Adrián Paenza Matematiko, jsi to ty?

Adrián Paenza Matematiko, jsi to ty?

adrián paenza

matematiko, jsi to ty? Čísla, osobnosti, problémy a zvláštnosti

Matemática… ¿Estás ahí? fue publicado originalmente en espaňol en 2005. Esta traducción por acuerdo con Siglo XXI Editores Argentina.

 

Kniha Matematiko, jsi to ty? byla poprvé publikována roku 2005 ve španělštině. Tento překlad je vydáván ve spolupráci s nakladatelstvím Siglo XXI Editores Argentina.

ISBN

P

978­80­87497­18­0

M

L

T

A

Copyright © drián aenza, 2005 ranslation © Denisa Kantnerová, 2010 Cover and layout © ucie rázová, 2010

O knize

Dobré knihy nám vydrží jeden den. Lepší vydrží jeden rok. A velmi dobré knihy vydrží mnoho let. Ale také existují knihy, které nás provázejí po celý život – a  ty jsou nepostradatelné. Tato kniha se řadí mezi ty, jež trvají po celý život – taková truhla s pokladem, která nás po otevření zavalí otázkami a záhadami, čísly tak velkými, že jsou až nekonečná (různě nekonečná), osobnostmi, s nimiž by se člověk chtěl setkat a popovídat si s nimi jako s přáteli. Adrián Paenza si nejen pokládá otázku, proč má matematika tak špatnou pověst – jeho hlavní starostí je nám přiblížit pátrání po vzorcích a  pravidelnostech a  daří se mu nás nakazit svým nezdolným nadšením pro věc. Paenza je zvědavý jako málokdo a  zahaluje nás universem, v němž kraluje věda, ale zároveň nezapomíná na přátele, záhady, vzdělání a příhody ze života zasvěceného počtům a výuce. Některé povídky jsou součástí příhod, jež autor předkládá v televizním cyklu Vědci v  argentinském průmyslu, což je možná část, na niž veřejnost, která se týden co týden snaží řešit úlohy s klobouky, ruletami nebo narozeninami, čeká nejvíce. Ale všechny příhody dohromady vytvářejí obšírné a  štědré universum, universum Adriána Paenzy, které díky této knize může pojmout další nadšence. Kniha nás provází novými končinami pomocí mnoha rozličně obtížných příkladů. A  tak se objevují zajímavosti, jež se dají číst lépe a pohodlněji, a zároveň kapitoly vyzývající čtenáře k odvážným úvahám a důkazům, jaké se někdy vyžadují přímo po studentech vědních oborů (některé kapitoly zahrnují témata z předmětů, jež sám Paenza

7

přednáší na Fakultě exaktních a  přírodních věd na Universidad de Buenos Aires. A tak zatímco budeme žasnout nad Paenzovým dobrodružstvím v zemi matematiky, budeme si zároveň jako čtenáři moci hrát na studenty věd před tabulí s  algebrou nebo matematickou analýzou. Matematiko, jsi to ty? Možná si „takové otázky pokládáte“, ale jisté je, že matematika je skutečně za každým rohem a ve všedním životě čeká na to, až ji objevíme. K tomu nyní máme výborného průvodce, který nás k pátrání přiměje. Tuto knížku o šíření vědy napsali vědci, kteří se domnívají, že je načase vystrčit hlavu z laboratoře a vyprávět o krásách, velikosti a nezdarech této profese. A přesně o to jde – vyprávět, podělit se o znalosti, jež by nakonec mohly přijít vniveč, kdyby zůstaly skryty. Diego Golombek

8

Tuto knihu věnuji svým rodičům Ernestovi a Frumě, kterým vděčím za vše. Své sestře Lauře. Neteřím a synovcům Loreně, Alejandrovi, Máximovi, Paule, Ignaciovi, Brendě, Miguelitovi, Sabině, Vivianě, Soledad, Maríovi Josému, Valentínovi, Gabrielovi, Maxovi, Jasonovi, Whitney, Amandě, Jonathanovi, Meagan a Chadovi. Carlosu Griguolovi. Památce tety Eleny, Miriam a Delie a také památce Guida Peskina, Leóna Najnudela, Mannyho Kreitera a Noemí Cuñové.

9

P o d ě k o vání Diegu Golombekovi – bez něho by tato kniha nevznikla. Claudiu Martínezovi – jako první na mě naléhal, abych příběhy z knihy vyprávěl v televizi, a povzbudil mě k tomu, abych to skutečně udělal. Svým studentům – právě oni mě naučili vyučovat a já jsem díky nim pochopil, co to znamená učit se. Děkuji svým přátelům, prostě proto, že jsou mými přáteli a mají mě rádi, což je pro mě nejpodstatnější. Carmen Sessové, Alicii Dickensteinové, Miguelu Herrerovi, Baldomeru Rubiovi Segoviovi, Eduardu Dubucovi, Carlosu D´Andreovi, Cristianu Czubarovi, Enzu Gentileovi, Ángelu Larotondovi a Luisi Santalóovi. Všem, kdo si přečetli rukopis (vlastně ne tak úplně rukopis), pustili se do něj a  tak se ho pokusili záchránit, jen nevím, zda se jim to podařilo – dík si zaslouží Gerardo Garbulsky, Alicia Dickensteinová a Carlos D´Andrea. Dále Marcelo Bielsa, Alberto Kornblihtt, Víctor Hugo Morales a Horacio Verbitsky za svůj etický postoj k životu. Díky nim je ze mě lepší člověk.

10

Velcí lidé hovoří o myšlenkách, průměrní lidé hovoří o věcech, malí lidé hovoří o… ostatních lidech.*

* Tuto větu jsem před lety zahlédl ve Spojených státech na zadním nárazníku jednoho z aut: „Great people talk about ideas, average people talk about things, small people talk… about other people.“

11

Ruka princezny

Pokaždé když mám promluvit o matematice k nematematicky založenému publiku, zvažuji, jak začít. Pořád stejně. Požádám o svolení a přečtu text od Pabla Amstera, vynikajícího matematika, hudebníka, odborníka na kabalu, který je navíc výjimečný člověk. Pablo tento příběh použil při matematickém semináři pořádaném pro skupinu studentů výtvarného umění v Buenos Aires. Jedná se o úžasný text, o nějž se chci s vámi podělit (s Pablovým souhlasem). Tady je. Jmenuje se „Ruka princezny“. Několik dílů jednoho známého českého animovaného seriálu vypráví o princezně, o jejíž ruku se uchází mnoho nápadníků. Ti mají za úkol princeznu přesvědčit o svých kvalitách – v několika epizodách jsou znázorněné nejrůznější vynalézavé pokusy o  svádění, které každý nápadník podnikne. Nápadníci s rozličnými jednoduchými nebo naopak ohromujícími pomůckami jeden po druhém předstupují před princeznu, ale žádný ji ani trochu nezaujme. Vzpomínám si například na jednoho, který jí předváděl déšť ze světel a hvězd; další se zase velkolepě vznášel a v prostoru prováděl různé pohyby. Nic. Na konci každé epizody se princezně zračí ve tváři naprosto netečný výraz. Teprve poslední, závěrečný díl seriálu poskytne nečekaný konec – v porovnání se zázraky, které princezně nabízeli jeho předchůdci, vytáhne po-

13

slední nápadník z pláště brýle a podá je princezně, aby si je vyzkoušela. Princezna si je nasadí, usměje se a podá mu ruku. *** Co se možných výkladů týče, je to příběh velmi přitažlivý a každá epizoda je sama o sobě velice krásná. Avšak teprve výsledné rozuzlení s sebou přináší pocit, že vše dopadne, jak má. Příběh vskutku zajímavě pracuje s napětím, které nás v jistém okamžiku dovede k domněnce, že princezna se nespokojí s ničím. Po jednotlivých epizodách, kdy nás už techniky nápadníků vyčerpávají, se na stále nespokojenou princeznu naštveme. Co čeká, že jí někdo předvede? A vtom se náhle objeví neznámý fakt – princeznu žádný z předváděných divů nenadchl proto, že je neviděla. Takže potíž byla v tomhle. Samozřejmě. Kdyby se v pohádce tato skutečnost naznačila dříve, její konec by nás nepřekvapil. Mohli bychom sice pořád obdivovat nádheru výjevů, ale dotyčné jinochy s různými dobyvatelskými pokusy bychom považovali za hloupé, jelikož my bychom věděli, že princezna je krátkozraká. Jenže když o tom nevíme, domníváme se, že za to můžou nápadníci, protože jak se zdá, nabízejí princezně příliš málo. Poslední nápadník ale už ví, že ostatní selhali, a tak se na celou situaci podívá z jiného úhlu. Podívá se na problém jinak. Takže pokud ještě nevíte (Pablo se zde obrací na své posluchače, studenty výtvarného umění), o čem bude tento seminář, možná budete překvapeni stejně jako v případě vyústění předešlého příběhu – budeme hovořit (a vlastně již hovoříme) o matematice. Povídání o  matematice totiž opravdu neznamená jen dokazovat Pythagorovu větu – znamená to také hovořit o lásce a vyprávět příběhy o  princeznách. I  v  matematice je krása. Jak řekl básník Fernando Pessoa: „Newtonova binomická věta je stejně krásná jako Venuše z Mélu; ale jen málokdo si toho všimne.“ Jen málokdo si toho všimne… Kvůli tomu ten příběh o princezně;

14

protože jak správně uhodne poslední nápadník, potíž je v tom, že „Nejzajímavější věci této země nejsou vidět“ (Henri Michaux, „Kouzelná země“). Sám jsem se mnohokrát ocitl v  kůži oněch prvních jinochů. A  tak jsem se vždycky snažil vysvětlovat nejkrásnější matematické otázky, ale musím přiznat, že mé zanícené pokusy se většinou nesetkaly s předpokládanou odezvou. Tentokrát se pokusím přiblížit skromnému jinochovi z poslední kapitoly. O matematice, kterou Whitehead nazval „nejoriginálnějším výtvorem lidského ducha“, se toho dá napovídat hodně. Kvůli tomu se koná tento seminář. Ale dnes i já na věci raději pohlížím jinak, a tak začínám povídkou. Projev Pabla Amstera přesně vystihl ústřední myšlenku této knihy. Jejím cílem je projít různé příběhy, svobodně přemýšlet, směle fantazírovat a zastavit se, jakmile člověk narazí na něco úchvatného. Ale zároveň taková místa vyhledávat. Nečekat, že přijdou sama. Tyto řádky si kladou za cíl následující: nadchnout, dojmout, přimět čtenáře, aby se zamiloval, a to buď do matematiky, nebo do některého neznámého příběhu. Doufám, že se mi to podaří.

15

Čísla

Ve l k á č í s l a Velká čísla? Ano. Velká. Těžko si je lze představit. Člověk kolem sebe slyší, že zahraniční zadlužení se pohybuje v  miliardách dolarů, že hvězdy na nebi jsou od Země vzdálené mnoho světelných let, že jedna molekula DNA obsahuje tři miliardy nukleotidů, že povrch Slunce dosahuje teploty šest tisíc stupňů Celsia atd. Každého, kdo právě čte tento odstavec, jistě napadnou i další příklady. Když se já sám ocitnu před takhle velkými čísly, obvykle je srovnávám a dávám si je do protikladu s něčím snáze představitelným. Na světě je víc než šest miliard lidí. Ve skutečnosti už nás je (v srpnu 2005) víc než šest miliard tři sta milionů. Zdá se to mnoho. Ale co je to vlastně mnoho? Uvidíme. Jaký je rozdíl mezi milionem a miliardou? (Kromě toho, že miliarda má o tři nuly víc.) Abychom se na tato čísla mohli podívat s odstupem, převeďme je na vteřiny. Třeba si představme, že v  jedné vesnici, kde se čas měří jen ve vteřinách, někoho obviní ze spáchání trestného činu. Před soudcem, který se případem zabývá, se spolu střetnou žalobce a  obhájce. Žalobce pro obviněného požaduje „miliardu vteřin odnětí svobody“. Obhájce jeho bláznivý návrh odmítne s  tím, že je ochoten přistoupit na „symbolických milion vteřin“. Soudce, který je zvyklý takto měřit čas, si je vědom, že jde o obrovský rozdíl. Chápete proč? Zamyslete se: milion vteřin je přibližně jedenáct a půl dne. Ovšem miliarda vteřin už znamená téměř… třicet dva let!

17

Tento příklad znázorňuje, že obecně nemáme moc dobré povědomí o tom, co čísla vyjadřují, a to dokonce ani v každodenním životě. Vraťme se k  tématu obyvatel Země. Jestliže nás je šest miliard, pak kdyby se fotografie každého z nás svázaly do jedné knihy, přičemž tloušťka jednoho listu by byla desetina milimetru, na jednu stranu by se vešlo deset lidí a každý list by se využil oboustranně…, kniha by byla vysoká celých třicet kilometrů! A kdyby si ke všemu chtěl fotografie někdo prohlédnout s tím, že na jednu stranu, tedy deset podobizen, by potřeboval jednu vteřinu a této činnosti by se věnoval šestnáct hodin denně, trvalo by mu dvacet osm a půl let, než by si je všechny prohlédl. A ještě než by dospěl ke konci, v roce 2033, kniha by se zatím rozrostla, jelikož by nás bylo o dvě miliardy víc, a tudíž by se zvětšila o celých deset kilometrů. Zamysleme se teď nad tím, kolik místa bychom potřebovali, kdybychom se všichni chtěli sejít. Stát Texas (s největší rozlohou ze států USA s výjimkou Aljašky) by mohl pojmout celou populaci. Je to tak. V Texasu se nachází asi čtyři sta dvacet tisíc kilometrů čtverečních obyvatelné plochy. A my, lidé, bychom se tak mohli všichni sejít v Texasu a každý z nás by měl k dispozici pozemek o velikosti sedmdesáti kilometrů čtverečních. To není špatné, vidťe? Teď se pojďme seřadit tak, aby každý z nás zabral dlaždici o délce strany třicet centimetrů, čili devět set centimetrů čtverečních. Takto by lidstvo vytvořilo řadu delší než milion šest set osmdesát tisíc kilometrů. A to by nám umožnilo se dvaačtyřicetkrát obtočit kolem rovníku. Co by se stalo, kdybychom se všichni chtěli stát filmovými herci a  natočili bychom film, v  němž by každý dostal svůj hvězdný okamžik? I kdyby se každý ve filmu mihnul jen patnáct vteřin (což by vyšlo na méně než sedm metrů filmu na člověka), potřebovali bychom celkem čtyřicet milionů kilometrů negativu. A kdyby pak někdo chtěl film vidět, musel by v kině prosedět dvacet tři milionů tři sta třicet tři tisíc tři sta třicet tři hodin, což dělá devět set sedmdesát dva tisíc dvě stě dvacet dva dní, čili asi dva tisíce šest set šedesát tři let. A to pouze

18

za předpokladu, že bychom nespali, nejedli a nic jiného celý život nedělali. Navrhuji, abychom se rozdělili, každý z nás zhlédne část filmu a pak se sejdeme a převyprávíme si nejlepší momenty.

Ví ce o v elký ch čí slech : váh a š ac h ovn ic e Uveďme ale i další příklad. Existuje jeden, jenž je znám všem, kteří se chtějí pochlubit ukázkou exponenciálního růstu a ohromit posluchače tím, že jim předvedou, jak čísla narůstají, co se týče… prostě jak exponenciálně rostou. Typickým příkladem jsou zrnka rýže, jimiž chce král odměnit svého poddaného za to, že mu zachránil život. Když mu poddaný řekne, že jediné, co si přeje, je, aby mu na jedno políčko šachovnice dal jedno zrnko rýže, dvě na druhé, čtyři na třetí, osm na čtvrté, šestnáct na páté, třicet dva na šesté a tak pořád dále, aby se počet zrníček rýže vždy zdvojnásobil, dokud nedojde na poslední políčko, král si uvědomí, že na to, aby vyhověl přání svého „zachránce“, nevystačí rýže z celého království (ale ani ze sousedních království). Pojďme si tento příklad trochu přiblížit dnešní době. Místo zrnek rýže vezmeme zlaté valouny o hmotnosti jednoho gramu. Je jisté, že pokud se král nakonec potýkal s rýží, se zlatem by dopadl daleko hůř. Teď se chci ale zeptat na něco trochu jiného – kdyby král mohl splnit, co se po něm žádalo, kolik by šachovnice vážila? Tedy za předpokladu, že by se na šachovnici dalo vysázet množství valounů, které určil poddaný, o kolik by šachovnice měla větší hmotnost? A za jak dlouho by se všechny valouny daly uložit do kapsy, kdyby na každý valoun připadala jedna vteřina? Jelikož má šachovnice šedesát čtyři políček, dostali bychom osmnáct trilionů valounů. Tady už jsou čísla opět jistě matoucí, protože člověk si vůbec nedokáže představit, jak vypadá „trilion“ čehosi. Porovnejme jej tedy s něčím bližším. Už jsme uvedli, že každý valoun váží jeden gram, a tak nás napadne: Kolik je trilion gramů?

19

Trilion gramů odpovídá jednomu bilionu tun. To nám ale moc nepomůže, protože kdo měl někdy jeden bilion něčeho? Taková hmotnost se rovná čtyřem miliardám Boeingů 777 se čtyřmi sty čtyřiceti cestujícími na palubě, s  posádkou a  palivem na dvacet hodin letu. Sice jsme o  něco pokročili, ale i  tak by se člověk mohl ptát, kolik vlastně jsou čtyři miliardy něčeho. A  jak dlouho by trvalo si valouny naskládat do kapsy, kdyby je člověk mohl ukládat extra rychlostí jeden valoun za sekundu? Trvalo by to opět trilion sekund. Ale kolik je trilion sekund? Jak si jej přiblížit? Stačí si představit, že bychom tím zabrali víc než sto miliard let. Nevím jak vy, ale já svůj čas hodlám strávit jinak.

A t omy ve ve s mí ru Jen pro zajímavost, abychom si ukázali další obrovské číslo, vezměte v potaz, že se ve vesmíru nachází odhadem 2300 atomů. Jestliže 210 je přibližně 103 , pak 2300 je asi 1090. A tohle všechno jsem napsal proto, abych mohl říci, že počet atomů ve vesmíru může být zapsaný číslem jedna s devadesáti nulami.

C o je světelný rok? Světelný rok je měřítkem vzdálenosti, nikoli času. Měří vzdálenost, kterou světlo urazí za jeden rok. Abychom si věc mohli lépe představit, řekněme, že rychlost světla je 300 000 kilometrů za sekundu. Když se toto číslo vynásobí 60 (převedeme je tak na minuty), vychází nám 18 000 000 kilometrů za minutu. A když se toto číslo opět vynásobí číslem 60, znamená to 1 080 000 000 kilometrů za hodinu (jedna miliarda osmdesát milionů kilometrů za hodinu). Když je vynásobíme číslem 24, vychází, že světlo urazilo 25 920 000 000 (25 miliard kilometrů za jeden den).

20

A  konečně, když toto číslo vynásobíme 365 dny, jeden světelný rok (tedy vzdálenost, kterou světlo urazí za jeden rok) je (přibližně) 9 460 000 000 000 (téměř devět a půl bilionu) kilometrů. Takže až se vás někdo zeptá, kolik je jeden světelný rok, můžete zasvěceně odpovědět, že se jedná o způsob měření vzdálenosti (sice veliké, ale pořád vzdálenosti) a že to je téměř devět a půl bilionu kilometrů. Docela dálka, viďte?

Zajímavá čísla Nyní bych rád dokázal, že všechna přirozená čísla jsou „zajímavá“. Nabízí se tak první otázka, co to vlastně znamená, když je nějaké číslo zajímavé? Řekněme, že se jím stane, pokud je něčím přitažlivé, něčím se liší od ostatních čísel, právem něčím vyniká, je nějak omezené nebo neobvyklé. Teď už snad všichni chápeme, co míním slovem zajímavý. A teď k důkazům. Číslo jedna je zajímavé, protože je první ze všech. Liší se tedy skutečností, že je nejmenší ze všech přirozených čísel. Číslo dvě je zajímavé hned z několika důvodů – je to první sudé číslo a také první prvočíslo*. Tyto dva argumenty úplně stačí k tomu, abychom ho mohli považovat za výjimečné. Číslo tři je zajímavé tím, že jde o první liché číslo, které je zároveň prvočíslem (stačí si vybrat jeden z mnoha možných důvodů). Číslo čtyři je zajímavé proto, že vyjadřuje mocninu čísla dvě. Číslo pět je zajímavé tím, že se jedná o  prvočíslo. A  tak bychom mohli pokračovat dál s vědomím, že pokud je nějaké číslo prvočíslem, už to pro něj znamená důležitou vlastnost, díky níž se liší od ostatních, a my ho tak můžeme považovat za zajímavé a nemusíme pátrat po dalších důkazech. Ale pojďme dál. Číslo šest je zajímavé proto, že jde o  první složené číslo (že tedy * Jak uvidíme dále, prvočísla jsou čísla dělitelná jen číslem jedna a sama sebou.

21

není prvočíslo), které není mocninou čísla dvě. Vzpomeňte si, že první složené číslo bylo číslo čtyři, ale to je mocnina čísla dvě. Číslo sedm je zajímavé a k tomu nám stačí tvrzení, že to je prvočíslo. A tak bychom mohli pokračovat. Já vám ale chci dokázat tohle: „Jakékoli celé kladné číslo… obsahuje vždy něco, co ho činí ‚zajímavým‘, ‚pozoruhodným‘ nebo ‚neobvyklým‘.“ Jak ale dokázat, že to platí pro všechna čísla, když jich je nekonečně mnoho? Předpokládejme, že by tomu tak nebylo. Tím pádem by existovala čísla, která nazveme nezajímavá. Tato čísla vložíme do jednoho pytle (předpokládejme, že pytel není prázdný). Takže budeme mít pytel plný nezajímavých čísel. A  uvidíme, že nás to dovede k rozporu. Jelikož pytel obsahuje jen přirozená čísla, tedy celá kladná, musí v něm existovat nějaký počáteční prvek. Tedy prvek nejmenší ze všech čísel v pytli. Jenže už jen tím by se první nezajímavé číslo změnilo v zajímavé. Lišilo by se totiž skutečností, že je prvním ze všech nezajímavých čísel, což je více než dostačující důvod, abychom ho mohli prohlásit zajímavým. Co vy na to? Chyba tedy vzešla z  domněnky, že existují nezajímavá čísla. A taková neexistují. Pytel (s nezajímavými čísly) nemůže obsahovat žádné prvky, protože pokud by tomu tak bylo, některý z nich by musel být první, takže číslo z pytle nezajímavých čísel by se stalo zajímavým. PONAUČENÍ: „Každé přirozené číslo JE zajímavé.“

J a k se stát p oradcem s   tro chou matema t i k y Člověk se může tvářit jako věštec nebo jako ten, kdo umí předpovídat budoucnost či předvídat události na burze cenných papírů: stačí jen využít rychlosti, jíž narůstají mocniny nějakého čísla. Jde o velmi zajímavý příklad. Představme si, že máme k dispozici údaje 128 000 lidí. (Kdyby nastaly nějaké pochybnosti, nemyslete si,

22

že jich je nějak moc, jelikož většina velkých společností takové údaje má k dispozici, nakupují je a nebo si je zjistí.) Já vás chci však přimět k zamyšlení nad něčím jiným, kdy bychom si vystačili i s menším číslem, výsledek by ale zůstal stejný. Představme si, že si někdo vybere akcii nebo komoditu, jejíž cenu udá na burze. Pro lepší představu dejme tomu, že si zvolí cenu zlata. Také předpokládejme, že si někdy v neděli odpoledne sednete k počítači. Vyhledáte si databázi a vyberete si e-mailové adresy všech lidí, kteří v  ní figurují. Pak pošlete polovině z  nich (64  000 lidí) e-mail s informací, že cena zlata má následující den (v pondělí) stoupnout. A druhé polovině zašlete e-mail s opačnou informací – že cena zlata klesne. (Z důvodů, které si objasníme v průběhu tohoto příkladu, ponechme stranou případy, v nichž cena zlata zůstane konstantní při otevření a zavření burzy.) Nastane pondělí a na konci dne cena zlata buď stoupne, nebo klesne. Pokud stoupla, existuje 64  000 lidí, kteří od vás dostali e-mail s informací o nárůstu ceny zlata. Jistě, co je na tom. Uhodnout, co se jeden den stane se zlatem, přece není tak podstatné. Ale pokračujme – v pondělí večer vyberete polovinu (32  000) ze 64  000 lidí, kteří od vás dostali první e-mail s tím, že cena zlata stoupne, a oznámíte jim, že v úterý opět stoupne. A druhé polovině, tedy dalším 32 000 lidí, pošlete e-mail se sdělením, že cena zlata klesne. V úterý večer si budete moci být jisti, že existuje 32 000 lidí, kterým jste správně předpověděli nejen, jak to dopadne v úterý, ale také v pondělí. A teď celý postup zopakujte. Opět lidi rozdělte na polovinu, 16 000 lidí napište, že cena stoupne, a ostatním 16 000, že klesne. Ve středu vám „vyjde“ 16 000 lidí, kterým jste oznámili, jak si zlato bude stát v pondělí, v úterý i ve středu. A ve všech třech případech (u této skupiny) jste se trefili. Zopakujte to ještě jednou. Ve čtvrtek večer tak budete mít 8000 lidí, pro které jste cenu uhodli čtyřikrát. A  v  pátek večer jich budou  4000. Teď se zamyslete – v  pátek večer existují 4000 lidí, kteří

23

vědí, že jste každý den dokázali bezchybně předpovědět cenu zlata. Příští týden byste v tom jistě mohli pokračovat a mít 2000 lidí v pondělí, 1000 v úterý, a pro představu, jak by to pokračovalo, byste druhý týden ve středu dostali 500 lidí, kterým jste celých deset dní, den za dnem prozradili, co se stane s cenou zlata. Kdybyste někoho z  nich požádali, aby vás zaměstnal jako svého poradce, a platil by vám třeba tisíc dolarů ročně (úmyslně neuvádím měsíčně, přeci jen jsem skromný člověk…), myslíte, že by vašich služeb nevyužil? Pamatujte, že jste se trefili deset dní za sebou. Když začnete s větší či menší databází, nebo se předtím spokojíte s rozesíláním elektronické pošty, můžete si takhle vytvořit skupinu lidí, kteří vám nebo vašim předpovědím budou věřit. A ještě si něco vyděláte.*

H i l b ertův hotel Na nekonečných množinách je vždy něco přitažlivého – pokoušejí naši intuici. Představme si, že by na světě bylo nekonečně mnoho lidí. A  také že by někde ve městě stál hotel s  nekonečně mnoha pokoji. Všechny pokoje jsou očíslované a na každý z nich připadá jedno přirozené číslo. První pokoj tedy nese číslo 1, druhý 2, třetí 3 atd. Což znamená, že na každém pokoji je štítek s jakýmsi identifikačním číslem. Teď si představme, že všechny pokoje jsou obsazené jen jedním člověkem. V  jistém okamžiku do hotelu dorazí zjevně velmi unavený pán. Je už pozdě a jeho jediným přáním je rychle vyřídit všechny formality, aby si mohl jít lehnout. Když mu recepční sdělí: „Bohužel teď * Záměrně jsem vyloučil případ, kdy cena zlata zůstane celý den stejná, protože pro tento příklad to není podstatné. Někomu byste mohli vzkázat, že cena vzroste nebo zůstane stejná, a  dalšímu, že klesne nebo zůstane stejná. Pokud se cena nehne, zopakujte postup dělení dvěma. Je to stejné, jako by tento den ani neexistoval. Na druhou stranu, jestli se vám podaří získat databázi více než 128 000 osob, jen do toho. Za deset dní tak získáte více klientů.

24

nemáme k dispozici žádný volný pokoj, všechny jsou obsazené,“ nově příchozí tomu nemůže uvěřit. A tak se zeptá: „Ale jak to… Cožpak nemáte nekonečně mnoho pokojů? „Ale ano,“ odpoví recepční. „Tak jak je možné, že žádný není volný?“ „Je to tak, pane. Všechny jsou obsazené.“ „Podívejte se. Vždyť mi tu říkáte nesmysly. Pokud nevíte, jak situaci vyřešit, já vám pomůžu.“ A teď by se hodilo, abyste se sami zamysleli nad odpovědí. Může být odpověď recepčního „nemáme volný pokoj“ správná, když má hotel nekonečně mnoho pokojů? Napadá vás nějaké řešení? Tady je: „Takže,“ pokračoval návštěvník, „zavolejte hostu z  pokoje číslo 1 a povězte mu, aby se přestěhoval do pokoje číslo 2. Tomu, kdo bydlí v čísle 2, řekněte, aby šel do čísla 3. A člověku z čísla 3, aby se přesunul do čísla 4. A tak pořád dál. Takhle budou mít dál všichni jeden pokoj ‚pro sebe‘ (jako tomu bylo doposud), s tím rozdílem, že se vám teď jeden pokoj uvolní – číslo 1.“ Recepční se na něj nevěřícně podíval, ale pochopil, co mu návštěvník chce sdělit. A problém byl vyřešen. A teď k dalším příkladům: a) Co když místo jednoho hosta přijdou dva? Co se stane? Dá se tato situace vyřešit? b) A kdyby jich místo dvou dorazilo sto? c) Jak vyřešit případ, v němž by v noci nečekaně přišlo n příchozích (přičemž n je libovolné číslo)? Má tento příklad vždy řešení, nezávisle na počtu osob shánějících nocleh? d) A kdyby dorazilo nekonečně mnoho lidí? Co by se stalo? Odpovědi naleznete v kapitole Řešení.

25

O p akujte se mnou: N u l ou se neděl í! Představte si, že vstoupíte do obchodu, kde všechno stojí tisíc pesos. Vy máte u  sebe přesně tuto částku – tisíc pesos. A  kdybych se vás zeptal, kolik výrobků si můžete koupit? Myslím, že odpověď je jasná – jen jeden. Kdyby ale v obchodě stálo všechno 500 pesos, pak byste si za tisíc pesos, která máte u sebe, mohli koupit výrobky dva. Počkat. Nemyslete si, že jsem se zbláznil (to se mi už přihodilo dřív). Sledujte mou úvahu. Kdyby každý výrobek v  obchodě stál jen jedno peso, za tisíc pesos byste si mohli koupit přesně tisíc věcí. Jak je vidět, s poklesem ceny se zvyšuje počet předmětů, které si můžete zakoupit. Když takto půjdeme dále, kdyby každá věc stála deset centů, za tisíc pesos byste si mohli nakoupit deset tisíc kusů zboží. A kdyby všechno stálo jeden cent, pak by vám peníze vystačily na sto tisíc věcí. Takže čím je zboží levnější, tím víc si ho můžete nakoupit. Počet výrobků narůstá podle přání, pokud se člověku ovšem podaří, aby byly pokaždé levnější. Co kdyby ale všechno bylo zadarmo? Tedy že by zboží nic nestálo? Kolik věcí byste si mohli odnést? Zamyslete se nad tím. Všimněte si, že kdyby zboží v obchodu nestálo nic, pak je jedno, jestli máte tisíc pesos, nebo ne, protože byste si mohli odnést všechno. Za tohoto předpokladu by se dalo říci, že nemá smysl „rozdělit“ tisíc pesos na „věci, které nic nestojí“. Vlastně vás chci přimět k tomu, abyste spolu se mnou došli k závěru, že nemá smysl dělit nulou. Pro bližší prozkoumání právě představeného jevu si seřaďme podle ceny počet výrobků, které si můžeme koupit. Cena jednoho výrobku

26

$ 1000  $ 500  $ 100  $ 10 

Kusů zboží za tisíc pesos 1 2 10 100



$ 1  $ 0,1 $ 0,01

1000 10 000 100 000

Čím více klesá cena, tím více narůstá množství výrobků, které si můžeme koupit za původních tisíc pesos. Kdybychom cenu dále snižovali, počet na pravé straně by se zvyšoval…, ale kdybychom došli k bodu, na němž by cena za kus zboží byla nulová, pak by na pravé straně vyšlo… nekonečno. Mohli bychom si tedy odnést všechno. PONAUČENÍ: Nulou se nedělí. Opakujte se mnou: Nulou se nedělí! Nulou se nedělí!

1 = 2 Předpokládejme, že máme dvě libovolná čísla: a a b. Předpokládejme také, že: a = b Sledujte mou úvahu. Pokud vynásobíme oba členy pomocí a, dostaneme: a2 = ab Nyní ke každému členu přičteme a2 – 2ab. Pak nám vyjde rovnice: a2 + (a2 – 2ab) = ab + (a2 – 2ab) Po sloučení tedy: 2a2 – 2ab = a2 – ab

27

Pokud z každého členu vytkneme stejného činitele: 2a (a – b) = a (a – b) Pokud zjednodušíme každou stranu o a – b, dostaneme: 2a = a Pokud nyní vykrátíme a na každé straně, dostaneme: 2=1 Kde se stala chyba? Přece tam nějaká musí být, že? Možná už vás řešení napadlo. Možná ještě ne. Navrhuji, abyste si pozorně pročetli každý krok a zkusili sami přijít na to, kde je chyba. Odpověď každopádně naleznete v kapitole Řešení.

P r o blém 3x + 1 Podívejme se společně na jeden příklad. Pochopitelně, nestojím vám po boku (tedy tam, kde se nacházíte při čtení této knihy) a ani vy tady nejste se mnou („tady“ znamená místo, kde jsem já, u  počítače, na kterém píšu tyto řádky). Ale zanechme už zbytečných řečí a pojďte sledovat mou úvahu. Sestavme si společně řadu přirozených čísel (celých a  kladných) podle tohoto pravidla – začneme libovolným číslem. Dejme tomu, že si zvolíme číslo 7. Bude prvním členem naší řady. Druhý člen získáme takto: pokud je první člen sudý, vydělíme ho dvěma. Pokud je však lichý, vynásobíme ho číslem 3 a  přičteme 1. Pokud jsme si pro náš příklad vybrali číslo 7, které není sudé, musíme ho tedy vynásobit číslem 3 a přičíst k němu 1. Získáme tak číslo 22, jelikož 3 x 7 = 21, a když přičteme jedničku, dostaneme číslo 22.

28

Máme tedy první dva členy naší řady: 7, 22. Třetí člen dostaneme tak, že vydělíme číslo 22, tedy sudé číslo, dvěma, a vyjde nám 11. Nyní tedy máme 7, 22, 11. Jelikož číslo 11 je liché, pravidlo říká: „vynásobte číslem 3 a přičtěte 1“. Tedy 34. Máme 7, 22, 11, 34. Číslo 34 je sudé, a tak se dalším členem naší řady stane 17. A dále 52. Potom 26. A pak 13. Následuje číslo 40. Poté 20. Doposud tedy máme 7, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20 a  budeme-li pořád dělit sudá čísla dvěma a  lichá násobit třemi a  přičítat k  nim jedničku, dostaneme: 7, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1 A u čísla 1 se zastavíme. Pojďme si teď úkon vyzkoušet s nějakým jiným počátečním číslem, třeba 24. Dostaneme tuto řadu: 24, 12, 6, 3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1 Když začneme číslem 100, vychází: 100, 50, 25, 76, 38, 19, 58, 29, 88, 44, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1 Jak je vidět, všechny vybrané řady končí číslem jedna. Sice jsem to zde dříve neuvedl, ale ve skutečnosti se celý postup zastaví u čísla 1, protože kdybychom pokračovali, dostali bychom se do jakési smyčky nebo kruhu, jelikož z čísla 1 bychom se dostali na 4, z něj na 2 a z čísla 2 opět k 1. Proto postup zastavíme u čísla 1. Doposud, tedy do srpna roku 2005, jsou všechny známé případy těchto číselných řad zakončené číslem 1. Ale neexistuje žádný důkaz, který by potvrdil, že toto řešení platí pro každé počáteční číslo.

29

Tento problém je známý pod označením 3x + 1 nebo také jako „Collatzův problém“, „Syrakuský problém“, „Kakutaniho problém“, „Hasseův algoritmus“ nebo „Ulamův problém“. Jak je vidět, názvů má mnoho, ale řešení žádné. To je dobrý začátek. Každopádně bych si zde dovolil podotknout, že je málo pravděpodobné, že laik bude mít k rozřešení tohoto problému dostatečné prostředky. Odhaduje se, že na světě je jen asi dvacet lidí, kteří jsou schopni danou úlohu „napadnout“. Ale jak jsem už na jiném místě v této knize uvedl, neznamená to, že někdo z  vás, někde na naší planetě, s  větší či menší matematickou průpravou, by nemohl přijít na nějaký nápad, který dosud nikoho nenapadl, a úkol by tak vyřešil někdo mimo tuto výjimečnou dvacítku. Problém, o kterém jste se teď dočetli, je zaznamenaný na dlouhém seznamu nevyřešených matematických sporných otázek. V  jiných vědních oborech je to přijatelné. Pro představu, například medicína se ještě neumí vypořádat s některými typy rakoviny nebo s Alzheimerovou chorobou. Fyzika ještě nepřišla na „teorii“, která by sloučila makro- a mikro-, ani nezná všechny elementární prvky. Biologie nezná funkci všech genů ani jejich počet. A  vy sami byste jistě mohli doložit další a další příklady. Jak jsem již řekl, matematika má vlastní seznam.

N a ko l ik r át s e dá přeloži t papí r? Předpokládejme, že máme tenoulinký list papíru, takový, na kterém se běžně tiskne bible. V  některých zemích je tento papír dokonce známý jako „biblický papír“. Ve skutečnosti ale vypadá jako papír „z hedvábí“. Abychom si sjednotili pojmy, řekněme, že jeho tloušťka je jedna tisícina centimetru. Tedy 10-3 cm = 0,001 cm. Předpokládejme také, že list papíru je velký asi jako noviny. A teď ho přeložíme na polovinu.

30

Nakolikrát se dá přeložit, co myslíte? A ještě jeden dotaz: kdybyste si ho mohli podle libosti naněkolikrát poskládat, třeba třicetkrát, jak tlustý papír byste nakonec drželi v rukou? Než budete číst dál, navrhuji, abyste se nejprve na chvíli zamysleli nad odpovědí a teprve pak pokračovali (tedy jestli chcete). Vraťme se k našemu příkladu. Po jednom přeložení bychom získali papír o tloušťce dvě tisíciny centimetru. Kdybychom ho opět přeložili, tloušťka by dělala čtyři tisíciny centimetru. Po každém přeložení papíru se jeho tloušťka zvojnásobí. A když budeme papír skládat pořád dál (vždy na polovinu), po deseti přeloženích bychom dostali: 210 (což znamená vynásobit číslo 2 desetkrát jím samým) = 1 024 tisícin cm = přibližně 1 cm. Co to znamená? Kdyby člověk desetkrát (10 x) přeložil list papíru, dostali bychom tloušťku lehce nad jeden centimetr. Předpokládejme, že bychom pokračovali ve skládání papíru, vždy na polovinu. Co by se stalo? Kdybychom ho přeložili sedmnáctkrát, dostali bychom tloušťku: 217 = 131 072 tisícin cm = něco přes jeden metr. Kdybychom ho mohli přeložit sedmadvacetkrát, vyšlo by nám: 227 = 134 217 728 tisícin cm, čili něco přes 1342 metrů! Takže skoro jeden a půl kilometru! Na chvilku se nad tím zamysleme: když přeložíme papír, třeba tak tenoulinký jako papír z bible, jen sedmadvacetkrát, jeho tloušťka dosáhne téměř jednoho a půl kilometru.

Co je víc? 37 % ze 78, neb o 7 8 % z e 3 7 ? Obecně vzato je nápad hodnotnější než samotné počítání. Vložit se do nějakého problému pomocí „hrubé síly“ tedy není vždy žádoucí. Například kdyby někomu z vás položili otázku, jestli je víc 37 % ze 78, nebo 78 % ze 37.

31

Člověk si samo sebou může množství vypočítat a dobrat se k výsledku, ale nyní jde o to se rozhodnout bez počítání. Nápad spočívá v tom, že chceme-li získat 37 % ze 78, musíme 37 vynásobit 78 a pak vydělit 100. Nepočítejte se s tím. Není třeba. Úplně stejně, pokud chceme dostat 78 % ze 37, musíme vynásobit 78 číslem 37 a pak vydělit 100. Jak je vidět, postup je totožný, jelikož jde o komutativní násobení. Jak jste už jistě mnohokrát slyšeli, hodnota součinu nezáleží na pořadí činitelů. Nezávisle na výsledku (který je nakonec 28,86), je to vlastně jedno. Čísla jsou shodná.

B i n ární karty Zamyslete se nad touto skutečností – nezáleží na tom, jestli mluvíte anglicky, německy, francouzsky, portugalsky, dánsky, švédsky… Když napíšete: 153 + 278 = 431 rozumí tomu všichni, ať už žijí v Anglii, nebo ve Spojených státech, Německu, Francii, Portugalsku, Brazílii, nebo Dánsku (jen pro ilustraci několik zemí s různými jazyky). Znamená to, že jazyk čísel je „univerzálnější“ než jazyk všech možných řečí. Přesahuje ho. Dohodli jsme se totiž (nevědomky) na tom, že čísla jsou „posvátná“. Ovšem, ne nijak zvlášť, ale chci tím říci, že existují určité konvence (a čísla takovou konvencí samozřejmě jsou) přesahující dávné komunikační dohody. Evropa si dala na čas více než čtyři sta let, než přijala arabské číslice (tedy dnes používaná čísla) a změnila systém, který do té doby používala (římské číslice). V Evropě je jako první zavedl věhlasný Fibonacci, a sice někdy kolem roku 1220. Fibonacci, kterého jeho italský otec ještě jako malého chlapce odvezl na sever Afriky, zcela jasně pochopil, že je třeba používat mnohem vhodnější číslice. I když o výhodách no-

32

vých číslic nebylo pochyb, tehdejší obchodníci se zasloužili o to, aby jejich zavedení zabránili, protože by jim znemožnilo, aby podváděli ve výpočtech. Mimochodem, Římané neznali nulu. Obtížnost počítání by se dala shrnout tím, co napsal Juan Enríquez ve své knize As the Future Catches You: „Zkuste si vynásobit 436 číslem 618 v římských číslicích a pak mi povíte, jaké to bylo.“ Dobrá tedy. Když člověk napíše číslo: 2 735 896 ve skutečnosti zkracuje či zjednodušuje tuto početní operaci: a) 2 000 000 + 700 000 + 30 000 + 5 000 + 800 + 90 + 6 Člověk si samozřejmě neuvědomuje, že něco takového dělá (a ani si to uvědomovat nemusí). Ale tento záznam je vlastně jakási „dohoda“, podle níž v podstatě můžeme „zkrátit“ vše, co píšeme v řadě a). Jinak by to bylo jako psát: b) 2 . 106 + 7 . 105 + 3 . 104 + 5 . 103 + 8 . 102 + 9 . 101 + 6 . 100 za předpokladu konvence 100 = 1 Přesně to jsme se učili na základní škole, když nám paní učitelka říkala „jednotky milionu“, „stovky tisíc“, „desítky tisíc“, „jednotky tisíce“, „stovky“, „desítky“ a „jednotky“, jen takhle suše. Člověk pak už tohle názvosloví nikdy nepoužil a ani to nepotřeboval. Je ale zajímavé, že když chceme zapsat čísla tak, jak je píšeme, potřebujeme sdělit například kolik desítek tisíc, kolik jednotek tisíce, kolik stovek atd. Kvůli tomu potřebujeme čísla, která jsem v rovnici b) zapsal „tučně“ a  o  něco větší. Tato čísla nazýváme číslicemi, kterých je, jak asi každý ví, celkem deset:

33

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, a 9 Představme si, že bychom počítali jen s číslicemi 0 a 1. Jak s nimi zapsat nějaké číslo? Když budeme postupovat stejnou logikou, jako bychom měli všech deset číslic, použijeme nejprve každou z nich zvlášť. Takže použijeme 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Když dojdeme až sem, číslice už nemůžeme použít samostatně. Musíme je nakombinovat. Nyní tedy potřebujeme dvě číslice. A začneme číslem 10. Následuje 11, 12, 13, 14, … 19, … (tady je potřeba začít další číslicí) a dostaneme 20, 21, 22, 23, … 29, 30, … atd., dokud nedojdeme k 97, 98, 99. V tomto bodě jsme již vyčerpali všechny možnosti zápisu dvoumístných čísel. A  díky nim jsme zde vyčetli první stovku (jelikož jsme začali číslem 0. Do čísla 99 jich je tedy přesně 100). Co teď? Potřebujeme tři číslice (které nezačínají nulou, protože jinak by se vlastně jednalo o  skrytá dvoumístná čísla). Začneme tedy 100, 101, 102, … atd. Až dosáhneme tisíce, budeme potřebovat čtyři číslice. A  tak pořád dál. Což znamená, že jakmile jednou vyčerpáme všechna možná čísla, která můžeme zaznamenat jednou číslicí, přejdeme na dvě číslice. Když vyčerpáme možnosti dvoumístných čísel, přejdeme na trojmístná. A poté na čtyřmístná. A tak pořád dál. Když máme jen dvě číslice, tedy 0 a 1, jak to uděláme? Nejprve je použijeme samostatně: 0=0 1=1 Teď musíme přejít ke druhému případu, tedy k použití dvou číslic (pro zapsání čísla dvě kupodivu potřebujeme použít dvě číslice): 10 = 2 11 = 3

34

A zde jsme již vyčerpali možnosti dvoumístných čísel. Potřebujeme více číslic: 100 = 4 101 = 5 110 = 6 111 = 7 A nyní přidáme další, abychom mohli pokračovat: 1 000 = 8 1 001 = 9 1 010 = 10 1 011 = 11 1 100 = 12 1 101 = 13 1 110 = 14 1 111 = 15 A ještě zaznamenám jeden krok: 10 000 = 16 10 001 = 17 10 010 = 18 10 011 = 19 10 100 = 20 10 101 = 21 10 110 = 22 10 111 = 23 11 000 = 24 11 001 = 25 11 010 = 26 11 011 = 27

35

11 100 = 28 11 101 = 29 11 110 = 30 11 111 = 31 Teď už vás nechám na pokoji. Ale je jasné, že pro zapsání čísla 32 musíte přidat jednu číslici a použít číslo 100 000. Je pozoruhodné, že jakékoli číslo je možné zaznamenat jen dvěma číslicemi. Čísla jsou ale teď zapsána v  mocninách čísla 2, stejně jako jsme je předtím zapsali v mocninách čísla 10. Podívejme se na několik příkladů: a) 111 = 1 . 22 + 1 . 21 + 1 . 20 = 7 b) 1 010 = 1 . 23 + 0 . 22 + 1 . 21 + 0 . 20 = 10 c) 1 100 = 1 . 23 + 1 . 22 + 0 . 21 + 0 . 20 = 12 d) 110 101 = 1 . 25 + 1 . 24 + 0 . 23 + 1 . 22 + 0 . 21 + 1 . 20 = 53 e) 10 101 010 = 1 . 27 + 0 . 26 + 1 . 25 + 0 . 24 + 1 . 23 + 0 . 22 + 1 . 21 + + 0 . 20 = 170 (Zajímavý je fakt, že všechna sudá čísla končí nulou a všechna lichá čísla zase jedničkou.) A tady už je myslím jasné, co je třeba udělat, aby člověk „odhalil“, o jaké číslo z „desítkové“ soustavy se jedná, když je zapsané v „binárním tvaru“ (nazývá se binární – dvojkový, protože se používají jen dvě číslice: 0 a 1). Je také důležité si uvědomit, že jelikož se používají „jen“ číslice 0 a 1, které násobí mocniny čísla dvě, mohou nastat pouze dva případy: mocnina buď bude, nebo nebude obsažena v zápisu čísla. Například zápis čísla 6 (110) obsahuje mocniny 22 a 21, jelikož 20, které předchází 21, napovídá, že tato mocnina se neobjevuje. A přesně to je „tajemství“, které nám umožní objasnit záhadu „binárních karet“, jež naleznete v příloze knihy. Poproste někoho, aby si zvolil jakékoli číslo mezi 0 a  255. Zároveň dotyčného požádejte,

36

aby vám číslo neříkal – jen ať si je myslí. Pak mu dejte binární karty, jež jsou součástí knihy. A zeptejte se: „Ve kterých kartách se nachází vybrané číslo?“ Dotyčný si každou kartu prohlédne a vybere, o co jste ho požádali. Pokud si třeba zvolil číslo 170, odevzdá vám karty, které mají v levém horním rohu čísla: 128, 32, 8 a 2. Když tato čísla sečtete, dostanete číslo 170. A uhodnete je, přestože vám dotyčný číslo neprozradil. Takhle na ně přijdete! Jak je možné, že postup funguje? Protože jakmile si dotyčný vybere karty, v nichž je zapsáno číslo, které si myslí, sděluje nám tak (samozřejmě nevědomky), kde se v binárním zápisu zvoleného čísla nacházejí jedničky. A kdyby si člověk zvolil číslo 170 a měl ho zapsat binárně, bylo by to: 10 101 010 což je totéž jako: 10 101 010 = 1 . 27 + 0 . 26 + 1 . 25 + 0 . 24 + 1 . 23 + 0 . 22 + 1 . 21 + + 0 . 20 = 170 Proto výsledek při výběru karet vychází stejně, jako by si „vybíral jedničky“. Karty, které dotyčnému zůstanou, naopak obsahují nuly. A konečně, jak vlastně zaznamenat libovolné číslo v binárním tvaru? Když například máme číslo 143, jak ho zapíšeme? (Je důležité se řešení naučit, protože jinak bychom museli seznam psát číslo po čísle až do 143.) Dělá se to tak, že se číslo 143 vydělí číslem 2. A výsledek se opět vydělí číslem 2. A tak pořád dál až k výslednému podílu, 0 nebo 1. V tomto případě tedy: 143 = 71 . 2 + 1

37

Zde podíl vychází 71 a zbývá 1. Pojďme dál. Nyní vydělíme 71 číslem 2. 71 = 35 . 2 + 1 Nyní je podíl 35. Zbývá nám číslo 1. Číslo 35 vydělíme dvěma. 35 = 17 . 2 + 1 (podíl 17, zbytek 1) 17 = 8 . 2 + 1 (podíl 8, zbytek 1) 8 = 4 . 2 + 0 (podíl 4, zbytek 0) 4 = 2 . 2 + 0 (podíl 2, zbytek 0) 2 = 1 . 2 + 0 (podíl 1, zbytek 0) 1 = 0 . 2 + 1 (podíl 0, zbytek 1) Tady příběh končí. Teď se jen sečtou všechny zbytky dělení a  ty se zapíší v pořadí od posledního k prvnímu: 10 001 111 1 . 27 + 0 . 26 + 0 . 25 + 0 . 24 + 1 . 23 + 1 . 22 + 1 . 21 + 1 . 20 = = 128 + 8 + 4 + 2 + 1 = 143 Nyní se můžete procvičit na jiných číslech. Uvedu ještě pár příkladů: 82 = 41 . 2 + 0 41 = 20 . 2 + 1 20 = 10 . 2 + 0 10 = 5 . 2 + 0 5=2.2+1 2=1.2+0 1=0.2+1

38

Potom je to: 82 = 1 010 010 = 1 . 26 + 0 . 25 + 1 . 24 + 0 . 23 + 0 . 22 + 1 . 21 + 0 . 20 = = 64 + 16 + 2 (výsledné číslo jsme získali zápisem od posledního zbytku dělení směrem k prvnímu). Skutečně si úlohu sami vyzkoušejte a přesvědčte se, že funguje (daleko zajímavější je totiž zjistit, že platí pro jakékoli číslo). Poslední příklad: 1 357 = 678 . 2 + 1 678 = 339 . 2 + 0 339 = 169 . 2 + 1 169 = 84 . 2 + 1 84 = 42 . 2 + 0 42 = 21 . 2 + 0 21 = 10 . 2 + 1 10 = 5 . 2 + 0 5=2.2+1 2=1.2+0 1=0.2+1 Kýžené číslo je: 10 101 001 101 Což znamená: 1 . 210 + 0 . 29 + 1 . 28 + 0 . 27 + 1 . 26 + 0 . 25 + 0 . 24 + 1 . 23 + 1 . 22 + + 0 . 21 + 1 . 20 = 1 024 + 256 + 64 + 8 + 4 + 1 = 1 357

39

D r uhá o dmo cni na čísla dvě je iracionál n í č í s l o Když Pythagoras a jeho lidé (ať už opravdu existovali či nikoli) přišli na onu slavnou větu (tedy Pythagorovu větu), narazili na jeden problém… Předpokládejme, že máme pravoúhlý trojúhelník, jehož dvě odvěsny měří jedna. (Tady bychom mohli zvolit jeden metr nebo jeden centimetr či jednu jednotku, aby počítání nebylo tak abstraktní.) Takže pokud každá odvěsna měří jedna, pak přepona* musí měřit √2. Již toto číslo samo o sobě představuje problém. Abychom mu porozuměli, musíme se shodnout na následujícím: Číslo x se nazývá racionální, pokud je podílem dvou celých čísel. Tedy: x = p/q Přičemž p a q jsou celá čísla, a navíc musí platit, že q ≠ 0. Příklady: I) II) III)

1,5 je racionální číslo, protože 1,5 = 3/2 7,6666666… je racionální, protože 7,6666666… = 23/3 5 je racionální číslo, protože 5 = 5/1

Obzvlášť poslední příklad dokládá, že všechna celá čísla jsou racionální. A tento výsledek je správný, jelikož jakékoli celé číslo se může zapsat jako podíl jeho samého a čísla 1. Do té doby, tedy do okamžiku, než Pythagoras dokázal svou větu, byla známa pouze racionální čísla. Účelem této podkapitoly je tedy nastínit problém, s nímž se pythagorovci setkali. A  ještě další otázka se nabízí k zamyšlení – pokud je číslo sudé, platí, že i jeho druhá mocnina bude sudá? Jako vždy, udělám zde na chvíli pauzu (virtuální), abyste se nad tím v duchu mohli zamyslet sami (nebo si k tomu vzít tužku a pa* Přeponou se nazývá nejdelší strana pravoúhlého trojúhelníku. Ostatním dvěma stranám se říká odvěsny.

40

pír). V každém případě budu pokračovat, protože na vás nemůžu moc dlouho čekat, ale vy se sem vraťte, až se vám bude chtít… Odpověď je ano. Proč? Protože je-li číslo x sudé, znamená to, že x se může zapsat v tomto tvaru: x=2.n (Přičemž n je také celé číslo.) Pokud tedy x umocníme na druhou, dostaneme: x2 = 4 . n2 = 2 (2 . n2) A to znamená, že x2 je také sudé číslo. A teď opačně – platí, že pokud x2 je sudé, pak i x musí být sudé? Podívejme se na to – kdyby x nebylo sudé, pak by muselo být liché. V tom případě by se muselo zapsat následovně: x = 2k + 1 Přičemž k je libovolné přirozené číslo. Když ho tedy umocníme na druhou, nemůže být sudé, jelikož: x2 = (2k + 1)2 = 4k2 + 4k + 1 = 4m + 1 (kde m = k2 + k) Je-li x2 = 4m + 1, potom x2 je liché číslo. Jako ponaučení z toho vyplývá, že pokud je druhá mocnina nějakého čísla sudá, je to tím, že dané číslo bylo sudé. Všechny tyto údaje nám připravily vhodné podmínky k tomu, abychom se pustili do problému, na který pythagorovci narazili. Bude platit, že číslo √2 je také racionální? Připomínám – myslete na to, že v tu dobu byla známa pouze racionální čísla. Proto se přirozeně někdo

41

pokusil dokázat, že jakékoli náhodně zvolené číslo je racionální. Jinými slovy – pokud v té době Řekové znali pouze racionální čísla, bylo pochopitelné, že se jakékoli nové číslo pokoušeli zapsat jako p/q. Budeme tedy vycházet z předpokladu (stejně jako oni), že √2 je racionální číslo. Pokud tomu tak je, pak musí existovat dvě celá čísla p a q, takže: √2 = (p/q) Při zápisu p/q už předpokládáme, že jsme „vykrátili“ možné společné činitele p a q. Hlavně vycházejme z toho, že obě čísla dohromady nejsou sudá, protože pokud by byla, zlomek bychom vykrátili a číslo dvě v čitateli i jmenovateli bychom odstranili. Můžeme se tedy domnívat, že buď p, nebo q není sudé číslo. Když potom oba členy umocníme na druhou, dostaneme: 2 = (p/q)2 = p2/q2 A když „vynásobíme“ jmenovatele druhého členu prvním členem, dostaneme: 2 . q2 = p2

(*)

Rovnice (*) potom říká, že číslo p2 je sudé (jelikož výsledek se zapíše jako číslo 2 krát celé číslo). Jak už jsme mohli vidět výše, pokud je číslo p2 sudé, je to tím, že i samotné číslo p je sudé. Jelikož je číslo p sudé, může se zapsat takto: p = 2k Když ho umocníme na druhou, dostaneme: p2 = 4k2

42

Pokud ho dosadíme do rovnice (*), dosáhneme výsledku: 2q2 = p2 = 4k2 Vykrácením čísla 2 na každé straně získáme: q2 = 2k2 Z toho vyplývá, že číslo q2 je také sudé. Ale už jsme zjistili, že pokud je q2 sudé, je to tím, že i q je sudé. Když si tedy spojíme všechny důkazy, vyjde nám, že jak p, tak i q by měla být sudá. Jenže to není možné, protože jsme vycházeli z předpokladu, že kdyby byla sudá, museli bychom je vykrátit. PONAUČENÍ: číslo √2 není racionální. A tím se otevřel nový, neprozkoumaný a  velice plodný prostor – prostor iracionálních čísel. Racionální a iracionální čísla dávají dohromady soubor reálných čísel. Těmi jsou všechna čísla, která potřebujeme pro každodenní výpočty. (Pozn.: Ne všechna iracionální čísla je tak jednoduché vyrobit jako √2. Ve skutečnosti platí, že i když √2 a π jsou obě iracionální čísla, v zásadě se dost odlišují z důvodů, které přesahují účel této knihy. První z nich, √2, se řadí do sady „algebraických čísel“, zatímco π patří mezi „transcendentální čísla“.)

So u č e t p ě t i č í s e l Pokaždé, když se ocitnu ve skupině mladých (nebo ani ne tak úplně mladých) lidí a chci je ohromit nějakou číselnou hrou, vždycky si vyberu tuhle. Vám ji zde předvedu jako příklad, ale potom si společně rozebereme, jak obecně funguje a proč tomu tak je. Požádám některého posluchače o libovolné pětimístné číslo. Třeba 12 345 (ale klidně si zvolte jiné a současně si příklad vyřešte i se svým číslem). Poznamenám si tedy 12 345 a ostatním prozradím, že

43

na zadní stranu papíru (nebo na jiný papír) zapíšu výsledek nějakého „součtu“. Posluchači jsou samo sebou překvapení, jelikož nechápou, o jakém „součtu“ vlastně mluvím, když mi zatím jen sdělili vybrané číslo. Poprosím je o chvilku strpení, abych si teď mohl poznamenat (jak už jsem řekl, na zadní stranu papíru) jiné číslo, které má být součtem dosud neznámých sčítanců, tedy kromě již zmíněných 12 345. Na zadní stranu papíru si zapíšu číslo: 212 343 Asi vás bude zajímat, proč právě tohle číslo. Jde vlastně jen o to, že na začátek zvoleného čísla připojím číslo 2 a odečtu dvojku. Kdybyste si tedy vybrali třeba číslo 34 710, na zadní stranu byste si poznamenali 234 708. Jakmile si číslo zapíšu, požádám dotyčného posluchače, aby si vybral další číslo. Pro ilustraci si zvolme třeba: 73 590 Teď tedy máme dvě čísla, která se zúčastní našeho „sčítání“. Tedy původní číslo 12 345 a druhé číslo 73 590. Pak požádám o další pětimístné číslo. Například: 43 099 Nyní už máme tři pětimístná čísla, tři z našich pěti sčítanců: 12 345 73 590 43 099 V tomto okamžiku si pod sebe rychle poznamenám další čísla:

44

26 409 a 56 900 Odkud že jsem je vzal? Postupoval jsem následovně: vzal jsem číslo 73 590 a k němu jsem doplnil číslo zbývající do hodnoty 99 999. Pod číslem 7 tedy číslo 2, pod číslem 3 číslo 6. Pod 5 číslo 4, pod 9 číslo 0 a pod 0 číslo 9. 73 590 + 26 409 99 999 Postup je stejný i u dalšího čísla, tedy 43 099, kdy si opět vypočítám, kolik chybí do čísla 99 999. Nyní to dělá 56 900. Což znamená: 56 900 + 43 099 99 999 Když shrnu všechny dosavadní kroky, máme nyní pět pětimístných čísel. První tři odpovídají číslům, která nám zadal dotyčný posluchač: 12 345, 73 590 a 56 900 První číslo jsem použil k vytvoření „celkového součtu“ (na zadní stranu papíru jsem zapsal číslo 212 343) a za pomoci zbývajících dvou čísel vznikla další dvě pětimístná čísla (v tomto případě 26 409 a 43 099) tak, aby součet s každým z nich vycházel 99 999. Nyní klidně vyzvu dotyčného posluchače, aby vše „sečetl“. A vy si sčítání vyzkoušejte sami:

45

12 345 73 590 56 900 26 409 43 099 212 343 Znamená to tedy, že dostaneme číslo, které jsme si předem zapsali na zadní stranu. Jednotlivé kroky jdou po sobě v následujícím pořadí: a) Nejprve požádáte o pětimístné číslo (43 871). b) Na zadní stranu papíru napíšete další číslo (nyní šestimístné), které získáte tak, že před první číslo připojíte číslo 2 a z celého čísla odečtete dvojku (243 869). c) Požádáte o další dvě pětimístná čísla (35 902 a 71 388). d) Rychle přidáte další dvě čísla, která s posledními dvěma čísly dávají součet vždy 99 999 (64 097 a 28 611). e) Požádejte dotyčného před sebou, aby čísla sečetl… Hotovo! Ale jak je možné, že hra s čísly tak funguje? To je na tom právě nejzajímavější. Všimněte si, že když ke zvolenému počátečnímu číslu připojíte vpředu číslo 2 a z celého čísla dvojku odečtete, jako byste k němu přičetli číslo 200 000 a potom odečetli dvojku. Takže by to bylo jako přičíst 200 000 – 2. Když nám dotyčný člověk sdělí další dvě čísla, doplníme je do čísla 99 999, mysleme na to, že 99 999 je přesně 100 000 – 1. Jenže to provedete celkem dvakrát, a když dvakrát sečtete 100 000 – 1, vychází vám 200 000 – 2. A přesně to jsme udělali! K prvnímu číslu jsme přičetli 200 000 – 2. Proto pravidlo funguje: nakonec vlastně vždycky dvakrát sečteme 100 000 – 1, což je to samé jako 200 000 – 2.

46

Útok na základní vě t u a r i t m e t i k y ? Základní věta aritmetiky konstatuje, že každé celé číslo (kromě +1, -1 nebo 0) je buď prvočíslo, anebo se může rozložit na součin několika prvočísel. Například: a) 14 = 2 . 7 b) 25 = 5 . 5 c) 18 = 2 . 3 . 3 d) 100 = 2 . 2 . 5 . 5 e) 11 = 11 (jelikož 11 je prvočíslo) f) 1 000 = 2 . 2 . 2 . 5 . 5 . 5 g) 73 = 73 (jelikož 73 je prvočíslo) Věta dále tvrdí, že prvočíselný rozklad je jednoznačný, tedy nezávislý na pořadí zápisu prvočísel (obdoba toho, že hodnota součinu nezáleží na pořadí činitelů). V každém případě mám pro vás jeden návrh. Pozorně se podívejte na číslo 1 001, které se může zapsat těmito dvěma způsoby: 1 001 = 7 . 143 A také jako: 1 001 = 11 . 91 Jak je možné, že pravidlo nefunguje? Že by v tomto případě selhalo? Odpověď naleznete v kapitole Řešení.

47

N e konečná prvo čísla S prvočísly jsme se již seznámili. Jistě ale přijde vhod připomenout si pasáž z Molièrovy hry Měšťák šlechticem, kde hlavní postava na dotaz, zda umí nějakou danou věc, odpoví: „Dělejte, jako bych neuměl, a vysvětlete mi, co to znamená.“* Takže abychom mohli vycházet ze stejných znalostí, začněme několika definicemi. V  této kapitole použijeme jen přirozená čísla (neboli celá kladná). Nechci zde udávat nějakou danou definici, ale jen uvést na pravou míru, o kterých číslech hovořím: N = 1, 2, 3, 4, 5, 6, …, 100, 101, 102, … Pro následující úvahy ponechme stranou číslo 1, ale můžete si ostatně ověřit, že jakékoli jiné číslo má vždy alespoň dva dělitele: sebe sama a  číslo 1. (Jedno číslo se stává dělitelem jiného čísla, pokud je dokáže vydělit beze zbytku. Jinými slovy, při dělení jednoho čísla jiným číslem nic nezbývá, respektive zbytek se rovná nule.) Například: Číslo 2 je dělitelné 1 a sebou samým (2). Číslo 3 je dělitelné 1 a sebou samým (3). Číslo 4 je dělitelné 1, 2 a sebou samým (4). Číslo 5 je dělitelné 1 a sebou samým (5). Číslo 6 je dělitelné 1, 2, 3 a sebou samým (6). Číslo 7 je dělitelné 1 a sebou samým (7). Číslo 8 je dělitelné 1, 2, 4 a sebou samým (8). Číslo 9 je dělitelné 1, 3 a sebou samým (9). Číslo 10 je dělitelné 1, 2, 5 a sebou samým (10). Tak bychom mohli v seznamu pokračovat donekonečna. Když se však zaměříme na myšlenku, co se s přirozenými čísly děje, přijdeme na * Molière: Jeho urozenost pan měšťák, Praha, Dilia 1980. Přeložil J. Z. Novák. V současné době je Molièrova hra v češtině nejčastěji uváděna pod názvem Měšťák šlechticem.

48

následující pravidlo: všechna jsou dělitelná číslem 1 a sebou samým. Mohou mít i více dělitelů, ale vždy mají alespoň dva. Rád bych přidal několik dalších příkladů, abych vás přiměl k zamyšlení nad jednou definicí. Všimněte si: Číslo 11 je dělitelné jen 1 a sebou samým. Číslo 13 je dělitelné jen 1 a sebou samým. Číslo 17 je dělitelné jen 1 a sebou samým. Číslo 19 je dělitelné jen 1 a sebou samým. Číslo 23 je dělitelné jen 1 a sebou samým. Číslo 29 je dělitelné jen 1 a sebou samým. Číslo 31 je dělitelné jen 1 a sebou samým. Napadá vás nad těmito příklady nějaké společné pravidlo? Říká vám něco, že čísla 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 31 mají jen dva dělitele, zatímco ostatní čísla mají více než dva dělitele? Jakmile přijdete na odpověď (a jestliže jste na ni nepřišli, nevadí), zapíšu tuto definici: Přirozené číslo (kromě čísla 1) se stává prvočíslem, pokud má právě dva dělitele: číslo 1 a sebe sama. Jak je vidět, snažím se vyčlenit skupinu čísel se specifickou vlastností: jsou dělitelná jen dvěma čísly, sebou samým a jedničkou. Nyní si sepišme seznam prvočísel, která se vyskytují v první stovce přirozených čísel: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97. V první stovce čísel se nachází 25 prvočísel. Mezi čísly 101 a 200 je 21 prvočísel. Mezi čísly 201 a 300 je 16 prvočísel. Mezi čísly 301 a 400 je 16 prvočísel. Mezi čísly 401 a 500 je 17 prvočísel. Mezi čísly 501 a 600 je 14 prvočísel.

49

Mezi čísly 601 a 700 je 16 prvočísel. Mezi čísly 701 a 800 je 14 prvočísel. Mezi čísly 801 a 900 je 15 prvočísel. Mezi čísly 901 a 1000 je 14 prvočísel. V první tisícovce čísel se tedy nachází 168 prvočísel. Když si pozorněji prohlédneme libovolnou „tabulku“ prvočísel, řada začne být čím dál „uhlazenější“. Mezi číslem 1001 a  2000 je totiž 123 prvočísel, mezi 2001 a 3000 jich je 127 a mezi 3001 a 4000 jich nalezneme 120. A takhle bychom mohli pokračovat. Přesto vyvstávají otázky… mnoho otázek. Například: a) Kolik prvočísel existuje? b) Končí někde? c) A pokud nekončí, jak je všechna dohledat? d) Existuje nějaký vzorec, podle něhož prvočísla vznikají? e) Čím se řídí rozmístění prvočísel? f) Jestliže víme, že prvočísla nemohou jít v řadě za sebou, s výjimkou čísla 2 a 3, kolik za sebou jdoucích čísel můžeme nalézt, než narazíme na další prvočíslo? g) Jaké existují intervaly bez prvočísel? h) Co jsou prvočíselná dvojčata? (Odpověď naleznete v příští kapitole.) V této knize odpovím jen na několik z uvedených otázek, ale ideální by bylo, kdyby se v  někom z  vás při čtení těchto řádků probudila dostatečná zvědavost a  dotyčný čtenář by se sám pokusil přijít na některé  odpovědi, anebo by se ponořil do četby knih z  této oblasti (Teorie čísel), aby zjistil, co se o číslech dosud ví a jaké problémy ještě zůstávají otevřené. Rád bych vám teď dokázal, že prvočísla jsou nekonečná. A že jejich výčet nikdy neskončí. Představme si, že by tomu tak nebylo. Předpokládejme, že když se pokusíme „vypsat“ všechna prvočísla, v  určitý moment jejich výčet skončí.

50

Nazveme je tedy: p1, p2, p3, p4, p5, …, pn A vzestupně je seřadíme: p1 < p2 < p3 < p4 < p5 < … < pn V našem případě bychom zapsali: 2 < 3 < 5 < 7 < 11 < 13 < 17 < 19 < … < pn Vycházíme tedy z předpokladu, že existuje n prvočísel. A že pn je z nich největší. Je jasné, že pokud existuje nějaký konečný počet prvočísel, některé z nich musí být největší. Jinými slovy – když máme omezený počet čísel, některé z  nich musí být největší. Totéž bychom ovšem nemohli tvrdit o nekonečném počtu čísel, ale jelikož v našem případě předpokládáme, že počet prvočísel je omezený, některé z nich musí být nejvyšší, největší. A toto číslo nazýváme pn. Nyní vytvoříme číslo, jež nazveme N. N = (p1 . p2 . p3 . p4 . p5… pn) + 1* Kdyby například všechna prvočísla byla tato: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 Pak by nové číslo N bylo: 2 . 3 . 5 . 7 . 11 . 13 . 17 . 19 + 1 = 9 699 691

* Symbol . označuje „násobení“ neboli „součin“.

51

Toto je pouze náhled elektronické knihy. Zakoupení její plné verze je možné v elektronickém obchodě společnosti eReading.