´ ´ EGYETEM SZECHENYI ISTVAN ˝ ´ MUSZAKI TUDOMANYI KAR ´ ¨ ESI ´ ´ TAVK OZL TANSZEK M´er´esi jegyz˝ ok¨ onyv seg´edlet
Dr. Kuczmann Mikl´ os
V´ alogatott m´ er´ esek Villamoss´ agtan t´ emak¨ orb˝ ol II.
A Bode-diagram felv´ etele
Gy˝or, 2007
A m´er´esi seg´edlet LATEX szerkeszt˝ovel k´esz¨ ult, http://www.miktex.org/.
1.
A m´ er´ es c´ elja
A Bode-diagram felv´etele sz´am´ıt´assal ´es m´er´essel egy megval´os´ıtott h´al´ozaton, a sz´am´ıt´assal ´es m´er´essel kapott eredm´enyek ¨osszevet´ese, ki´ert´ekel´ese. A kompenz´alt fesz¨ ults´egoszt´o kapcsol´as vizsg´alata. A m´er´es el˝ofelt´etele a h´azi feladat elk´esz´ıt´ese ´es a m´er´esi jegyz˝ok¨onyv el˝ok´esz´ıt´ese. A m´er´es el˝ott beugr´ot kell ´ırni. Hozzon mag´ aval 2db u ¨res millim´ eterpap´ırt is! A f¨ uggv´ enyek ´ abr´ azol´ as´ at csak ´ıgy fogadom el, ellenkez˝ o esetben elk¨ uld¨ om.
2.
A m´ er´ eshez tartoz´ o h´ azi feladat
A m´er´es t´argy´at k´epez˝o h´al´ozat az 1. ´abr´an l´athat´o un. kompenz´alt fesz¨ ults´egoszt´o kapcsol´as. C1 R1
U1
R2
C2
U2
1. ´abra. A m´er´es kapcsol´asi v´azlata H´azi feladatok: • Gyakorl´as c´elj´ab´ol egy-egy feladat let¨olthet˝o a http://www.sze.hu/~kuczmann oldalr´ol. • Ism´etelje ´at a Villamoss´agtan t´argyban tanultakat az ellen´all´as, a tekercs ´es a kondenz´ator karakterisztik´aj´ar´ol, a szinuszos h´al´ozatok sz´am´ıt´asa t´emak¨ort, valamint tanulm´anyozza ´at a k¨ovetkez˝o fejezetben tal´alhat´o elm´eleti ismereteket. • Vezesse le a soros RL, a soros RC, a p´arhuzamos RL, a p´arhuzamos RC, a soros RLC ´es a p´arhuzamos RLC kapcsol´asok ´atviteli karakterisztik´aj´at polinom per polinom alakban, ha R, L ´es C param´eterek, azaz nem konkr´et ´ert´ekek. A gerjeszt´es minden esetben a kapcsol´as kapocsfesz¨ ults´ege. A v´alaszjel pedig soros kapcsol´asok eset´en az egyes komponensek fesz¨ ults´ege, p´arhuzamos kapcsol´asok eset´en pedig az egyes ¨ komponensek ´arama. Osszesen teh´at 2+2+2+2+3+3=14 karakterisztika. • V´azolja fel ezen alapkapcsol´asok Bode-f´ele amplit´ ud´okarakterisztik´aj´at ´es f´azismenet´et.
• Vezesse le az 1. ´abr´an felv´azolt kapcsol´as ´atviteli karakterisztik´aj´at polinom per polinom alakban. A v´egeredm´eny: W (jω) =
R2 + jωR1 R2 C1 U2 (jω) = = U1 (jω) (R1 + R2 ) + jω(R1 R2 [C1 + C2 ]) 1 + jω1 R2 R1 C1 = . jω R1 + R2 1 + 1 R1 R2 (C1 +C2 ) R1 +R2
• Vezess¨ uk be az al´abbi jel¨ol´eseket: ω0 = azaz
1 , R1 C1
ωx =
1 R1 R2 (C1 R1 +R2
+ C2 )
1+ U2 (jω) R2 W (jω) = = U1 (jω) R1 + R2 1 +
jω ω0 jω ωx
,
.
V´azolja fel a Bode-f´ele amplit´ ud´okarakterisztik´at ´es f´aziskarakterisztik´at az al´abbi h´arom esetben param´eteresen: ω0 = ωx , ω0 < ωx , ω0 > ωx . • Ha van m´odja r´a, ellen˝orizze a sz´am´ıt´asokat valamely szoftverrel konkr´et ´ert´ekek mellett (pl. TINA (www.designsoft.hu), Octave bode utas´ıt´asa (www.octave.org)).
3.
R¨ ovid elm´ eleti ¨ osszefoglal´ o
Jelen r¨ovid ´attekint´es a Jelek ´es rendszerek c´ım˝ u k¨onyvb˝ol val´o. A line´aris, invari´ans, kauz´alis, passz´ıv ´es reziszt´ıv illetve dinamikus elemekb˝ol (ellen´all´as, tekercs, kondenz´ator) fel´ep¨ ul˝o h´al´ozat ugyanis felfoghat´o egy ugyanilyen folytonos idej˝ u rendszernek.
3.1.
Az ´ atviteli karakterisztika ´ es egy¨ utthat´ o
Ha egy folytonos idej˝ u, line´aris, invari´ans ´es kauz´alis rendszer gerjeszt´es-v´alasz stabilis, akkor a teljes v´alasz szabad ¨osszetev˝oje null´ahoz tart ´es a v´alasz egy id˝o ut´an megegyezik a gerjesztett ¨osszetev˝ovel. Egy villamos h´al´ozat biztosan stabil, ha az csak passz´ıv elemekb˝ol ´ ´ep¨ ul fel (itt csak ilyenekkel foglalkozunk, l. Villamoss´agtan c. t´argy Allapotv´ altoz´os le´ır´ as c. fejezete). A szinuszos jel egy vizsg´al´ojel: ha a gerjeszt´es szinuszos lefut´as´ u, akkor a v´alaszjel is szinuszos lesz ugyanazon k¨orfrekvenci´aval. Legyen h´at a gerjeszt´es is ´es a v´alasz is szinuszos: s(t) = S cos(ωt + ρ),
y(t) = Y cos(ωt + ϕ).
(1)
Y = Y ejϕ .
(2)
´Irjuk fel ezen jelek komplex cs´ ucs´ert´ek´et: S = Sejρ ,
Szinuszos gerjeszt´es ´es v´alasz eset´en k´epezhetj¨ uk ezen k´et komplex mennyis´eg h´anyados´at, 1 ami az un. ´atviteli karakterisztika: W = W (jω) =
Y . S
(3)
s(t) = S cos(ωt + ρ)
-
jρ
W (jω)
S = Se
y(t) = Y cos(ωt + ϕ) -
jϕ
Y =Ye
Az ´atviteli karakterisztika egy rendszerjellemz˝o f¨ uggv´eny, ´es az ω k¨orfrekvencia f¨ uggv´enye, amely adott k¨orfrekvenci´an (ami a gerjeszt´es k¨orfrekvenci´aja) megadja a v´alaszjel komplex cs´ ucs´ert´ek´et a gerjeszt´es komplex cs´ ucs´ert´ek´enek f¨ uggv´eny´eben: Y = W S,
(4)
amelyb˝ol a v´alasz y(t) id˝of¨ uggv´enye meghat´arozhat´o a komplex cs´ ucs´ert´ek defin´ıci´oj´anak megfelel˝oen. Fontos megjegyezni, hogy az ´atviteli karakterisztika egy adott k¨orfrekvenci´an egy komplex sz´am, amely megadja azt, hogy ezen k¨orfrekvenci´an a rendszer hat´as´ara mennyivel fog k¨ ul¨onb¨ozni a v´alaszjel amplit´ ud´oja ´es f´azisa a gerjeszt´es amplit´ ud´oj´at´ol ´es f´azis´at´ol.2 Az ´atviteli karakterisztika egy adott k¨orfrekvenci´an az un. ´atviteli egy¨ utthat´o: jφ W = Ke , ahol K = |W | az ´atviteli egy¨ utthat´o abszol´ ut ´ert´eke, azaz nagys´aga, ´es φ = arc{W } az ´atviteli egy¨ utthat´o sz¨oge a vizsg´alt k¨orfrekvenci´an. A v´alaszjel teh´at az al´abbiak szerint sz´am´ıthat´o: Y = W S = Kejφ Sejρ = KSej(φ+ρ) ,
(5)
´es ´ıgy a v´alaszjel id˝of¨ uggv´enye a k¨ovetkez˝o: y(t) = |{z} KS cos(ωt + (φ + ρ)) = Y cos(ωt + ϕ). | {z } Y
(6)
ϕ
Megadtuk teh´at az ´atviteli karakterisztika defin´ıci´oj´at ´es azt, hogy hogyan lehet alkalmazni a szinuszosan gerjesztett v´alasz sz´am´ıt´as´aban. Az ´atviteli karakterisztika teh´at a jω v´altoz´o f¨ uggv´enye ´es azt adja meg, hogy a rendszer kimenet´enek amplit´ ud´oja ´es f´azisa hogy v´altozik meg a bemeneti szinuszos jel ugyanezen adataihoz k´epest adott ω k¨orfrekvenci´an: Y = W S. A W minden k¨orfrekvenci´an m´as ´es m´as komplex ´ert´ek˝ u sz´am, teh´at van amplit´ ud´oja ´es f´azisa. Ezek ´abr´azol´as´ara terjedt el k´et m´odszer, k´et diagram: a Nyquist-diagram ´es a Bode-diagram. Mindkett˝o a W ´atviteli karakterisztika W = W (jω) = K(ω)ejφ(ω) (7) alakj´aban tal´alhat´o K(ω) un. amplit´ ud´okarakterisztika, ´es φ(ω) un. f´aziskarakterisztika ´abr´azol´as´at realiz´alja elt´er˝o m´odon. 3.1.1.
A Nyquist diagram
A Nyquist-diagram a K(ω)ejφ(ω) fazor v´egpontj´at ´abr´azolja a −∞ < ω < ∞ intervallumban a komplex sz´ams´ıkon ´es ezen pontokat k¨oti ¨ossze, ahogy az a 2. ´abr´an l´athat´o. Ez teh´at egy olyan g¨orbe, amelyr˝ol leolvashat´o az ´atviteli karakterisztika abszol´ ut ´ert´eke ´es 1
K´et jel¨ol´esi m´od is van: a W azt jelzi, hogy ez egy komplex sz´am, a W (jω) pedig azt is, hogy ez a jω f¨ uggv´enye. Ezen k´et jel¨ ol´es term´eszetesen ekvivalens. 2 Az ´atviteli karakterisztika m´er´essel u ´ gy vehet˝ o fel, hogy egy adott amplit´ ud´ oj´ u ´es adott f´azis´ u szinuszosan v´altoz´ o gerjeszt˝ ojelet kapcsolunk a rendszer bemenet´ere, amelynek azt´ an v´altoztatjuk a frekvenci´aj´ at ´es minden egyes frekvenci´an m´erj¨ uk a kimeneti jel amplit´ ud´ oj´ at ´es f´azis´at. Ez megtehet˝ o pl. egy k´etcsatorn´as oszcilloszk´op seg´ıts´eg´evel. A m´ert adatokat pedig r¨ogz´ıtj¨ uk.
f´azisa (vagy val´os ´es k´epzetes r´esze) egy-egy r¨ogz´ıtett ω k¨orfrekvenci´an. Az ´abr´an beraj´ azoltuk az ω = 0, 2 rad , ω = 2 rad ´es ω = 20 rad k¨orfrekvenci´akhoz tartoz´o fazorokat.3 Abr´ s s s zol´as´ahoz ki kell sz´amolni az ´atviteli karakterisztika amplit´ ud´oj´at ´es f´azis´at (vagy val´os ´es k´epzetes r´esz´et) n´eh´any k¨orfrekvenci´an, majd ezeket fel kell m´erni a komplex sz´ams´ıkon, ´es ezen pontokat ¨ossze kell k¨otni. A Nyquist-diagramot a negat´ıv k¨orfrekvenci´akra is szok´as ´ ´abr´azolni, azonban a diagram szimmetrikus a val´os tengelyre. Erezhet˝ o, hogy egy pontos Nyquist-diagram felv´etele meglehet˝osen hosszadalmas elj´ar´as. Sz´am´ıt´og´eppel v´egezve a sz´am´ıt´asokat azonban pontos g¨orb´et kaphatunk, de ekkor is neh´ez lehet a leolvas´as.4 1
ω>0 ω<0
Im W(jω)
0.5 ω=0,2 0 ω=20
ω=2
-0.5
-1 0
0.5
1 Re W(jω)
1.5
2
2. ´abra. P´elda a Nyquist-diagramra
3.1.2.
A Bode-diagram
A Bode-diagram k¨ ul¨on koordin´ata-rendszerben ´abr´azolja az amplit´ ud´o- ´es a f´aziskarakterisztik´at, teh´at k´et f¨ uggv´enyt kell ´abr´azolni. Ezek v´ızszintes tengely´en az ω k¨orfrekvencia szerepel (szokt´ak u ´ gy is, hogy az abszcissz´an az f frekvenci´at m´erik) logaritmikus l´ept´ekben, f¨ ugg˝oleges tengely´en pedig a K(ω) amplit´ ud´okarakterisztika ´es a φ(ω) f´aziskarakterisztika (l. 3. ´abra. A szaggatott vonallal berajzolt g¨orb´evel pedig k´es˝obb foglalkozunk.). A logaritmikus l´ept´ek az´ert c´elszer˝ u, hogy lehet˝os´eg szerint sz´eles intervallumot tudjunk ´abr´azolni: L´athat´o, hogy a sk´al´az´as logaritmikusan t¨ort´enik, azaz k´et egym´ast k¨ovet˝o oszt´as k¨oz¨ott az ar´any 10: ωi+1 /ωi = 10. Egy ilyen t´avols´ag neve dek´ad.5 Line´aris sk´al´an nem lehetne j´ol l´athat´o m´odon ilyen sz´eles tartom´anyt ´abr´azolni (ebben a p´eld´aban a legkisebb ´es a legnagyobb k¨orfrekvencia k¨oz¨ott 4 nagys´agrend van). Egy dek´adon bel¨ ul egy adott k¨orfrekvenci´anak megfelel˝o pont sz´am´ıt´asa a k¨ovetkez˝ok´epp t¨ort´enik. Legyen egy dek´ad k¨orfrekvenci´anak megfelel˝o pontot: a pap´ıron 40 mm ´es hat´arozzuk meg pl. az ω = 5 rad s 5 40 mm lg = 15, 91 mm, 2 rad Ezen pontok sz´ amol´ assal ellen˝ orizhet˝ ok: ha ω = 0, 2 rad s , akkor W = 0, 399 + j0, 229, ha ω = 2 s , ´ akkor W = 1, 215 − j0, 277, ha ω = 20 rad athat´o a fazor helyzet´enek s , akkor W = 0, 046 − j0, 243. Igy l´ alakul´asa ´es forg´ asa is. 4 Ezen tulajdons´ agok mellett azonban nem szabad azt gondolni, hogy ez az ´abr´ azol´asi m´odszer nem hasznos, szab´alyoz´astechnik´aban pl. a Nyquist-diagramot stabilit´asi krit´eriumok ellen˝ orz´es´ere lehet haszn´alni. 5 Szok´as ezt u ´ gy is felvenni, hogy k´et egym´ ast k¨ovet˝o oszt´as k¨oz¨ott az ar´any 2, ekkor egy ilyen t´ avols´ag neve okt´av. Mi a dek´ adot fogjuk haszn´alni. 3
100
0
50
φ(o)
KdB(ω)[dB]
10
-10
-20
-30 0.01
0
-50
0.1
1 ω[rad/s]
10
100
-100 0.01
0.1
1 ω[rad/s]
10
100
3. ´abra. P´elda az amplit´ ud´o- ´es f´aziskarakterisztik´ara, a Bode-diagram k´et elem´ere rad ω[ ] s 0, 02 0, 2 2 20 200 azaz az ω = 2 rad pontt´ol 15, 91 mm-re lesz a keresett pont. Az ω = 50 rad ehhez hasonl´oan s s rad az ω = 20 s pontt´ol lesz 15, 91 mm-re ´es ´ıgy tov´abb. A logaritmus argumentum´aban az´ert 2-vel osztottunk, mert az a keresett k¨orfrekvencia intervallum´anak als´o hat´ara.6 El´eg teh´at egy dek´adon bel¨ ul elv´egezni a pontosabb feloszt´ast. Ezen intervallum feloszt´asa teh´at a k¨ovetkez˝ok´epp n´ez ki: rad -ω[ s ] 2 4 6 8 10 12 14 161820 Fontos megjegyezni azonban azt, hogy a logaritmikus sk´al´an nincs ω = 0 ´es ω = ∞ pont. Az amplit´ ud´okarakterisztika f¨ ugg˝oleges tengely´et hasonl´ok´epp logaritmikusan c´elszer˝ u felm´erni azon egyszer˝ u okn´al fogva, hogy nagy ´ert´ektarom´anyt tudjunk ´abr´azolni (ez az un. log-log diagram). Itt az amplit´ ud´okarakterisztika decibel egys´egben kifejezett ´ert´ek´et szok´as felm´erni: KdB = KdB (ω) = 20 lgK(ω)
⇒
K(ω) = 100,05 KdB ,
(8)
aminek a m´ert´ekegys´ege teh´at a dB (decibel).7 A f´aziskarakterisztika eset´eben a f¨ ugg˝oleges tengelyen rad egys´egben, vagy fokban szok´as felm´erni a f´aziskarakterisztika ´ert´ek´et. A dek´ad egys´eget D-vel fogjuk jel¨olni. A Bode-diagram egyszer˝ u esetekben k´enyelmesen szerkeszthet˝o az un. norm´alalakok, vagy karakterisztikaelemek seg´ıts´eg´evel. A k¨ovetkez˝okben ezeket foglaljuk ¨ossze. Tudjuk, hogy az ´atviteli karakterisztika egy polinom per polinom alak´ u kifejez´es. Hat´arozzuk meg el˝osz¨or a sz´aml´al´o ´es a nevez˝o gy¨okt´enyez˝os alakj´at, azaz sz´amoljuk ki a polinomok z´erushelyeit. K´et eset lehets´eges: a gy¨ok¨ok egy r´esze val´os, m´asik r´esze (ha van ilyen) konjug´alt komplex p´arokat alkotnak. Ezut´an az ´atviteli karakterisztika mindig ´atalak´ıthat´o a k¨ovetkez˝o form´ara: 2 Q jω jω jω Q r i 1 + ω k 1 + 2ξk ωk + ωk i ω0 W =A 2 , Q jω jω Q jω jω j 1 + ωj l 1 + 2ξl ωl + ωl
rad ertelm˝ u, ω = 3 rad P´ ar pontra kapott eredm´enyek: ω = 2 rad s , 0 mm, ami egy´ s , 7, 04 mm, ω = 10 s , 27, 96 mm, ω = 15 rad s , 35 mm stb. 7 Egy m´asik lehet˝ os´eg a KNp = lnK(ω), amelynek m´ert´ekegys´ege az Np (neper). Mi az el˝obbit alkalmazzuk. A kett˝ o k¨oz¨ott a k¨ovetkez˝o kapcsolat van: 1Np = 8, 686 dB, 1dB = 0, 115 Np. 6
teh´at vannak els˝ofok´ u ´es m´asodfok´ u t´enyez˝ok. A Bode-f´ele amplit´ ud´okarakterisztik´aban a K(ω) logaritmus´at kell venni, azaz X ω0 jω jω X lg|W | = lg|A| + rlg + lg 1 + + lg 1 + − jω ωi ωj j i 2 X 2 X jω jω jω jω + lg 1 + 2ξl + + lg 1 + 2ξk − , ωk ωk ωl ωl l
k
ahol felhaszn´altuk azokat az azonoss´agokat, hogy szorzat logaritmusa a t´enyez˝ok logaritmus´anak ¨osszege ´es h´anyados logaritmusa a t´enyez˝ok logaritmus´anak k¨ ul¨onbs´ege. A kapott eredm´enyt ezut´an m´eg 20-szal m´eg be kell szorozni. A Bode-f´ele f´aziskarakterisztik´aban a φ(ω) ´ert´ek´et kell meghat´arozni:
X jω jω arc 1 + arc 1 + − + ωi ωj i j ( ( 2 ) X 2 ) X jω jω jω jω + arc 1 + 2ξk − , + arc 1 + 2ξl + ωk ωk ωl ωl
arcW = arc{A} + r arc
ω0 jω
+
X
k
l
azaz a sz´aml´al´oban szerepl˝o elemek f´azisainak ¨osszeg´eb˝ol ki kell vonni a nevez˝oben szerepl˝o t´enyez˝ok f´azisainak ¨osszeg´et, ugyan´ ugy, ahogy azt k´et komplex sz´am oszt´asakor tessz¨ uk. Ha ezut´an meghat´arozzuk az egyes t´enyez˝ok amplit´ ud´okarakterisztik´aj´at ´es f´aziskarakterisztik´aj´at, akkor azokat csak el˝ojelhelyesen ¨ossze kell adni, ´es ´ıgy egy j´o pontoss´ag´ u k¨ozel´ıt´est kapunk. Az els˝ofok´ u t´enyez˝oket a k¨ovetkez˝o ´abr´akon foglaljuk ¨ossze. A g¨orb´ek teh´at a k¨ovetkez˝ok (a v´ızszintes tengelyen minden esetben dek´adban m´erj¨ uk a k¨orfrekvenci´at, erre utal a D index, ha ez nem der¨ ul ki az ´abr´ab´ol): KdB (ω) 6 @ 40 @ @ 20lgA 20 @ @ @ ωD ω@ 0 @ @ -20r/D -20 @ @ @ -40 40
20dB/D
@ @−20dB/D −20 @ nevez˝o @ @
−40
A<0
90◦ -
A > 0ωD r=1
-90◦
A<0
sz´aml´al´o(+)
sz´ aml´al´ o
ωj@ ωi
180◦
-180◦ φ(ω) 6 90◦
KdB (ω) 6 20
φ(ω) 6
-
ωD
45◦
45◦ /D
ωi @ ωj @ nevez˝o ◦ sz´aml´al´o(-) −45@ @ ◦ @−45 /D @ ◦ −90
-
ωD
Ezen karakterisztikaelemeket ´erdemes teh´at megjegyezni, seg´ıts´eg¨ ukkel ugyanis bonyolultabb ´atviteli karakterisztik´ak Bode-diagramja k¨ozel´ıt˝oleg felv´azolhat´o. A karakterisztikaelemek teh´at a k¨ovetkez˝ok. 1.) Az ´alland´o t´enyez˝o logaritmikus alakja a k¨ovetkez˝o: ◦ 0 , ha A > 0; (9) KdB (ω) = 20lg|A|, φ(ω) = ◦ ±180 , ha A < 0. Mindk´et karakterisztika p´arhuzamos a v´ızszintes tengellyel ´es nem f¨ uggenek a frekvenci´at´ol. Ha |A| > 1, akkor er˝os´ıt´esr˝ol besz´el¨ unk, ´es ekkor KdB > 0, ha |A| < 1, akkor csillap´ıt´asr´ol besz´el¨ unk, ´es ekkor KdB < 0. Mint ismeretes, egy negat´ıv sz´am Euler-alakja a k¨ovetkez˝o: −A = Aejπ , ez´ert lesz ebben az esetben a f´aziskarakterisztika ±180◦ . 2.) Az (ω0 /jω)r t´enyez˝onek megfelel˝o amplit´ ud´okarakterisztika-elem ´es f´aziskarakterisztika-elem a k¨ovetkez˝ok´epp hat´arozhat´o meg. Ez az elem fel´ırhat´o az (ω0 /ω)r (1/j)r alakban is, amelynek m´asodik tagja egys´egvektor, ´es csak a f´azisforgat´as´ert felel˝os, ugyanis 1/j = −j = e−jπ/2 , s ´ıgy (1/j)r = (−j)r = e−jrπ/2 , azaz ω 0 KdB (ω) = 20 r lg , φ(ω) = −r 90◦ , (10) ω
azaz az r ∈ Z eg´esz sz´amt´ol f¨ ugg˝oen ∓20dB/D meredeks´eg˝ u egyenest kapunk az amplit´ ud´okarakterisztik´aban, amely az ω = ω0 pontban metszi az abszcissz´at, mivel ekkor ω0 lg ω0 = lg1 = 0 (ha r > 0, akkor a meredeks´eg negat´ıv, ha r < 0, akkor a meredeks´eg pozit´ıv, hiszen ez a karakterisztikaelem ford´ıtottan ar´anyos az ω k¨orfrekvenci´aval). A ∓20dB/D meredeks´eg abb´ol fakad, hogy m´ıg az ω = ω0 helyen az amplit´ ud´okarakterisztika ´ert´eke 0dB, addig az 1 dek´addal nagyobb frekvenci´an (az ω = 10ω0 helyen) 20lg0, 1 = −20dB lesz (r = +1). A f´aziskarakterisztika pedig p´arhuzamos az ω tengellyel, ´ert´eke szint´en r ´ert´ek´et˝ol f¨ ugg. Ez a t´enyez˝o sok esetben nem szerepel. Ha ennek reciproka, azaz (jω/ω0)r szerepel a sz´aml´al´oban, akkor az el˝oz˝oek v´ızszintes tengelyre vett t¨ uk¨ork´epe lesz mindk´et karakterisztikaelem. Ezt u ´ gy lehet egyszer˝ uen bel´atni, hogy figyelembe vessz¨ uk, hogy r −r jω ω0 = , ω0 jω
´es az r mindk´et karakterisztikaelemben szorz´ok´ent szerepel, ami viszont el˝ojelet v´alt. 3.) Az els˝ofok´ u t´enyez˝o szerepelhet ak´ar a sz´aml´al´oban, ak´ar a nevez˝oben. Ha a nevez˝oben van, akkor mind az amplit´ ud´okarakterisztika, mind a f´aziskarakterisztika ,,lefel´e” t¨orik. Ez az egyszer˝ u k¨ozel´ıt´es onnan sz´armazik, hogy alacsony frekvenci´an (ω → 0) az els˝ofok´ u t´enyez˝o abszol´ ut ´ert´eke egyhez tart, melynek logaritmusa 0, magas frekvenci´akon (ω → ∞) pedig a t´enyez˝o nevez˝oje v´egtelenhez tart, s ´ıgy a t¨ort null´ahoz k¨ozel´ıt, amelynek logaritmusa −∞: lim p
ω→0
1 = 1, 1 + (ω/ωj )2
1 lim p = 0. 1 + (ω/ωj )2
ω→∞
A t¨or´esponti k¨orfrekvenci´an, √ azaz az ω = ωj k¨orfrekvenci´an√az els˝ofok´ u t´enyez˝o 1/(1 + j), amelynek abszol´ ut ´ert´eke 1/ 2, decibelben pedig 20 lg(1/ 2) ' −3dB. Ezt az ´ert´eket azonban null´anak vessz¨ uk, s ´ıgy ezen a k¨orfrekvenci´an lesz a legnagyobb elt´er´es a k¨ozel´ıt˝o karakterisztika ´es a val´odi karakterisztika k¨oz¨ott. Ez a pont az un. t¨or´espont, s ez´ert h´ıvj´ak
ezt az ´abr´azol´asi m´odot t¨or´espontos karakterisztik´anak. Enn´el egy dek´addal nagyobb k¨orfrekvenci´an az els˝ofok´ u t´enyez˝o 1/(1 + 10j) ' 1/(10j), amelynek abszol´ ut ´ert´eke 0, 1, decibelben kifejezve pedig pont −20dB. Ez´ert az ω > ωj k¨orfrekvenci´akon az egyenes meredeks´ege −20dB/D lesz. M´egegy dek´addal magasabb k¨orfrekvenci´an az els˝ofok´ u t´enyez˝o 1/(1 + 100j) ' 1/(100j), amelynek abszol´ ut ´ert´eke 0, 01, decibelben kifejezve pedig pont −40dB. A val´odi ´ert´ekt˝ol val´o elt´er´es egyre kisebb lesz ´es a h´ uzott egyenesek aszimptotikusan simulnak a val´odi g¨orb´ehez.8 A f´aziskarakterisztika ´ert´eke a t¨or´esponti k¨orfrekvenci´an az 1/(1 + j) komplex sz´amb´ol kiindulva pontosan −45◦ , egy dek´addal magasabb k¨orfrekvencian az 1/(1+10j) ' 1/(10j) = −j0, 1 k¨ozel´ıt´es miatt −90◦ , egy dek´addal kisebb k¨orfrekvenci´an pedig az 1/(1 + 0, 1j) ' 1 k¨ozel´ıt´es miatt 0◦ lesz a k¨ozel´ıt˝o f´aziskarakterisztika ´ert´eke. Ebb˝ol fakad a −45◦ /D meredeks´eg. A legnagyobb elt´er´es a val´odi g¨orb´ehez k´epest a 0◦ -os ´es a −90◦ -os t¨or´espontokn´al van.9 Ha az els˝ofok´ u tag a sz´aml´al´oban szerepel, akkor az amplit´ ud´okarakterisztika ,,felfel´e” t¨orik, szimmetrikusan az el˝obb elmondottakra. A f´aziskarakterisztik´at illet˝oen k´et eset lehets´eges. Ha negat´ıv el˝ojel szerepel a kifejez´esben (1 − ωjωi ), akkor a fentiekben elmondottak ´erv´enyesek, ellenkez˝o esetben pedig a f´aziskarakterisztika is ,,felfel´e” t¨orik. Megjegyezz¨ uk, hogy a sz´aml´al´oban az el˝obb eml´ıtett el˝ojel lehet pozit´ıv is, negat´ıv is. A nevez˝oben a stabilit´asi krit´erium teljes¨ ul´ese miatt azonban csak pozit´ıv el˝ojel szerepelhet.
4.
P´ elda
V´azoljuk fel az al´abbi ´atviteli karakterisztika Bode-diagramj´at: W =
Y 5(jω) + 1 = . (jω)2 + 4(jω) + 3 S
Megold´ as. Hozzuk az ´atviteli karakterisztik´at a k´ıv´ant gy¨okt´enyez˝os alakra. Sz´am´ıtsuk ki a nevez˝o gy¨okeit (ha a sz´aml´al´o is legal´abb m´asodfok´ u, akkor term´eszetesen azt is ilyen 2 alakra kell hozni): (jω) + 4jω + 3 = 0, ahonnan (jω)1 = −1, ´es (jω)2 = −3. Ezen ´ert´ekek mindig negat´ıvak kell legyenek, k¨ ul¨onben a rendszer nem gerjeszt´es-v´alasz stabilis. Az ´atviteli karakterisztika ´ıgy a k¨ovetkez˝o alakban ´ırhat´o fel: W =
5jω + 1 . (jω + 1)(jω + 3)
Mivel csak els˝ofok´ u t´enyez˝ok szerepelnek, ez´ert minden egyes elemnek 1+ ωjωi alak´ unak kell lenni, hiszen ezen alakokra l´eteznek egyszer˝ u t¨ortvonalas k¨ozel´ıt˝o g¨orb´ek. A sz´aml´al´ot ´at kell alak´ıtani u ´ gy, hogy 5 = 1/0, 2, a nevez˝o els˝o tagja rendben van, m´asodik tagj´ab´ol azonban ki kell emelni 3-at, teh´at jω
1 + 0,2 1 W = 3 (1 + jω )(1 + 1
jω . ) 3
1 1 1 P´eld´ aul az 1+10j = 0, 0995, decibelben pedig −20, 043 dB. Az 1+100j t¨ ort abszol´ ut ´ert´eke √1+10 t¨ ort 2 1 abszol´ ut ´ert´eke √1+1002 = 0, 0099, decibelben pedig −40, 000434 dB. 9 P´eld´ aul a 0, 1 ωj k¨orfrekvenci´an a f´ aziskarakterisztika ´ert´eke arc tg 0,1ω ω ' 5, 7106◦, s mi ezt a k¨ozel´ıt´es sor´an null´ anak vessz¨ uk. A legnagyobb elt´er´es teh´at kb. 5, 71◦. A 90◦ -os t¨ or´espontn´al ez az ´ ´ert´ek term´eszetesen ugyanennyi. Erdemes ezt is gyakorl´ask´epp kisz´ amolni. 8
Ez a v´egleges alak, amelyben szerepel egy konstans tag ´es h´arom els˝ofok´ u alak. A Bodediagram ´ıgy m´ar felv´azolhat´o a fenti ismeretek birtok´aban. Ez a k¨ovetkez˝ok´epp n´ez ki (a pontos g¨orbe ´es a t¨ortvonalas g¨orbe ¨osszehasonl´ıt´as´at l. a 3. ´abr´an, ahol a t¨ortvonalas g¨orb´et szaggatott vonallal ´abr´azoltuk): KdB (ω) 6 40
90◦
20
45◦ 0, 1
-20 -40
@ 1@ @@10
-
ω
@ @@ @ @@ @ @@ @ @@ @ @
-45◦ -90◦
φ(ω) 6
@ @ @ 0, 1@ @ 1 A 10 @ @ A @ @A @ @A @ @ @@ @
-
ω
Az amplit´ ud´okarakterisztik´aban a v´ızszintes vonal a 20lg 31 = −9, 542dB-n´el van, mindh´arom egyenes szakasz meredeks´ege azonos: 20dB/D (a megfelel˝o el˝ojellel). A f´aziskarakterisztik´aban az egyes egyenes szakaszok meredeks´ege ±45◦ /D. Miut´an megrajzoltuk az egyes alaptagoknak megfelel˝o karakterisztik´akat, azokat ¨ossze kell adni. Ezt u ´ gy c´elszer˝ u megtenni, hogy az egyes t¨or´espontokn´al pl. f¨ ugg˝oleges vonalat h´ uzunk ´es ´ıgy l´atjuk azt, hogy mikor t¨ort´enik v´altoz´as a karakterisztika menet´eben. Ezut´an adjuk ¨ossze k´et ilyen vonal k¨oz¨ott a meredeks´egeket ´es h´ uzzunk egy ilyen meredeks´eg˝ u egyenest a k¨ovetkez˝o bejel¨olt vonalig, azaz a k¨ovetkez˝o t¨or´espontig. Ezen f¨ ugg˝oleges egyeneseket az ´abr´an be is jel¨olt¨ uk. Az ´abr´akon kis n´egyzettel bejel¨olt¨ uk az W |ω=0,2 ´es W |ω=20 k¨orfrekvenci´an kisz´amolt ´atviteli egy¨ utthat´ok abszol´ ut ´ert´ek´et ´es f´azis´at:
azaz
W ω=0,2 =
5(j0, 2) + 1 , (j0, 2)2 + 4(j0, 2) + 3
1+j 1+j = . −0, 04 + j0, 8 + 3 2, 96 + j0, 8 K´et komplex sz´am oszt´as´at az Euler-alak seg´ıts´eg´evel c´elszer˝ u elv´egezni, mert ´ıgy az eredm´eny sz´amunkra kedvez˝o, hiszen az egy Euler-alak, amivel a k¨ovetkez˝o l´ep´esben u ´ gyis 10 szorz´ast kell elv´egezni: √ jπ/4 2e W ω=0,2 = = 0, 461ej0,521 , 3, 066 ej0,264 W ω=0,2 =
ami azt adja meg, hogy a v´alaszjel cs´ ucs´ert´eke a gerjeszt´es cs´ ucs´ert´ek´enek 0, 461-szerese, a v´alaszjel f´azisa pedig a gerjeszt´es f´azis´ahoz k´epest 0, 521rad sz¨oggel siet. Hasonl´ok´epp: W |ω=20 = 0, 046 − j0, 243. Ezek abszol´ ut ´ert´eke decibel egys´egben a k¨ovetkez˝o: 20lg0, 461 = −6, 726dB valamint 20lg0, 247 = −12, 146dB. Olvassuk le ezek ´ert´ek´et a diagramr´ol is. El˝obbi pont az els˝o 10
Ez term´eszetesen elv´egezhet˝o u ´ gy is, hogy a t¨ ortet beszorozzuk egy olyan t¨ orttel, amely sz´aml´al´oja is ´es nevez˝oje is megegyezik ezen t¨ ort nevez˝oj´enek komplex konjug´ altj´ aval.
t¨or´espontn´al tal´alhat´o, ´ert´eke a m´ar ismertetett 20lg 31 = −9, 542dB, s a k´et ´ert´ek k¨oz¨ott a maxim´alis elt´er´es tapasztalhat´o, ami kb. 3dB, a m´asik leolvashat´o ´ert´ek azonban el´eg pontosan meghat´arozhat´o a diagramb´ol. N´ezz¨ uk a radi´an egys´egben sz´am´ıtott f´azisok ´ert´ek´et: 0, 521 ´es −1, 372, amelyek rendre 29, 851◦-nak ´es −78, 609◦-nak felelnek meg. Az adatok kell˝o pontoss´aggal leolvashat´ok a g¨orb´ekr˝ ol, ha azokat pl. millim´eterpap´ıron szerkesztj¨ uk meg. 4.) A k¨ovetkez˝okben r¨oviden t´argyaljuk a m´asodfok´ u t´enyez˝ok ´abr´azol´asi m´odj´at, azaz a 1 Wl (jω) = 2 jω 1 + 2ξl ωl + ωjωl
jelleg˝ u karakterisztikaelem amplit´ ud´okarakterisztik´aj´at ´es f´aziskarakterisztik´aj´at. Ezt az 2
alakot akkor alkalmazzuk, amikor a nevez˝o (vagy Wk (jω) = 1 + 2ξk ωjωk + ωjωk esetben a sz´aml´al´o) polinomj´anak gy¨okei konjug´alt komplex p´art alkotnak, egy´ebk´ent az el˝obbiekben elmondott els˝ofok´ u karakterisztikaelemeket kell alkalmazni. Alacsony frekvenci´an (ω → 0) ennek ´ert´eke egy val´os sz´am, amely pontosan 1, decibel egys´egben pedig 0dB, ´es f´azisa 0◦ . Az ω = ωl k¨orfrekvenci´an a karakterisztika a k¨ovetkez˝o alakot ¨olti: 1 1 , = Wl (jωl ) = 2 j2ξl 1 − ωωll + j2ξl ωωll amelynek abszol´ ut ´ert´eke 1/(2ξl ) ´es f´azisa az 1/j t´enyez˝o miatt pontosan −90◦ . Ezen k¨orfrekvencia k¨ornyezet´eben a diagram alakja f¨ ugg a ξl ´ert´ek´et˝ol. Egy dek´addal magasabb frekvenci´an, azaz az ω = 10ωl k¨orfrekvenci´an azt kapjuk, hogy Wl (j10ωl ) =
1 1 ' , −99 + j20ξl −100
amelynek kb. −40dB-es csillap´ıt´as (az amplit´ ud´okarakterisztika ω > ωl eset´en −40dB/D ◦ meredeks´eg˝ u egyenessel k¨ozel´ıthet˝o), ´es −180 -os f´azis felel meg. N¨ovelve a k¨orfrekvenci´at, aszimptotikusan ezen g¨orb´ekhez simul´o ´ert´ekeket kapunk. A m´asodfok´ u karakterisztikaelem Bode-diagramja l´athat´o ξl k¨ ul¨onb¨oz˝o ´ert´ekei mellett a 4. ´abr´an. Az amplit´ ud´okarakterisztik´aba m´eg berajzoltuk a 0dB-es egyenest ´es a −40dB/D meredeks´eg˝ u aszimptot´at is, melyek az ωl k¨orfrekvenci´an metszik egym´ast. 20
10
ξ =0,1 ξ =0,2 ξ =0,3 ξ =1
0 0 φ(o)
KdB(ω)[dB]
90
ξ =0,1 ξ =0,2 ξ =0,3 ξ =1
-10 -90 -20
-30 0.1
1 10 ω[rad/s]
100
-180 0.1
1 10 ω[rad/s]
100
4. ´abra. A m´asodfok´ u karakterisztikaelem Bode-diagramja k¨ ul¨onb¨oz˝o ξl ´ert´ekek mellett rad (ωl = 2 s )
Ha ezen t´enyez˝o a sz´aml´al´oban szerepel, akkor az amplit´ ud´okarakterisztika az elmondottaknak pontosan a v´ızszintes tengelyre vett t¨ uk¨ork´epe, a f´aziskarakterisztika ξk > 0 eset´en az el˝obbiek t¨ uk¨ork´epe, ξk < 0 eset´en pedig az el˝obbiekkel megegyez˝oen alakul. Ut´obbi esettel a m´er´esen nem foglalkozunk.
5.
M´ er´ esi feladatok ´ ıtsa ¨ossze az 1. ´abr´an l´athat´o kapcsol´ast, R2 = 3, 3 kΩ, C2 = 68 nF. R1 ´es • All´ C1 ´ert´ek´et a m´er´es sor´an a m´er´esvezet˝o adja meg. Az ´ert´ekeket dek´ad seg´ıts´eg´evel kell be´all´ıtani. A bemenet egy hangfrekvenci´as gener´ator, a h´al´ozat bemenete ´es kimenete oszcilloszk´opra csatlakozik. • Vegye fel az ´ıgy kapott h´al´ozat Bode-f´ele amplit´ ud´okarakterisztik´aj´at ´es f´azismenet´et megfelel˝o sz´am´ u frekvenci´an ´es vesse ¨ossze a m´ert ´es a t¨ortvonalas sz´am´ıtott g¨orb´eket. Az eredm´enyeket t´abl´azatban foglalja ¨ossze ´es millim´eterpap´ıron ´abr´azolja (´ ugy, ahogy a 3. ´abr´an is l´athat´o)! Hol a legnagyobb a t¨ortvonalas k¨ozel´ıt´es hib´aja? Sz´am´ıtsa ki a hiba nagys´ag´at! • A bemenetre kapcsoljon most n´egysz¨ogjel gener´atort (f = 1 kHz), ´es legyen R2 = 3, 3 kΩ, C2 = 68 nF, R1 = 2, 2 kΩ, C1 pedig v´altoztathat´o. Vizsg´alja meg ´es millim´eterpap´ıron ´abr´azolja a bemenet ´es kimenet id˝of¨ uggv´eny´et az al´abbi h´arom esetben: ω0 = ωx , ω0 < ωx , ω0 > ωx . R¨oviden elemezze a kapott eredm´enyeket.
