ANALISIS DISKRIMINAN (Kasus : Lebih dari 2 Kelompok)
Hazmira Yozza Jur. Matematika FMIPA Unand
LOGO
• Ukuran sampel : n = n1 + n2 + …+ nk
POP 1 POP 4
• Sampel telah diketahui dari kelompok mana berasal • Terhadap masing-masing objek diamati/diukur p peubah
POP 2
: POP K
POP 3
Sampel/Contoh Hazmira Yozza - Jur. Matematika FMIPA Unand
Data x12 x11 x x 22 21 M M x n1 2 x n11 x ( n +1)1 x ( n +1) 2 1 X = 1 M M x x ( n1 +n 2 ) 2 ( n1 +n 2 )1 M M M M x n1 x n2
L L M L L M L M M L
x1p x 2p M x n1p x ( n1 +1) p M x ( n1 +n 2 ) p M } M x np
Kelompok 1
Kelompok 2 M Kelompok K
Hazmira Yozza - Jur. Matematika FMIPA Unand
Kovarians peubah Xj dengan Xj’ t jj '
1 = n
n
∑ (x
ij
− x j )(x ij ' − x j ' )
i =1
n1 + n2 n 1 n1 = ∑ (xij − x j )(xij ' − x j ' ) + ∑ (xij − x j )(xij ' − x j ' ) + ... + ∑ (xij − x j )(xij ' − x j ' ) n i =1 i = n1 +1 i = nK −1 +1
1 = ∑ (xij − x j )(xij ' − x j ' ) + ∑ (xij − x j )(xij ' − x j ' ) + ... + ∑ (xij − x j )(xij ' − x j ' ) n i∈I1 i∈I 2 i∈I K 1 = n
K
∑ ∑ (x k = 1 i∈ I
I 1 = {1, 2 , ..., n 1 }
ij
− x
j
)(x
ij '
− x
j'
)
k
I 2 = { n1 + 1, ..., n1 + n2 }
K−1 K−1 K−1 IK = ∑nk +1,∑nk +2,,...,∑nk +nK k=1 k=1 k=1
Hazmira Yozza - Jur. Matematika FMIPA Unand
Company Logo
www.themegallery.com
t
jj '
1 = n
K
∑ ∑ (x k = 1 i∈ I
ij
− x
j
)(x
ij '
ij
i∈I k
j
j
ij
ij '
j'
)
k
(x − x ) = (x − x ) + (x − x ) ∑ (x − x )(x − x ) = ∑ ((x − x ) + (x ij
− x
kj
kj
j'
j
ij
kj
kj
( xij ' − xkj ' ) + (xkj ' − x j ' )) − x j ))(
i∈I k
= ∑(xij − xkj )(xij' − xkj' ) + ∑(xij − xkj )(xkj' − x j' ) + ∑(xkj − x j )(xij' − xkj' ) + ∑(xkj − x j )(xkj' − x j' ) i∈Ik i∈Ik i∈Ik i∈Ik
=∑(xij − xkj )(xij' − xkj' ) + (xkj' − xj' )∑(xij − xkj ) + (xkj − xj )∑(xij' − xkj' ) + (nk (xkj − xj )(xkj' − xj' )) i∈Ik i∈Ik i∈Ik =0
=0
(xij − x j )(xij' − x j' ) = ∑(xij − xkj )(xij' − xkj' ) + (nk (xkj − x j )(xkj' − x j' )) ∑ i∈I k i∈Ik Hazmira Yozza - Jur. Matematika FMIPA Unand
Company Logo
www.themegallery.com
(xij − x j )(xij' − x j' ) = ∑(xij − xkj )(xij' − xkj' ) + (nk (xkj − x j )(xkj' − x j' )) ∑ i∈I k i∈Ik t jj '
K
1 = n
∑ ∑ (x
1 = n
∑ (x ij − x kj ∑ k = 1 i∈ I k
1 = n
ij
− x
j
)(x
ij '
− x
j'
)
k = 1 i∈ I k K
K
∑ ∑ (x
ij
− x kj
k = 1 i∈ I k
)(x
)(x ij '
ij '
− x kj ' ) + (n k (x kj − x
1 − x kj ' ) + n
K
∑ (n (x k
kj
j
− x
)(x j
kj '
)(x
− x j ' )) kj '
− x
j'
k =1
= bjj’
= wjj’
t jj ' = w jj ' + b jj ' Hazmira Yozza - Jur. Matematika FMIPA Unand
Company Logo
))
Sehingga ..
t11 t12 t t 21 22 : : t p1 t p2
... t1p b11 b12 ... t2 p b21 b22 = O : : : ... t pp bp1 bp2 T
=
... b1p w11 w12 ... b2 p w21 w22 + : O : : ... bpp wp1 wp2 B
+
... w1p ... w2 p O : ... wpp
W
T : matriks ragam peragam total B : matriks ragam peragam antar kelompok W : matriks ragam peragam dalam kelompok Hazmira Yozza - Jur. Matematika FMIPA Unand
Company Logo
Tujuan analisis diskriminan : Membentuk fungsi diskriminan yang mampu membedakan kelompok atau Membentuk fungsi diskriminan sehingga keragaman dalam kelompok sekecil mungkin dan keragaman antar kebesar mungkin
Hazmira Yozza - Jur. Matematika FMIPA Unand
Company Logo
Fungsi diskriminan Y = a’X
Diinginkan :
Ragam dari fungsi iskriminan Var(Y) = Var (a’X) = a’T a = a’ (B + W) a = a’Ba + a’Wa Keragaman fs diskriminan antar kelompok
a’Wa sekecil mungkin a’Ba sebesar mungkin
Diinginkan :
a' Ba maksimum a'Wa Keragaman fs diskriminan dalam kelompok
Atau
a'Wa minimum a' Ba
Hazmira Yozza - Jur. Matematika FMIPA Unand
Company Logo
a' Ba Misal : λ = a'Wa
Agar λ maksimum ∂λ =0 ∂a
Rumusan Masalah
a' Ba Maksimum λ = a'Wa a'
(
) (
)
∂λ (2 Ba ) a T Wa − a T Ba (2Wa ) = 2 T ∂a a Wa
(
=
(2 Ba )
(a
T
Wa
)
−λ
(2 Ba )
(a
T
Wa
)
−λ
(2Wa )
(a
T
Wa
)
=0
Ba − λ Wa = 0
)
(2Wa )
(a
T
Wa
)
Kalikan di kiri dengan W-1
W (W
−1
−1
Ba − λ a = 0
B − λ I )a = 0
Jadi : λ adalah akar karakteristik dari matriks W-1B dan a adalah vektor karakteristik padanannya Hazmira Yozza - Jur. Matematika FMIPA Unand
Company Logo
Jadi : λ adalah akar karakteristik dari matriks W-1B dan a adalah vektor karakteristik padanannya Agar λ maksimum, maka harus dipilih a yang merupakan vektor karakteristik yang berpadanan dengan akara karakteristik terbesar dari W-1B Fungsi diskriminan berikutnya diperoleh dengan cara yang sama, yaitu dengan menambahkan kendala bahwa fungsifungsi-fungsi diskriminan tersebut tidak saling berkorelasi
Company Logo
Peranan dari fungsi diskriminan-q Yq =
λq
x100%
s
∑λ
i
i =1 i=
Dengan s = min{K-1,p}
Company Logo
Pengujian dalam Analisis Diskriminan Uji perbedaan nilai Tengah Respons antar kelompok Dilakukan sebelum fungsi diskriminan dibentuk Hipotesis : H0 : µ1 = µ2 = … = µK H1 : Ada µk ≠ µk’ → Statistik Uji : (Statistik V-Bartlett) s
V = {n − 1 − ( p + K ) / 2}∑ ln(1 + λ i ) i =1
2 χ Titik Kritis : α , p ( K −1)
Kesimpulan : V > χ 2 → Tolak H0 → Fs diskriminan α , p ( K −1) layak dibentuk Company Logo
Pengujian dalam Analisis Diskriminan
• Tidak semua fungsi diskriminan berarti dalam menjelaskan perbedaan antar kelompok • Fungsi diskriminan yang berkontribusi kecil dalam menjelaskan perbedaan antar kelompok, tidak digunakan • Oleh karena itu, harus diuji apakah diskriminasi sisa setelah diterangkan oleh fungsi diskriminan sebelumnya masing bersifat nyata secara statistik
Hazmira Yozza - Jur. Matematika FMIPA Unand
Company Logo
Diskriminasi sisa setelah Perkiraan statistik χ2 diterangkan oleh
db
Fs diskriminan pertama
V – V1
(p-1)(K-2)
Fs diskriminan kedua
V– V1 - V2
(p-2)(K-3)
Fs diskriminan ketiga
V – V1 – V2 – V3
(p-3)(K-4)
:
:
:
Vi = {n − 1 − ( p + K ) / 2}ln(1 + λ i ) i = 1,2,,s
s = min {K-1,p} Hazmira Yozza - Jur. Matematika FMIPA Unand
Company Logo
Prosedur dalam Analisis Diskriminan 1.
2. 3.
Uji kesamaan vektor nilai tengah antar kelompok Vektor nilai tengah sama → STOP (analisis diskriminan tidak perlu dilakukan) Vektor nilai tengah tidak sama → lakukan analisis diskriminan Bentuk analisis diskriminan Tentukan ai yaitu vektor karakteristik dari matriks W1B yang berpadanan dengan λi; λ ≥ λ ≥ … ≥ λ ≥0 1 2 s Bentuk fungsi diskriminan ke-i (i=1,2,…,s) Yi = ai’X Uji hipotesis keberartian fungsi-fungsi diskriminan yang terbentuk dalam membedakan kelompok Hazmira Yozza - Jur. Matematika FMIPA Unand
Company Logo
www.themegallery.com
LOGO
