Kompozit lemezek stabilitásvizsgálata

Szilárdságtani Tanszék

TDK dolgozat 2003.

Kompozit lemezek stabilitásvizsgálata a Ritz-módszer alkalmazásával

Készítette:

Somogyi István Károly Építőmérnök hallgató BME - Építőmérnöki Kar, V. évfolyam

Konzulens:

Kollár László egyetemi tanár BME - Szilárdságtani Tanszék

Budapest, 2003. október

Kompozit lemezek stabilitásvizsgálata

Somogyi István Károly

Error! Style not defined.. Error! Style not defined. 2003. október 27.

BME - Építőmérnöki Kar konz: Kollár László

Előszó Ezt az Előszót elsősorban nem a TDK dolgozat témájával, hanem a TDK dolgozat külalakjával kapcsolatos néhány gondolat előrebocsátására szánom. Dolgozatom szerkesztése közben az érthetőség mellett fontos célom volt, hogy igényes, szakirodalomhoz méltó munkát készítsek. Ezért a szövegszerkesztő program adta lehetőségeket kiaknázva készítettem el a dolgozatot. Néhány probléma azonban így is adódott, melyekért ezúton kérek elnézést a nyájas olvasótól. A program angol verziójának magyarítása közben az angol és a magyar nyelv ábra és egyéb hivatkozási eltéréséről a programozók megfeledkeztek, ezért fordul elő a szövegben a furcsán hangzó Ábra XY., vagy a Tábla XY. kifejezés, mely az angolszász irodalomban megszokott Figure XY. tükörfordításából keletkezett, tévesen.

– 2 –





Tartalomjegyzék 1. A KOMPOZITOK TÖRTÉNETE ...................................................................... 4 1.1. A KOMPOZITOK MEGJELENÉSE ......................................................................................... 4 1.2. A KOMPOZITOK STRUKTÚRÁJA ......................................................................................... 5 1.3. A KOMPOZITOK GYÁRTÁSTECHNOLÓGIÁJA .................................................................... 6 1.4. KOMPOZIT TERMÉKEK: ELÕNYEIK ÉS HÁTRÁNYAIK ...................................................... 7

2. CÉLKITÛZÉSÜNK.............................................................................................. 9 2.1. A PROBLÉMAKÖR ÖSSZEFOGLALÁSA................................................................................ 9 2.2. A CÉL ISMERTETÉSE ........................................................................................................ 12

3. A VIZSGÁLAT ELMÉLETI HÁTTERE ........................................................ 15 3.1. A KOMPOZITOK SZÁMÍTÁSI MÓDSZEREI (MÁTRIXOK, JELÖLÉSEK)............................. 15 3.2. A RITZ-TIMOSHENKO ELJÁRÁS ...................................................................................... 17

4. A VIZSGÁLAT A GYAKORLATBAN............................................................ 20 4.1. RUDAK VIZSGÁLATA......................................................................................................... 20 4.1.1. A RÚD MODELLEZÉSE ................................................................................................................ 20 4.1.2. AZ EGYENLETEK ........................................................................................................................ 21 4.1.3. A VIZSGÁLAT MENETE ................................................................................................................ 22 4.1.4. A SZÁMÍTÁS EREDMÉNYEI ........................................................................................................... 23

4.2. LEMEZEK VIZSGÁLATA .................................................................................................... 27 4.2.1. A LEMEZ MODELLEZÉSE ............................................................................................................. 27 4.2.2. AZ EGYENLETEK ........................................................................................................................ 28 4.2.3. A VIZSGÁLAT MENETE ................................................................................................................ 34 4.2.4. A SZÁMÍTÁS EREDMÉNYEI ........................................................................................................... 35 4.2.5. AZ EXPLICIT ÖSSZEFÜGGÉSEK EGYÜTTHATÓINAK KERESÉSE ........................................................ 43

5. AZ ELVÉGZETT VIZSGÁLATOK ÉRTÉKELÉSE..................................... 44 5.1. AZ EREDMÉNYEK ÉRTÉKELÉSE ....................................................................................... 44 5.2. A TOVÁBBI FELADATOK ÁTTEKINTÉSE ........................................................................... 45

6. ÖSSZEFOGLALÁS............................................................................................ 47

– 3 –





1. A kompozitok története A címben használt „kompozit” szó közvetlenül az angol „composite” (kompozit) szóból származtatható a javarészt angol nyelvű szakirodalomnak köszönhetően. A latin eredetű szó összetételt, összeállítást, illetőleg keveréket jelent. Tágabb értelemben az építőanyagok nagyobb része kompozitnak tekinthető – például a beton is az –, azonban szűkebb értelemben a szakirodalom a kompozit szót a két fő összetevőből (szálból és mátrixból) kialakuló mesterséges anyagra, illetőleg a belőle készülő termékek megjelölésére használja.

1.1. A kompozitok megjelenése A hagyományos építőanyagok mellett a XX. század második felében egyre több új építőanyag jelent meg. Ezek egy része a korábban ismert termékek tulajdonságainak kedvező megváltoztatásával jött létre (pl: laminált fa termékek), míg másik felük az ipari gyártástechnológiák fejlődésével alakult ki (pl: alumínium). Műanyagokat már az 1850-es években elő tudtak állítani (gumit, celluloidot) és a századfordulóra már műselymet is készítettek. A fejlődés igazából a XX. század első felében indult meg a bakelit és a műgumi feltalálásával, majd a második világháború után kapott nagy lendületet. Ekkor jelentek meg a szálerősítésű műanyagok is, melyekben a teherviselő, de sérülékeny szálakat a mátrixnak nevezett anyaggal vették körül és kapcsolták össze. Ez a Ábra 1: A kompozitok felhasználása a szálerősítésű termék – a többi műanyaggal repülőiparban ellentétben – már alkalmas volt tartószerkezeti célokra is, ugyanis a kúszása alacsonyabb kihasználtság (kb. 50%) esetén végérintőhöz tart, így más műanyagokkal szemben alakváltozásai időben korlátozottak (Palotás, 1979.).

– 4 –





A kompozitok ára kezdetben igen magas volt, ezért elsősorban speciális igényű helyeken alkalmazták (pl: űrkutatásban, majd a repülőiparban; Ábra 1: A kompozitok felhasználása a repülőiparban). Tartószerkezeti megjelenéséhez gyártástechnológiájuk fejlődése, és ezáltal az áruk csökkenése nagyban hozzájárult: ma már a teherbírás/ár aránya az acélszerkezetekével összevethető.

1.2. A kompozitok struktúrája A kompozitok alapvetően két alkotóelemből épülnek fel: szálból (fiber) és mátrixból (matrix). A réteges felépítés egymásra helyezett szálrétegekből (Ábra 2: Az üvegfátyol) és a köztük lévő mátrix térkitöltésből alakul ki. Ezért a kompozit megnevezés helyett a laminátum megnevezést is használjuk. A laminátumban a szálak térfogataránya általában 50% körül mozog. Túl sok szál esetén a szálrétegeket közötti kapcsolat nem megfelelő, ezért terhelés hatására az egyes rétegek Ábra 2: Az üvegfátyol elválnak egymástól, delaminálódnak, a kompozit tönkremegy (Ábra 3: A kompozit gerenda tönkremenetele delaminálódással és szálszakadással). Ugyanakkor, ha a szálak

aránya alacsony, akkor az alacsony teherbírású, de merev mátrixra túl nagy erő jut, és a mátrix elreped, és laminátum tönkremegy.

Ábra 3: A kompozit gerenda tönkremenetele delaminálódással és szálszakadással

A száltartalom mellett a kompozit tulajdonságát alapvetően befolyásolja a szálak elhelyezkedési iránya és az egyes irányokba elhelyezkedő szálak aránya: − Ha csak egyirányú szálakat helyezünk el, akkor abba az irányba teherviselő lesz a kompozit lemez, de az ezzel az iránnyal szöget bezáró terhelésekre csak a mátrix tud erőt felvenni, ami alacsony teherbírása miatt erre alkalmatlan. − Ha két egymással szöget bezáró irányba helyezünk el szálakat, akkor a két irányba a teherbírás biztosítható, de egy harmadik irányú síkbeli erő a szálszerkezetet már nem tudja terhelni, így ismét a mátrix lesz terhelt, ez pedig tönkremenetelt okoz a laminátumban. Éppen ezért a szálszerkezet felépítésénél fontos, hogy legalább három irányba helyezzünk el szálakat úgy, hogy a szálak 15°-nál nagyobb szöget zárjanak be egymással,

– 5 –





és minden irányba legalább 10% szálat helyezzünk el. Ezáltal a kompozit száldomináns lesz, és bármilyen irányú síkbeli terhelést képes lesz felvenni (A három irányba futó szálak háromszög-rácsot alakítanak ki, amely már képes a síkban mereven viselkedni, vagyis terheket viselni). A szálak iránya mellett fontos a szálirányok sorrendje is. Ezeket a szálirányokat 0 és ±90° között adják meg. Ha minden szálréteghez tartozik egy ellentett irányba futó, azonos szálmennyiséget Ábra 4: A kompozit lemezek felépítése tartalmazó szálréteg is, akkor a laminátumot kiegyensúlyozottnak nevezzük. Ha a geometriai középfelületre nézve a szálrétegek iránya szimmetrikus, akkor pedig szimmetrikusnak nevezzük a laminátumot (Ábra 4: A kompozit lemezek felépítése). Ezek a megjelölések azért fontosak, mert a szálak irányeloszlása nemcsak a teherbírást, hanem az alakváltozásokat is befolyásolják. Ha egy szimmetrikus lemezt a geometriai középfelületében terhelünk, akkor az egyes rétegekben kialakuló feszültségek a középfelületre nézve szimmetrikusak lesznek, vagyis a lemezben nem alakul ki belső hajlítónyomaték, a lemez síkbeli alakváltozást szenved. Ugyanakkor, ha a geometriai középfelületére nem szimmetrikus, akkor a terhelés hatására belső, állandó érétkű nyomaték alakul ki, ami a lemezt a középfelületére merőleges irányban hajlítja. Ez a deformáció a stabilitásvesztéssel járó terhelések esetében megfontolást igényel, és előfordulhat, hogy kedvezőtlen hatású lesz.

1.3. A kompozitok gyártástechnológiája A kompozitok gyártásához alapvetően négy dolgot kell megoldani: − a megfelelő gyártóforma (negatív vagy pozitív minta elkészítése), − a mátrix felhordása, − a szálak felhordása és „bedolgozása” a mátrixba, − a mátrix kötéséhez szükséges körülmények megteremtése, Ábra 5: Kézi hengerlő a lamináláshoz

– 6 –





Ezen tényezők közül a kompozitok gyártását a legyártandó alak nagymértékben befolyásolja: a térbeli, bonyolult felületeket általában csak kézi technológiával készítik (Ábra 8: Kézi laminálás; Ábra 5: Kézi hengerlő a lamináláshoz), ugyanis a gépesítés hibaaránya magas. A körszimmetrikus elemeket tekercseléssel (Ábra 6: A tekercselés technológiája) készítik, a legegyszerűbb, állandó

Ábra 6: A tekercselés technológiája

keresztmetszetű, rúdszerű termékeket pedig pultrúzióval (Ábra 7: A pultrúziós gyártástechnológia elvi vázlata). Ennek lényege, hogy a pultrudáló gép a Ábra 8: Kézi laminálás motringokon lévő szálakat egy mátrixszal teli téren húzza át, majd utána egy fűthető csőben a kívánt keresztmetszetet alakítja ki a keverékből. Ezzel a gyártástechnológiával készülnek a gép- és az építőipar számára is hasznos négyszög keresztmetszetű zártszelvények és az I, U, C és Z keresztmetszetű tartók. Ábra 7: A pultrúziós gyártástechnológia elvi vázlata

1.4. Kompozit termékek: előnyeik és hátrányaik A kompozit terméke nagy előnye a kis fajsúly, a nagy szakítószilárdság és a korrózióállóság. Előállítási költségük folyamatosan csökkenése révén árszakítószilárdság arányuk ma már az acéléval összemérhető. Elterjedésükhöz, és

– 7 –





nagyobb volumenű ipari felhasználásukhoz a pultrúziós technológiával olcsón és kellően széles méretválasztékban előállítható termékek is nagyban hozzájárulnak. A kompozitokból magas szakítószilárdságuk miatt alapvetően vékonyfalú szelvényeket készítenek. Ezeknek a vékonyfalú szelvényeknek azonban nem a szilárdsági, hanem a stabilitási határállapotai jelentenek teherbírási korlátot (Qiao et al. 1999., Barbero, 2000). Más, régóta használt építőanyagok – például az acél – esetében ezek a stabilitási vizsgálatok már kiforrottak, szabályzati szinten is összefoglaltak, míg kompozitok esetében még nincsenek kidolgozott útmutatások és méretezési elvek. Ezek hiányában pedig a termékek szélesebb körű elterjedése még várat magára.

– 8 –





2. Célkitűzésünk Célkitűzésünk alapvetően ezeknek a méretezési hiányosságoknak a pótlására, illetőleg a még megoldásra váró feladatrészek megoldása, amit több lépcsőben kívánunk végrehajtani.

2.1. A problémakör összefoglalása Egy méretezés során szilárdsági, stabilitási, valamint, ha szükséges, állékonysági vizsgálatokat kell elvégezni. A vizsgálatokat többféle szinten végezhetjük el: a) b) c) d)

Szerkezet szintjén Szerkezeti elem szintjén Keresztmetszeti szinten, illetőleg Keresztmetszetet alkotó elemek (esetünkben lemezek) szintjén

A Szerkezet (a) és Szerkezeti elem (b) szintű méretezést általában állékonysági vizsgálatokban kell elvégezni, míg a szilárdsági vizsgálatok a Keresztmetszeti (c) és a Keresztmetszetet alkotó elemek (d) szintjén végezhetők el. A stabilitási ellenőrzéseket két csoportra oszthatjuk: Egyik csoportba a Szerkezet (a) és a Szerkezeti elem (b) szintjén vizsgálható globális stabilitási méretezés tartozik, amit a szabályzatok általában a Keresztmetszetek (c) szintjén végrehajtott szilárdsági méretezésre vezetnek vissza. Erre egyik legjobb példa az acélszerkezetek kihajlási vagy kifordulási méretezése a tervezési feszültség csökkentésével, amit többek közt az MSZ és az EC3 is alkalmaz. A stabilitási méretezés másik szintje a lokális stabilitásvizsgálat, melyet a Keresztmetszetet alkotó elemek szintjén (d) végzünk el. Ilyen vizsgálatokat tartalmaz például az MSZ is a lokális lemezhorpadás vizsgálatára. A nagy szilárdságú és ezért általában vékonyfalú szerkezetekben alkalmazott anyagok esetében az alkotóelemek (alkotólemezek) általában lokális stabilitásvesztéssel mennek tönkre. Ezért – a szakirodalmi ajánlásokat figyelembe véve (Bleich, 1952.; Bulson, 1955.) – a vékonyfalú kompozit szelvények méretezéséhez mi is az alkotó lemezekre bontás elvét alkalmazzuk. Emellett természetesen szükséges még a szilárdsági ellenőrzést is elvégezni.

– 9 –





Vagyis a kompozit termékek vizsgálatához a (c) és a (d) esetre vonatkozó vizsgálati módszerek tanulmányozása, illetőleg kidolgozása fontos. A Keresztmetszeti szintű (c) vizsgálatokat a keresztmetszetek igénybevételei alapján az alábbiak szerint foglalhatjuk össze: − Tengelyirányú nyomás − Tiszta hajlítás − Nyírás − Tengelyirányú nyomás és hajlítás interakciója − Hajlítás és nyírás interakciója Az Keresztmetszetet alkotó lemezek (d) szintjén fellépő lokális stabilitásvesztést okozó esetek megismeréséhez pedig az alábbi geometriai eseteket kell megvizsgálni: − − − − − − − −

Négy peremén csuklósan megtámasztott lemez Négy peremén rugósan megtámasztott lemez Négy peremén befogottan megtámasztott lemez Két peremén csuklósan, kettőn rugósan megtámasztott lemez Két peremén csuklósan, kettőn befogottan megtámasztott lemez Három peremén csuklósan megtámasztott lemez Két peremén csuklósan, egy peremén rugósan megtámasztott lemez Két peremén csuklósan, egy peremén befogottan megtámasztott lemez

Mindegyik geometriai kialakítás esetén a lemez síkjában működő nyomást, nyírást, hajlítást, illetőleg ezek interakcióját kell megvizsgálni. A peremeken alkalmazott csuklók, rugók, illetőleg befogások a szomszédos lemezek megtámasztó hatásait modellezik. Ha a szomszédos lemezek csavarómerevsége elhanyagolható, akkor csuklós megtámasztásról beszélünk, ha nagy a csavarómerevségük, akkor befogott lemezperemet tételezhetünk fel, ha pedig köztes értékű a csavarással szembeni merevség, akkor azt az elfordulás elleni rugókkal megtámasztott, röviden rugós lemezperemmel vehetjük figyelembe. A húzás, illetőleg a húzás és hajlítás interakciója mind a (c), mind pedig a (d) esetből kimaradt. Enne az oka, hogy a húzás nem okoz sem globális, sem pedig lokális tönkremenetelt, a szilárdsági tönkremenetel pedig a kompozitok törési feltételéből egyszerűen számítható. A szakirodalom részletes áttanulmányozásával a már megoldott problémákat, illetőleg a még megoldandó problémákat az alábbi két táblázatban (Táblázat 1: A keresztmetszeti szintű vizsgálatok kidolgozott elméletei; Táblázat 2: Az alkotólemezek vizsgálatainak összefoglalása)

– 10 –





foglalhatjuk össze. Ezekben a táblázatokban az adott problémát explicit kifejezéssel megoldó személyét tüntettük föl, a problémára korábban numerikusan megoldást adók így nem szerepelnek benne.

Az igbv. típusa

I keresztmetszet

Zártszelvény

Tiszta nyomás

Kollár, 2002.

Kollár, 2002.

Tiszta hajlítás

Kollár, 2002.

Kollár, 2002.

Nyírás

Még nincs megoldás


Nyomás és hajlítás



Hajlítás és nyírás



Táblázat 1: A keresztmetszeti szintű vizsgálatok kidolgozott elméletei

A lemez és igbv.-ei

A számítás kidolgozója



Lekhnitskii, 1968.

Lekhnitskii, 1968.

Veres és Kollár, 2001.


Lekhnitskii, 1968. Veres és Kollár, 2001.

Whitney, 1987.

Kollár, 2001.


– 11 –







Jelölések:



Barbero, 1999.

Lekhnitskii, 1968.

Kollár, 2002.


Kollár, 2002.


szabad lemezperem csuklós lemezperem elfordulás elleni rugóval megtámasztott perem befogott perem

Táblázat 2: Az alkotólemezek vizsgálatainak összefoglalása

2.2. A cél ismertetése A 2.1. pont alatt megfogalmazott elvek figyelembe vételével az A keresztmetszeti szintű vizsgálatok kidolgozott elméletei című táblázatban (Táblázat 1) összefoglalt keresztmetszet méretezési vizsgálatok elvégzéséhez a Az alkotólemezek vizsgálatainak összefoglalása című táblázatban (Táblázat 2) összefoglalt lemezstabilitási problémákat kell megoldani. Ezek egy részére a szakirodalomban már vannak kidolgozott, explicit összefüggések, melyek valós, vagy a valóshoz képest ±5%-on belüli eredményt adnak. Másik részük még csak

– 12 –





numerikus formában oldható meg, illetőleg van olyan eset is, amelyre még nem létezik numerikus megoldás sem. Célunk, hogy a még megoldatlan feladatokra kielégítő megoldást adjunk, illetőleg a meglévő, de nem „pontos” számítási módszereket lehetőség szerint kijavítsuk, „pontosítsuk”, majd a kidolgozott eljárások ismeretében keresztmetszeti méretezési eljárásokat alkossunk, melyek már alkalmasak a gyakorlati méretezésben való alkalmazásra is. A cél elérése érdekében a feladatott több, egymásra épülő és jól elhatárolható szakaszra bontottuk:

1 2 3

Az első szakaszban a szakirodalom alapján egy jól alkalmazható közelítő eljárás segítségével numerikus megoldási módot kell találnunk a különböző terhelésű és megtámasztási viszonyú lemezek stabilitásvizsgálatának elvégzéséhez. Ezután a kiválasztott közelítő eljárás számítására egy számítógépes rutint kell alkotnunk. A program elkészülte után a szakirodalomban megtalálható, megoldott feladatok segítségével tesztelnünk kell annak működését, majd ezt követően a működő rutinnal az alkalmazott közelítő eljárás paramétereinek függvényében meg kell határoznunk a számítás pontosságát. Ezeknek az ismereteknek a birtokában a még megoldásra váró lemezstabilitási vizsgálatokat kell elvégeznünk. A kapott eredmények alapján a stabilitásvesztést okozó terheket az anyagi és geometriai jellemzők függvényében felíró explicit kifejezések együtthatóit kell meghatároznunk. Ezek meghatározásához többek közt görbeillesztési eljárásokat is alkalmazni kívánunk. A vizsgálatokat a Táblázat 2.-ben összefoglalt esetekre kívánjuk elvégezni.

A folyamat utolsó lépése a kompozit rúdszerkezetek keresztmetszeti méretezéséhez szükséges összefüggések megalkotása, melyekhez a geometriai és anyagjellemzők segítségével kifejezett explicit kritikus teher számítási eljárások által kapott eredményeket, mint rész-eredményeket használjuk.

A teljes ismertetett problémakör megoldása tekintélyes munka- és időráfordítást igényel, mely lényegesen meghaladná egy TDK dolgozat kereteit. Ennek megfelelően ebben a TDK dolgozatban az irodalmi áttekintés, valamin a kompozit termékek és a jelölésrendszer ismertetése mellett csak az 1. részfeladat elvégzését tűztük ki célul, míg

– 13 –





a további két részfeladat elvégzését egy későbbi dolgozat keretében kívánjuk megvalósítani.

– 14 –





3. A vizsgálat elméleti háttere A fentebb összefoglalt vizsgálatok elvégzéséhez a Ritz-módszer egy speciális esetét a Ritz-Timoshenko eljárást alkalmaztuk polinomos közelítéssel. Választásunkat az alábbi indokokkal támasztjuk alá: − a polinomos közelítés során a kapott kifejezések egyszerűen kezelhetők, számítástechnikailag kedvező, mátrixos alakban írhatók fel, − a kifejezések integrálása és deriválása során a műveletek az egyes polinom tagokra egyszerűen, és jól ellenőrizhetően végezhetők el, így a vizsgálat során a „debugging” hatásosan megvalósítható, − valamint a számítógépes számábrázolásból kifolyólag a kerekítési és közelítési hibákat is csökkenthetjük. Ezeket előrebocsátva most tekintsük át a számításhoz használt matematikai apparátust, illetőleg a Ritz-Timoshenko eljárás néhány speciálisabb jellemzőjét, ami kifejezetten a kompozit lemezekre való alkalmazás során kerül elő.

3.1. A kompozitok számítási módszerei (mátrixok, jelölések) A kompozit (réteges) lemezek esetében az egyes rétegek merevségi tulajdonságai a szálaránytól és a száliránytól jelentősen függnek. Az 1.2, A kompozitok struktúrája című részben felvázoltak alapján egy lemezkeresztmetszet tanulmányozása során az alábbi megállapítások tehetők. A keresztmetszeten meredek (merőlegeshez közeli) szögben átfutó szálrétegekben nagy merevségük miatt már kis alakváltozás hatására is nagy feszültségek ébrednek, míg a lapos (párhuzamoshoz közeli) szögben érkező szálrétegekben csak kis feszültségek alakulnak ki. Ha a Bernoulli-Navier hipotézist a kompozit lemezek esetében is igaznak tekintjük, akkor a szálirányok egymásutániságának függvényében a feszültségeloszlás az egyes

– 15 –





rétegekben erőteljesen eltérhet, illetőleg a keresztmetszet semleges tengelye (ahol az alakváltozások zérus értékűek) nem feltétlenül esik egybe a lemez középfelületével. Emiatt a hagyományos feszültségszámítás (erő/felület) alkalmazása nem túl célravezető, már csak azért sem, mert egy sokrétegű laminátban ébredő eredő erő meghatározása elég hosszadalmassá válik, ha a feszültségekből számítjuk ki a rétegek eredőjét, majd ezeket előjelhelyesen összegezzük. Ehelyett a keresztmetszetek vizsgálatakor eleve a keresztmetszetekben ébredő erőt számítjuk, méghozzá a keresztmetszethez tartozó alakváltozások függvényében. Így nem keresztmetszeti területet és keresztmetszeti modulust, hanem egyfajta „húzómerevséget”, „hajlítási merevséget”, illetőleg az egyenlőtlen feszültségeloszlás hatására bekövetkező keresztmetszeti torzulások figyelembe vételére „torzulási merevséget” számítunk. Mivel lemezszerkezetet vizsgálunk, ezért a tér két irányában ható feszültségek és alakváltozások egymásra hatását is figyelembe kell vennünk, ezért a számításban a merevségek merevségi mátrixként jelennek meg. A mátrixokat és számításukat a következőkben foglaljuk össze: K

Húzómerevségi mátrix:

A = ∑ (zi − zi −1 )⋅ Qi i =1 K

Torzulási merevségi mátrix

B=∑

2 i

i =1 K

Hajlítási merevségi mátrix

(z

D=∑

(z

3 i

i =1

[1]

)

− zi2−1 ⋅ Qi 2

[2]

)

− zi3−1 ⋅ Qi 3

[3]

ahol Qi a globális koordinátarendszerbe transzformált, a Hooke törvényből levezethető merevségi mátrix, zi pedig az egyes rétegek határfelületeinek távolsága a középfelülettől: Q11 Qi = Q21 Q61

Q12 Q22 Q62

Q16  Q26  Q66 

[4]

Ezek segítségével a keresztmetszetben ébredő igénybevételek az alakváltozások függvényében az alábbi kifejezéssel számíthatók:  N   A B  ε   M  =  B D  ⋅ κ        ahol:

– 16 –

[5]





[ = [M

]

Ν az erővektor

NT = Nx

Μ a nyomatékvektor

MT

ε a nyúlásvektor

ε

ε xy ]

[8]

κ a görbületvektor

κ = [κ x κ y κ xy ]

[9]

T

[

= εx

Ny

N xy

My

x

εy

M xy

[6]

]

[7]

T

Az anyagi jellemzőket tartalmazó A, B és D mátrixok a legáltalánosabb kompozitok esetében szimmetrikus „teli” mátrixok, azonban a speciálisabb laminátumok esetében a mátrixok egyes elemei zérussá válnak. Ha a laminátum a középfelületére szimmetrikus kialakítású, akkor a középfelületében ható erő „szimmetrikus” feszültségeloszlást fog eredményezni, vagyis a lemez nem szenved torzulást, a B mátrixa zérusértékű lesz: B≡0

[10]

Ha a laminátum kiegyensúlyozott, vagyis minden rétegnek van ellentett irányú, és azonos száltartalmú párja, akkor az A mátrix 16, 26 elemei lesznek zérussal egyenlők. Az elemek indexelése az általános Hooke-törvényben szereplő nagy, 6x6 hajlékonysági mátrix adott sorainak és oszlopainak elhagyása után kialakuló 3x3 hajlékonysági mátrix invertálásával kapjuk. (a z /3/ irányú alakváltozások lényegtelenek, mert nem ébresztenek z irányú feszültséget, akárcsak az xz /4/ és yz /5/ irányú deformációk sem):

S i6x6

 S 11 S  21  − =  −  −   S 61

S 12 S 22 − − − S 62

− − −

S 16  − − − S 26  − − − −   − − − −  − − − −   − − − S 66 

Si3 x3

 S11 =  S 21  S 61

S12 S 22 S62

S16  S 21  S 66 

Qi = Si 3 x 3

−1

[11]

3.2. A Ritz-Timoshenko eljárás A kompozit lemezek számításakor alkalmazott jelölésrendszer vázolása után röviden ismertetjük az alkalmazott Ritz-Timoshenko eljárást. A Ritz-módszer lényege, hogy a kihajlási alakot egy függvénnyel közelítik, és erre a függvényre alkalmazzák a tényleges kihajlási alakra vonatkozó differenciális

– 17 –





összefüggéseket. Ez a közelítés annál pontosabb, minél pontosabban tudjuk közelíteni a kihajlási alakot (Korányi, 1965.). A Ritz-Timoshenko eljárás során a tényleges alakot egy olyan függvénysorral közelítjük: F (x, y ) = a0 + a1 ⋅ f1 (x, y ) + a2 ⋅ f 2 (x, y ) + ... + an ⋅ f n (x, y )

[12]

melyben az egyes ismert függvények fi(x,y) önmagukban kielégítik a geometriai peremfeltételeket, az ismeretlen mennyiségek pedig a függvénysor együtthatói, melyek a kihajlás pillanatában a potenciális energia stacionaritását kimondó feltételből ([13]) határozhatók meg: [13]

δ 2Π 0 = 0

Egy többváltozós függvény (Π0) pedig akkor állandóértékű, ha minden változója szerinti parciális deriváltja zérus. Ezt a feltételt használva egy homogén egyenletrendszer ([14]) írhatunk fel az ak együtthatókra (Iványi, 1995):

(

)

∂ ∂ 2Π 0 =0 ∂a k

∀a k − ra

[14]

Az eljárás során alkalmazható közelítő függvénysorok ([12]) többféleképpen is felvehetők. Lehetnek Fourier-sorok, melyek már kevés tag esetén is jó közelítést adnak, lehetnek trigonometriai sorok, melyek integráljai viszonylag könnyen előállíthatók, illetőleg bármilyen más differenciálható függvények (Korányi, 1965.). A kompozit lemezek számításhoz mi polinomokat alkalmaztunk, mert ezekkel a deriválási és integrálási műveletek a függvénysor tagokra bontásával egyszerűen végrehajthatók, és ily módon könnyen ellenőrizhetők is. A számítás elméletéhez még a számítás pontossága és hibáinak ismerete is hozzátartozik: A számítás pontosságát a számításkor használt közelítő függvény „pontossága” adja. Minél jobban közelítjük a tényleges kihajlási alakot, az eredmény annál pontosabb lesz. Az egyszerűbb esetekben, amikor a „pontos” számítás eredményei ismertek, akkor a számítás pontossága ezekkel kontrollálható. Ha a pontos kihajlást okozó teher nem ismert, akkor több egymást követő, egyre magasabb hatványokat figyelembe vevő számítás eredményeinek eltéréséből következtethetünk a kapott eredmények pontosságára. Ez azért tehető meg, mert a Ritz-módszer, és azok speciális változatai bizonyítottan konvergensek, de legalábbis a több tag nem rontja a közelítés pontosságát (Korányi, 1965.).

– 18 –





Az eljárás hátránya, hogy a szerkezetet a ténylegesnél merevebbnek tételezi fel, ezért a kihajlási kritikus teherértéket minden esetben felülről közelíti.

– 19 –





4. A vizsgálat a gyakorlatban A kompozit lemezek kihajlás-vizsgálatának elvégzése előtt az egyszerűbb, rúdkihajlás esetét vizsgáltam. Ennek segítségével egyrészt a Ritz-Timoshenko eljárás használatát sajátítottam el, másrészt pedig hasznos programozástechnikai tapasztalatokat szereztem a rúdkihajlás esetét vizsgáló MAPLE program megírása során. Ezen gondolatok alapján a következőkben először a rúdkihajlás esetét mutatom be, majd rátérek a kompozit lemezek stabilitásvizsgálatára.

4.1. Rudak vizsgálata

4.1.1. A rúd modellezése A kihajlásvizsgálat elvégzéséhez a vizsgált rúd modelljét (Ábra 9: A rugós rúd modellje) az alábbiak szerint vettem fel: − a rúd anyagát tételeztem fel, modulusa E,

tökéletesen rugalmasnak melynek rugalmassági

x

Pcr ∆L

C2

rúd teljes hosszában állandó − a keresztmetszetű, és önsúlya elhanyagolható,

Φ2

− a rúd tengelyirányú megtámasztása és a terhelő erő a rúd tengelyében hat,

L’

L’ L

− a rudat a kihajlás előtti pillanatban alakváltozásmentesnek tételeztem fel, − a rúdban a kihajlás előtt és után is a síkkeresztmetszetek hipotézise érvényes,

C1

Φ1 y Ábra 9: A rugós rúd modellje

– 20 –





− a rúd két végét elfordulás ellen ható spirálrugókkal támasztottam meg, melyek az elfordulást Ci rugómerevségükkel gátolják, − a síkbeli koordinátarendszert úgy vettem fel, hogy az x tengely a rúdtengely irányába mutasson, míg az y tengely a kihajlás síkjába essen.

4.1.2. Az egyenletek A fenti (Ábra 9) ábra alapján a kihajlás közben átalakuló energiák az alábbi egyenletekkel írhatók fel: Az Pcr erő elmozdulása ∆L hosszon (az integrálon belüli ívhossz kifejezésére a binomiális tételt alkalmazva, és a másodfokúnál nagyobb tagokat elhagyva kaphatjuk az alábbi formulát (Iványi, 1995.)): 2 L  1 L  dy ( x)  2  dy ( x)   Lk = Pcr ⋅ ∆L = P ∫ 1 +   dx − L  = P ∫   dx  dx 2 0  dx    0  

[15]

A elfordulást (φ) és az alakváltozást (κ) a kihajlási alak függvényében az alábbi kifejezések adják:

φ=

dy ( x) dx

κ =−

[16]

d 2 y ( x) dx 2

[17]

A két rúdvégi rugóban felhalmozódó energia a rúdvégi elfordulások hatására, és a [16] behelyettesítése után: 2

LR =

1 1 1  dy ( x = 0)  1  dy ( x = L)  C1φ 2 ( x = 0) + C 2φ 2 ( x = L ) = C1   + C2   2 2 2  dx dx  2  

2

[18]

A rúd meggörbülése következtében felhalmozódó rugalmas energia L

EI 1 LB = ∫ Mκ dx = 20 2

L

2

 d 2 y ( x)  ∫0  − dx 2  dx

[19]

A rúd tengelyirányú összenyomódásától a 4.1.1. pontban tett megfontolások alapján zérusnak tekintjük, így az energia ([20]) felírásakor nem kell számításba venni:

– 21 –





2

2 2 2 L  d 2 y( x)  1 1   dy ( x = 0)   dy ( x )   dy ( x = L)    dx C C P ∂ Π 0 = LB + LR − Lk = ∫ EI  − + +       [20] 1 2 2 0  dx 2  2   dx dx  dx      2

A potenciális energia felírása után az y(x) függvény polinomos közelítését kell felírnunk, majd ezt a potenciális energiába visszahelyettesíteni és a kijelölt integrálásokat elvégezni. A közelítő függvényt a 4.2.2. Az egyenletek szakaszban leírtak alapján már nem általános alakban vesszük fel, hanem egyből a peremfeltételeket kielégítő polinomokat alkotunk. A peremfeltételek a két rúdvég y irányú mozdulatlanságát írják le. Ennek megfelelően a polinom alakja (a számítógépes programban alkalmazott mátrixos számítási megfogalmazáshoz igazodva): T

F ( y) = a x

[21]

a = [a2

[22]

ahol: T

T

[

a3 ... an ]

x = x 2 − Lx1

x 3 − Lx 2 ... x n − Lx n −1

]

[23]

A közelítő függvény deriváltjait az x vektor elemeinek deriválásával állítottuk elő, és x illetőleg x jelöltem. Az így kapott energia-kifejezés: L

( )

( )

(

)

(

2 2 2 1 1 1 T T T T ∂ Π 0 = ∫ EI a x − P a x dx + C1 a x x = 0 + C2 a x x = L 20 2 2 2

)

2

[24]

4.1.3. A vizsgálat menete A [24] módon felírt energia-kifejezés programozás-technikailag sokkal kedvezőbb, mert a szummázások helyett mátrix-szorzásokat kell csak végrehajtani. Az integrálások az ai -ktől függetlenek, így azok is elvégezhetők. Ha a program futásának gyorsítása a cél, akkor az integrálások akár kézzel is elvégezhetők (minden mátrixelemre különkülön), és a már kiintegrált formulát lehet utána a programba beadni. Egydimenziós esetben ez elég egyszerűen végrehajtható, azonban kétdimenziós esetben már jóval időigényesebb, ezért ott nem is alkalmaztam a program futásának gyorsítására. A program lényegében az alábbi lépéseket valósította meg ciklikusan, n értékének ciklusonkénti növelésével (n=2-től indulva):

– 22 –





− mátrixok, vektorok megfelelő méretben történő definiálása (a, x), − mátrixok, vektorok feltöltése, − a deriváltakból álló vektor kiszámítása, − a sajátérték feladat mátrixainak kiszámítása, − a sajátérték feladat megoldása. Minden egyes ciklusban kiválasztottam a legkisebb sajátértéket, és azt az n értékével párban eltároltam, majd a program futásának végén az eredményekből grafikont rajzoltattam.

4.1.4. A számítás eredményei A számítást három különböző rúdvég „befogási” módra végeztem el: − a rugómerevségek 0-ra választásával csuklós rudat vizsgáltam,

– 23 –





− az egyik rugómerevség kellően nagyra választásával (az EI rúdmerevséghez képest 4-5 nagyságrenddel nagyobbra választva) az egyik végén befogott rúd esete állt elő, míg − ha mindkét rugómerevség kellően nagyra választásával (az EI rúdmerevséghez képest 4-5 nagyságrenddel nagyobbra választva) a mindkét végén befogott rúd esete állt elő. A számítás eredményei az egyes n értékekhez tartozó diszkrét pontok voltak. A szemléletesség kedvéért ezeket a pontsorozatokat egy-egy vonallal összekötve az Ábra 10en látható három görbét kaptuk. A n Pcr ∆ 2 legfelső kék vonal a mindkét végén [*EI/L ] [%] [−] befogott rúd kihajlási terhét, a középső 2 12,0000000 2,1304 21,5854 3 12,0000000 2,1304 21,5854 zöld vonal az egyik végén befogott rúd 4 9,8750975 0,0055 0,0557 eredményét, míg a piros a csuklós rúdnál 5 9,8750975 0,0055 0,0557 kapott eredményeket mutatja. A 6 9,8696070 0,0000 0,0000 7 9,8696070 0,0000 0,0000 grafikonokról az is kiderül, hogy 8 9,8696044 0,0000 0,0000 mindhárom esetben az első két (-három) 9 9,8696044 0,0000 10 9,8696044 0,0000 11 9,8696044 0,0000 12 9,8696044 0,0000 13 9,8696044 0,0000 14 9,8696044 0,0000 Elméleti érték: 9,8696044

0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

Táblázat 3: A mindkét végén csuklós rúd eredményei

n Ábra 10: A rúd számítási eredményei

– 24 –





n

∆

Pcr 2

[−]

[*EI/L ]

[%]

4 41,9794299 2,5405 5 41,9794299 2,5405 6 39,4857046 0,0467 7 39,4857046 0,0467 8 39,4626866 0,0237 9 39,4626866 0,0237 10 39,4626310 0,0237 11 39,4626310 0,0237 12 39,4626310 0,0237 13 39,4626310 0,0237 14 39,4626310 0,0237 Elméleti érték: 39,438979

6,4415 6,4415 0,1185 0,1185 0,0601 0,0601 0,0600 0,0600 0,0600 0,0600 0,0600

tagos közelítés nem a „pontos” eredményt adja. Az alacsony fokszám csuklós rúdnál 21%, egyik végén befogott rúdnál 3%, míg mindkét végén befogott rúdnál 6% felülbecslést eredményez. A további tagok azonban ugrásszerűen megközelítik a pontos eredményt, alig van néhány tized ezrelékes eltérés. Ezt a következő, a görbék értékeit tartalmazó táblázatok is jól mutatják (Táblázat 3, Táblázat 4, Táblázat 5 a piros értékek az eltérést, a zöld értékek pedig a jó egyezést mutatják). A táblázatokban használt pontos értékek (Iványi, 1995.)

Táblázat 5: A mindkét végén befogott rúd eredményei

alapján a következők: Csuklós rúd esetén (L0=L): Pcr = Π 2

EI EI = 9,8696 2 2 L L0

Csuklós-befogott rúd esetén (L0=0,70L): Pcr = Π 2 n

∆

Pcr 2

[*EI/L ] 3 29,9932510 4 20,9137007 5 20,2816864 6 20,1902783 7 20,1868972 8 20,1866951 9 20,1866915 10 20,1866914 11 20,1866914 12 20,1866914 13 20,1866914 14 20,1866914 Elméleti érték:

[−] 9,8512 0,7717 0,1396 0,0482 0,0448 0,0446 0,0446 0,0446 0,0446 0,0446 0,0446 0,0446 20,14205

EI EI EI = 9,8696 = 20,1420 2 2 0,7 L2 L L0

Befogott rúd esetén (L0=0,50L):

[%] 48,9086 3,8310 0,6933 0,2394 0,2227 0,2217 0,2216 0,2216 0,2216 0,2216 0,2216 0,2216

Pcr = Π 2

EI EI EI = 9,8696 = 39,4389 2 2 2 0 , 5 L L L0

Még egy érdekességet kell megjegyeznünk a görbékkel kapcsolatban: A csuklós rúd esetén másodfokú polinomos közelítéssel indul a közelítés, míg egyik végén befogott rúdnál, 3-ad fokú, és a befogott rúdnál pedig negyed fokú polinommal. Ennek az a magyarázata, hogy a másodfokú görbe

Táblázat 4: A csuklós-befogott rúd eredményei

– 25 –





második deriváltja konstans, így a befogásnál fellépő görbületváltozást nem tudja modellezni. Hasonló a helyzet a mindkét végén befogott rúdnál is: a két befogás között a rúd görbülete kétszer vált előjelet, azonban ezt harmadfokú polinommal nem tudjuk leírni, csak legalább negyedfokúval. A számítás során ha túlságosan alacsony fokszámú polinomot adunk meg, akkor a hibás görbületi érték miatt a rúd kritikus terhe nagyon nagyra adódik. Ez a „nagyon nagy” érték a rugó és a rúdmerevség arányától függ. A kapott eredmények alapján az elvégzett számítások sikeresek voltak, hiszen a már meglévő szakirodalmi eredményeket sikerült a számításokkal előállítani. A lefuttatott MAPLE program forráskódját a TDK dolgozatom az 1. sz. függeléke tartalmazza.

– 26 –





4.2. Lemezek vizsgálata A rúdkihajlás vizsgálatakor alkalmazott általános összefüggéseket a lemez vizsgálata során is felhasználtam. Így többek között a [15] [16] és [17] összefüggéseket a szakirodalom alapján lemezek esetében is alkalmaztam (Whitney, 1987). Ezt előrebocsátva a lemez modellezését a következők szerint hajtottam végre:

4.2.1. A lemez modellezése A lemez modelljét – a rúd modelljéhez hasonlóan – az alábbi kitételeket alkalmazva vettem fel: − a lemez anyagát tökéletesen rugalmasnak tételeztem fel, melynek anyagjellemzőit a kompozitoknál szokásos mátrixok tartalmazzák (A, D, B), − a lemez geometriáját tekintve derékszögű négyszög alakú (téglalap) alakú, teljes felülete mentén állandó vastagságú, és középfelülete a vizsgálat megkezdésekor x Ly

Px Pxy C2y Pxy Py

C1x

C2x

Pxy Py

C1y

z

Lx

Pxy Px y

Ábra 11: A lemezvizsgálat modellje

– 27 –





tökéletesen sík, önsúlya pedig elhanyagolható, − a lemez síkbeli megtámasztása és a terhelő erő a lemez középfelületében hat, − a lemezt a kihajlás előtti pillanatban alakváltozásmentesnek tételeztem fel, − a lemez négy peremét elfordulás ellen ható spirálrugó-sorral támasztottam meg, melyek az elfordulást Cxi, Cyi rugómerevségükkel gátolják, illetőleg − a térbeli koordinátarendszert úgy vettem fel, hogy az x és az y tengelyek a lemez középfelületébe essenek, és a lemez oldalaival párhuzamosak legyenek, az origó pedig a lemez egyik csúcsában helyezkedjen el. Ekkor a z tengely a lemez felületére merőleges (ld: Ábra 11: A lemezvizsgálat modellje).

4.2.2. Az egyenletek A lemeznek nemcsak a modelljét lehet a rúdmodellhez képest analóg módon felvenni, hanem a számításhoz szükséges egyenleteket is. Ezek közül az alábbiakban csak a legfontosabb egyenleteket közöljük. A teljes energia-kifejezést (δ2Π0) általánosan az alábbiak szerint írhatjuk fel: 1 2

∂ 2Π 0 =

Lx L y

∫ ∫ [N 0 0

T

L

L

Lx L y y 1 x T ε  T T T M  dydx + ∫ ϕ x C x ϕ x dx + ∫ ϕ y C y ϕ y dy − ∫ ∫ ε i Pε i dydx κ 2   0 0 0 0

]

[25]

Ha az [5] kifejezést behelyettesítjük, akkor az energia már csak a terhelő erőrendszer, az anyagra jellemző állandók és az alakváltozások függvénye lesz: ∂ 2Π 0 =

1 2

Lx Ly

∫ ∫ [ε 0 0

T

Ly Lx L Ly  A B  ε  1 x T T + ϕ ϕ + ϕ ϕ − ε i T Pε i dydx κT  dydx C dx C dy  κ  x x x y y y ∫ ∫ ∫ ∫ B D 2 0 0 0 0   

]

[26]

ahol: Cx

az x tengellyel párhuzamos oldalakon lévő elfordulás elleni rugók merevsége [27]

Cy

az y tengellyel párhuzamos oldalakon lévő elfordulás elleni rugók merevsége [28]

φx

az x tengellyel párhuzamos peremeken kialakuló elfordulás [29]

φy

az y tengellyel párhuzamos peremeken kialakuló elfordulás [30]

P

a peremeket terhelő erőrendszert leíró mátrix [31]

εi

az alakváltozások vektora [32]

– 28 –





A mátrixok és vektorok értékei pedig: 0  C1 ( x) Cx =  x C 2 x ( x)  0

[27]

0  C1 y ( y ) Cy =  C2 y ( y )  0

[28]

 ∂w( x = 0, y )    ∂y ϕx =    ∂w( x = Lx , y )    ∂y

[29]

 ∂w( x, y = 0)    ∂x ϕy =  ∂w( x, y = L y )      ∂x

[30]

Pxy ( x, y )  Px ( y ) P= Py ( x)   Pxy ( x, y )

[31]

 ∂w( x, y )    ε i =  ∂w(∂xx, y )     ∂y 

[32]

ε ≡0

[33]

 ∂ 2 w( x, y )    2  2∂ x  ∂ w( x, y )   κ =  ∂2 y  2  2 ∂ w( x, y )   ∂x∂y 

[34]

illetőleg:

A stabilitásvizsgálat során a kihajlás előtti pillanatban a kritikus teher már éppen rajta van a szerkezeten, ezért a terhelés hatására bekövetkező összenyomódási alakváltozások eddigre már lezajlottak. Mivel karcsú szerkezeteket vizsgálok, ezért a kihajlás rugalmas kihajlással következik be. Ez azt jelenti, hogy a kihajlás során a szerkezet további összenyomódási alakváltozásokat már nem fog elszenvedni. Ezek

– 29 –





alapján ha a kihajlás előtti állapotot választom kiindulási, „alakváltozásmentes” állapotnak, akkor a kihajlás során összenyomódási alakváltozások nem keletkeznek, vagyis a [33] feltételezés lesz érvényes. A vizsgálat során egy további megkötést is alkalmazunk: mivel a P terhelő erőrendszer x és y függvénye, ezért a számítás során az x és y irányú erők egymáshoz viszonyított arányát rögzítjük, ezáltal egyparaméteres terhet kapunk. A számításaink során paraméterként a λ alkalmazzuk (indoklás ld. lejjebb). Ezeknek a megkötéseknek a figyelembe vételével az energia-kifejezés tagjai az alábbiak szerint képezhetők: A Pcr erőrendszer elmozdulása a ∆Lx és a ∆Ly hosszon, illetőleg a lemez síkjában bekövetkező szögtorzuláson Whitney alapján (Whitney, 1987.): 1 Lk = λ ⋅ 2

Lx L y

2

2

 ∂w( x, y )  ∂w( x, y ) ∂w( x, y)  ∂w( x, y )  dydx ∫0 ∫0 Pcr , x  ∂x  + Pcr , y  ∂y  + 2 Pcr , x ∂x ∂y

[35]

A peremeken lévő, elfordulást gátló rugókban a kihajlás következtében felhalmozódó energia a következők szerint számítható: 2

2

LR =

L

2

2

L y  ∂w ( x , y = L y )   ∂ w( x , y = 0 )  1 x 1  ∂ w( x = L x , y )   ∂w( x = 0, y )      ( ) ( ) dx C1 y ( x ) C y C y + +  dy  + C 2 y ( x ) 1x 2x     2 ∫0 2 ∫0 ∂y ∂y ∂x ∂x        

[36]

A lemezben kialakuló rugalmas deformáció energiaértéke pedig:

1 LR = 2

Lx L y

 ∂ 2 w( x, y ) ∫0 ∫0  ∂x 2

∂ 2 w( x, y ) ∂y 2

 ∂ 2 w( x, y )    ∂x 2   ∂ 2 w( x, y )   ∂ 2 w( x, y )  2 D  dydx ∂x∂y   ∂y 2  2  2 ∂ w( x, y )   ∂x∂y 

[37]

Mindezeket összevetve az energia-kifejezés egy, a terhelő erőrendszertől, az anyagi jellemzőktől és a kihajlási kihorpadási alaktól függő meglehetősen hosszú, de egyszerűen kiszámítható egyenlőséggé alakul át: 1 ∂ Π0 = 2 2

Lx L y

∫ ∫κ 0 0

T

Lx

Ly

Dκ dydx + ∫ ϕ x C x ϕ x dx + ∫ ϕ y T

0

0

illetőleg a behelyettesítéseket elvégezve:

– 30 –

T

1 C y ϕ y dy − λ ⋅ 2

Lx L y

∫ ∫ε 0 0

T i

Pε i dydx

[38]





 ∂ 2 w( x, y )    2  ∂w( x, y )    2 ∂x Lx L y 2 2 2 Pxy ( x, y )  ∂x   ∂ w( x, y ) ∂ w( x, y)  ∂w( x, y ) ∂w( x, y)   Px ( y ) ∂ w( x, y )   ∂ w( x, y )  1 2 ∂ Π0 = ∫ ∫  2   dydx + D   − λ ⋅  ∂x Py ( x)   ∂w( x, y )  ∂y   Pxy ( x, y) ∂y 2 ∂y 2 ∂x∂y   2 0 0  ∂x 2    2  ∂y  2 ∂ w( x, y )    ∂x∂y   ∂w( x = 0, y )  L  0  1 x  ∂w( x = 0, y ) ∂w( x = Lx , y )  C1x ( x) ∂y + ∫   dx +  0  C2 x ( x)  ∂w( x = Lx , y )  ∂y ∂y 2 0  ∂y   Ly

1  ∂w( x, y = 0) + ∫ 2 0 ∂x

 ∂w( x, y = 0)  0   ∂w( x, y = Lx )  C1 y ( y) ∂x   dy  0   ( , ) w x y L ∂ = C2 y ( y )  ∂x x    ∂x  

[39]

A következő lépésként a kihajlási alak, w(x,y) helyére kell F(x,y) közelítő függvényt beírni. A közelítő függvény felvételekor a függvénysor egyes függvényeit egy csak x-től és egy csak y-tól függő polinom szorzataként írjuk fel. Ez a felírási mód lehetővé teszi az x és az y változók önálló kezelését, ezáltal megkönnyítve a deriválások és integrálások elvégzését. Ehhez a felírási módhoz az eddig vektorba összefogható ak együtthatókat is át kell csoportosítani egy a mátrixba. Az aij együtthatókat az ak együtthatókból a polinomok fokszáma alapján tudjuk szétválogatni (i az x-es tagok hatványkitevőjét, j az y-os tagok hatványkitevőjét jelenti). Az x és y változók szerinti szétbontás után kézenfekvő megoldásként kínálkozik a következő közelítő függvényalak: n

m

F (x, y ) = ∑∑ aij ⋅ x i y j

ahol n és m legalább 2.

[40]

i = 0 j =0

mert: − egyszerűen megfogalmazható, − programozás-technikailag jól formulázható, akár mátrixos alakban is, − a deriváltjai és integráljai könnyedén előállíthatók és − a közelítés pontosságának „fokozása” a polinom fokszámának emelésével (n, m növelésével) könnyen megvalósítható, valamint − a polinom felírása független a peremfeltételektől, mert azok kielégítése a számítás következő lépésében történik meg, vagyis ez a megfogalmazás a peremfeltételektől függetlenül általánosan igaz. Azonban a peremfeltételek kielégítéséhez szükséges átalakításokat ebben a formában nagyon körülményes elvégezni! A probléma egydimenziós (rúdkihajlás-vizsgálat) során nem jelentkezik, mert a peremfeltételekből az a0 és az a1 együtthatók kifejezhetők, és

– 31 –





ezeket a polinomba visszahelyettesítve, a közelítő függvényre egy a2..an-től függő kifejezést kapunk. Kétdimenziós esetben (lemezkihajlás-vizsgálat során) azonban az a0i és az aj0 együtthatók az x=0 és y=0 peremen lévő feltételből kiesnek, de például az a1 értékek kifejezésekor az aj1 tagok is bekerülnek a kifejezésbe, ezért nem lehet a polinomból ezeket a tagokat eliminálni. Ugyanez az eset áll fenn, ha az aj1 tagokat kívánjuk kifejezni. Ez pedig azt jelenti, hogy nem tudjuk sem az aj1, sem pedig a1i tagokat a közelítő függvényből eliminálni, vagyis nem tudjuk peremfeltételeket kielégíteni. Ezt a problémát szemléletesen egy mátrixszal modellezhetjük: a peremfeltételek vagy az első sorra, vagy az első oszlopra vonatkoznak, nekünk pedig az első sort és az első oszlopot is el kell hagynunk a polinom kifejezésből. Ez nem lehetséges, mert az első (1,1) elem mindkét peremfeltételben benne van. Ezen problémák („zsákutcák”) miatt célravezetőbb a polinomos közelítés olyan felírása, melyben az egyes függvénytagok eleve kielégítik a peremfeltételeket. Habár így a polinom megfogalmazása már nem lesz általános érvényű, azonban a peremei mentén elmozdulás ellen megtámasztott lemezek vizsgálatához ez is elegendő([16]): n

m

F (x, y ) = ∑∑ aij ( x i − Lx x i −1 )( y j − L y y j −1 )

[41]

i=2 j =2

A peremfeltételek kielégítéséhez az a0j, a1j, ai0, az ai0 együtthatókat ki kell ejtenünk, ezért a szummázás csak i=2, j=2-től indul. A [21]-es összefüggés analógiájára a [41] kifejezés a következő mátrixos formára hozható: T

F ( x, y ) = x a y

[42]

ahol az xT, y és a mátrixok az alábbiak szerint értelmezendők: T

[(

) (x

[(

) (y

x = x 2 − Lx x1 T

y = y 2 − L y y1  a22 a 32 a=   an 2

3

− Lx x 2 3

)

− Ly y 2

...

)

a23 ... a2 m  a33 ... a3 m    an 3 ... anm 

– 32 –

...

(x

n

(y

− Lx x n −1 m

)]

− Ly y m −1

[43]

)]

[44]

[45]





A deriváltvektorokat a megfelelő vektorok minden egyes tagjának deriválásával állíthatjuk elő, és x, x, y , y -tal jelöljük. Ezt felhasználva az energia-kifejezésben a kihajlási alaktól függő tagok az alábbiak szerint számíthatók (ld. még [29] [30] [32] [34]):  xT a y   T  κ =  x a y   T  2 x a y 

[46]

 x T a y  εi =  T   x a y 

[47]

 x T a y  ϕ x =  Tx =0   x x = Lx a y 

[48]

 x T a y  y =0  ϕy =  T  x a y  y = Ly  

[49]

A vektorok és mátrixok ismeretében a rendszer teljes energiáját – mátrixos formában – a következő összefüggés adja: 1 ∂ Π0 = 2 2

∫ ∫ [x

Lx L y

T

ay

0 0

L

1 x T + ∫  x a y y =0 2 0

 xT a y    T T T T x a y 2 x a y D  x a y  − λ ⋅ x a y  T  2 x a y   

]

[

Ly  T  0   x a y y =0  1  C1x ( x) T + x a y dx x a y T  y =Ly   C2 x ( x)  x a y 2 ∫0 x =0  0 y = Ly   

[

T

]

T Pxy ( x, y )   x a y   Px ( y )  x a y   T  dydx + ( , ) ( ) P x y P x xy y    x a y  T

]

0   x x =0 a y  C1 y ( y ) T dy x x = L a y   T x 0 C a y  2 y ( y )  x   x = Lx  T

[50] Ezután a kijelölt integrálások elvégzése következik, majd az aij szerinti deriváltakat kell előállítani. Mivel az F(x,y) függvényben az együtthatók első hatványon szerepelnek csak, és az integrál-kifejezésekben az F(x,y)-nak csak a szorzatai fordulnak elő, ezért a deriváltakban az aij tényezők maximálisan az első hatványon szerepelnek csak, vagyis aij -re nézve ez egy lineáris, homogén egyenletrendszert ad: E⋅a = 0

– 33 –

[51]





A [38] és [39] egyenleteket figyelve azt is megállapíthatjuk, hogy az [51] egyenletrendszer E mátrixát szétbonthatjuk egy, a P-t tartalmazó (E2), és egy, a P-t nem tartalmazó mátrixra (E1). Ha ezt a szétbontást végrehajtjuk, akkor a terhelő erőrendszer λ teherparaméterét az E2 mátrix elé skalár szorzóként kiemelhetjük. Az átalakítás előnye, hogy így az egyenletrendszer egy sajátérték problémává alakítható, amelynek a megoldására már számos, numerikusan stabil számítási módszert dolgoztak ki: ( E1 − λ ⋅ E 2 )a = 0

[52]

Ha a sajátérték feladatot numerikusan megoldjuk, akkor a λ sajátértékek azokat a teherszorzókat fogják tartalmazni, amelyek esetén a potenciális energia stacionáriussá válik. A kihajlás már a legkisebb teherparaméter esetén be fog következni, ezért az eredmények közül a mindig a legkisebb teherparamétert kell horpadási kritikus teherparaméterként figyelembe venni.

4.2.3. A vizsgálat menete A számítás alapösszefüggését az [50] kifejezés adja. A rúdkihajlással ellentétben a lemezek horpadásvizsgálatánál a merevséget nem 1x1-es, hanem 3x3 mátrix tartalmazza, emiatt a kézi kifejtés és az integrálás lekövetése meglehetősen komplikálttá válik. Ezért a számítógépes programban nem alkalmaztunk a számítást gyorsító átalakításokat, hanem a teljes [50] kifejezést programoztuk be. A program a következő lépéseket végezte el n és m értékét két, egymásba ágyazott ciklussal lépésenként növelve (n=2, és m=2-től indulva): − mátrixok, vektorok definiálása az n és az m méret függvényében.(a, x, y, illetőleg ezek deriváltvektorai) − mátrixok, vektorok feltöltése, − a mátrixok és vektorok behelyettesítése az energia-összefüggésbe, − az aij szerinti deriváltakból álló vektor kiszámítása, − a sajátérték feladat mátrixainak kiszámítása (E1, E2), − a sajátérték feladat megoldása. A program minden egyes ciklusban a kapott sajátértékek közül a legkisebbet választotta ki, mint horpadási kritikus teherparamétert, és azt az (n, m) értékpárral összekapcsolva eltárolta, majd a futtatás végén az eredményekből egy grafikont rajzolt.

– 34 –





4.2.4. A számítás eredményei A számítást először a szakirodalomban fellelhető kidolgozott „mintapéldák” adataival végeztük el, hogy kontrolláljuk a program működését. A számításokat először konkrét számértékekkel végeztük el, mert a sajátérték feladat megoldása numerikus értékek használatával lényegesen egyszerűbb, mint a MAPLE által ugyan támogatott, de meglehetősen instabil szimbolikus kifejezések használatával. A futtatást több modellen is elvégeztük: először a peremei mentén csuklósan megtámasztott lemezt vizsgáltuk, majd a befogott és az elfordulás ellen a peremei mentén rugósorral megtámasztott lemezre is elvégeztük a számításokat. A modelleket, programok futtatási paramétereit, a szakirodalmi eredményeket (Kollár et al., 2003.), valamint az általunk kapott numerikus értékeket az alábbi ábrák és táblázatok foglalják össze (Ábra 13: A tesztfuttatás konvergenciája, valamint a Táblázat 6: Az első tesztfuttatás eredményei). A kapott eredmények azt mutatják, hogy a számítások eredményei másod és harmadfokú polinomok esetén x gyakorlatilag nem különböznek. L Ennek az az oka, hogy a szerkezet szimmetrikus geometriai P viszonyú, valamint szimmetrikus terhelésű, ezért csak szimmetrikus görbe-tagok adnak az előzőeknél lényegesen jobb közelítéseket. Mivel a harmadfokú görbék nem lehetnek tükörszimmetrikusak a L lemez szimmetriatengelyére, ezért az eredményt csak alig z pontosítják. Ugyanez a jelenség P y figyelhető meg a magasabb fokú, de páratlan hatványkitevőjű Ábra 12: A számítási modell tagoknál is mind x, mind pedig y irányban is. Ez fontos észrevétel, ugyanis így a páratlan hatványok kihagyásával az eredmény pontossága alig csökken, miközben az egyenletrendszer méretét majdnem a felére tudtuk visszaszorítani. Arra azonban figyelni kell, hogyha a rendszer szimmetriája elveszik, akkor a páratlan kitevőjű tagok is lényegessé válhatnak. y

x

x

x

Lx= 0,200 m Ly= 0,700 m

D11= 45,30 Nm D12= 19,52 Nm

– 35 –

D22= 25,26 Nm D66= 20,62 Nm





Szakirodalmi eredm. Nxcr Nycr [kN/m] [kN/m] 13,670 13,670 13,670 13,670 13,670 13,670 13,670 13,670 13,670 13,670 13,670 13,670 13,670 13,670 13,670 13,670 13,670 13,670 13,670 13,670 13,670 13,670 13,670 13,670

Polinom foksz. n m 2 3 4 5 6 7 8 9 2 3 4 5 6 7 8 9 2 3 4 5 6 7 8 9

Számítási eredmény Nxcr Nycr [kN/m] [kN/m] 16,12050 16,12050 13,71471 13,71471 13,70850 13,70850 13,70849 13,70849 16,12050 16,12050 13,71471 13,71471 13,70850 13,70850 13,70849 13,70849 16,07873 16,07873 13,67281 13,67281 13,66660 13,66660 13,66660 13,66660 -

2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 4 4

Eltérés ∆Nxcr ∆Nycr [kN/m] [%] [kN/m] [%] 2,4505 17,93 2,4505 17,93 0,0447 0,33 0,0447 0,33 0,0385 0,28 0,0385 0,28 0,0385 0,28 0,0385 0,28 2,4505 17,93 2,4505 17,93 0,0447 0,33 0,0447 0,33 0,0385 0,28 0,0385 0,28 0,0385 0,28 0,0385 0,28 2,4087 17,62 2,4087 17,62 0,0028 0,02 0,0028 0,02 -0,0034 -0,02 -0,0034 -0,02 -0,0034 -0,02 -0,0034 -0,02 -

Táblázat 6: Az első tesztfuttatás eredményei

Az első tesztfuttatás konvergenciája 20,00 18,00 16,00 14,00 12,00 10,00 8,00 6,00 4,00 2,00 0,00 -2,00 2

m=2 m=3 m=4

3

4

5

6

7

8

9

Ábra 13: A tesztfuttatás konvergenciája

Következő tesztpéldánk egy négyzetes lemez volt. A számítást m=2 esetében n=2..10-re végeztük el, azonban m=3-tól kezdve – az előbbi megállapítást figyelembe véve – már csak párosával haladtunk felfele. A számítás eredményei az elvárásoknak

– 36 –





megfelelően alakultak (Táblázat 7: A második teszt eredménye, Ábra 14: A második futtatás eredményeinek eltérése): Az eredmények a negyedfokú polinom-tagok megjelenésével ugrásszerűen pontosodtak, de az eredmény csak akkor ért a feladat szakirodalmi megoldásának 1 hiba%-os közelébe, amikor mindkét irányba legalább negyedfokú függvényt alkalmaztunk. Ennek az az oka, hogy a négyzet alakú lemez kétirányú teherviselő, ezért mindkét irányba jól kell közelíteni a kihajlási alakot, hogy a kihajlási terhet minél pontosabban kaphassuk meg. Lx= 0,200 m Ly= 0,200 m Szakirodalmi eredm. Nxcr Nycr [kN/m] [kN/m] 47,394 47,394 47,394 47,394 47,394 47,394 47,394 47,394 47,394 47,394 47,394 47,394 47,394 47,394 47,394 47,394 47,394 47,394 47,394 47,394 47,394 47,394 47,394 47,394 -

D11= 45,30 Nm D12= 19,52 Nm

Polinom foksz. n m 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 4 6 8 10 2 4 6 8 10 2 4 6 8 10

2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 6 6 6 6 6

D22= 25,26 Nm D66= 20,62 Nm

Számítási eredmény Nxcr Nycr [kN/m] [kN/m] 51,54800 51,54800 49,24138 49,24138 49,23545 49,23545 49,23545 49,23545 49,23545 51,54800 49,24138 49,23545 49,23545 49,23545 49,72980 47,40444 47,39845 47,39845 49,72524 47,39983 47,39385 -

Eltérés

∆Nxcr [kN/m] 4,1540 4,1540 1,8474 1,8474 1,8414 1,8414 1,8414 1,8414 1,8414 4,1540 1,8474 1,8414 1,8414 1,8414 2,3358 0,0104 0,0045 0,0045 2,3312 0,0058 -0,0002 -

∆Nycr [kN/m] [%] -

[%] 8,76 8,76 3,90 3,90 3,89 3,89 3,89 3,89 3,89 8,76 3,90 3,89 3,89 3,89 4,93 0,02 0,01 0,01 4,92 0,01 0,00 -

Táblázat 7: A második teszt eredménye

eltérése [%]

A második tesztfuttatás konvergenciája 12,00 10,00 8,00 6,00 4,00 2,00 0,00

m=2 m=3 m=4 m=6 2

4

6

8

Ábra 14: A második futtatás eredményeinek eltérése

– 37 –

10





Az első futtatáskor a lemez oldalaránya 1:3,5 volt, ami az 1:2 határnak tekinthető értéket jóval meghaladja, ezért a keresztirányú hatás alig volt érzékelhető (3,3‰-ről 0,2‰-re csökkent a számított eredmény eltérése). A második futtatáskor a lemez 1:1 oldalarányú volt, ezért az eredmény pontossága a keresztirányú alak pontosabb figyelembe vételekor jelentősen javult: 39‰-ről 0,2‰-re. Ezeknek az eredményeknek a tükrében egy 1:2 oldalarányú lemezre is lefuttattuk a programot. Az eredmények nem okoztak nagy meglepetést: a keresztirányú tagok figyelembe vétele csak kisebb mértékben növelte a pontosságot: 10‰-ről 0,3‰-re csökkent az eltérés aránya (Ábra 15: Az 1:2 oldalarányú lemez eredményeinek pontossága, Táblázat 8: Az 1:2 oldalarányú lemez eredményei). Lx= 0,200 m Ly= 0,400 m

Szakirodalmi eredm. Nxcr Nycr

D11= 45,30 Nm D12= 19,52 Nm

Polinom foksz. n m

[kN/m]

[kN/m]

19,063

-

2

19,063

-

19,063

-

19,063

D22= 25,26 Nm D66= 20,62 Nm

Számítási eredmény Nxcr Nycr

Eltérés

∆Nxcr

∆Nycr

[kN/m]

[kN/m]

[kN/m]

[%]

[kN/m]

[%]

2

21,65863

-

2,5956

13,62

-

-

3

2

21,65862

-

2,5956

13,62

-

-

4

2

19,25841

-

0,1954

1,03

-

-

-

5

2

19,25841

-

0,1954

1,03

-

-

19,063

-

6

2

19,25221

-

0,1892

0,99

-

-

19,063

-

7

2

19,25221

-

0,1892

0,99

-

-

19,063

-

8

2

19,25221

-

0,1892

0,99

-

-

19,063

-

9

2

19,25221

-

0,1892

0,99

-

-

19,063

-

10

2

19,25221

-

0,1892

0,99

-

-

19,063

-

2

3

21,65863

-

2,5956

13,62

-

-

19,063

-

4

3

19,25841

-

0,1954

1,03

-

-

19,063

-

6

3

19,25221

-

0,1892

0,99

-

-

19,063

-

8

3

19,25221

-

0,1892

0,99

-

-

19,063

-

10

3

19,25221

-

0,1892

0,99

-

-

19,063

-

2

4

21,47084

-

2,4078

12,63

-

-

19,063

-

4

4

19,06945

-

0,0065

0,03

-

-

19,063

-

6

4

19,06325

-

0,0003

0,00

-

-

19,063

-

8

4

19,06325

-

0,0002

0,00

-

-

19,063

-

10

4

19,06325

-

0,0002

0,00

-

-

19,063

-

2

6

21,47043

-

2,4074

12,63

-

-

19,063

-

4

6

19,06904

-

0,0060

0,03

-

-

19,063

-

6

6

19,06284

-

-0,0002

0,00

-

-

19,063

-

8

6

-

-

-

-

-

-

19,063

-

10

6

-

-

-

-

-

-

Táblázat 8: Az 1:2 oldalarányú lemez eredményei

– 38 –





A harmadik tesztfuttatás konvergenciája 12,00 10,00 m=2

8,00

m=3

6,00

m=4

4,00

m=6

2,00 0,00 2

4

6

8

10

Ábra 15: Az 1:2 oldalarányú lemez eredményeinek pontossága

Az egyirányú terhelésű lemez mellett egy kétirányban terhelt, négyzetes lemez esetére is elvégeztük a számítást. A negyed és magasabb fokú polinomos közelítést alkalmazva a szakirodalomban található explicit alakú számítási kifejezéshez képest az eredmények egyaránt 1% körüli felülbecslést adtak (Táblázat 9: A

x Ly

Px

Py

Py

Lx

z Px y

Ábra 16: A kétirányban terhelt lemez modellje

Lx= 0,200 m Ly= 0,200 m

Szakirodalmi eredm. Nxcr Nycr [kN/m]

[kN/m]

23,470 23,470

23,470 23,470

D11= 45,30 Nm D12= 19,52 Nm

Polinom foksz. n m 2 3

kétirányban terhelt négyzet alakú lemez eredményei, Ábra 17: A kétirányban terhelt négyzetes lemez eredményei):

2 2

Számítási eredmény Nxcr Nycr

D22= 25,26 Nm D66= 20,62 Nm

Eltérés

∆Nxcr

∆Nycr

[kN/m]

[kN/m]

[kN/m]

[%]

[kN/m]

[%]

25,77400 25,77400

25,774 25,774

2,3040 2,3040

9,82 9,82

2,3040 2,3040

9,82 9,82

– 39 –





23,470 23,470 23,470 23,470 23,470 23,470 23,470 23,470 23,470 23,470 23,470 23,470 23,470 23,470 23,470 23,470 23,470 23,470 23,470 23,470

23,470 23,470 23,470 23,470 23,470 23,470 23,470 23,470 23,470 23,470 23,470 23,470 23,470 23,470 23,470 23,470 23,470 23,470 23,470 23,470

4 5 6 7 8 9 10 2 4 6 8 10 2 4 6 8 10 2 4 6

2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 6 6 6

24,45956 24,45956 24,45617 24,45617 24,45617 24,45617 24,45617 25,77400 24,45956 24,45617 24,45617 24,45617 25,02771 23,70229 23,69887 23,69887 23,69887 25,02578 23,70034 23,69692

0,9896 0,9896 0,9862 0,9862 0,9862 0,9862 0,9862 2,3040 0,9896 0,9862 0,9862 0,9862 1,5577 0,2323 0,2289 0,2289 0,2289 1,5558 0,2303 0,2269

24,460 24,460 24,456 24,456 24,456 24,456 24,456 25,774 24,460 24,456 24,456 24,456 25,028 23,702 23,699 23,699 23,699 25,026 23,700 23,697

4,22 4,22 4,20 4,20 4,20 4,20 4,20 9,82 4,22 4,20 4,20 4,20 6,64 0,99 0,98 0,98 0,98 6,63 0,98 0,97

0,9896 0,9896 0,9862 0,9862 0,9862 0,9862 0,9862 2,3040 0,9896 0,9862 0,9862 0,9862 1,5577 0,2323 0,2289 0,2289 0,2289 1,5558 0,2303 0,2269

4,22 4,22 4,20 4,20 4,20 4,20 4,20 9,82 4,22 4,20 4,20 4,20 6,64 0,99 0,98 0,98 0,98 6,63 0,98 0,97

Táblázat 9: A kétirányban terhelt négyzet alakú lemez eredményei

A negyedik tesztfuttatás konvergenciája

A kritikus teher értéke [kN/m]

26,00 25,50 25,00

m=2 m=3

24,50

m=4

24,00

m=6

23,50 23,00 22,50 2

4

6

8

10

A polinom x irányú fokszáma

Ábra 17: A kétirányban terhelt négyzetes lemez eredményei

Érdekességként végeztünk egy olyan számítást is, amelyben a lemez merevségi mátrixának első, D11 elemének adtunk csak értéket, míg a többi elemét kinulláztuk, valamint a lemezt y irányban kellően hosszúnak vettük fel. Az így elvégzett számítások gyakorlatilag a rúdkihajlás esetét adták vissza, vagyis az egyirányban teherhordó lemezek

– 40 –





számításához használatos helyettesítő gerenda elmélet itt is megállta a helyét. Az eredmények a polinomok fokszámának növelésével a Pcr =

π 2 D11 L2

[53]

értékhez tartottak. A befogott, illetve az elfordulás elleni rugósorral megtámasztott lemezperemek esetében is a csuklós peremű lemezeknél már részletezett számításokat végeztük el. A számítások eredményeit röviden a x következő összefüggések alapján, L a jellemző számértékek kiemelésével ismertetjük. Mindkét lemezfeladat számításánál a C következő modellt (Ábra 18: A rugós vagy befogott lemez számítási modellje) P alkalmaztuk, de eltérő rugómerevségekkel: befogott perem esetén a C1y, C2y értékek a D P L C mátrix elemeinek értékeinél 3-4 z nagyságrenddel nagyobb értéket y választva, a befogás már megvalósul, az elfordulások így Ábra 18: A rugós vagy befogott lemez számítási modellje gyakorlatilag zérus értékűek lesznek. y

2y

y

y

x

1y

A két esetre Kollár (Kollár et al., 2003.) a következő számítási kifejezéseket adta azzal a megkötéssel, hogy a vizsgált lemezből éppen egy, a legkisebb kihajlási kritikus teherhez tartozó hosszúságú Ly lemezdarabot kell kiemelni: befogott esetben:

Py ,cr =

rugós esetben:

Py ,cr =

ξ=

(

)

π2 4,53 D11 D22 + 2,62(D12 + 2 D66 ) L2x

(

[54]

)

π2 2 1 + 4,139ξ D11 D22 + (2 + 0,62ξ 2 )(D12 + 2 D66 ) L2x

[55]

1 1 + 10

D22 Ciy ⋅ Lx

[56]

ahol Ly hosszát az alábbiak szerint kell megválasztani:

– 41 –





befogott esetben:

L y = 0,664 Lx 4

rugós esetben:

Ly = 4

D11 D22

1 D Lx 4 11 1 + 4,139ξ D22

[57]

[58]

A C1y=C2y értékét rugalmas megtámasztás esetén 125 Nm-nek vettünk fel, míg befogott perem esetén 10000 Nm-t alkalmaztunk. A további paraméterek (geometria, anyagjellemzők) pedig a következők: Anyagi jellemzők D11= D22= D12= D66=

45,30 25,26 19,52 20,62

Geometriai jellemzők

Nm Nm Nm Nm

Lx= 1,000000 m Ly,bef= 0,768390 m Ly,rug= 0,932656 m ξ= 0,331038

Táblázat 10: A befogott és a rugós peremű lemez számítási paraméterei

Vegyük először a befogott lemez esetét: a fenti adatokat az [54]-es kifejezésbe behelyettesítve kritikus teherértékre Pcr,bef=3083,5 N/m-t kaptunk. A program által adott eredmények pedig Pcr,bef=3168 N/m-hez közelítettek. Ezt az eredményt (n=4, m=4, 6, 8), valamint (n=6, m=4, 6) fokszámú polinomokra elvégzett számításokkal kaptuk (azért m a változó, mert y a terhelés iránya). A két különböző módon számított eredmény 2,7%kal tér el egymástól, és az egyre magasabb fokú polinomokkal dolgozó közelítő eredmények alapján ez az eltérés tartósnak mondható: az m=6 és az m=8 eredményei között alig van eltérés, vagyis a kapott érték a végleges érték körülinek tekinthető (mégha lesz is javulás, az biztosan nem éri el a 2,5%-ot). A rugalmasan befogott lemez esetében ez az eltérés kb. 2/3-ára csökkent: az [55]-ös kifejezéssel számítható kritikus teher értéke Pcr,rug=2268,1 N/m, míg a program Pcr,rug=2229 N/m-ben határozta meg. A differencia az (n=4, m=4, 6, 8), illetőleg az (n=6, m=4, 6) értékpárokra nézve is 1,7%-ra adódott, az eltérések csak a tizedesjegyekben mutatkoztak meg. Ez egyben azt is jelenti, hogy az eredmények már nem fognak jobban a meglévő explicit alakhoz közeledni. Ezek a kontroll-számítások azt mutatták, hogy a program jól működik, minden esetben a várt eredményeket adta ki és az eredmények konvergenciája itt is jól látható volt: a rudak vizsgálatakor tapasztalt konvergencia-tulajdonságok (4. tag már rohamos

– 42 –





közelítést eredményez) itt is megmaradtak. Ugyanakkor arra is felhívta a figyelmet, hogy a lemezek geometriája nagymértékben befolyásolja a számítás eredményét: előfordulhat, hogy mindkét irányba legalább a negyedfokú tagokat kell alkalmaznunk, hogy a közelítésünk elegendően pontos legyen.

4.2.5. Az explicit összefüggések együtthatóinak keresése Az eredményes „kontroll-futtatások” után a jelen dolgozat célkitűzésén túlmutató, a 2.2. A cél ismertetése című rész alapján a következő részfeladathoz tartozó együtthatómeghatározásokba is belekezdtünk. A számításokat egyelőre még csak alacsonyabb fokszámú polinomokra végeztük el, így a közelítések még nem elegendően pontosak, de a számítási modelltől elvárt működést már így is mutatják. Példának a már Lekhnitskii által megoldott (Lekhnitskii, 1968.), négy pereme mentén csuklósan megtámasztott lemez kritikus terhének meghatározását emelném ki: A számításokat másod és harmadfokú polinomos közelítés esetére elvégezve az együtthatók a rúdkihajlás vizsgálatakor kimutatható 21% eltérést mutatták, azonban negyedfokú polinomot felvéve az eredmény már 1‰ belül volt az elméleti úton levezethetőhöz képest: 2-od fokú:

N xcr =

π2 2 Ly

2 2   Ly L 1,21585420370 ⋅ D + 1,21585420370 ⋅ D22 x 2 + 2,02642367284 ⋅ ( D12 + 2 D66 )  11 2   L L x y  

[59]

3-ad fokú:

N xcr =

π2 2 Ly

2 2   Ly L 1,21585420370 ⋅ D + 1,21585420370 ⋅ D22 x 2 + 2,02642367284 ⋅ ( D12 + 2 D66 )  11 2   Lx Ly  

[60]

4-ed fokú:

N xcr =

2 2  Ly L π 2  1,00055656769 ⋅ D11 2 + 1.00055656768 ⋅ D22 x 2 + 2.00002942777 ⋅ ( D12 + 2 D66 )  2   Ly Lx Ly  

Lekhnitskii:

N xcr =

π2 2 Ly

2 2   L 1 ⋅ D y + 1 ⋅ D L x + 2 ⋅ ( D + 2 D )  22 12 66 11 2 2   Lx Ly  

[61] [62]

A program futtatásaikor kapott, a szakirodalomi eredményekkel összevetett, helyes számítási eredmények, illetőleg a Lekhnitskii által megadott együtthatók pontos értékének ilyen jó közelítése arra enged következtetni, a 2.2. A cél ismertetése című szakasz alatt felvázolt teljes elemzési folyamat eredményesen megvalósíthatónak mondható.

– 43 –





5. Az elvégzett vizsgálatok értékelése

5.1. Az eredmények értékelése Mint arra már az egyes számítások után röviden kitértem, a szakirodalmi adatokkal való összevetés minden esetben kedvező eredményeket hozott. Annak ellenére, hogy a polinomos közelítést a szakirodalom (Korányi, 1965.) lassabban konvergálónak tekinti, már viszonylag alacsonyabb fokszámú polinomok is igen jó eredményeket adtak, és nem utolsó sorban használatuk és számításuk is egyszerű volt. Ezeket az eredményeket a polinom fokának, az eredmény pontosságának, és a vizsgált lemezmodell összetettségének függvényében ábrázolva érdekes, de cseppet sem meglepő összefüggéseket kapunk: a modellek bonyolultságának növekedésével a közelítő függvényben alkalmazott polinomok fokszámának is növekedni e kell, hogy az adott pontosságot elérhessük. Persze a polinomok fokszámának van felső „határa” is: egyfelől a számítandó egyenletrendszer mérete válik túlzottan naggyá, másfelől a 8-adik, 10-edik hatvány figyelembe vétele után az eredmények már alig-alig változnak, gyakorlati szempontból az e fölötti tagok figyelmen kívül hagyhatók. Ezt a megállapítást egyébként a számítás során szerencsésen alkalmazni is tudtuk: az egyenletrendszer mérete a tizedfokú polinomok esetében – egy kis bűvöléssel – még éppen belefért a MAPLE szabta korlátokba. A vizsgálati modell összetettséget több paraméter együttes hatásaként tudjuk értelmezni, ugyanis: − egyrészt a lemez geometriai méretei nagyban befolyásolják a teherviselési irányokat, ezáltal a hosszirányú megtámasztások hatásának érvényesülését a keresztirányú terhek hatásában is, − másrészt a megtámasztási módok is különböző függvényalak-igényeket támasztanak, amit csak a megfelelően magas fokszámú polinomok tudnak kielégíteni (pl: befogást nem lehet másodfokú függvénnyel számítani, mert a második deriváltja, a görbület úgy konstans lesz, nem pedig átmetsző függvény).

– 44 –





Ezért az összehasonlítást mindig az ugyanolyan megtámasztású, de eltérő geometriai kialakítású lemezek esetében vetettük össze. Mindezek tükrében a számítások gyakorlati eredményeit az alábbiakban foglaljuk össze: − megállapíthatjuk, hogy a polinomos közelítést alkalmazó Ritz-Timoshenko eljárás sikeresen alkalmaztuk a kompozit lemezek lokális stabilitásvizsgálatainál. − A számítások elvégzéséhez szükséges, futtatható programot elkészítettük, és annak próbafuttatásaival az eredményeit ellenőriztük. − A próbafuttatások során megállapítottuk, hogy a szimmetrikus szerkezeti és teherkialakításnál csak a páros (szimmetrikus) polinomok adnak további pontosító eredményt, a páratlan függvények pedig csak alig befolyásolják az eredményeket. − A szakirodalomban fellelhető explicit kifejezések eredményeit a peremek megtámasztási viszonyaitól függően már mindkét irányban negyedfokú polinomok alkalmazása esetén kellő pontossággal visszakapjuk: − az egyszerűbb, csuklós megtámasztás esetében negyedfokú polinomok alkalmazása esetén az eredmények 0,5-1%-on belül közelítik az explicit alakokból számítható értékeket, nyolcad fokú polinomok alkalmazásakor pedig gyakorlatilag ugyanazt az eredményt kapjuk vissza. − Ezzel szemben a bonyolultabb, rugós vagy befogott lemezperemek esetében a számítás negyedfokú polinomok esetében 2-3%-ra közelíti meg az explicit kifejezés értékét, és a konvergenciát figyelembe véve nyolcad vagy tizedfokú polinom esetében sem közeledik tovább. Ezeket a hasznos tapasztalatokat és megállapításokat a következő, az explicit kifejezések együtthatóinak meghatározására irányuló vizsgálatoknál tudjuk majd alkalmazni. Erről és a még hátralévő feladatokról a következő szakaszban adunk ízelítőt.

5.2. A további feladatok áttekintése A 2. Célkitűzésünk című szakaszban összefoglaltak alapján a jelen dolgozat keretében elvégzendő feladatokat sikeresen elvégeztük, sőt a kijelölt részeken túllépve a következő részbe is belekezdtünk. A sikeresen lezáruló első rész után most tekintsük át még egyszer a hátra levő feladatokat a megoldott első rész tapasztalatai alapján:

– 45 –





A működő program segítségével először a már meglévő explicit kifejezések együtthatóit kell ismételten meghatároznunk. Ennek a lépésnek három oka is van: egyfelől a már megoldott részek a különböző peremmegtámasztási viszonyokat átölelik, így a konkrét számítások elvégzéséhez kvázi mintapéldákat végzünk, másfelől a már meglévő eredményeket is kontrolláljuk vele, illetőleg a számítások során egységes jelölés- és paraméterrendszerre térhetünk át. Az explicit alakok „megoldása” után a még megoldásra váró feladatokat kell elvégeznünk az előzőekhez hasonlóan. Ha ezt sikerül befejeznünk, akkor a folyamat második részét is befejeztük. Az utolsó részegységben már csak a kidolgozott explicit kifejezéseket kell a keresztmetszeteket alkotó lemezelemekre alkalmazni, hogy a szelvény kritikus terhét megkaphassuk, vagyis, hogy egy komplett méretezési eljárást adjunk a kompozit pultrudált termékek méretezéséhez.

– 46 –





6. Összefoglalás TDK dolgozatom záróakkordjaként rövid áttekintést nyújtok a tervbe vett célról, az eddig elvégzett feladatokról, és azok eredményeiről, végül a még teljesítendő részekről. A szálerősítésű műanyag termékek gyártástechnológiájának fejlődése az építési gyakorlatban is elérhető árú termékek létrehozását tette lehetővé. Ezek a vékonyfalú, pultrudált kompozit I, C, U, stb keresztmetszetű termékek nagy szilárdságuk miatt kis keresztmetszeti falvastagságokkal készülnek, ezért fő tönkremeneteli módjuk alkotólemezeik lokális stabilitásvesztése. Az igen kedvező tulajdonságú (könnyű, korróziónak ellenálló) termékek elterjedése azonban kiforrott méretezési eljárások hiányában nem várható. A szakirodalomban sorra jelennek meg az egyes méretezési részfeladatokra megoldást nyújtó eljárások, azonban a teljes méretezési eljárás még várat magára. A nagyszilárdságú, de vékonyfalú szelvények terhelhetőségét alapvetően alkotólemezeik teherbírása határozza meg (Barbero, 2000.). Ezért a legfontosabb lépés, hogy az alkotólemezek teherbírását meg tudjuk határozni, mert innen már a szelvény teherbírása az egyenkénti teherbírásokból meghatározható. A számítások elvégzésére használhatunk numerikus megoldásokat is, amik egy konkrét szál-mátrix felépítésre megadják a teherbírást, azonban ezek alapján méretezési táblázatokat nem célszerű készíteni, mert a kompozitok összetétele a gyártás során egyszerűen, az igényeknek megfelelően változtatható. Ha méretezési táblázatokat készítünk, akkor azzal a nagyfokú gyártástechnológia adta rugalmasságot veszíthetjük el. Ezért a cél az lenne, hogy a lemezek teherbírását az anyagai és a geometriai jellemzők függvényében megadó kifejezést alkossunk, melyekkel egyszerűen, de mégis pontosan meg lehessen határozni az alkotólemezek és ezáltal a keresztmetszetek teherbírását. Ezért hosszútávon egy ilyen méretezési eljárás kidolgozását tűztük ki célul. A cél eléréséhez először is kellett egy eljárást találnunk, amivel a stabilitásvesztést okozó terheket ki tudjuk számolni. Ezután ezt a gyakorlati alkalmazásra elő kell készítenünk (pl: futtatható program formájában), majd alkalmaznunk is kell, hogy explicit kifejezéseket adhassunk az egyes lemezek teherbírására. Végül ezeknek a

– 47 –





kifejezéseknek a felhasználásával meg kell alkotnunk a kompakt méretezési eljárást, ami már a gyakorlati feladatok elvégzésére is alkalmas. Jelen TDK dolgozat keretében ennek a folyamatnak az első lépését végeztük el: kiválasztottuk a teherbírás-számító eljárást (Ritz-Timoshenko eljárás), majd megalkottuk a gyakorlatban használható programot. A működő programot a meglévő szakirodalmi összefüggések segítségével teszteltük, és futását, illetőleg a számítási eljárás pontosságát ellenőriztük. Az eredményeket röviden az alábbiak alapján foglalhatjuk össze: A program alapmodellje egy téglalap alakú kompozit lemez, amely a négy pereme mentén elfordulást gátló rugókkal van megtámasztva. Ebből a modellből a rugómerevségek megfelelő megválasztásával előállítható a csuklós és a befogott peremű lemez is. Ezek alapján a program működésének tesztelésekor ezt a három alapesetet vizsgáltuk (csuklós, rugós és befogott peremű lemezek). A számítások kimutatták, hogy a közelítő eljárás még a bonyolultabb peremmegtámasztású esetekben is a már meglévő explicit kifejezések értékeihez képest 3%-on belüli eredményt biztosít, viszonylag kevés közelítő tag (alacsonyabb polinomfokszám) esetén is. Az eredmények a legjobban a csuklós esetben konvergáltak, itt gyakorlatilag visszakaptuk az explicit megoldást, míg befogott és rugós perem esetén 2,5% - 1,7% eltérés adódott. A programot egy egyszerűbb esetben az explicit kifejezések együtthatóinak a meghatározására is alkalmaztuk. Ezek eredménye az előzőleg tapasztalt közelítéseknek megfelelően alakultak: a negyedfokú közelítés a már létező explicit megoldás értékéhez képest 0,2%-os eltérésen belülre vitte az eredményt. Mindezek alapján megállapíthatjuk, hogy a TDK dolgozatban kitűzött célunkat elértük, sőt azon kissé túlhaladva, a következő részfeladatba is belefogtunk. Az eddigi munka tapasztalatai alapján a kezdeti nehézségek után a teljes méretezési eljárás kidolgozása már elérhető célként áll előttünk.

– 48 –


Somogyi István Károly BME - Építőmérnöki Kar konz: Dr. Kollár László

Függelék 2003. október 27.

Irodalomjegyzék Palotás, L., Általános anyagismeret, Akadémiai Kiadó, Budapest 1979. Qiao, P., Davalos, J. F. and Wang, J., 1999., Equations Facilitate Composite Designs, Modern Plastic Mag., 76 (11), 77-80. Bleich., F., Buckling of Metal Structures, McGraw-Hill, New York 1952. Bulson., P. S., 1955., Local Instabilityroblems of Light Alloy Struts, Aluminium Development Association, Research Report 29, New York. Barbero, E. J., 2000., Prediction of Buckling-Mode Interaction in Composite Columns, Mechanics of Composite Materials and Structures, 7, 269-284. Kollár, L. P., 2002., Buckling of Unidirectionally Loaded Composite Plates with One Free and One Rotationally Restrained Unloaded Edge, ASCE, Journal of Structural Engineering, ********************* Lekhnitskii, S. G., 1968., Anisotropic plates, Gordon And Breach Science Publishers, New York 1968. Veres, I. A., Kollár, L. P., 2001., Buckling of Rectangular Plates Subjected to Biaxial Normal Forces, Journal of Composite Materials, 35 (7), 625-635. Kollár, L. P., 2001., Discussion on the paper: Qiao, P. Davalos, J. F. and Wang, J. ‘Local Buckling of Composite FRP Shapes by Discrete Plate Analysis’, ASCE, Journal of Structural Engineering, ********************* Barbero, E. J., 1999., Introduction to Composite Materials Design, Taylor & Francis, Philadelphia 1999. Kollár, L. P., Springer, G. S., 2003., Mechanics of Composite Structures, Cambridge University Press 2003. Korányi, I., Stabilitási kérdések a mérnöki gyakorlatban, Kihajlás a síkban, Akadémiai Kiadó, Budapest 1965. Iványi, M., Stabilitástan, Műegyetemi Kiadó, Budapest 1995. Whitney, J. M., Structural Analysis Of Laminated Anisotropic Plates, Technomic Publishing Co., Lancaster 1987. http://www.nwmultihull.org/builders/builders_tacoma_cats.htm http://www.deltronix.com/public/acp/acp-ez.htm

– 49 –


Somogyi István Károly BME - Építőmérnöki Kar konz: Kollár László


http://www.compositefactory.com/preforms.html http://dbweb.liv.ac.uk/engdept/content/centres/irc/Composite%20Beams.htm http://www.mdacomposites.org/Manufacturing.htm

– 50 –




1. sz. Függelék A „Rudak vizsgálata” című részhez tartozó MAPLE program forráskódja

Rúd analízise ================================= restart: with(linalg): with(plots): Digits:=21: atomb:=array(1..20,[a01,a02,a03,a04,a05,a06,a07,a08,a09,a10, a11,a12,a13,a14,a15,a16,a17,a18,a19,a20]): maxN:=14: P_CC:=[]: EI:=1: l:=1: C1:=0: C2:=0: for n from 2 to maxN do Mátrixok, vektorok inicializálása =================================== e:=array(1..n-1): for i from 1 to n-1 do e[i]:=1: od: e_t:=evalm(transpose(e)): L:=array(1..n-1): Lp:=array(1..n-1): for i from 1 to n-1 do L[i]:=l^(i+1): Lp[i]:=l^(i+1-1): od: a:=array(1..n-1,1..n-1): for i from 1 to n-1 do for j from 1 to n-1 do if i=j then a[i,j]:=atomb[i+1]: else a[i,j]:=0: fi: od: od:

– 51 –




A deriváltvektor összeállítása ================================== D_vec_P:=array(1..n-1): D_vec_EI:=array(1..n-1): Lkp:=array(1..n-1): Lkpp:=array(1..n-1): Lkppp:=array(1..n-1): At1:=array(1..n-1): At2:=array(1..n-1): At3:=array(1..n-1): for k from 1 to n-1 do for i from 1 to n-1 do Lkp[i]:=l^(i+1+k+1-1): Lkpp[i]:=l^(i+1+k+1-2): Lkppp[i]:=l^(i+1+k+1-3): ik[i]:=0: At1[i]:=evalf(((k+1)*(i+1)/(i+1+k+1-1))-1): At2[i]:=evalf((k+1)*(k+1-1)*(i+1)*(i+1-1)/(i+1+k+1-3)): At3[i]:=evalf((i+1-1)*(k+1-1)): od: At1_t:=transpose(At1): At2_t:=transpose(At2): At3_t:=transpose(At3): D_vec_P[k]:= multiply(At1_t,a,Lkp): D_vec_EI[k]:= (EI*multiply(At2_t,a,Lkppp) +C1*multiply(e_t,a,Lkpp) +C2*multiply(At3_t,a,Lkpp)): od: Egyenletrendszer megoldása ============================== eqvs_P:=[]: eqvs_EI:=[]: vars:=[]: eqvs_P:=convert(D_vec_P,list): eqvs_EI:=convert(D_vec_EI,list): for k from 1 to n-1 do vars:=[op(vars),atomb[k+1]]: od: E1:=evalf(genmatrix(eqvs_EI,vars)): E2:=evalf(genmatrix(eqvs_P,vars)): Csuklós-Csuklós rúd ======================= PsolCC:=min(eigenvals(E1,E2,vars)); P_CC:=[op(P_CC),[n,PsolCC]]: od: P_CR:=[]: EI:=1: l:=1: C1:=0: C2:=10000: for n from 3 to maxN do

– 52 –




Mátrixok, vektorok inicializálása =================================== e:=array(1..n-1): for i from 1 to n-1 do e[i]:=1: od: e_t:=evalm(transpose(e)): L:=array(1..n-1): Lp:=array(1..n-1): for i from 1 to n-1 do L[i]:=l^(i+1): Lp[i]:=l^(i+1-1): od: a:=array(1..n-1,1..n-1): for i from 1 to n-1 do for j from 1 to n-1 do if i=j then a[i,j]:=atomb[i+1]: else a[i,j]:=0: fi: od: od: A deriváltvektor összeállítása ================================= D_vec_P:=array(1..n-1): D_vec_EI:=array(1..n-1): Lkp:=array(1..n-1): Lkpp:=array(1..n-1): Lkppp:=array(1..n-1): At1:=array(1..n-1): At2:=array(1..n-1): At3:=array(1..n-1): for k from 1 to n-1 do for i from 1 to n-1 do Lkp[i]:=l^(i+1+k+1-1): Lkpp[i]:=l^(i+1+k+1-2): Lkppp[i]:=l^(i+1+k+1-3): ik[i]:=0: At1[i]:=evalf(((k+1)*(i+1)/(i+1+k+1-1))-1): At2[i]:=evalf((k+1)*(k+1-1)*(i+1)*(i+1-1)/(i+1+k+1-3)): At3[i]:=evalf((i+1-1)*(k+1-1)): od: At1_t:=transpose(At1): At2_t:=transpose(At2): At3_t:=transpose(At3): D_vec_P[k]:= multiply(At1_t,a,Lkp): D_vec_EI[k]:= (EI*multiply(At2_t,a,Lkppp) +C1*multiply(e_t,a,Lkpp) +C2*multiply(At3_t,a,Lkpp)): od:

– 53 –




Egyenletrendszer megoldása ============================== eqvs_P:=[]: eqvs_EI:=[]: vars:=[]: eqvs_P:=convert(D_vec_P,list): eqvs_EI:=convert(D_vec_EI,list): for k from 1 to n-1 do vars:=[op(vars),atomb[k+1]]: od: E1:=evalf(genmatrix(eqvs_EI,vars)): E2:=evalf(genmatrix(eqvs_P,vars)): Csuklós-Rugós rúd ======================= PsolCR:=min(eigenvals(E1,E2,vars)): P_CR:=[op(P_CR),[n,PsolCR]]: od: P_RR:=[]: C1:=10000: C2:=10000: EI:=1: l:=1: for n from 4 to maxN do Mátrixok, vektorok inicializálása ===================================== e:=array(1..n-1): for i from 1 to n-1 do e[i]:=1: od: e_t:=evalm(transpose(e)): L:=array(1..n-1): Lp:=array(1..n-1): for i from 1 to n-1 do L[i]:=l^(i+1): Lp[i]:=l^(i+1-1): od: a:=array(1..n-1,1..n-1): for i from 1 to n-1 do for j from 1 to n-1 do if i=j then a[i,j]:=atomb[i+1]: else a[i,j]:=0: fi: od: od: A deriváltvektor összeállítása =================================

– 54 –




D_vec_P:=array(1..n-1): D_vec_EI:=array(1..n-1): Lkp:=array(1..n-1): Lkpp:=array(1..n-1): Lkppp:=array(1..n-1): At1:=array(1..n-1): At2:=array(1..n-1): At3:=array(1..n-1): for k from 1 to n-1 do for i from 1 to n-1 do Lkp[i]:=l^(i+1+k+1-1): Lkpp[i]:=l^(i+1+k+1-2): Lkppp[i]:=l^(i+1+k+1-3): ik[i]:=0: At1[i]:=evalf(((k+1)*(i+1)/(i+1+k+1-1))-1): At2[i]:=evalf((k+1)*(k+1-1)*(i+1)*(i+1-1)/(i+1+k+1-3)): At3[i]:=evalf((i+1-1)*(k+1-1)): od: At1_t:=transpose(At1): At2_t:=transpose(At2): At3_t:=transpose(At3): D_vec_P[k]:= multiply(At1_t,a,Lkp): D_vec_EI[k]:= (EI*multiply(At2_t,a,Lkppp) +C1*multiply(e_t,a,Lkpp) +C2*multiply(At3_t,a,Lkpp)): od: Egyenletrendszer megoldása =============================== eqvs_P:=[]: eqvs_EI:=[]: vars:=[]: eqvs_P:=convert(D_vec_P,list): eqvs_EI:=convert(D_vec_EI,list): for k from 1 to n-1 do vars:=[op(vars),atomb[k+1]]: od: E1:=evalf(genmatrix(eqvs_EI,vars)): E2:=evalf(genmatrix(eqvs_P,vars)): Rugós-Rugós rúd ======================= PsolRR:=min(eigenvals(E1,E2,vars)): P_RR:=[op(P_RR),[n,PsolRR]]: od: print(P_CC): print(P_CR): print(P_RR): p1:=listplot(P_CC,color=red,thickness=3): p2:=listplot(P_CR,color=green,thickness=3): p3:=listplot(P_RR,color=blue,thickness=3): display(p1,p2,p3);

– 55 –




2. sz. Függelék A „Lemezek vizsgálata” című részhez tartozó MAPLE program forráskódja Rugós lemez általános formulája ==================================== > restart: > with(linalg): > atomb:=array(1..11,1..11,[[a22,a23,a24,a25,a26,a27,a28,a29,a210,a211], > [a32,a33,a34,a35,a36,a37,a38,a39,a310,a311], > [a42,a43,a44,a45,a46,a47,a48,a49,a410,a411], > [a52,a53,a54,a55,a56,a57,a58,a59,a510,a511], > [a62,a63,a64,a65,a66,a67,a68,a69,a610,a611], > [a72,a73,a74,a75,a76,a77,a78,a79,a710,a711], > [a82,a83,a84,a85,a86,a87,a88,a89,a810,a811], > [a92,a93,a94,a95,a96,a97,a98,a99,a910,a911], > [a102,a103,a104,a105,a106,a107,a108,a109,a1010,a1011], > [a112,a113,a114,a115,a116,a117,a118,a119,a1110,a1111]]):

> > > > > > > > > > > > > > > > > >

Digits:=64: C1x:=0: C2x:=0: C1y:=125: C2y:=125: Nx:=0: Ny:=1: Nxy:=0: Lx:=1: Ly:=0.932656: D11:=45.30: D12:=19.52: D16:=0: D22:=25.26: D26:=0: D66:=20.62: n:=6: m:=6:

Mátrixok, vektorok inicializálása ===================================== > Wx:=array(1..(n-1)): > Wy:=array(1..(m-1)): > Wx_p:=array(1..(n-1)): > Wx_pp:=array(1..(n-1)): > Wy_p:=array(1..(m-1)): > Wy_pp:=array(1..(m-1)): > for i from 1 to (n-1) do > Wx[i]:=x^(i+1)-Lx*x^(i+1-1):

– 56 –



> > > > > > > > > > > > > > >


Wx_p[i]:=diff(Wx[i],x): Wx_pp[i]:=diff(Wx_p[i],x): od: for j from 1 to (m-1) do Wy[j]:=y^(j+1)-Ly*y^(j+1-1): Wy_p[j]:=diff(Wy[j],y): Wy_pp[j]:=diff(Wy_p[j],y): od: a:=array(1..(n-1),1..(m-1)): for i from 1 to (n-1) do for j from 1 to (m-1) do a[i,j]:=atomb[i,j]: od: od:

A potenciális energia képlete ================================== > Dmat:=array(1..3,1..3,[[D11,D12,D16], > [D12,D22,D26], > [D16,D26,D66]]): > Nmat:=array(1..2,1..2,[[Nx,Nxy], > [Nxy,Ny]]): > C1xmat:=array(1..2,1..2,[[0,0], > [0,C1x]]): > C2xmat:=array(1..2,1..2,[[0,0], > [0,C2x]]): > C1ymat:=array(1..2,1..2,[[C1y,0], > [0,0]]): > C2ymat:=array(1..2,1..2,[[C2y,0], > [0,0]]): > K:=array(1..3,[0,0,0]): > K[1]:=eval(multiply(transpose(Wx_pp),a,Wy)): > K[2]:=eval(multiply(transpose(Wx),a,Wy_pp)): > K[3]:=eval(2*multiply(transpose(Wx_p),a,Wy_p)): > Eps_i:=array(1..2,[0,0]): > Eps_i[1]:=multiply(transpose(Wx_p),a,Wy): > Eps_i[2]:=multiply(transpose(Wx),a,Wy_p): D_Pi1:=1/2*int(int(multiply(transpose(K),Dmat,K),y=0..Ly),x=0..Lx) +1/2*subs(x=0,int(multiply(transpose(Eps_i),C1ymat,Eps_i),y=0..Ly)) +1/2*subs(x=Lx,int(multiply(transpose(Eps_i),C2ymat,Eps_i),y=0..Ly)) +1/2*subs(y=0,int(multiply(transpose(Eps_i),C1xmat,Eps_i),x=0..Lx)) +1/2*subs(y=Ly,int(multiply(transpose(Eps_i),C2xmat,Eps_i),x=0..Lx)): > D_Pi2:=1/2*int(int(multiply(transpose(Eps_i),Nmat,Eps_i),y=0..Ly) > ,x=0..Lx):

A deriváltvektor összeállítása ================================= > D_vec1:=array(1..(n-1)*(m-1)): > D_vec2:=array(1..(n-1)*(m-1)): > a_vec:=array(1..(n-1)*(m-1)): > for i from 1 to (n-1)*(m-1) do > ii:=trunc((i-0.01)/(m-1)): > jj:=i-ii*(m-1): > a_vec[i]:=atomb[ii+1,jj]:

– 57 –



> > > > > > > > > > > > > > > > >


D_vec1[i]:=diff(D_Pi1,a_vec[i]): D_vec2[i]:=diff(D_Pi2,a_vec[i]): od: E1:=array(1..(n-1)*(m-1),1..(n-1)*(m-1)): E2:=array(1..(n-1)*(m-1),1..(n-1)*(m-1)): for i from 1 to (n-1)*(m-1) do for j from 1 to (n-1)*(m-1) do E1[i,j]:=0: E2[i,j]:=0: od: od: a_list:=convert(a_vec,list): D1_list:=convert(D_vec1,list): D2_list:=convert(D_vec2,list): E1:=genmatrix(D1_list,a_list): E2:=genmatrix(D2_list,a_list): print(min(evalf(eigenvals(E1,E2)))):

– 58 –




3. sz. Függelék Az „explicit kifejezések együtthatóinak keresésére” szolgáló MAPLE program forráskódja Rugós lemez általános formulája ==================================== > restart: > with(linalg): > atomb:=array(1..8,1..8,[[a22,a23,a24,a25,a26,a27,a28,a29] > [a32,a33,a34,a35,a36,a37,a38,a39] > [a42,a43,a44,a45,a46,a47,a48,a49] > [a52,a53,a54,a55,a56,a57,a58,a59] > [a62,a63,a64,a65,a66,a67,a68,a69] > [a72,a73,a74,a75,a76,a77,a78,a79] > [a82,a83,a84,a85,a86,a87,a88,a89] > [a92,a93,a94,a95,a96,a97,a98,a99]]): > Digits:=12: > n:=4: > m:=4: Mátrixok, vektorok inicializálása ====================================== > Wx:=array(1..(n-1)): > Wy:=array(1..(m-1)): > Wx_p:=array(1..(n-1)): > Wx_pp:=array(1..(n-1)): > Wy_p:=array(1..(m-1)): > Wy_pp:=array(1..(m-1)): > for i from 1 to (n-1) do > Wx[i]:=x^(i+1)-Lx*x^(i+1-1): > Wx_p[i]:=diff(Wx[i]x): > Wx_pp[i]:=diff(Wx_p[i]x): > od: > for j from 1 to (m-1) do > Wy[j]:=y^(j+1)-Ly*y^(j+1-1): > Wy_p[j]:=diff(Wy[j]y): > Wy_pp[j]:=diff(Wy_p[j]y): > od: > a:=array(1..(n-1),1..(m-1)): > for i from 1 to (n-1) do > for j from 1 to (m-1) do > a[i,j]:=atomb[i,j]: > od: > od:

– 59 –




A potenciális energia képlete ===================================== > Dmat:=array(1..3,1..3,[[D11,D12,D16] > [D12,D22,D26] > [D16,D26,D66]]): > Nmat:=array(1..2,1..2,[[Nx,Nxy] > [Nxy,Ny]]): > C1xmat:=array(1..2,1..2,[[0,0] > [0,C1x]]): > C2xmat:=array(1..2,1..2,[[0,0] > [0,C2x]]): > C1ymat:=array(1..2,1..2,[[C1y,0] > [0,0]]): > C2ymat:=array(1..2,1..2,[[C2y,0] > [0,0]]): > K:=array(1..3,[0,0,0]): > K[1]:=eval(multiply(transpose(Wx_pp),a,Wy)): > K[2]:=eval(multiply(transpose(Wx),a,Wy_pp)): > K[3]:=eval(2*multiply(transpose(Wx_p),a,Wy_p)): > Eps_i:=array(1..2,[0,0]): > Eps_i[1]:=multiply(transpose(Wx_p),a,Wy): > Eps_i[2]:=multiply(transpose(Wx),a,Wy_p): D_Pi1:=1/2*int(int(multiply(transpose(K),Dmat,K),y=0..Ly),x=0..Lx) +1/2*subs(x=0,int(multiply(transpose(Eps_i),C1ymat,Eps_i),y=0..Ly)) +1/2*subs(x=Lx,int(multiply(transpose(Eps_i),C2ymat,Eps_i),y=0..Ly)) +1/2*subs(y=0,int(multiply(transpose(Eps_i),C1xmat,Eps_i),x=0..Lx)) +1/2*subs(y=Ly,int(multiply(transpose(Eps_i),C2xmat,Eps_i),x=0..Lx)): D_Pi2:=1/2*int(int(multiply(transpose(Eps_i),Nmat,Eps_i),y=0..Ly) ,x=0..Lx):

A deriváltvektor összeállítása ===================================== > D_vec1:=array(1..(n-1)*(m-1)): > D_vec2:=array(1..(n-1)*(m-1)): > a_vec:=array(1..(n-1)*(m-1)): > for i from 1 to (n-1)*(m-1) do > ii:=trunc((i-0.01)/(m-1)): > jj:=i-ii*(m-1): > a_vec[i]:=atomb[ii+1,jj]: > D_vec1[i]:=diff(D_Pi1,a_vec[i]): > D_vec2[i]:=diff(D_Pi2,a_vec[i]): > od:E1:=array(1..(n-1)*(m-1),1..(n-1)*(m-1)): > E2:=array(1..(n-1)*(m-1),1..(n-1)*(m-1)): > for i from 1 to (n-1)*(m-1) do > for j from 1 to (n-1)*(m-1) do > E1[i,j]:=0: > E2[i,j]:=0: > od: > od: > C1x:=0: > C2x:=0: > C1y:=0: > C2y:=0: > Nx:=1:

– 60 –



> > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > >

> > > > >


Ny:=0: Nxy:=0: Lx:=1: Ly:=1: D11:=D11: D12:=D12: D16:=0: D22:=D22: D26:=0: D66:=D66: a_list:=convert(a_vec,list): D1_list:=convert(D_vec1,list): D2_list:=convert(D_vec2,list): E1:=genmatrix(D1_list,a_list): E2:=genmatrix(D2_list,a_list): P_sol:=[evalf(eigenvals(E1,E2))]: D11_s:={}: D22_s:={}: D12_s:={}: for i from 1 to (n-1)*(m-1) do D11_s:=D11_s union {evalf((subs(D11=1,D12=0,D16=0,D22=0,D26=0, D66=0,Ly=1,Lx=1,P_sol[i]))/Pi/Pi)}: D22_s:=D22_s union {evalf((subs(D11=0,D12=0,D16=0,D22=1,D26=0, D66=0,Ly=1,Lx=1,P_sol[i]))/Pi/Pi)}: D12_s:=D12_s union {evalf((subs(D11=0,D12=0.5,D16=0,D22=0,D26=0, D66=0.25,Ly=1,Lx=1,P_sol[i]))/Pi/Pi)}:

od: print(P_sol): print(D11_s): print(D22_s): print(D12_s):

– 61 –

Kompozit lemezek stabilitásvizsgálata

Recommend Documents