AN ANALISIS RANCANGAN PENAWARAN DISKON DENGAN BANYAK PELANGGAN DAN TITIK IMPAS TUNGGAL
Oleh: Endang Nurjamil G05497044
DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2005
ABSTRAK ENDANG NURJAMIL. Analisis Rancangan Penawaran Diskon dengan Banyak Pelanggan dan Titik Impas Tunggal. Di bawah bimbingan SRI NURDIATI dan FARIDA HANUM. Penawaran diskon yang dilakukan seorang penjual untuk setiap pembelian barang yang melebihi ukuran tertentu merupakan upaya untuk meningkatkan jumlah pesanan para pelanggannya. Namun upaya yang dilakukan penjual tersebut bukan berarti tanpa kendala, karena besarnya diskon dan ukuran minimal barang yang ditawarkan menjadi faktor utama dalam menentukan kebijakannya. Bagi para pelanggan, ukuran pesanan menjadi faktor yang harus dipertimbangkan karena berkaitan erat dengan biaya inventori (penyimpanan). Terlalu sedikit ukuran pesanan, biaya inventori kecil tetapi biaya pesanan menjadi besar akibat sering melakukan pemesanan dan tidak mendapatkan keringanan biaya dari diskon. Jika ukuran pesanan terlalu besar, pelanggan mendapatkan diskon dan biaya pesanan kecil akibat jarangnya pemesanan tetapi biaya inventori menjadi besar. Dari kedua sudut pandang itu, solusi efektif adalah dengan cara mencari nilai yang optimum sehingga kedua belah pihak saling memperoleh keuntungan.
ANALISIS RANCANGAN PENAWARAN DISKON DENGAN BANYAK PELANGGAN DAN TITIK IMPAS TUNGGAL
Skripsi
Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Pertanian Bogor
Oleh:
Endang Nurjamil G05497044
DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2005
Judul Nama NIM
: ANALISIS RANCANGAN PENAWARAN DISKON DENGAN BANYAK PELANGGAN DAN TITIK IMPAS TUNGGAL : Endang Nurjamil : G05497044
Menyetujui,
Pembimbing I
Pembimbing II
Dr. Ir. Sri Nurdiati, M.Sc. NIP. 131 578 805
Dra. Farida Hanum, M.Si. NIP. 131 956 709
Mengetahui, Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Dr. Ir. Yonny Koesmaryono, M.S. NIP. 131 473 999
Tanggal Lulus:
“Bulan bersinar pada malam hari, sementara matahari bersinar pada siang hari, namun orang yang hatinya diliputi cinta dan kasih sayang bersinar siang dan malam.” (Mutiara Zen)
Kupersembahkan karya tulis ini bagi orang-orang yang bersinar siang dan malam
PRAKATA Alhamdulillah, segala puji penulis panjatkan hanya bagi Allah SWT, atas qudrah dan iradah-Nya sehingga karya ilmiah ini dapat diselesaikan. Shalawat serta salam penulis sampaikan kepada Nabi Muhammad sebagai uswah dan rahmat bagi seluruh alam. Amma ba’du, Banyak faktor yang harus dihadapi penulis dalam menyelesaikan studi di Departemen Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Pertanian Bogor ini sehingga diperlukan perpanjangan masa studi sampai dua semester. Adalah Ibu Dr. Ir. Sri Nurdiati, M.Sc. dan Ibu Dra. Farida Hanum, M. Si. yang bersedia menjadi pembimbing skripsi saat penulis butuhkan agar dapat memanfaatkan masa perpanjangan studi tersebut. Oleh karena itu penulis ucapkan terima kasih atas segala kebaikan dan ketulusannya. Ucapan terima kasih juga penulis sampaikan kepada Bapak Dr. Ir. Hasim, DEA. dan Bapak Dr. Ir. Muhammad Nur Aidi, M.S. atas waktu yang beliau luangkan untuk memberikan saran dan nasihat kepada penulis. Disamping itu, penghargaan penulis sampaikan kepada Hikmawan Abdul Hasan, Ahmad, Yana, Lukman, Andri, dan Luthfi atas bantuannya dalam penyelenggaraan seminar tugas akhir penulis. Terima kasih juga penulis ungkapkan kepada Abah, Umi, Teh Aih, A’ Hendra, Leli, Dendi, Lalis, Pras, Asti, dan Fauzy atas doa dan kasih sayangnya. Terima kasih juga penulis sampaikan kepada semua pihak yang tidak bisa penulis sebutkan satu per satu atas segala dukungan dan bantuannya. Akhir kata, semoga karya ilmiah ini menjadi syahidan (saksi) amal soleh baik bagi penulis sendiri maupun bagi orang-orang yang terlibat di dalamnya dan dapat bermanfaat bagi siapa pun yang mempunyai minat dan ketertarikan terhadap karya ilmiah ini. Amin.
Bogor, September 2005
Endang Nurjamil
RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan pada tanggal 12 Juni 1976 sebagai anak kedua dari lima bersaudara dari Bapak Duduh Abdurrahman dan Ibu Anon Sumiyati. Tahun 1995 lulus dari SMA Negeri 1 Cianjur dan dua tahun berikutnya diterima masuk IPB melalui jalur UMPTN (Ujian Masuk Perguruan Tinggi Negeri) di Jurusan Matematika (sekarang, Departemen Matematika) Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Semasa kuliah penulis pernah aktif di DPM (Dewan Perwakilan Mahasiswa) FMIPA sebagai Ketua Komisi Hubungan Eksternal dan Internal Mahasiswa periode 1997-1998 dan di Himpro Gumatika (Himpunan Profesi Gugus Mahasiswa Matematika) sebagai Ketua Harian periode 1999-2000. Tahun 1998-1999 pernah menjadi Ketua Himat (Himpunan Mahasiswa Cianjur) cabang Bogor. Selain aktif di organisasi mahasiswa penulis juga pernah menjadi asisten mata kuliah Agama pada semester genap periode 1998-1999 dan 1999-2000, asisten mata kuliah Pengantar Matematika dan Kalkulus I sejak 1998 sampai 2000.
DAFTAR ISI Halaman DAFTAR TABEL ......................................................................................................................
viii
DAFTAR GAMBAR .................................................................................................................
viii
DAFTAR LAMPIRAN ..............................................................................................................
viii
I. PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang ...................................................................................................... 1.2 Tujuan ...................................................................................................................
1 1
II. LANDASAN TEORI 2.1 Economic Order Quantity (EOQ) ........................................................................ 2.2 Kemonotan dan Kecekungan Fungsi ...................................................................
2 3
III. PERUMUSAN MASALAH 3.1 Model Biaya Inventori Pelanggan ........................................................................ 3.2 Model Fungsi Keuntungan Penjual ......................................................................
4 6
IV. PENGOPTIMUMAN RANCANGAN PENAWARAN DISKON 4.1 Kasus 1. Tingkat diskon yang ditetapkan ............................................................ 4.2 Kasus 2. Titik impas yang ditetapkan ..................................................................
7 8
V. SIMPULAN DAN SARAN ...................................................................................................
9
DAFTAR PUSTAKA ................................................................................................................
9
LAMPIRAN ...............................................................................................................................
10
vii
DAFTAR TABEL Halaman 1 2 3 4 5
Data lima pelanggan ............................................................................................................... Perbandingan keuntungan sebelum dan sesudah penawaran diskon .................................... Ukuran pesanan dan total biaya inventori pelanggan i .......................................................... Perbandingan keuntungan sebelum dan sesudah penawaran diskon .................................... Ukuran pesanan dan total biaya inventori pelanggan i ..........................................................
7 7 8 8 8
DAFTAR GAMBAR Halaman 1 2 3 4
Variasi tingkat persediaan ...................................................................................................... Fungsi biaya penjual .............................................................................................................. Kontribusi pelanggan i terhadap keuntungan penjual (R ditetapkan) ................................... Sketsa kurva ...........................................................................................................................
2 5 6 16
DAFTAR LAMPIRAN Halaman 1 Penjabaran Persamaan (1) ...................................................................................................... 2 Penjabaran Persamaan (5) ...................................................................................................... 3 Penjabaran Persamaan (6) ...................................................................................................... 4 Penjabaran Persamaan (7) ...................................................................................................... 5 Bukti Proposisi 1 .................................................................................................................... 6 Sketsa Gambar 2 ..................................................................................................................... 7 Sketsa Gambar 3 ..................................................................................................................... 8 Bukti Proposisi 3 .................................................................................................................... 9 Bukti F2i merupakan fungsi konkaf ....................................................................................... 10 Pencarian Titik Impas pada Kasus 1 .................................................................................... 11 Pencarian Titik Impas pada Kasus 2 ....................................................................................
11 11 12 12 13 19 20 22 25 28 30
viii
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Dalam dunia usaha, banyak cara yang dilakukan penjual untuk meningkatkan pendapatan atau keuntungannya. Bagi penjual yang memproduksi barang sendiri, keuntungan bisa diperoleh dengan cara meningkatkan kinerja manufaktur yang lebih efektif sehingga menghasilkan produk yang lebih banyak. Selain itu, keuntungan juga bisa diperoleh dengan cara mengurangi jumlah pengepakan dengan memperbanyak ukuran pengepakan yang lebih besar, serta dengan cara mengurangi biaya transportasi, misalnya dengan memuat lebih banyak jumlah pesanan yang dikirimkan. Upaya berikutnya yang dapat diharapkan penjual untuk meningkatkan keuntungannya adalah dengan meningkatkan ukuran pesanan para pembeli atau pelanggannya. Untuk pencapaian hal itu, tidak jarang penjual menawarkan harga khusus atau diskon harga bagi yang membeli atau memesan barang dalam ukuran yang lebih besar. Secara umum, terdapat dua tipe diskon harga yang ditawarkan penjual, yaitu diskon untuk semua unit barang yang dibeli atau dipesan dan diskon untuk setiap tambahan pesanan dalam ukuran tertentu. Pada tipe yang kedua, biasanya ditawarkan terhadap para pelanggan yang memiliki permintaan setiap unit waktunya dalam ukuran yang cukup besar, sehingga diharapkan dapat meningkatkan jumlah pesanannya. Upaya yang ditawarkan penjual ini tidak begitu saja dapat diterima oleh para pelanggannya, karena bagi para pelanggan sendiri ukuran pesanan berkaitan erat dengan masalah biaya inventori atau penyimpanan. Semakin banyak pesanan yang dipesan para pelanggan, semakin besar biaya inventori yang harus dikeluarkan. Akibatnya, para pelanggan berupaya untuk melindungi biaya inventorinya. Berkenaan dengan upaya penjual yang ingin meningkatkan keuntungannya dengan menawarkan diskon tersebut dan para pelanggan yang berupaya untuk melindungi biaya inventorinya, ada hal yang menarik untuk dikaji, yaitu bagaimana si penjual dapat
merancang penawaran diskon tersebut dengan melibatkan sudut pandang para pelanggannya. Kim dan Hwang (1988) mencoba membuat model permasalahan di atas. Kedua penulis ini mula-mula memformulasi fungsi biaya pelanggan dan fungsi keuntungan penjual serta membuat prosedur dalam pengambilan keputusan keduanya, kemudian membangun algoritme untuk mendapatkan nilai optimum bagi penjual maupun pelanggan untuk tiga kasus berikut ini: a. Jika tingkat diskon ditetapkan, bagaimana mencari titik impas yang optimum. b. Jika titik impas ditetapkan, bagaimana mencari tingkat diskon yang optimum. c. Jika tingkat diskon dan titik impas tidak diketahui, bagaimana mencari nilai yang optimum untuk keduanya. 1.2 Tujuan Tulisan ini bertujuan mempelajari dan membahas artikel karya Kim dan Hwang (1988) di atas. Oleh karena itu, sebagian besar materi yang disajikan merupakan hasil karya keduanya dengan pokok bahasan disesuaikan dengan yang terdapat pada tulisan tersebut. Berikut adalah pokok-pokok bahasannya: • Pada Bab II diberikan landasan teori yang mencakup penjelasan beberapa istilah dan teorema yang dipergunakan dalam tulisan ini. • Bab III membahas formulasi masalah yang dilengkapi dengan bukti-bukti proposisi yang ada. • Bab IV, membahas tentang konsep pengoptimuman diskon yang meliputi dua permasalahan pertama di atas, dan melengkapinya dengan contoh kasus. • Pada Bab V diberikan simpulan dan saran sebagai usulan topik yang menarik untuk diteliti lebih lanjut.
BAB II LANDASAN TEORI Sebagai pengantar untuk memahami tulisan Kim dan Hwang (1988) di bawah ini diberikan landasan teori dan penjelasan beberapa istilah dan notasi yang digunakan: 2.1 Economic Order Quantity (EOQ) Definisi 1 [Economic Order Quantity atau EOQ] Inventori atau persediaan merupakan hal penting dalam sistem produksi dan kegiatan pemasaran karena terhambatnya persediaan berarti terhambat pula kegiatan produksi dan pemasaran, sehingga mengakibatkan kerugian bagi perusahaan. Akan tetapi inventori yang berlebihan juga bukan berarti suatu keuntungan karena banyak biaya perawatan yang harus dikeluarkan dan barang yang disimpan berpeluang mengalami kerusakan atau ketinggalan jaman. Dengan demikian diperlukan strategi untuk meminimumkan kedua efek negatif di atas. Tujuannya adalah untuk menentukan berapa banyak produk yang harus dipesan (diproduksi) dan berapa sering pemesanan (produksi) harus dilakukan agar biaya yang dikeluarkan perusahaan atau pelanggan menjadi minimum. Permasalahan ini dari sisi permintaan disebut sebagai economic order quantity problem (EOQ) atau economic production lotsize problem bila dilihat dari sisi produksi; dan seringkali cukup disebut sebagai model persediaan. Ada beberapa macam klasifikasi dari model persediaan ini jika ditinjau dari sifat permintaannya, yaitu: • Permintaan bersifat deterministik, dapat bersifat statis dengan laju permintaan tetap sepanjang waktu, atau dinamis dengan laju permintaan diketahui dengan pasti tetapi bervariasi satu periode ke periode berikutnya. • Permintaan bersifat probabilistik, yang memiliki dua klasifikasi serupa: kasus stasioner, dengan fungsi kepadatan peluang permintaan tetap sepanjang waktu, dan kasus nonstasioner, dengan fungsi kepadatan peluang bervariasi sepanjang waktu.
Selain jenis permintaan yang merupakan faktor utama dalam perancangan model persediaan, faktor-faktor berikut juga dapat mempengaruhi cara perumusan model yang bersangkutan: • tenggang waktu pengiriman (lag/lead time), yaitu waktu antara pengajuan pesanan dan penerimaannya; dapat bersifat deterministik atau probabilistik, • pengisian kembali persediaan, dapat terjadi dengan segera ataupun dengan sebagian demi sebagian, • horison waktu, mendefinisikan perioide dengan tingkat persediaan dikendalikan, • banyaknya produk, dapat melibatkan lebih dari satu produk atau komoditas, serta masih banyak lagi kriteria yang dapat dipakai. Model Persediaan Statis Satu Produk Asumsi-asumsi yang digunakan adalah sebagai berikut: • hanya ada satu jenis produk, • laju permintaan produk adalah tetap sepanjang waktu, • continuous review, pesanan dapat segera dilakukan kapan saja bila waktu telah menunjukkan reorder point (waktu pemesanan kembali), • lead time tetap, • pengisian kembali persediaan terjadi dengan segera, tidak terjadi kekurangan produk pesanan. Gambar 1 berikut mengilustrasikan variasi tingkat persediaan dari model persediaan ini (notasi i = 1, 2, 3, ..., n digunakan untuk menyatakan perusahaan atau pelanggan i). Tingkat Persediaan Qi
Qi-Dit
0
Qi/Di
2Qi/Di
3Qi/Di
Waktu (t)
Gambar 1 Variasi tingkat persediaan. Tingkat persediaan tertinggi terjadi ketika barang (produk) sejumlah Qi dipesan.
3 Misalkan laju permintaan adalah Di per unit waktu, sehingga tingkat persediaan akan berada pada titik nol setelah Qi/Di unit waktu dari waktu pemesanan. Qi/Di disebut sebagai panjang cycle, yaitu tenggang waktu antara dua pemesanan. Semakin kecil ukuran pesanan Qi, akan menyebabkan semakin sering pemesanan harus dilakukan. Ini bisa berarti biaya akan lebih besar karena adanya biaya pesanan yang harus dikeluarkan setiap kali melakukan pemesanan. Akan tetapi ini juga bisa berarti biaya akan lebih kecil karena akan menyebabkan rata-rata tingkat persediaan menurun (lebih sedikit biaya yang harus dikeluarkan untuk penyimpanan). Sebaliknya ukuran pesanan yang besar akan mengakibatkan rata-rata tingkat persediaan lebih tinggi, dan tenggang waktu antar pemesanan lebih panjang. Sehingga diperlukan upaya untuk menentukan ukuran pesanan Qi yang meminimumkan total biaya inventori per unit waktu. (Setiawan, 2002) Definisi 2 [Titik impas atau price break point atau break even point] Titik impas adalah titik (level) operasi perusahaan sedemikian sehingga total biaya produksi dengan total pendapatan sama besar, biasanya dinyatakan dalam bentuk ukuran unit barang atau unit uang (dollar). (Thacker,1978) Definisi 3 [Ukuran lot] Ukuran lot adalah banyaknya persediaan barang baik melalui pembelanjaan atau hasil produksi dalam jumlah yang cukup untuk mengantisipasi permintaan. (Lewis, 2004) Definisi 4 [Biaya set-up] Biaya set-up adalah biaya yang dikeluarkan berkenaan dengan ukuran lot. (Kim & Hwang, 1988) 2.2 Kemonotan dan Kecekungan Fungsi Definisi 5 [Kemonotonan Fungsi] Andaikan fungsi f terdefinisi pada selang I (terbuka, tertutup, atau tak satupun). Dikatakan bahwa:
i. f adalah naik pada I jika untuk setiap pasang bilangan x1 dan x2 dalam I,
x1 < x 2 ⇒ f ( x1 ) < f ( x 2 ) ii. f adalah turun pada I jika untuk setiap pasang bilangan x1 dan x2 dalam I,
x1 < x 2 ⇒ f ( x1 ) > f ( x 2 ) iii. f monoton murni pada I jika ia naik pada I atau turun pada I (Purcell & Varberg, 1999) Definisi 6 [Kecekungan Fungsi] Andaikan fungsi f terdefinisi pada selang terbuka I = (a, b). Fungsi (dan grafik) f dikatakan : i. konveks atau cekung ke atas jika pada I.
f ′ naik
ii. konkaf atau cekung ke bawah jika f ′ turun pada I. (Purcell & Varberg, 1999) Teorema 1 [Kemonotonan Fungsi] Andaikan f kontinu pada selang I dan dapat didiferensialkan pada setiap titik-dalam dari I. i. Jika f ′( x) > 0 untuk semua titik-dalam x dari I, maka f naik pada I. ii. Jika f ′( x) < 0 untuk semua titik-dalam x dari I, maka f turun pada I. (Purcell & Varberg, 1999) Teorema 2 [Kecekungan Fungsi] Andaikan f terdiferensialkan dua kali pada selang terbuka (a, b). i. Jika f ′′( x) > 0 untuk semua x dalam (a, b), maka f konveks atau cekung ke atas pada (a, b). ii. Jika f ′′( x) < 0 untuk semua x dalam (a, b), maka f konkaf atau cekung ke bawah pada (a, b). (Purcell & Varberg, 1999)
BAB III PERUMUSAN MASALAH Dalam matematika, model merupakan tiruan dari suatu permasalahan sedemikian rupa sehingga operasi matematis bisa diterapkan padanya. Konstruksi model dilakukan dengan cara memasukkan serangkaian asumsi awal sebagai penyederhanaan, tanpa terlalu menyederhanakan permasalahan itu sendiri. Berikut adalah asumsi-asumsi yang dipergunakan dalam pemodelan masalah ini: 1) Pelanggan tidak tunggal. 2) Penjual menawarkan diskon dengan titik impas tunggal. 3) Dalam menentukan ukuran pesanan, setiap pelanggan mengikuti model Economic Order Quantity (EOQ) statis satu produk. 4) Banyaknya pelanggan dan total permintaan per unit waktu tetap, tidak bergantung pada perancangan diskon. 5) Banyaknya unit barang diperlakukan sebagai variabel kontinu. 6) Biaya pesanan dan biaya inventori pelanggan diberitahukan kepada penjual. Jika salah satu diketahui, yang lain dapat diturunkan dengan menggunakan asumsi ketiga. Pemodelan ini dibangun dari dua sudut. Pertama dari sudut pelanggan yang berupaya meminimumkan biaya inventori dan kedua dari sudut penjual yang berupaya memaksimumkan keuntungan. 3.1 Model Biaya Inventori Pelanggan • Misalkan C1i C2i Pi R Q
= biaya pesanan pelanggan i (i = 1, 2, 3, ..., n) = biaya inventori, dinyatakan sebagai persentase dari harga barang. = fungsi harga (biaya) pembelian pelanggan i = tingkat diskon (0 < R < 1) = titik impas
• Misalkan harga per unit barang yang diberikan oleh penjual adalah P untuk Qi < Q, dan P(1–R) untuk unit barang di atas Q, maka total biaya pembelian yang dikeluarkan pelanggan i menjadi PQi untuk Qi < Q, dan PQ+P(1–R)(Qi–Q) untuk Qi ≥ Q.
Dengan demikian, fungsi harga untuk pelanggan i menjadi: Pi = P untuk Qi < Q, dan untuk Qi ≥ Q, Pi = P(1 − R) + PRQ / Qi (lihat Lampiran 1). Secara umum dapat ditulis sebagai berikut: Qi < Q ⎧ P, (1) Pi = ⎨ ⎩ P(1 − R) + PRQ / Qi , selainnya
• Biaya pemesanan per cycle sejumlah Qi pesanan adalah C1i+PiQi; dengan panjang cycle Qi/Di maka biaya pemesanan per unit waktu sejumlah Qi unit pesanan adalah C1iDi/Qi+PiDi, • Karena tingkat persediaan tertinggi adalah Qi (ketika pemesanan dilakukan) dan tingkat terendah adalah nol (setelah Qi/Di unit waktu dari waktu pemesanan), maka rata-rata tingkat persediaan adalah Qi/2 dan biaya penyimpanan per unit waktu adalah C2iPiQi/2, sehingga total biaya inventori per unit waktu sejumlah Qi pesanan adalah: Ei(Qi) ≈ biaya pemesanan + biaya penyimpanan = C1iDi/Qi+PiDi+ C2iPiQi/2 = C1iDi/Qi+Pi(C2iQi/2+ Di)
(2)
Misalkan Ei(Qi) dinotasikan dengan E1i(Qi) untuk Qi < Q dan E2i(Qi) untuk Qi ≥ Q. Maka untuk mendapatkan nilai economic order quantity atau Qi yang meminimumkan setiap Ei(Qi) tersebut digunakan konsep diferensial, yakni menurunkan Ei(Qi) terhadap Qi, dan menyamakannya dengan nol. Dengan cara tersebut diperoleh Qi yang meminimumkan Ei(Qi) untuk kedua kondisi di atas: • Ukuran pesanan optimum pada kondisi tanpa diskon Misalkan Qi yang meminimumkan E1i(Qi) dinotasikan dengan Qai. Karena harga Pi = P untuk Qi < Q, maka E1i (Qi ) = C1i Di / Qi + C2i PQi / 2 + PDi ,
sehingga diperoleh : dE1i (Qi ) = −C1i Di / Qi2 + PC2i / 2 , dQi
(3)
5
dan
d 2 E1i (Qi ) dQi
=
2
2C1i Di Qi3
(lihat Lampiran 3), dan
> 0 , ∀Qi > 0.
E 2i (Qbi ) = 2(C1i + RPQ )C 2i P(1 − R )Di
Jadi E1i(Qi) merupakan fungsi konveks untuk setiap Qi > 0. Dengan demikian diperoleh Qai yang meminimumkan E1i(Qi) diperoleh dari: dE1i (Qi ) =0 dQi
2C1i Di , sehingga Qi = PC2i
2C1i Di , C 2i P
atau yang dinotasikan dengan Qai =
(7)
(lihat Lampiran 4) Proposisi 1
Misalkan
⇔ −C1i Di / Qi2 + PC2i / 2 = 0,
⇔ Qi2 =
+C 2i PRQ / 2 + P (1 − R ) Di
2C1i Di . C 2i P
(4)
Dengan demikian, diperoleh: E1i (Q ai ) = 2C1i C 2i PDi + PDi .
(5)
(lihat Lampiran 2) • Ukuran pesanan optimum pada kondisi terdapat diskon Qbi =
2(C1i + RPQ) Di , atau C 2i P(1 − R)
Qbi =
Qai2 C 2i + 2 RQDi C 2i (1 − R)
⎡ (1 − 1 − R ) ⎤⎛ 2 Di Qci= 2⎢ ⎥⎜⎜ Qai + R C 2i ⎢⎣ ⎥⎦⎝ maka Qai ≤ Qci ≤ Qbi dan
⎞ 2 Di ⎟− ⎟ C 2i ⎠
E1i(Qai) ≥ E2i(Qbi)
untuk Q ≤ Qci,
E1i(Qai) < E2i(Qbi)
untuk Q > Qci.
(8)
Bukti. (lihat Lampiran 5) ■.
Proposisi 1 menyatakan bahwa untuk R yang diberikan, pesanan optimal Qi* dari pelanggan i bergantung pada titik impas Q, yakni: ⎧Q untuk Q ≤ Qci , Qi* = ⎨ bi ⎩Q ai untuk Q > Qci .
(9)
Gambar 2 di bawah ini mengilustrasikan kurva biaya pelanggan i dan Qi* yang bergantung pada posisi antara Q dan Qci (lihat Lampiran 6).
(6)
Ei(Qi)
Ei(Qi)
E1i E1i
E2i
E2i E1i (Qai)
E2i (Qbi)
E2i (Qbi)
E1i (Qai)
Qai Q Qci Qbi
Qi
(a) Q ≤ Qci
Qai Qci Q Qbi
(b) Q >Qci Gambar 2 Fungsi biaya pelanggan.
Qi
6 3.2 Model Fungsi Keuntungan Penjual
Misalkan Si adalah biaya set-up per pesanan oleh pelanggan i dan C adalah biaya variabel per unit barang, maka biaya yang dikeluarkan penjual per unit waktu dari pelanggan i dinyatakan dengan Si(Di/Qi)+CDi. Dengan demikian total keuntungan penjual per unit waktu adalah: n
∑[ Pi Di − S i ( Di Qi ) − CDi ]
i =1
(10)
Dengan adanya rencana diskon (R,Q), maka suku terakhir pada (10) tidak menjadi variabel keputusan, sehingga penjual hanya dihadapkan pada masalah memaksimumkan keuntungan yang dinyatakan oleh fungsi: n
F(R,Q)= ∑[ Pi Di − Si ( Di Qi )]
(11)
i =1
Misalkan Fi(R,Q) adalah kontribusi pelanggan i terhadap keuntungan penjual per unit waktu. Dari persamaan (11) diperoleh, Fi(R,Q) = PiDi –SiDi/Qi.
(i) G1 = {i|Qci < Q}. Jika i ∈ G1, maka Qi* = Qai dan Fi = F1i, dengan F1i = PDi–SiDi/Qai (13) (ii) G2 = {i|Qci ≥ Q}. Jika i ∈ G2, maka Qi* = Qbi dan Fi = F2i, dengan ⎛ S D RPQ ⎞ ⎟ Di − i i F2i = ⎜⎜ P(1 − R ) + ⎟ Q Qbi bi ⎠ ⎝
(12)
Misalkan diberikan nilai (R, Q), maka para pelanggan dapat dibagi ke dalam dua kelompok berikut ini:
⎛ ( RPQ − S i ) ⎞ ⎟ Di = ⎜⎜ P(1 − R ) + ⎟ Qbi ⎝ ⎠
(14)
Pelanggan yang termasuk pada G1 adalah pelanggan yang ukuran pesanannya tidak dipengaruhi oleh rencana diskon. Tetapi pelanggan pada G2 mengubah ukuran pesanannya dari Qai menjadi Qbi ketika terdapat penawaran diskon. Dengan demikian F(R,Q) pada persamaan (11) dapat ditulis kembali sebagai 2
F ( R, Q) = ∑ ∑ F ji ( R, Q) j =1i∈G j
(15)
Kontribusi pelanggan i terhadap keuntungan penjual ditunjukkan pada Gambar 3 (lihat Lampiran 7).
Fi
Fi
F1i
F2i F2i
F1i
Qai
Qci
Qbi
Q
Qai
Qci
Qbi
Q
Gambar 3 Kontribusi pelanggan i terhadap keuntungan penjual (R ditetapkan).
Keuntungan maksimum diperoleh pada Q = Qci atau pada Q > Qci. Dalam hal ini, pada kasus Q > Qci, berarti penjual tidak
mengharapkan pelanggan i memanfaatkan diskonnya.
BAB IV PENGOPTIMUMAN RANCANGAN PENAWARAN DISKON Pada bab ini akan dianalisis bagaimana penjual mengoptimumkan rancangan penawaran diskonnya sehingga kedua permasalahan yang telah dirumuskan pada Bab III itu masing-masing mencapai nilai optimum, penjual dapat memaksimumkan keuntungannya sedangkan pelanggan dapat meminimumkan biaya inventorinya. Pengoptimuman rancangan penawaran diskon tersebut dianalisis untuk dua kasus berikut ini: a. menentukan titik impas yang dapat mengoptimumkan keuntungan jika tingkat diskon ditetapkan. b. menentukan tingkat diskon yang dapat mengoptimumkan keuntungan jika titik impas ditetapkan.
Dengan kata lain untuk mendapatkan Q yang memaksimumkan F(Rp,Q), evaluasi F(Rp,Q) pada Q = Qci dan pada Q > Xr untuk setiap pelanggan i, kemudian pilih nilai Q yang memaksimumkan F. ■ Contoh kasus
Misalkan diberikan data lima pelanggan beserta data yang relevan pada Tabel 1. Tabel 1 Data lima pelanggan Plgg. (i)
1 2 3 4 5
Permintaan per waktu
Ukuran Pesanan
(Di) 50 300 250 200 350
(Qi) 10 20 22 30 40
4.1 Kasus 1. Tingkat diskon ditetapkan
Harga per unit (P)
= $5
Pada kasus ini penjual dihadapkan pada masalah bagaimana menentukan titik impas yang optimum sehingga kedua belah pihak baik pelanggan maupun penjual itu sendiri mendapat keuntungan. Misalkan tingkat diskon yang ditentukan dinotasikan dengan Rp, maka Qci dapat ditentukan untuk semua pelanggan. Dalam hal ini misalkan terdapat paling banyak n nilai Qci yang berbeda, sebab beberapa pelanggan dapat memiliki Qci yang sama. Andaikan nilai-nilai Qci yang berbeda dinotasikan dengan Xi, i = 0, 1, 2, 3,..., r ≤ n, dan disusun kembali dalam urutan naik dengan: X0 = 0 dan Xr = maxi Qci. Untuk setiap selang (Xi, Xi+1] pada Q, G1 dan G2 ditentukan secara tunggal, yaitu pelanggan k dengan Qck ≤ Xi, k ∈ G1 dan Qck ≥ Xi+1, k ∈ G2. Dengan demikian, setiap pelanggan termasuk pada G1 untuk Q ∈ (Xr,∞).
Biaya tetap (Si)
= $25
Biaya inventori (C2i)
= 0.3
Proposisi 2
Nilai maksimum dari F(Rp,Q) terjadi pada Q = Qck untuk beberapa k, atau pada sembarang Q yang lebih besar dari Xr. Bukti
F2i(Rp,Q) monoton naik pada Q ∈ (Xk, Xk+1] untuk k < r sedangkan F1i konstan (lihat Gambar 3). Pada (Xr,∞), F(Rp,Q) menjadi konstan dan sama dengan F(0,0).
Total Inventori
Ei(Qi) ($) 265 1530 1283 1045 1810
Keterangan: Plgg. menyatakan pelanggan Misalkan penjual menawarkan tingkat diskon (R) sebesar 0.3. Dengan merujuk prosedur di atas, diperoleh titik impas yang optimum sebesar 172.18 (lihat Lampiran 10). Tabel 2 Perbandingan keuntungan sebelum dan sesudah penawaran diskon
Total frekuensi pemesanan plgg. Total keuntungan ($)
Tanpa diskon
Dengan (R=0.3, Q=172.18)
46.8 4580.5
14 4651.4
Pada Tabel 2, ditunjukkan nilai optimum penawaran diskon (R=0.3 , Q=172.18) dan keuntungan yang diharapkan penjual. Total frekuensi pemesanan pelanggan berkurang dari 46.8 menjadi 14 kali per unit waktu sebagai akibat dari pelanggan yang mengubah ukuran pesanannya menjadi lebih besar karena adanya penawaran diskon tersebut.
8 Qai ≥ Qp, dan ke dalam kelompok G1 jika Qp ≥ 2Qai + 2Di/C2i.
Tabel 3 Ukuran pesanan dan total biaya inventori pelanggan i Total biaya Plgg. Ukuran pesanan (i) Tanpa Dengan Tanpa Dengan diskon (R*,Q*) diskon (R*,Q*) 1 10 10 265 265 2 20 384.9 1530 1323 3 22 351.7 1283 1125 4 30 30 1045 1045 5 40 417.7 1810 1521 Pada Tabel 3, setiap pelanggan merespon penawaran diskon secara optimal. Pelanggan 2, 3, dan 5 memanfaatkan penawaran diskon tersebut dan mendapatkan keuntungan, sementara pelanggan 1 dan 4 tidak melakukannya. 4.2 Kasus 2. Titik impas ditetapkan
Dalam kasus ini, penjual dihadapkan pada masalah bagaimana mendapatkan tingkat diskon yang optimum untuk nilai Q yang telah ditetapkan (Qp). Proposisi 3
(i) Qci merupakan fungsi monoton naik terhadap R. (ii) Untuk pelanggan i yang memenuhi Qai
4(Qai + 2 Di / C2i )(Q p − Qai ) (Q p + 2 Di / C2i ) 2
(16)
Bukti
(lihat Lampiran 8)■ Proposisi 3 berimplikasi bahwa bila R berkurang, maka Qci juga berkurang. Dalam proses ini, beberapa perubahan pada Gk terjadi bila Qci = Qp untuk beberapa i dan kemudian menjadi lebih kecil dari Qp. Andaikan terdapat sebanyak t nilai Ri yang berbeda yang diperoleh dari Persamaan (16) dan disusun dengan urutan naik menjadi Yi, i = 0, 1, 2, ..., t ≤ n, dengan Y0 = 0 dan Yt+1 = 1. Misalkan Ii = [Yi,Yi+1), i = 0, 1, 2, ..., t. Pada setiap Ii, Gk ditentukan secara unik serta tidak mengalami perubahan jika R ∈ Ii. Dengan demikian, pelanggan j dengan Rj >Yi, maka j ∈ G1, dan jika Rj ≤ Yi, maka j ∈ G2. Untuk pelanggan i yang memiliki Ri tak fisibel (Ri ≤ 0 atau Ri ≥ 1) maka pelanggan tersebut masuk ke dalam kelompok G2 jika
Dapat ditunjukkan bahwa d2F2i/dR2 negatif (lihat Lampiran 9), maka F(R,Qp) yang terdefinisi pada Ii adalah konkaf, sehingga F ( R * , Q p ) = max max F ( R, Q p ) i
R∈I i
Contoh Kasus
Misalkan diberikan data yang sama seperti pada Tabel 1. Misalkan penjual menetapkan titik impas (Q) sebesar 50 unit. Dengan merujuk prosedur di atas, diperoleh tingkat diskon yang optimum sebesar 0.065 (lihat Lampiran 11). Tabel 4 Perbandingan keuntungan sebelum dan sesudah penawaran diskon
Total frekuensi pemesanan plgg. Total keuntungan ($)
Tanpa diskon
Dengan (R=0.065, Q=50)
46.8 4580.5
17.8 5155.1
Pada Tabel 4, ditunjukkan nilai optimal penawaran diskon (R=0.065 , Q=50) dan keuntungan yang diharapkan penjual. Total frekuensi pemesanan berkurang dari 46.8 menjadi 17.8 kali per unit waktu sebagai akibat dari pelanggan yang mengubah ukuran pesanannya menjadi lebih besar karena adanya penawaran diskon tersebut. Pada Tabel 5, setiap pelanggan merespon penawaran diskon secara optimal. Pelanggan 2, 3, 4, dan 5 memanfaatkan penawaran diskon tersebut dan mendapatkan keuntungan, sementara pelanggan 1 tidak melakukannya. Tabel 5 Ukuran pesanan dan total biaya inventori pelanggan i Total biaya Plgg. Ukuran pesanan (i) Tanpa Dengan Tanpa Dengan diskon (R*,Q*) diskon (R*,Q*) 1 10 10 265 265 2 20 85.9 1530 1325 3 22 79.4 1283 1283 4 30 74.8 1045 1042 5 40 99.1 1810 1778
BAB V SIMPULAN DAN SARAN 5.1 Simpulan
5.2 Saran
Dari contoh kasus yang diujikan dapat disimpulkan bahwa keuntungan penjual meningkat tanpa membebankan biaya kepada para pelanggannya. Pada fakta tersebut biaya inventori yang dikeluarkan beberapa pelanggan menjadi lebih kecil dibanding dengan kondisi sebelum adanya penawaran diskon. Dengan kata lain penjual dan pelanggan saling berbagi keuntungan.
Sebagai saran untuk penelitian lebih lanjut, beberapa hal di bawah ini dapat dijadikan bahan pertimbangan: 1 Kasus tingkat diskon dan titik impas tidak ditetapkan. 2 Sistem diskon dengan titik impas tidak tunggal. 3 Jumlah unit barang diperlakukan sebagai variabel diskret.
DAFTAR PUSTAKA Kim KH, Hwang H. 1988. An incremental discount pricing schedule with multiple customers and single price break. European Journal of Operational Research 35:71-79. Lewis CJ. 2004. Economic Order Quantity. [terhubung berkala]. http://fozzy.wvsc.edu/~lewis/handouts/eoq .html [14 Maret 2005]. Purcell J, Varberg D. 1999. Kalkulus dan Geometri Analitis. Susila IN et al, penerjemah. Jilid 1. Ed. Ke-4. Airlangga. Jakarta.
Setiawan MI. 2002. Analisis Biaya Inventori dan Transportasi pada Network Terkendala [Skripsi]. Bogor. Institut Pertanian Bogor. Thacker RJ. 1978. Accounting Principles. Englewood Cliff, N.J: Prentice Hall Inc.
LAMPIRAN
11
Lampiran 1. Penjabaran Persamaan (1) Total biaya yang dikeluarkan pelanggan untuk Qi ≥ Q adalah PQ + P(1–R)(Qi–Q), sehingga harga barang per unit sama dengan total biaya dibagi ukuran pesanan, Qi. Dengan demikian diperoleh: Pi =
PQ + P(1 − R)(Qi − Q) Qi
=
P(Q + (1 − R )(Qi − Q )) Qi
=
P(Q + (1 − R)Qi − (1 − R)Q ) Qi
=
P(Q + (1 − R)Qi − Q + RQ) Qi
=
P((1 − R)Qi + RQ) Qi
=
P(1 − R)Qi + PRQ Qi
Pi = P(1 − R) + PRQ / Qi , Qi ≥ Q.
Lampiran 2 Penjabaran Persamaan (5) Diketahui untuk Qi < Q, E1i (Qi ) = C1i Di / Qi + C2i PQi / 2 + PDi , maka E1i (Qai ) = C1i Di / Qai + C2i PQai / 2 + PDi .
Dari Persamaan (5) diketahui Q ai = 2C1i Di / C 2i P , sehingga diperoleh: E1i (Qai ) =
= =
C1i Di 2C1i Di / C2i P
C2i P 2C1i Di / C2i P + PDi 2
C1i Di 2C1i Di / C2i P 2C1i Di / C2i P
+
C2i P 2C1i Di / C2i P + PDi 2
C2i P 2C1i Di C2i P 2C1i Di + + PDi 2 2 C2i P C2i P
= C2i P
=
+
2C1i Di + PDi C2i P
2C1i Di (C2i P) 2 + PDi C2 i P
= 2C1i Di C2i P + PDi . Jadi, E1i (Qai ) = 2C1iC2i PDi + PDi .
12
Lampiran 3 Penjabaran Persamaan (6) Misalkan Qi yang meminimumkan E2i(Qi) dinotasikan dengan Qbi. Karena Pi = (P(1 − R ) + PRQ / Qi ) untuk Qi ≥ Q, maka E2i (Qi ) = C1i Di / Qi + C2i (P(1 − R ) + PRQ / Qi )Qi / 2 + (P(1 − R ) + PRQ / Qi )Di = C1i Di / Qi + C 2i P(1 − R)Qi / 2 + C 2i PRQ / 2 + P(1 − R) Di + PRQDi / Qi E2i (Qi ) = (C1i Di + PRQDi ) / Qi + C2i P(1 − R)Qi / 2 + C2i PRQ / 2 + P(1 − R) Di , sehingga diperoleh
dE 2i (Qi ) = −(C1i Di + PRQDi ) / Qi2 + C 2i P (1 − R ) / 2 . dQi d 2 E 2i (Qi ) dQi 2
=
> 0
2(C1i Di + PRQDi )
Qi3
> 0 , ∀Qi > 0. Jadi E2i(Qi) merupakan fungsi konveks untuk
setiap Qi > 0. Dengan demikian diperoleh Qbi yang meminimumkan E2i(Qi): dE 2i (Qi ) =0 dQi ⇔ −(C1i Di + PRQDi ) / Qi2 + C 2i P(1 − R) / 2 = 0
⇔
C2i P(1 − R ) C1i Di + PRQDi = 2 Qi2
⇔ Qi2 =
⇔ Qi =
=
2(C1i Di + PRQDi ) C 2i P (1 − R )
2(C1i + PRQ )Di = C 2i P (1 − R)
2(C1i + PRQ ) Di / P = C2i (1 − R )
2C1i Di / P + 2 PRQDi / P C 2i (1 − R)
2C1i Di C 2i / C 2i P + 2 RQDi . C 2i (1 − R )
Dari Persamaan (4) diketahui Qai2 = 2C1i Di / PC2i , sehingga Qbi =
Qai2 C2i + 2 RQDi . C2i (1 − R )
Lampiran 4 Penjabaran Persamaan (7) Dari Lampiran 3 diketahui E2i (Qi ) = (C1i Di + PRQDi ) / Qi + C2i P(1 − R)Qi / 2 + C2i PRQ / 2 + P(1 − R) Di , maka E2i (Qbi ) = (C1i Di + PRQDi ) / Qbi + C2i P(1 − R)Qbi / 2 + C2i PRQ / 2 + P(1 − R) Di , dengan
Qbi =
2(C1i + PRQ )Di , sehingga diperoleh: C 2i P(1 − R)
E2i (Qbi ) =
(C1i Di + PRQDi ) 2(C1i + PRQ )Di C2i P(1 − R)
+ C2i P(1 − R)
2(C1i + PRQ )Di / 2 + C2i PRQ / 2 + P(1 − R) Di C2i P(1 − R)
13
⇒ E2i (Qbi ) =
C2i P(1 − R)(C1i Di + PRQDi ) 2(C1i + PRQ )Di C2i P(1 − R) 2(C1i + PRQ )Di + C2i P(1 − R) C2i P(1 − R) 2(C1i + PRQ )Di 2 +
=
C2i PRQ + P(1 − R) Di 2
C2i P(1 − R) 2(C1i + PRQ )Di C2i P(1 − R) 2(C1i + PRQ )Di + + C2i PRQ / 2 + P(1 − R) Di 2 C2i P(1 − R) 2 C2i P(1 − R)
= C2i P(1 − R)
=
2(C1i + PRQ )Di + C2i PRQ / 2 + P(1 − R) Di C 2i P(1 − R)
2(C1i + PRQ )C2i P(1 − R) 2 Di + C2i PRQ / 2 + P(1 − R) Di , sehingga C2i P(1 − R)
E2i (Qbi ) = 2(C1i + PRQ)C 2i P(1 − R) Di + C 2i PRQ / 2 + P(1 − R) Di .
Lampiran 5 Bukti Proposisi 1 •
Pertama akan ditunjukkan bahwa Qai ≤ Qbi.
Q ai = 2C1i Di / C 2i P dan Qbi = (2(C1i + RPQ) Di ) /(C 2i P (1 − R ) ) = (2C1i Di + 2 RPQDi ) /(C 2i P (1 − R) = 2C1i Di / C 2i P(1 − R) + 2 RPQDi / C 2i P (1 − R ) = 2C1i Di / C 2i P(1 − R ) + 2 RQDi / C 2i (1 − R) . Karena C1i, C2i, P, Q, dan Di bernilai positif, 0 < R < 1, maka 2C1i Di / C 2i P < 2C1i Di / C 2i P(1 − R) . Nilai 2 RQDi / C 2i (1 − R) positif, sehingga 2C1i Di / C 2i P < 2C1i Di / C 2i P(1 − R ) + 2 RQDi / C 2i (1 − R ) .
Jadi Qai < Qbi. Jika R = 0 (tanpa diskon), maka Qai = Qbi. Dengan demikian Qai ≤ Qbi □ •
Misalkan E2i(Qai|Q = Qai) menyatakan fungsi dari E2i(Qai) dengan Q = Qai dan E2i(Qbi|Q = Qbi) menyatakan fungsi dari E2i(Qbi) dengan Q = Qbi. Akan ditunjukkan bahwa E2i(Qai|Q = Qai) = E1i(Qai) dan E2i(Qbi|Q = Qbi) = E1i(Qbi).
o
Akan ditunjukkan E2i(Qai|Q = Qai) = E1i(Qai): Dari Lampiran 3 diketahui bahwa
Ei (Qi ) = C1i Di / Qi + C2i (P(1 − R) + PRQ/Qi )Qi / 2 + (P(1 − R) + PRQ/Qi )Di , maka E2i (Qai Q = Qai ) = C1i Di / Qai + C 2i ( P(1 − R) + PRQai /Qai )Qai / 2 + ( P(1 − R) + PRQai /Qai ) Di = C1i Di / Qai + C2i ( P(1 − R) + PR)Qai / 2 + ( P(1 − R) + PR) Di = C1i Di / Qai + C 2i PQai / 2 + PDi .
Dari Lampiran 2 diketahui E1i(Qai) = C1i Di / Qai + C2i PQai / 2 + PDi , sehingga E2i(Qai|Q =Qai) = E1i(Qai) □
14 Akan ditunjukkan E2i(Qbi|Q =Qbi) = E1i(Qbi):
o
Dengan cara yang sama diperoleh Ei (Qi ) = C1i Di / Qi + C2i ( P(1 − R) + PRQ/Qi )Qi / 2 + P(1 − R) + PRQ/Qi ) Di , sehingga E2i (Qbi Q = Qbi ) = C1i Di / Qbi + C 2i ( P(1 − R) + PRQbi /Qbi )Qbi / 2 + ( P(1 − R) + PRQbi /Qbi ) Di = C1i Di / Qbi + C2i ( P(1 − R) + PR)Qbi / 2 + ( P(1 − R) + PR) Di = C1i Di / Qbi + C2i PQbi / 2 + PDi .
Dari Lampiran 2 diketahui E1i(Qbi) = C1i Di / Qbi + C 2i PQbi / 2 + PDi , sehingga E2i(Qbi|Q =Qbi) =E1i(Qbi) Karena Qai meminimumkan E1i untuk setiap Q dan Qbi meminimumkan E2i untuk setiap Q, maka: E1i(Qai) ≤ E1i(Qbi) = E2i(Qbi|Q =Qbi), dan E2i(Qbi|Q =Qai) ≤ E2i(Qai|Q = Qai) = E1i(Qai) sehingga E2i (Qbi|Q =Qai) ≤ E1i(Qai) ≤ E2i(Qbi|Q =Qbi) □ •
Akan ditunjukkan E2i(Qbi) monoton naik terhadap Q Dari Lampiran 4 diketahui
E2i (Qbi ) = 2(C1i + PRQ )C 2i P(1 − R) Di + C 2i PRQ / 2 + P(1 − R) Di .
Dari Teorema 1 diketahui fungsi f naik pada I jika f ′( x) > 0 untuk semua titik dalam x dari I, sehingga diperoleh: > 0
>0
dE2i (Qbi ) 2C2i P 2 R(1 − R) Di = + C2i PR / 2 dQ 2 2(C1i + PRQ )C2i P(1 − R) Di
>0
⇒
dE2i (Qbi ) > 0 , artinya E2i(Qbi) monoton naik terhadap Q □ dQ
Dengan demikian terdapat Qci dengan Qai ≤ Qci ≤ Qbi yang memenuhi E1i(Qai) = E2i(Qbi) pada saat Q = Qci atau ditulis dengan E1i (Qai ) = E 2i (Qbi Q = Qci ) . Akibatnya jika Q < Qci maka E1i(Qai) > E2i(Qbi) jika Q > Qci maka E1i(Qai) < E2i(Qbi) □
Nilai Qci diperoleh dengan cara sebagai berikut: E1i (Q ai ) = E 2i (Qbi Q = Qci )
⇔ E 2i (Qbi Q = Qci ) = E1i (Q ai ) ⇔ 2(C1i + RPQci )C 2i P (1 − R) Di + C2iRPQci/2 + P(1-R)Di = 2C1i C 2i PDi + PDi ⇔ 2(C1i + RPQci )C 2i P (1 − R) Di = 2C1i C 2i PDi + RPDi − C 2i RPQci / 2
(i)
Dengan menguadratkan kedua ruas Persamaan (i) dan mengatur Qci sedemikian rupa sehingga diperoleh:
15 ⇔
( (2(C
1i
) =( 2
+ RPQci )C 2i P(1 − R) Di
2C1i C 2i PDi + RPDi − C 2i RPQci / 2
)
2
⇔ 2(C1i + RPQci )C 2i P(1 − R) Di = 2C1i C 2i PDi + (RPDi )2 + (C 2i RPQci / 2)2 − RPDi C 2i RPQci
(
)
+ 2 2C1i C 2i PDi (RPDi − C 2i RPQci / 2) ⇔ 2C1i C 2i P(1 − R )Di + 2C 2i P (1 − R )RDi Qci 2
= 2C1i C 2i PDi + (RPDi )2 2
⎛ C RPQci ⎞ 2 2 + ⎜⎜ 2i ⎟⎟ − R P Di C 2i Qci + 2 2C1i C 2i PDi RPDi − C 2i RPQci 2C1i C 2i PDi 2 ⎝ ⎠ ⇔ 2C1i C 2i PDi − 2C1i C 2i PRDi + 2C 2i P 2 RDi Qci − 2C 2i P 2 R 2 Di Qci 2
⎛ C RP ⎞ = 2C1i C 2i PDi + (RPDi )2 + ⎜⎜ 2i ⎟⎟ Qci 2 − C 2i P 2 R 2 Di Qci ⎝ 2 ⎠
+ 2 RPDi 2C1i C 2i PDi − C 2i RPQci 2C1i C 2i PDi 2
⎛ C RP ⎞ ⇔ ⎜⎜ 2i ⎟⎟ Qci 2 − 2C 2i P 2 RDi Qci + C 2i P 2 R 2 Di Qci − C 2i RP 2C1i C 2i PDi Qci ⎝ 2 ⎠ + 2C1i C 2i PRDi + 2 RPDi 2C1i C 2i PDi = 0
(
2
(
))
⎛ C RP ⎞ ⇔ ⎜⎜ 2i ⎟⎟ Qci 2 − (C 2i RP ) 2 PDi − PRDi + 2C1i C 2i PDi Qci ⎝ 2 ⎠
(
)
+ PDi R 2C1i C 2i + PDi R + 2 C1i C 2i PRDi = 0 Persamaan di atas dapat disederhanakan menjadi: ⇔ XQci2 + YQci + Z = 0
(ii)
dengan X = (C 2i RP / 2) 2 ,
>0
Y = −(C2i RP){2 PDi − PRDi + 2C1iC2i PDi },
{
}
= −(C2i RP) (1 − R )PDi + PDi + 2C1iC2i PDi ,
>0
>0
Z = PDi R{2C1i C 2i + PDi R + 2 2C1i C 2i PDi } .
>0
Misalkan Q10 dan Q20 adalah solusi dari (ii) dengan Q10, 2 =
− Y ± Y 2 − 4 XZ . Nilai Q10 2X
dan Q20 ada jika Y 2 − 4 XZ ≥ 0.
(
{
Y 2 − 4 XZ = (C 2i RP ) 2 PDi − PRDi + 2C1i C 2i PDi 2
{
})
2
⎛ C RP ⎞ − 4⎜⎜ 2i ⎟⎟ (PDi R ) 2C1i C 2i + PDi R + 2 2C1i C 2i PDi ⎝ 2 ⎠
}
16
{
Y 2 − 4 XZ = (C 2i RP )2 (2 PDi − PRDi )2 + 2(2 PDi − PRDi ) 2C1i C 2i PDi + 2C1i C 2i PDi
{
− (C 2i RP ) (PDi R ) 2C1i C 2i + PDi R + 2 2C1i C 2i PDi 2
}
}
⎧⎪4 P 2 Di2 − 4 P 2 Di2 R + (PRDi ) + 2 PDi (2 − R ) 2C1i C 2i PDi + 2C1i C 2i PDi ⎫⎪ = (C 2i RP )2 ⎨ ⎬ ⎪⎭ ⎪⎩− PDi R 2C1i C 2i + PDi R + 2 2C1i C 2i PDi ⎧⎪4 PDi − 4 PDi R + PDi R 2 + 2(2 − R ) 2C1i C 2i PDi ⎫⎪ = (C 2i RP )2 PD ⎨ ⎬ 2 ⎪⎩+ 2C1i C 2i − PDi R − 2 R 2C1i C 2i PDi ⎪⎭ 2
(
)
{ } = (C RP ) PD{4 PD (1 − R ) + 4(1 − R ) 2C C PD + 2C C (1 − R )}> 0 .
= (C 2i RP )2 PD 4 PDi (1 − R ) + (4 − 2 R − 2 R ) 2C1i C 2i PDi + 2C1i C 2i (1 − R ) 2
2i
i
1i
>0
2i
i
1i
2i
>0
Dengan demikian Persamaan (ii) mempunyai solusi, yaitu: Q10 =
o
− Y − Y 2 − 4 XZ − Y + Y 2 − 4 XZ dan Q 20 = . 2X 2X Y 2 − 4 XZ > 0 sehingga Q10 < Q 20 .
o Q 20 =
− Y + Y 2 − 4 XZ −Y Y 2 − 4 XZ . Karena Y < 0, X > 0 dan ⇔ Q 20 = + 2X 2X 2X
Y 2 − 4 XZ > 0 , maka
−Y > 0 dan 2X
Y 2 − 4 XZ > 0 , sehingga Q 20 > 0 . 2X
o Misalkan ruas kanan Persamaan (i) ditulis sebagai
k = 2C1i C 2i PDi + RPDi − C 2i RPQci / 2
(iii)
Misalkan ruas kiri Persamaan (i) ditulis sebagai k = 2(C1i + RPQci )C 2i P(1 − R) Di ⇔ k 2 = 2(C1i + RPQci )C 2i P(1 − R) Di = 2C1i C 2i P(1 − R) Di + 2C 2i P 2 R (1 − R )Qci Di
(iv)
Sketsa kedua kurva tersebut diperlihatkan pada Gambar 4. Persamaan (iii) merupakan persamaan
k
k1
Pers. (iii)
garis lurus dengan variabel bebas Qci dan variabel
Pers. (iv)
takbebas k yang mempunyai kemiringan negatif yaitu −C 2i RP / 2 .
k2
Persamaan (iv) merupakan persamaan Q10
Q20
Qci
parabola dengan variabel bebas Qci yang terbuka ke arah kanan. Titik potong kurva (iii) dengan sumbu k diperoleh dari
Gambar 4 Sketsa kurva.
Qci = 0 ⇒ k1 = 2C1i C 2i PDi + RPDi .
17 Titik potong kurva (iv) dengan sumbu k diperoleh dari Qci = 0 ⇒ k 2 = 2C1i C 2i P(1 − R ) Di . Perhatikan bahwa k1 = 2C1i C 2i PDi + 2 PRDi 2C1i C 2i PDi + (PRDi )2
2
k 2 2 = 2C1i C 2i P (1 − R) Di = 2C1i C 2i PDi − 2C1i C 2i PRDi , akibatnya k1 2 > k 2 2 .
Karena k1 dan k2 positif maka k1 > k 2 . Persamaan (iii) monoton turun, sedangkan persamaan (iv) monoton naik sehingga perpotongan kedua kurva tersebut terjadi di sebelah kanan sumbu k. Ini berarti Q10 > 0 . Jadi solusi dari Persamaan (1) adalah minimum dari {Q10 , Q 20 } , yaitu: Q10 = Qci = (−Y − Y 2 − 4 XZ ) /(2 X ) .
Dengan mensubtitusikan kembali X = (C 2i RP / 2) 2 , Y = −(C2i RP){2 PDi − PRDi + 2C1iC2i PDi } , dan
Z = PDi R{2C1iC2i + PDi R + 2 2C1iC2i PDi } ke dalam persamaan
Qci = (−Y − Y 2 − 4 XZ ) /( 2 X ) , diperoleh:
Qci =
⎛ 2 PDi − PRDi C 2i RP⎜ ⎜ + 2C C PD 1i 2i i ⎝
(
))
2
(
(
2(C 2i RP / 2)2
Karena
Qci =
(
⎞ ⎟ − C 2i RP 2 PDi − PRDi + 2C1i C 2i PDi ⎟ − 4(C 2i RP / 2)2 PDi R 2C1i C 2i + PDi R + 2 2C1i C 2i PDi ⎠
2C1i Di / C 2i P = Qai , maka persamaan di atas dapat disederhanakan menjadi:
(C 2i RP(2 PDi − PRDi + Qai C 2i P ))2 ⎛ 2 PDi − PRDi ⎞ ⎟⎟ − ⎛ C 2i RP⎜⎜ ⎛ Q2 C 2 P ⎞⎞ − 4(C 2i RP / 2)2 ⎜ PDi R⎜ ai 2i + PDi R + 2Qai C 2i P ⎟ ⎟ ⎝ + Q ai C 2i P ⎠ ⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎝ Di ⎠⎠ ⎝
⇒ Qci =
)) .
2(C 2i RP / 2)2
(C 2i RP(2 PDi − PRDi + Qai C 2i P ))2 PD PRD 2 − ⎛ i i⎞ ⎛ ⎟⎟ − C 2i RP⎜⎜ ⎛ Q2 C 2 P ⎞⎞ Q C P + − (C 2i RP )2 ⎜ PDi R⎜ ai 2i + PDi R + 2Q ai C 2i P ⎟ ⎟ ai 2i ⎠ ⎝ ⎜ Di ⎟⎟ ⎜ ⎝ ⎠⎠ ⎝ 2(C 2i RP / 2 )2
18
(2 PDi − PRDi + Qai C 2i P )2 PD PRD 2 − ⎛ i i⎞ ⎟⎟ − (C 2i RP ) ⎛ C 2i RP⎜⎜ ⎛ Q2 C 2 P ⎞⎞ Q C P + − ⎜ PDi R⎜ ai 2i + PDi R + 2Q ai C 2i P ⎟ ⎟ ai 2i ⎝ ⎠ ⎜ Di ⎟⎟ ⎜ ⎝ ⎠⎠ ⎝ ⇒ Qci = 2 (C 2i RP )2 4 2(2 PDi − PRDi + Q ai C 2i P ) − 2 ⇒ Qci = 2(2 PDi − PRDi + Q ai C 2i P ) − 2 ⇒ Qci =
⇒ Qci =
⇒ Qci =
(2 Di − RDi + Qai C 2i )2
⇒ Qci =
⇒ Qci =
(
− Q ai2 C 22i R + Di2 R 2 + 2Q ai C 2i Di R
)
(2 Di − RDi )2 + 2(2 Di − RDi )(Qai C 2i ) + (Qai C 2i )2 − Q ai2 C 22i R − Di2 R 2 − 2Q ai C 2i Di R 4 Di2 − 4 RDi2 + R 2 Di2 + 4(Q ai C 2i )Di − 2(Q ai C 2i )RDi + Q ai2 C 22i − Q ai2 C 22i R − Di2 R 2 − 2Q ai C 2i Di R C 2i R
2(2 Di − RDi + Q ai C 2i ) − 2
⇒ Qci =
((2 Di − RDi ) + Qai C 2i )2
)
C 2i R 2(2 Di − RDi + Q ai C 2i ) − 2
⇒ Qci =
(
− Q ai2 C 22i R + Di2 R 2 + 2Q ai C 2i Di R
)
C 2i R 2(2 Di − RDi + Q ai C 2i ) − 2
⇒ Qci =
(
− P 2 Q ai2 C 22i R + Di2 R 2 + 2Q ai C 2i Di R
(C 2i RP ) 2(2 Di − RDi + Q ai C 2i ) − 2
⇒ Qci =
P 2 (2 Di − RDi + Q ai C 2i )2
(C 2i RP ) 2 P(2 Di − RDi + Q ai C 2i ) − 2 P
⇒ Qci =
(2 PDi − PRDi + Qai C 2i P )2 − (Q ai2 C 22i P 2 R + (PDi R )2 + 2Q ai C 2i P 2 Di R ) (C 2i RP )
4 Di2 − 4 Di2 R + 4Q ai C 2i Di + Q ai2 C 22i − Q ai2 C 22i R − 4Q ai C 2i Di R C 2i R
2(2 Di − RDi + Q ai C 2i ) − 2 4 Di2 (1 − R ) + 4Q ai C 2i Di (1 − R ) + Q ai2 C 22i (1 − R ) C 2i R
(
)
2(2 Di − RDi + Q ai C 2i ) − 2 4 Di2 + 4Q ai C 2i Di + Q ai2 C 22i (1 − R ) C 2i R 2(2 Di − RDi + Q ai C 2i ) − 2 4 Di2 + 4Q ai C 2i Di + Q ai2 C 22i C 2i R 2(2 Di − RDi + Q ai C 2i ) − 2 (Q ai C 2i + 2 Di )2 C 2i R
(1 − R )
(1 − R )
19
⇒ Qci =
⇒ Qci = ⇒ Qci =
2(2 Di − RDi + Q ai C 2i ) − 2(Q ai C 2i + 2 Di ) (1 − R ) C 2i R
2(2 Di + QaiC2i ) − 2(QaiC2i + 2 Di ) (1 − R ) − 2 RDi C2 i R
(
2(2 Di + Q ai C 2i ) 1 −
⇒ Qci = 2 ⇒ Qci = 2
⇒ Qci = 2
(1 − R ) )
C 2i R
(1 −
(1 − R ) ) (2 Di + Qai C 2i ) R
(1 −
C 2i
2 RDi C 2i R
−
2 Di C 2i
(1 − R ) ) ⎛⎜ QaiC2i + 2 Di ⎞⎟ − 2 Di ⎜ ⎝
R
(1 −
−
(1 − R ) ) ⎛⎜
C2 i
2 Di ⎜ Q ai + C 2i ⎝
R
⎟ ⎠
C2i
⎞ 2 Di ⎟− ⎟ C , 2i ⎠
atau ditulis dengan Qci = 2{(1 − 1 − R ) / R}(Q ai + 2 Di / C 2i ) − 2 Di / C 2i Dengan demikian terbukti jika Qci = 2{(1 − 1 − R ) / R}(Q ai + 2 Di / C 2i ) − 2 Di / C 2i , maka Qai ≤ Qci ≤ Qbi dan E1i(Qai) ≥ E2i(Qbi) E1i(Qai) < E2i(Qbi)
untuk Q ≤ Qci, untuk Q > Qci. ■
Lampiran 6 Sketsa Gambar 2 •
E1i (Qi ) = C1i Di / Qi + C2i PQi / 2 + PDi
Dari asumsi diketahui bahwa Qi dan Ei(Qi) bernilai positif, sehingga kurva tidak berpotongan di antara kedua sumbu tersebut. Pendiferensialan pertama memberikan dE1i (Qi ) = −C1i Di / Qi2 + PC2i / 2 . dQi
Dari pembahasan sebelumnya diketahui bahwa nilai minimum E1i(Qi) terjadi pada 2C1i Di , sehingga fungsi naik pada Qi > Qai dan turun pada Qi < Qai. C 2i P
Qai =
Pendiferensialan kedua memberikan 2
d E1i (Qi ) dQi
2
=
2C1i Di Qi3
> 0 , sehingga diperoleh fungsi cekung ke atas.
Pada Qi = 0 terdapat asimtot, yaitu lim+ E1i (Qi ) = ∞ Qi →0
•
E2i (Qi ) = (C1i Di + PRQDi ) / Qi + C2i P(1 − R)Qi / 2 + C2i PRQ / 2 + P(1 − R) Di
20 Dengan cara yang sama diperoleh dE 2i (Qi ) = −(C1i Di + PRQDi ) / Qi2 + C 2i P (1 − R ) / 2 . dQi
Dari pembahasan sebelumnya diketahui bahwa nilai minimum E2i(Qi) terjadi pada 2(C1i + RPQ) Di , sehingga fungsi naik pada Qi > Qbi dan turun pada Qi < Qbi. C 2i P(1 − R)
Qbi =
d 2 E 2i (Qi ) dQi 2
=
> 0
2(C1i Di + PRQDi )
Qi3
> 0 , sehingga diperoleh fungsi cekung ke atas.
Pada Qi = 0 terdapat asimtot, yaitu lim E2i (Qi ) = ∞ + Qi → 0
Dengan diberikannya Proposisi 1 yang menyatakan Qai ≤ Qci ≤ Qbi dan E1i(Qai) ≥ E2i(Qbi) untuk Q ≤ Qci, E1i(Qai) < E2i(Qbi) untuk Q > Qci, maka kedua fungsi tersebut dapat diilustrasikan pada Gambar 2.
Lampiran 7 Sketsa Gambar 3 •
F1i = PDi–SiDi/Qai Fungsi ini merupakan fungsi konstan terhadap Q. Dari asumsi diketahui Fi > 0. ⎛ ( RPQ − S i ) ⎞ ⎟ Di , Qbi > 0 F2i = ⎜⎜ P(1 − R) + ⎟ Qbi ⎝ ⎠
•
Dengan mensubstitusikan Qbi = ⎛ ⎜ ⎜ F2i = ⎜ P (1 − R) + ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
Q ai2 C 2i + 2 RQDi pada fungsi di atas diperoleh: C 2i (1 − R)
⎞ ⎟ ⎟ ( RPQ − S i ) ⎟ Di Q ai2 C 2i + 2 RQDi ⎟ ⎟ ⎟ C 2i (1 − R) ⎠
Pendiferensialan pertama memberikan: RP dF2i = dQ
Q ai2 C 2i + 2 RQDi − C 2i (1 − R)
2(RPQ − S i )RDi 2C 2i (1 − R)
Q ai2 C 2i + 2 RQDi C 2i (1 − R)
Q ai2 C 2i + 2 RQDi C 2i (1 − R)
Di
21 ⎞ ⎟ ⎟ C (1 − R) D i 2i ⎟ ⎟ Q ai2 C 2i + 2 RQDi ⎟ ⎟ ⎠
⎛ ⎜ ⎜ Q ai2 C 2i + 2 RQDi 2(RPQ − S i )RDi = ⎜ RP − C 2i (1 − R) ⎜ Q ai2 C 2i + 2 RQDi ⎜ 2C 2i (1 − R) ⎜ C 2i (1 − R ) ⎝
⎛ Q ai2 C 2i + 2 RQDi ⎜ 2 RPQ S RD ( ) − i i ⎜ C 2i (1 − R) Q ai2 C 2i + 2 RQDi = ⎜ RP − 2 C 2i (1 − R ) ⎜ Q C + 2 RQDi 2C 2i (1 − R) ai 2i ⎜ ⎜ C 2i (1 − R) ⎝
⎞ ⎟ ⎟ C (1 − R) D i 2i ⎟ ⎟ Q ai2 C 2i + 2 RQDi ⎟ ⎟ ⎠
2 2 ⎛ ⎜ RP Q 2 C + 2 RQD Q ai C 2i + 2 RQDi (RPQ − S )RD Q ai C 2i + 2 RQDi ai i i i i 2 ⎜ C 2i (1 − R ) C 2i (1 − R) − =⎜ 2 2 ⎜ Qai C 2i + 2 RQDi Qai C 2i + 2 RQDi ⎜ ⎜ ⎝
(
)
⎛ Q 2 C + 2 RQD ⎜ ai 2i i ⎜ C 2i (1 − R) RP Q ai2 C 2i + 2 RQDi − (RPQ − S i )RDi =⎜ ⎜ Q ai2 C 2i + 2 RQDi ⎜ ⎜ ⎝
( (
=
=
Qai2 C 2i + 2 RQDi C 2i (1 − R) Di C 2i (1 − R) Qai2 C 2i + 2 RQDi
(
(Q
)
+ 2 RQDi (C 2i (1 − R) Di )2
2 ai C 2i
C 2i ⇒
)
(1 − R)(
dF2i = dQ
Qai2 C 2i
(
+ 2 RQD )
(C2i (1 − R) Di )
4
(RPQ
(RPQ
2 ai C 2i
2 ai C 2i
⎞ ⎟ ⎟ C (1 − R ) D 2i i ⎟ ⎟ Q ai2 C 2i + 2 RQDi ⎟ ⎟ ⎠
)
+ 2 R 2 PQDi − R 2 PQDi + S i RDi
+ R 2 PQDi + S i RDi
)
)
i
)
3
Qai2 C2i
)
2
⎞ ⎟ ⎟ C (1 − R) D i 2i ⎟ ⎟ Q ai2 C 2i + 2 RQDi ⎟ ⎟ ⎠
+ 2 RQD i
(RPQ C + R PQD + S RD ) .
2 ai 2i
2
i
i
i
>0
>0
⇔
(
)
dF2i RPQai2 C2i + R 2 PQDi + Si RDi >0 = 3 dQ Qai2 C2i + 2 RQDi (C2i (1 − R) Di )
(
)
Dengan demikian F2i monoton naik terhadap Q. Pendiferensialan kedua memberikan: R 2 PDi d 2 F2i = dQ 2
(Q C
2 ai 2i
+ 2 RQDi (C2i (1 − R) Di )
)
3
−
(
)(
)
2
3 RPQai2 C2i + R 2 PQDi + Si RDi Qai2 C2i + 2 RQDi 2 RDi 2(C2i (1 − R) Di )
(Q C
2 ai 2i
+ 2 RQDi (C2i (1 − R) Di )
)
3
(Q C
2 ai 2i
+ 2 RQDi (C2i (1 − R) Di )
)
3
22
R 2 PDi
(Q C
2 ai 2i
+ 2 RQDi
(C2i (1 − R) Di )
)
(
)(
−
(C2i
=
+ 2 RQDi (C2i (1 − R) Di )
=
2 ai 2i
+ 2 RQDi (C2i (1 − R) Di )
)
=
(Q C
2 ai 2i
+ 2 RQDi (C2i (1 − R) Di )
+ 2 RQDi (C2i (1 − R) Di )
)
+ 2 RQDi (C2i (1 − R) Di )
(
3
(Q C
)
−
(
(Q C + 2 RQD )
2 ai 2i 3
)
3
3
2 ai 2i
3 RPQai2 C2i + R 2 PQDi + Si RDi RDi
Qai2 C2i
RDi
2 ai 2i
i
2 ai 2i
(Q C
2 ai 2i
2
(Q C (1 − R) D )
(Q C R 2 PDi
(Q C
)
3 RPQai2 C2i + R 2 PQDi + Si RDi Qai2 C2i + 2 RQDi RDi
3
+ 2 RQDi
)
+ 2 RQDi (C2i (1 − R) Di )
)
3
i
(C2i (1 − R) Di )
) ⎛⎜ PR − 3(RPQ C + R PQD + S RD )⎞⎟ ⎟ ⎜ (Q C + 2RQD ) ⎠ ⎝ (Q C + 2RQD ) 3
2 2 ai 2i 2 ai 2i 3 i
2 ai 2i
i
i
i
i
(C2i (1 − R) Di )
RDi =
(Q C
2 ai 2i
+ 2 RQDi (C2i (1 − R) Di )
) ⎛⎜ PR(Q C 3
2 ai 2i
⎜ ⎝
) (
+ 2 RQDi − 3 RPQai2 C2i + R 2 PQDi + Si RDi Qai2 C2i + 2 RQDi
(Q C
2 ai 2i
(
+ 2 RQDi
(C2i (1 − R) Di )
RDi =
(Q C
2 ai 2i
+ 2 RQDi (C2i (1 − R) Di )
) ⎛⎜ RPQ C 3
⎜ ⎝
2 ai 2i
)
+ 2 R 2 PQDi − 3RPQai2 C2i − 3R 2 PQDi − 3Si RDi ⎞⎟ ⎟ Qai2 C2i + 2 RQDi ⎠
(Q C
2 ai 2i
(
⎟ ⎠
3
(
+ 2 RQDi
(C2i (1 − R) Di )
⇒
)
)⎞⎟
)
)
)
3
d 2 F2i Qai2 C2i + 2 RQDi ⎛⎜ − RPQai2 C2i − R 2 PQDi − 3Si RDi ⎞⎟ (C2i (1 − R) Di ) RD = <0 i 3 ⎟ 2 R) Di ) ⎜⎝ (C i (1 − dQ 2 Q 2 C2i + 2 RQDi QaiC2i + 2 RQDi 2 ai ⎠
3
(
>0
)
<0
(
)
>0
Dengan demikian fungsi cekung ke bawah. •
Pada saat Qi = Qci F1i = PDi – SiDi/Qci ⎛ S D RPQ ⎞ ⎟ Di − i i F2i = ⎜⎜ P(1 − R) + ⎟ Q Qci ci ⎠ ⎝
⇔ F2i = PDi −
S i Di RPQDi − PRDi + Qci Qci
⎛ Q = F1i − PR⎜⎜1 − ⎝ Qci
⎞ ⎟⎟ Di . ⎠
Dengan demikian pada saat Qci < Q, maka F1i > F2i, dan Qci ≥ Q, maka F1i ≤ F2i Dari semua observasi di atas diperoleh gambar seperti yang diilustrasikan pada Gambar 3.
)
3
23
Lampiran 8 Bukti Proposisi 3 Pertama, akan ditunjukkan bahwa dQci/dR > 0. Dari Persamaan (9) diketahui Qci = 2[(1 − 1 − R ) / R](Qai + 2 Di / C2i ) − 2 Di / C2i
(
⎛ R 2(Q ai + 2 Di / C 2i )⎜⎜ − 1− 1− R dQci ⎝ 2 1− R = dR R2
Selanjutnya akan dibuktikan bahwa
)⎞⎟⎟ ⎠
.
dQci > 0. dR
Karena Qai, Di, C2i dan R bernilai positif, maka perlu dibuktikan bahwa ⎛ R ⎞ ⎜ − 1 − 1 − R ⎟⎟ > 0 . ⎜ ⎝ 2 1− R ⎠
(
)
Lebih lanjut,
(
⎛ R ⎜ − 1− 1− R ⎜ ⎝ 2 1− R
)⎞⎟⎟ ⇒ ⎛⎜⎜ R − (2 ⎠
⎝
)(
)
1 − R 1 − 1 − R ⎞⎟ ⎟ 2 1− R ⎠
⎛ R − 2 1 − R + 2(1 − R ) ⎞ ⎟. ⇒⎜ ⎟ ⎜ 2 1− R ⎠ ⎝ ⎛ R − 2 1 − R + 2 − 2R ⎞ ⎟ ⇒⎜ ⎜ ⎟ 2 1− R ⎝ ⎠
⎛ 2 − 2 1− R − R ⎞ ⎟ ⇒⎜ ⎜ ⎟ 2 1 R − ⎝ ⎠
(
⎛ 2 − R + 2 1− R ⇒⎜ ⎜ 2 1− R ⎝
)⎞⎟ ⎟ ⎠
(
)
Karena 2 1 − R > 0 , maka perlu dibuktikan 2 − R + 2 1 − R > 0 ; untuk 0 < R < 1. Jika 0 < R ; untuk 0 < R < 1 , maka 0 < R2 ⇔ 4(1 − R ) < 4(1 − R ) + R 2
⇔ 4(1 − R ) < R 2 − 4 R + 4
⇔ 4(1 − R ) < (R − 2)2 ⇔ 2 1− R < R − 2 . Untuk 0 < R < 1 , maka R − 2 < 0 sehingga R − 2 = −(R − 2) . Jadi 2 1 − R < −( R − 2 ) ⇔ −2 1 − R > R − 2
⇔ 2 − R − 2 1− R > 0
24
(
)
⇔ 2 − R + 2 1 − R > 0 ; untuk 0 < R < 1 □ dQci > 0. dR Jadi Qci monoton naik terhadap R. Dari Proposisi 1 diketahui Qai ≤ Qci, sehingga Qai
Dengan demikian terbukti
merupakan batas bawah dari Qci. Karena Qci monoton naik terhadap R dan Qci = 2Qai + 2 Di / C 2i pada R = 1 , maka diperoleh batas atas sehingga Q ai ≤ Qci ≤ 2Q ai + 2 Di / C 2i . Dari premis (ii) diketahui Qai < Qp< 2Qai+2Di/C2i sehingga dengan demikian Qp merupakan Qci atau Qp = Qci.
⎡ (1 − 1 − R ) ⎤⎛ 2 Di Dari Persamaan (8) diketahui Qci= 2⎢ ⎥⎜⎜ Q ai + R C 2i ⎦⎥⎝ ⎣⎢
⎞ 2 Di ⎟− ⎟ C 2i ⎠
sehingga dapat
diperoleh nilai untuk Ri : Qp = Qci, ⇔ Q p = 2{(1 − 1 − R ) / R}(Q ai + 2 Di / C 2i ) −2 D i / C 2i ⇔ Q p + 2 Di / C 2 i =
2 (1 − 1 − R )(Qai + 2 Di / C 2i ) R
⇔ Q p + 2 Di / C 2i =
2 (Qai + 2 Di / C 2i ) − 1 − R (Qai + 2 Di / C 2i ) R
⇔
1 2
(
)
R(Q p + 2 Di / C 2i ) − (Qai + 2 Di / C 2i ) = − 1 − R (Qai + 2 Di / C 2i ) Dengan menguadratkan kedua ruas diperoleh,
⇔ 14 R 2 (Q p + 2 Di / C 2i ) 2 − R(Qai + 2 Di / C 2i )(Q p + 2 Di / C 2i ) + (Qai + 2 Di / C 2i ) 2 = (1 − R )(Q ai + 2 Di / C 2i ) 2
⇔ 14 R 2 (Q p + 2 Di / C 2i ) 2 − R(Qai + 2 Di / C 2i )(Q p + 2 Di / C 2i ) + (Qai + 2 Di / C 2i ) 2 = (Qai + 2 Di / C 2i ) 2 − R(Qai + 2 Di / C 2i ) 2
⇔ 14 R 2 (Q p + 2 Di / C 2i ) 2 − R(Qai + 2 Di / C 2i )(Q p + 2 Di / C 2i ) + R(Qai + 2 Di / C 2i ) 2 = 0 ⇔ 14 R(Q p + 2 Di / C 2i ) 2 −(Q p + 2 Di / C 2i )(Q ai + 2 Di / C 2i ) + (Qai + 2 Di / C 2i ) 2 = 0
⇔ 14 R(Q p + 2 Di / C 2i ) 2 = (Q p + 2 Di / C 2i )(Qai + 2 Di / C 2i ) − (Qai + 2 Di / C 2i ) 2
(
= (Q ai + 2 Di / C 2i ) (Q p + 2 Di / C 2i ) − (Qai + 2 Di / C 2i )
)
= (Qai + 2 Di / C 2i )(Q p − Qai )
⇔ R = 4(Q ai + 2 Di / C 2i )(Q p − Q ai ) /(Q p + 2 Di / C 2i ) 2 , yang dinotasikan dengan Ri ■
25
Lampiran 9 Bukti F2i merupakan fungsi konkaf Dari Persamaan (14) dan (6) diketahui: F2i = P(1 − R) Di +
( RPQ − S i ) Q ai2 C 2i + 2 RQDi C 2i (1 − R )
Di .Persama-
an ini dapat disederhanakan menjadi: F2i = P (1 − R) Di +
( RPQ − S i ) Q ai2 C 2i + 2 RQDi Di , dengan U = U C 2i (1 − R)
Selanjutnya untuk memudahkan penjabaran
d 2 F2i dR
2
terlebih dahulu perlu diketahui
dU . dR
2QDi C 2i (1 − R ) + (Q ai2 C 2i + 2 RQDi )C 2i dU =U′ = dR Q ai2 C 2i + 2 RQDi 2 (C 2i (1 − R ))2 C 2i (1 − R ) =
U′ =
2QDi C 2i − 2 RQDi C 2i + Q ai2 C 22i + 2 RQDi C 2i 2U (C 2i (1 − R ))2
=
Q ai2 C 22i + 2QDi C 2i 2U (C 2i (1 − R ))2
Qai2 C 2i + 2QDi 2UC 2i (1 − R )2
Dengan demikian, diperoleh turunan pertama dari F2i = P(1 − R ) Di +
( RPQ − S i ) Di U
terhadap R, yaitu: dF2i PQU − (RPQ − S i )U ′ = − PDi + Di dR U2 ⇔
(RPQ − S i )U ′ dF2i PQU = − PDi + Di − Di 2 dR U U2
⇔
(RPQ − S i ) Qai2 C 2i + 2QDi dF2i PQ Di − Di = − PDi + dR U U2 2UC 2i (1 − R )2
⇔
(RPQ − S i ) Qai2 C 2i + 2QDi dF2i PQ = − PDi + Di − Di dR U 2C 2i U 3 (1 − R )2 Turunan kedua menghasilkan:
d 2 F2i dR
⇔
2
=−
2
d F2i dR
2
PQU ′ U
=−
−
2
Di −
(
U
)
(
)
(
)(
)
PQU 3 (1 − R )2 − (RPQ − S i ) 3U 2U ′(1 − R )2 − 2U 3 (1 − R ) Q ai2 C 2i + 2QDi Di 2C 2i U 6 (1 − R )4
PQ Qai2 C 2i + 2QDi 2
(
2UC 2i (1 − R )
2
)D
i
(
)
PQU 3 (1 − R )2 − (RPQ − S i )(3U ′(1 − R ) − 2U )U 2 (1 − R ) Qai2 C 2i + 2QDi Di 2C 2i U 6 (1 − R )4
26
⇔
d 2 F2i dR
2
=−
−
⇔
d 2 F2i dR
2
(Q
PQ U (1 − R ) 3
2
)
2 ai C 2i
+ 2QDi Di 2C 2i
(
)
PQU (1 − R ) − (RPQ − S i )(3U ′(1 − R ) − 2U ) Qai2 C 2i + 2QDi Di 2C 2i U 4 (1 − R )3
(
)
⎛ PQU (1 − R ) − (RPQ − S i )(3U ′(1 − R ) − 2U ) ⎞⎟ Q ai2 C 2i + 2QDi PQ Di = ⎜− − ⎟ ⎜ U 3 (1 − R )2 2C 2i U 4 (1 − R )3 ⎠ ⎝
>0
A
Untuk menunjukkan A=−
PQ U (1 − R ) 3
2
−
d 2 F2i dR 2
< 0 perlu ditunjukkan bahwa A bernilai negatif.
PQU (1 − R ) − (RPQ − S i )(3U ′(1 − R ) − 2U ) U 4 (1 − R )3
,
atau lebih lanjut dijabarkan menjadi: A=−
=
PQU (1 − R ) U (1 − R ) 4
3
−
PQU (1 − R ) − (RPQ − S i )(3U ′(1 − R ) − 2U ) U 4 (1 − R )3
B
− PQU (1 − R ) − PQU (1 − R ) + (RPQ − S i )(3U ′(1 − R ) − 2U )
U 4 (1 − R )3
.
Karena U 4 (1 − R )3 bernilai positif, maka untuk membuktikan A negatif perlu ditunjukkan bahwa B bernilai negatif. B = − PQU (1 − R ) − PQU (1 − R ) + (RPQ − S i )(3U ′(1 − R ) − 2U )
⎞ ⎛ Q 2 C + 2QDi ( 1 − R ) − 2U ⎟ ⇒ B = −2 PQU (1 − R ) + (RPQ − S i )⎜ 3 ai 2i 2 ⎟ ⎜ 2UC (1 − R ) 2i ⎠ ⎝ ⎛ Q 2 C + 2QDi ⎞ ⇔ B = −2 PQU (1 − R ) + (RPQ − S i )⎜ 3 ai 2i − 2U ⎟ ⎜ 2UC (1 − R ) ⎟ 2i ⎝ ⎠ ⇔B=−
⎛ Q 2 C + 2QDi 4 PQU 2 C 2i (1 − R )2 U 2 C 2i (1 − R ) ⎞⎟ + (RPQ − S i )⎜ 3 ai 2i −4 ⎜ 2UC 2i (1 − R ) 2UC 2i (1 − R ) 2UC 2i (1 − R ) ⎟⎠ ⎝
⇔B=−
⎛ 3 Qai2 C 2i + 2QDi − 4 U 2 C 2i (1 − R ) 4 PQU 2 C 2i (1 − R )2 + (RPQ − S i )⎜ ⎜ 2UC 2i (1 − R ) 2UC 2i (1 − R ) ⎝
(
) (
)⎞⎟ . ⎟ ⎠
X
2 2 − 4 PQU C 2i (1 − R ) + (RPQ − S i ) 3 Qai2 C 2i + 2QDi − 4 U 2 C 2i (1 − R ) ⇔B= 2UC 2i (1 − R )
((
) (
))
Karena U, C2i, dan (1–R) bernilai positif, maka perlu ditunjukkan bahwa X bernilai negatif.
{(
) (
)}
X = −4 PQU 2 C 2i (1 − R )2 + (RPQ − S i ) 3 Qai2 C 2i + 2QDi − 4 U 2 C 2i (1 − R )
27
⇔ X = −4 PQ
(Q
)
2 ai C 2i
+ 2 RQDi C 2i (1 − R )2 C 2i (1 − R)
) (
)
⎛ ⎛ Q 2 C + 2 RQDi ⎞⎞ + (RPQ − S i )⎜ 3 Qai2 C 2i + 2QDi − 4⎜ ai 2i C 2i (1 − R )⎟ ⎟ ⎜ ⎟⎟ ⎜ C 2i (1 − R) ⎝ ⎠⎠ ⎝
(
(
)
((
) (
)) − 8RQD )
⇔ X = −4 PQ Qai2 C 2i + 2 RQDi (1 − R ) + (RPQ − S i ) 3 Qai2 C 2i + 2QDi − 4 Qai2 C 2i + 2 RQDi
( ) ( ⇔ X = (− 4 PQQ C − 8PRQ D )(1 − R ) + (RPQ − S )(6QD − Q C − 8 RQD ) ⇔ X = (− 4 PQQ C − 8 PRQ D )(1 − R ) + RPQ (6QD − Q C − 8RQD ) − S (6QD − Q C − 8 RQD ) ⇔ X = (− 4 PQQ C + 4 PQRQ C − 8PRQ D + 8PR Q D ) + (6 PRQ D − PRQQ C − 8PR Q D ) − S (6QD − Q C − 8 RQD )
⇔ X = − 4 PQQai2 C 2i − 8PRQ 2 Di (1 − R ) + (RPQ − S i ) 3Qai2 C 2i + 6QDi − 4Qai2 C 2i 2 ai
2 ai
2
2i
2
2i
2 ai
i
i
i
i
2 ai 2i
2 ai
i
2 ai
i
2i
i
i
2i
2 ai 2i
2
i
i
2
2
2i
2 ai
i
2
i
2
i
2i
2
i
i
i
2 ai
i
2i
i
⇔ X = −4 PQQai2 C2i + 4 PQRQai2 C2i − PRQQai2 C2i − 8PRQ 2 Di + 6 PRQ 2 Di + 8PR 2Q 2 Di − 8PR 2Q 2 Di
(
− S i 6QDi − Q ai2 C 2i − 8RQDi
)
(
⇔ Y = −4 PQQai2 C2i + 3PQRQai2 C2i − 2 PRQ 2 Di − Si 6QDi − Qai2 C2i − 8 RQDi
)
( ) − 2 PRQ D − S (6QD (1 − R ) − Q C − 2 RQD )
⇔ Y = −3PQQai2 C2i (1 − R ) − PQQai2 C2i − 2 PRQ 2 Di − Si 6QDi − Qai2 C2i − 8 RQDi ⇔ Y = −3PQQai2 C2i (1 − R ) − PQQai2 C2i
2
i
i
2 ai 2i
i
i
⇔ Y = −3PQQai2 C2i (1 − R ) − PQQai2 C2i − 2 PRQ 2 Di − 6 SiQDi (1 − R ) + SiQai2 C2i + 2 Si RQDi
( ⇔ Y = −(3PQQ C ⇔ Y = −(3PQQ C
) ( ) ( (1 − R ) + 6S QD (1 − R )) − Q C (PQ − S ) − 2 RQD (PQ − S ) + 6 S QD )(1 − R ) − (Q C + 2 RQD )(PQ − S ) .
⇔ Y = − 3PQQai2 C2i (1 − R ) + 6 SiQDi (1 − R ) − PQQai2 C2i − SiQai2 C2i − 2 PRQ 2 Di − 2 Si RQDi 2 ai 2i 2 ai 2i
i
i
2 ai 2i
i
2 ai 2i
i
i
i
i
)
i
i
Dari Persamaan 12 diketahui bahwa Fi(R,Q) = PiDi–SiDi/Qi. Secara implisit fungsi keuntungan penjual ini bernilai positif. Jika Qi = Q, maka dengan mensubtitusi Pi dari Persamaan (1) diperoleh: S D ⎛ RPQ ⎞ ⎟⎟ Di − i i > 0 Fi = ⎜⎜ P(1 − R) + Q Q ⎝ ⎠
⇔ (P − RP + RP )Di − ⇔ PDi −
S i Di >0 Q
S i Di S >0 ⇔ P− i >0 Q Q
(
)
(
)
⇔ PQ − S i > 0 , sehingga Y = − 3PQQai2 C2i + 6 SiQDi (1 − R ) − Qai2 C2i + 2 RQDi (PQ − Si ) < 0 .
>0
Dengan demikian
d 2 F2i dR 2
>0
< 0. Jadi terbukti F2i merupakan fungsi konkaf ■
28
Lampiran 10 Pencarian Titik Impas pada Kasus 1 Langkah 1 Mencari Qci untuk setiap pelanggan ⎡ (1 − 1 − R ) ⎤⎛ 2 Di Dari Persamaan (8) diketahui Qci= 2 ⎢ ⎥⎜⎜ Q ai + R C 2i ⎣⎢ ⎦⎥⎝
⎞ 2 Di ⎟− ⎟ C . Dengan R = 0.3 2i ⎠
maka diperoleh Qci untuk setiap pelanggan i sebagai berikut:
Pelanggan i Qci Langkah 2
1 40.53
2 199.65
3 172.18
4 151.25
5 251.07
Mengurutkan Qci dari yang terkecil (nol) sampai yang terbesar, kemudian membuat selang di antara nilai yang terdekat
Dari nilai-nilai Qci yang diketahui, diperoleh urutan naik sebagai berikut: 0, 40.53, 151.25, 172.18, 199.65, dan 251.07. Dengan demikian diperoleh selang-selang berikut ini: (0, 40.53], (40.53, 151.25], (151.25, 172.18], (172.18, 199.65], dan (199.65, 251.07].
Langkah 3
Menentukan kelompok pelanggan pada setiap selang (Xi, Xi+1], kemudian menghitung Qbi dan Fi
Untuk setiap selang (Xi, Xi+1] pada Q, G1 dan G2 ditentukan secara tunggal, yaitu pelanggan k dengan Qck ≤ Xi, k ∈ G1 dan Qck ≥ Xi+1, k ∈ G2. Qbi =
2(C1i + RPQ) Di Q , dengan C1i = (E i (Qi ) − P(C 2i Qi / 2 + Di )) i , dan C 2i P(1 − R) Di
⎧⎛ Si ⎞ ⎟ Di , untuk pelanggan G1 , dan ⎪⎜⎜ P − Q ai ⎟⎠ ⎪⎝ Fi = ⎨ S i Di RPQ ⎞ ⎪⎛⎜ ⎟ ⎪⎜ P (1 − R ) + Q ⎟ Di − Q , untuk pelanggan G 2 bi bi ⎠ ⎩⎝
Fi pada seiap selang (Xi, Xi+1] monoton naik terhadap Q. Oleh karena itu nilai tertinggi Fi terdapat pada Xi+1. Pada selang (0, 40.53] diperoleh data sebagai berikut:
Plgg. i 1 2 3 4 5
Perbandingan Kelompok Qck dengan Xi 40.53 ≥ 40.53 G2 199.65 ≥ 40.53 G2 G2 172.18 ≥ 40.53 151.25 ≥ 40.53 G2 251.07 ≥ 40.53 G2 Total keuntungan
Qbi
Fi
77.03 187.92 172.18 156.36 206.93
198.24 1107.14 926.97 745.79 1285.54 4263.68
Pada selang (40.53, 151.25] diperoleh data sebagai berikut:
Plgg. i 1 2 3
Perbandingan Qck dengan Xi 40.53 < 151.25 199.65 ≥ 151.25 172.18 ≥151.25
Kelompok
Qbi
Fi
G1 G2 G2
10.00 360.85 329.73
125.00 1217.83 1028.05
29
Plgg. i 4 5
Perbandingan Kelompok Qck dengan Xi 151.25 ≥ 151.25 G2 251.07 ≥ 151.25 G2 Total keuntungan
Qbi
Fi
296.16 391.83
836.32 1405.32 4612.52
Pada selang (151.25, 172.18] diperoleh data sebagai berikut:
Plgg. i 1 2 3 4 5
Perbandingan Kelompok Qck dengan Xi 40.53 < 172.18 G1 199.65 ≥ 172.18 G2 172.18 ≥ 172.18 G2 151.25 < 172.18 G1 251.07 ≥ 172.18 G2 Total keuntungan
Qbi
Fi
10.00 384.91 351.68 30.00 417.69
125.00 1231.81 1040.83 833.33 1420.46 4651.43
Pada selang (172.18, 199.65] diperoleh data sebagai berikut:
Plgg. i 1 2 3 4 5
Perbandingan Kelompok Qck dengan Xi 40.53 < 199.65 G1 199.65 ≥ 199.65 G2 G1 172.18 < 199.65 151.25 < 199.65 G1 251.07 ≥ 199.65 G2 Total keuntungan
Qbi
Fi
10.00 414.36 22.00 30.00 449.37
125.00 1266.82 965.91 833.33 1438.78 4629.83
Pada selang (199.65, 251.07]. diperoleh data sebagai berikut:
Plgg. i 1 2 3 4 5
Perbandingan Kelompok Qck dengan Xi 40.53 < 251.07 G1 199.65 < 251.07 G1 G1 172.18 < 251.07 151.25 < 251.07 G1 251.07 ≥ 251.07 G2 Total keuntungan
Qbi
Fi
10.00 20.00 22.00 30.00 503.34
125.00 1125.00 965.91 833.33 1469.49 4518.73
Langkah 4 Mencari total keuntungan terbesar Dari kelima total keuntungan di atas diperoleh nilai yang paling besar, yaitu: 4651.43. Dengan demikian diperoleh titik impas yang optimal (Q*) sebesar 172.18. Perbandingan frekuensi pemesanan (Di/Qi) sebelum dan sesudah penawaran diskon.
Pelanggan i 1 2 3 4 5 Total
Sebelum penawaran diskon 5.00 15.00 11.36 6.67 8.75 46.78
Sesudah penawaran diskon 5.00 0.78 0.71 6.67 0.84 13.99
30
Lampiran 11 Pencarian Tingkat Diskon pada Kasus 2 Langkah 1 Mencari Ri untuk semua pelanggan Dari Persamaan (16) diketahui Ri =
Pelanggan i Ri
4(Qai + 2 Di / C2i )(Q p − Qai )
1 0.374
(Q p + 2 Di / C2i ) 2
2 0.058
3 0.064
4 0.057
, sehingga diperoleh: 5 0.017
Langkah 2 Mengurutkan nilai Ri dari nol sampai satu, kemudian membuat selang di antara nilai yang terdekat Dari Ri yang diketahui, diperoleh urutan naik berikut: {0, 0.017, 0.057, 0.058, 0.064, 0.374, 1}. Dengan demikian diperoleh selang-selang berikut ini: (0, 0.017], (0.017, 0.057], (0.057, 0.058], (0.058, 0.064], (0.064, 0.374], dan (0.374, 1).
Langkah 3 Menentukan kelompok pelanggan pada setiap selang Ii, kemudian menghitung Qbi dan Fi Untuk pelanggan j dengan Rj > Yi, maka j ∈ G1, dan jika Rj ≤ Yi, maka j ∈ G2 Pada setiap selang Ii, Fi merupakan fungsi konkaf terhadap R. Oleh karena itu pencarian nilai tertinggi Fi menggunakan bantuan Microsoft Excel dengan mengambil tiga angka desimal. Berikut adalah penentuan kelompok para pelanggan untuk setiap selang Ii, Pada selang Ii = (0, 0.017] diperoleh:
Plgg. i 1 2 3 4 5
Perbandingan Ri dengan Yi 0.374 > 0 0.058 > 0 0.064 > 0 0.057 > 0 0.017 > 0
Kelompok
Plgg. i
G1 G1 G1 G1 G1
1 2 3 4 5
Pada Ii = (0.017.0.057] diperoleh:
Plgg. i 1 2 3 4 5
Perbandingan Ri dengan Yi 0.374 > 0.17 0.058 > 0.17 0.064 > 0.17 0.057 > 0.17 0.017 ≤ 0.17
1 2 3 4 5
Perbandingan Ri dengan Yi 0.374 > 0.057 0.058 > 0.057 0.064 > 0.057 0.057 ≤ 0.057 0.017 ≤ 0.057
Perbandingan Ri dengan Yi 0.374 > 0.058 0.058 ≤ 0.058 0.064 > 0.058 0.057 ≤ 0.058 0.017 ≤ 0.058
Kelompok G1 G2 G1 G2 G2
Pada selang Ii = (0.064, 0.374] diperoleh:
Kelompok
Plgg. i
G1 G1 G1 G1 G2
1 2 3 4 5
Pada selang Ii = (0.057, 0.058] diperoleh:
Plgg. i
Pada selang Ii = (0.058, 0.064], diperoleh:
Perbandingan Ri dengan Yi 0.374 > 0.064 0.058 ≤ 0.064 0.064 ≤ 0.064 0.057 ≤ 0.064 0.017 ≤ 0.064
Kelompok G1 G2 G2 G2 G2
Pada selang Ii = (0.374, 1) diperoleh:
Kelompok
Plgg. i
G1 G1 G1 G2 G2
1 2 3 4 5
Perbandingan Ri dengan Yi 0.374 ≤ 0.374 0.058 ≤ 0.374 0.064 ≤ 0.374 0.057 ≤ 0.374 0.017 ≤ 0.374
Kelompok G2 G2 G2 G2 G2
31
Langkah 4 Mencari total keuntungan terbesar Pada selang Ii = (0, 0.017], semua pelanggan tidak memanfaatkan diskonnya. Jadi total keuntungan penjual masih tetap. Pada selang lainnya dapat dilihat di belakang halaman ini. Dari daptar total keuntungan pada setiap selang tersebut diperoleh nilai tertinggi, yaitu: 5155.1 pada R = 0.065. Perbedaan frekuensi pemesanan (Di/Qi) sebelum dan sesudah penawaran diskon:
Pelanggan i 1 2 3 4 5 Total
Sebelum penawaran diskon 5.00 15.00 11.36 6.67 8.75 46.78
Sesudah penawaran diskon 5.00 3.49 3.15 2.67 3.53 17.84
32
Pencarian total keuntungan terbesar pada selang (0.017, 0.057] Yi 0.018 0.019 0.020 0.021 … 0.036 0.037 0.038 0.039 0.040 0.041 0.042 … 0.054 0.055 0.056 0.057
Q1 10.00 10.00 10.00 10.00 … 10.00 10.00 10.00 10.00 10.00 10.00 10.00 … 10.00 10.00 10.00 10.00
Q2 20.00 20.00 20.00 20.00 … 20.00 20.00 20.00 20.00 20.00 20.00 20.00 … 20.00 20.00 20.00 20.00
Q3 22.00 22.00 22.00 22.00 … 22.00 22.00 22.00 22.00 22.00 22.00 22.00 … 22.00 22.00 22.00 22.00
Q4 Q5 F1 F2 30.00 61.38 125.00 1125.00 30.00 62.37 125.00 1125.00 30.00 63.35 125.00 1125.00 30.00 64.32 125.00 1125.00 Nilai ΣFi semakin besar 30.00 77.57 125.00 1125.00 30.00 78.38 125.00 1125.00 30.00 79.19 125.00 1125.00 30.00 80.00 125.00 1125.00 30.00 80.79 125.00 1125.00 30.00 81.59 125.00 1125.00 30.00 82.37 125.00 1125.00 Nilai ΣFi semakin kecil 30.00 91.38 125.00 1125.00 30.00 92.10 125.00 1125.00 30.00 92.82 125.00 1125.00 30.00 93.53 125.00 1125.00
F3 965.91 965.91 965.91 965.91 … 965.91 965.91 965.91 965.91 965.91 965.91 965.91 … 965.91 965.91 965.91 965.91
F4 F5 833.33 1601.61 833.33 1603.12 833.33 1604.51 833.33 1605.78 … … 833.33 1614.80 833.33 1614.92 833.33 1615.00 833.33 1615.03 833.33 1615.02 833.33 1614.97 833.33 1614.89 … … 833.33 1611.45 833.33 1611.00 833.33 1610.52 833.33 1610.02 Nilai ΣFi terbesar
Σ Fi 4650.85 4652.36 4653.75 4655.02 … 4664.05 4664.17 4664.24 4664.27 4664.26 4664.22 4664.13 … 4660.70 4660.24 4659.76 4659.27 4664.27
F4 F5 912.48 1609.51 Nilai ΣFi terbesar
Σ Fi 4737.89 4737.89
Pencarian total keuntungan terbesar pada selang (0.057, 0.058] Yi 0.058
Q1 10.00
Q2 20.00
Q3 22.00
Q4 71.13
Q5 94.24
F1 125.00
F2 1125.00
F3 965.91
33
Pencarian total keuntungan terbesar pada selang (0.058, 0.064] Yi 0.059 0.060 0.061 0.062 0.063 0.064
Q1 10.00 10.00 10.00 10.00 10.00 10.00
Q2 81.82 82.51 83.20 83.88 84.56 85.23
Q3 22.00 22.00 22.00 22.00 22.00 22.00
Q4 71.67 72.20 72.73 73.25 73.78 74.30
Q5 94.95 95.65 96.35 97.04 97.73 98.42
F1 125.00 125.00 125.00 125.00 125.00 125.00
F2 1373.92 1373.64 1373.34 1373.02 1372.68 1372.32
F3 965.91 965.91 965.91 965.91 965.91 965.91
F4 F5 912.40 1608.97 912.30 1608.41 912.19 1607.83 912.06 1607.24 911.92 1606.62 911.77 1605.99 Nilai ΣFi terbesar
Σ Fi 4986.19 4985.26 4984.27 4983.23 4982.14 4981.00 4986.19
F4 F5 911.61 1605.35 911.43 1604.69 911.24 1604.01 911.04 1603.32 910.83 1602.61 910.61 1601.88 … … 872.08 1516.69 871.44 1515.41 … … 697.01 1191.13 696.12 1189.52 695.23 1187.91 694.33 1186.30 693.44 1184.69 Nilai ΣFi terbesar
Σ Fi 5155.11 5153.61 5152.05 5150.43 5148.76 5147.02 … 4904.41 4900.60 … 3904.44 3899.44 3894.43 3889.43 3885.42 5155.11
Pencarian total keuntungan terbesar pada selang (0.064,0.374] Yi 0.065 0.066 0.067 0.068 0.069 0.070 … 0.150 0.151 … 0.370 0.371 0.372 0.373 0.374
Q1 10.00 10.00 10.00 10.00 10.00 10.00 … 10.00 10.00 … 10.00 10.00 10.00 10.00 11.00
Q2 85.91 86.57 87.23 87.89 88.55 89.20 … 134.60 135.12 … 243.65 244.17 244.69 245.21 245.73
Q3 79.44 80.04 80.64 81.24 81.83 82.42 … 123.59 124.06 … 222.96 223.43 223.91 224.38 224.86
Q4 74.81 75.33 75.84 76.35 76.86 77.37
Q5 F1 F2 99.10 125.00 1371.94 99.79 125.00 1371.54 100.46 125.00 1371.13 101.14 125.00 1370.69 101.81 125.00 1370.24 102.48 125.00 1369.78 Nilai ΣFi semakin kecil 113.24 149.90 125.00 1302.86 113.65 150.45 125.00 1301.81 Nilai ΣFi semakin kecil 201.45 266.57 125.00 1028.11 201.87 267.13 125.00 1026.74 202.30 267.69 125.00 1025.37 202.72 268.25 125.00 1024.00 203.14 268.81 126.00 1022.63
F3 1141.21 1140.95 1140.67 1140.38 1140.07 1139.75 … 1087.78 1086.94 … 863.19 862.06 860.92 859.79 858.66
34
Pencarian total keuntungan terbesar pada selang (0.374. 1) Yi 0.375 0.376 0.377 … 0.788 0.799 … 0.996 0.997 0.998 0.999
Q1 100.80 101.01 101.22 … 249.84 258.36 … 2043.28 2360.56 2892.52 4092.68
Q2 246.25 246.77 247.30 … 611.22 632.06 … 5000.00 5776.39 7078.14 10014.99
Q3 225.33 225.81 226.29 … 558.60 577.64 … 4568.48 5277.86 6467.25 9150.63
Q4 203.57 203.99 204.42
Q5 F1 F2 269.37 190.35 1021.26 269.93 190.16 1019.88 270.49 189.96 1018.51 Nilai ΣFi semakin kecil 502.04 664.23 87.42 402.42 519.12 686.82 84.07 384.44 Nilai ΣFi semakin kecil 4101.83 5426.79 6.48 19.44 4738.73 6269.41 5.50 16.15 5806.61 7682.23 4.38 12.52 8215.84 10869.68 3.00 8.23
F3 857.53 856.39 855.26 … 341.98 326.88 … 17.26 14.37 11.18 7.39
F4 F5 692.54 1183.08 691.65 1181.47 690.75 1179.85 … … 280.52 461.63 268.33 440.80 … … 14.92 21.45 12.46 17.77 9.73 13.73 6.47 8.99 Nilai ΣFi terbesar
Σ Fi 3944.76 3939.55 3934.33 … 1573.97 1504.52 … 79.55 66.25 51.53 34.08 3944.76
