volgen uit de sommatie van de afzonderlijke bijdragen. Raamwerk met grond Raamwerkberekening van de homogene tunnellining met een uniforme belasting 0, een ovaliserende belasting 2 en grondreactie. Verschil = (analytisch - raamwerk)/ raamwerk * 100% (inclusief grondreactie) De verschillen tussen de analytische berekening en de raamwerkberekening zijn als volgt: Het verschil voor de normaalkracht in de top en in de flank is 0%. Het verschil voor het buigend moment in de top en in de flank is -1.2%. Het verschil voor de radiale topverplaatsing is 0%. Het verschil voor de radiale flankverplaatsing is 0%.

8.4

RESULTATEN ENKELE RING MET GRONDBELASTING EN LANGSVOEGEN

Toelichting tabel 14: EbA+EbI+LV Modelleren van de tunnellining met een uniforme belasting 0 en een ovaliserende belasting 2, waarbij de invloeden van langsvoegen (LV) zijn toegevoegd. Het ringsysteem wordt slapper door de aanwezigheid van langsvoegen. In het systeem zonder grond hebben de langsvoegen alleen invloed op de radiale verplaatsingen. De radiale verplaatsingen nemen toe. De normaalkrachten en de buigende momenten veranderen niet. Als een monoliete ring zonder grondondersteuning gemodelleerd wordt met een stijfheid EbI=*(EbI)monoliet=0.787*(EbI)monoliet, zullen dezelfde resultaten verkregen worden, voor zowel de snedekrachten als de verplaatsingen, t.o.v. een ring met langsvoegen zonder grondondersteuning. M.a.w. de invloed van de langsvoegen kan worden meegemodelleerd in een homogene enkelringsmodel door de buigstijfheid te reduceren met 21.3% De systeemstijfheidreductie  is gelijk aan utop / utop. De waarde utop is gelijk aan de waarde voor utop t.g.v. EbA+EbI (referentiepunt). In tabel 14 zijn deze waarden onderstreept. Opgemerkt wordt dat de langsvoegen de normaalstijfheid EbA nauwelijks beïnvloeden. Op de normaalstijfheid wordt geen reductie  toegepast. EbA+EbI+LV met grond De grondreactie wordt in rekening gebracht. Inclusief grondreactie beïnvloeden de langsvoegen naast de radiale verplaatsingen ook het buigend moment en in mindere mate de normaalkracht. Omdat de normaalkracht weinig afhangt van de grondreactie, zal de normaalkracht nauwelijks veranderen. Door het toevoegen van de langsvoegen aan de ring neemt de systeemstijfheid af. De lining trekt minder belasting naar zich toe. Een groot deel van de belasting zal worden afgedragen naar de grond, in totaal 73.7%. De factor 2 is dus toegenomen t.o.v. de situatie zonder langsvoegen (68.6%). Als een monoliete ring zonder grondondersteuning, gemodelleerd wordt met een stijfheid EbI=*2*(EbI)monoliet=0.938*0.737*(EbI)monoliet=0.691*(EbI)monoliet, zullen dezelfde resultaten verkregen worden, voor zowel de snedekrachten als de verplaatsingen, t.o.v. een ring met langsvoegen met grondondersteuning. Invloed van langsvoegen is “gelijk” aan een reductie van de buigstijfheid met 30.9% in een homogene enkelringsmodel. 85


Raamwerk met grond Raamwerkberekening van de tunnellining met een uniforme belasting 0, een ovaliserende belasting 2 en grondreactie, waarbij de invloeden van langsvoegen zijn toegevoegd. Verschil = (analytisch - raamwerk)/ raamwerk * 100% (inclusief grondreactie) De verschillen tussen de analytische berekening en de raamwerkberekening zijn als volgt: Het verschil voor de normaalkracht in de top is 0%. Het verschil voor de normaalkracht in de flank is 0.2%. Het verschil voor het buigend moment in de top en in de flank is -1.4%. Het verschil voor de radiale topverplaatsing is -0.2%. Het verschil voor de radiale flankverplaatsing is 0.5%.

8.5

RESULTATEN DUBBELE RING MET GRONDBELASTING, LANGSVOEGEN EN RINGVOEGKOPPELINGEN

Toelichting tabel 14: EbA+EbI+LV+RK Modelleren van de tunnellining met een uniforme belasting 0 en een ovaliserende belasting 2, waarbij de invloeden van langsvoegen (LV) en ringvoegkoppelingen (RK) zijn toegevoegd. Door de ringvoegkoppelingen neemt de systeemstijfheid weer toe. De systeemstijfheidreductie  (zonder grondondersteuning) neemt toe van 0.938 tot 0.941. Door de ringvoegkoppelingen worden echter verstoringen in de momentenlijn geïntroduceerd. De gemiddelde buigende momenten over het systeem blijven dezelfde t.o.v de situatie zonder koppelingen. De verdeling van de momenten over de ringen is niet gelijk. Het optredende maximale moment neemt toe door de koppelkrachten. De radiale verplaatsingen nemen af door de hogere systeemstijfheid. De normaalkrachten blijven dezelfde. Als een monoliete ring zonder grondondersteuning gemodelleerd wordt met een stijfheid EbI=*(EbI)monoliet=0.824*(EbI)monoliet, zullen dezelfde verplaatsingen (en normaalkrachten) gevonden worden. De langsvoegen en ringvoegkoppelingen (zonder grondreactie) kunnen dus in rekening worden gebracht in een homogene enkelringsmodel door de buigstijfheid met 17.6% te reduceren. Het maximale buigend moment t.p.v. de top zal echter in dat geval (701.6-587.7)/587.7*100% = 19.4% onderschat worden t.o.v. de situatie met EbA+EbI (referentiepunt). EbA+EbI+LV+RK met grond De grondreactie wordt in rekening gebracht. Voor het systeem in grond is de invloed van de ringvoegkoppelingen op de radiale verplaatsingen zeer gering: (-5.74+5.66)/-5.66*100%=1.4% in de top en (4.12-4.18)/4.18*100%=-1.4% in de flank. Daarentegen is de invloed van de ringvoegkoppelingen met grond op het maximale buigend moment veel groter: (-192.8+154.6)/-154.6*100%=24.7% in de top. De koppelingen met grondondersteuning hebben nauwelijks invloed op de normaalkrachten: (-2242.5+2243.6)/-2243.6*100%=-0.05% in de top en (-2289+2288)/-2288*100%=0.04% in de flank. Als een monoliete ring zonder grondondersteuning gemodelleerd wordt met een stijfheid EbI=*2*(EbI)monoliet = 0.941 * 0.7252 * (EbI)monoliet = 0.682 * (EbI)monoliet, zullen dezelfde verplaatsingen gevonden worden. Het maximale buigend moment t.p.v. de top zal in dat geval (192.8184.4)/184.4*100% = 4.6% onderschat worden t.o.v. de situatie met EbA+EbI (referentiepunt).

86


Raamwerk met grond Raamwerkberekening van de tunnellining met een uniforme belasting 0, een ovaliserende belasting 2 en grondreactie, waarbij de invloeden van langsvoegen en ringvoegkoppelingen zijn toegevoegd. Verschil = (analytisch - raamwerk)/ raamwerk * 100% (inclusief grondreactie) De verschillen tussen de analytische berekening en de raamwerkberekening zijn als volgt: Ring 1: Het verschil voor de normaalkracht in de top is 0%. Het verschil voor de normaalkracht in de flank is 0.1%. Het verschil voor het buigend moment in de top is -13.0% Het verschil voor het buigend moment in de flank is 2.6%. Het verschil voor de radiale topverplaatsing is -0.2%. Het verschil voor de radiale flankverplaatsing is -0.5%. Ring 2: Het verschil voor de normaalkracht in de top is 0%. Het verschil voor de normaalkracht in de flank is 0.1%. Het verschil voor het buigend moment in de top is 16.8% Het verschil voor het buigend moment in de flank is 2.6%. Het verschil voor de radiale topverplaatsing is -0.2%. Het verschil voor de radiale flankverplaatsing is -0.5%.

8.6

INTERPRETATIE RESULTATEN

Geconcludeerd kan worden dat het analytische rekenmodel voor een gekoppeld gesegmenteerd ringsysteem in het algemeen een nauwkeurige voorspelling kan geven voor de radiale verplaatsingen en de normaalkrachten. De verschillen met de raamwerkberekening bedragen minder dan 0.5%. Het bepalen van het maximale buigend moment geeft echter een verschil van 16.8% met de raamwerkberekening. De oorzaak van dit verschil moet gezocht worden in het aandeel van de koppelkracht in het buigend moment t.p.v. een langsvoeg (vergelijking 52).

52 

M i , j  i  0.25   0.0997 k v r u i 0.25  u i  0.25 

De afleiding voor deze vergelijking is gebaseerd op een cirkelvormige ring zonder grondondersteuning. Wanneer de grondbedding in rekening wordt gebracht, wordt gesteld dat vergelijking (52) verandert in:

91

M i , j  i  0.25   0.0997 k v r u i 0.25  u i  0.25 1   2 

Hierbij is verondersteld dat het buigend moment t.g.v. de koppelkracht recht evenredig afneemt met de factor (1-2), het aandeel van de belasting dat opgenomen wordt door de ring. Dit is echter niet geheel correct. Het buigend moment neemt in werkelijkheid meer dan lineair af. Naarmate de afstand tot het aangrijpingspunt van de koppelkracht P groter wordt, neemt het buigend moment

87


op die afstand zeer snel af (zie figuur 46). Het analytische model geeft daardoor een te grote maximum buigend moment (bovengrensbenadering).

M=10 = 0.0997*P*r, zonder grondondersteuning M=10 = 0.0997*P*r*(1-2), met grondondersteuning (lineaire afname) M=10 = 0.0997*P*r*(1-2)*, met grondondersteuning (niet lineaire afname)  = 10  = 10

Langsvoeg op =10

P Figuur 46: invloed grondbedding op buigend moment t.g.v. koppelkracht P

Om de niet lineaire reductie van het buigend moment t.g.v. de koppelkracht in rekening te brengen, wordt een reductiefactor  in (91) verdisconteerd. De factor  wordt als volgt bepaald: Het buigend moment in een elastisch ondersteunde ligger belast door een puntlast is volgens (46) in [lit. 2]:

46 

M 

  e  x sin   x   4  2  P

Het buigend moment in een elastisch ondersteunde ring belast door gelijkgerichte diametrale puntlasten is:

92 

1  2 x  Pr 1  sin    cos   1   2  met   2  ʌ r  1 1  2  Voor 0      M  Pr 1  sin    cos  1   2  2 2  ʌ  M 

In 7.1.1 is de waarde  afgeleid:

48

2   1   2 1  r    1

Gelijkstelling van (46) aan (92) voor =10 is de factor  = 0.368. Vergelijking (91) wordt als volgt herschreven:

93

M i , j  i  0.25   0.0997 k v r u i 0.25  u i  0.25 1   2   0.0368k v r u i 0.25  u i  0.25 1   2 

Als deze factor in rekening wordt gebracht in de stelsels (71) en (72), kunnen daaruit de radiale verplaatsingsverschillen ui bepaald worden. Het maximum buigend moment in ring 2 is gelijk aan -175.0kNm groot. Het verschil zal gereduceerd worden tot 6.1% t.o.v. de raamwerkberekening.

88


Het verschil van 6.1% kan verklaard worden doordat de afleiding voor de reductiefactor  gebaseerd is op een elastisch ondersteunde ligger (46). In werkelijkheid is het een elastisch ondersteunde ring met een normaaldrukkracht.

89


90


HOOFDSTUK

9

Parameterstudie

Met behulp van de parameterstudie zal de gevoeligheid van de modelresultaten voor de verschillende invoerparameters onderzocht worden. In 9.1 worden de parameters besproken die wel en niet in de parameterstudie worden opgenomen, waarna de verkregen resultaten in 9.2 worden behandeld. Opmerking: In de parameterstudie is de reductiefactor  niet verdisconteerd in de buigende momenten. De buigende momenten en de koppelkrachten zullen overschat worden. Door reductiefactor  zullen de buigende momenten en de radiale verplaatsingverschillen afnemen en daardoor ook de koppelkrachten. De radiale verplaatsingen zullen nauwelijks veranderen, omdat de radiale verplaatsingsverschillen een orde 100 kleiner zijn (met en zonder reductiefactor ). De normaalkrachten blijven ongewijzigd.

9.1

UITGANGSPUNTEN PARAMETERSTUDIE

9.1.1 CONSTANTE MODELPARAMETERS De geometrieparameters van de tunnellining voor de Groene Hart Tunnel, die in het analytische rekenmodel zijn toegepast, zullen constant worden gehouden in de parameterstudie. Ze zijn hieronder gegeven:

de systeemstraal r : 6950mm de dikte van lining d : 600mm de langsvoegcontactbreedte lv : 400mm de breedte van een half segment b : 1000mm de locaties van de langsvoegen op de tunnellining bevinden zich om de 40 (in het rekenmodel). de locaties van de ringvoegen bevinden zich op een vierde en drievierde van de segmentlengte in tangentiële richting de segmenten zijn in halfsteensverband geplaatst bij een gekoppeld ringsysteem: het hoekverschil tussen de langsvoegen in ring 1 en ring 2 is 20.

91


9.1.2 GEVARIEERDE MODELPARAMETERS De volgende invoerparameters zullen worden gevarieerd in de parameterstudie: 

De diepteligging: de diepteligging van de Groene Hart Tunnel zal in de werkelijkheid ook niet constant blijven. In de parameterstudie zal de diepte van de tunnelas tot het maaiveld h beschouwd worden. De minimale dekking en de maximale dekking op de Groene Hart Tunnel zijn respectievelijk 3m en 23m. Het toepassingsgebied voor h bevindt zich tussen 3+6.95=9.95m en 23+6.95=29.95m. In de studie zal de maximale waarde voor h op 80m gesteld worden, voornamelijk om te onderzoeken hoe het rekenmodel daarop reageert en verloopt. Bij de beschouwing van de diepteligging van de tunnellining zal hierbij gebruik worden gemaakt van een zelfde bodemprofiel, weergegeven in hoofdstuk 2 (figuur 46).  (kN/m3) K'(0) c' (kPa)

1.3 m -NAP maaiveld

' (d°) Eg (MPa)

2.5 m -NAP

clay 12

13

0.7

0

17.5

0.6

6.7 m -NAP

peat 4

10.5

0.7

2

17.5

0.3

8.1 m -NAP

clay 6A

13

0.7

0

17.5

0.3

8.9 m -NAP

peat 4

10.5

0.7

2

17.5

0.5

11.2 m -NAP

clay 6

13.5

0.7

0

17.5

0.6

11.9 m -NAP

peat 9

10.5

0.7

5

17.5

1.2

26.3 m -NAP

sand 22

19.5

0.46

0

32.5

38

35.4 m -NAP

sand 34

19

0.48

0

31

35

sand 38B

19.5

0.48

0

32.5

55

17.3 m

r=6.95m

Figuur 47: bodemprofiel doorsnede Groene Hart Tunnel

Voor de eenvoud wordt het bodemprofiel in figuur 47 geschematiseerd zoals weergegeven in figuur 48.

92


-1.3m NAP

klei + veen

h

-11.9m NAP

hklei+veen =10.6m

maaiveld

zand zand=19.5kN/m3 Eg=38MPa

Figuur 48: schematisatie bodemprofiel

In figuur 48 is te zien dat in het gebied h: 9.95m tot 10.6+6.95=17.55m, de tunnel zich voor een gedeelte (top van de lining) in het klei+veenpakket bevindt. Deze tunnelsecties bevinden zich nabij de start- en eindschacht, waar wordt aangesloten op de C&C gedeelten van de toeritten. In de Groene Hart Tunnel is het klei+veenpakket vervangen door een laag zand. Het bodemprofiel in deze gedeelten zal vooral uit zandlagen bestaan. Omdat in deze parameterstudie alleen uit één bodemprofiel (figuur 47) zal worden uitgegaan, zal het toepassingsgebied voor h beperkt worden tot: 17.55m tot 80m. In dit gebied zal de diepteligging van de tunnellining alleen variëren in de zandlaag (onder -11.9m NAP). De overige parameters zijn constant. Bij het veranderen van de diepteligging van de tunnel zullen de uniforme belasting en de ovaliserende belasting ook variëren. Omdat de diepteligging h geen invoerparameter in het analytische rekenmodel is, zal deze worden uitgedrukt in relaties met de uniforme belasting en de ovaliserende belasting. Een vergelijking wordt opgesteld voor de uniforme belasting 0 en de ovaliserende belasting 2 als functie van de diepte h. De diepte h is gedefinieerd als de diepte van de tunnelas t.o.v. het maaiveld. De afleiding is alleen geldig in de zandlaag (h  17.55m). De verticale gronddruk onder de klei+veenlaag klei+veen (-11.9m NAP):

 klei  veen    i hi  13.02.5  1.3  10.56.7  2.5  13.08.1  6.7   10.58.9  8.1  13.511.2  8.9   10.511.9  11.2   124.7 kN / m 2

De radiale gronddruk in de top van de ring r,top:

 r ,top   v ,ringas   klei  veen   zand h  hklei  veen   124.7  19.5h  106   0.0195h  0.082 MPa  v ,ringas  verticale gronddruk ter hoogte van de ringas (volgens schematisatie 3, hoofdstuk 2) [MPa]  zand

 volumegewicht van zand [kN/m 3 ]

h  diepte tunnelas t.o.v. maaiveld [m] hklei  veen  dikte van klei  veenlaag [m]

93


De radiale gronddruk in de flank van de ring r,flank:

 r , flank  K ' 0  r ,top   w h    w h  0.4619.5h  82  10h   10h  0.01437 h  0.03772 MPa K ' 0   horizontale gronddrukcoëfficiënt [-]

w

 volumegewicht van water [kN/m 3 ]

uniforme belasting als functie van diepte :  0 

 r ,top   r , flank

ovaliserende belasting als functie van diepte :  2 



2

 0.01694 h  0.05986 MPa

 r ,top   r , flank 2

 0.00257 h  0.02214 MPa

De tweede parameter die gevarieerd wordt is de grondbelasting bestaande uit: - de uniforme belasting 0: in het model is 0 0.330MPa groot. - de ovaliserende belasting 2: in het model is 2 0.0365MPa groot. Bij het variëren van de diepteligging van de lining moet worden opgemerkt dat de verhouding tussen de ovaliserende belasting 2 en de uniforme belasting 0 nagenoeg constant blijft in het beschouwde bodemprofiel: 2/0  0.11. Als de tunnel zich geheel in water bevindt, is 2/0=0 (2=0). Als de tunnel zich geheel in een droge zandlaag bevindt, is 2/0=0.5 (top=3flank). Het toepassingsgebied voor 2/0 is 0 tot 0.5. Interessant is het om te onderzoeken wat de invloed is van de variatie van de verhouding 2/0 op bijvoorbeeld de vervormingen en de snedekrachten in de tunnel. Dit speelt een belangrijke rol bij het beschouwen van bijvoorbeeld afwijkende bodemprofielen (t.o.v. bodemprofiel in figuur 47). De verhouding 2/0 zal immers veranderen bij een ander gekozen bodemprofiel. In deze studie zal de ovaliserende belasting gevarieerd worden, waarbij de uniforme belasting constant is gehouden.



De elasticiteitsmodulus van de betonnen tunnellining Eb: in het model is Eb 36000MPa groot.



De koppelstijfheid van een ringvoegkoppeling kv: in het model is kv 1*106N/mm groot.



De elasticiteitsmodulus van grond Eg: in het model is Eg 38MPa groot.

In de volgende paragraaf worden de relaties m.b.t. de modelparameters behandeld, die in de parameterstudie zullen worden onderzocht.

9.1.3 ONDERZOCHTE RELATIES M.B.T. MODELPARAMETERS De volgende relaties worden onderzocht: 

Het verloop van de radiale verplaatsing als functie van diepte h en verhouding 2/0: de maximale radiale verplaatsing treedt op in de top van ring 1.



Het verloop van de normaalkracht als functie van diepte h en verhouding 2/0: de maximale normaalkracht treedt op in de flank van ring 1 en ring 2.

94




Het verloop van het buigend moment als functie van diepte h en verhouding 2/0: het maximum buigend moment treedt op in de top van ring 2.



Het verloop van de tangentiële spanning in doorsnede van betonnen lining als functie van diepte h en verhouding 2/0: de maximale spanning treedt op in de top van ring 2. De betontreksterkte fb en de betondruksterkte fb’ zijn respectievelijk 2.15 en 19.5MPa. N M  b ,binnen   1 bd bd 2 6 N M  b ,buiten   1 bd bd 2 6



Het verloop van de koppelkracht als functie van diepte h en verhouding 2/0: de maximale koppelkracht bevindt zich in locatie i=1.25 (op een afstand van 50 van de ringtop: “schouderhoogte”), omdat daar het maximum radiale verplaatsingsverschil (t.p.v. een ringvoegkoppeling) optreedt. Het maximum verplaatsingsverschil t.p.v. een langsvoeg vindt plaats in de top van de lining: i=0.

94a  94b 

De maximaal toelaatbare koppelkracht Pmax (43) is gelijk aan Faxiaal. De minimale axiale kracht Faxiaal vindt plaats op de minimale dekking van 3m op de tunnel (begin op- of afrit van de tunnel), tijdens het inbouwproces van de segmenten. Voor de eenvoud wordt de waarde Faxiaal gelijkgesteld aan de frontdruk. De verticale grondspanning t.h.v. de tunnelas is [3m (dekking)+6.95m (straal tunnel)]*19.5kN/m3 (volumegewicht zand)=194.0kN/m2. Met een horizontale gronddrukcoëfficiënt van 0.5 en een volumegewicht voor water van 10kN/m3 is de horizontale grondspanning t.h.v. de tunnelas 146.8kN/m2. De frontdruk, en dus de axiale kracht, is ¼**152*146.8=25.9MN. In de Groene Hart Tunnel bevinden zich 19 vijzelschoenen en even zoveel drukvlakken waar de koppelkracht wordt overgedragen. Op die locatie waar de frontdruk het laagst is kan dus lokaal een maximale koppelkracht Pmax opgenomen worden van Faxiaal = 0.4*25.9/19 = 0.55MN = 550kN.

51

Pi  k v u i

Omdat de axiale kracht Faxiaal afhankelijk is van de diepteligging h, is de lokaal toelaatbare koppelkracht Pmax ook afhankelijk van h. Het verloop van Pmax zal lineair toenemen. Voor de eenvoud wordt Pmax constant gehouden, omdat later zal blijken dat deze waarde voor Pmax nauwelijks wordt overschreden. Opgemerkt wordt dat het overschrijden van de maximale koppelkracht leidt tot het slippen van de ringvoegen. In de volgende paragrafen worden per parameter de resultaten van het verloop van de beschouwde relaties weergegeven en besproken.

95


9.2

RESULTATEN VARIATIE MODELPARAMETERS

9.2.1 VARIATIE DIEPTELIGGING TUNNELLINING In tabel 15 zijn de constant gehouden parameters weergegeven. Alleen de diepteligging van de tunnellining wordt gevarieerd. parameter systeemstraal r dikte lining d langsvoegcontactbreedte lv breedte half segment b elasticiteitsmodulus beton Eb koppelstijfheid kv elasticiteitsmodulus grond Eg

6950mm 600m 400mm 1000mm 36000MPa 1*106N/mm 38MPa

Tabel 15: constante parameters

Het toepassingsgebied voor de diepteligging is gesteld op 17.55m tot 80m. De resultaten zijn gegeven in de figuren 49 t/m 53. Relatie radiale verplaatsing als functie van diepte radiale topverplaatsing u_top als functie van diepte h

radiale verplaasting u [mm]

Toepassingsgebied GHT

diepte h [m]

0.00 0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

-5.00

-10.00

-15.00

-20.00

-25.00

-30.00

u_top (max in ring 1)

aandeel sigma0 in u_top

aandeel sigma2+LV+P in u_top

u_top LDesign

Figuur 49: radiale topverplaatsing als functie van diepte (ring 1)

Naarmate de tunnellining dieper komt te liggen, nemen de radiale verplaatsingen toe, zie figuur 49. De grondbelasting (0 en 2) wordt immers groter. Opgemerkt wordt dat de diepte gevarieerd wordt tussen 17.55m en 80m. De diepte van 80m is willekeurig genomen. Dit is gedaan om te kijken hoe het rekenmodel hierop zal reageren en zal verlopen. In de praktijk is alleen het gebied 17.55m tot 29.95m relevant.

96


Het aandeel van de uniforme belasting 0 in de radiale verplaatsing is relatief klein, vergeleken met het aandeel van de ovaliserende belasting 2+de langsvoegen LV+de ringvoegkoppelingen P. De rotatiestijfheden in de langsvoegen blijven nagenoeg constant, behalve voor langsvoeg i=0 t.p.v. de top van de ring. De reductie van de rotatiestijfheid is echter gering in i=0. Omdat de diepte van de tunnel toeneemt, zullen naast ovaliserende belasting 2 ook de uniforme belasting 0 toenemen. De grenswaarde voor de reductie van de rotatiestijfheid (Mgrens=0brlv/6) zal door de toename van 0 hierdoor ook toenemen, waardoor reductie van de rotatiestijfheden in de langsvoegen gering blijft. De radiale verplaatsing verloopt vrijwel lineair met de toenemende diepte. Een controle is uitgevoerd met het raamwerkprogramma LDesign. De maximale radiale verplaatsingen komen goed met elkaar overeen. Relatie normaalkracht als functie van diepte normaalkracht in flank van de ring N_flank als functie van diepte h diepte h [m] normaalkracht N [N]

0.00E+00 0

10

-1.00E+06

20

30


40

50

60

70

80

90

-2.00E+06 -3.00E+06 -4.00E+06 -5.00E+06 -6.00E+06 -7.00E+06 -8.00E+06 -9.00E+06 -1.00E+07

N_flank (ring 1 en ring 2)

aandeel sigma0 in N_flank


N_flank LDesign

Figuur 50: normaalkracht in de flank van de ring als functie van diepte (ring 1)

In figuur 50 is te zien dat het aandeel van de uniforme belasting in de normaalkracht aanzienlijk groter is dan het aandeel van de ovaliserende belasting. De normaalkrachten nemen toe, wanneer de grondbelasting groter wordt (m.n. de uniforme belasting). De maximale normaalkracht treedt op in de flank van de ring. Het verschil tussen deze extreme waarde en de gemiddelde waarde is echter zeer gering. Het verloop van de normaalkracht langs de lining is nagenoeg constant. Vergelijking met de normaalkrachten uit de raamwerkberekening geeft geringe verschillen aan.

97


Relatie buigend moment als functie van diepte De buigende momenten nemen toe met de diepte, zie figuur 51. Het maximum buigend moment treedt op in de top van ring 2. In figuur 51 is te zien dat de raamwerkberekening lagere waarden geeft voor de maximale buigende momenten dan de analytische berekening. Dit blijkt ook uit de resultaten in tabel 14 van hoofdstuk 8. Opgemerkt wordt dat de reductiefactor  niet in rekening is gebracht. Het verloop van de buigende momenten is nagenoeg lineair, omdat nauwelijks reductie van rotatiestijfheden plaatsvindt in de langsvoegen (althans voor deze combinaties van 0 en 2). buigend moment in top van de ring M_top als functie van diepte h buigend moment M [Nmm]


diepte h [m]

0.00E+00 0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

-2.00E+08

-4.00E+08

-6.00E+08

-8.00E+08

-1.00E+09

-1.20E+09

M_top (max in ring 2)

M_top LDesign

Figuur 51: buigend moment in de top van de ring als functie van diepte (ring 2)

Relatie tangentiële spanning als functie van diepte

spanning [MPa]

maximale spanning in top van binnenkant ring 2 als functie van diepte h 2.00

1.50

1.00

0.50


0.00 0

10

20

30

40

50

60

70

80

90 diepte h [m]

-0.50

-1.00

spanning binnenkant ring

spanning binnenkant ring LDesign

Figuur 52: tangentiële spanning in top van binnenkant ring 2 als functie van diepte

98


De tangentiële spanning is bepaald t.p.v. de top van ring 2. Deze doorsnede is maatgevend, omdat het buigend moment ter plaatse maximaal is. De normaalkracht is vrijwel constant langs de liningomtrek. In figuur 52 geeft aan dat, wanneer de diepteligging van de tunnelas groter is 37m, de tangentiële spanning in de betondoorsnede van druk- naar trekspanning overgaat. Omdat de drukspanning geleverd door de normaalkracht minder toeneemt met de diepte dan de trekspanning geleverd door het buigend moment (aan de binnenzijde van de ring), zal de tangentiële (trek)spanning hierdoor toenemen. Omdat de raamwerkberekening lagere waarden voor de buigende momenten geeft, zal de tangentiële spanning ook lager uitkomen. De normaalkrachten uit beide berekeningen zijn immers nagenoeg gelijk.

maximale spanning in top van buitenkant ring 2 als functie van diepte h

spanning [MPa]


diepte h [m]

0.00 0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

-5.00

-10.00

-15.00

-20.00

-25.00

-30.00

-35.00

spanning buitenkant ring

spanning buitenkant ring LDesign

Figuur 53: tangentiële spanning in top van buitenkant ring 2 als functie van diepte

Aan de buitenzijde van ring 2 treedt voortdurend drukspanning op in de beschouwde diepte van 17.55m-80m. De drukspanning wordt groter, naarmate de tunnel dieper komt te liggen. Relatie koppelkracht als functie van diepte Naarmate de grondbelasting toeneemt, zullen de vervormingsverschillen tussen de ringen ook toenemen. De koppelkracht is gedefinieerd als de stijfheid van de koppeling vermenigvuldigd met het radiale verplaatsingsverschil over een ringvoeg. De koppelkrachten zullen hierdoor ook toenemen. De koppelkracht is bepaald voor ringvoeg i=1.25 (“schouderhoogte”). Hier treedt het maximale verplaatsingsverschil op ter plaatse van een ringvoeg, zie tabel 13.

99


koppelkracht P [N]

koppelkracht t.p.v. ringvoeg i=1.25 P[i=1.25] als functie van diepte h 4.50E+05 4.00E+05 3.50E+05 3.00E+05 2.50E+05 2.00E+05

Toepassingsgebied GHT 1.50E+05 1.00E+05 5.00E+04 0.00E+00 0

10

20

30

40

50

60

70

80

90 diepte h [m]

P[i=1.25] (ring 1)

P[i=1.25] LDesign

Figuur 54: koppelkracht t.p.v. ringvoeg i=1.25 als functie van diepte (ring 1)

9.2.2 VARIATIE OVALISERENDE BELASTING T.O.V. UNIFORME BELASTING De resultaten met het variëren van de verhouding 2/0 zijn gegeven in figuur 55 t/m 60. Deze worden vervolgens gecontroleerd met een raamwerkberekening. Relatie radiale verplaatsing als functie van 2/0 radiale topverplaatsing u_top als functie van verhouding sigma2/sigma0

radiale verplaatsing [mm]

Beschouwde doorsnede GHT

verhouding sigma2/sigma0 [100%]

0.00 0

10

20

30

40

50

60

-5.00

-10.00

-15.00

-20.00

-25.00

-30.00

u_top (max in ring 1)

aandeel sigma0 in u_top

aandeel sigma2+LV+P in u_top

u_top LDesign

Figuur 55: radiale topverplaatsing als functie van verhouding2/0 (ring 1)

De ovaliserende belasting 2 wordt gegeven als percentage van de uniforme belasting 0 (0.330MPa). De uniforme belasting 0 is constant genomen, alleen de ovaliserende belasting 2 wordt gevarieerd.

100


In figuur 55 is te zien dat de radiale verplaatsing uit de analytische berekening goed overeenkomt met het resultaat uit de raamwerkberekening. De rotatiestijfheden in de langsvoegen reduceren, naarmate de ovaliserende belasting 2 toeneemt. De ringstijfheid neemt hierdoor af. De radiale verplaatsingen nemen meer dan lineair toe met toenemende 2. Relatie normaalkracht als functie van 2/0 normaalkracht in flank van de ring N_flank als functie van verhouding sigma2/sigma0 Beschouwde doorsnede GHT


normaalkracht [N]

0.00E+00 0

10

20

30

40

50

60

-5.00E+05

-1.00E+06

-1.50E+06

-2.00E+06

-2.50E+06

-3.00E+06

N_flank (ring 1 en ring 2)



N_flank LDesign

Figuur 56: normaalkracht in de flank van de ring als functie van verhouding2/0 (ring 1)

De normaalkracht is nauwelijks afhankelijk van de ovaliserende belasting 2, zoals te zien in figuur 56. Omdat de uniforme belasting gelijk is gehouden, zal de normaalkracht zeer gering toenemen bij toename van de ovaliserende belasting. De normaalkracht uit de raamwerkberekening wijkt weinig af van de normaalkracht uit de analytische berekening. Relatie buigend moment als functie van 2/0 buigend moment in top van de ring M_top als functie van verhouding sigma2/sigma0

buigend moment [Nmm]



0.00E+00 0

10

20

30

40

-2.00E+08

-4.00E+08

-6.00E+08

-8.00E+08

-1.00E+09

-1.20E+09

M_top (max in ring 2)

M_top LDesign

Figuur 57: buigend moment in de top van de ring als functie van verhouding2/0 (ring 2)

101

50

60


Het buigend moment neemt toe bij toenemende ovaliserende belasting. De raamwerkberekening geeft lagere waarden voor het buigend moment dan de analytische berekening. Het verschil tussen beide resultaten wordt groter, naarmate 2/0 toeneemt. De reductie van de rotatiestijfheid in de langsvoegen heeft weinig invloed op het maximum moment (in de analytische berekening). Het verloop van het buigend moment uit het rekenmodel in figuur 57 is lineair. Relatie tangentiële spanning als functie van 2/0

spanning [MPa]

maximale spanning in top van binnenkant ring 2 als functie van verhouding sigma2/sigma0 14.00 12.00 10.00 8.00 6.00 4.00


2.00 0.00 0

10

20

30

40

-2.00

50

60


-4.00 -6.00

spanning binnenkant ring

spanning binnenkant ring LDesign

Figuur 58: tangentiële spanning in top van binnenkant ring 2 als functie van verhouding2/0

Wanneer de ovaliserende belasting kleiner wordt dan 13% van de uniforme belasting, zal de trekspanning omslaan in een drukspanning, volgend uit de analytische berekening. In figuren 58 en 59 nemen de spanningen toe bij toenemende 2. maximale spanning in top van buitenkant ring 2 als functie van verhouding sigma2/sigma0 spanning [MPa]



0.00 0

10

20

30

40

-5.00

-10.00

-15.00

-20.00

-25.00

spanning buitenkant ring

spanning buitenkant ring LDesign

Figuur 59: tangentiële spanning in top van buitenkant ring 2 als functie van verhouding2/0

102

50

60


Het verschil tussen de analytische berekening en de raamwerkberekening wordt groter, als de ovaliserende belasting toeneemt. Relatie koppelkracht als functie van 2/0 koppelkracht t.p.v. ringvoeg i=1.25 P[i=1.25] als functie van verhouding sigma2/sigma0

koppelkracht [N]

6.00E+05

5.00E+05

4.00E+05

3.00E+05

2.00E+05


1.00E+05

0.00E+00 0

10

20

30

P[i=0.25] (ring 1)

40

50 60 verhouding sigma2/sigma0 [100%]

P[i=1.25] LDesign

Figuur 60: koppelkracht t.p.v. ringvoeg i=1.25 als functie van verhouding2/0 (ring 1)

De verplaatsingsverschillen nemen meer dan lineair toe, naarmate de ovaliserende belasting toeneemt. De reductie van de rotatiestijfheden wordt immers groter. De analytische berekening geeft een minder snel toenemend verloop van de koppelkrachten dan de raamwerkberekening.

9.2.3 VARIATIE ELASTICITEITSMODULUS BETON De parameter elasticiteitsmodulus van beton Eb wordt als volgt gevarieerd. Eb = 36000MPa

1.25Eb

Eb

0.5Eb

0.33Eb

De waarde 1.25Eb is genomen, want:  Het toegepaste beton in de Groene Hart Tunnel bevat hoogovencement. Hoogovencement heeft een eigenschap, dat de betonsterkte na t=28 dagen blijft toenemen (t=).  In de praktijk wordt een hogere betonkwaliteit toegepast dan het wordt geëist. De verhoging van Eb bedraagt ongeveer 25%. Voor het in rekening brengen van een gedeeltelijk gescheurde en een geheel gescheurde betonnen lining worden respectievelijk de waarden 0.5Eb en 0.33Eb toegepast. Deze waarden volgen uit vuistregels.

103


In tabel 16 zijn de constant gehouden parameters weergegeven. parameter systeemstraal r dikte lining d langsvoegcontactbreedte lv breedte half segment b koppelstijfheid kv elasticiteitsmodulus grond Eg

6950mm 600m 400mm 1000mm 1*106N/mm 38MPa


De resultaten worden weergegeven in figuur 61 t/m 72 als functie van de diepte en als functie van de verhouding 2/0. Relatie radiale verplaatsing met Eb radiale topverplaatsing u_top als functie van diepte h diepte h [m]


0.00 0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

-5.00

-10.00

-15.00

-20.00

-25.00

-30.00

u_top (max in ring 1) 1.25Eb

-35.00

u_top (max in ring 1) 1Eb

-40.00


-45.00



De radiale verplaatsingen nemen toe met afnemende elasticiteitsmodulus van beton. Dit is het gevolg van de afnemende stijfheidsverhouding tussen de lining en de bedding. De stijfheid van de lining is relatief kleiner geworden dan de stijfheid van de bedding. Uit figuur 62 volgt de radiale verplaatsingen steeds meer lineair verloopt, naarmate de elasticiteitsmodulus van beton afneemt. De systeemstijfheid wordt gereduceerd door de afname van Eb. De belasting dat gedragen wordt door de lining zal afnemen. Reductie van rotatiestijfheden in de langsvoegen wordt hierdoor minder.

104


radiale topverplaatsing u_top als functie van verhouding sigma2/sigma0


verhouding sigma2/sigma0 [100%] 0.00 0

10

20

30

40

50

60

-5.00

-10.00

-15.00

-20.00

u_top (max in ring 1) 1.25Eb -25.00

u_top (max in ring 1) 1Eb -30.00

u_top (max in ring 1) 0.5Eb u_top (max in ring 1) 0.33Eb

-35.00


Relatie normaalkracht met Eb normaalkracht in flank van de ring N_flank als functie van diepte h

normaalkracht N [N]

diepte h [m] 0.00E+00 0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

-1.00E+06 -2.00E+06 -3.00E+06 -4.00E+06 -5.00E+06 -6.00E+06

N_flank (ring 1) 1.25Eb -7.00E+06

N_flank (ring 1) 1Eb

-8.00E+06 -9.00E+06

N_flank (ring 1) 0.5Eb

-1.00E+07


Figuur 63: normaalkracht in de top van de ring als functie van diepte (ring 1)

Afname van de elasticiteitsmodulus van beton heeft een geringe invloed op de normaalkrachten. De normaalkracht neemt daarbij heel licht af, omdat het grondaandeel in de grondbelasting is toegenomen. Het blijkt dat de normaalkracht nauwelijks afhangt van de grondondersteuning.

105


normaalkracht in flank van de ring N_flank als functie van verhouding sigma2/sigma0 verhouding sigma2/sigma0 [100%] normaalkracht N [N]

0.00E+00 0

10

20

30

40

50

60

-5.00E+05

-1.00E+06

-1.50E+06

N_flank (ring 1) 1.25Eb N_flank (ring 1) 1Eb

-2.00E+06

N_flank (ring 1) 0.5Eb -2.50E+06


Figuur 64: normaalkracht in de top van de ring als functie van verhouding2/0 (ring 1)

Relatie buigend moment met Eb buigend moment in top van de ring M_top als functie van diepte h

buigend moment M [Nmm]

diepte h [m] 0.00E+00 0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

-2.00E+08

-4.00E+08

-6.00E+08

M_top (max in ring 2) 1.25Eb -8.00E+08

M_top (max in ring 2) 1Eb

-1.00E+09

M_top (max in ring 2) 0.5Eb

-1.20E+09



De buigende momenten nemen toe met toenemende Eb. De lining is stijver geworden, waardoor een groter deel van de grondbelasting opgenomen zal worden door de lining. Dit resulteert in grotere buigende momenten. Reductie van de rotatiestijfheden zal meer optreden in de langsvoegen, naarmate Eb toeneemt. Door de reducerende rotatiestijfheden wordt de lining slapper. Het verloop van het buigend moment neemt steeds meer minder toe (niet lineair). Uit figuur 66 volgt dat de reductie van de

106


rotatiestijfheden niet groot is, omdat het verloop van de buigende momenten nagenoeg lineair blijft. buigend moment in top van de ring M_top als functie van verhouding sigma2/sigma0


verhouding sigma2/sigma0 [100%] 0.00E+00 0

10

20

30

40

50

60

-2.00E+08

-4.00E+08

-6.00E+08

M_top (max in ring 2) 1.25Eb -8.00E+08

M_top (max in ring 2) 1Eb

-1.00E+09


-1.20E+09



Relatie tangentiële spanning met Eb

spanning [MPa]


10.00

5.00 diepte h [m] 0.00 0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

spanning binnenkant ring 1.25Eb

-5.00

spanning binnenkant ring Eb -10.00

spanning binnenkant ring 0.5Eb spanning binnenkant ring 0.33Eb

-15.00

betontreksterkte fb betondruksterkte fb'

-20.00


In figuur 67 is te zien dat de tangentiële spanning binnen omslaat van trek naar druk bij afname van Eb. Bij variatie van 2/0 (figuur 68) neemt de tangentiële spanning binnen af. Het buigend moment is immers afgenomen, terwijl de normaalkracht constant is gebleven.

107


maximale spanning in top van binnenkant ring 2 als functie van verhouding sigma2/sigma0 spanning [MPa]

20.00

15.00

10.00 5.00

0.00 -5

5

15

25

35

45

55


-5.00

spanning binnenkant ring 1.25Eb spanning binnenkant ring Eb

-10.00

spanning binnenkant ring 0.5Eb

-15.00

spanning binnenkant ring 0.33Eb -20.00

betontreksterkte fb

-25.00

betondruksterkte fb'


De betontreksterkte is gelijk aan fb = 2.15 N/mm2. Overschrijding van de betontreksterkte fb vindt plaats op een diepte van 56m en 80m voor respectievelijk 1.25Eb en 1Eb (figuur 67), en voor 17%, 19%, 30% en 38% van de uniforme belasting voor respectievelijk 1.25Eb, 1 Eb, 0.5 Eb en 0.33 Eb (figuur 68). De tangentiële spanning buiten neemt ook af bij afnemende Eb (figuur 69 en 70). Voor de Groene Hart Tunnel (17.55m tot 29.95m) volgt dat de lining ongescheurd blijft, zowel aan de binnenzijde als aan de buitenzijde van de ring.

spanning [MPa]

maximale spanning in top van buitenkant ring 2 als functie van diepte h 5.00

0.00 0

10

20

30

40

50

60

70

80

90 diepte h [m]

-5.00

-10.00

-15.00

spanning buitenkant ring 1.25Eb

-20.00

spanning buitenkant ring Eb -25.00

spanning buitenkant ring 0.5Eb spanning buitenkant ring 0.33Eb

-30.00

betontreksterkte fb -35.00



108


spanning [MPa]

maximale spanning in top van buitenkant ring 2 als functie van verhouding sigma2/sigma0 5.00

0.00 -5

5

15

25

35


-5.00

-10.00

spanning buitenkant ring 1.25Eb spanning buitenkant ring Eb

-15.00

spanning buitenkant ring 0.5Eb spanning buitenkant ring 0.33Eb -20.00


-25.00


De betondruksterkte is gelijk aan 0.3*karakteristieke betondruksterkte = 0.3*65 = 19.5 N/mm2. De druksterkte wordt bereikt op 50m, 52m, 62m en 70m voor respectievelijk 1.25Eb, 1Eb, 0.5Eb en 0.33Eb, en 44% en 50% voor respectievelijk 1.25Eb en 1Eb. Relatie koppelkracht met Eb

koppelkracht P [N]

koppelkracht t.p.v. ringvoeg i=1.25 P[i=1.25] als functie van diepte h P[i=1.25] (ring 1) 1.25Eb

6.00E+05

P[i=1.25] (ring 1) 1Eb 5.00E+05

P[i=1.25] (ring 1) 0.5Eb P[i=1.25] (ring 1) 0.33Eb

4.00E+05

P_max 3.00E+05

2.00E+05

1.00E+05

0.00E+00 0

10

20

30

40

50

60

70

80

90 diepte h [m]


Bij een toenemende Eb wordt de ringstijfheid groter. De buigende momenten in de lining nemen toe. De rotatiestijfheden in de langsvoegen nemen af. De stijfheid van de segmenten wordt steeds groter vergeleken met de stijfheid van de langsvoegen. De vervormingen zullen steeds meer

109


plaatsvinden in de langsvoegen. De verplaatsingsverschillen in de langsvoegen en ringvoegen, en dus ook de koppelkrachten, zullen hierdoor toenemen, zie figuur 72 voor 2/0 > 18%.

koppelkracht t.p.v. ringvoeg i=1.25 P[i=1.25] als functie van verhouding sigma2/sigma0

koppelkracht [N]

6.00E+05

P[i=1.25] (ring 1) 1.25Eb P[i=1.25] (ring 1) 1Eb

5.00E+05

P[i=1.25] (ring 1) 0.5Eb 4.00E+05

P[i=1.25] (ring 1) 0.33Eb P_max

3.00E+05

2.00E+05

1.00E+05

0.00E+00 0

10

20

30

40



Voor 0% ≤ 2/0 ≤ 18% neemt de koppelkracht toe bij toename van 0.33Eb tot 1Eb. Bij de toename van 1Eb tot 1.25Eb neemt de koppelkracht echter af. Omdat bij de variatie van de diepte de verhouding tussen 0 en 2 ongeveer 0.11 (11% van 0) bedraagt, is dit verschijnsel ook te zien in figuur 71. De verhouding bevindt zich immers in het gebied van 0%-18%. De afwijking van het verloop van de koppelkracht in dit gebied wordt veroorzaakt door de invloeden van de elasticiteitsmodulus van beton en het buigend moment in de lining. Bij toenemende 2 zullen de buigende momenten lineair toenemen volgens (53) en (90). Voor i  0, 0.5, 1, 1.5 en 2 (locatie langsvoegen) volgt het buigend moment uit (53) :

53 90 

21

1 M i , j  i    2 br 2 cos2 i   0.0997 k v r u i 0.25  u i  0.25  3 Voor i  0.25, 0.75, 1.25, 1.75 en 2.25 (locatie ringvoegkoppelingen) volgt het buigend moment uit (90) : 1 M i , j  i    2 br 2 cos2 i   k v r 0.182u i  0.0299u i 0.5  u i  0.5  3 u i  verplaatsingsverschil t.p.v. locatie i op ringomtrek ~  2 2

cr  

9bl v E b 32

 2M    Nl  1   v

3

De invloed van de toename van de buigende momenten op de rotatiestijfheid cr (21) in het gebied 0% ≤ 2/0 ≤ 18% is echter kleiner dan de invloed van de toename van 1Eb tot 2Eb volgens figuur 71 en 72. De rotatiestijfheden in de langsvoegen nemen hierdoor toe volgens (21). De waarde voor de rotatiestijfheid cr is immers altijd positief. Hieruit volgt dat de waarde voor [2|M|/(Nlv)-1]3 negatief moet zijn. De waarde voor 2|M|/(Nlv) is dus kleiner dan 1. Een toename van het buigend moment reduceert de rotatiestijfheid cr. In het gebied 0% ≤ 2/0 ≤ 18% heeft een toename van Eb een grotere invloed op cr dan de toename van M, waardoor cr zal toenemen.

110


De vervorming in de langsvoegen neemt af door de toename van cr, waardoor de vervormingsverschillen in langsvoegen en ringvoegen, en dus ook de koppelkrachten afnemen. Opgemerkt moet worden dat de buigstijfheid van de segmenten geen invloed heeft op de vervormingsverschillen. De vervormingsverschillen worden veroorzaakt door het halfsteensverband, waarbij de rotaties in de langsvoegen de verplaatsingsverschillen bepalen.

9.2.4 VARIATIE KOPPELSTIJFHEID De parameter koppelstijfheid van een ringvoegkoppeling kv wordt als volgt gevarieerd. kv = 1*106N/mm

10kv

kv

0.1kv

0.01kv

0kv

Voor een ongekoppeld ringsysteem zal de waarde 0kv worden toegepast. De beschouwde gevallen voor kv (0kv tot 10kv) zijn willekeurig gekozen. In tabel 17 zijn de constant gehouden parameters weergegeven. parameter systeemstraal r dikte lining d langsvoegcontactbreedte lv breedte half segment b elasticiteitsmodulus grond Eb elasticiteitsmodulus grond Eg

6950mm 600m 400mm 1000mm 36000MPa 38MPa


De resultaten worden weergegeven in figuur 73 t/m 84 als functie van de diepte en als functie van de verhouding 2/0. Relatie radiale verplaatsing met kv radiale topverplaatsing u_top als functie van diepte h diepte h [m] radiale verplaasting u [mm]

0.00 0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

-5.00

-10.00

-15.00

-20.00

u_top (max in ring 1) 10kv u_top (max in ring 1) 1kv

-25.00

u_top (max in ring 1) 0.1kv -30.00


u_top (max in ring 1) 0kv


111


Naarmate de koppelstijfheid van de ringvoegkoppelingen toeneemt, nemen de radiale verplaatsingen (gering) af. De systeemstijfheid neemt immers toe. Uit figuur 73 blijkt dat de invloed van de ringvoegkoppelingen op de radiale verplaatsingen gering is. radiale topverplaatsing u_top als functie van verhouding sigma2/sigma0



10

20

30

40

50

60

-5.00

-10.00

-15.00

-20.00

u_top (max in ring 1) 10kv u_top (max in ring 1) 1kv

-25.00



u_top (max in ring 1) 0kv


Figuur 74 laat zien dat bij toenemende 2 de invloed van de ringvoegkoppeling op de radiale verplaatsing groter wordt, voor 2/0 > 15%. Het niet lineaire verloop voor lage kv waarden wordt veroorzaakt door de reducerende rotatiestijfheden van langsvoegen en de daardoor afnemende stijfheid van de ring. Voor de Groene Hart Tunnel is de verhouding 2/0 ongeveer gelijk aan 11%. De invloed van ringvoegkoppelingen is voor de Groene Hart Tunnel gering. Als de ovaliserende belasting klein genoeg t.o.v. de uniforme belasting (<15%), kan de radiale verplaatsingen goed worden ingeschat met één enkele ring. Relatie normaalkracht met kv Een verandering van de koppelstijfheid van de ringvoegkoppelingen heeft nauwelijks invloed op de normaalkrachten, zie figuur 74 en 75. De normaalkrachten kunnen goed afgeleid worden met een enkelringsmodel.

112


normaalkracht in flank van de ring N_flank als functie van diepte h

normaalkracht N [N]

diepte h [m] 0.00E+00 0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

-1.00E+06 -2.00E+06 -3.00E+06 -4.00E+06 -5.00E+06 -6.00E+06

N_flank (ring 1) 10kv

-7.00E+06


-8.00E+06

N_flank (ring 1) 0.1kv

-9.00E+06

N_flank (ring 1) 0.01kv

-1.00E+07



normaalkracht in flank van de ring N_flank als functie van verhouding sigma2/sigma0

normaalkracht N [N]


10

20

30

40

50

60

-5.00E+05

-1.00E+06


-1.50E+06

N_flank (ring 1) 1kv N_flank (ring 1) 0.1kv

-2.00E+06

N_flank (ring 1) 0.01kv N_flank (ring 1) 0kv

-2.50E+06


Relatie buigend moment met kv De stijfheid van het ringsysteem neemt toe door toename van de koppelstijfheid in de ringvoegkoppelingen. Het maximale buigend moment neemt toe door de koppelkracht. De buigende momenten zullen worden onderschat, als deze met een enkele ring worden bepaald (zie tabel 14, hoofdstuk 8).

113


buigend moment in top van de ring M_top als functie van diepte h


diepte h [m] 0.00E+00 0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

-2.00E+08

-4.00E+08

-6.00E+08

-8.00E+08

M_top (max in ring 2) 10kv -1.00E+09

M_top (max in ring 2) 1kv

-1.20E+09

M_top (max in ring 2) 0.1kv

-1.40E+09


-1.60E+09



buigend moment in top van de ring M_top als functie van verhouding sigma2/sigma0



10

20

30

40

50

60

-2.00E+08 -4.00E+08 -6.00E+08 -8.00E+08


-1.00E+09


-1.20E+09


-1.40E+09


-1.60E+09



In figuur 78 is te zien dat de rotatiestijfheden in de langsvoegen sterk reduceren bij afnemende kv. Het buigend moment neemt nauwelijks toe bij kv=0, omdat de systeemstijfheid sterk is afgenomen. De radiale verplaatsing zal hierdoor sterk toenemen (zie figuur 74).

114


Relatie tangentiële spanning met kv

spanning [MPa]


10.00

5.00

0.00 0

10

20

30

40

50

60

70

80 90 diepte h [m]

-5.00

spanning binnenkant ring 10kv -10.00

spanning binnenkant ring kv spanning binnenkant ring 0.1kv

-15.00

spanning binnenkant ring 0.01kv spanning binnenkant ring 0kv

-20.00




Omdat de buigende momenten afnemen bij de afname van kv, terwijl de normaalkrachten niet zijn veranderd, zal de tangentiële spanning aan de binnenzijde en de buitenzijde van de lining afnemen. De tangentiële spanning binnen slaat om van trekspanning naar drukspanning (figuur 79). Overschrijding van de treksterkte van beton treedt op, op een diepte van 27m en 80m voor respectievelijk 10kv en 1kv, en 13%, 19%, 24%, 26% en 26% voor respectievelijk 10kv, 1kv, 0.1kv, 0.01kv en 0kv.

spanning [MPa]

maximale spanning in top van binnenkant ring 2 als functie van verhouding sigma2/sigma0 25.00 20.00 15.00 10.00 5.00 0.00 0 -5.00

10

20

30

40

50


60

spanning binnenkant ring 10kv spanning binnenkant ring kv

-10.00

spanning binnenkant ring 0.1kv

-15.00

spanning binnenkant ring 0.01kv spanning binnenkant ring 0kv

-20.00

betontreksterkte fb

-25.00



115


spanning [MPa]

maximale spanning in top van buitenkant ring 2 als functie van diepte h 5.00 0.00 0

10

20

30

40

50

60

70

80

-5.00

90

diepte h [m]

-10.00 -15.00 -20.00

spanning buitenkant ring 10kv

-25.00

spanning buitenkant ring kv -30.00

spanning buitenkant ring 0.1kv spanning buitenkant ring 0.01kv

-35.00

spanning buitenkant ring 0kv

-40.00




In figuur 81 en 82 is te zien dat de drukspanning buiten ook afneemt, als de koppelstijfheid minder wordt. De betondruksterkte wordt bereikt op een diepte van 42m, 53m, 57m, 58m en 58m voor respectievelijk 10kv, 1kv, 0.1kv, 0.01kv en 0kv. Voor de verhouding 2/0 zijn ze achtereenvolgens 35% en 49% voor respectievelijk 10kv en 1kv.

spanning [MPa]

maximale spanning in top van buitenkant ring 2 als functie van verhouding sigma2/sigma0

5.00

0.00 0 -5.00

10

20

30

40

50

60


-10.00

spanning buitenkant ring 10kv spanning buitenkant ring kv

-15.00

spanning buitenkant ring 0.1kv -20.00

spanning buitenkant ring 0.01kv spanning buitenkant ring 0kv

-25.00




116


Relatie koppelkracht met kv koppelkracht t.p.v. ringvoeg i=1.25 P[i=1.25] als functie van diepte h

P[i=1.25] (ring 1) 10kv

koppelkracht P [N]

1.60E+06

P[i=1.25] (ring 1) 1kv

1.40E+06

P[i=1.25] (ring 1) 0.1kv 1.20E+06

P[i=1.25] (ring 1) 0.01kv P[i=1.25] (ring 1) 0kv

1.00E+06

P_max

8.00E+05 6.00E+05

4.00E+05

2.00E+05

0.00E+00 0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

diepte h [m]


De koppelkrachten nemen toe bij toenemende kv. Bij een toename van 1kv tot 10kv is de invloed op de koppelkracht zeer groot. De waarden 0.01kv en 0.1kv geven zeer geringe koppelkrachten. De maximale koppelkracht is gesteld op 0.55MN. Het verloop van de maximale koppelkracht is voor de eenvoud constant gehouden. Voor de waarde 10kv zal de maximale koppelkracht overschreden worden op een diepte groter dan 38m. Slip tussen de ringvoegen op locatie i=1.25 zal optreden.

koppelkracht [N]

koppelkracht t.p.v. ringvoeg i=1.25 P[i=1.25] als functie van verhouding sigma2/sigma0 1.40E+06

P[i=1.25] (ring 1) 10kv

1.20E+06

P[i=1.25] (ring 1) 1kv P[i=1.25] (ring 1) 0.1kv

1.00E+06

P[i=1.25] (ring 1) 0.01kv 8.00E+05

P[i=1.25] (ring 1) 0kv

6.00E+05

P_max

4.00E+05

2.00E+05

0.00E+00 0

10

20

30

40

50

-2.00E+05 verhouding sigma2/sigma0 [100%]


117

60


In tabel 18 zijn radiale verplaatsingen en snedekrachten gegeven voor een enkele ring en een gekoppeld ringsysteem. Deze waarden komen uit tabel 14. Uit de beschouwing van de variatie van de koppelstijfheid kan worden afgeleid dat met een enkelringsmodel (met grondondersteuning) de radiale verplaatsingen en de normaalkrachten goed kunnen worden benaderd (een afwijking van < 2%). De maximale buigende momenten (in de top van ring 2) zullen onderschat worden met 24.7% en 6.7% vergeleken met respectievelijk de analytische berekening en de raamwerkberekening voor een gekoppeld ringsysteem. Indien de reductiefactor  (paragraaf 8.6) in rekening wordt gebracht in de analytische berekening, is het verschil gelijk aan 12.9%. ring i berekening

i=1 Ntop

i=2 Ntop

i=1 Nflank

i=2 Nflank

i=1 Mtop

i=2 Mtop

i=1 Mflank

i=2 Mflank

i=1 utop

i=2 utop

i=1 uflank

i=2 uflank

analytische berekening enkele ring

-2243.6

analytische berekening gekoppelde ring zonder 

-2242.5

-2242.5

-2289.0

-2289.0

-130.2

-192.8

161.5

161.5

-5.74

-5.55

4.12

4.12

analytische berekening gekoppelde ring met 

-2242.5

-2242.5

-2289.0

-2289.0

-148.0

-175.0

161.5

161.5

-5.74

-5.55

4.12

4.12

raamwerkberekening gekoppelde ring

-2243.8

-2241.6

-2286.3

-2286.3

-149.6

-165.0

157.4

157.4

-5.75

-5.56

4.14

4.14

verschil enkele ring met analytische berekening gekoppelde ring zonder  in %

0%

0%

0%

0%

-15.8%

24.7%

4.5%

4.5%

1.4%

-1.9%

-1.4%

-1.4%

verschil enkele ring met analytische berekening gekoppelde ring zonder  in %

0%

0%

0%

0%

-4.3%

12.9%

4.5%

4.5%

1.4%

-1.9%

-1.4%

-1.4%

verschil enkele ring met raamwerkberekening gekoppelde ring in %

0%

-0.1%

-0.1%

-0.1%

-3.2%

6.7%

1.8%

1.8%

1.6%

-1.8%

-1.0%

-1.0%

-2288.0

-154.6

154.6

-5.66

4.18

Tabel 18: snedekrachten en radiale verplaatsingen voor enkele ring en gekoppelde ring (N in [kN], M in [kNm] en u in [mm])

9.2.5 VARIATIE ELASTICITEITSMODULUS GROND De parameter elasticiteitsmodulus van grond Eg wordt als volgt gevarieerd. Eg = 38MPa

2Eg

Eg

0.5Eg

0Eg

De waarden 2Eg en 0.5Eg geven respectievelijk een stijve en een slappe grondlaag weer. Zonder grondondersteuning wordt de waarde 0Eg genomen.

118


In tabel 19 zijn de constant gehouden parameters weergegeven. parameter systeemstraal r dikte lining d langsvoegcontactbreedte lv breedte half segment b elasticiteitsmodulus beton Eb koppelstijfheid kv

6950mm 600m 400mm 1000mm 36000MPa 1*106N/mm


De resultaten worden weergegeven in figuur 85 t/m 96 als functie van de diepte en als functie van de verhouding 2/0. Relatie radiale verplaatsing met Eg radiale topverplaatsing u_top als functie van diepte h


diepte h [m] 0.00 0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

-20.00

-40.00

-60.00

-80.00

u_top (max in ring 1) 2Eg -100.00

u_top (max in ring 1) 1Eg

-120.00

u_top (max in ring 1) 0.5Eg

-140.00



Wanneer de elasticiteitsmodulus van de grond, m.a.w. de stijfheid van de omringende bedding, toeneemt, neemt de radiale verplaatsing af. Zonder grondondersteuning (Eg=0MPa) zal de radiale verplaatsing zeer sterk toenemen. De stijfheid van de lining is in dit geval gering, omdat reductie van rotatiestijfheden in de langsvoegen groot zal zijn. De totale grondbelasting wordt immers gedragen door de lining, waardoor grote buigende momenten optreden.

119


radiale topverplaatsing u_top als functie van verhouding sigma2/sigma0



10

20

30

40

50

60

-20.00

-40.00

-60.00

-80.00



u_top (max in ring 1) 0.5Eg

-140.00



Relatie normaalkracht met Eg normaalkracht in flankvan de ring N_flank als functie van diepte h

normaalkracht N [N]

diepte h [m] 0.00E+00 0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

-1.00E+06 -2.00E+06 -3.00E+06 -4.00E+06 -5.00E+06 -6.00E+06

N_flank (ring 1) 2Eg

-7.00E+06


-8.00E+06 -9.00E+06

N_flank (ring 1) 0.5Eg

-1.00E+07



Uit figuur 87 en 88 blijkt dat de grondondersteuning weinig invloed heeft op de normaalkrachten. De normaalkrachten nemen gering toe bij afname van Eg. De stijging komt doordat het aandeel in de ovaliserende belasting, dat door de grond wordt opgenomen, afneemt. Opgemerkt wordt dat het grondaandeel in de uniforme belasting zeer gering is en dat dit nauwelijks effect zal hebben op de normaalkrachten. Omdat het grondaandeel in de ovaliserende belasting 2 afneemt, zal bij een toename van 2 de normaalkracht meer toenemen (figuur 88).

120


normaalkracht in flank van de ring N_flank als functie van verhouding sigma2/sigma0

normaalkracht N [N]


10

20

30

40

50

60

-5.00E+05

-1.00E+06

-1.50E+06

N_flank (ring 1) 2Eg -2.00E+06

N_flank (ring 1) 1Eg -2.50E+06

N_flank (ring 1) 0.5Eg

-3.00E+06



Relatie buigend moment met Eg buigend moment in top van de ring M_top als functie van diepte h


diepte h [m] 0.00E+00 0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

-5.00E+08 -1.00E+09 -1.50E+09 -2.00E+09 -2.50E+09

M_top (max in ring 2) 2Eg -3.00E+09

M_top (max in ring 2) 1Eg

-3.50E+09 -4.00E+09

M_top (max in ring 2) 0.5Eg -4.50E+09

M_top (max in ring 2) 0Eg

-5.00E+09


De buigende momenten nemen toe, naarmate de elasticiteitsmodulus van de grondondersteuning afneemt. Voor de waarde 0Eg is de reductie van de rotatiestijfheden in de langsvoegen groot. Het verloop van het buigend moment is dan ook niet lineair (figuur 90).

121


buigend moment in top van de ring M_top als functie van verhouding sigma2/sigma0



10

20

30

40

50

60

-1.00E+09

-2.00E+09

-3.00E+09



M_top (max in ring 2) 0.5Eg M_top (max in ring 2) 0Eg

-6.00E+09


Relatie tangentiële spanning met Eg

spanning [MPa]


spanning binnenkant ring 2Eg

60.00

spanning binnenkant ring Eg

50.00

spanning binnenkant ring 0.5Eg spanning binnenkant ring 0Eg

40.00

betontreksterkte fb

30.00

betondruksterkte fb' 20.00 10.00 diepte h [m]

0.00 0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

-10.00 -20.00 -30.00


Bij afnemende Eg neemt de tangentiële spanning binnen toe (een grotere trekspanning). Bij de waarde 2Eg treedt nog een geringe drukspanning op, te zien in figuur 91. Bij de overige waarden van Eg treedt alleen trekspanning op aan de binnenkant van de top van ring 2. Overschrijding van de betontreksterkte vindt plaats op een diepte van 12m en 25m voor respectievelijk 0Eg en 0.5Eg. Voor figuur 92 zal de scheurvorming aan de binnenzijde van de ring

122


optreden bij 5%, 12%, 18% en 33% van de uniforme belasting voor respectievelijk 0Eg, 0.5Eg, 1Eg en 2Eg.

spanning [MPa]

maximale spanning in top van binnenkant ring 2 als functie van verhouding sigma2/sigma0 80.00

spanning binnenkant ring 2Eg

70.00

spanning binnenkant ring Eg

60.00

spanning binnenkant ring 0.5Eg

50.00

spanning binnenkant ring 0Eg betontreksterkte fb

40.00


30.00 20.00 10.00 0.00 0

10

20

30

40

50

60


-10.00 -20.00


maximale spanning in top van buitenkant ring 2 als functie van diepte h

spanning [MPa]

20.00

diepte h [m] 0.00 0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

-20.00

-40.00

spanning buitenkant ring 2Eg -60.00

spanning buitenkant ring Eg spanning buitenkant ring 0.5Eg spanning buitenkant ring 0Eg

-80.00


-100.00


De tangentiële spanning aan de buitenkant van de top van ring 2 neemt toe (een grotere drukspanning), als de elasticiteitsmodulus van grond zal afnemen. Alleen drukspanning treedt op aan de buitenzijde van de beschouwde doorsnede.

123


De betondruksterkte wordt bereikt op een diepte van 27m, 42m, 52m en 66m voor respectievelijk 0Eg, 0.5Eg, 1Eg en 2Eg. Bij 13%, 30% en 50% van de uniforme belasting zal het beton bezwijken door het overschrijden van de druksterkte, voor 0Eg, 0.5Eg en 1Eg (figuur 94).

spanning [MPa]

maximale spanning in top van buitenkant ring 2 als functie van verhouding sigma2/sigma0 verhouding sigma2/sigma0 [100%]

10.00 0.00 0

10

20

30

40

50

60

-10.00 -20.00 -30.00 -40.00

spanning buitenkant ring 2Eg

-50.00

spanning buitenkant ring Eg -60.00

spanning buitenkant ring 0.5Eg

-70.00

spanning buitenkant ring 0Eg

-80.00

betontreksterkte fb

-90.00



Relatie koppelkracht met Eg

koppelkracht t.p.v. ringvoeg i=1.25 P[i=1.25] als functie van diepte h P[i=1.25] (ring 1) 2Eg

koppelkracht P [N]

3.00E+06

P[i=1.25] (ring 1) 1Eg 2.50E+06

P[i=1.25] (ring 1) 0.5Eg P[i=1.25] (ring 1) 0Eg

2.00E+06

P_max 1.50E+06

1.00E+06

5.00E+05

0.00E+00 0

10

20

30

40

50

60

70

80

90 diepte h [m]


De radiale verplaatsingsverschillen zullen toenemen, als Eg afneemt. De koppelkrachten nemen hierdoor toe. De overschrijding van de maximale opneembare koppelkracht Pmax vindt plaats op

124


een diepte van 27m en 13% van 0, als de lining niet wordt ondersteund door de omringende grond (0Eg). Bij een waarde van 0.5Eg zijn respectievelijk 27m en 34%.

koppelkracht t.p.v. ringvoeg i=1.25 P[i=1.25] als functie van verhouding sigma2/sigma0

koppelkracht [N]

5.000E+06

P[i=1.25] (ring 1) 2Eg

4.500E+06

P[i=1.25] (ring 1) 1Eg

4.000E+06

P[i=1.25] (ring 1) 0.5Eg

3.500E+06

P[i=1.25] (ring 1) 0Eg 3.000E+06

P_max

2.500E+06 2.000E+06 1.500E+06 1.000E+06 5.000E+05 0.000E+00 0

10

20

30

40

50

60



9.3

CONCLUSIES PARAMETERSTUDIE

Met behulp van de parameterstudie is de gevoeligheid van de resultaten uit het rekenmodel voor verschillende invoerparameters onderzocht. De volgende relaties zijn beschouwd:  

 



Het verloop van de maximale radiale verplaatsing: de maximale radiale verplaatsing treedt op in de top van ring 1. Het verloop van de maximale normaalkracht: de maximale normaalkracht treedt op in de flank van ring 1 en 2. De extreme waarde verschilt weinig van de overige waarden in de liningomtrek. Het verloop van het maximale buigend moment: het maximum buigend moment treedt op in de top van ring 2. Het verloop van de maximale tangentiële spanning: de maximale spanning treedt op in de top van ring 2. De maximale drukspanning en trekspanning treden op aan respectievelijk de buitenzijde en de binnenzijde van de top van ring 2. Het verloop van de maximale koppelkracht: de maximale koppelkracht bevindt zich in locatie i=1.25 (op een afstand van 50 van de ringtop: ”schouderhoogte”), omdat daar het maximum radiale verplaatsingsverschil (t.p.v. een ringvoegkoppeling) optreedt.

De parameters m.b.t. de geometrie van de Groene Hart Tunnel zijn constant gehouden. De onderzochte parameters zijn: 

de grondbelasting: 1. het variëren van de diepteligging van de tunnellining (constante verhouding tussen ovaliserende belasting en uniforme belasting)

125


2.

  

het variëren van de ovaliserende belasting t.o.v. de uniforme belasting, waarbij de uniforme belasting constant is gehouden de elasticiteitsmodulus van beton de koppelstijfheid van ringvoegkoppelingen de elasticiteitsmodulus van grond

De volgende verbanden met de onderzochte parameters zijn gevonden: 









Bij toenemende grondbelasting in de vorm van toenemende diepteligging nemen de radiale verplaatsing, de normaalkracht, het buigend moment, de tangentiële spanning en de koppelkracht toe. Bij toenemende ovaliserende belasting t.o.v. de uniforme belasting nemen de radiale verplaatsing, het buigend moment, de tangentiële spanning en de koppelkracht toe. De normaalkracht blijft nagenoeg constant. Bij toename van de elasticiteitsmodulus van beton neemt de radiale verplaatsing af. De normaalkracht blijft constant. Het buigend moment neemt toe. De trekspanning aan de binnenzijde en de drukspanning aan de buitenzijde van de topdoorsnede worden groter. Bij voldoende grote ovaliserende belasting (> 18% van de uniforme belasting) neemt de koppelkracht toe. Bij kleinere waarde voor de ovaliserende belasting neemt de koppelkracht af, als de toename van de elasticiteitsmodulus van beton voldoende groot is (> 36000MPa). Bij toename van de koppelstijfheid van ringvoegkoppelingen neemt de radiale verplaatsing licht af. Bij voldoende grote ovaliserende belasting (> 15% van uniforme belasting) zal de radiale verplaatsing sterk afnemen. De normaalkracht blijft vrijwel constant. Het buigend moment, de tangentiële spanning in de topdoorsnede en de koppelkracht nemen toe. Bij toename van de elasticiteitsmodulus van grond nemen de radiale verplaatsing, het buigend moment en de koppelkracht af. De trekspanning aan de binnenkant en de drukspanning aan de buitenkant van de top van ring 2 worden minder. De normaalkracht neemt (gering) af bij voldoende grote toename van de ovaliserende belasting.

126


HOOFDSTUK

10

Conclusies en aanbevelingen

10.1 CONCLUSIES Primaire doelstelling: Voor een willekeurige dwarsdoorsnede van de Groene Hart Tunnel dient een analytische rekenmodel ontwikkeld en gevalideerd te worden aan de hand van een raamwerkberekening, waarmee snel inzicht verkregen kan worden in de radiale vervormingen en de krachtsverdelingen (snedekrachten), rekening houdend met de invloeden van langsvoegen en ringvoegen. Gezien de resultaten uit hoofdstuk 8 en 9 kan geconcludeerd worden dat het analytische rekenmodel voor een gekoppeld gesegmenteerd ringsysteem een nauwkeurige voorspelling kan geven voor de radiale verplaatsingen en de normaalkrachten (< 0.5% t.o.v. de raamwerkberekening). Het bepalen van de maximale buigende momenten geeft echter een groter verschil. In de beschouwde doorsnede was dit verschil 16.8% met de raamwerkberekening. Het verschil wordt veroorzaakt door de invloed van de grondbedding op de buigende momenten t.g.v de koppelkrachten. In het rekenmodel is verondersteld dat, in een ring met grondondersteuning, de buigende momenten t.g.v de koppelkrachten lineair afnemen met het ringaandeel in de grondbelasting. Dat is echter niet het geval, waardoor de verkregen waarden voor de buigende momenten uit het rekenmodel groter zijn dan die uit de raamwerkberekening: een bovengrensbenadering voor de buigende momenten. De buigende momenten t.g.v. de koppelkrachten zullen meer dan lineair afnemen. Indien dit effect in rekening wordt gebracht in de vorm van een reductiefactor op de buigende momenten, zal het verschil voor de maximale buigende momenten ongeveer 6.1% bedragen. Uit de parameterstudie blijkt dat het model de tendensen in de radiale verplaatsingen, normaalkrachten en buigende momenten goed kan voorspellen. Aan de hand van dit model is het mogelijk om radiale verplaatsingen, normaalkrachten en buigende momenten snel en nauwkeurig (aan de veilige kant, lichte overschatting) te bepalen. Secundaire doelstelling: Voor berekeningen van de lining van de Groene Hart Tunnel heeft de aannemer een enkele monoliete ring toegepast, zonder rekening te houden met de invloeden van de langsvoegen en ringvoegen. Onderzocht zal worden in hoeverre de tunnellining gemodelleerd kan worden met één enkele ring en onder welke omstandigheden de lining gemodelleerd moet worden met twee (of meerdere) gekoppelde ringen. De resultaten leiden tot de opvatting dat de tunnellining, bij de gegeven geometrie en belastingen, voor de radiale verplaatsingen en de normaalkrachten bepaald kan worden met een

127


enkelringsmodel, waarin de langsvoegen impliciet of expliciet worden meegemodelleerd. Indien uitgegaan wordt van een monoliete enkele ring, is het mogelijk een reductiefactor toe te passen in de ringstijfheid om de invloed van langsvoegen en ringvoegen in rekening te brengen. Het is gebleken dat de invloed van de ringvoegkoppelingen op de radiale verplaatsingen en de normaalkrachten gering zijn, wanneer de ring elastisch ondersteund wordt door de grond. Uit de resultaten van de parameterstudie volgt dat het verschil in radiale verplaatsing en normaalkracht tussen een enkele ring en een gekoppeld ringsysteem met koppelstijfheid gevarieerd van 0.01kv tot 10kv (kv=1*106N/mm) kleiner is dan respectievelijk 5% en 1%. Het maximale buigend moment zal echter onderschat worden, omdat de invloed van de koppelingen op de buigende momenten relatief groot is. Bij een variatie van de koppelstijfheid (0.01kv tot 10kv) in de parameterstudie blijkt dat de onderschatting van het maximum buigend moment in een enkele ring (0kv) minder dan 37% bedraagt dan het maximum buigend moment in een gekoppelde ring. Voor het bepalen van de radiale verplaatsingen en de normaalkrachten is het mogelijk om de tunnellining onder deze omstandigheden (geometrie en belasting) te modelleren met een enkele ring. De maximale buigende momenten zullen echter aan de hand van een gekoppeld ringsysteem bepaald moeten worden.

10.2 AANBEVELINGEN 

In het rekenmodel is gebruik gemaakt van uitgangspunten en aannamen. Om deze te testen is praktijkonderzoek aan de Groene Hart Tunnel belangrijk. Door metingen te verrichten in de tunnel kan bepaald worden in hoeverre de metingen overeenkomen met de resultaten uit het model. Het model kan hieraan worden aangepast en bepaald kan worden of de veronderstellingen in het model juist zijn.



In het rekenmodel is het alleen mogelijk om één bepaalde waarde voor de koppelstijfheid van de ringvoegkoppeling op te geven. De koppelstijfheden van de ringvoegkoppelingen langs de ringomtrek zijn in het model allen gelijk. Onderzocht kan worden wat een variatie van de koppelstijfheden langs de ringomtrek op de radiale vervormingen en snedekrachten heeft.



Het analytische rekenmodel bevat een groot aantal parameters met bijbehorende onzekerheden. Een betrouwbaarheidanalyse van deze modelparameters kan worden uitgevoerd.



In de modellering is de grondbelasting geschematiseerd tot enkel een radiale belasting. Het model is geldig vlak na het verharden van grout. Tevens wordt de grootte van de belasting t.p.v. het hart van de tunnel aangenomen als werkend over de gehele omtrek. De belasting zoals werkelijk werkend op de tunnellining heeft zowel een radiale als een tangentiële component die over de gehele omtrek een verloop in de grootte kennen. Onderzoek naar het gedrag van grout (d.w.z. grootte van de groutbelasting, verloop van de groutbelasting in de tijd, overgang naar de grondbelasting) is aan te bevelen.

128


Literatuur 1. 2. 3. 4. 5.

Blom, C.B.M., Preliminary Thesis “Design Philosophy of Concrete Linings of Shield Driven Tunnels in soft soils”. Delft: Delft University of Technology, 2002. Bouma, A.L., Mechanica van constructies: elasto-statica van slanke structuren. 2e druk. Delft: Delftse Uitgevers Maatschappij, 1993. Instrumented plot, Settlement calculation. Leiderdorp: Consortium Bouygues / Koop, 2002. Segment reinforcement calculation note. Leiderdorp: Consortium Bouygues / Koop, 2000. Vrijling, J.K. e.a., Geboorde en gezonken tunnel CT5305. Delft: Technische Universiteit Delft, Faculteit Civiele Techniek en Geowetenschappen, Sectie Waterbouwkunde, 2002.

129


Bijlage 1: Beschrijving raamwerkprogramma LDesign Het raamwerkprogramma LDesign is geschreven door ir. C. B. M. Blom. De interface van het programma is gegeven in het onderstaande figuur.

Figuur 97: interface raamwerkprogramma LDesign

Het programma kan een enkelrings- en een dubbelringsberekening uitvoeren met of zonder de bijdrage normaalstijfheid, buigstijfheid en langsvoegen. De input bestaat globaal uit de geometrie van de tunnellining en de grondbelasting. De belangrijkste inputwaarden zijn:  inwendige diameter [mm]  segmentdikte [mm]  aantal segmenten [-]  aantal velden (staven) in een segment [-]  halve segmentbreedte [mm]  hoek van de eerste langsvoeg met de verticale as []  elasticiteitsmodulus van beton [MPa]  langsvoegcontactbreedte [mm]  straalfactor van de tweede ring: verhouding tussen de straal van ring 1 en ring 2 [-]  verplaatsing-kracht diagram van de ringvoegkoppelingen [mm], [N]  stijfheid van de stabiliserende ondersteuningsveren in het raamwerkmodel [N/mm]

130


 

grondbelasting in de top en in de flank van de ring [MPa] elasticiteitsmodulus van grond [MPa]

De output van het raamwerkprogramma zijn onder andere:  radiale verplaatsingen van de ringen  radiale verplaatsingsverschillen van de ringen  koppelkrachten in de ringvoegkoppelingen  verloop van de normaalkrachten in de ringen  verloop van de buigend momenten in de ringen  moment-rotatie diagram van de langsvoegen De output kan grafisch of in tabelvorm weergegeven worden.

131


Bijlage 2: Invoerparameters raamwerkprogramma LDesign 13300 600 9 4 36000 1000 0.2809 0.3509 0 400 100 100 1 1 100 100 100 1000000000 1000000000 1000000000 0.999 1 100 0 C:\LDesign\berekeningen\ 0 0 1 1000 1 1 25000 25000 0.00002 0.00002 0.00001 38 0.5 0 0 1 0 0 0

0.1 0.5 1 0 False False 0.000025 0.0015 1 0 0 1 1 500 435 45 55 0

132


Bijlage 3: Sekant methode uitsluiting grondreactie De invoerparameters van de sekant methode zijn hieronder weergegeven:

Sekant methode (directe iteratie berekening) Voor deze methode wordt gebruikt:

c

M



Stelsels (71) en (72) worden toegepast. 0 2 b r kv Eb lv N A'*r=2*b*r2*r B'*r=kv*r*r

0.33MPa grenswaarde lineair/niet lineair 0.0365MPa M=±N*lv/6=±1.53E+08Nmm 1000mm =±2N/(Eb*lv*b)=±3.19E-04rad 6950mm 1.00E+06N/mm 3.60E+04MPa 4.00E+02mm 2.29E+06N 1.23E+13 4.83E+13

Hier worden slechts de begin- en de eindstap gegeven.

133


134


135


136


Figuur 98: sekant methode zonder grondreactie

137


Bijlage 4: Tangent methode uitsluiting grondreactie De invoerparameters van de tangent methode zijn hieronder weergegeven:

tangent methode (incrementele berekening) Stelsels (71) en (72) worden toegepast. 0 0.33 MPa 2 0.0365 MPa b 1000 mm r 6950 mm kv 1.00E+06 N/mm Eb 3.60E+04 MPa lv 4.00E+02 mm N 2.29E+06 N 1.23E+12 A'*r=2*b*r2*r B'*r=kv*r*r 4.83E+13 neem voor 2=0.1*2=0.00365MPa

grenswaarde lineair/niet lineair M=±N*lv/6=±1.53E+08Nmm =±2N/(Eb*lv*b)=±3.19E-04rad

De tangent methode wordt geïllustreerd aan de hand van n =10 stappen en n = 100 stappen. Hier worden slechts de begin- en de eindstap gegeven.

138


139


140


141


Figuur 99: tangent methode met n=10 stappen zonder grondreactie

142


143


144


145


Figuur 100: tangent methode met n=10 stappen zonder grondreactie

146


Bijlage 5: Sekant methode met grondreactie De invoerparameters voor de sekant methode zijn hieronder weergegeven. Sekant methode (directe iteratie berekening) Voor deze methode wordt gebruikt:

c 

inclusief grondreactie !!!



M



Stelsels (71) en (72) worden toegepast. 0 2 b r kv Eb lv N A'*r=2*b*r2*r B'*r=kv*r*r d Eg 

2



0.33MPa 0.0365MPa 1000mm 6950mm 1.00E+06N/mm 3.60E+04MPa 4.00E+02mm 2.29E+06N 1.23E+13 4.83E+13 600mm 38MPa

grenswaarde lineair/niet lineair M*(1-0)=±N*(1-0)*lv/6=±1.51E+08Nmm =±2N*(1-0)/(Eb*lv*b)=±3.15E-04rad grondreactie 0 0.0120792 (1-0) 0.9879208 0 

1 1   0 .0121 Eb d 36000 * 600 1 1 38 * 6950 Egr

1 1 1 E g D  C ' 

 0 . 167 0 . 0444 0 .0545  2 4 r 3  br  D     c r1 c r 2  3 Eb d 3  cr0  0 . 0997 0 . 0764 0 . 0764 0 .0173 C   k v r 2   u 0 .25   u 0 .75   u 1 .25   u 1 .75 c c c cr2 r0 r1 r1  C'

  

C r 2

Eén stap blijkt voldoende te zijn om de rotatiestijfheden van de langsvoegen te bepalen.

147


148


Figuur 101: sekant methode met grondreactie

149


Bijlage 6: Tangent methode met grondreactie De invoerparameters van de tangent methode zijn hieronder weergegeven. Tangent methode (incrementele berekening) inclusief grondreactie !!! 2 

1 1 1 E g D  C ' 

 0 .167 0 .0444 0 .0545  2 4 r 3 br    D   c r1 c r 2  3 Eb d 3  cr0  0 .0997  0 .0764 0 .0764 0 .0173  u 0.25   u 0.75   u1.25   u1.75  C   k v r 2  c r1 c r1 cr 2  cr0  C C' r 2

Stelsels (71) en (72) worden toegepast. 0 0.33MPa 2 0.0365MPa b 1000mm r 6950mm kv 1.00E+06N/mm Eb 3.60E+04MPa lv 4.00E+02mm N 2.29E+06N A'*r=2*b*r2*r 1.23E+12 incrementele 2! B'*r=kv*r*r 4.83E+13 neem voor 2=0.1*2=0.00365 MPa

grenswaarde lineair/niet lineair M*(1-0)=±N*(1-0)*lv/6=± 1.51E+08 Nmm =±2N*(1-0)/(Eb*lv*b)=±3.15E-04 rad grondreactie 0 0.0120792 (1-0) 0.9879208 0 

1 1   0 . 0121 Ebd 36000 * 600 1 1 38 * 6950 Egr

d 600mm Eg 38MPa

De tangent methode wordt geïllustreerd met n=10 stappen.

150


151


152


153


Figuur 102: tangent methode met n=10 stappen met grondreactie

154

ANALYTISCHE MODELLERING VERVORMINGSGEDRAG EN KRACHTSWERKING TUNNELLINING VAN DE GROENE HART TUNNEL

Recommend Documents