Algebra: een stap vooruit 1. DvW 30 november 2013

Algebra: een stap vooruit

1

DvW 30 november 2013

Dag van de Wiskunde 30 november 2013

Chris Standaert


2

Jongeren kennen en kunnen niet zoveel meer als vroeger. Oppervlakkige en snelle conclusies op basis van peilingen, rankings, enquêtes en online bevragingen lijken dit elke dag te bevestigen. Wiskunde komt in dit soort beschouwingen regelmatig aan bod en dat is alvast een troost: wiskunde is dus wel degelijk belangrijk. Daar waar we lang geleden (?) rotsvast overtuigd waren van de kwaliteit en wat later de eerste internationale PISA- en andere onderzoeken ons in de top van de wereld rangschikten, zien we nu – en terecht – ook tekortkomingen of werkpunten. De algebraïsche kennis en vaardigheid van de gemiddelde leerling gaat er niet op vooruit. Volgens de peiling van wiskunde in de tweede graad aso (rapport mei 2012) knelt het eindtermenschoentje het hardst op het vlak van algebra. Belangrijke vragen voor ons als leerkracht (en niet alleen voor wie les geeft in ASO 2de graad): 

ervaren wij problemen met algebra in onze lespraktijk?



zijn we akkoord over de aard van de problemen?



hebben we met algebra dezelfde doelen voor ogen?



hebben we enig idee over mogelijke remedies?

Het doel van deze werkwinkel is te proberen één en ander bewuster in het vizier te krijgen. Dit bewustzijn kan o.a. een boost krijgen door het artikel Algebra oefenen met inzicht (Johan Deprez en Regi Op de Beeck, Uitwiskeling)te lezen. Het artikel verscheen naar aanleiding van het peilingsrapport. Uit het artikel: “Waar we zelf wél werk willen van maken, · is het verder verbeteren van onze didactische aanpak op het vlak van algebra.” Deze zin geeft de teneur duidelijk aan. In het artikel geen zware theoretisch- didactische beschouwingen maar voorbeelden die ons tonen wat we zelf soms al doen of hoe het ook nog kan. Het opvallend accent bij het woord wél valt te begrijpen door de volledige alinea te lezen: “We denken aan een geheel van diverse oorzaken. Om de grote problemen … op te lossen, zal het nodig zijn om actie te ondernemen om meerdere terreinen. Zo vragen we ons af of een deel van de oplossing niet gezocht moet worden in een betere (en minder vrijblijvende?) oriëntering na de eerste graad, in het teruggaan naar een groter onderscheid tussen sterke en minder sterke wiskunde in de tweede graad aso met een dubbele set eindtermen, in maatregelen die leerlingen aanzetten om harder te werken voor wiskunde… Dat zijn allemaal sleutels die wij als leerkrachten niet zelf in handen hebben. Waar we zelf wél werk willen van maken, is… ”


Chris Standaert


3

In deze ene alinea raken de auteurs een aantal oorzaken aan waarover zelden een fundamenteel debat gevoerd wordt. Toch zijn het omstandigheden waar wij als leerkracht rechtstreeks van afhangen en waarover we vermoedelijk allemaal ons eigen idee hebben. Het pleit voor de auteurs dat ze hun nek durven uitsteken om mogelijke oplossingen te suggereren. We durven hopen dat men in de komende grote hervormingen van het secundair onderwijs, de rapporten en peilingen niet gebruikt als argument pro hervormingen op zich maar dat er ook geluisterd wordt naar argumenten die vanuit de inhoudelijke en didactische bekommernis voor het vak wiskunde geformuleerd worden. In de vierde versie van het masterplan voor de hervorming van het S.O. (4.6.2013) valt onder verbeterpunten duidelijk te dat het nieuws op het wiskundefront alarmerend is maar hoe de hervorming hiervoor een oplossing kan zijn is veel minder duidelijk.

Fragmenten uit :http://www.vlaamsparlement.be/vp/pdf/20122013/masterplan_hervorming_so.pdf

In deze werkwinkel bekijken we een selectie van de suggesties uit het Uitwiskelingartikel en vullen nog aan met een paar andere overwegingen. Voor we van wal steken toch nog even de context scheppen die door de leerplannen voorgeschreven en door de leerboeken vertaald wordt:

Wellicht zorgt deze (onvolledige?) oplijsting andere al voor de nodige gezonde discussie… en dit soort discussie is net het ultieme doel van deze werkwinkel.


Chris Standaert


4

Recept 1

Kan je zonder de vergelijkingen op te lossen iets zinnigs zeggen over de oplossing(en)? 2x  2  x  4

2x  2  2x  1

 x  1

x

2

2

4  2

 4x  5  2x  5

Recept 2

Los de volgende tweegraadsvergelijkingen op of, screen ze en bepaal je strategie:


Chris Standaert

Algebra: een stap vooruit Recept 1:

Oplossingen van een vergelijking zien

5 werkblad Uitwiskeling

Vanuit een betekenisvol probleem wordt een vergelijking opgesteld. Die wordt dan op een technische manier opgelost. De oplossing kan nagerekend worden en op zijn realiteitswaarde getest. Een vergelijking kan ook gekoppeld worden aan een andere, eerder wiskundige betekenisvolle context zoals in deze werktekst gesuggereerd wordt:


Chris Standaert

Algebra: een stap vooruit Recept 2

6

Loskomen van standaardoplossingsmethoden

werkblad Uitwiskeling

Het belang van het vlot kunnen toepassen van standaardoplossingsmethodes kan niet ontkend worden. Maar afwegen of die methode ook best past bij de op te lossen vraag, getuigt van wiskundig inzicht en overzicht. Leerlingen krijgende kans om zo’n overzicht en inzicht op te bouwen. Als voorbeeld het oplossen van een tweedegraadsvergelijking: de standaardmethode is goed ingeoefend en gekend ( D 2

2

 b  4 ac

als krachtig beeld)

In de loop van 2de lj. van de 2de gr. of later kiezen leerlingen soms op automatische piloot voor de algemene oplossingsmethode, ook al is de vergelijking onvolledig. Reacties als: “Dat kan toch veel eenvoudiger!/Je hebt dat toch vroeger gezien?/ Ik kan niet alles opnieuw uitleggen!” zijn dan zeker terecht. Maar in principe kunnen we de starre keuze verwachten: leren loskomen van standaardoplossingsmethoden is pas nodig nadat die methode echt een soort automatisme gewordenis. De auteurs pleiten ervoor om vragen te blijven stellen waarmee de starre blik bewust (en opnieuw) kan bijgesteld worden. Bewust oefenen op het behoud van overzicht en inzicht:


Chris Standaert


7

Recept 3

Los op:

Hoe groot is

2z  1 2

als 5   2 z  1  10

Los op naar v:

?

v  u  1  2v  1  u

Een extreme vraag bij het ontwerpen van een kerstster: zoek oplossingen voor g in functie van de andere parameters

(zie http://home.planet.nl/~hietb062/kerst_ster/kerst_ster.htm voor het concrete plan)

Uit een cursus complexe getallen:

Uit een recente stageles over rijen in het vierde jaar: een leerling suggereert: s1 0

1 1   3  6. 1 1 3


10

Chris Standaert


Recept 3:

8

Globaal leren kijken naar uitdrukkingen

Inzicht in de structuur van een algebraïsche uitdrukking is heel belangrijk. We waarschuwen de leerlingen om niet hals over kop te beginnen met uitwerken en rekenen. Daarmee zeggen we eigenlijk impliciet: een algebra-uitdrukking dwingt je in veel gevallen tot een proces - reken uit, los op… maar het is ook een object : Wat staat er? Herken je de algemene structuur? Kijk je van buiten naar binnen? Als leerlingen fouten maken, tonen we hen ongetwijfeld op één of andere manier hoe ze die structuur in het vizier kunnen krijgen. Op bord dekken we stukken af met de hand, we zetten kringetjes of kadertjes rond objecten zodat de structuur de bovenhand krijgt op de samenstellende delen:

De auteurs van het artikel verwijzen naar applets waarmee de leerlingen heel bewust structuren kunnen oefenen (www.wisweb.nl :algebra expressies en algebra pijlen) en wijzen er op dat het goed is dat leerlingen de structuur ook leren beschrijven. We dromen er wellicht allemaal van dat leerlingen bij de opgave:

inzien dat het gaat over een verschil van twee kwadraten. Dat elk van de kwadraten breuken met complexe teller en noemer. Dat de twee breuken wel sterk op elkaar lijken. Dat de reëel gemaakte noemers gelijk zullen zijn. Dat ze dan misschien beter niet beginnen met het ontbinden van de merkwaardige tweeterm…. We maken de leerlingen nog bewuster van het belang van dit globaal kijken naar uitdrukkingen door er niet alleen impliciet mee op te gaan maar heel doelgerichte opdrachten te geven. Een collega uit de derde graad getuigt: “Regelmatig verplicht ik de leerlingen om eerst een minuut naar de opgave te kijken en te noteren wat ze zien of van plan zijn, vooraleer ze mogen starten." De aangepaste opgave van de oefening op pagina 3 (screen de vergelijkingen) speelt ook in op het bewust oefenen van dit globaal kijken.


Chris Standaert

Algebra: een stap vooruit Intermezzo:

9

Globaal kijken, hoe leer je dat aan?

In de eerste graad leren de leerlingen rekenen met( rationale) getallen en met letters. Na twee jaar zijn er een arsenaal aan rekenregels, praktische werkwijzen, trucjes en geheugensteuntjes de revue gepasseerd. Er is een zekere vlotheid in het rekenen met en het manipuleren van letters en de leerlingen zijn zich (gelukkig) niet altijd bewust van elke stap die ze zetten: het automatiseren is in min of meerdere mate gebeurd. Is de aanvankelijke algebra dan verworden tot een stel recepten of is er ook samenhang en inzicht? Collega Willem Beeuwsaert legt vandaag in de werkwinkel Over de Algebrastreep uit op welke manier hij de leerlingen greep leert krijgen op de verschillende bewerkingen en rekenregels en hoe hij ze leert te synthetiseren en globaal te kijken.

Elke leerling bouwt een kaartenset op waarvan je hiernaast o.a. het inhoudskaartje ziet.

Ongetwijfeld zeggen de verschillende lettercombinaties jou niets? Toch even proberen?

In het groepje 2 herken je vast twee van de drie items? Als je weet dat groepje 5 gaat over machten… lukt het om alle afkortingen te vinden? Kan je nog thema’s ontdekken? En enerzijds: zijn er echt zoveel verschillende definities of eigenschappen of rekenregels die de leerlingen in die twee jaar moeten aanleren? Maar anderzijds: is het mogelijk om de leerstof van de volledige 1ste graad zo te synthetiseren? Voor de studenten in de lerarenopleiding (maar ook voor mezelf!) was het op zijn minst fascinerend om ook op die manier over de leerstof na te denken. Voor de leerlingen is het steun om op een concrete en bewuste manier samenhang en structuur op te bouwen. De ontwerper van de kaarten kan natuurlijk veel duidelijker uitleggen hoe alles in zijn werk gaatn (syllabus en didactisch materiaal van de sessie is voor iedereen beschikbaar op de site van het Eekhoutcentrum) maar we bekijken toch een paar voorbeelden.


Chris Standaert


10

Een fragmentje uit de syllabus over de algebrastreep:

Dit zijn de machten-kaartjes:

Lukt het op een aantal vragen of opdrachten te bedenken die leerlingen kunnen helpen bij het studeren, het structuren, het opbouwen van samenhang en overzicht? 

…



…



…


Chris Standaert


11

De aanpak van collega Willem Beeuwsaert is zeer gestructureerd en consequent. Elke kaart is op zich het resultaat van wikken en wegen over de wiskundige correctheid, over de vorm, over wat er wel opgenomen wordt en wat er niet op kan. Het staat iedereen vrij om het op dezelfde manier te proberen maar het is niet de bedoeling om de kaartenset als een recept voor iedereen voor te schrijven. De maker – die alles wil delen – heeft die ambitie ook niet. Het idee zou kunnen zijn dat het inzetten van de kaartjes of de afkortingen voor een omslachtige extra boekhouding zorgt die het praktisch oplossen van oefeningen en de weg naar automatisatie van de vaardigheden, in de weg zal staan. In de opbouw en het verwerken van nieuwe rekenregels wordt in de regel boven elk gelijkheidsteken het gebruikte kaartje vermeld. Na een tijd hoeft dat niet meer maar kunnen de overgangen nog wel gevraagd worden. Het verschil met de meer gebruikelijk aanpak is dat de kaartjes of de afkortingen voor de leerlingen makkelijker “hanteerbaar” zijn. Ook bij synthese-oefeningen lijken de kaartjes of afkortingen handig voor de leerlingen: Bewust de uitdrukking bekijken van binnen naar buiten (= eigenlijk volgorde van de bewerkingen. Welke kaart trek je eerst? Een voorbeeld uit een recente stageles van een tweedejaarsstudent in een klas van Willem. Klassikaal wordt een oefening op de rekenregels van machten besproken. De bedoeling is om elke overgang bewust te verantwoorden: ( ac )

2

MN

 1      ac 

2 MQB



2

MP

1

( ac )

2



1 2 2

a c

De student noteerde het (onvolledig?) antwoord van een leerling op het bord en had het inzicht om de onvolledigheid niet af te straffen: de tussenstap MP was op dat moment immers het probleem niet.

De codes worden door de leerlingen niet van buiten geleerd: doorheen het gebruik worden ze een eigen woordenschat die de toegangssleutel zijn tot een brede en rijke kijk op de inhoud. Door het regelmatig bespreken van de blik van binnen naar buiten, is de stap naar de opdracht in de andere richting – van buiten naar binnen of globaal kijken – makkelijker te zetten.


Chris Standaert


12

Recept 4

Los de vergelijkingen op: 5 x  7  8 x  16

7 2 2 x x    6 3 9

En ook nog: Hoe leg jij aan een leerling uit hoe het optellen en het aftrekken van gehele getallen in elkaar zit?


Chris Standaert

Algebra: een stap vooruit Recept 4

13

niet te snel en niet teveel verkorten

Uitwiskeling: “Vaak maken leerlingen fouten omdat ze algoritmen domweg van buiten leren zonder en nog een betekenis aan te koppelen. Natuurlijk is het de bedoeling van een algoritme om een recept te geven dat, mits correcte toepassing, snel een resultaat oplevert, zonder dat over elke stap moet nagedacht worden. Maar overdaad schaadt!”

Verkorten bij het oplossen van vergelijkingen…

:z wel : :z werkwijze : Is het nodig om een praktische af te spreken (en zeker om ze snel in te voeren)?

Kan de inzichtelijke aanpak (de balansmethode steunend op de twee gekende eigenschappen ) niet altijd (of op zijn minst veel langer) aangehouden worden zonder het efficiënt oplossen van de oefeningen in de weg te staan? Kan het aanhouden van deze inhoudelijke verantwoorden niet even snel leiden tot automatisatie? In de voorbeelden is de evolutie van links naar rechts misschien wel: Is het nodig een term van lid te veranderen? Dan weet ik meteen ook met welk term ik bij de beide leden moet optellen, namelijk de tegenstelde term. Ik kies die omdat er dan in het ene lid een term 0 zal opduiken die verder geen effect meer zal hebben in de som … en dat schrijf ik na een tijd niet meer op. Is het nodig om een factor van lid te veranderen? Dan weet ik meteen met welke factor ik de beide leden moet vermenigvuldigen, namelijk de omgekeerde factor. Als ik met die factor vermenigvuldig dan verschijnt in het ene lid de factor 1 (daarom koos ik immers de omgekeerde factor) en die 1 heeft geen invloed meer op het product…. Die stappen die er telkens weer zullen zijn, schrijf ik niet meer op. Met het betekenisvol balansmodel in het achterhoofd, zie ik deze stap ook in:

23 3

Waarom willen we de leerlingen (en meestal heel snel) leren en toepassen:


 x

x  

23 3

Chris Standaert


14

een term in het ene lid, wordt zijn tegengestelde in het ander lid of

als je in een vergelijking een factor van het linkerlid naar het rechterlid moet overbrengen, moet je het rechterlid delen door die factor.

of

een factor in het ene lid weglaten, betekent in het ander vermenigvuldigen met de omgekeerde.

En op welk moment dreigt dit soort recept te ontaarden in: een getal van lid veranderen betekent van teken veranderen of

een plus links, wordt een min links

In de praktijk volgt het inzichtelijk werken en het verkorte recept elkaar soms heel snel op: in sommige handboeken wordt de stap gezet op een halve pagina en in sommige klassen al in de eerste les over vergelijkingen. Samen met de auteurs van algebra oefenen met inzicht pleiten we er voor om dat zeker niet te doen en te overwegen om de recepten in het geheel niet in te voeren. Van in het begin zoveel mogelijk inzichtelijk (blijven) werken is een principiële keuze. Als je het doel is dat leerlingen ook na automatisatie inzichtelijk moeten kunnen omgaan met algebra dan moet het belang van de verantwoording altijd boven dat van de recepten staan. De begrijpelijke neiging om het inzichtelijke achterwege te laten en snel te vervangen door recepten is bij wiskundig zwakkere leerlingen misschien nog groter. Als we echter het dubbele doel van de algebra voor ogen houden, kunnen we dat bij hen zeker niet maken. Een voorbeeld waar het verschil tussen recept en inzicht al scherper speelt: Bij het oplossen van

7 2 2 x x    6 3 9

volgen de leerlingen misschien automatisch het advies:

“Breuken? Alles op gelijke noemer brengen en die dan schrappen.” Ongetwijfeld wordt dit advies veel beter geformuleerd en onderbouwd maar weten we wat er in de hoofden van de leerlingen overblijft? Zoals bij elk advies, zijn er situaties waarbij je het beter niet opvolgt. Het is nodig en nuttig om hiervoor bewust regelmatig en bewust tijd uit te trekken: “Regelmatig verplicht ik de leerlingen om eerst een minuut naar de opgave te kijken en te noteren wat ze zien of van plan zijn, vooraleer ze mogen starten."

In het artikel worden nog voorbeelden van (te ) snelle of eigenlijk onnodige verkortingen zoals de regel van Horner. Blijkbaar krijgt die in Vlaanderen veel meer aandacht dan in de rest van de wereld.


Chris Standaert


15

Vergelijk het rekenschema van Horner met de meer inzichtelijke aanpak:

Trouwens deze redenering gebruiken we ook nog t op andere momenten. Sommige leerlingen moeten niet alleen het verschil van twee kwadraten kunnen ontbinden maar ook de meer algemene merkwaardige tweeterm: het verschil van twee machten met een zelfde exponent. Hoe kan je dan de leerlingen helpen om de formules af te leiden of terug te vinden?

Intermezzo:

a

3

b

3

a

5

b

5

a

2 n 1

( a  b) ( a  b)

b

2 n 1

a a

2

...

4

...

( a  b)

a

  2n

...



Betekenisvolle situaties kunnen en moeten ook wiskundige situaties zijn

In de 1ste gr. Is het leren rekenen met gehele getallen nieuw en met het zicht op de aanvankelijke algebra ook heel belangrijk. Waar in de lagere school elke bewerking gekoppeld kan worden aan een concreet model kan dit in het secundair veelal niet meer. De betekenis moet gehaald worden uit de betekenisvolle wiskundige situatie of context. Bij het optellen van gehele getallen is een concrete link gebruikelijk en goed. Toch loopt het concrete beeld al van in het begin mank. Een typisch liftvoorbeeld: (-8) + (+2) = -6 is het resultaat van de vraag: Als een lift vertrekt op etage -8 en vervolgens +2 verdiepingen stijgt, waar stopt de lift dan?


Chris Standaert


16

In -8 is het minteken duidelijk een toestandsteken. Prima In +2 geeft het plusteken aan dat er de lift stijgt… Toestandsteken? Lijkt het +-teken tussen de twee termen echt iets te maken met een optellen van etages? Concrete beelden met winst en verlies, lukken beter. In elk geval is het de bedoeling om te komen tot een rekenregel in de stijl van: Twee getallen met hetzelfde toestandsteken: Toestandsteken “behouden” en laten volgen door de som van de absolute waarden Twee getallen met verschillend toestandsteken: Toestandsteken van het getal met de grootste absolute waarde, laten volgen door Het verschil van het grootste en de kleinste absolute waarde. Deze regel (of is het een definitie voor het optellen van gehele getallen) moet onthouden en ingeoefend worden, maar bij elk remediëring is het mogelijk om het concrete beeld terug op te roepen. In veel gevallen worden echter al heel snel afspraken gemaakt over haakjes en toestandstekens die al of niet geschreven moeten worden. Dit soort afspraken wordt in sommige landen uitgesteld omdat men in het begin een duidelijk verschil inbouwt tussen bewerkings- en toestandstekens: Een voorbeeldje op http://www.mathgoodies.com

We voeren hier geen pleidooi om het bij ons zo aan te pakken maar denk er eens over na: hoe komt het dat wij dat niet zo doen? Zien we principiële voordelen in deze aanpak (naast ongetwijfeld ook bezwaren)? Nog even een stap verder: het aftrekken van gehele getallen. Soms wordt ook hier nog geprobeerd om een concrete startsituatie te bedenken. Als die gevonden is, zal ze ongetwijfeld voor een deel geforceerd zijn. Waarom kiezen we op dit moment niet consequent voor de wiskundige betekenisvolle situatie, een essentiële en abstracte stap op weg van rekenen naar wiskunde? We tonen het principe in symbolen (voor de leerlingen niet meer te snappen, maar voor ons nog wel): aftrekken natuurlijke getallen

Definitie:

aftrekken gehele getallen:

Definitie:


 a , b , c  IN : a  b  c  a  b  c  a , b  ZZ : a  b  a (  b)

Chris Standaert


17

Door het bestaan van een tegengestelde voor elke geheel getal, kunnen we de aftrekking rechtstreeks definiëren in functie van de gekende optelling (waarvoor we als het nodig is nog een concreet beeld hebben ). Moeten we niet vermijden om al heel snel afspraken te maken over “overbodige haakjes en tekens” vooraleer we de definitie van het aftrekken goed hebben laten inwerken. Wachten we niet beter met allerlei vormen van “handig rekenen” tot het wiskundig verband hebben laten indringen? Maken we dan niet meer kans dat leerlingen later kunnen terugvallen op dit inzicht om hun fout in te zien of te herkennen? Het komt voor dat leerlingen in één of twee lessen (of op twee pagina’s van een handboek) geconfronteerd worden met: Rekenregel:

twee gehele getallen met een zelfde teken optellen: behoud het teken en.. T

Handig rekenen:

wee gehele getallen met een zelfde teken optellen: neem het teken van… een plusteken voor haakjes mag je weglaten (met als voorbeelden ook: 4 + (-7) = 4 – 7

Rekenregel:

al een aftrekking???)

om een geheel getal van een ander af te trekken, moet je het tegengestelde erbij optellen

Handig rekenen:

een minteken voor haakjes mag je samen met de haakjes weglaten als je elke term binnen de haakjes van teken verandert.

Een leerkracht blijft natuurlijk altijd baas over het handboek: dus de “samenvatting” kan(moet!?) in de les anders bespeeld worden. En ook hier, op dit rekenniveau kan het bewust leren kijken naar uitdrukkingen geoefend worden:


Chris Standaert


18

Epiloog

Voor alle betrokkenen (leerlingen, leerkrachten, leerplanmakers) is één van de vragen die we in het begin formuleerden cruciaal: 

hebben we met algebra dezelfde doelen voor ogen?

De Nederlander Paul Drijvers één van de auteurs van Handboek Wiskundedidactiek (2012 Epsilon Uitgaven; wetenschappelijk reeks nr.72 - ISBN 987-90-5041-130-1)toont in het zeer leesbaar boek de volgende tweedeling van algebraïsche vaardigheden:

Algebraïsche vaardigheid

basisvaardigheid

symbol sense

° procedureel werken

° strategisch werken

° lokaal kijken

° globaal kijken

° algebraïsch rekenen

° algebraïsch redeneren

Symbol sense is moeilijk te vertalen. Sense wijst zowel op gevoel, zoals in aanvoelen, als voor zin, zoals in betekenis. Een tweede eenvoudig schema uit het zelfde boek: algebraïsche uitdrukking proces

object

Een algebraïsche uitdrukking nodigt meestal sterk uit om een proces op gang te krijgen: doen, uitrekent, oplossen, de uitdrukking eenvoudiger te maken, wat nauw aansluit bij het linker luik uit het vorig schema. Als we niet overtuigd zijn van de noodzaak en de haalbaarheid (op aangepast niveau) van symbol sense voor elke leerling, als we algebra hoofdzakelijk of uitsluitend zien als handig hulpmiddel om andere problemen aan te pakken, dan is het correct om daar niet sterk op in te zetten en nog sterker te steunen op de kracht van rekenmachine en computer. Erkennen we dat het tweede luik wel voor iedereen belangrijk doel is, dan is het goed om daarover te blijven nadenken, van gedachten te wisselen en bij elkaar inspiratie op te doen. De bedoeling is dan om dat doel ook expliciet aan de leerlingen duidelijk te maken en er regelmatig en expliciet aan te werken. Deze morgen was een poging om dat samen te doen.


Chris Standaert


19

Nog eens de aanrader: lees ook de andere suggesties uit Algebra oefenen met inzicht. Het volledige menu:


Chris Standaert

Algebra: een stap vooruit 1. DvW 30 november 2013

Recommend Documents