Alaptagok Nyquist és Bode diagramjai Luspay Tamás, Bauer Péter
BME Közlekedésautomatikai Tanszék 2012. január 10.
1.
Bevezetés - Átviteli függvény, frekvenciafüggvény
Dinamikus rendszerek leírásának egyik módja az átviteli függvények segítségével történik. Az átviteli függvényeket a rendszer differenciálegyenletéből kiindulva a Laplace transzformáció alkalmazásával vezethetjük be (lásd [1] A függelék). Vegyük a differenciálegyenlet L-transzformáltját zérus kezdeti értékekkel, majd rendezzük a benne szereplő Y (s) és U (s) tagok szerint, ahonnan kapjuk a G(s) racionális törtfüggvényt: G(s) =
b(s) bm s m + . . . + b1 s + b0 Y (s) = = U (s) a(s) an s n + . . . + a 1 s + a0
(1)
Az átviteli függvény tehát a kimenőjel és a bemenőjel zérus kezdeti feltételekkel vett L-transzformáltjainak hányadosa. Az átviteli függvényt ún. pólus-zérus alakban is felírhatjuk: Qm j=1 (s − zj ) G(s) = k Qn (2) i=1 (s − pi ) ahol zj a rendszer zérusai, vagyis a b(s) = 0 egyenlet gyökei, míg pi jelöli a rendszer pólusait, az a(s) = 0 egyenlet gyökeit. A G(s) leírásának egy további lehetséges módja az időállandós alak. Alaptagok általános időállandós alakja a következő: G (s) =
Tn
sn
+ Tn−1
C(s) + . . . + T1 s + |{z} 1
sn−1
(3)
0T
|
{z 1T
}
Itt a nevező polinom fokszáma adja meg, hogy hány tárolós a tag. Így egy n-edfokú nevező polinom n tárolós tagot jelent, rövid jelölése nT . A számláló C(s) eleme háromféle alakú lehet: 1. A ekkor a tag arányos (P) 2. Ad s ekkor a tag differenciáló (D) 3.
AI s
ekkor a tag integráló (I)
A lineáris dinamikus időinvariáns rendszerek frekvenciatartományban való vizsgálatát szinuszos lefutású bemenőjelekre adott válaszfüggvényeik segítségével végezhetjük el. Ehhez bevezetjük a frekvenciafüggvény fogalmát. Egy rendszer frekvencia-válaszfüggvényének (vagy egyszerűbben frekvenciafüggvényének) a rendszer egység amplitúdójú szinuszos bemenőjelre állandósult állapotban adott válaszfüggvényét nevezzük. A frekvenciafüggvényt a differenciálegyenletből a jelek exponenciális alakjának és az exponenciális függvény differenciálási szabályának felhasználásával egyszerű átrendezéssel, míg az átviteli függvényből formálisan az s = iω helyettesítéssel kapjuk. Ez utóbbi kapcsolat mutatja azt is, hogy a frekvenciafüggvényeket a differenciálegyenletekből az ún. Fourier transzformációval, zérus kezdeti feltételekkel közvetlenül is megkaphatjuk [1]. A G(iω) függvényeket a rendszer frekvenciafüggvényének nevezzük, és az ω körfrekvencia szerint ábrázoljuk. Nyquist diagram: A Nyquist diagramon való ábrázolás kétféle módon is felfogható. A frekvenciafüggvény értéke egy adott ω0 frekvencián egy komplex szám: 1
G(iω0 ) = ReG(iω0 ) + iImG(iω0 ) Ez a szám komplex számsíkon ábrázolható és így ω = 0 . . . ∞ tartományon a pontokat ábrázolva adódik a Nyquist diagram. A másik szemlélethez definiálni kell egy adott ω0 frekvenciára vonatkozóan az amplitúdót A(ω0 ) és fázisszöget ϕ(ω0 ): A(ω0 ) =
p ReG(iω0 )2 + ImG(iω0 )2
ϕ(ω0 ) = arctan
ImG(iω0 ) ReG(iω0 )
Így az amplitúdó, mint a fázisszöggel irányított szakasz ábrázolható derékszögű koordinátarendszerben. Ez a koordinátarendszer lehet a komplex számsík is, ahol ha a Re valós tengellyel bezárt szög a fázisszög akkor a kétféle szemlélet azonos ábrázolást ad. (márpedig definíció szerint a fázisszög a Re tengellyel bezárt szög). A továbbiakban az alap tagok (0-tól 2 tárolóig) Nyquist és Bode diagramjainak alakját ismertetjük a jellegzetes pontok meghatározását is leírva (és a frekvenciafüggvényt az ábrázoláshoz használt paraméterekkel is megadva). Az ezekhez kapcsolódó hosszabb levezetéseket és az állítások igazolását a függelék tartalmazza. Összetett tagok Nyquist diagramját a következő módon ábrázoljuk: A frekvenciafüggvényt felbontjuk alaptagok összegére. Az így kiadódott alaptagok Nyquist diagramjait pontonként összeadva (az azonos ω frekvenciához tartozó vektorokat összegezve) kapjuk az eredő Nyquist diagramot. Összetett tagok Bode diagramját a következő módon ábrázoljuk: A frekvenciafüggvényt felbontjuk alaptagok szorzatára. Az így kiadódott alaptagok Bode diagramjait pontonként összeadva (az azonos ω frekvenciához tartozó pontokat összegezve) kapjuk az eredő Bode diagramot. Ennek igazolását lásd a függelékben!
2. 2.1.
Alaptagok frekvenciatartományi vizsgálata 0TP 0 tárolós arányos tag
Átviteli függvénye: G(s) = A Frekvenciafüggvénye: G(iω) = A = 2 A frekvenciafüggvény jellegzetes pontjai: ω = 0 ⇒ G(i0) = A ω → ∞ ⇒ G(i∞) = A Nyquist diagramja egyetlen pont (lásd 1. ábra). Bode amplitúdó diagramja egy a 0dB-es tengellyel párhuzamos egyenes 20 lg(A) magasságban. Bode fázis diagramja konstans nulla (lásd 2. ábra). Itt a(ω) = 20lg|A(ω)| az amplitúdó felhasznált definíciója, mely az amplitúdót decibel [dB] mértékegységben adja eredményül.
2
0TP tag Nyquist diagramja 0.5 0.4 0.3 0.2
Im
0.1
A
0 −0.1 −0.2 −0.3 −0.4 −0.5
0
0.5
1
1.5
2
Re
1. ábra. 0TP alaptag Nyquist diagramja 0TP tag Bode amplitúdó diagramja 7.5
Erõsítés [dB]
7 6.5 6
20*log (A) 5.5
10
5 0 10
1
ω [rad/sec]
10
0TP tag Bode fázis diagramja
Fázisszög [fok]
1
0.5
0
−0.5
−1 0 10
1
ω [rad/sec]
2. ábra. 0TP alaptag Bode diagramja
2.2.
0TD 0 tárolós differenciáló tag
Átviteli függvénye: G(s) = Ad s Frekvenciafüggvénye: G(iω) = Ad iω = 2iω 3
10
0TD tag Nyquist diagramja 5
ω→∞
4.5 4 3.5
Im
3 2.5 2 1.5 1 0.5
ω=0
0 −0.5 −0.5
0
0.5
Re
3. ábra. 0TD alaptag Nyquist diagramja 0TD tag Bode amplitúdó diagramja 30 25
Erõsítés [dB]
20 15
+20 dB/dek
10 5 0 −5
−1
Ad
−10 −15 −1 10
0
10
ω [rad/sec]
1
10
0TD tag Bode fázis diagramja 91 90.8
Fázisszög [fok]
90.6 90.4 90.2 90 89.8 89.6 89.4 89.2 89 −1 10
0
10
ω [rad/sec]
4. ábra. 0TD alaptag Bode diagramja A frekvenciafüggvény jellegzetes pontjai: ω = 0 ⇒ G(i0) = 0 ω → ∞ ⇒ G(i∞) = i∞ 4
1
10
Nyquist diagramja egy egyenes 0-ból i∞-be (lásd 3. ábra). dB Bode amplitúdó diagramja egy a +20 dek meredekségű egyenes, mely a 0dB-es tengelyt 1 az Ad frekvencián metszi. Bode fázis diagramja konstans +90 fok (lásd 4. ábra). Ennek igazolását a függelék tartalmazza. 1 dekád a tizes alapú logaritmikus skálán a 10 két egymást követő hatványa közti távolságot jellemzi. Például 1 dekád a távolság 10k és 10k+1 közt, de ugyanígy 0, 25 ∗ 10k és 0, 25 ∗ 10k+1 közt is.
2.3.
0TI 0 tárolós integráló tag 0TI tag Nyquist diagramja 0.5 0
ω→∞
−0.5 −1
Im
−1.5 −2 −2.5 −3 −3.5 −4 −4.5
ω=0
−5 −0.5
0
0.5
Re
5. ábra. 0TI alaptag Nyquist diagramja Átviteli függvénye: G(s) =
AI s
Frekvenciafüggvénye: AI AI i 2i =− =− iω ω ω A frekvenciafüggvény jellegzetes pontjai: G(iω) =
ω = 0 ⇒ G(i0) = −i∞ ω → ∞ ⇒ G(i∞) = 0 Nyquist diagramja egy egyenes −i∞-ből 0-ba (lásd 5. ábra). dB meredekségű egyenes, mely a 0dB-es tengelyt az Bode amplitúdó diagramja egy −20 dek AI frekvencián metszi. Bode fázis diagramja konstans −90 fok (lásd 6. ábra). Ennek igazolását a függelék tartalmazza.
5
0TI tag Bode amplitúdó diagramja 10
5
Erõsítés [dB]
−20 dB/dek 0
A
i
−5
−10
−15 0 10
1
10
ω [rad/sec]
0TI tag Bode fázis diagramja −89 −89.2
Fázisszög [fok]
−89.4 −89.6 −89.8 −90 −90.2 −90.4 −90.6 −90.8 −91 0 10
1
10
ω [rad/sec]
6. ábra. 0TI alaptag Bode diagramja
1TP tag Nyquist diagramja 0.5 0
A ω→∞
ω=0
−0.5
Im
−1 −1.5 −2 −2.5
ω = 1/T s
−3 −3.5 −1
0
1
2
3
4
5
Re
7. ábra. 1TP alaptag Nyquist diagramja
2.4.
1TP 1 tárolós arányos tag
Átviteli függvénye:
6
6
1TP tag Bode amplitúdó diagramja 15
Erõsítés [dB]
10
5
T−1
20*log10(A)
0
−20 dB/dek −5
−10
−15 −2 10
−1
10
0
1
10
ω [rad/sec]
10
1TP tag Bode fázis diagramja 0 −10
0.1*T−1
Fázisszög [fok]
−20 −30
−45 fok/dek
−40 −50 −60 −70
−1
−80
10*T
−90 −2 10
−1
10
0
ω [rad/sec]
10
1
10
8. ábra. 1TP alaptag Bode diagramja
G(s) =
A Ts + 1
Frekvenciafüggvénye: A − AT ωi 5 A = = 2 2 T iω + 1 1+T ω 2iω + 1 A frekvenciafüggvény jellegzetes pontjai: G(iω) =
ω = 0 ⇒ G(i0) = A ω → ∞ ⇒ G(i∞) = 0 1 1 A Ai A − Ai ωs = ⇒ G i = − = T T 2 2 2 A fenti kifejezésben ωs az úgynevezett sarokkörfrekvencia, itt ϕ(ωs ) = −45◦ . A tag Nyquist diagramja egy félkör az alsó síknegyedben A-ból 0-ba (lásd 7. ábra). A félkör alak igazolása a függelékben megtalálható. A Bode diagram esetében a továbbiakban az aszimptotikus szerkesztés módszerét ismertetjük. A diagramokon piros színnel jelöljük az aszimptotikus közelítést, míg kékkel a valódi frekvencia válaszokat. 1TP tag Bode amplitúdó diagramja ωs = T1 frekvenciáig egy 20 lg(A) magasságban haladó dB vízszintes egyenes, majd a sarokkörfrekvenciától −20 dek meredekségű egyenes. Fázisdiag◦ ramja 0◦ a sarokkörfrekvencia tizedénél kisebb frekvenciákra, −45 dek meredekségű egyenes 0.1ωs és 10ωs frekvenciák között és −90◦ a sarokkörfrekvencia tízszeresénél nagyobb frekvenciák esetén (lásd 8. ábra). Ennek igazolását a függelék tartalmazza. Látható, hogy ωs = 1/T frekvencián a Bode fázisdiagram a Nyquist diagrammal megegyezően éppen −45◦ értéket vesz fel, melyet az aszimptotikus ábrázolás is pontosan ad vissza. 7
2.5.
1TD 1 tárolós differenciáló tag 1TD tag Nyquist diagramja 1.6
ω =1/T
1.4
s
1.2 1
Im
0.8 0.6 0.4 0.2
Ad /T
0 −0.2
ω→∞
ω=0
−0.4 −0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
Re
9. ábra. 1TD alaptag Nyquist diagramja
1TD tag Bode amplitúdó diagramja 10 5
−1
T
Erõsítés [dB]
0
+20 dB/dek
−5 −10 −15 −20 −25 −30 −2 10
−1
10
0
ω [rad/sec]
1
10
10
1TD tag Bode fázis diagramja 90 80
0.1*T−1
Fázisszög [fok]
70 60 50
−45 fok/dek
40 30 20
−1
10 0 −2 10
10*T −1
10
0
ω [rad/sec]
10
10. ábra. 1TD alaptag Bode diagramja Átviteli függvénye: 8
1
10
G(s) =
Ad s Ts + 1
Frekvenciafüggvénye: Ad T ω 2 + Ad ωi 5iω Ad iω = = 2 2 T iω + 1 1+T ω 2iω + 1 A frekvenciafüggvény jellegzetes pontjai: G(iω) =
ω = 0 ⇒ G(i0) = 0
Ad ω → ∞ ⇒ G(i∞) = T 1 Ad Ad i 1 Ad + Ad i = + ωs = ⇒ G i = T T 2T 2T 2T
A fenti kifejezésben ωs az úgynevezett sarokkörfrekvencia, itt ϕ(ωs ) = +45◦ . A tag Nyquist diagramja egy félkör a felső síknegyedben 0-ból ATd -be (lásd 9. ábra). A félkör alak igazolása a függelékben megtalálható. Az 1TD tag Bode diagramját legkönnyebben szerkesztéssel határozhatjuk meg. Figyelembe véve az összetett tagok ábrázolására vonatkozó tételt (lásd függelék), az 1TD tag felfogható mint egy 0TD és 1TP alaptagok sorba kapcsolt eredője. Az alaptagok amplitúdó és fázis görbéit megrajzolva, majd minden frekvencián összegezve kapjuk az eredő görbéket, melyről a következőket mondhatjuk: dB meredekségű egyenes ω < T1 frekvenciákon, mely az • az amplitúdó görbe egy +20 dek 1 pontban metszi (metszené) a 0 dB-es tengelyt, majd T1 < ω frekvenciákra egy Ad 20 lg ATd erősítésű vízszintes egyenes. A 0dB-es tengellyel való metsződés az T1 és A1d frekvenciák viszonyától függ. Ha T1 > A1d akkor létrejön a metsződés, ha T1 < A1d akkor nem jön létre metsződés, ha T1 = A1d akkor a diagram éppen a 0dB-es tengelyre törik.
• a fázis 90◦ és 0◦ között változik, 0.1ωs -nél kisebb frekvenciák esetén 90◦ , 0.1ωs és ◦ 10ωs frekvenciatartományon −45 dek meredekségű egyenes, 10ωs -nél nagyobb frekvenciák esetén 0◦ (lásd 10. ábra). Látható, hogy ωs = 1/T frekvencián a Bode fázisdiagram a Nyquist diagrammal megegyezően éppen +45◦ értéket vesz fel, melyet az aszimptotikus ábrázolás is pontosan ad vissza.
2.6.
1TI 1 tárolós integráló tag
Átviteli függvénye: G(s) =
AI s(T s + 1)
Frekvenciafüggvénye: −AI T − AωI i AI −AI T ω 2 − AI ωi 2 G(iω) = = = = 2 4 2 2 2 iω(T iω + 1) T ω +ω T ω +1 3(iω)2 + iω A frekvenciafüggvény jellegzetes pontjai: ω = 0 ⇒ G(i0) = −AI T − i∞ ω → ∞ ⇒ G(i∞) = 0 1 −AI T − AI T i 1 AI T AI T i ωs = ⇒ G i = =− − T T 2 2 2 9
1TI tag Nyquist diagramja 10 0
ω→∞
−10 −20
AI T
−30
Im
−40 −50 −60 −70 −80 −90 −100 −7
ω=0 −6
−5
−4
−3
−2
−1
0
Re
11. ábra. 1TI alaptag Nyquist diagramja 1TI tag Bode amplitúdó diagramja 50 40 30
Erõsítés [dB]
20
−20 dB/dek
10
T−1
0 −10
−40 dB/dek
−20 −30 −40 −50 −2 10
−1
10
0
ω [rad/sec]
1
10
10
1TI tag Bode fázis diagramja −90 −100
−1
0.1*T
Fázisszög [fok]
−110 −120
−45 fok/dek
−130 −140 −150 −160
−1
−170 −180 −2 10
10*T −1
10
0
ω [rad/sec]
10
1
10
12. ábra. 1TI alaptag Bode diagramja A fenti kifejezésben ωs az úgynevezett sarokkörfrekvencia, itt ϕ(ωs ) = −135◦ . A tag Nyquist diagramja ω = 0-ban az AI T −i∞ pontból indul és a 0 pontba fut be. Aszimptotája az AI T -vel jellemzett egyenes (lásd 11. ábra). 10
Az 1TI tagot mint 0TI és 1TP soros kapcsolásának tekintve a Bode diagramok: dB • az amplitúdó görbe egy −20 dek meredekségű egyenes ω < T1 frekvenciákon, majd dB 1 < ω frekvenciákra egy −40 dek meredekségű egyenes. A 0dB-es tengellyel való T dB metsződés az T1 és AI frekvenciák viszonyától függ. Ha T1 > AI akkor -20 dek , egyéb dB esetben -40 dek meredekséggel metszi a görbe a 0dB-es tengelyt.
• a fázis −90◦ és −180◦ között változik, 0.1ωs -nél kisebb frekvenciák esetén −90◦ , 0.1ωs ◦ és 10ωs frekvenciatartományon −45 dek meredekségű egyenes, 10ωs -nél nagyobb frekvenciák esetén −180◦ (lásd 12. ábra). Látható, hogy ωs = 1/T frekvencián a Bode fázisdiagram a Nyquist diagrammal megegyezően éppen −135◦ értéket vesz fel, melyet az aszimptotikus ábrázolás is pontosan ad vissza.
2.7.
2TP 2 tárolós arányos tag 2TP tag Nyquist diagramja 1
ω→∞
0
A ω =0
−1
ξ≥ 0,5
−2
ωs = 1/T
Im
−3 −4 −5 −6
ω = 1/T
−7
s
ξ< 0,5
−8 −9 −10
−4
−2
0
2
4
6
Re
13. ábra. 2TP alaptag Nyquist diagramja Átviteli függvénye: G(s) =
T 2 s2
A + 2T ξs + 1
Frekvenciafüggvénye: A A(1 − T 2 ω 2 − 2T ξωi) A − AT 2 ω 2 − 2AT ξωi = = T 2 (iω)2 + 2T ξiω + 1 T 4 ω 4 + (4T 2 ξ 2 − 2T 2 ) ω 2 + 1 (1 − T 2 ω 2 )2 + 4T 2 ξ 2 ω 2 5 ξ = 0, 8 G(iω) = 2 4(iω) + 3, 2iω + 1 5 ξ = 0, 3 G(iω) = 4(iω)2 + 1, 2iω + 1 G(iω) =
11
2TP tag (ξ<1) Bode amplitúdó diagramja 20
10
p
20*log (A) Erõsítés [dB]
10
0
−40 dB/dek
−10
−20
−30
−40 −2 10
−1
0
10
1
10
ω [rad/sec]
10
2TP tag (ξ<1) Bode fázis diagramja 0
0.1*p
−20
Fázisszög [fok]
−40 −60 −80
−90 fok/dek −100 −120 −140 −160
10*p
−180 −2 10
−1
0
10
1
10
ω [rad/sec]
10
2TP tag (ξ=1) Bode amplitúdó diagramja 20 10 0
20*log10(A)
p −40 dB/dek
Erõsítés [dB]
−10 −20 −30 −40 −50 −60 −70 −80 −2 10
−1
0
10
1
10
10
ω [rad/sec]
2
10
2TP tag (ξ=1) Bode fázis diagramja 0
0.1*p
−20
Fázisszög [fok]
−40 −60 −80
−90 fok/dek −100 −120 −140
10*p
−160 −180 −2 10
−1
0
10
1
10
10
ω [rad/sec]
2
10
2TP tag (ξ>1) Bode amplitúdó diagramja 20 10 0
20*log10(A)
p
−20 dB/dek
1
p
Erõsítés [dB]
−10
2
−20
−40 dB/dek
−30 −40 −50 −60 −70 −80 −2 10
−1
0
10
1
10
10
ω [rad/sec]
2
10
2TP tag (ξ>1) Bode fázis diagramja 0 −20
Fázisszög [fok]
−40 −60
0.1*p
−45 fok/dek
1
0.1*p2
−80
−90 fok/dek −100 −120
10*p1
−140
−45 fok/dek −160 −180 −2 10
10*p2 −1
10
0
1
10
10
ω [rad/sec]
2
10
14. ábra. 2TP alaptag Bode diagramjai 12
A frekvenciafüggvény jellegzetes pontjai: ω = 0 ⇒ G(i0) = A ω → ∞ ⇒ G(i∞) = 0 1 A − A − 2Aξi 1 2Aξi ωs = ⇒ G i = =0− 2 T T 4ξ 4ξ 2 A fenti kifejezésben ωs az úgynevezett sarokkörfrekvencia, itt a frekvenciafüggvény értéke tisztán képzetes ϕ(ωs ) = −90◦ . A tag Nyquist diagramja egy torz "félkör" az alsó két síknegyedben A-ból 0-ba (ahány tárolós a tag, annyi síknegyeden halad át a Nyquist diagramja) (lásd 13. ábra). Bizonyítható (lásd függelék), hogy az A pontba húzott függőleges egyenest ξ < 0, 5 csillapítás esetén fogja a diagram kétszer metszeni (ekkor "lóg át" rajta jobbra) egyébként minden pontja az egyenesen, vagy annak bal oldalán helyezkedik el. A kéttárolós tagok esetében a rendszer viselkedését a ξ csillapítási tényező befolyásolja, három esetet különböztetünk meg (tipikus kéttárolós tag az egytömegű csillapított lengőrendszer): • ξ < 1 a rendszer gyengén csillapított, ekkor a rendszernek komplex konjugált póluspárja van, • ξ = 1 esetén a rendszer aperiodikus-periodikus határhelyzetben van, a rendszernek egy darab kétszeres multiplicitású valós pólusa van (kritikus csillapítás), • ξ > 1 esetén a rendszer túlcsillapított, két eltérő valós pólusa van (|p1 | < |p2 |).
A kéttárolós tagok Bode diagramjait szorzatra bontással és az alaptagok ábrázolása utáni eredő számítással kaphatjuk meg. A pólusok alapján a 2TP aszimptotikus Bode diagramokról a következőket mondhatjuk: •
– Komplex konjugált póluspár vagy kétszeres multiplicitású valós pólus esetén az amplitúdó diagram 20 lg(A) erősítésű vízszintes egyenes az |p1 | = |p2 | = |p| dB frekvenciáig, majd onnan −40 dek meredekségű egyenes. – A fázisfüggvény 0◦ és −180◦ között forgat: 0◦ a 0.1|p| frekvenciánál kisebb ◦ frekvenciákra, −90 dek meredekségű egyenes 0.1|p| és 10|p| frekvenciák között és −180◦ 10|p|-nél nagyobb frekvenciák esetén (lásd 14. ábra). Látható, hogy ωs = 1/T frekvencián a Bode fázisdiagram a Nyquist diagrammal megegyezően éppen −90◦ értéket vesz fel, melyet az aszimptotikus ábrázolás is pontosan ad vissza. – A valós Bode amplitúdó diagramon a |p| frekvencián kiemelés található gyengén csillapított esetben. Határeset a ξ = 0 csillapítatlan rendszer ahol az ωs = |p| sajátlengési (vagy sarok) frekvencián végtelen nagy amplitúdó és ezért végtelen nagy kiemelés alakul ki.
•
– Két valós pólus esetén az amplitúdó diagram 20 lg(A) erősítésű vízszintes egyedB meredekségű egyenes a |p2 | freknes az |p1 | frekvenciáig, majd onnan −20 dek dB venciáig. |p2 | frekvenciától pedig −40 dek meredekségű egyenes. – A fázisfüggvény 0◦ és −180◦ között forgat: 0◦ a 0.1|p1 | frekvenciánál kisebb ◦ frekvenciákra, −45 dek meredekségű egyenes 0.1|p1 | és 0.1|p2 | frekvenciák kö◦ ◦ zött, −90 dek meredekségű egyenes 0.1|p2 | és 10|p1 | frekvenciák között, −45 dek meredekségű egyenes 10|p1 | és 10|p2 | frekvenciák között, és −180◦ 10|p2 |-nél nagyobb frekvenciák esetén(lásd 14. ábra). Látható, hogy ωs = 1/T frekvencián a Bode fázisdiagram a Nyquist diagrammal megegyezően éppen −90◦ értéket vesz fel, melyet az aszimptotikus ábrázolás is pontosan ad vissza. 13
2.8.
2TD 2 tárolós differenciáló tag 2TD tag Nyquist diagramja 1 0.8 0.6 0.4
Im
0.2 0 −0.2
ω=0
A / d
ω→∞
2ξT
φ=0
−0.4 −0.6 −0.8 −1 −0.5
0
0.5
1
1.5
2
Re
15. ábra. 2TD alaptag Nyquist diagramja Átviteli függvénye: G(s) =
T 2 s2
Ad s + 2T ξs + 1
Frekvenciafüggvénye: (1 − T 2 ω 2 ) Ad iω + 2Ad T ξω 2 ) Ad iω(1 − T 2 ω 2 − 2T ξωi) Ad iω = = T 2 (iω)2 + 2T ξiω + 1 T 4 ω 4 + (4T 2 ξ 2 − 2T 2 ) ω 2 + 1 (1 − T 2 ω 2 )2 + 4T 2 ξ 2 ω 2 5iω ξ = 0, 8 G(iω) = 2 4(iω) + 3, 2iω + 1 G(iω) =
A frekvenciafüggvény jellegzetes pontjai: ω = 0 ⇒ G(i0) = 0 ω → ∞ ⇒ G(i∞) = 0 0 + 2ATd ξ 1 Ad 1 = + 0i = ωs = ⇒ G i T T 4ξ 2 2ξT A fenti kifejezésben ωs az úgynevezett sarokkörfrekvencia, itt a frekvenciafüggvény értéke tisztán valós (ϕ(ωs ) = 0). A tag Nyquist diagramja egy teljes kör a felső és alsó két síknegyedben 0-ból 0-ba (ahány tárolós a tag, annyi síknegyeden halad át a Nyquist diagramja) (lásd 15. ábra). A teljes kör alak igazolása a függelékben megtalálható. A pólusok alapján az 1TD aszimptotikus Bode diagramokról a következőket mondhatjuk:
14
2TD tag (ξ<1) Bode amplitúdó diagramja 15 10
Erõsítés [dB]
5
p
0 −5 −10
−20 dB/dek +20 dB/dek
−15 −20 −25 −30 −2 10
−1
0
10
1
10
ω [rad/sec]
10
2TD tag (ξ<1) Bode fázis diagramja 100 80
0.1*p
60
Fázisszög [fok]
40 20
−90 fok/dek
0 −20 −40 −60
10*p
−80 −100 −2 10
−1
0
10
1
10
ω [rad/sec]
10
2TD tag (ξ=1) Bode amplitúdó diagramja 10 5 0
p
Erõsítés [dB]
−5 −10
+20 dB/dek
−20 dB/dek
−15 −20 −25 −30 −35 −40 −2 10
−1
0
10
1
10
10
ω [rad/sec]
2
10
2TD tag (ξ=1) Bode fázis diagramja 100 80
0.1*p
60
Fázisszög [fok]
40 20
−90 fok/dek
0 −20 −40 −60
10*p
−80 −100 −2 10
−1
0
10
1
10
10
ω [rad/sec]
2
10
2TD tag (ξ>1) Bode amplitúdó diagramja 0 −5
p
p
1
2
−10
−20 dB/dek
Erõsítés [dB]
+20 dB/dek −15 −20 −25 −30 −35 −40 −2 10
−1
0
10
1
10
10
ω [rad/sec]
2
10
2TD tag (ξ>1) Bode fázis diagramja 100 80
Fázisszög [fok]
60 40
0.1*p
−45 fok/dek
1
0.1*p2
20
−90 fok/dek
0 −20 −40
10*p1 −45 fok/dek
−60
10*p2
−80 −100 −2 10
−1
10
0
1
10
10
ω [rad/sec]
2
10
16. ábra. 2TD alaptag Bode diagramjai 15
•
– Komplex konjugált póluspár vagy egy darab kétszeres multiplicitású pólus esedB tén az amplitúdó diagram +20 dek meredekségű egyenes az |p1 | = |p2 | frek1 dB venciáig (mely 0dB-es tengelyt az Ad frekvencián metszi), majd onnan −20 dek meredekségű egyenes. A 0dB-es tengellyel való metsződés az T1 és A1d frekvenciák viszonyától függ. Ha T1 > A1d akkor létrejön a metsződés, ha T1 < A1d akkor nem jön létre metsződés. – A fázisfüggvény 90◦ és −90◦ között forgat: 90◦ a 0.1|p| frekvenciánál kisebb ◦ frekvenciákra, −90 dek meredekségű egyenes 0.1|p| és 10|p| frekvenciák között és −90◦ 10|p|-nél nagyobb frekvenciák esetén (lásd 16. ábra). Látható, hogy ωs = 1/T frekvencián a Bode fázisdiagram a Nyquist diagrammal megegyezően éppen 0◦ értéket vesz fel, melyet az aszimptotikus ábrázolás is pontosan ad vissza. – A valós Bode amplitúdó diagramon a |p| frekvencián kiemelés található gyengén csillapított esetben. Határeset a ξ = 0 csillapítatlan rendszer ahol az ωs = |p| sajátlengési (vagy sarok) frekvencián végtelen nagy amplitúdó és ezért végtelen nagy kiemelés alakul ki.
•
dB meredekségű egyenes az – Két valós pólus esetén az amplitúdó diagram +20 dek 1 |p1 | frekvenciáig (mely 0dB-es tengelyt az Ad frekvencián metszi), majd onnan dB vízszintes egyenes a |p2 | frekvenciáig. |p2 | frekvenciától pedig −20 dek mere1 dekségű egyenes. A 0dB-es tengellyel való metsződés az |p1 | és Ad frekvenciák viszonyától függ. Ha |p1 | > A1d akkor létrejön a metsződés, ha |p1 | < A1d akkor nem jön létre metsződés.
– A fázisfüggvény 90◦ és −90◦ között forgat: 90◦ a 0.1|p1 | frekvenciánál kisebb ◦ frekvenciákra, −45 dek meredekségű egyenes 0.1|p1 | és 0.1|p2 | frekvenciák kö◦ ◦ zött, −90 dek meredekségű egyenes 0.1|p2 | és 10|p1 | frekvenciák között, −45 dek meredekségű egyenes 10|p1 | és 10|p2 | frekvenciák között, és −90◦ 10|p2 |-nél nagyobb frekvenciák esetén (lásd 16. ábra). Látható, hogy ωs = 1/T frekvencián a Bode fázisdiagram a Nyquist diagrammal megegyezően éppen 0◦ értéket vesz fel, melyet az aszimptotikus ábrázolás is pontosan ad vissza.
2.9.
2TI 2 tárolós integráló tag
Átviteli függvénye: G(s) =
AI s (T 2 s2 + 2T ξs + 1)
Frekvenciafüggvénye: AI (−2T ξω 2 − ωi + T 2 ω 3 i) AI = = T 2 (iω)3 + 2T ξ(iω)2 + iω 4T 2 ξ 2 ω 4 + ω 2 − 2T 2 ω 4 + T 4 ω 6 −2T ξAI − AωI i + T 2 AI ωi = 4T 2 ξ 2 ω 2 + 1 − 2T 2 ω 2 + T 4 ω 4 5 5 G(iω)|ξ=0,6 = G(iω)|ξ=0,8 = 3 2 3 4(iω) + 3, 2(iω) + iω 4(iω) + 2, 4(iω)2 + iω
G(iω) =
16
2TI tag Nyquist diagramja 100
ω→∞ 0
−100
Im
ξ<0.707 −200
ξ≥0.707
2Tξ A
I
−300
−400
ω=0 −500
−16
−14
−12
−10
−8
−6
−4
−2
0
Re
17. ábra. 2TI alaptag Nyquist diagramja A frekvenciafüggvény jellegzetes pontjai: ω = 0 ⇒ G(i0) = −2T AI ξ − i∞ ω → ∞ ⇒ G(i∞) = 0 1 −T AI 1 −2T AI ξ + (T AI − T AI )i ωs = ⇒ G i = + 0i = T T 4ξ 2 2ξ A fenti kifejezésben ωs az úgynevezett sarokkörfrekvencia, itt a frekvenciafüggvény értéke tisztán valós (ϕ(ωs ) = −180◦ ). A tag Nyquist diagramja az 1TI tag diagramjának torzítása (két síknegyeden halad át) 2T AI ξ értékkel jellemzett aszimptotával (lásd 17. ábra). √ Bizonyítható (lásd függelék), hogy a 2T AI ξ pontba húzott függőleges egyenest ξ < 1/ 2 csillapítás esetén fogja a diagram kétszer metszeni (ekkor "lóg át" rajta balra) egyébként minden pontja az egyenesen, vagy annak jobb oldalán helyezkedik el. A pólusok alapján az 1TI aszimptotikus Bode diagramokról a következőket mondhatjuk: •
– Komplex konjugált póluspár vagy egy darab kétszeres multiplicitású pólus esedB tén az amplitúdó diagram −20 dek meredekségű egyenes az |p1 | = |p2 | = |p| dB frekvenciáig, majd onnan −60 dek meredekségű egyenes. A 0dB-es tengellyel való metsződés a |p| és AI frekvenciák viszonyától függ. Ha |p| > AI , akkor dB dB , egyéb esetben −60 dek meredekséggel metszi a görbe a 0dB-es tengelyt. −20 dek
– A fázisfüggvény −90◦ és −270◦ között forgat: −90◦ a 0.1|p| frekvenciánál kisebb ◦ frekvenciákra, −90 dek meredekségű egyenes 0.1|p| és 10|p| frekvenciák között és −270◦ 10|p|-nél nagyobb frekvenciák esetén (lásd 18. ábra). Látható, hogy ωs = 1/T frekvencián a Bode fázisdiagram a Nyquist diagrammal megegyezően éppen −180◦ értéket vesz fel, melyet az aszimptotikus ábrázolás is pontosan ad vissza. – A valós Bode amplitúdó diagramon a |p| frekvencián kiemelés található gyengén csillapított esetben. 17
2TI tag (ξ<1) Bode amplitúdó diagramja 60
40
Erõsítés [dB]
−20 dB/dek 20
p 0
−20
−40
−60 dB/dek −60 −2 10
−1
0
10
1
10
ω [rad/sec]
10
2TI tag (ξ<1) Bode fázis diagramja −80 −100
0.1*p
Fázisszög [fok]
−120 −140 −160
−90 fok/dek
−180 −200 −220 −240
10*p
−260 −280 −2 10
−1
0
10
1
10
ω [rad/sec]
10
2TI tag (ξ=1) Bode amplitúdó diagramja 60 40
−20 dB/dek 20
Erõsítés [dB]
p 0 −20 −40
−60 dB/dek −60 −80 −100 −120 −2 10
−1
0
10
1
10
10
ω [rad/sec]
2
10
2TI tag (ξ=1) Bode fázis diagramja −80 −100
0.1*p
Fázisszög [fok]
−120 −140 −160
−90 fok/dek
−180 −200 −220 −240
10*p
−260 −280 −2 10
−1
0
10
1
10
10
ω [rad/sec]
2
10
2TI tag (ξ>1) Bode amplitúdó diagramja 60 40
−20 dB/dek Erõsítés [dB]
20
p
−40 dB/dek
1
0
p2
−20 −40
−60 dB/dek −60 −80 −100 −120 −2 10
−1
0
10
1
10
10
ω [rad/sec]
2
10
2TI tag (ξ>1) Bode fázis diagramja −80 −100
Fázisszög [fok]
−120 −140
0.1*p
−45 fok/dek
1
0.1*p2
−160
−90 fok/dek
−180 −200 −220
10*p1 −45 fok/dek
−240
10*p2
−260 −280 −2 10
−1
10
0
1
10
10
ω [rad/sec]
2
10
18. ábra. 2TI alaptag Bode diagramjai 18
•
dB – Két valós pólus esetén az amplitúdó diagram −20 dek meredekségű egyenes az dB |p1 | frekvenciáig, majd onnan −40 dek meredekségű egyenes a |p2 | frekvenciáig. dB |p2 | frekvenciától pedig −60 dek meredekségű egyenes. A 0dB-es tengellyel való metsződés a |p1 | és AI frekvenciák viszonyától függ. Ha |p1 | > AI , akkor dB dB dB 20 dek , egyéb esetben -40 dek vagy -60 dek meredekséggel metszi a görbe a 0dB-es tengelyt.
– A fázisfüggvény −90◦ és −270◦ között forgat: −90◦ a 0.1|p1 | frekvenciánál ki◦ sebb frekvenciákra, −45 dek meredekségű egyenes 0.1|p1 | és 0.1|p2 | frekvenciák ◦ ◦ között, −90 dek meredekségű egyenes 0.1|p2 | és 10|p1 | frekvenciák között, −45 dek meredekségű egyenes 10|p1 | és 10|p2 | frekvenciák között, és −270◦ 10|p2 |-nél nagyobb frekvenciák esetén (lásd 18. ábra). Látható, hogy ωs = 1/T frekvencián a Bode fázisdiagram a Nyquist diagrammal megegyezően éppen −180◦ értéket vesz fel, melyet az aszimptotikus ábrázolás is pontosan ad vissza.
2.10.
PD arányos deriváló tag PD tag Nyquist diagramja 5
ω→∞
4.5 4 3.5
Im
3 2.5 2 1.5 1 0.5 0
ω=0 0
0.5
1 Re
1.5
19. ábra. PD alaptag Nyquist diagramja Átviteli függvénye: G(s) = T s + 1 Frekvenciafüggvénye: G(iω) = T iω + 1
19
2
PD tag Bode amplitúdó diagramja
Erõsítés [dB]
60 40 −1
20 0 −2 10
T
−1
10
0
+20dB/dek
1
10
2
10
10
ω [rad/sec] PD tag Bode fázis diagramja
3
10
Fázisszög [fok]
100 −1
10*T 50 +45 fok/dek
0.1*T−1 0 −2 10
−1
10
0
10
1
ω [rad/sec]
10
2
10
3
10
20. ábra. PD alaptag Bode diagramja A frekvenciafüggvény jellegzetes pontjai: ω = 0 ⇒ G(i0) = 1 ω → ∞ ⇒ G(i∞) = 1 + i∞ 1 1 ωs = ⇒ G i =i+1 T T A fenti kifejezésben ωs az úgynevezett sarokkörfrekvencia, itt ϕ(ωs ) = 45◦ . A tag Nyquist diagramja egy egyenes az 1 pontból az 1 + i∞-be (lásd 19. ábra). A Bode diagram esetében a továbbiakban az aszimptotikus szerkesztés módszerét ismertetjük. A diagramokon piros színnel jelöljük az aszimptotikus közelítést, míg kékkel a valódi frekvencia válaszokat. PD tag Bode amplitúdó diagramja ωs = T1 frekvenciáig egy 0dB magasságban haladó dB vízszintes egyenes, majd a sarokkörfrekvenciától +20 dek meredekségű egyenes. Fázisdiag◦ ◦ ramja 0 a sarokkörfrekvencia tizedénél kisebb frekvenciákra, +45 dek meredekségű egyenes 0.1ωs és 10ωs frekvenciák között és +90◦ a sarokkörfrekvencia tízszeresénél nagyobb frekvenciák esetén (lásd 20. ábra).
20
3.
Függelék
3.1.
Igazolás: 0TD alaptag Bode diagramja
Az ideális differenciáló tag erősítését a következő módon írhatjuk: a(ω) = 20 lg |Ad iω| = 20 lg Ad ω = 20 lg Ad + 20 lg ω Amennyiben a körfrekvencia egy dekádnyit változik akkor az erősítés változása: a(10 · ω) − a(ω) = 20 lg Ad + 20 lg 10 + 20 lg ω − 20 lg Ad − 20 lg ω = 20 lg 10 = 20 db vagyis az amplitúdó görbe meredeksége +20 dek . A vágási körfrekvencia:
0 = 20 lg Ad + 20 lg ωc lg ωc = − lg Ad = lg A−1 d 1 ωc = Ad A fázisfüggvény: ϕ(ω) = arctan
Im G(iω) Im Ad iω Ad ω = arctan = arctan = arctan ∞ = +90◦ Re G(iω) Re Ad iω 0
minden ω-ra.
3.2.
Igazolás: 0TI alaptag Bode diagramja
Az ideális integráló tag erősítését (hasonlóan a differenciálóhoz) a következő módon írhatjuk: AI a(ω) = 20 lg = 20 lg AI − 20 lg ω ω Amennyiben a körfrekvencia egy dekádnyit változik akkor az erősítés változása: a(10 · ω) − a(ω) = 20 lg AI − 20 lg 10 − 20 lg ω − 20 lg AI + 20 lg ω = −20 lg 10 = −20 db . vagyis az amplitúdó görbe meredeksége −20 dek A vágási körfrekvencia:
0 = 20 lg AI − 20 lg ωc lg ωc = lg AI ωc = AI A fázisfüggvény: ϕ(ω) = arctan
−AI Im −Aω I i Im G(iω) ω = arctan = − arctan ∞ = −90◦ = arctan Re G(iω) 0 Re −Aω I i
minden frekvencián. 21
3.3.
Igazolás: 1TP alaptag Nyquist diagramja félkör alakú
Thálesz tétele értelmében egy kör átmérője fölé rajzolt háromszögek, melyek harmadik csúcsa a körön helyezkedik el mindig derékszögűek. Mi ezt a tételt fordítva fogjuk alkalmazni és belátjuk, hogy adott Nyquist diagram esetén a futó pont (ω) és a kezdő- (ω = 0) és végpont (ω → ∞) által alkotott háromszögek derékszögűek, így a futó pont félkört (teljes kört) fut be. Jelölje a futó pont valós és képzetes részből képzett vektorát a komplex számsíkon G. A pedig az ω = 0 ponthoz tartozó vektort. Azt szükséges belátni, hogy a G vektor a GA különbségi vektorra mindig merőleges: A −AT ω T G= N N 2 2 N =1+T ω T A= A 0 A AT ω T GA = A − G = A − N N A2 A2 A2 T 2 ω 2 A2 N A2 + A2 T 2 ω 2 GA · G = − 2− = − = N N N2 N2 N2 A2 + A2 T 2 ω 2 A2 + A2 T 2 ω 2 − = 0 ∀ω = N2 N2 q.e.d.
3.4.
Igazolás: 1TP alaptag Bode amplitúdó diagramja
Az 1TP tag amplitúdó függvénye: p A = 20 lg A − 20 lg 1 + (T ω)2 a(ω) = 20 lg T iω + 1
ami alacsony frekvenciák esetén, azaz amikor a gyök alatti kifejezésben a frekvencia függés elhanyagolható, ω << T1 : a(ω)|ω<< 1 = 20 lg A T
az aszimptota egyenlete. Magas frekvenciák esetén, mikor is a gyök alatti kifejezésben az 1 elhanyagolható, ω >> T1 : a(ω)|ω>> 1 = 20 lg A − 20 lg T ω T
dB az aszimptota egyenlete, ami egy −20 dek meredekségű egyenes. A két aszimptota metszéspontját meghatározó egyenlet:
20 lg A = 20 lg A − 20 lg T ω amiből ω =
3.5.
1 T
adódik.
Igazolás: 1TD alaptag Nyquist diagramja félkör alakú
Az igazolás elve azonos az 1TP tagra vonatkozóéval. Jelölje a futó pont valós és képzetes részből képzett vektorát a komplex számsíkon G. A pedig az ω → ∞ ponthoz tartozó vektort. Azt szükséges belátni, hogy a G vektor a GA különbségi vektorra mindig merőleges: 22
G=
h
Ad T ω 2 N
Ad ω N
N = 1 + T 2ω2 T A = ATd 0
GA = A − G =
h
iT
Ad T
−
Ad T ω 2 N
− ANd ω
iT
A2d ω 2 A2d T 2 ω 4 A2d ω 2 A2d ω 2 N A2d ω 2 + A2d T 2 ω 4 − − = − = N N2 N2 N2 N2 A2d ω 2 + A2d T 2 ω 4 A2d ω 2 + A2d T 2 ω 4 − = 0 ∀ω N2 N2 q.e.d. GA · G =
3.6.
Igazolás: 2TP alaptag Nyquist diagramjának viszonya az A ponttal jellemzett függőleges egyeneshez ξ függvényében
A 2TP tag Nyquist diagramja akkor "lóg át" az [A 0] pontba állított függőleges egyenesen, ha ReG(iω) = A lehetséges ω 6= 0 esetén is. Az erre vonatkozó számítás: A − AT 2 ω 2 T 4 ω 4 + (4T 2 ξ 2 − 2T 2 ) ω 2 + 1 AT 4 ω 4 + 4AT 2 ξ 2 − 2AT 2 ω 2 + A = A − AT 2 ω 2 a , ω 2 > 0 AT 4 a2 + 4AT 2 ξ 2 − AT 2 a = 0 AT 4 a = AT 2 − 4AT 2 ξ 2 4 1 a = 2 − 2 ξ2 T T
A=
(4)
Könnyen belátható, hogy (4)-nek akkor létezik a > 0 megoldása, ha ξ < 0, 5. Ezzel igazoltuk, hogy ekkor fog a Nyquist diagram "átlógni" az A pontba húzott függőlegesen.
3.7.
Igazolás: 2TI alaptag Nyquist diagramjának viszonya a −2AI T ξ ponttal jellemzett függőleges egyeneshez ξ függvényében
A 2TI tag Nyquist diagramja akkor "lóg át" a [−2AI T ξ 0] pontba állított függőleges egyenesen, ha ReG(iω) = −2AI T ξ lehetséges ω 6= 0 esetén is. Az erre vonatkozó számítás (hasonlóan a 2TP taghoz): −2AI T ξ + (4T 2 ξ 2 − 2T 2 ) ω 2 + 1 T 4 ω 4 + 4T 2 ξ 2 − 2T 2 ω 2 = 0 a , ω 2 > 0 T 4 a2 = 2T 2 a − 4T 2 ξ 2 a 4 2 a = 2 − 2 ξ2 T T − 2AI T ξ =
T 4ω4
(5)
√ Könnyen belátható, hogy (5)-nak akkor létezik a > 0 megoldása, ha ξ < 1/ 2. Ezzel igazoltuk, hogy ekkor fog a Nyquist diagram "átlógni" a −2AI T ξ pontba húzott függőlegesen. 23
3.8.
Igazolás: 2TD alaptag Nyquist diagramja kör alakú
Az igazolás elve azonos az 1TP tagra vonatkozóéval. Jelölje a futó pont valós és képzetes részből képzett vektorát a komplex számsíkon G. A pedig az ωs = 1/T sarokkörfrekvenciához tartozó vektort. Azt szükséges belátni, hogy a G vektor a GA különbségi vektorra mindig merőleges: G=
h
2T ξω 2 Ad N 4 4
(1−T 2 ω2 )Ad ω N
iT
N = T ω + 4T ξ − 2T 2 ω 2 + 1 h iT Ad 0 A = 2ξT h iT 2 2 2 GA = A − G = Ad − 2T ξω Ad − (1−T ω )Ad ω 2 2
2ξT
2ξT A2d ω 2
N
N
4
2
4T ξ ω (1 − T 2 ω 2 ) A2d ω 2 GA · G = − − = 2ξT N N2 N2 A2d ω 2 (T 4 ω 4 + 4T 2 ξ 2 ω 2 − 2T 2 ω 2 + 1) A2d ω 2 (T 4 ω 4 + 4T 2 ξ 2 ω 2 − 2T 2 ω 2 + 1) − =0 N2 N2 q.e.d.
3.9.
2 2
A2d
Igazolás: PD alaptag Bode amplitúdó diagramja
A PD tag amplitúdó függvénye: a(ω) = 20 lg |T iω + 1| = 20 lg
p
1 + (T ω)2
ami alacsony frekvenciák esetén, azaz amikor a gyök alatti kifejezésben a frekvencia függés elhanyagolható, ω << T1 : a(ω)|ω<< 1 = 20 lg 1 = 0dB T
az aszimptota egyenlete. Magas frekvenciák esetén, mikor is a gyök alatti kifejezésben az 1 elhanyagolható, ω >> T1 : a(ω)|ω>> 1 = 20 lg T ω T
dB +20 dek
meredekségű egyenes. az aszimptota egyenlete, ami egy A két aszimptota metszéspontját meghatározó egyenlet: 20 lg 1 = 20 lg T ω amiből ω =
3.10.
1 T
adódik.
Igazolás: Összetett tag Bode diagramja szorzat alakból a szorzatban szereplő alaptagok Bode diagramjainak összegeként kapható meg
Vegyük egy összetett tag alaptagok szorzataként felírt frekvenciafüggvényét: G(iω0 ) = G1 G2 . . . Gn Gj ∈ C j = 1 . . . n ⇒
(6)
Gj = rj eiϕj ⇒
G(iω0 ) = r1 eiϕ1 r2 eiϕ2 . . . rn eiϕn = r1 r2 . . . rn eiϕ1 eiϕ2 . . . eiϕn = reiϕ 24
Az eredő amplitúdó így r = r1 r2 . . . rn az eredő fázis pedig ϕ = ϕ1 + ϕ2 + . . . + ϕn . A fázisszögről így azonnal látható, hogy az alaptagok fázisszögeit összegezve megkapjuk az eredő szöget. Vizsgáljuk most a Bode amplitúdó diagram értékét felhasználva az amplitúdó definícióját: a(ω0 ) = 20 lg |G(iω0 )| = 20 lg |r1 r2 . . . rn eiϕ | = 20 lg(r1 r2 . . . rn ) = = 20 lg r1 + 20 lg r2 + . . . + 20 lg rn = a1 (ω0 ) + a2 (ω0 ) + . . . + an (ω0 )
(7)
Hivatkozások [1] Bokor József, Gáspár Péter: Irányítástechnika járműdinamikai alkalmazásokkal, TypoTeX kiadó, Budapest, 2008.
25
