ANALITIKUS MÓDSZER RÉSZLEGESEN KAPCSOLT, RÉTEGEZETT KOMPOZIT RUDAK SZILÁRDSÁGTANI FELADATAINAK MEGOLDÁSÁRA

Multidiszciplináris tudományok, 2. kötet. (2012) 1 sz. pp. 89-102.

 

ANALITIKUS MÓDSZER RÉSZLEGESEN KAPCSOLT, RÉTEGEZETT KOMPOZIT RUDAK SZILÁRDSÁGTANI FELADATAINAK MEGOLDÁSÁRA Lengyel Ákos József1, Ecsedi István2 1

doktorandusz, 2egyetemi tanár Miskolci Egyetem, Mechanikai Tanszék, Cím: 3515 Miskolc-Egyetemváros e-mail: [email protected], [email protected]

Összefoglalás A tanulmány kétrétegű rugalmas anyagú kompozit rudak statikai feladatainak megoldására egy analitikus módszert ismertet. A rúdkomponensek kapcsolata normál irányban tökéletes, de axiális irányú elmozdulásában lehetséges szakadás. A nem tökéletesen kapcsolódó réteg által átvitt axiális irányú erő arányos a rétegek relatív elcsúszásával. A feladat megoldásánál döntő szerepe van az úgynevezett alapmegoldásoknak. Az alapmegoldások szuperpozíciójával nyerjük az adott terhelési és kerületi feltételeknek megfelelő megoldást. A kidolgozott eljárás alkalmazását három numerikus példa szemlélteti. Kulcsszavak: rugalmas, rétegezett kompozit rúd, részlegesen kapcsolt Abstract This paper presents an analytical method to solve the static boundary value problem of two-layer composite beams. The connection between the beam components in normal direction is perfect, but the axial displacements may have jump. The axial force takes over with the imperfect connection is proportional to the relative slip bringing up between the layers. The determination of the solution of static problem is based on the fundamental solutions. A linear combination of the fundamental solutions, which are fitted to the given loading and boundary conditions, gives the solution of the considered problem. Three examples illustrate the applications of the presented analytical method. Keywords: elastic, two-layer beam, interlayer slip, analytical solution

1. Bevezetés Kompozit rudakból felépített szerkezeteket az ipar számos területén használnak, emiatt azok mechanikai (statikai és dinamikai) vizsgálata igen fontos mérnöki feladat. A rúdelemek egymáshoz történő kapcsolására különböző kapcsoló elemeket használnak, mint például csapokat, csavarokat, szegecseket. Sok esetben a kapcsoló elemek az összekapcsolt egységek relatív elcsúszását megengedik. Rugalmas kapcsolatot feltételezve a kapcsolat által átvitt nyíróerő arányos a rétegek relatív elcsúszásával. Ilyen lineárisan rugalmas részleges kapcsolatú kompozit rudak vizsgálatával számos tanulmány foglalkozik [1-8]. Legelső tanulmány e témában Newmark és munkatársai tanulmánya [5], amely egy, az Euler-Bernoulli rúdelméletre épített megoldást ismertet. Murakami e problémát a Timoshenko rúdelmélet felhasználásával vizsgálta [4]. Girhammar és Gupu [3,7]

Lengyel Ákos József, Ecsedi István

  megfogalmazta a lehajlás függvényre vonatkozó peremérték feladatot és megadta a levezetett hatodrendű differenciálegyenlet általános megoldását. Az egyes teher tagokhoz tartozó partikuláris megoldások számítása, zárt alakban történő megadása azonban igen körülményes. Ecsedi és Baksa [8] egy olyan analitikus megoldást ismertet, amely a szlip és lehajlás függvényeket tekinti alapváltozónak. Ayoub [1], Dall’ Astra és Zona [2], valamint Thompson és munkatársai [6] a nem tökéletes kapcsolatú rétegezett kompozit rudak statikai peremérték feladatainak megoldására a végeselem módszert használták. E tanulmány egy új analitikus megoldást alkalmaz, amely a különböző kezdeti feltételekhez és terhelési előírásokhoz rendelt alapmegoldások lineáris kombinációjaként állítja elő a vizsgált statikai feladat megoldását, vagyis megadja a  v  v( z ) lehajlás függvényt, 

   ( z ) szögelfordulás függvényt,



s  s ( z ) szlip függvényt,



M  M ( z ) hajlítónyomaték függvényt,



V  V ( z ) keresztmetszetet terhelő nyíróerő függvényt,



N1  N1 ( z ) axiális erőt, mely az 1 jelű rúdkomponens A1 keresztmetszetét terheli.

2. Alapvető összefüggések A kétrétegű rugalmas anyagú kompozit rúd terhelését és keresztmetszetét az 1. ábra szemlélteti. Az yz sík a rúd szimmetriasíkja, és egyben a terhelések valamint az alkalmazott megtámasztási kényszerek közös síkja is. A rúd keresztmetszet A  A1  A2 Ai (i  1, 2) résztartományát E i (i  1, 2) rugalmassági modulusú izotróp, homogén, lineárisan rugalmas anyag tölti ki. Az A1 és A2 keresztmetszeti tartományok közös határgörbéjét A12 jelöli, továbbá az A1 és A2 keresztmetszetekkel rendelkező B1 és B2 rúdkomponensek közös határa a B12  A12  (0, L) hengerfelület (1. ábra). Feltevés szerint normál irányban a kapcsolat B1 és B2 között tökéletes, szakadás csak az axiális irányú elmozdulásban lehetséges a B12 felületen történő áthaladáskor a B1 rúdkomponensről a B2 rúdkomponensre. Az Oxyz koordinátarendszer O origója a z  0 koordinátával kijelölt keresztmetszet „E-vel súlyozott súlypontjával” esik egybe [8], továbbá az A1 és A2 keresztmetszeti tartományok súlypontjait C1 és C2 jelöli (1. ábra). Ismeretes [8], hogy  A E  AE c1  CC1  2 2 c, c2  CC2  1 1 c, AE AE

(1)

AE  A1 E1  A2 E2 , c  c1  c2 .

(2)

Összhangban az Euler-Bernoulli rúdelmélettel és a mechanikai feladat szimmetria tulajdonságaival az elmozdulás mező feltett alakja

u( x, y, z )  u ( x, y, z )e x  v( x, y, z )e y  w( x, y, z )e z , 90

(3)

Részlegesen kapcsolt kompozit rudak vizsgálata

  F1

y

y

A10

f(z) C1

A12 C1

B1

A1

C

C 0 

z

C2

C2

B2

CC1  c1  

A2

x

A20  

CC2  c2  

1. ábra. Kétrétegű, részlegesen kapcsolt kompozit rúd keresztirányú terheléssel u  0, v  v( z ), w( x, y, z )  wi ( z )  y

dv , ( x, y, z )  Bi dz

(i  1, 2).

(4)

A rugalmasságtan geometriai egyenleteinek és a Hooke-törvénynek az alkalmazásával feltéve, hogy a Poisson-szám   0 azt kapjuk, hogy  dwi d2v   y 2  , ( x, y, z )  Bi , (i  1, 2). dz   dz

 z  Ei 

(5)

A vizsgálat olyan esetre korlátozódik [3,4,5,7,8], amikor is a teljes rúdkeresztmetszetet terhelő normál erő N  0, vagyis N  N1  N 2    z dA    z dA  0. A1

(6)

A2

A rétegek relatív elcsúszása s (interlayer slip), a tengelyirányú elmozdulások különbsége a B12 felület mentén számolva [8]: s ( x, y, z )  w1 ( z )  w2 ( z ), ( x, y, z )  B12 .

(7)

A nem tökéletesen kapcsolódó rétegek által átvitt tengelyirányú T nyíróerő T  ks,

T  

erő , hossz

k  

erő , (hossz) 2

(8)

91

 

Lengyel Ákos József, Ecsedi István

  ahol k a kapcsolat nyírási merevsége [3-8]. Tökéletes (merev) kapcsolat esetén k   ( s  0), „szabad” kapcsolat esetén k  0 (T  0). A statikai peremérték feladathoz tartozó egyenletek az alábbi alakba írhatók [3,7,8]: dN1 dV dM  f  0,  V  0,  T  0, dz dz dz dv d2v ds    , M    IE 2  c AE 1 , dz dz dz N1  AE

1

(9) (10)

 ds d2v    c1 2  , dz   dz

(11)

d 2s c  2 s  V  0. IE dz 2

(12)

A fenti egyenletekben az alábbi jelöléseket alkalmaztuk 1 AE

 1

1 1  , A1 E1 A2 E2

IE   E1 y 2 dA   E2 y 2 dA, A1

A2

2 

IE   IE  c 2 AE

k  IE AE

1

IE

(13) 1

,

,

(14) (15)

továbbá a megoszló terhelés intenzitását f  f ( z )-vel jelöltük.

3. Alapmegoldások Az alapmegoldások első osztálya a (9-12) egyenletek különleges kezdeti feltételeket kielégítő megoldásai, azaz a v  v( z ),    ( z ), s  s ( z ), M  M ( z ), V  V ( z ) és N1  N1 ( z ) függvényekhez egy kivételével zérus kezdeti feltételeket rendelünk. Ilyen típusú alapmegoldás hat van, amelyek az alábbi alakban adhatók meg: 1. v1  v1 ( z )  1  állandó,  1 ( z )  s1 ( z )  M 1 ( z )  V1 ( z )  N11 ( z )  0 (0  z  ). 2. v2 ( z )   z ,  2 ( z )  1  állandó, s2 ( z )  M 2 ( z )  V2 ( z )  N12 ( z )  0 (0  z  ).

92

(16) (17)

Részlegesen kapcsolt kompozit rudak vizsgálata

  AE

 1  sinh z  z ,  IE     

3. v3 ( z )  c

 3 ( z )  c

AE

 cosh z  1 ,

1

IE

s3 ( z )  cosh z , k sinh z , (0  z  ).   c 2 AE 1 z2  cosh z  1  4. v4 ( z )    , 2  2  IE   IE  IE  N13 ( z ) 

c 2 AE

1

IE  IE 

sinh z 

z , IE

c sinh z , IE 

s4 ( z )  

M 4 ( z )  1  állandó, V4 ( z )  0, N14 ( z ) 

c AE

IE

1

(19) (20) (21)

M 3 ( z )  V3 ( z )  0,

 4 ( z) 

(18)

(1  cosh z ), (0  z  ).

 1  c AE  2 z3  1 , 5. v5 ( z )       z  sinh z   6  IE   k    IE   

(22) (23) (24) (25) (26) (27) (28)

2

1  c AE 1  z2 ,  5 ( z )    1  cosh z   k   IE  3 IE c AE

(29)

1  cosh z  ,

(30)

M 5 ( z )  z , V5 ( z )  1  állandó,

(31)

s5 ( z )  

N15 ( z ) 

6. v6 ( z ) 

kc  z  sinh z  , (0  z  ). 3 IE

c AE

1

k  IE

 6 ( z)   s6 ( z ) 

1

k  IE

c AE

(32)

 cosh z  1 ,

(33)

sinh z ,

(34)

1

k  IE

 sinh z , k

(35)

93

 

Lengyel Ákos József, Ecsedi István

  M 6 ( z )  V6 ( z )  0,

(36) (37)

N16 (0)  1, N16 ( z )  cosh z , (0  z  ).

Még egy terhelési előíráshoz tartozó alapmegoldás képletét adjuk meg, amely az alapmegoldások második osztályába tartozik, és a v(0)   (0)  s (0)  M (0)  V (0)   N1 (0)  0 homogén kezdeti feltételeknek is eleget tesz. Az egyenletesen megoszló teher intenzitása f 0 egységnyi (2. ábra). A (9-12) egyenletek felhasználása az alábbi eredményt adja: 2

z4 1  c AE 1   1 2    v f ( z)   1   z   cosh z  , 24  IE k    IE   2 

(38)

2

z3 1  c AE 1   f     sinh z  z  , 6  IE k    IE  s f ( z) 

c AE

sinh z  1  z  ,   k  IE 

(39) (40)

z2 , V f ( z )   z, 2 2  z   ck   cosh z  N1 f ( z )  4  1 , (0  z  ).   IE  2  M f ( z)  

(41) (42)

y

f0  1

z 2. ábra. Egyenletesen megoszló terhelés

A felírt alapfüggvények az alábbi tulajdonságokkal rendelkeznek: v1 (0)  1,  2 (0)  1, s3 (0)  1, M 4 (0)  1, V5 (0)  1, N16 (0)  1,

94

 1 (0)  s1 (0)  M 1 (0)  V1 (0)  N11 (0)  0, v2 (0)  s2 (0)  M 2 (0)  V2 (0)  N12 (0)  0, v3 (0)   3 (0)  M 3 (0)  V3 (0)  N13 (0)  0, v4 (0)   4 (0)  s4 (0)  V4 (0)  N14 (0)  0, v5 (0)   5 (0)  s5 (0)  M 5 (0)  N15 (0)  0, v6 (0)   6 (0)  s6 (0)  M 6 (0)  V6 (0)  0,

(43) (44) (45) (46) (47) (48)

Részlegesen kapcsolt kompozit rudak vizsgálata

  A z  a, (a  0, a  L) helyen működő koncentrált erőhöz és erőpárhoz tartozó második osztályba sorolt megoldásfüggvényeket a már felírt első osztályhoz tartozó megoldásfüggvényekből – amelyek a 4-5. esetekre vonatkoznak – a Heaviside féle függvény alkalmazásával állítjuk elő. Így például a 3. ábrán szemléltetett esetben az F1 koncentrált erőhöz valamint az M 2 koncentrált nyomatékhoz tartozó lehajlás és szlip függvényeket az alábbi képletek adják meg: v( z )  F1 H  z  a1  v5  z  a1   M 1 H  z  a2  v4  z  a2  , (0  z  ),

(49)

s ( z )  F1 H  z  a1  s5  z  a1   M 1 H  z  a2  s4  z  a2  ,

(50)

0, 0  z  a, H  z  a   1, a  z  .

(51)

ahol

y F1 P1

M2 P2 z

a1 a2 3. ábra. Koncentrált erővel és erőpárral terhelt kompozit rúd

4. Példák A példákban szereplő kompozit rudak keresztmetszetét a 4. ábra szemlélteti. A 4. ábra alapján írhatjuk, hogy jelen esetben  E h h  h  c1  CC1  2 2 1 2 , 2  E1h1  E2 h2 

(52)

 E h h  h  c2  CC2  1 1 1 2 , 2  E1h1  E2 h2 

(53)

h1  h2 , 2 AE   E1h1  E2 h2  b,

c  c1  c2  A1  h1b, A2  h2 b,

(54) (55)

95

 

Lengyel Ákos József, Ecsedi István

  AE

1

E1h1 E2 h2 , E1h1  E2 h2



(56)

 E1h13  E2 h23   E1h1c12  E2 h2 c22  b, 12  

IE  

IE

E h 

3 1 1

 E2 h23  b 12

(57)

(58)

.

y A1 E1

C1

h1

C h2

C2 A2

x E2 b

4. ábra. A kompozit rúd keresztmetszete

A feladat megoldása során a példákban az alábbi adatokat használjuk: E1  2 1011 Pa, E2  1010 Pa, h1  0, 02 m, h2  0, 04 m, b  0, 03 m. 1. Példa. Koncentrált erővel terhelt csuklós és görgős alátámasztású kompozit rúd (5. ábra). A feladat megoldását a kezdeti feltételekhez és a koncentrált F1 erőhöz tartozó alapmegoldások szuperpozíciójaként nyerjük. Az ismeretlen kezdeti értékeket  (0)-t és s (0)-t a z  2a koordinátával kijelölt szélső keresztmetszetre vonatkozó v(2a )  0, N1 (2a )  0

(59)

kerületi feltételek alapján nyerjük. Az (59) egyenletből az következik, hogy

 (0) 

2 F1  a 2 c AE 1 1  cosh a    , 2  IE  2 IE  2 cosh a 

s (0)  F1

96

c 1  cosh a . 2 2 IE  cosh a

(60) (61)

Részlegesen kapcsolt kompozit rudak vizsgálata

  y

F1

z F1 2

a

F1 2

a

5. ábra. Koncentrált erővel terhelt csuklós és görgős alátámasztású kompozit rúd

A többi kezdeti érték ismert, hiszen v(0)  N1 (0)  M (0)  0, V (0)  

F1 . 2

(62)

Jelen feladat megoldása a következő alakban adható meg: X ( z )   (0) X 2 ( z )  s (0) X 3 ( z )  V (0) X 5 ( z )  F1 H ( z  a ) X 5 ( z  a ),

(63)

X  v, , s, M , V , N1 .

(64)

ahol

A 6-7. ábrák szemléltetik a v  v( z ) lehajlás és az s  s ( z ) szlip függvény görbéit a k kapcsolati merevség néhány jellemző értékére. 0

0,5

1

1,5

2

z m

0,5 105 1 105

1,5 105 k   N/m 2

2 105

2,5 10

k  103 N/m 2

5

v( z ) F1

m N  

k  106 N/m 2

6. ábra. Kéttámaszú kompozit tartó lehajlás függvényei

97

 

Lengyel Ákos József, Ecsedi István

  s( z )  m  F1  N 

1 106

5 107

0 5 10

0,5

1,5

1

7

1 10

2

z m

k  103 N/m 2 k  106 N/m 2

6

7. ábra. Kéttámaszú kompozit tartó szlip függvényei 2. Példa. E példa statikailag határozatlan megtámasztású tartóra vonatkozik. A tartó középső keresztmetszetét M 1 koncentrált nyomaték terheli (8. ábra). A 8. ábra alapján írhatjuk, hogy v(0)   (0)  s (0)  0.

(65)

y M1

M0 a

F0

z

a

8. ábra. Koncentrált nyomatékkal terhelt, szélső keresztmetszeteinél befalazott tartó.

Ismeretlen kezdeti értékek M (0)  M 0 , V (0)   F0 , N1 (0)  N10 .

(66)

Az ismeretlen kezdeti értékeket a z  2a helyre vonatkozó geometriai peremfeltételek alapján számítjuk v(2a )  0,  (2a )  0,

Az elvégzett számítások alapján írhatjuk, hogy

98

s (2a )  0.

(67)

Részlegesen kapcsolt kompozit rudak vizsgálata

  0, 25M 1

F0 

(68)

,  1 c AE  tanh a  a   1  a  3  3   IE a         0, 25   M 0  M 1  0,5  , 2    tanh c AE a a   1 1     3   3  IE a          c AE 1  0, 25 N10 (0)  M 1   2 0,5  tanh a  a  IE c AE    1   1    3   3 IE  a       0, 25c 2 AE 1   2  1 c AE  tanh a  a    1  IE a    3  3   IE a         0, 25c AE 1 tanh a  .  1 c 2 AE  tanh a  a    1  IE  a     3  3  IE  a     1,5 108

2

v( z )  m  M 1  Nm 

(69)

(70)

k  103 N/m 2 k  106 N/m 2

1 108 5 109

0

0,5

1

1,5

5 109

2

z m

1 108

1,5 108

9. ábra. A lehajlás függvények ábrái

99

 

Lengyel Ákos József, Ecsedi István

  Az elemzett példa megoldását az X ( z )  M 0 X 4 ( z )  F0 X 6 ( z )  N10 (0) X 6 ( z )  M 1 H ( z  a ) X 4 ( z  a )

(71)

képlet adja meg. A 9-10. ábrák szemléltetik a v  v( z ) lehajlás és az s  s ( z ) szlip függvények görbéit a k kapcsolati merevség néhány értékére.

6 10

8

5 10

8

s( z )  m  M 1  Nm 

k  103 N/m 2 k  106 N/m 2

4 108 3 108 2 108 1 108

0

0,5

0

1,5

1

2

z m

10. ábra. A szlip függvények ábrái 3. Példa. E példában állandó intenzitású megoszló terheléssel részlegesen terhelt, mindkét szélső keresztmetszeténél fixen megfogott tartót vizsgálunk (11. ábra). A feladatban az alábbi kezdeti feltételek ismertek:

y f a

a

z

11. ábra. Részlegesen terhelt kompozit tartó v(0)  0,  (0)  0, s (0)  0.

(72)

A hiányzó kezdeti feltételek a z  2a koordinátával kijelölt keresztmetszetre vonatkozó peremfeltételek alapján határozhatók meg, amelyek a következő előírásokat fogalmazzák meg.

100

Részlegesen kapcsolt kompozit rudak vizsgálata

  v(2a )  0,  (2a )  0, s (2a)  0.

(73)

E peremfeltételek alapján nyerjük a hiányzó kezdeti feltételeket, az M 1 (0), V1 (0), N1 (0) értékeit. Ezek ismeretében a feladat megoldása a (38-42) egyenletek felhasználásával az alábbi alakba írható: X ( z )  M 1 (0) X 4 ( z )  V1 (0) X 5 ( z )  N10 (0) X 6 ( z )  f 0 H ( z  a ) X f ( z ),

(74)

ahol X  v, , s, M , V , N1 . Az e feladathoz tartozó zárt alakú képletek igen bonyolultak, felírásuktól eltekintünk, pusztán az alkalmazásukkal előállított lehajlás és szlip függvények ábráit adjuk meg a 12-13. ábrákon. v( z ) f

3

k  0 N/m 2

 mm   N/mm   

k  103 N/m 2 k   N/m 2

2

1

0

z  mm  0

1000

500

2000

1500

12. ábra. A 3. példához tartozó lehajlás függvények s( z )  m  M 1  Nm  1 107

k  103 N/m 2 k  106 N/m 2

0

0,5

1

1,5

2 z m

1 107

2 107

13. ábra. A 3. példához tartozó szlip függvények

101

 

Lengyel Ákos József, Ecsedi István

 

5. Következtetések A dolgozat egy új analitikus eljárást ismertet a kétrétegű, nem tökéletesen kapcsolódó hajlított és nyírt kompozit rudak szilárdságtani számítására. Az adott statikai peremérték feladat analitikus megoldását úgynevezett alapfüggvények lineáris kombinációjaként állítja elő. A dolgozatban ismertetett numerikus példák eredményei mint „benchmark” megoldások hasznosíthatók különböző közelítő eljárásokkal, mint például a véges differenciák módszere, végeselem módszer alkalmazásával nyert numerikus eredmények hiba analízisére.

6. Köszönetnyilvánítás A cikkben ismertetett kutatómunka a TÁMOP-4.2.2/B-10/1-2010-0008 jelű projekt részeként – az Új Magyarország Fejlesztési Terv keretében – az Európai Unió támogatásával, az Európai Szociális Alap társfinanszírozásával valósul meg.

7. Irodalom [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8]

102

Ayoub, A.: A two-field mixed variational principle for partially connected composite beams, Finite Element in Analysis and Design 37, 2001. pp. 929-959. Dall’ Astra., Zona, A.: Three-field mixed formulation for the non-linear analysis of composite beams with deformable shear connection, Finite Element in Analysis and Design 40, 2004. pp. 425-448. Girhammar, U., Gupu, V.: Composite beams – columns with interlayer slip – exact analysis. Journal of Structural Engineering 119, 1999. pp. 1265-1282. Murakami, H.: A laminated beam theory with interlayer slip, Journal of Apllied Mechanics, 1984. pp. 551-558. Newmark, N., Seiss, C., Veist, I.: Test and analysis of composite beams with incomplete interactions. Proceedings of the Society of Experimental Stress Analysis 9, 1951. pp. 75-92. Thompson, E., Goodman, J., Vanderbilt, M.: Finite element analysis of layered wood systems. Journal of the Structural Division 101, 1975. pp. 2659-2672. Girhammar, U., Pan, D.: Exact static analysis of partially composite beams and beam-columns, Intenational Journal of Mechanical Sciences 49, 2007. pp. 239-255. Ecsedi, I., Baksa, A.: Static analysis of composite beams with weak shear connection, Applied Mathematical Modelling 35, 2011. pp. 1739-1750.