¨ tvo ¨ s Lora ´ nd Tudoma ´ nyegyetem Eo Informatikai Kar
¨ ˝ ISTVAN ´ CSORG O
´ ANAL´IZIS TANAROKNAK I.
az Informatika Minor Szak hallgat´oi sz´am´ara nappali ´es levelez˝o tagozat
Budapest, 2008. november A jegyzet az ELTE IK 2008. ´evi jegyzetp´aly´azat´anak t´amogat´as´aval k´esz¨ ult.
Tartalomjegyz´ ek ˝ O ´ ELOSZ 1. F¨ uggv´ enytani alapismeretek 1.1. N´eh´any fogalom . . . . . . 1.2. Inverz f¨ uggv´eny . . . . . . 1.3. M˝ uveletek f¨ uggv´enyekkel . 1.4. Polinomok . . . . . . . . . 1.5. Feladatok . . . . . . . . .
3 . . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
5 5 8 10 10 13
2. F¨ uggv´ eny hat´ ar´ ert´ eke, folytonoss´ aga 2.1. A hat´ar´ert´ek fogalma . . . . . . . . . 2.2. Egyoldali hat´ar´ert´ek . . . . . . . . . 2.3. Alapvet˝o hat´ar´ert´ekek . . . . . . . . 2.4. M˝ uveletek hat´ar´ert´ekkel . . . . . . . 2.5. Folytonoss´ag . . . . . . . . . . . . . . 2.6. Feladatok . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
15 15 17 18 20 21 24
. . . . . .
26 26 31 33 34 36 37
. . . . . . .
40 40 42 44 46 48 50 51
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
3. F¨ uggv´ enyek differenci´ al´ asa 3.1. A deriv´alt fogalma, alap-deriv´altak . . . 3.2. Deriv´al´asi szab´alyok . . . . . . . . . . . 3.3. Alkalmaz´as I.: ´erint˝o . . . . . . . . . . . 3.4. Alkalmaz´as II.: Monotonit´as, sz´els˝o´ert´ek 3.5. Alkalmaz´as III.: L’Hospital-szab´aly . . . 3.6. Feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
4. F¨ uggv´ enyek integr´ al´ asa 4.1. A primit´ıv f¨ uggv´eny fogalma, n´eh´any alapintegr´al 4.2. Egyszer˝ u integr´al´asi szab´alyok . . . . . . . . . . . 4.3. Helyettes´ıt´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4. A Riemann-integr´al fogalma . . . . . . . . . . . . 4.5. Newton-Leibniz-formula . . . . . . . . . . . . . . 4.6. A Riemann-integr´al tulajdons´agai . . . . . . . . . 4.7. Feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
˝ O ´ ELOSZ Ez a jegyzet a szerz˝onek az Informatika Minor Szakon tartott Anal´ızis ” tan´aroknak” c´ım˝ u tant´argy el˝oz˝o tan´evben tartott ´or´ai alapj´an k´esz¨ ult. C´elja, hogy a kurzus (nappali ´es levelez˝o tagozatos) hallgat´oi a foglalkoz´asokon hallottak mellett ´ır´asos tananyagra is t´amaszkodhassanak tanulm´anyaik sor´an. Term´eszetesen a jegyzet olvas´asa csup´an meger˝os´ıti ´es kieg´esz´ıti az ´or´an elhangzottakat, ´es nem helyettes´ıti azt. A jegyzet els˝o k¨otete az els˝o f´el´ev anyag´at ¨oleli fel. T´em´ai: f¨ uggv´enytani alapismeretek, hat´ar´ert´ek ´es folytonoss´ag, differenci´alsz´am´ıt´as, integr´alsz´am´ıt´as. A szakaszok sz´amoz´asa minden fejezet elej´en el¨olr˝ol kezd˝odik. Ugyancsak el¨olr˝ol kezd˝odik minden fejezetben a t´etelek, defin´ıci´ok, megjegyz´esek stb. egy¨ uttes sz´amoz´asa. Az egyes fejezetek v´eg´en gyakorl´o feladatok tal´alhat´ok, ezek sz´amoz´asa is fejezetenk´ent el¨olr˝ol kezd˝odik. A jegyzetben a szok´asos matematikai jel¨ol´eseket haszn´aljuk. N´eh´any jel¨ol´est k¨ ul¨on is felsorolunk: • minden: ∀ ; • l´etezik: ∃ ; • az A ´es a B halmazok direkt szorzata (Descartes-szorzata): A × B; • a val´os sz´amok halmaza: R; • a pozit´ıv val´os sz´amok halmaza: R+ ; • a nem negat´ıv val´os sz´amok halmaza: R+ 0; • ide´alis elemek: +∞, −∞ (∀ x ∈ R : −∞ < x < +∞); • a term´eszetes sz´amok halmaza: N := {1, 2, 3, . . .} ; • a nem negat´ıv eg´esz sz´amok halmaza: N0 := {0, 1, 2, 3, . . .} ; • az eg´esz sz´amok halmaza: Z := N ∪ {−x ∈ R : x ∈ N} ∪ {0}; ½ ¾ p • a racion´alis sz´amok halmaza: Q := ∈ R | p, q ∈ Z, q 6= 0 ; q • a s´ık pontjai, sz´amp´arok: R2 := {(x, y) | x, y ∈ R} ; • a t´er pontjai, sz´amh´armasok: R3 := {(x, y, z) | x, y, z ∈ R} .
´ TARTALOMJEGYZEK
4
• Az intervallumok ny´ılts´ag´at g¨omb¨oly˝ u z´ar´ojellel, ´es nem kifel´e ford´ıtott sz¨ogletes z´ar´ojellel jel¨olj¨ uk. • R´eszhalmaz jel¨ol´es´ere a ⊂ ´es nem a ⊆ jelet haszn´aljuk. A jegyzetben az anal´ızis egyes t´emak¨oreibe nyer¨ unk bepillant´ast. Mivel a t´argy ´orasz´ama viszonylag kicsi, nincs lehet˝os´eg a m´ely t´argyal´asra. Nem defini´alunk mindent prec´ızen, pl. a f¨ uggv´enynek is csup´an a k¨oz´episkolai szint˝ u ´ertelmez´es´et haszn´aljuk. Sz¨ uks´egszer˝ uen kimaradnak egyes t´emak¨or¨ok, tov´abb´a alig van bizony´ıt´as. Az ´erdekl˝od˝ok sz´am´ara aj´anljuk e hi´anyok p´otl´as´ara az al´abbi irodalmat: [ 1 ] Leindler-Schipp: Anal´ızis I. (egyetemi jegyzet) [ 2 ] P´al-Schipp-Simon: Anal´ızis II. (egyetemi jegyzet) [ 3 ] Simon P´eter: Fejezetek az anal´ızisb˝ol (egyetemi jegyzet) [ 4 ] Szili L´aszl´o: Anal´ızis feladatokban (egyetemi jegyzet) [ 5 ] Cs¨org˝o Istv´an: Fejezetek a line´aris algebr´ab´ol (egyetemi jegyzet)
Ez´ uton is k¨osz¨on¨om Dr. Fridli S´andor docensnek a k´ezirat lelkiismeretes lektor´al´as´at ´es ´ert´ekes tan´acsait.
Budapest, 2008. november 14. Cs¨org˝o Istv´an
1. F¨ uggv´ enytani alapismeretek 1.1.
N´ eh´ any fogalom
Jegyzet¨ unkben a f¨ uggv´eny k¨oz´episkol´as szint˝ u ´ertelmez´es´et fogjuk haszn´alni, teh´at l´enyeg´eben alapfogalomnak tekintj¨ uk. Legyenek A ´es B nem u ¨res halmazok (term´eszetesen A = B is lehets´eges). A f¨ uggv´eny egy hozz´arendel´es, amely az A halmaz bizonyos elemeihez (ak´ar mindegyikhez) B-beli elemeket rendel oly m´odon, hogy egy A-beli elemhez csak egyetlen B-beli elemet rendel. Azt mondjuk ilyenkor, hogy a f¨ uggv´eny A-b´ol B-be k´epez, m´as elnevez´essel: a f¨ uggv´eny A ny´ıl B ” t´ıpus´ u”. Az A ny´ıl B t´ıpus´ u” f¨ uggv´enyek halmaz´at A → B fogja jel¨olni. ” Az A halmaz azon elemeinek ¨osszess´eg´et, amelyekhez a f¨ uggv´eny hozz´arendel B-beli elemet, a f¨ uggv´eny ´ertelmez´esi tartom´any´anak (angolul: domain) nevezz¨ uk. A B halmaz azon elemeinek ¨osszess´eg´et, amelyek valamely A-beli elemhez vannak rendelve, a f¨ uggv´eny ´ert´ekk´eszlet´enek (angolul: range) nevezz¨ uk. A f¨ uggv´enyt b´armilyen bet˝ uvel jel¨olhetj¨ uk, leggyakoribb az f , g, h, stb. Ha teh´at f egy A ny´ıl B t´ıpus´ u” f¨ uggv´eny, akkor ezt ´ıgy jel¨olj¨ uk: ” f ∈ A → B. Legyen f ∈ A → B. Az f ´ertelmez´esi tartom´any´at Df -fel, az ´ert´ekk´eszlet´et pedig Rf -fel fogjuk jel¨olni (az angol elnevez´esek kezd˝obet˝ uit haszn´aljuk). Nyilv´anval´o teh´at, hogy Df ⊂ A,
Rf ⊂ B.
Vegy¨ unk egy x ∈ Df elemet. Az x-hez rendelt B-beli elemet az f f¨ uggv´eny x helyen felvett (helyettes´ıt´esi) ´ert´ek´enek (r¨oviden: f¨ uggv´eny´ert´eknek) nevezz¨ uk, ´es f (x)-szel jel¨olj¨ uk. Nyilv´anval´o teh´at, hogy f (x) ∈ B, s˝ot az is, hogy f (x) ∈ Rf . Az elmondottak alapj´an kijelenthetj¨ uk, hogy az f f¨ uggv´eny ´ert´ekk´eszlete az al´abbi halmaz: Rf = {y ∈ B | ∃ x ∈ Df : f (x) = y} = {f (x) ∈ B | x ∈ Df }. A Df elemeinek jel¨ol´es´ere szolg´al´o szimb´olumot a f¨ uggv´eny v´altoz´oj´anak szok´as nevezni (pl. x). Meg´allapodunk abban is, hogy ha f ∈ A → B ´es Df = A, akkor azt ´ıgy jel¨olj¨ uk: f : A → B.
6
1. F¨ uggv´enytani alapismeretek
1.1. Defin´ıci´ o. Legyen f ∈ A → B. A graf f := {(x, f (x)) ∈ A × B | x ∈ Df } ⊂ A × B halmazt az f f¨ uggv´eny grafikonj´anak nevezz¨ uk. 1.2. Megjegyz´ es. K¨onny˝ u meggondolni, hogy ha f ∈ R → R, akkor 2 graf f ⊂ R , vagyis f grafikonja egy s´ıkbeli ponthalmaz (szeml´elet¨ unk szerint gyakran egy s´ıkg¨orbe). Ezt a ponthalmazt – a k¨oz´episkol´aban tanult m´odon – a s´ıkbeli der´eksz¨og˝ u koordin´atarendszerben ´abr´azoljuk, s azt mondjuk, hogy f grafikonj´anak egyenlete y = f (x). A f¨ uggv´eny fogalm´ab´ol az is k¨ovetkezik, hogy az ilyen f¨ uggv´enyek grafikonj´anak b´armely, az y-tengellyel p´arhuzamos egyenessel legfeljebb egy k¨oz¨os pontja van. Tov´abb´a az is, hogy Df a grafikon mer˝oleges vet¨ ulete az x-tengelyre, Rf pedig a grafikon mer˝oleges vet¨ ulete az y-tengelyre. F¨ uggv´enyek megad´as´ahoz meg kell adni: • a f¨ uggv´eny t´ıpus´at, azaz az A ´es a B halmazokat; uggv´eny ´ertelmez´esi tartom´any´at; • a f¨ • a hozz´arendel´esi utas´ıt´ast”, vagyis azt, hogy az ´ertelmez´esi tarto” m´any egy tetsz˝oleges elem´ehez a f¨ uggv´eny milyen f¨ uggv´eny´ert´eket rendel. Ez leggyakrabban egy k´eplet megad´as´at jelenti. P´eld´aul egy R → R t´ıpus´ u f¨ uggv´eny az al´abbi: f ∈ R → R,
Df := R+ ,
f (x) := x2 .
A f¨ uggv´eny ily m´odon val´o megad´asakor sokszor nem adj´ak meg az ´ertelmez´esi tartom´anyt. Ilyenkor az a meg´allapod´as l´ep ´eletbe, hogy az ´ertelmez´esi tartom´any az A halmaznak az a legb˝ovebb r´eszhalmaza, amelynek elemeire a hozz´arendel´est megad´o k´eplet ´ertelmes. P´eld´aul ha egy f¨ uggv´enyt ´ıgy adunk meg: f ∈ R → R,
f (x) :=
1 , x
akkor a meg´allapod´as ´ertelm´eben Df = R \ {0}. ´Igy kell teh´at ´erteni az olyan feladatokat, hogy: Hat´arozzuk meg az ” al´abbi f¨ uggv´eny ´ertelmez´esi tartom´any´at: ...” 1.3. Defin´ıci´ o. Legyen f ∈ A → B, ´es H ⊂ Df . A g : H → B,
g(x) := f (x) (x ∈ H)
f¨ uggv´enyt az f H-ra val´o lesz˝ uk´ıt´es´enek nevezz¨ uk. A lesz˝ uk´ıtett f¨ uggv´enyre haszn´alni szoktuk az f|H jel¨ol´est is.
1.1. N´eh´any fogalom
7
A lesz˝ uk´ıtett f¨ uggv´eny teh´at ugyan´ ugy m˝ uk¨odik”, mint az eredeti, csak ” kevesebb” helyen van ´ertelmezve. Ez´ert grafikonja az eredeti f¨ uggv´eny gra” fikonj´anak r´esze. P´eld´aul az f ∈ R → R,
f (x) := x2
f¨ ugv´eny egy lesz˝ uk´ıt´ese a g : [0, +∞) → R,
g(x) := x2
f¨ uggv´eny, melynek grafikonja (a f´el-parabola”) az eredeti f¨ uggv´eny grafi” konj´anak egy darabja”. ” Jegyzet¨ unk els˝o r´esz´eben f˝oleg R → R t´ıpus´ u f¨ uggv´enyekkel fogunk foglalkozni. Ezeket egyv´altoz´os f¨ uggv´enynek nevezz¨ uk. A jegyzet m´asodik r´esz´eben sz´o lesz az u ´n. t¨obbv´altoz´os f¨ uggv´enyekr˝ol is. A k¨oz´episkol´ab´ol ismeretes a f¨ uggv´eny monotonit´as´anak fogalma. Ezt r¨oviden ´atism´etelj¨ uk: 1.4. Defin´ıci´ o. Legyen f ∈ R → R. Azt mondjuk, hogy 1. f monoton n¨ovekv˝o, ha ∀ x1 , x2 ∈ Df , x1 < x2 :
f (x1 ) ≤ f (x2 );
2. f szigor´ uan monoton n¨ovekv˝o, ha ∀ x1 , x2 ∈ D f , x 1 < x 2 :
f (x1 ) < f (x2 );
3. f monoton cs¨okken˝o (fogy´o), ha ∀ x1 , x2 ∈ Df , x1 < x2 :
f (x1 ) ≥ f (x2 );
4. f szigor´ uan monoton cs¨okken˝o (fogy´o), ha ∀ x1 , x2 ∈ D f , x 1 < x 2 :
f (x1 ) > f (x2 ).
A f¨ uggv´enyt monotonnak nevezz¨ uk, ha monoton n¨ovekv˝o vagy monoton cs¨okken˝o. Hasonl´ok´eppen, szigor´ uan monotonnak nevezz¨ uk, ha szigor´ uan monoton n¨ovekv˝o vagy szigor´ uan monoton cs¨okken˝o. 1.5. Megjegyz´ es. A fenti fogalmakat vonatkoztathatjuk az ´ertelmez´esi tartom´any egy nem u ¨res H r´eszhalmaz´ara is. P´eld´aul azt mondjuk, hogy f szigor´ uan monoton n¨ovekv˝o a H halmazon, ha az f|H f¨ uggv´eny szigor´ uan monoton n¨ovekv˝o, azaz, ha ∀ x1 , x2 ∈ H, x1 < x2 : stb.
f (x1 ) < f (x2 ),
8
1. F¨ uggv´enytani alapismeretek
A tov´abbiakban ismertnek t´etelezz¨ uk fel a k¨oz´episkol´aban tanult f¨ uggv´enyeket (konstans, els˝ofok´ u polinom, m´asodfok´ u polinom, gy¨ok, exponenci´alis, logaritmus, trigonometrikus, abszol´ ut ´ert´ek, eg´eszr´esz, t¨ortr´esz, el˝ojel). Haszn´alni fogjuk tov´abb´a az Euler-f´ele ´alland´ot, melyet az e” bet˝ uvel ” jel¨ol¨ unk (pontos ´ertelmez´es´et a II. k¨otet 1.5. szakasz´aban fogjuk megtenni). Az e” sz´am irracion´alis, k¨ozel´ıt˝o ´ert´eke: 2,718. Az e alap´ u logaritmust ” term´eszetes logaritmusnak nevezz¨ uk, ´es loge helyett az ln szimb´olummal jel¨olj¨ uk (logaritmus naturalis).
1.2.
Inverz f¨ uggv´ eny
Ha adott egy f ∈ A → B f¨ uggv´eny, akkor term´eszetes m´odon vet˝odik fel az a k´erd´es, hogy l´etezik-e olyan f¨ uggv´eny, amelyik a f¨ uggv´eny´ert´ekhez hozz´arendeli azt az A-beli (s˝ot Df -beli) elemet, amelyik ezt a f¨ uggv´eny´ert´eket szolg´altatja. Ha ilyen f¨ uggv´eny l´etezik, akkor azt az f f¨ uggv´eny −1 inverz´enek (megford´ıt´as´anak) nevezz¨ uk, ´es az f szimb´olummal jel¨olj¨ uk. A f¨ uggv´eny fogalma alapj´an nyilv´anval´o, hogy az f −1 inverz f¨ uggv´eny pontosan akkor l´etezik, ha az f f¨ uggv´eny minden f¨ uggv´eny´ert´eket csak egyetlen x ∈ Df helyen vesz fel. Az ilyen f¨ uggv´enyeket k¨olcs¨on¨osen egy´ertelm˝ u, idegen sz´oval injekt´ıv f¨ uggv´enyeknek nevezz¨ uk. 1.6. Defin´ıci´ o. Legyen f ∈ A → B. Azt mondjuk, hogy az f k¨olcs¨on¨osen egy´ertelm˝ u (injekt´ıv), ha ∀ x1 , x2 ∈ Df , x1 6= x2 :
f (x1 ) 6= f (x2 ).
1.7. P´ eld´ ak. 1. Az f ∈ R → R, f (x) := x2 f¨ uggv´eny nem injekt´ıv, ugyanis pl. −2 6= 2, de f (−2) = f (2) = 4. 2. Viszont az f ∈ R → R, f (x) := x3 f¨ uggv´eny injekt´ıv, mivel k¨ ul¨onb¨oz˝o sz´amok k¨obe is k¨ ul¨onb¨oz˝o. Megjegyezz¨ uk, hogy ha egy R → R t´ıpus´ u f¨ uggv´eny szigor´ uan monoton, akkor nyilv´anval´oan injekt´ıv. Azonban m´as esetben is lehet injekt´ıv egy f¨ uggv´eny, pl. 1 f ∈ R → R, f (x) := . x K¨onny˝ u meggondolni, hogy egy R → R t´ıpus´ u f¨ uggv´eny akkor ´es csak akkor injekt´ıv, ha grafikonj´anak minden, az x-tengellyel p´arhuzamos egyenessel legfeljebb egy k¨oz¨os pontja van.
1.2. Inverz f¨ uggv´eny
9
1.8. Defin´ıci´ o. Legyen f ∈ A → B egy injekt´ıv f¨ uggv´eny. Az al´abbi −1 el˝o´ır´assal ´ertelmezett f f¨ uggv´enyt az f inverz f¨ uggv´eny´enek, r¨oviden inverz´enek nevezz¨ uk: f −1 ∈ B → A,
Df −1 := Rf ,
f −1 (y) := az az egyetlen x ∈ Df , amelyre f (x) = y.” ”
√ P´eld´aul levezethet˝o, hogy az x 7→ x2 (x ∈ R+ uggv´eny inverze x 7→ x, 0 ) f¨ tov´abb´a, hogy a > 0, a 6= 1 eset´en az x 7→ ax exponenci´alis f¨ uggv´eny inverze az x 7→ loga x logaritmusf¨ uggv´eny. A n´egy trigonometrikus alapf¨ uggv´eny (sin, cos, tg , ctg ) nem injekt´ıv, inverz¨ uk alatt nevezetes lesz˝ uk´ıt´es¨ uk inverz´et ´ertj¨ uk. Ezeket soroljuk fel az al´abbi defin´ıci´oban: 1.9. Defin´ıci´ o.
1. Az x 7→ sin x (−
π π ≤x≤ ) 2 2
f¨ uggv´eny inverz´et arcus sinus f¨ uggv´enynek nevezz¨ uk, jele: arcsin. Teh´at: h π πi arcsin : [−1, 1] → − , . 2 2 2. Az x 7→ cos x (0 ≤ x ≤ π) f¨ uggv´eny inverz´et arcus cosinus f¨ uggv´enynek nevezz¨ uk, jele: arccos.Teh´at: arccos : [−1, 1] → [0, π] . 3. Az
π π <x< ) 2 2 f¨ uggv´eny inverz´et arcus tangens f¨ uggv´enynek nevezz¨ uk, jele: arc tg .Teh´at: ³ π π´ . arc tg : R → − , 2 2 x 7→ tg x (−
4. Az x 7→ ctg x (0 < x < π) f¨ uggv´eny inverz´et arcus cotangens f¨ uggv´enynek nevezz¨ uk, jele: arc ctg .Teh´at: arc ctg : R → (0, π) .
10
1. F¨ uggv´enytani alapismeretek
1.3.
M˝ uveletek f¨ uggv´ enyekkel
1.10. Defin´ıci´ o. Legyen g ∈ A → B ´es f ∈ C → D. Tegy¨ uk fel, hogy a Df ◦g := {x ∈ Dg | g(x) ∈ Df } ⊂ Dg ⊂ A halmaz nem u ¨res. Ekkor az f ◦ g : Df ◦g → D,
(f ◦ g)(x) := f (g(x))
f¨ uggv´enyt az f ´es a g f¨ uggv´enyekb˝ol k´epzett ¨osszetett f¨ uggv´enynek vagy kompoz´ıci´onak nevezz¨ uk. A g f¨ uggv´eny neve: bels˝o f¨ uggv´eny, az f f¨ uggv´eny neve pedig: k¨ uls˝o f¨ uggv´eny. P´eld´ak ¨osszetett f¨ uggv´enyre: x 7→ sin(2x + π),
x 7→ cos2 x, stb.
Sz´am´ert´ek˝ u f¨ uggv´enyekkel algebrai m˝ uveleteket is v´egezhet¨ unk: 1.11. Defin´ıci´ o. Legyen f ∈ A → R, g ∈ A → R. Ekkor (f + g)(x) := f (x) + g(x) (x ∈ Df ∩ Dg ); (f · g)(x) := f (x) · g(x) (x ∈ Df ∩ Dg ); f f (x) ( )(x) := g g(x)
(x ∈ Df ∩ Dg , g(x) 6= 0),
felt´eve, hogy az egyes sorokban megadott ´ertelmez´esi tartom´any nem u ¨res.
1.4.
Polinomok
Az R → R t´ıpus´ u f¨ uggv´enyek k¨or´eben speci´alis oszt´alyt alkotnak a polinomok. Gyakran haszn´alj´ak ˝oket bonyolultabb f¨ uggv´enyek k¨ozel´ıt´es´ere. 1.12. Defin´ıci´ o. Az f : R → R f¨ uggv´enyt polinomnak nevezz¨ uk, ha vagy f = 0, vagy pedig ∃ n ∈ N0 ´es ∃ a0 , . . . , an ∈ R, an 6= 0 : 2
n
f (x) = a0 + a1 x + a2 x + . . . + an x = f (x) =
n X k=0
a k xk
(x ∈ R).
1.4. Polinomok
11
1.13. Megjegyz´ esek. 1. Bebizony´ıthat´o, hogy ha f polinom ´es f 6= 0, akkor a fenti defin´ıci´oban szerepl˝o n, a0 , . . . , an sz´amok egy´ertelm˝ uek. Az n sz´amot az f polinom fok´anak nevezz¨ uk ´es deg f -fel jel¨olj¨ uk. Mag´at a polinomot ekkor n-edfok´ unak nevezz¨ uk. Az a0 , . . . , an sz´amokat a polinom egy¨ utthat´oinak nevezz¨ uk, az an egy¨ utthat´o neve: f˝oegy¨ utthat´o. 2. A 0 polinom fok´at nem ´ertelmezz¨ uk, egy¨ utthat´oir´ol pedig azt mondjuk, hogy: minden egy¨ utthat´oja 0. 3. A k¨oz´episkol´aban sokszor szerepeltek a nulladfok´ u polinomok (ezek a nem 0 konstans f¨ uggv´enyek), az els˝ofok´ u polinomok (ezek a line´aris f¨ uggv´enyek), valamint a m´asodfok´ u polinomok (ezek a m´asodfok´ u f¨ uggv´enyek). utthat´oit m´as sz´amk¨orb˝ol is vehetn´enk. Jegyzet¨ unkben 4. A polinom egy¨ csak val´os egy¨ utthat´os polinomokkal foglalkozunk. 1.14. T´ etel. Legyen f : R → R egy polinom, ´es α ∈ R. Ekkor l´etezik olyan g polinom, hogy f (x) = (x − α) · g(x) + f (α)
(x ∈ R).
A t´etel azt fejezi ki, hogy az f polinomnak az x − α els˝ofok´ u polinommal vett oszt´asi marad´eka f (α). Bizony´ıt´ as. Ha a0 , a1 ∈ R ´es f (x) = a0 + a1 x egy legfeljebb els˝ofok´ u polinom (bele´ertve a 0 polinomot is), akkor az ´all´ıt´as g(x) = a1 v´alaszt´assal trivi´alis, mivel a1 α becsemp´esz´es´evel” ” f (x) = a0 + a1 x = a1 (x − α) + a0 + a1 α = (x − α) · a1 + f (α) (x ∈ R). Ha f legal´abb m´asodfok´ u polinom, akkor vegy¨ uk a szok´asos el˝oa´ll´ıt´as´at, ´es alak´ıtsuk ´at u ´gy, hogy most is becsemp´essz¨ uk” az α hatv´anyait: ” n n X X f (x) = ak xk = a0 + a1 x + a k xk = k=0
k=2
= a0 + a1 (x − α + α) +
n X
ak (xk − αk + αk ) =
k=2
= a0 + a1 (x − α) + a1 α +
n X
k
ak (x − α ) +
k=2
= a1 (x − α) +
n X k=2
k
ak (xk − αk ) + f (α).
n X k=2
ak αk =
12
1. F¨ uggv´enytani alapismeretek
Mivel – a k¨oz´episkol´ab´ol j´ol ismert azonoss´ag szerint – (xk − αk ) oszthat´o (x − α)-val, ez´ert minden k ≥ 2 eset´en van olyan gk polinom, hogy xk − αk = (x − α) · gk (x), tov´abb´a legyen g1 (x) := 1. Ezzel a jel¨ol´essel az el˝oz˝o ´atalak´ıt´as ´ıgy folytathat´o: f (x) = a1 · (x − α) · g1 (x) +
n X
ak · (x − α) · gk (x) + f (α) =
k=2
= (x − α) ·
n X
ak · gk (x) + f (α),
k=1
´ıgy a t´etel ´all´ıt´asa g(x) =
n P
ak · gk (x) v´alaszt´assal teljes¨ ul.
¤
k=1
Megjegyezz¨ uk, hogy a bizony´ıt´as egyben m´odszert is adott a g polinom meghat´aroz´as´ara. Nem ez a leghat´ekonyabb elj´ar´as, viszont elemi ismereteken alapul. Hat´ekonyabb m´odszerek is vannak (polinom-oszt´as, Hornerelrendez´es). 1.15. Defin´ıci´ o. Legyen f : R → R egy polinom, ´es α ∈ R. Az α sz´amot az f polinom gy¨ok´enek (z´erushely´enek) nevezz¨ uk, ha f (α) = 0. 1.16. Megjegyz´ es. A polinom gy¨okeinek meghat´aroz´asa ´altal´aban nem egyszer˝ u feladat. A k¨oz´episkol´aban megismert¨ uk az els˝o ´es a m´asodfok´ u polinomok gy¨okei meghat´aroz´as´anak m´odszereit. Legyen f egy nem azonosan 0 polinom. Az 1.14. t´etel azonnali k¨ovetkezm´enye, hogy α akkor ´es csak akkor gy¨oke az f polinomnak, ha l´etezik olyan g polinom, hogy f (x) = (x − α) · g(x), azaz, ha x − α kiemelhet˝o f -b˝ol. El˝ofordul, hogy a polinom fenti szorzatalakj´aban az α sz´am a g polinomnak is gy¨oke. Ekkor x − α kiemelhet˝o g-b˝ol, ami azt jelenti, hogy (x − α)2 kiemelhet˝o f -b˝ol. Ezt az elj´ar´ast folytatva v´eg¨ ul eljutunk egy olyan m ∈ N sz´amhoz, hogy f (x) = (x − α)m · h(x), ahol α m´ar nem gy¨oke h-nak, azaz h(α) 6= 0. Az itt keletkezett m sz´amot az α gy¨ok multiplicit´as´anak nevezz¨ uk, ´es azt mondjuk, hogy α az f polinom m-szeres gy¨oke. Az x − α polinom neve: gy¨okt´enyez˝o.
1.5. Feladatok
1.5.
13
Feladatok
´ azoljuk ´es jellemezz¨ 1. Abr´ uk a k¨ovetkez˝o R → R t´ıpus´ u f¨ uggv´enyeket. a) f (x) = (x − 2)2 + 3
b) f (x) = x2 + 6x + 10
c) f (x) = −2x2 + 8x − 3
d) f (x) =
e) f (x) = 2 ·
√
x−3
g) f (x) = sin(x +
π ) 3
i) f (x) = sin(2x +
π ) 3
k) f (x) = 3 + log2 (x + 1)
f ) f (x) =
√
x−3
√
2x − 3
h) f (x) = 2 · sin(x +
π ) 3
j) f (x) = log2 (x + 1) x l) f (x) = log2 ( + 1) 2
uk el, hogy az al´abbi f¨ uggv´enyeknek van-e inverze, ´es ahol van, 2. D¨onts¨ ott hat´arozzuk meg az inverz f¨ uggv´enyt (´ertelmez´esi tartom´any, k´eplet). a) f (x) = x2 + 4x + 3 b) f (x) = x2 + 4x + 3
Df = [0, +∞]
c) f (x) = −2x2 + 8x − 3 d) f (x) = e) f (x) =
√
x2 − 1
x2 1 + x2
x+1 x−1 √ g) f (x) = 3 − x
f ) f (x) =
Df = [0, 2]
Df = [1, +∞] Df = R+ Df = R \ {1}
14
1. F¨ uggv´enytani alapismeretek 3. K´epezz¨ uk az f ◦g ¨osszetett f¨ uggv´enyt, amennyiben l´etezik (´ertelmez´esi tartom´any, k´eplet). √ √ a) f (x) := 3 − x, g(x) := x2 − 16 b) f (x) = ln x, c) f (x) = x3 − 1,
g(x) =
1 x
g(x) =
√ 3
x
d) f (x) = x3 − 1 Df = [−1, 1], e) f (x) =
√
x,
g(x) =
√ 3
x
g(x) = sin x Dg = (0, 2π)
f ) f (x) = ln x,
g(x) = x2
g) f (x) = ln x,
g(x) = cos x Dg = [0, 2π]
4. Igazoljuk, hogy az α sz´am az f polinom gy¨oke, majd emelj¨ uk ki a hozz´a tartoz´o gy¨okt´enyez˝ot f -b˝ol. H´anyszoros gy¨oke az α az f -nek? a) f (x) = 3x2 − 7x + 2, b) f (x) = 2x3 − 4x2 − 18,
α=2 α=3
c) f (x) = 2x4 − 5x3 − 6x2 + 3x + 2, d) f (x) = 5x3 − 2x2 + 7x − 10, e) f (x) = 3x3 + 10x2 + 8x,
α = −1 α=1
α = −2
2. F¨ uggv´ eny hat´ ar´ ert´ eke, folytonoss´ aga 2.1.
A hat´ ar´ ert´ ek fogalma
Legyen f ∈ R → R ´es a ∈ R ∪ {−∞, +∞}. A hat´ar´ert´ek intuit´ıv m´odon a k¨ovetkez˝ok´eppen ´ertelmezhet˝o: K¨ozel´ıts¨ uk az x v´altoz´ot az a fel´e u ´gy, hogy k¨ozben teljes¨ ulj¨on, hogy x ∈ Df ´es hogy x 6= a (ez m´aris mutatja, hogy a nem lehet b´armi). K´erd´es, hogy k¨ozelednek-e valahov´a az f (x) f¨ uggv´eny´ert´ekek, s ha igen, akkor hov´a. Ha van ilyen A ∈ R ∪ {−∞, +∞} elem, akkor azt az f f¨ uggv´eny a-beli hat´ar´ert´ek´enek fogjuk majd nevezni, ´es – t¨obbek k¨ozt – a lim f (x) = A
x→a
m´odon fogjuk jel¨olni. P´eld´aul szeml´elet¨ unk alapj´an hihet˝o, hogy lim x2 = 9.
x→3
Mivel u ´gy k¨ozel´ıt¨ unk x-szel a 3-hoz, hogy k¨ozben x 6= 3, ez´ert a hat´ar´ert´ek nem v´altozik, ha f¨ uggv´eny¨ unk defin´ıci´oj´at u ´gy m´odos´ıtjuk, hogy a 3-hoz nem 9-et, hanem ak´armilyen m´asik sz´amot, pl. 13-at rendel¨ unk. Vagyis a 2 ha x 6= 3, x g(x) := 13 ha x = 13 f¨ uggv´eny eset´en lim g(x) = 9. x→3 S˝ot, akkor is v´altozatlan marad a hat´ar´ert´ek, ha a f¨ uggv´eny ´ertelmez´esi tartom´any´ab´ol kivessz¨ uk a 3-at. Ezek ut´an t´erj¨ unk r´a a prec´ızebb t´argyal´asra. El˝osz¨or azt vizsg´aljuk meg, hogy mi lehet az a. Ehhez sz¨ uks´eg lesz a k¨ornyezet fogalm´ara: 2.1. Defin´ıci´ o. Legyen a ∈ R ´es r > 0. Ekkor 1. Az a pont r sugar´ u k¨ornyezete: Kr (a) := {x ∈ R | |x − a| < r} = ( a − r, a + r );
16
2. F¨ uggv´eny hat´ar´ert´eke, folytonoss´aga 2. A +∞ r sugar´ u k¨ornyezete: 1 1 Kr (+∞) := {x ∈ R | x > } = ( , +∞ ); r r 3. A −∞ r sugar´ u k¨ornyezete: 1 1 Kr (−∞) := {x ∈ R | x < − } = ( −∞, − ). r r
Ahhoz, hogy az x v´altoz´oval a m´ar jelzett m´odon meg lehessen k¨ozel´ıteni a-t, az kell, hogy az a k¨ozel legyen” az f ´ertelmez´esi tartom´any´ahoz, vagyis, ” hogy az a b´armely k¨ornyezet´eben legyen Df -beli elem. S˝ot, mivel kik¨ot¨ott¨ uk azt is, hogy x ne legyen egyenl˝o a-val, azt is fel kell tenn¨ unk, hogy az a b´armely k¨ornyezet´eben legyen a-t´ol k¨ ul¨onb¨oz˝o Df -beli elem. Az ilyen tulajdons´ag´ u elemet torl´od´asi pontnak nevezz¨ uk. 2.2. Defin´ıci´ o. Legyen H ⊂ R ´es a ∈ R ∪ {−∞, +∞}. Azt mondjuk, hogy a a H torl´od´asi pontja, ha ∀r > 0 :
(Kr (a) \ {a}) ∩ H 6= ∅.
A H halmaz torl´od´asi pontjainak halmaz´at H 0 -vel jel¨olj¨ uk. A H \ H 0 halmaz elemeinek neve: H izol´alt pontjai. A hat´ar´ert´ek ´ertelmez´es´ehez teh´at term´eszetes m´odon fel kell tenn¨ unk, hogy a ∈ Df0 . Pl. ´ertelmetlen dolog felvetni azt a k´erd´est, hogy mi a hat´ar´ert´eke n´egyzetgy¨okf¨ uggv´enynek, ha x k¨ozel´ıti a −1-et. A hat´ar´ert´ekr˝ol mondott intuit´ıv bevezet˝o alapj´an kiss´e prec´ızebben u ´gy fogalmazhatunk, hogy az f hat´ar´ert´eke a a helyen A, ha b´armely k¨ornyezet´et is tekintve az A-nak, az f (x) f¨ uggv´eny´ert´ekek benne vannak ebben a k¨ornyezetben minden olyan x eset´en, amely el´eg k¨ozel van” a-hoz. ” A pontos defin´ıci´o: 2.3. Defin´ıci´ o. Legyen f ∈ R → R, a ∈ Df0 , A ∈ R ∪ {−∞, +∞}. Azt mondjuk, hogy f hat´ar´ert´eke az a pontban A (jelben: lim f = A), ha a
∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∀ x ∈ (Kδ (a) \ {a}) ∩ Df :
f (x) ∈ Kε (A).
Bebizony´ıthat´o, hogy r¨ogz´ıtett f ´es a eset´en a lim f = A egyenl˝os´eg lega
feljebb egy A ∈ R ∪ {−∞, +∞} eset´en ´all fenn, m´as sz´oval, a hat´ar´ert´ek egy´ertelm˝ u. Tov´abbi jel¨ol´esek: A = lim f (x), x→a
f (x) → A (x → a).
2.2. Egyoldali hat´ar´ert´ek
17
Megjegyezz¨ uk, hogy mivel a lehet −∞, v´eges vagy +∞, illetve A szint´ ugy lehet −∞, v´eges vagy +∞, a hat´ar´ert´ek defin´ıci´oja – a k¨ornyezet ´ertelmez´es´et felhaszn´alva – 9-f´elek´eppen fogalmazhat´o meg egyenl˝otlens´egekkel. P´eld´aul az a ∈ R, A ∈ R esetben a lim f = A a
egyenl˝os´eg egyen´ert´ek˝ u az al´abbi kijelent´essel: ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∀ x ∈ Df , 0 < |x − a| < δ :
|f (x) − A| < ε.
(v´egesben vett v´eges hat´ar´ert´ek esete).
2.2.
Egyoldali hat´ ar´ ert´ ek
Ha az a hely v´eges (azaz a ∈ R), akkor szeml´elet¨ unk szerint az a-hoz lehet jobbr´ol is ´es balr´ol is tartani. A jobbr´ol tartani” azt jelenti, hogy ” u ´gy k¨ozel´ıtj¨ uk a-t, hogy k¨ozben x > a is fenn´all. A balr´ol tartani” pedig ” azt jelenti, hogy x u ´gy k¨ozel´ıti a-t, hogy k¨ozben x < a. Az ´ıgy keletkez˝o hat´ar´ert´eket jobb- illetve baloldali hat´ar´er´et´eknek nevezz¨ uk. A pontos defin´ıci´o: 2.4. Defin´ıci´ o. Legyen f ∈ R → R, a ∈ R. a) Tegy¨ uk fel, hogy a ∈ ((a, +∞) ∩ Df )0 (ezt r¨oviden u ´gy mondjuk, hogy a jobboldali torl´od´asi pontja Df -nek). Az f a-beli jobboldali hat´ar´ert´ek´en ´ertj¨ uk az f f¨ uggv´enynek az (a, +∞) ∩ Df halmazra val´o lesz˝ uk´ıt´es´enek hat´ar´ert´ek´et. Jel¨ol´ese: lim f (x).
x→a+0
b) Tegy¨ uk fel, hogy a ∈ ((−∞, a) ∩ Df )0 (az a u ´n. baloldali torl´od´asi pontja Df -nek). Az f a-beli baloldali hat´ar´ert´ek´en ´ertj¨ uk az f f¨ uggv´enynek a (−∞, a) ∩ Df halmazra val´o lesz˝ uk´ıt´es´enek hat´ar´ert´ek´et. Jel¨ol´ese: lim f (x). x→a−0
Term´eszetesen a jobb- ´es a baloldali hat´ar´ert´ek defin´ıci´oja is megfogalmazhat´o egyenl˝otlens´egekkel.
18
2. F¨ uggv´eny hat´ar´ert´eke, folytonoss´aga
2.5. Megjegyz´ es. Az egyoldali hat´ar´ert´ek defin´ıci´oja enyh´ebb k¨ovetelm´enyt jelent, mint a hat´ar´ert´ek´e, teh´at elk´epzelhet˝o, hogy egy f¨ ugv´enynek egy pontban nincs hat´ar´ert´eke, de van pl. jobboldali hat´ar´ert´eke. Pl. te1 kints¨ uk az f ∈ R → R, f (x) := f¨ uggv´enyt. Ennek nincs hat´ar´ert´eke az x a = 0 pontban, de l´eteznek az egyoldali hat´ar´ert´ekei: 1 = −∞; x→0−0 x
1 = +∞. x→0+0 x
lim
2.3.
lim
Alapvet˝ o hat´ ar´ ert´ ekek
Ebben a szakaszban – bizony´ıt´as n´elk¨ ul, ´es a szeml´elet alapj´an – megadunk n´eh´any fontos hat´ar´ert´eket. A prec´ız bizony´ıt´asra itt terjedelmi okokb´ol nincs lehet˝os´eg, tov´abb´a a bizony´ıt´as felvetn´e az egyes f¨ uggv´enyek pontos ´ertelmez´es´enek k´erd´es´et is. Teh´at a k¨oz´episkol´ab´ol hozott szeml´elet¨ unkre alapozunk, s ennek seg´ıts´eg´evel tudunk fel´ırni olyan tov´abbi egyszer˝ u hat´ar´ert´ekeket is, melyek az al´abbi felsorol´asb´ol kimaradnak. N´eh´any fontosabb, v´eges helyen vett hat´ar´ert´ek: • Ha f az al´abbi f¨ uggv´enyek valamelyike, akkor tetsz˝oleges a ∈ Df helyen vett hat´ar´ert´eke az f (a) helyettes´ıt´esi ´ert´ekkel egyenl˝o: Polinomok, racion´alis t¨ortf¨ uggv´enyek (=k´et polinom h´anyadosa), gy¨okf¨ uggv´enyek , abszol´ ut´ert´ek-f¨ uggv´eny, exponenci´alis f¨ uggv´enyek, logaritmusf¨ uggv´enyek, a n´egy trigonometrikus alapf¨ uggv´eny: sin, cos, tg , ctg , valamint ezek inverze: arcsin, arccos, arc tg , arc ctg . • Ha k p´aros pozit´ıv eg´esz sz´am ´es a ∈ R, akkor lim
x→a
1 = +∞. (x − a)k
• Ha k p´aratlan pozit´ıv eg´esz sz´am ´es a ∈ R, akkor 1 = −∞, x→a−0 (x − a)k lim
´es
1 = +∞. x→a+0 (x − a)k
• Ha a > 1, akkor lim loga x = −∞. x→0
• Ha 0 < a < 1, akkor lim loga x = +∞. x→0
lim
2.3. Alapvet˝o hat´ar´ert´ekek π • Ha xk := + kπ (k ∈ Z), akkor 2 lim tg x = +∞ ´es
x→xk −0
19
lim tg x = −∞.
x→xk +0
• Ha xk := kπ (k ∈ Z), akkor lim ctg x = −∞ ´es
x→xk −0
• Igazolhat´o, hogy lim
x→0
lim ctg x = +∞.
x→xk +0
sin x = 1. x
sin x 1 − cos x 1 = 1 felhaszn´al´as´aval igazolhat´o, hogy lim = . 2 x→0 x x→0 x 2
• lim
N´eh´any fontosabb, a +∞-ben vett hat´ar´ert´ek: • Minden c ∈ R eset´en az x 7→ c x ∈ R konstansf¨ uggv´eny hat´ar´ert´eke: lim c = c.
x→+∞
• Ha k ∈ N, akkor lim xk = +∞. x→+∞
1 = 0. x→+∞ xk
• Ha k ∈ N, akkor lim
• Ha a > 1, akkor lim ax = +∞. x→+∞
• Ha 0 < a < 1, akkor lim ax = 0. x→+∞
• Ha a > 1, akkor lim loga x = +∞. x→+∞
• Ha 0 < a < 1, akkor lim loga x = −∞. x→+∞
• lim arc tg x = x→+∞
π . 2
• lim arc ctg x = 0. x→+∞
20
2. F¨ uggv´eny hat´ar´ert´eke, folytonoss´aga
2.4.
M˝ uveletek hat´ ar´ ert´ ekkel
A hat´ar´ert´ek ´es az algebrai m˝ uveletek kapcsolata r¨oviden u ´gy foglalhat´o ¨ossze, hogy a hat´ar´er´et´ek k´epz´ese az algebrai m˝ uveletekkel felcser´elhet˝o, felt´eve, hogy a szerepl˝o m˝ uveletek ´ertelmezettek. Kiss´e pontosabban: 2.6. T´ etel. Legyen f ∈ R → R, g ∈ R → R, a ∈ R ∪ {−∞, +∞}, ´es tegy¨ uk fel, hogy l´eteznek a lim f (x) ´es
x→a
lim g(x)
x→a
hat´ar´ert´ekek. Ekkor • lim (f (x) + g(x)) = lim f (x) + lim g(x); x→a
x→a
x→a
• lim (f (x) · g(x)) = lim f (x) · lim g(x); x→a
x→a
x→a
lim f (x) f (x) = x→a ; x→a g(x) lim g(x)
• lim
x→a
felt´eve, hogy a jobb oldalon kijel¨olt m˝ uveletek ´ertelmezettek. A t´etelt nem bizony´ıtjuk. A t´etel term´eszetesen egyoldali hat´ar´ert´ekekre is ´erv´enyes. 2.7. Megjegyz´ es. A +∞, −∞ ide´alis elemekkel val´o m˝ uveletv´egz´est a tan´or´akon ismertetj¨ uk. Nem ´ertelmezett m˝ uveletek (´ un. tiltott m˝ uveletek): (+∞) + (−∞),
(+∞) − (+∞) (−∞) − (−∞),
0 · (±∞) 0 ±∞ , 0 ±∞ Azokat a kifejez´eseket, melyek hat´ar´ert´eksz´am´ıt´asa ilyen eredm´enyre vezethet, hat´arozatlan kifejez´eseknek nevezz¨ uk. E m˝ uveletek tiltotts´ag´anak oka az, hogy b´arhogy is ´ertelmezn´enk a m˝ uvelet eredm´eny´et, az el˝oz˝o t´etel ´all´ıt´asa nem maradna ´erv´enyben. P´eld´aul legyen f (x) = x + 1, g(x) = −x ´es a = +∞. Ekkor az f + g f¨ uggv´eny konstans 1, aminek hat´ar´ert´eke a +∞-ben 1. Ez´ert, ha azt akarjuk, hogy a fenti t´etel ´erv´enyben maradjon, akkor a +∞ ´es a −∞ ¨osszeg´et 1-nek kellene ´ertelmezn¨ unk. Viszont ha f (x) = x+2, ´es minden m´as marad, akkor – hasonl´o okoskod´assal – +∞ ´es a −∞ ¨osszege 2 kellene, hogy legyen.
2.5. Folytonoss´ag
2.5.
21
Folytonoss´ ag
A folytonoss´ag szeml´eletes tartalma az, hogy a f¨ uggv´eny grafikonja foly” tonos vonal”, m´as sz´oval, ha az x v´altoz´o k¨ozeledik egy a ponthoz, akkor a grafikon rajzol´asakor nem kell felemelni a ceruz´at”, vagyis az f (x) ” f¨ uggv´eny´ert´ekek az f (a) f¨ uggv´eny´ert´ekhez k¨ozelednek. Ezt a tulajdons´agot pontos´ıtja az al´abbi defin´ıci´o: 2.8. Defin´ıci´ o. Legyen f ∈ R → R, a ∈ Df ∩ Df0 . Azt mondjuk, hogy f folytonos a-ban, ha lim f (x) = f (a). x→a
Az a pontban folytonos f¨ uggv´enyek halmaz´at jel¨olje C(a). 2.9. Megjegyz´ esek. 1. A hat´ar´ert´ek defin´ıci´oj´at felhaszn´alva, a pontbeli folytonoss´agot ´ıgy is ´ertelmezhetn´enk: ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∀ x ∈ Kδ (a) ∩ Df :
f (x) ∈ Kε (f (a)).
Egyenl˝otlens´egekkel (a k¨ornyezet fogalm´at felhaszn´alva): ∀ ε > 0 ∃ δ > 0, ∀ x ∈ Df , |x − a| < δ :
|f (x) − f (a)| < ε.
Ezek a defin´ıci´ok a ∈ Df \Df0 eset´en is ´erv´enyesek, ´es azt az eredm´enyt adj´ak, hogy a f¨ uggv´eny az ´ertelmez´esi tartom´any´anak izol´alt pontjaiban folytonos. 2. A folytonoss´ag defin´ıci´oja valamint a hat´ar´ert´ek ´es az algebrai m˝ uveletek kapcsolat´ar´ol sz´ol´o 2.6. t´etel alapj´an igazolhat´o, hogy ha f, g ∈ R → R,
f, g ∈ C(a) ´es c ∈ R,
akkor f + g, f − g, f · g, f /g, c · f ∈ C(a). Igazolhat´o tov´abb´a az is, hogy ha g ∈ R → R, g ∈ C(a) ´es f ∈ R → R, f ∈ C(g(a)), akkor f ◦ g ∈ C(a). 3. Az alapvet˝o hat´ar´ert´ekekre adott p´eld´akb´ol k¨ovetkezik, hogy az al´abbi f¨ ugg´enyek az ´ertelmez´esi tartom´anyuk minden pontj´aban folytonosak: Polinomok, racion´alis t¨ortf¨ uggv´enyek, gy¨okf¨ uggv´enyek , abszol´ ut´ert´ek-f¨ uggv´eny, exponenci´alis f¨ uggv´enyek, logaritmusf¨ uggv´enyek, a n´egy trigonometrikus alapf¨ uggv´eny: sin, cos, tg , ctg , valamint ezek inverze: arcsin, arccos, arc tg , arc ctg .
22
2. F¨ uggv´eny hat´ar´ert´eke, folytonoss´aga
2.10. Defin´ıci´ o. Legyen f ∈ R → R a ∈ Df . Azt mondjuk, hogy f -nek a-ban szakad´asa van, ha f ∈ / C(a). Megjegyezz¨ uk, hogy a folytonoss´agot is ´es a szakad´ast is csak az ´ertelmez´esi tartom´any pontjaiban defini´altuk, ´ertelmez´esi tartom´anyon k´ıv¨ uli pontokban nem. A szakad´asokat a k¨ovetkez˝o m´odon oszt´alyozhatjuk: / C(a). 2.11. Defin´ıci´ o. Legyen f ∈ R → R, a ∈ Df ∩ Df0 , f ∈ Azt mondjuk, hogy f -nek a-ban • megsz¨ untethet˝o szakad´asa van, ha ∃ lim f ∈ R, a
de
lim f 6= f (a). a
f (a) 6s " c" lim f
"" a"
a
• ugr´asa van, ha ∃ lim f ∈ R ´es ∃ lim f ∈ R, a−0
a+0
de
lim f 6= lim f. a−0
a+0
6 c "" a" " " c s
Az egy´eb esetekben azt mondjuk, hogy f -nek a-ban m´asodfaj´ u szakad´asa van. 2.12. Megjegyz´ es. A megsz¨ untethet˝o szakad´ast ´es az ugr´ast k¨oz¨os n´even els˝ofaj´ u szakad´asnak is szok´as nevezni. A k¨ovetkez˝okben a halmazon val´o folytonoss´agr´ol lesz sz´o. 2.13. Defin´ıci´ o. Legyen f ∈ R → R. Azt mondjuk, hogy az f f¨ uggv´eny folytonos, ha ´ertelmez´esi tartom´any´anak minden pontj´aban folytonos, azaz ha ∀ a ∈ Df : f ∈ C(a).
2.5. Folytonoss´ag
23
2.14. P´ eld´ ak.
1. Az alapvet˝o hat´ar´ert´ekekn´el felsorolt p´eld´akb´ol ad´odik, hogy az al´abbi f¨ uggv´enyek folytonosak: Polinomok, racion´alis t¨ortf¨ uggv´enyek, gy¨okf¨ uggv´enyek , abszol´ ut´ert´ekf¨ uggv´eny, exponenci´alis f¨ uggv´enyek, logaritmusf¨ uggv´enyek, a n´egy trigonometrikus alapf¨ uggv´eny: sin, cos, tg , ctg , valamint ezek inverze: arcsin, arccos, arc tg , arc ctg .
2. Az al´abbi ´abr´an l´athat´o f¨ uggv´eny, az u ´n. el˝ojelf¨ uggv´eny (szignumf¨ uggv´eny) nem folytonos, mivel van olyan pontja az ´ertelmez´esi tartom´any´anak, amelyben nem folytonos (nevezetesen a 0). 1
6 c s c -1
2.15. Defin´ıci´ o. Legyen f ∈ R → R, ∅ 6= H ⊂ Df . Azt mondjuk, hogy f folytonos a H halmazon, ha az f H-ra val´o lesz˝ uk´ıt´ese (az f|H ) folytonos f¨ uggv´eny.
2.16. Megjegyz´ es. A H halmazon val´o folytonoss´ag nem azonos azzal, hogy az eredeti f¨ uggv´eny a H halmaz minden pontj´aban folytonos. P´eld´aul az al´abbi ´abr´an l´athat´o f : R → R f¨ uggv´eny folytonos a H := [0 + ∞] halmazon, j´ollehet f ∈ / C(0).
1
6 s c -
24
2. F¨ uggv´eny hat´ar´ert´eke, folytonoss´aga
2.6.
Feladatok
1. Sz´am´ıtsuk ki az al´abbi hat´ar´ert´ekeket. Ahol a hat´ar´ert´ek nem l´etezik sz´am´ıtsuk ki az egyoldali hat´ar´ert´ekeket. µ ¶ x3 − x2 − x + 1 4 1 a) lim b) lim − x→1 x→0 x3 + x − 2 x − 1 x3 − 1 c)
e)
5x √ lim √ x→1 1+x− 1−x √ x−1−2 lim x→5 x−5
d)
f)
√ x2 + 1 − 1 lim √ x→0 x2 + 16 − 4 √ √ x + 2 − −x lim √ √ x→−1 3 x + 2 − 3 −x
g)
√ 3 x−1 lim √ x→1 5 x − 1
h)
i)
lim
tg x − sin x x→0 x3
j)
k)
sin 5x x→0 sin 7x
x − sin 2x x→0 x + sin 3x √ 1 − 1 + 3x n) lim x→0 sin x
m)
lim
2 sin x − sin 2x x→0 x3 lim
l)
lim √
x→0
5x √ 1+x− 1−x
1 + sin x − cos x x→0 1 − sin x − cos x lim
lim
2. Sz´am´ıtsuk ki az al´abbi hat´ar´ert´ekeket. a)
5x2 + 3x − 7 x→+∞ 3x2 − x + 5 lim
√ c)
lim
x→+∞
1 + 9x2 x−2
g)
x3 − 5x + 1 x→+∞ 1 + 3x2 − 2x3 √ √ lim ( x2 + 3x − 1 − x2 + 3)
h)
p lim ( (x + 2) · (x + 7) − x)
e)
lim
x→+∞
x→+∞
b)
d) f)
lim √
x→+∞
2x 3x2 + 2
√ lim ( x2 + 5x − x)
x→+∞
2x5 − x4 − 3x + 4 x→+∞ x2 − 7x3 − 3x + 1 lim
2.6. Feladatok
25
3. V´egezz¨ unk folytonoss´ag vizsg´alatot az al´abbi f¨ uggv´enyeken: a) f (x) :=
3 x−1
ha x 6= 1
0
ha x = 1
x−1 2 b) f (x) := x − x 1
ha x ∈ R\{0; 1} ha
(x − 2)2 2 c) f (x) := x − 5x + 6 0 1 − x2 2 d) f (x) := x 1 − x2 e) f (x) := (1 − x)2 4−x
x ∈ {0; 1} ha x ∈ R\{2; 3} ha
x ∈ {2; 3}
ha x ≤ 2 ha x > 2 ha
x≤0
ha 0 < x ≤ 2 ha
x>2
3. F¨ uggv´ enyek differenci´ al´ asa 3.1.
A deriv´ alt fogalma, alap-deriv´ altak
A deriv´alt ´ertelmez´es´en´el alapvet˝o szerepet j´atszik a bels˝o pont fogalma. 3.1. Defin´ıci´ o. Legyen H ⊂ R ´es a ∈ H. Azt mondjuk, hogy a a H bels˝o pontja, ha ∃ r > 0 : Kr (a) ⊂ H. A H halmaz bels˝o pontjainak halmaz´at a halmaz belsej´enek nevezz¨ uk, ´es ◦ int H-val jel¨olj¨ uk. Halmaz belsej´enek jel¨ol´es´ere haszn´alatos m´eg a H jel¨ol´es is. A H halmazt ny´ılt halmaznak nevezz¨ uk, ha minden pontja bels˝o pont, azaz, ha int H = H. Ezek ut´an – a szeml´eletb˝ol kiindulva – r´at´er¨ unk a deriv´alt ´ertelmez´es´ere. Legyen f ∈ R → R, a ∈ int Df . Szeretn´enk az f f¨ uggv´enyt az a pont k¨or¨ ul” az al´abbi ´ertelemben megk¨ozel´ıteni l(x) = mx + b line´aris ” f¨ uggv´ennyel: Az els˝o felt´etel, hogy a k´et f¨ uggv´eny az x = a pontban egyezzen meg: f (a) = l(a) = ma + b, amib˝ol b kifejezhet˝o: b = −ma + f (a). Ezzel a keresett line´aris f¨ uggv´eny: l(x) = m(x − a) + f (a). Az els˝o felt´etel teh´at az m param´eter (meredeks´eg) valamennyi ´ert´eke mellett teljes¨ ul. S˝ot, ha f folytonos, akkor minden m eset´en a k¨ozel´ıt´es hib´aja x → a eset´en 0-hoz tart, hiszen lim (f (x) − l(x)) = lim f (x) − lim l(x) = f (a) − l(a) = f (a) − f (a) = 0.
x→a
x→a
x→a
A m´asodik felt´etel az, hogy a hiba olyan gyorsan tartson 0-hoz, hogy m´eg x − a-val osztva is 0-hoz tartson. (Ilyenkor mondjuk, hogy f (x) − f (a) gyorsabban tart 0-hoz, mint x − a.) Teh´at olyan m ∈ R sz´amot keres¨ unk, amelyre f (x) − l(x) f (x) − f (a) − m(x − a) = lim = 0. x→a x→a x−a x−a lim
Ezzel kapcsolatos az al´abbi defin´ıci´o:
3.1. A deriv´alt fogalma, alap-deriv´altak
27
3.2. Defin´ıci´ o. Legyen f ∈ R → R, a ∈ int Df . Azt mondjuk, hogy f differenci´alhat´o (deriv´alhat´o) a-ban, ha f (x) − f (a) − m(x − a) = 0. x→a x−a
∃m ∈ R :
lim
Az a-ban differenci´alhat´o f¨ uggv´enyek halmaz´at jel¨olje D(a). Meg´allapodunk abban, hogy az f ∈ D(a) kijelent´esbe bele´ertend˝o az is, hogy a ∈ int Df . 3.3. Megjegyz´ es. Mivel f (x) − f (a) − m(x − a) f (x) − f (a) = − m, x−a x−a Ez´ert az al´abbi h´arom ´all´ıt´as ekvivalens ∃m ∈ R : ∃m ∈ R : ∃m ∈ R :
f (x) − f (a) − m(x − a) =0 x−a ¶ µ f (x) − f (a) lim −m =0 x→a x−a f (x) − f (a) lim = m. x→a x−a lim
x→a
Ebb˝ol egyr´eszt az k¨ovetkezik, hogy a 3.2. defin´ıci´oban szerepl˝o m sz´am egy´ertelm˝ u, m´asr´eszt, hogy a differenci´alhat´os´agot ´ıgy is ´ertelmezhett¨ uk volna f (x) − f (a) (konstrukt´ıv ´ertelmez´es): L´etezzen a lim v´eges hat´ar´ert´ek. A x→a x−a Df \ {a} → R,
x 7→
f (x) − f (a) x−a
f¨ uggv´enyt k¨ ul¨onbs´egi h´anyadosnak nevezz¨ uk. uggv´eny 3.4. Defin´ıci´ o. A 3.2. defin´ıci´oban szerepl˝o m ∈ R sz´amot az f f¨ a-beli differenci´alh´anyados´anak (deriv´altj´anak) nevezz¨ uk. Jele: f 0 (a) vagy df ¯¯ ¯ . dx x=a A k¨ ul¨onbs´egi h´anyadossal val´o ´ertelmez´es szerint teh´at f (x) − f (a) . x→a x−a
f 0 (a) = lim
3.5. Megjegyz´ es. h = x − a helyettes´ıt´essel a differenci´alhat´os´ag ill. a deriv´alt ´ertelmez´ese az al´abbi m´odon fogalmazhat´o ´at: f ∈ D(a) akkor ´es csak akkor teljes¨ ul, ha ∃m ∈ R :
f (a + h) − f (a) − m · h = 0. h→0 h lim
28
3. F¨ uggv´enyek differenci´al´asa
Ez esetben f 0 (a) = m. Hasonl´ok´eppen, a k¨ ul¨onbs´egi h´anyadossal val´o defin´ıci´o (a konstrukt´ıv defin´ıci´o) ´atfogalmaz´asa: f ∈ D(a) akkor ´es csak akkor teljes¨ ul, ha f (a + h) − f (a) ∈ R. h→0 h
∃ lim
f (a + h) − f (a) . h→0 h
Ez esetben f 0 (a) = lim
Ezzel a differenci´alhat´os´agnak n´egy ekvivalens ´ertelmez´es´et is megadtuk. A deriv´alt geometriai jelent´ese a k¨ovetkez˝o. Az (a, f (a)) ´es az (x, f (x)) pontokon ´atmen˝o egyenes (az u ´n. szel˝o) meredeks´ege tg α =
f (x) − f (a) . x−a
Szeml´elet¨ unk alapj´an x → a eset´en a szel˝ok hat´arhelyzete az ´erint˝o, teh´at a deriv´alt az (a, f (a))-beli ´erint˝o meredeks´ege. Az eddigiekben meggondoltakat is figyelembe v´eve teh´at az ´erint˝o az egyetlen olyan egyenes, ami ´atmegy az (a, f (a)) ponton ´es a f¨ uggv´eny grafikonj´at´ol val´o elt´er´ese (a hiba) gyorsabban tart 0-hoz, mint ahogy x az a-hoz. 3.6. T´ etel. f ∈ D(a) ⇒ f ∈ C(a). Bizony´ıt´ as. f (a + h) − f (a) =
f (a + h) − f (a) · |{z} h → f 0 (a) · 0 = 0 (h → 0), h | {z } →0
→f 0 (a)
Teh´at lim f (a + h) = f (a), azaz f ∈ C(a). h→0
¤
A k¨ovetkez˝okben a halmazon val´o deriv´alhat´os´agr´ol lesz sz´o. 3.7. Defin´ıci´ o. Legyen f ∈ R → R, ´es legyen H a Df egy ny´ılt r´eszhalmaza. Azt mondjuk, hogy f deriv´alhat´o a H halmazon (jelben: f ∈ D(H)), ha f deriv´alhat´o a H halmaz minden pontj´aban. Ez nyilv´anval´oan egyen´ert´ek˝ u azzal, hogy az f H-ra val´o lesz˝ uk´ıt´ese (az f|H ) f¨ uggv´eny az ´ertelmez´esi tartom´any´anak minden pontj´aban differenci´alhat´o. uggv´enyt differenci´alhat´onak nevezz¨ uk, ha 3.8. Defin´ıci´ o. Az f ∈ R → R f¨ ´ertelmez´esi tartom´any´anak minden bels˝o pontj´aban differenci´alhat´o. (M´as sz´oval: f differenci´alhat´o az ´ertelmez´esi tartom´any´aban fekv˝o maxim´alis ny´ılt halmazon, az int Df -en.)
3.1. A deriv´alt fogalma, alap-deriv´altak
29
Ha egy ponthoz hozz´arendelj¨ uk az e pontbeli deriv´altat, egy u ´j f¨ uggv´enyhez, a deriv´altf¨ uggv´enyhez jutunk. 3.9. Defin´ıci´ o. Legyen f ∈ R → R, ´es tegy¨ uk fel, hogy Df 0 := {x ∈ Df | f ∈ D(x)} 6= ∅. Az f 0 : Df 0 → R,
x 7→ f 0 (x)
f¨ uggv´enyt az f deriv´altf¨ uggv´eny´enek (r¨oviden: deriv´altj´anak) nevezz¨ uk. A deriv´altf¨ uggv´eny deriv´al´as´aval jutunk el az u ´n. magasabbrend˝ u deriv´altakhoz. 3.10. Defin´ıci´ o. Legyen f ∈ R → R, a ∈ int Df . Azt mondjuk, hogy f 2-szer differenci´alhat´o az a pontban (jele: f ∈ D2 (a)), ha 1. ∃ r > 0 ∀ x ∈ Kr (a) :
f ∈ D(x);
2. f 0 ∈ D(a). 00
Ez esetben az f (2) (a) := f (a) := (f 0 )0 (a) sz´amot az f f¨ uggv´eny a pontbeli m´asodik deriv´altj´anak nevezz¨ uk. 3.11. Megjegyz´ es. Hasonl´oan, rekurzi´oval ´ertelmezhet˝oek a 3., 4., . . . deriv´altak (s ezzel a 3-szor, 4-szer stb. differenci´alhat´os´ag). Jel¨ol´es¨ uk: 000
0000
f (a), f (a), . . .
illetve f (3) (a), f (4) (a), . . .
A k¨ovetkez˝okben n´eh´any alapderiv´altat sz´am´ıtunk ki: 3.12. P´ eld´ ak. 1. f (x) = x2 , a = 3. Ekkor (x − 3)(x + 3) x2 − 9 = lim = lim (x + 3) = 3 + 3 = 6, x→3 x→3 x→3 x − 3 x−3
f 0 (3) = lim vagy
(3 + h)2 − 9 6h + h2 = lim = lim (6 + h) = 6. h→0 h→0 h→0 h h
f 0 (3) = lim
30
3. F¨ uggv´enyek differenci´al´asa 2. f (x) = x2 , a ∈ R r¨ogz´ıtett. Ekkor (a + h)2 − a2 = h→0 h 2ah + h2 = lim (2a + h) = 2a + 0 = 2a, = lim h→0 h→0 h
f 0 (a) = lim
teh´at f 0 (a) = 2a, bet˝ ucser´evel: f 0 (x) = 2x. 3. f (x) = x3 , x ∈ R r¨ogz´ıtett. Ekkor (x + h)3 − x3 x3 + 3x2 h + 3xh2 + h3 − x3 = lim = h→0 h→0 h h
f 0 (x) = lim
= lim (3x2 + 3xh + h2 ) = 3x2 , h→0
teh´at f 0 (x) = 3x2 . 4. f (x) = xn , n ∈ N, x ∈ R r¨ogz´ıtett. Ekkor a binomi´alis t´etel alapj´an (x + h)n − xn = h→0 µ ¶ µ ¶ µ ¶ h n P n n n · xn−k · hk − xn · xn−1 · h + · xn + 1 0 k=2 k = lim = h→0 h
f 0 (x) = lim
à = lim
h→0
n · xn−1 +
n µ ¶ X n k=2
k
! · xn−k · hk−1
= n · xn−1 ,
teh´at f 0 (x) = n · xn−1 . 5. f (x) = x . Ekkor x+h−x = lim 1 = 1. h→0 h→0 h
f 0 (x) = lim
6. f (x) = c konstans f¨ uggv´eny. Ekkor c−c = lim 0 = 0. h→0 h→0 h
f 0 (x) = lim 7. f (x) =
√
x. Ekkor √
√ x+h− x x+h−x √ f (x) = lim = lim √ = h→0 h→0 h · ( x + h + h x) 1 1 √ . = lim √ √ = h→0 2· x x+h+ x 0
3.2. Deriv´al´asi szab´alyok
31
8. f (x) = sin x . Ekkor sin(x + h) − sin x = h→0 h
f 0 (x) = lim
sin x · cos h + cos x · sin h − sin x = h→0 h
= lim
µ
cos h − 1 sin h + sin x · = lim cos x · h→0 h h
¶ =
sin h 1 − cos h + (sin x) · lim · lim (−h) = h→0 h h→0 h→0 h2
= (cos x) · lim
= (cos x) · 1 + (sin x) ·
1 · 0 = cos x. 2
Tov´abbi fontos alap-deriv´altakat ismertet¨ unk a tan´or´akon.
3.2.
Deriv´ al´ asi szab´ alyok
A deriv´al´asi szab´alyok arra vonatkoznak, hogy ha egyszer˝ ubb f¨ uggv´enyekb˝ol bonyolultabbakat ´ep´ıt¨ unk fel, akkor hogyan sz´am´ıtjuk ki a kapott f¨ uggv´eny deriv´altj´at az eredeti f¨ uggv´enyek seg´ıts´eg´evel. A deriv´al´asi szab´alyokat bizony´ıt´as n´elk¨ ul k¨oz¨olj¨ uk. 3.13. T´ etel. Legyen f, g ∈ R → R, f, g ∈ D(a) ´es legyen c ∈ R. Ekkor 1. (¨ osszeg deriv´al´ asi szab´alya)
f + g ∈ D(a) ´es
(f + g)0 (a) = f 0 (a) + g 0 (a). 2. (konstansszoros deriv´al´ asi szab´alya)
c · f ∈ D(a) ´es
(c · f )0 (a) = c · f 0 (a). asi szab´alya) 3. (szorzat deriv´al´
f · g ∈ D(a) ´es
(f · g)0 (a) = f 0 (a) · g(a) + f (a) · g 0 (a). (Megjegyezz¨ uk, hogy ha g(x) = c konstans, akkor visszakapjuk a konstansszoros deriv´al´ asi szab´aly´ at.)
32
3. F¨ uggv´enyek differenci´al´asa 1 ha g(a) 6= 0, akkor ∈ D(a) ´es g
4. (reciprok deriv´al´ asi szab´alya)
µ ¶0 1 g 0 (a) (a) = − 2 . g g (a) 5. (h´ anyados deriv´al´ asi szab´alya)
ha g(a) 6= 0, akkor
f ∈ D(a) ´es g
µ ¶0 f 0 (a) · g(a) − f (a) · g 0 (a) f (a) = . g g 2 (a) 3.14. T´ etel. (kompoz´ıci´ o deriv´al´ asi szab´alya = l´ancszab´ aly”) ” Legyen g ∈ R → R, g ∈ D(a), f ∈ R → R, f ∈ D(g(a)). Ekkor f ◦ g ∈ D(a) ´es (f ◦ g)0 (a) = f 0 (g(a)) · g 0 (a). uggv´eny deriv´al´ asa) 3.15. T´ etel. (inverz f¨ Legyen I ⊂ R ny´ılt intervallum, f : I → R, f ∈ D(I), f szigor´ uan monoton, tov´abb´ a tegy¨ uk fel, hogy f 0 (x) 6= 0 (x ∈ I). Ekkor J = Rf ny´ılt intervallum, tov´abb´ a f −1 ∈ D(J), ´es (f −1 )0 (y) =
1 f 0 (f −1 (y))
(y ∈ J).
3.16. P´ eld´ ak. 1.
f (x) = exp x = ex (x ∈ R). Ekkor f −1 = ln : R+ → R. Teljes¨ ulnek t´etel¨ unk felt´etelei, ez´ert ln0 (y) = (f −1 )0 (y) =
exp0
1 1 1 = = (ln (y)) exp (ln (y)) y
(y ∈ J = R+ ).
Ha m´ar megvan a deriv´alt, az y bet˝ ut x-re cser´elhetj¨ uk: ln0 x =
2.
1 x
(x ∈ R+ ).
³ π π´ f (x) = sin x (x ∈ I := − , . Ekkor 2 2 f −1 (y) = arcsin y
(y ∈ (−1, 1)).
3.3. Alkalmaz´as I.: ´erint˝o
33
Most is teljes¨ ulnek a t´etel felt´etelei, ez´ert arcsin0 y = (f −1 )(y) =
1 1 = . sin (arcsin y) cos(arcsin y ) | {z } 0
x
³ π π´ Felhaszn´alva, hogy x ∈ − , miatt cos x ≥ 0, ´ıgy folytathatjuk 2 2 az ´atalak´ıt´ast: 1 1 p =p . 1 − (sin(arcsin x))2 1 − y2 1
Teh´at arcsin0 y = p
1 − y2
(y ∈ (−1, 1)). Bet˝ ucsere ut´an:
arcsin0 x = √
3.
Legyen tg x = tg 0 x =
=
3.3.
1 1 − x2
(x ∈ (−1, 1)).
sin x . Ekkor cos x
sin0 x · cos x − sin x · cos0 x cos2 x + sin2 x = = cos2 x cos2 x 1 = 1 + tg 2 x. cos2 x
Alkalmaz´ as I.: ´ erint˝ o
Az els˝o szakaszban a deriv´altat a line´aris k¨ozel´ıt´es alapj´an vezett¨ uk be: f (x) ≈ m · (x − a) + f (a), | {z } l(x)
ahol a legjobb k¨ozel´ıt´est az m := f 0 (a) v´alaszt´as adja (felt´eve, hogy f differenci´alhat´o a-ban). Ennek alapj´an c´elszer˝ u, ha f grafikonja (amely egy s´ıkg¨orbe) a pont beli ´erint˝oj´enek az E := {(x, f 0 (a) · (x − a) + f (a)) ∈ R2 | x ∈ R} halmazt tekinteni. Ez egy R2 -beli egyenes. Az ´erint˝o egyenlete teh´at: y = f 0 (a) · (x − a) + f (a).
34
3. F¨ uggv´enyek differenci´al´asa
3.4.
Alkalmaz´ as II.: Monotonit´ as, sz´ els˝ o´ ert´ ek
A f¨ uggv´enyek monotonit´as´anak vizsg´alata a k¨ovetkez˝o t´etelen alapul, melyet bizony´ıt´as n´elk¨ ul k¨ozl¨ unk: 3.17. T´ etel. [Lagrange-k¨ oz´ep´ert´ekt´etel] Legyen f : [a, b] → R, f ∈ C[a, b], f ∈ D(a, b). Ekkor ∃ ξ ∈ (a, b) :
f (b) − f (a) = f 0 (ξ). b−a
3.18. Megjegyz´ es. A t´etel szeml´eletesen azt jelenti, hogy van a f¨ uggv´eny grafikonj´an olyan pont, amelyben h´ uzott ´erint˝o p´arhuzamos a grafikon v´egpontjait, az (a, f (a)) ´es a (b, f (b)) pontokat ¨osszek¨ot˝o egyenessel. Egy ilyen pont abszcissz´aj´at jel¨oli ξ. A Lagrange-k¨oz´ep´ert´ekt´etel seg´ıts´eg´evel igazolhatjuk a f¨ uggv´enyek n¨oveked´es´evel ´es cs¨okken´es´evel kapcsolatos alapt´etel¨ unket: ◦
3.19. T´ etel. Legyen I ⊂ R intervallum, ´es jel¨olje I az intervallum belsej´et. ◦ Legyen tov´abb´ a f ∈ R → R, f ∈ C(I), f ∈ D(I ). Ekkor: ◦
1. Ha ∀ x ∈I : f 0 (x) > 0, akkor f szigor´ uan monoton n¨ovekv˝ o I-n. ◦
2. Ha ∀ x ∈I : f 0 (x) < 0, akkor f szigor´ uan monoton cs¨okken˝ o I-n. ◦
3. Ha ∀ x ∈I : f 0 (x) = 0, akkor f kontsans I-n. Bizony´ıt´ as. Legyen x1 , x2 ∈ I, x1 < x2 . Alkalmazzuk a Lagrange-k¨oz´ep´ert´ekt´etelt az [x1 , x2 ] intervallumon: ∃ ξ ∈ (x1 , x2 ) :
f (x2 ) − f (x1 ) = f 0 (ξ). x2 − x1
´ Atrendezve: f (x2 ) − f (x1 ) = f 0 (ξ) · (x2 − x1 ). ◦
1. ξ ∈I miatt f 0 (ξ) > 0, s mivel x2 − x1 > 0, ez´ert f (x2 ) − f (x1 ) > 0, azaz f (x1 ) < f (x2 ). ◦
2. ξ ∈I miatt f 0 (ξ) < 0, s mivel x2 − x1 > 0, ez´ert f (x2 ) − f (x1 ) < 0, azaz f (x1 ) > f (x2 ). ◦
3. ξ ∈I miatt f 0 (ξ) = 0, ez´ert f (x2 ) − f (x1 ) = 0, azaz f (x1 ) = f (x2 ).
3.4. Alkalmaz´as II.: Monotonit´as, sz´els˝o´ert´ek
35
¤ A t´etelt leggyakrabban abban az esetben alkalmazzuk, amikor az f f¨ uggv´eny ´ertelmez´esi tartom´anya v´eges sz´am´ u intervallum egyes´ıt´ese, f folytonos ´es az ´ertelmez´esi tartom´any bels˝o pontjaiban differenci´alhat´o, tov´abb´a az f 0 (x) = 0 egyenletnek v´eges sz´am´ u gy¨oke van. Ekkor ez a v´eges sz´am´ u gy¨ok az ´ertelmez´esi tartom´anyt v´eges sz´am´ u r´eszintervallumra bontja. Igazolhat´o, hogy egy-egy ilyen r´eszintervallum belsej´eben f 0 -nek m´ar nincs t¨obb z´erushelye, vagyis ezeken f 0 el˝ojele ´alland´o. Ez´ert f egy-egy ilyen r´eszintervallumon – t´etel¨ unket erre a r´eszintervallumra alkalmazva – vagy szigor´ uan monoton n˝o, vagy szigor´ uan monoton cs¨okken. Mindezt az u ´n. monotonit´asi t´abl´azatban tudjuk ´attekinthet˝oen ¨osszefoglalni (ld. a tan´or´akon). T´erj¨ unk r´a a sz´els˝o´ert´ekekre. 3.20. Defin´ıci´ o. Legyen f ∈ R → R, a ∈ Df , ´es jel¨olje K(a) az a valamely k¨ornyezet´et. Azt mondjuk, hogy f -nek a-ban lok´alis 1. minimuma van, ha ∃ r > 0 ∀ x ∈ Kr (a) ∩ Df :
f (x) ≥ f (a)
2. szigor´ u minimuma van, ha ∃ r > 0 ∀ x ∈ Kr (a) ∩ Df \ {a} :
f (x) > f (a)
3. maximuma van, ha ∃ r > 0 ∀ x ∈ Kr (a) ∩ Df :
f (x) ≤ f (a)
4. szigor´ u maximuma van, ha ∃ r > 0 ∀ x ∈ Kr (a) ∩ Df \ {a} :
f (x) < f (a)
Itt a a lok´alis sz´els˝o´ert´ek helye, f (a) a lok´alis sz´els˝o´ert´ek. Ha m´ar tudjuk, hogy a f¨ uggv´eny mely intervallumokon n˝o ´es melyeken cs¨okken, akkor k¨onnyen meg tudjuk hat´arozni a lok´alis sz´els˝o´ert´ekhelyeit. Meg´allap´ıthatjuk ugyanis, hogy azokban a pontokban, ahol f szigor´ u n¨oveked´esb˝ol szigor´ u cs¨okken´esbe megy ´at, szigor´ u lok´alis maximum van. Hasonl´ok´eppen, ahol f szigor´ u cs¨okken´esb˝ol szigor´ u n¨oveked´esbe megy ´at, szigor´ u lok´alis minimum van. Ezt pontos´ıtja a k¨ovetkez˝o, k¨onnyen bebizony´ıthat´o t´etel:
36
3. F¨ uggv´enyek differenci´al´asa
3.21. T´ etel. Legyen f ∈ R → R. Ekkor • ha f szigor´ uan monoton n¨ovekv˝ o az (a, c] intervallumon, tov´abb´ a szigor´ uan monoton cs¨okken˝ o a [c, b) intervallumon, akkor f -nek c-ben szigor´ u lok´alis maximuma van; • ha f szigor´ uan monoton cs¨okken˝ o az (a, c] intervallumon, tov´abb´ a szigor´ uan monoton n¨ovekv˝ o a [c, b) intervallumon, akkor f -nek c-ben szigor´ u lok´alis minimuma van. 3.22. Megjegyz´ esek. 1. Mivel a n¨oveked´est-cs¨okken´est legt¨obbsz¨or a deriv´alt el˝ojel´evel vizsg´aljuk, a fenti t´etel ´atfogalmazhat´o a deriv´altf¨ uggv´eny el˝ojelv´alt´asai seg´ıts´eg´evel is. 2. Az eddigiekb˝ol k¨ovetkezik, hogy ha egy f¨ uggv´eny megfelel a fenti t´etel felt´eteleinek, akkor a sz´els˝o´ert´ek hely´en a deriv´alt ´ert´eke 0. Ez ´altal´aban is igazolhat´o: ha f ∈ D(a), ´es f -nek a-ban lok´alis sz´els˝o´ert´eke van, akkor f 0 (a) = 0. M´as sz´oval: a deriv´alt elt˝ un´ese a lok´alis sz´els˝o´ert´ek sz¨ uks´eges felt´etele. Hogy ez a felt´etel nem el´egs´eges, mutatja az x → x3 f¨ uggv´eny az a = 0 helyen.
3.5.
Alkalmaz´ as III.: L’Hospital-szab´ aly
0 ∞ A L’Hospital szab´aly bizonyos ill. t´ıpus´ u hat´ar´ert´ekek kisz´am´ıt´as´at 0 ∞ visszavezeti a deriv´altak h´anyados´anak hat´ar´ert´ek´ere. 3.23. T´ etel. [L’Hospital szab´aly] Legyen −∞ ≤ a < b ≤ +∞,
f, g : (a, b) → R,
f, g ∈ D(a, b).
Tegy¨ uk fel, hogy g 0 (x) 6= 0
(x ∈ (a, b)),
tov´abb´ a, hogy lim f = lim g = 0, a+0
a+0
vagy
valamint, hogy ∃ lim a+0
Ekkor lim a+0
lim f = lim g = +∞, a+0
f0 . g0
f f0 = lim 0 . a+0 g g
a+0
3.6. Feladatok
37
A t´etelt nem bizony´ıtjuk 3.24. Megjegyz´ esek. 1. Hasonl´o t´etel ´erv´enyes a bal oldali hat´ar´ert´ekre is. 2. Hasonl´o t´etel ´erv´enyes a hat´ar´ert´ekre is. 3. A L’Hospital szab´aly hat´arozatlan t¨ortekre vonatkozik. A t¨obbi hat´arozatlan kifejez´est (ld. 2.7. megjegyz´es) vissza kell vezetni a hat´arozatlan h´anyadosra.
3.6.
Feladatok
1. Deriv´aljuk az al´abbi f¨ uggv´enyeket: a) f (x) =
2 4x − 3
b) f (x) =
4x + 3 c) f (x) = √ x2 + 5 e) f (x) = tg
√ 3
−x2 − 1
d) f (x) = arcsin
x + arc tg 2x 2
f ) f (x) = ln tg
√
x
x 2
g) f (x) = 5 cos2 (3x + 4)
h) f (x) = ln tg sin cos x
i) f (x) = cos x · tg x
5x + 2 j) f (x) = arccos ( √ ) −x2 + 8
k) f (x) = ln2 tg x + x ln tg 4 x
l) f (x) = xe + ex + xe · ex
2
m) f (x) = (x + 2) sin o) f (x) = ln(x +
√
√
x+3
x2 + 1) r
x2
p) f (x) = lg(x3 e ) + lg tg x q) f (x) = 1 + tg 2 x
√ x−1 n) f (x) = ctg x − √ x+1 2
x2 + 1 x2 + 5 1 r) f (x) = ln 2
r
1 + x2 1 − x2
38
3. F¨ uggv´enyek differenci´al´asa 2. ´Irjuk fel az ´erint˝oegyenes egyenlet´et az al´abbi f¨ uggv´enyekhez a megadott x0 abszcissz´aj´ u pontban: a) y = 3x2 − 5x + 2, b) y =
c) y =
x+1 , x−1 √
x0 = 3
x0 = 3
1 + x2 ,
x0 =
d) y = ln(sin x2 ),
1 2
x0 =
4 5
3. Melyek azok a pontok, ahol az adott g¨orbe ´erint˝oje p´arhuzamos az adott egyenessel? a) y = 2 + x − x2 ,
x tengely
b) y = 2 + x − x2 ,
az els˝o s´ıknegyed sz¨ogfelez˝oje
c) y = arc tg 1 d) y = 3
1 , x−2
1 y =− x+5 2
p (x2 − 1)2 , x3
√ y=
3 x+1 16
4. Vizsg´aljuk meg az al´abbi f¨ uggv´enyeket monotonit´as ´es lok´alis sz´els˝o´ert´ek szempontj´ab´ol: a) f (x) = x4 − 6x2 + 9
b) f (x) =
1 − x2 x
c) f (x) =
x2 ex
d) f (x) =
x3 ex
e) f (x) =
6x x+1
f ) f (x) =
x2 (x − 1)2
g) f (x) = ln(x2 − 1) i) f (x) = sin x +
1 sin 2x 2
h) f (x) = ln j) f (x) =
x2 (1 + x)3
2 3 − x 1+x
3.6. Feladatok
39
5. Sz´amoljuk ki az al´abbi hat´ar´ert´ekeket a L’Hospital szab´aly seg´ıts´eg´evel: µ ¶ 1 1 sin x − x a) lim − x b) lim x→0+0 x→0 arcsin x − x x e −1 µ
c)
ln x lim x→0+0 ln sin x
d)
e)
lim
3 + cos 2x − 4 cos x x→0 x2 − x sin x
f)
ex − e−x − 2x x→0 x3
lim (ln x) · ln(1 − x)
h)
x − sin x x3
g)
x→1
lim
x→0+0
1 1 − x sin x e − 1
¶
lim
6. Az R sugar´ u k¨orlemezb˝ol mekkora k¨orcikket kell kiv´agni, hogy bel˝ole a maxim´alis t´erfogat´ u k´ up alak´ u t¨olcs´ert lehessen kialak´ıtani? 7. Adjuk meg annak az egyenesnek az egyenlet´et, amely ´atmegy a (2; 4) ponton, ´es a nemnegat´ıv koordin´ata-f´eltengelyekkel egy¨ utt a minim´alis ter¨ ulet˝ u h´aromsz¨oget hat´arolja.
4. F¨ uggv´ enyek integr´ al´ asa 4.1.
A primit´ıv f¨ uggv´ eny fogalma, n´ eh´ any alapintegr´ al
Sok esetben sz¨ uks´eg van arra, hogy olyan f¨ uggv´enyt keress¨ unk, amelynek a deriv´altja egy el˝ore adott f¨ uggv´eny. Az ilyen f¨ uggv´enyt az az el˝ore adott f¨ uggv´eny primit´ıv f¨ uggv´eny´enek nevezz¨ uk. Persze ez a meghat´aroz´as m´eg pontos´ıt´asra szorul, nem mindegy pl. a szerepl˝o f¨ uggv´enyek ´ertelmez´esi tartom´anya. 4.1. Defin´ıci´ o. Legyen H ⊂ R ny´ılt halmaz, tov´abb´a f : H → R,
F : H → R.
Az F f¨ uggv´enyt az f f¨ uggv´eny primit´ıv f¨ uggv´eny´enek nevezz¨ uk, ha F differenci´alhat´o, ´es ∀ x ∈ H : F 0 (x) = f (x). 4.2. P´ elda. Legyen f (x) := x2 (x ∈ R). Ekkor az x3 x3 F (x) := (x ∈ R) ´es a G(x) := + 5 (x ∈ R) 3 3 f¨ uggv´enyek a f -nek primit´ıv f¨ uggv´enyei, hiszen – mint az k¨onnyen ellen˝orizhet˝o: F 0 (x) = G0 (x) = f (x) (x ∈ R). Felvet˝odik a k´erd´es, h´any primit´ıv f¨ uggv´enye van egy f f¨ uggv´enynek, ´es ezek hogyan adhat´ok meg. Az biztos, hogy v´egtelen sok primit´ıv f¨ uggv´eny van, mivel ha F primit´ıv f¨ uggv´eny, akkor b´armely c ∈ R eset´en az F + c f¨ uggv´eny is primit´ıv f¨ uggv´eny, hiszen (F + c)0 = F 0 + c0 = f + 0 = f. K´erd´es, hogy ´ıgy az f ¨osszes primit´ıv f¨ uggv´eny´ehez eljutunk-e. Az al´abbi p´eda mutatja, hogy ´altal´aban nem. 1 4.3. P´ elda. Legyen f (x) := (x ∈ R \ {0}). Ekkor f egy primit´ıv x f¨ uggv´enye az ha x > 0 ln (x), = ln |x| (x ∈ R \ {0}) F (x) := ln (−x), ha x < 0
4.1. A primit´ıv f¨ uggv´eny fogalma, n´eh´any alapintegr´al
41
f¨ uggv´eny, amint az deriv´al´assal k¨onnyen ellen˝orizhet˝o. Ugyancsak primit´ıv f¨ uggv´enye az f -nek az al´abbi G f¨ uggv´eny is: ha x > 0 ln (x) + 3, G(x) := (x ∈ R \ {0}). ln (−x) + 10, ha x < 0 Ez azonban m´ar nem ´ırhat´o fel ln |x| + c alakban, hiszen j´ol l´athat´oan G − F nem konstans. Ha azonban Df = I ny´ılt intervallum, akkor az f ¨osszes primit´ıv f¨ uggv´eny´et megkaphatjuk alkalmas konstans hozz´aad´as´aval. 4.4. T´ etel. Ha I ⊂ R ny´ılt intervallum, f : I → R ´es F az f egy primit´ıv f¨ uggv´enye, akkor az f ¨osszes primit´ıv f¨ uggv´enye: F + c (c ∈ R). Bizony´ıt´ as. Azt m´ar l´attuk, hogy F + c primit´ıv f¨ uggv´enye f -nek. Legyen G : I → R az f egy tetsz˝oleges primit´ıv f¨ uggv´enye, ekkor (G − F )0 (x) = G0 (x) − F 0 (x) = f (x) − f (x) = 0 (x ∈ I), teh´at a 3.19. t´etel alapj´an van olyan c ∈ R, hogy (G − F )(x) = c (x ∈ I). Azt kaptuk, hogy G(x) = F (x) + c (x ∈ I).
¤
4.5. Defin´ıci´ o. Az f f¨ uggv´eny primit´ıvR f¨ uggv´enyeinek halmaz´at az f haR t´arozatlan integr´alj´anak nevezz¨ uk, jele: f vagy f (x) dx. Megjegyezz¨ uk, hogy a gyakorlatban az egyes primit´ıv f¨ uggv´enyeket is szokt´ak hat´arozatlan integr´alnak nevezni, pl. elterjedt az ilyen fel´ır´as: Z cos x dx = sin x. Az is igen elterjedt, hogy a hat´arozatlan integr´alt nem halmaz-jel¨ol´essel ´ırjuk fel, hanem pl. ´ıgy: Z cos x dx = sin x + c. Itt hallgat´olagosan felt´etelezz¨ uk, hogy f ´es F k¨oz¨os ´ertelmez´esi tartom´anya ny´ılt intervallum. ´ Erdekes k´erd´es annak tiszt´az´asa, hogy mely f¨ uggv´enyeknek van primit´ıv f¨ uggv´enye. Ezzel kapcsolatban bizony´ıt´as n´elk¨ ul k¨ozl¨ unk egy el´egs´eges felt´etelt: a f : I → R folytonos 4.6. T´ etel. Ha I ⊂ R ny´ılt intervallum, tov´abb´ f¨ uggv´eny, akkor f -nek l´etezik primit´ıv f¨ uggv´enye. A legfontosabb alapf¨ uggv´enyek primit´ıv f¨ uggv´enyeit (az u ´n. alapintegr´alokat) a tan´or´akon ismertetj¨ uk.
42
4.2.
4. F¨ uggv´enyek integr´al´asa
Egyszer˝ u integr´ al´ asi szab´ alyok
A primit´ıv f¨ uggv´eny meghat´aroz´asa sok esetben u ´gy t¨ort´enik, hogy bizonyos szab´alyok seg´ıts´eg´evel a bonyolult f¨ uggv´enyek primit´ıv f¨ uggv´enyeinek keres´es´et egyszer˝ ubb primit´ıv f¨ uggv´eny keres´esi feladatokra (´ un. alapintegr´alokra) vezetj¨ uk vissza. Ebben a szakaszban ilyen szab´alyokr´ol lesz sz´o. A t´argyal´as sor´an – az egyszer˝ us´eg kedv´e´ert – feltessz¨ uk, hogy a szerepl˝o f¨ uggv´enyek ny´ılt intervallumon ´ertelmezett folytonos f¨ uggv´enyek. 4.7. T´ etel. [additivit´as] Legyen I ⊂ R ny´ılt intervallum, f, g : I → R folytonos f¨ uggv´enyek. Ekkor Z Z Z (f + g) = f + g. Bizony´ıt´ as. Z Z Z Z 0 0 ( f + g) = ( f ) + ( g)0 = f + g. ¤ 4.8. T´ etel. [homogenit´ as] Legyen I ⊂ R ny´ılt intervallum, f : I → R folytonos f¨ uggv´eny, λ ∈ R. Ekkor Z Z (λ · f ) = λ · f. Bizony´ıt´ as.
Z (λ ·
Z 0
f) = λ · (
f )0 = λ · f. ¤
4.9. T´ etel. [line´aris helyettes´ıt´es] Legyen I ⊂ R ny´ılt intervallum, f : I → R folytonos f¨ uggv´eny, F : I → R az f egy primit´ıv f¨ uggv´enye. Legyen tov´abb´ a a, b ∈ R, a 6= 0 ´es
J := {x ∈ R | ax + b ∈ I}.
Ekkor J ny´ılt intervallum, ´es Z F (ax + b) f (ax + b) dx = a
(x ∈ J).
4.2. Egyszer˝ u integr´al´asi szab´alyok
43
Bizony´ıt´ as. Nyilv´anval´o, hogy J ny´ılt intervallum. Az egyenl˝os´eg pedig a szok´asos m´odon, deriv´al´assal igazolhat´o: d F (ax + b) 1 = · F 0 (ax + b) · a = f (ax + b) (x ∈ J). dx a a ¤ Z 4.10. P´ elda.
e4x−2 dx =
e4x−2 . Itt I = J = R, a = 4, b = −2. 4
4.11. T´ etel. [f α · f 0 t´ıpus] Legyen I ⊂ R ny´ılt intervallum, f : I → R differenci´ alhat´ o f¨ uggv´eny, α ∈ R. Tegy¨ uk fel, hogy minden x ∈ I eset´en ´ertelmezett az (f (x))α hatv´ any. Ekkor a) α 6= −1 eset´en: Z (f (x))α+1 (f (x))α · f 0 (x) dx = α+1
(x ∈ I);
b) α = −1 eset´en pedig: Z Z 0 f (x) −1 0 (f (x)) · f (x) dx = dx = ln |f (x)| f (x)
(x ∈ I).
Megjegyezz¨ uk, hogy a b) esetben az abszol´ ut´ert´ek jele elhagyhat´o (az f (x) megfelel˝ o el˝ojelez´ese ut´an), ugyanis f el˝ ojele ´alland´o I-n. Bizony´ıt´ as. Vil´agos, hogy ´all´ıt´asaink mindk´et oldala ´ertelmezett. Az egyenl˝os´egek igazol´asa deriv´al´assal: a) α 6= −1 eset´en: µ α+1 ¶0 f 1 = · (α + 1) · f α · f 0 = f α · f 0 ; α+1 α+1 b) α = −1 eset´en pedig: (ln |f |)0 =
1 0 f0 ·f = . f f ¤
44
4. F¨ uggv´enyek integr´al´asa
4.12. P´ eld´ ak. Z sin4 x 3 1. sin x · cos x dx = . Itt I = R, f (x) = sin x, α = 3. 4 Z √ sin3/2 (x) 2p 3 2. sin x · cos x dx = = sin x. Itt I-nek v´alaszthat´o 3/2 3 b´armely olyan ny´ılt intervallum, amelyb˝ol vett x-ekre sin x pozit´ıv. Pl. legyen I := (0, π). A tov´abbi szereposzt´as: f (x) = sin x, α = 1/2. 3.
Z
Z
Z
− sin x dx = − ln | cos x|. cos x π π π Itt I ⊂ R \ { + kπ | k ∈ Z} ny´ılt intervallum, pl. I := (− , ), 2 2 2 f (x) = cos x, α = −1. tg x dx =
sin x dx = − cos x
4.13. T´ etel. [parci´ alis integr´ al´ as] Legyen I ⊂ R ny´ılt intervallum, valamint f, g : I → R folytonosan differenci´ alhat´ o f¨ uggv´enyek. Ekkor Z Z 0 (f · g) = f · g − (f · g 0 ). Bizony´ıt´ as. A szorzatf¨ uggv´eny deriv´al´asi szab´aly´at alkalmazzuk: Z Z 0 0 0 (f · g − (f · g )) = (f · g) − ( (f · g 0 ))0 = f 0 · g + f · g 0 − f · g 0 = f 0 · g. ¤
4.3.
Helyettes´ıt´ es
4.14. Defin´ıci´ o. Legyen I ⊂ R ny´ılt intervallum. Az f : I → R f¨ uggv´enyt folytonosan differenci´alhat´onak nevezz¨ uk, ha differenci´alhat´o, ´es deriv´altf¨ uggv´enye folytonos. al´ as I. alak] 4.15. T´ etel. [helyettes´ıt´eses integr´ Legyenek I, J ⊂ R ny´ılt intervallumok, f : J → R folytonos, g : I → J folytonosan differenci´ alhat´ o f¨ uggv´eny. Ekkor Z Z 0 (f ◦ g) · g = ( f ) ◦ g.
4.3. Helyettes´ıt´es
45
Bizony´ıt´ as. Az ¨osszetett f¨ uggv´eny deriv´al´asi szab´alya alapj´an Z Z 0 (( f ) ◦ g) = (( f )0 ◦ g) · g 0 = (f ◦ g) · g 0 . ¤ 4.16. Megjegyz´ es. Ha g v´altoz´oj´at x-szel jel¨olj¨ uk, akkor a helyettes´ıt´es I. alakja ´ıgy ´ırhat´o fel: Z f (g(x)) · g 0 (x) dx = F (g(x)) (x ∈ I), ahol F jel¨oli az f egy primit´ıv f¨ uggv´eny´et, azaz - f v´altoz´oj´at u-val jel¨olve: Z F (u) = f (u) du (u ∈ J). Ebb˝ol ad´ ´n form´alis” kivitelez´ese: R odik a helyettes´ıt´es gyakorlati, u ” Az f (g(x)) · g 0 (x) dx integr´alban g(x)-et u-val, g 0 (x) dx-et pedig a du = g 0 (x) k´epletb˝ol ´atszorz´assal” ad´od´o du-val helyettes´ıtj¨ uk. Az ´ıgy ” dx kapott integr´alt kisz´am´ıtjuk, majd u hely´ebe g(x)-et ´ırva, visszet´er¨ unk az eredeti v´altoz´ora. Amennyiben a g f¨ uggv´eny bijekci´o (igazolhat´o, hogy ekkor – a folytonoss´aga miatt – szigor´ uan monoton is), a helyettes´ıt´es szab´alya m´as alakban is haszn´alhat´o: 4.17. T´ etel. [helyettes´ıt´eses integr´ al´ as II. alak] Legyenek I, J ⊂ R ny´ılt intervallumok, f : I → R folytonos f¨ uggv´eny, g : J → I pedig egy folytonosan differenci´ alhat´ o injekt´ıv f¨ uggv´eny, melynek ´ert´ekk´eszlete az I intervallum. Ekkor ¶ µZ Z 0 (f ◦ g) · g ◦ g −1 . f= Bizony´ıt´ as. A helyettes´ıt´eses integr´al I. alakj´aban cser´elj¨ uk fel I ´es J szerep´et, majd ´ırjuk fel a formul´at (melynek mindk´et oldala most egy J-n ´ertelmezett f¨ uggv´eny): Z Z 0 (f ◦ g) · g = ( f ) ◦ g. Ezut´an vegy¨ uk mindk´et oldal kompoz´ıci´oj´at a g −1 : I → J f¨ uggv´ennyel: µZ ¶ Z Z (f ◦ g) · g 0 ◦ g −1 = ( f ) ◦ g ◦ g −1 = f, ami teh´at I-n ´ertelmezett f¨ uggv´enyek egyenl˝os´eg´et jelenti. A k´et oldal felcser´el´es´evel kapjuk a bizony´ıtand´o ´all´ıt´ast. ¤
46
4. F¨ uggv´enyek integr´al´asa
4.18. Megjegyz´ esek. 1. Ha f v´altoz´oj´at x-szel, g v´altoz´oj´at pedig t-vel jel¨olj¨ uk, akkor a helyettes´ıt´es II. alakja ´ıgy ´ırhat´o fel: Z Z f (x) dx = f (g(t)) · g 0 (t) dt |t=g−1 (x) (x ∈ I). Ebb˝ol ad´odik a II. alak´ u helyettes´ıt´es gyakorlati, u ´n form´alis” kivite” R dx lez´ese: az f (x) dx integr´alban x-et g(t)-vel, dx-et pedig a = g 0 (t) dt k´epletb˝ol ´atszorz´assal” ad´od´o g 0 (t) dt-vel helyettes´ıtj¨ uk. Az ´ıgy ka” pott u ´j integr´alt kisz´am´ıtjuk, majd t hely´ebe g −1 (x)-et ´ırva, visszat´er¨ unk az eredeti v´altoz´ora. 2. A helyettes´ıt´es II. alakj´aban a g f¨ uggv´eny (s persze vele egy¨ utt a J intervallum) a megadott felt´etelek mellett tetsz˝olegesen v´alaszthat´o. Ez nagy szabads´agot ad az integr´al ´atalak´ıt´as´ara, ami egyr´eszt j´o, m´asr´eszt vesz´elyes, mert nem mindig kapunk egyszer˝ uen kisz´am´ıthat´o integr´alt. Ez´ert vannak az egyes feladatt´ıpusokhoz u ´n. javasolt” he” lyettes´ıt´esek. ulnek, akkor a helyettes´ıt´es 3. Ha a II. alakr´ol sz´ol´o t´etel felt´etelei teljes¨ ´ mindk´et alakja haszn´alhat´o. Altal´ aban azt az alakot szoktuk haszn´alni, amelyiket k¨onnyebben felismerj¨ uk az adott feladatban.
4.4.
A Riemann-integr´ al fogalma
Eml´ekeztet¨ unk a korl´atos z´art intervallum fogalm´ara: 4.19. Defin´ıci´ o. Legyen a, b ∈ R, a < b. Az [a, b] := {x ∈ R | a ≤ x ≤ b} ⊂ R halmazt korl´atos z´art intervallumnak (r¨oviden: z´art intervallumnak) nevezz¨ uk. 4.20. Defin´ıci´ o. Legyen I := [a, b] ⊂ R egy korl´atos z´art intervallum ´es n ∈ N. Osszuk fel az I intervallumot n darab r´eszintervallumra, azaz adjuk meg az xi oszt´opontokat u ´gy, hogy a = x0 < x 1 < . . . < x n = b teljes¨ ulj¨on. Az I intervallum ezen oszt´opontok ´altal meghat´arozott feloszt´as´an ´ertj¨ uk a τ := {x0 , . . . , xn } = {xi | i = 1, . . . , n} oszt´opont-halmazt. Az I feloszt´asainak halmaz´at jel¨olje F(I).
4.4. A Riemann-integr´al fogalma
47
4.21. Defin´ıci´ o. Legyen τ = {x0 , . . . , xn } ∈ F (I). A ||τ || := max{xi − xi−1 | i = 1, . . . , n} sz´amot τ feloszt´as finoms´ag´anak nevezz¨ uk. 4.22. Megjegyz´ es. Nyilv´anval´o, hogy minden δ > 0 sz´amhoz l´etezik olyan τ ∈ F(I) feloszt´as, amely δ-n´al finomabb”, azaz amelyre ||τ || < δ. ” 4.23. Defin´ıci´ o. Legyen f ∈ R → R, I ⊂ Df ´es τ = {x0 , . . . , xn } ∈ F (I). Vegy¨ unk mindegyik [xi−1 , xi ] r´eszintervallumb´ol egy-egy ξi elemet, azaz legyen ξi ∈ [xi−1 , xi ] i = 1, . . . , n. Az R(f, τ, {ξi }) :=
n X
f (ξi ) · (xi − xi−1 )
i=1
¨osszeget (a megadott τ feloszt´ashoz ´es ξi pontokhoz tartoz´o) Riemann¨osszegnek nevezz¨ uk. A Riemann-¨osszeg geometriai jelent´ese: az f grafikonja alatti ter¨ ulet k¨ozel´ıt´ese t´eglalapok ter¨ ulet´enek ¨osszeg´evel. 4.24. Defin´ıci´ o. (Az integr´ al Riemann-f´ ele ´ ertelmez´ ese) Azt mondjuk, hogy f integr´alhat´o az I = [a, b] intervallumin, ha van olyan A ∈ R sz´am, hogy ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∀ τ ∈ F(I), ||τ || < δ ∀ ξi ∈ [xi−1 , xi ] :
|R(f, τ, {ξi })−A| < ε.
Igazolhat´o, hogy az A sz´am egy´ertelm˝ u. Ezt az A sz´amot az f Riemannintegr´alj´anak, vagy r¨oviden integr´alj´anak nevezz¨ uk. Haszn´aljuk m´eg a hat´arozott integr´al” elnevez´est is. ” A Riemann-f´ele ´ertelmez´esben szerepl˝o k¨ovetelm´enyt r¨oviden ´ıgy szok´as fel´ırni: ∃A ∈ R : lim R(f, τ, {ξK }) = A. ||τ ||→0
A tov´abbiakban az I = [a, b]-n integr´alhat´o f¨ uggv´enyek halmaz´at R[a, b]-vel ill. R(I)-vel jel¨olj¨ uk. Egy f ∈ R[a, b] f¨ uggv´eny integr´alj´anak jel¨ol´es´ere pedig az al´abbi jel¨ol´eseket haszn´aljuk: Zb
Zb f,
a
f (x) dx. a
48
4. F¨ uggv´enyek integr´al´asa
4.25. P´ elda. Legyen f (x) := c (x ∈ [a, b]), ahol c ∈ R r¨ogz´ıtett konstans. Ekkor tetsz˝oleges τ feloszt´as ´es {ξi } pontrendszer eset´en R(f, τ, {ξi }) =
n X
f (ξi ) · (xi − xi−1 ) =
n X
i=1
c · (xi − xi−1 ) =
i=1
n X =c· (xi − xi−1 ) = c · (b − a), i=1
amib˝ol azonnal ad´odik, hogy Zb f ∈ R([a, b]),
´es
c dx = c · (b − a). a
Igazolhat´o, hogy ha f (x) ≥ 0, akkor az integr´al megadja az f f¨ uggv´eny grafikonja ´es az x-tengely k¨ozti s´ıkbeli tartom´any, azaz a T := {(x, y) ∈ R2 | a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f (x)} ⊂ R2 halmaz ter¨ ulet´et. Bebizony´ıthat´o az al´abbi t´etel: 4.26. T´ etel. 1. Ha f integr´ alhat´ o [a, b]-n, akkor korl´atos [a, b]-n. 2. Ha egy integr´ alhat´ o f¨ uggv´enyt v´eges sz´am´ u helyen megv´ altoztatunk, akkor az ´ıgy kapott f¨ uggv´eny is integr´ alhat´ o [a, b]-n, s integr´ alja megegyezik az eredeti f¨ uggv´eny´evel. 3. Ha f folytonos [a, b]-n, akkor integr´ alhat´ o [a, b]-n.
4.5.
Newton-Leibniz-formula
A Riemann-integr´al kisz´am´ıt´as´ara gyakran haszn´aljuk a Newton-Leibniz formul´at: 4.27. T´ etel. [Newton-Leibniz formula] Legyen f ∈ R[a, b], ´es tegy¨ uk fel, hogy l´etezik olyan F : [a, b] → R folytonos f¨ uggv´eny, melyre F 0 (x) = f (x) (x ∈ (a, b)). Ekkor
Zb f = F (b) − F (a). a
4.5. Newton-Leibniz-formula
49
Bizony´ıt´ as. Legyen τ = {a = x0 < x1 < . . . < xn = b} ∈ F ([a, b]). Ekkor a Lagrange k¨oz´ep´ert´ekt´etel alkalmaz´as´aval azt kapjuk, hogy l´eteznek olyan ξi ∈ (xi−1 , xi ) k¨ozb¨ uls˝o pontok, melyre F (xi ) − F (xi−1 ) = F 0 (ξi ) · (xi − xi−1 ) (i = 1, . . . , n). Ezt felhaszn´alva: n n X X F (b) − F (a) = (F (xi ) − F (xi−1 )) = F 0 (ξi ) · (xi − xi−1 ) = i=1
=
n X
i=1
f (ξi ) · (xi − xi−1 ) = R(f, τ, {ξi }).
i=1
Jel¨olje A az f integr´alj´at, ´es legyen ε > 0 tetsz˝olegesen r¨ogz´ıtve. Ehhez l´etezik az integr´al defin´ıci´oj´aban szerepl˝o δ > 0. Vegy¨ unk egy δ-n´al finomabb τ feloszt´ast, ´es vegy¨ uk az ehhez tartoz´o, az im´enti levezet´esben meghat´arozott {ξi } pontokat. Ekkor az integr´al defin´ıci´oja alapj´an: |R(f, τ, {ξi }) − A| < ε. Ez viszont – mivel eset¨ unkben R(f, τ, {ξi }) = F (b)−F (a) – azt jelenti, hogy |F (b) − F (a) − A| < ε. Mivel ez minden ε > 0 eset´en elmondhat´o, ez´ert az egyenl˝otlens´eg bal oldala csak 0 lehet, ami azt jelenti, hogy F (b) − F (a) = A. ¤ 4.28. Megjegyz´ es. A t´etelt leggyakrabban abban az esetben alkalmazzuk, amikor [a, b] ⊂ I, ahol I ny´ılt intervallum, ´es f : I → R folytonos f¨ uggv´eny. Nyilv´anval´o, hogy ebben az esetben teljes¨ ulnek a Newton-Leibniz formula felt´etelei. A folytonos f¨ uggv´enyek integr´alj´anak kisz´am´ıthat´os´aga teh´at azon m´ ulik, hogy meg tudjuk-e hat´arozni egy primit´ıv f¨ uggv´eny¨ uket.
50
4. F¨ uggv´enyek integr´al´asa
4.6.
A Riemann-integr´ al tulajdons´ agai
Ebben a szakaszban ¨osszefoglaljuk a Riemann-integr´al n´eh´any fontos tulajdons´ag´at. 4.29. T´ etel. 1. (additivit´ as) Ha f, g ∈ R[a, b], akkor f + g ∈ R[a, b], ´es Zb
Zb
Zb
(f + g) = a
f+ a
g. a
2. (homogenit´ as) Ha f ∈ R[a, b] ´es c ∈ R, akkor c · f ∈ R[a, b], ´es Zb
Zb c·f =c·
a
f. a
3. (intervallum szerinti additivit´as) Legyen f : [a, b] → R egy f¨ uggv´eny, ´es τ = {a = x0 < x1 < . . . < xn = b} az [a, b] intervallum egy feloszt´ asa. Ekkor f ∈ R[a, b] ⇔ ∀ i ∈ {1, . . . , n} : ´es ez esetben
Zb f=
n Zxi X
f ∈ R[xi−1 , xi ],
f.
i=1 x
a
i−1
as) Legyen f, g ∈ R[a, b], f (x) ≤ g(x) (x ∈ [a, b]). Ekkor 4. (monotonit´ Zb
Zb f≤
a
g a
A k¨ovetkez˝o k´et t´etelben a f¨ uggv´enyek ill. deriv´altjuk folytonoss´ag´at is feltessz¨ uk, ´ıgy az integr´alhat´os´agot nem kell igazolni. A bizony´ıt´as pedig egyszer˝ uen ad´odik a primit´ıv f¨ uggv´enyre kimondott hasonl´o t´etelb˝ol ´es a Newton-Leibniz formul´ab´ol. alis integr´ al´ as] 4.30. T´ etel. [parci´ Legyen I ⊂ R ny´ılt intervallum, f : I → R, g : I → R folytonosan differenci´ alhat´ o f¨ uggv´enyek. Ekkor tetsz˝oleges [a, b] ⊂ I korl´atos z´art intervallum eset´en Zb Zb b 0 (f · g ) = [f · g]a − f 0 · g. a
a
4.7. Feladatok
51
4.31. T´ etel. [helyettes´ıt´es I. alak] Legyenek I, J ⊂ R ny´ılt intervallumok, g : J → I folytonosan differenci´ alhat´ o, f : I → R pedig folytonos f¨ uggv´eny. Ekkor tetsz˝oleges [α, β] ⊂ J korl´atos z´art intervallum eset´en Zβ
g(β) Z (f ◦ g) · g = f. 0
α
g(α)
Itt egyenl˝ os´eg jobb oldala u ´gy ´ertend˝ o, hogy g(β) Z g(α) = g(β) eset´en f := 0, g(α) g(β) g(α) Z Z g(α) > g(β) eset´en pedig f := − f. g(α)
g(β)
4.32. T´ etel. [helyettes´ıt´es II. alak] Az el˝oz˝ o t´etel felt´etelein k´ıv¨ ul tegy¨ uk m´eg fel, hogy g szigor´ uan monoton is. Ekkor b´armely [a, b] ⊂ Rg ⊂ I eset´en g −1 Z (β)
Zb
(f ◦ g) · g 0 .
f= a
g −1 (α)
Itt egyenl˝ os´eg jobb oldala – az el˝oz˝ o t´etelhez hasonl´oan – u ´gy ´ertend˝ o, hogy g −1 Z (β)
g −1 (α) > g −1 (β) eset´en
g −1 Z (α)
(f ◦ g) · g 0 := − g −1 (α)
4.7.
g −1 (β)
Feladatok
1. Sz´am´ıtsuk ki az al´abbi integr´alokat: Z Z √ 4 5 a) (5x − 4) dx b) 7x − 16 dx Z d)
(f ◦ g) · g 0 .
Z sin(6x + 4) dx
e)
5 cos2 (−6x
+ 4)
Z c) dx
1 dx −3x + 4 Z f) 52−3x dx
52
4. F¨ uggv´enyek integr´al´asa 2. Sz´am´ıtsuk ki az al´abbi integr´alokat: Z Z Z 2x − 5 ln5 x 1 p dx b) dx a) dx c) 3 2 7 x x ln x (x − 5x + 13) Z Z Z 7x2 1 e3x √ d) dx e) dx dx f ) (1 + x2 )arc tg x e3x + 5 5 − 4x3 3. Sz´am´ıtsuk ki az al´abbi integr´alokat: Z Z ln x √ dx a) b) (x2 − 3x + 5) · ex dx x Z Z 2x d) e · cos 5x dx e) sin4 x dx
4. Sz´am´ıtsuk ki az al´abbi integr´alokat: Z tg x Z e ex √ a) dx dx b) cos2 x 1 − e2x Z Z e3x 1 √ d) dx e) dx x e −1 x 36 − x2
Z c)
arcsin x dx Z sin5 x dx
f)
Z
1 dx x + x ln2 x Z √ 9 − 4x2 dx x
c) f)
5. Sz´am´ıtsuk ki az al´abbi integr´alokat: Ze
Z5 x2 · ln x dx
a)
(x2 + 1) · e2x dx
b)
1
Zπ/4 x · cos x dx
c)
−2
Z3 2
d)
ln x dx
e)
0
Zπ/2 e2x · cos 3x dx
1
Zπ x2 · sin x dx
f)
0
0
6. Sz´am´ıtsuk ki az al´abbi integr´alokat: Z4 a)
Z3 ln(5x − 2) dx
1
2
b)
x ·
√ 3
Z4 1 + x3 dx
c)
d) 0,6
1 √ dx x · 1 − x2
x √ dx 1+2 x
0
1
Z0,8
√
Z2 e) 0
ex − 1 dx ex + 1
f)
Zπ/4 sin3 x dx 0
4.7. Feladatok
53
7. Adjuk meg halmazk´ent ´es rajzoljuk meg v´azlatosan az al´abbi f¨ uggv´enyg¨orb´ek alatti tartom´anyokat a megadott intervallumokon. Sz´am´ıtsuk ki e tartom´anyok ter¨ ulet´et. √ a) y = x, [0, 1] b) y = x3 − 3, [3, 4] x c) y = cos , 2 e) y = √
[0, π]
1 , 1 − 2x
[0,
d) 1 ] 3
1 , 2x + 4
f) y =
[0, 3]
1 , 1 + x2
[0, 1]
8. K´esz´ıts¨ unk v´azlatot, ´es adjuk meg halmazk´ent az al´abbi g¨orb´ek ´altal hat´arolt s´ıktartom´anyokat, majd sz´am´ıtsuk ki e tartom´anyok ter¨ ulet´et. a) y = 4 − x2 ´es y = 0 c) y = sin x ´es y =
2 ·x π
e) y = x2 + 2x ´es y = 4 − x2
b) y =
1 ´es y = 2, 5 − x x
d) x1/2 + y 1/2 = 1 ´es x + y = 1 f ) y = x4 ´es y = 3x2 − 2
9. Hat´arozzuk meg √ annak a tartom´anynak a ter¨ ulet´et, amelyet az y tengely, az y = x g¨orbe, valamint ennek az x0 = 4 abszcissz´aj´ u pontj´ahoz h´ uzott ´erint˝oje hat´arol. 10. Hat´arozzuk meg az y = x(1 − x) parabola, tov´abb´a az x1 = 0 ´es az x2 = 2 abszcissz´aj´ u pontjaiban h´ uzott ´erint˝oi ´altal hat´arolt tartom´any ter¨ ulet´et.
