The Rank Plus Nullity Theore m
Teorema 2.8. Misal
L(V,W)
1) Sembarang komplemen dari ker () adalah isomorphik dengan im( ), 2) The rank plus nullity Theorem dim(ker () )+dim(im () ) = dim(V) atau rk( ) + null( ) = dim(V) Bukti: Misal L(V,W). 1.a).Sembarang subruang dari V mempunyai komplemen, sedangkan ker( ) adalah subruang dari V , jadi kita punya c V = ker () ker () ........................................................................(i) c dimana ker () adalah komplemen dari ker () di V. Sehingga berdasarkan teorema 1.14 diperoleh : c dim(V) = dim(ker () ) + dim(ker () )
Selanjutnya pembatasan sebagai :
pada domain
c ker( ) saja dan didefinisikan
c : ker () c W
b). Selanjutnya akan ditunjukkan im( C) = im( ) Bukti : Akan ditunjukkan bahwa im ( C) im( ) Karena C adalah transformasi linier juga tetapi dengan melakukan pembatasan domain hanya ker( )C, maka im ( C) im( ) Akan ditunjukkan im( ) im ( C) misal ambil sembarang v im( ), karena v = u+w untuk u ker( ) dan w ker( )c, maka v = u + w = w= cw im( c ) karena w ker( )c Maka im( ) im ( C) c Jadi didapat im( ) = im( ), c c).Selanjutnya untuk menunjukkan bahwa ker () isomorphik dengan im( ),
maka akan ditunjukkan dan surjektif. Akan ditunjukkan
c : ker () c im( ), adalah pemetaan yang injetif
C adalah injektif.
c Karena (i), maka ker( ) ker () ={0}
ker (
) = ker ( ) ker () c ={0} c c c berdasarkan teorema 2.3.2, adalah injektif ker ( ) ={0} jadi injektif. c d).Akan ditunjukkan adalah surjektif. c
Berdasarkan teorema 2.3 bagian 1.
c : ker () c
c im( ) adalah surjektif jika im( ) = im( ) c c Pada b) telah ditunjukkan bahwa im( ) = im( ), jadi adalah surjektif.
c : ker () c im( ) adalah bijektif. Jadi terbukti bahwa c ker () isomorphics dengan im( ). Jadi karena
2). Akan ditunjukkan bahwa dim(ker () )+dim(im () ) = dim(V) dari uraian sebelumnya telah diketahui bahwa c dim(V) = dim(ker () ) + dim(ker () ) c karena telah ditunjukkan bahwa ker () im( ) , maka jelaslah bahwa dim(ker () )+dim(im () ) = dim(V)
Akibat 2.9. Misal L(V,W) , dimana dim(V) = dim (W) < . Maka hanya jika surjektif.
adalah injektif jika
Bukti : Akan ditunjukkan bahwa dengan diketahui dim(V) = dim(W), *) surjektif injektif **) injektif surjektif *) Jika surjektif jika hanya jika im( ) = W Menurut teorema 2.3
injektif jika hanya jika ker ()
= {0}
Menurut teorema 2.8 dim(ker () )+ dim(W) = dim(V) , karena dim(V )= dim(W) sehingga dim(ker () ) = 0 jadi ker () = {0},
injektif
**) jika injektif jika hanya jika ker( ) = {0} Menurut torema 2.8 dim(ker () )+ dim(im () ) = dim(V) 0
+ dim(im () ) = dim(V) dim(im () ) = dim(V)
dim(im () ) = dim(W) Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa surjektif. Ambil sembarang v V karena injektif maka akan terdapat v W yang selalu tunggal dan karena dim(V) = dim(W) dan sedemikian sehingga dim(im () ) = dim(W) maka im () ≈ (W) Karena im () W maka im () = W Menurut teorema 2.3 bagian 1), karena surjektif jika hanya jika im( ) = W Jadi surjektif. Terbukti bahwa misal L(V,W) , dimana dim(V) = dim (W) < . Maka adalah injektif jika hanya jika surjektif.
Transformasi Linier dari Fn ke Fm Sembarang matriks A berukuran m x n atas F didefinisikan sebagai pemetatan perkalian berikut : A(v) = Av adalah suatu transformasi linier. Sembarang transformasi linier L(Fn ,Fm ) mempunyai bentuk yaitu yang merupakan perkalian oleh suatu matriks, sebagai berikut : ( e1 |...| en )ei = ( e1 |...| en )(i) = ei dan sehingga A, dimana A = ( e1 |...| en ) Teorema 2.10 1) Jika A adalah suatu matriksberukuran m x n atas F maka
L(Fn,Fm ) maka A , dimana A = ( e1 |...| en ) Matriks A disebut matriks dari .
A L(Fn,Fm ).
2) Jika
Bukti : 1) Akan ditunjukkan bahwa adalah suatu transformasi linier. Untuk sembarang u,v Fn dan skalar , F akan ditunjukkan
A( u+ v) = A(u)+ A (v) Berdasarkan definisi A , maka A( u+ v) = A(( u) +( v)) = A( u) + A( v) , berdasarkan sifat perkalian matriks dan skalar diperoleh, = (Au) + (Av) , berdasarkan definisi A maka = A(u)+ A (v) Jadi A adalah transformasi linier dari Fn ke Fm .atau dengan kata lain
2)
A L(Fn,Fm ) Jika L(Fn ,Fm ) maka A, dimana A = ( e1 |...| en ) Matriks A disebut matriks dari . Bukti : Sembarang transformasi linier L(Fn ,Fm ) mempunyai bentuk ( e1 |...| en )ei = ( e1 |...| en )(i) = ei Jadi A, dimana A = ( e1 |...| en )
Contoh 2 Perhatikan suatu transformasi linier : F2 (x,y,z) = (x-2y,z,x+y+z) Maka dipunyai bentuk kolom, x x 2y 1 y z 0 z 1 x y z
Dan matriks standar dari
2 0 1
adalah
1 A 0 1
m,n, maka karena
2 0 1
F3 didefinisikan oleh
0 1 1
0 x 1 y 1 z
im( A) adalah ruang kolom dari A, sehingga dim (ker( A)) + dim(im( A) = dim (Fn ) karena dimensi ruang kolom A adalah rk(A), maka dim (ker( A)) + rk(A) = dim (Fn ) Teorema 2.11 Misal A adalah suatu matriks m x n atas F. 1) A :Fn Fm adalah injektif jika hanya jika rk(A) = n. 2) A :Fn Fm adalah surjektif jika hanya jika rk(A) = m. Jika A
Bukti : 1). Berdasarkan pada teorema 2.3.2 A injektif ker( A) = {0} dim (ker( A) = dim{0} = 0
Karena dim (ker( A)) + rk(A) = dim(Fn ), maka 0 + rk(A) = dim (Fn ) Karena {e1 ,...,en } adalah basis untuk Fn maka dim(Fn ) = n, jadi, dim (ker( A) = 0 rk(A) = n 3) Berdasarkan teorema 2.3.1, maka A surjektif im( A) = Fm m dim (im( A) = dim(F ) Karena {e1 ,...,em } adalah basis untuk Fm maka dim(Fm ) = m. Karena im( A) adalah subruang dari Fm dan diketahui dim(im( A) = dim (Fm ) = m selanjutnya dapat disimpulkan im( A) = Fm Jadi (Im( A)) = dim(Fm ) rk(A) = m
Matriks Perubahan Basis Misalkan bahwa B = (b1 ,...,bn ) dan C = (c1 ,...,cn ) adalah basis terurut pada ruang vektor V. Matriks koordinat [v]B dan [v]C . Pada gambar .1 :
Dari gambar terlihat bahwa B,C [v]B= C B -1 [v]B = [v]C yang menunjukkan relasi antara matriks koordinat [v]B dan [v]C Pemetaan dari [v]B ke [v]C adalah B,C = C B -1 dan disebut operator perubahan basis ( atau operator perubahan koordinat). Karena B,C adalah operator pada Fn , maka berbentuk A,dimana : A = ( B,C(e1 )|...|
B,C(en)) = ( C B -1 ([b1 ]B)|…| C B -1 ([bn ]B)) = ( [b1 ]C)|…| [bn ]C)
Dinotasikan A sebagai MB,C dan disebut matriks pe rubahan basis dari B ke C. Teorema 2.12 Misalkan bahwa B = (b1 ,...,bn ) dan C = (c1 ,...,cn ) adalah basis terurut pada ruang vektor V. Maka operator perubahan basis B,C = C B -1 adalah suatu pemetaan automorphisma dari Fn , yang mempunyai matriks standar yaitu: MB,C = ([b1 ]C|...|[bn ]C)) sehingga [v]C = MB,C[v]B Dan MB,C = MC,B -1 Bukti : Misal B = (b1 ,...,bn ) dan C = (c1 ,….,cn ) adalah basis-basis terurut untuk ruang vektor V. Akan ditunjukkan bahwa operator perubahan basis B,C = C B -1 adalah suatu pemetaan automorphisme pada Fn yang artinya yang bijektif.
B,C = C B -1 adalah pemetaan
Karena B L(V,Fn ) adalah pemetaan linier dari setiap vektor elemen V ke matriks koordinat vektor terebut pada basis B, karena setiap vektor di V pasti dapat dinyatakan sebagai matriks koordinat juga berlaku sebaliknya, maka B L(V,Fn ) adalah bijektif. Demikian juga untuk C L(V,Fn ) adalah pemetaan linier dari setiap vektor elemen V ke matriks koordinat vektor terebut pada basis C, karena setiap vektor di V pasti dapat dinyatakan sebagai matriks koordinat juga berlak u sebaliknya, maka C L(V,Fn) adalah bijektif. Berdasarkan teorema 2.1 bagian (3) diperoleh bahwa jika maka
B-1 L(V,Fn) adalah bijektif.
Berdasarkan teorema 2.1 bagian (2) diperoleh bahwa jika
L(V,Fn) bijektif maka B,C = C B -1 adalah bijektif. Jadi
B L(V,Fn) bijektif B-1 L(V,Fn) dan C
B,C = C B -1 adalah suatu automorphisma.
Diketahui bahwa B,C adalah operator linier pada Fn (atau Jadi berdasarkan teorema 2.10 (2). Jika B,C L(Fn ) maka B,C = A dimana
B,C L(Fn))
A = ( B,C(e1 )|...| B,C(en )) karena b1 = 1b1 + 0b2 + …+ 0 bn , maka [b1 ]B = e1 b2 = 0b1 + 1b2 + …+ 0 bn , maka [b2 ]B = e2
bn = 0b1 + 0b2 + …+ 1 bn , maka [bn ]B = en dan karena B,C = C,B -1 , maka
A = ( C,B -1 ([b1 ]B)|…| C,B -1 ([bn ]B)) A = ( [b1 ]C)|…| [bn ]C)
Dinotasikan A sebagai MB,C dan disebut matriks pe rubahan basis dari B ke C. MB,C = ( [b1 ]C)|…| [bn ]C) Berdasarkan pemetaan perkalian transformasi linier diperoleh, B,C[v]B = A[v]B karena A = MBC, maka B,C[v]B = MB,C[v]B Sedangkan Jadi
B,C[v]B = C B -1 [v]B = [v]C
[v]C = MB,C[v]B
Jika dikalikan masing- masing dengan MB,C-1 dari kiri maka diperoleh: MB,C-1 [v]C = MB,C-1 MB,C[v]B MB,C-1 [v]C = I [v]B MB,C-1 [v]C = [v]B Jadi [v]B = MC,B[v]C dengan M C,B = MB,C-1 Perhatikan persamaan A = MB,C dengan A = ([b1 ]C|...|[bn ]C )). Jika diberikan sembarang matriks A (berukuran n x n yang dapat dibalik), B dan C (adalah suatu basis terurut pada Fn ), jika dua dantaranya diketahui maka komponen yang ketiga akan dapat ditentukan secara unik dengan persamaan tersebut. Jika A dan B diketahui, maka terdapatlah suatu C unik yang memenuhi A-1 = MC,B Dan sedemikian sehingga terdapatlah suatu C unik yang memenuhi A = MB,C. Teorema 2.13 Jika diberikan sembarang dua buah dari yang berikut ini : 1) Suatu matriks A yang inversibel 2) Suatu basis terurut B pada F n 3) Suatu basis terurut C pada Fn Maka yang ketiga dapat ditentukan secara unik dengan persamaan A = MB,C Bukti: Jika 1) dan 3) diketahui maka akan ditentukan 2)
Diketahui A = ([b1 ]C|...|[bn ]C) dapat dibalik C = (c1 ,...,cn ) Dari [b1 ]C, misal [b1 ]C = (r11 ,…,r1n ), maka b1 = r11 b1 + ...+ r1n bn Dari [b2 ]C, misal [b2 ]C = (r21 ,…,r2n ), maka b2 = r21 b1 + ...+ r2n bn
Dari [bn ]C, misal [bn ]C = (rn1 ,…,rnn ), maka bn = rn1 b1 + ...+ rnn bn Jadi B ditentukan secara unik, sehingga diperoleh B = (b1 ,....,bn )
Jika 1) dan 2) diketahui maka akan ditentukan 3) Diketahui A = ([b1 ]C|...|[bn ]C) dapat dibalik B = (b1 ,...,bn ) Karena A = MB,C maka A-1 = MB,C-1 = MC,B A-1 = MC,B = ([c1 ]B|...|[cn ]B) Dari [c1 ]B, misal [c1 ]B = (k 11 ,…,k1n ), maka c1 = k11 c1 + ...+ k1n cn Dari [c2 ]B, misal [c2 ]B = (k 21 ,…,k2n ), maka c2 = k21 c1 + ...+ k2n cn
Dari [cn ]B, misal [cn ]B = (k n1 ,…,knn ), maka cn = kn1 c1 + ...+ knn cn Jadi C ditentukan secara unik, sehingga diperoleh C = (c1 ,....,cn ) Jika 2) dan 3) diketahui maka akan ditentukan 1) Misal diketahui : B = (b1 ,...,bn ) C = (c1 ,...,cn ) Akan ditentukan A = ([b1 ]C|...|[bn ]C) Cari [b1 ]C,...,[bn ]C b1 = (t11 c1 +…+t1n cn ), maka [b1 ]C = (t 11 , ... tn1 ) b2 = (t21 c1 +…+t2n cn ), maka [b2 ]C = (t 21 , ... t2n )
bn = (tn1 c1 +…+tnn cn ), maka [bn ]C = (t n1 , ... tnn ) Jadi A ditentukan secara unik, sehingga diperoleh A = ([b1 ]C|...|[bn ]C) .
Matriks Transformasi Linier Misal :V W adalah suatu transformasi linier, dimana dim(V) = n , dan dim(W) = m dan misalkan B = (b1 ,…,bn ) adalah basis terurut pada V dan C adalah basis terurut pada W. Maka pemetaan
: [v]B [ v]C Adalah representasi dari sebagai transformasi linier dari Fn ke Fm , yang artinya untuk menentukan (berikut B dan C) adalah sama saja dengan menentukan . Representasi ini tergantung pada pemilihan basis terurut B dan C.
Karena adalah suatu transformasi linier dari Fn ke Fm , jadi merupakan perkalian dari A berukuran m x n dengan [v]B , yaitu [ v]C = A[v]B Karena [bi]B = ei, didapat kolom ke-i dari A adalah sebagai berikut: A(i) = Aei = A[v i]B = [ bi]C Teorema 2.14 Misal L(V<W) dan misal B = (b1 ,…,bn ) dan C adalah basis terurut untuk V dan W. Maka dapat direpresentasikan berkenaan dengan B dan C sebagaiperkalian matriks, yaitu : [ v]C = [ ]B,C[v]B [ ]B,C = ([ b1 ]C|...|[ bn ]C) yang disebut matriks dari yang berkenaan dengan basis B dan C. Ketika V = W dan B = C, dinotasikan [ ]B,B oleh [ ]B dan juga [ v]B = [ ]B[v]B
Bukti :
: [v]B [ v]C Berdasarkan teorema 2.10 bagian (2) Jika L(Fn ,Fm ) maka = A Dimana A = ( (e1 )|...| (en )) karena b1 = 1b1 + 0b2 + …+ 0 bn , maka [b1 ]B = e1 b2 = 0b1 + 1b2 + …+ 0 bn , maka [b2 ]B = e2
bn = 0b1 + 0b2 + …+ 1 bn , maka [bn ]B = en A = ( ( [b1 ]B)|…| ([bn ]B)) A = ( [ b1 ]C)|…| [ bn ]C) A = [ ]B,C Menurut definisi perkalian pemetaan maka diperoleh: [v]C = [ ]B,C[v]B [ ]B,C adalah matriks untuk
yang berkaitan dengan basis B dan C.
Contoh 2.4 Ambil D:P2 P2 adalah operator derivatif, didefinisikan pada ruang vektor dari semua polynomial berderajat 2. Misal B = C = (1,x,x2 ). Maka
0 [D(1)]C = [0] = 0 , [D(x)]C = [1] = 0
1 0 ,[D(x 2 )]C = [2x] = 0
0 2 , 0
0 1 0 [D]B = 0 0 2 0 0 0
Karena, pada contoh, jika p(x) = 5 + x + 2x2 , maka
0 1 0 5 1 2 1 = 4 0 0 0 2 0
[DP(x)]C = [D]B[p(x)]B = 0 0 Dan juga Dp(x) = 1 + 4x.
Hasil tersebut menunjukkan bahwa kita dapat megerjakannya dengan transformasi linier atau dengan matriks yang merepresentasikannya ( dengan basis terurut B dan C tetap yang bersesuaian). Ini menggunakan tidak hanya untuk penjumlahan dan perkalian skalar, tetapi juga untuk perkalian matriks. Teorema 2.15 Misall V dan W adalah ruang vektor yang berdimensi berhingga atas F, dengan basis terurut masing-masing adalah B = (b1 ,...,bn ) dan C = (c1 ,...cn )atas F, dengan : 1) Pemetaan :L(V,W) Mm,n (F) didefinisikan sebagai berikut:
( ) = [ ]B,C adalah isomorphis sehingga L(V,W) Mm,n (F)) dim (L(V,W))= dim( Mm,n (F))= m x n 2) Jika L(U,V) dan L(V,W) dan jika B,C dan D adalah basis- basis terurut masing-masing pada U, V dan W, maka [ ]B,D = [ ]C,D[ ]B,C Jadi, matriks komposisi perkalian dan .
adalah perkalian dari matriks
Bukti : Untuk melihat bahwa adalah linier, amati bahwa untuk semua i, [s +t ]B,C[bi]B = [(s +t )(bi)]C = [(s +t )(bi)] C = s[ (bi)]C+t[ (bi)] C = s[ ]B,C[bi]B+t[ ]B,C[bi]B = (s[ ]B,C+t[ ]B,C)[bi]B Dan karena [bi]B = ei, adalah vektor basis standar, kita simpulkan bahwa [s +t ]B,C = s[ ]B,C+t[ ]B,C
dan juga adalah linier. Jika A Mm,n , kita definisikan oleh [ bi]C = A(i), dimana ( ) = A dan adalah surjektif. Juga, ker( ) = {0} karena [ ]B = 0 menyebabkan bahwa = 0. Jadi, pemetaan adalah isomorphisme. Untuk bukti bagian 2) kita punya [ ]B,D[v]B = [ (v) ]D = [ ]C,D [ v]C = [ ]C,D [ ]B,C[v]B
