15. Shodná zobrazení v rovině, podobnost a stejnolehlost, Euklidovy věty
PODOBNOST A STEJNOLEHLOST, EUKLIDOVY VĚTY 2. ČÁST MAT. OT. Č. 15: SHODNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ, PODOBNOST A STEJNOLEHLOST, EUKLIDOVY VĚTY
PODOBNOST KDE LÁTKU NAJDETE Kapitola Základy planimetrie v cca 4. nebo 5. sešitě asi v půlce 2. ročníku.
TEORIE Podobné zobrazení nazýváme každé zobrazení v rovině takové, že existuje libovolné body A, B dané roviny a jejich obrazy A', B' platí ∣A ' B '∣=k⋅∣AB∣ .
k ∈ℝ , že pro
Věta: Dva geometrické útvary jsou podobné <=> existuje podobné zobrazení, v němž jeden z obou útvarů je obrazem druhého. k je poměr podobnosti. Platí: k>1 => zvětšení k<1 => zmenšení k=1 => shodné zobrazení
VĚTY O PODOBNOSTI TROJÚHELNÍKŮ Dva trojúhelníky jsou podobné <=> se shodují 1. ve všech poměrech velikostí sobě odpovídajících stran … sss 2. ve dvou úhlech
… uu
3. v jednom úhlu a v poměru velikosti sobě odpovídajících stran ležících na jeho ramenech … sus
PŘÍKLADY Rozhodněte, zda jsou podobné trojúhelníky o stranách délek 12cm, 16cm, 19cm a 10cm, 13cm, 15cm. 10 13 15 = = 12 16 19 ≠0,8125≠0,7895 => trojúhelníky nejsou podobné 0,8 3
1/8
15. Shodná zobrazení v rovině, podobnost a stejnolehlost, Euklidovy věty Úsečku AB rozdělte bodem C tak, aby |AC| : |CB| = 5 : 2 a) redukční úhel
b)
Pozn.: Nejlepší je použít kolmice Vypočítejte délku stran a, b trojúhelníku ABC, je-li a o 4 cm delší než b, výška va = 6 cm a vb = 9 cm.
2/8
15. Shodná zobrazení v rovině, podobnost a stejnolehlost, Euklidovy věty
STEJNOLEHLOST TEORIE Def.: Je dán bod S a nenulové reálné číslo λ. Stejnolehlost (homotetie) se středem S a koeficientem λ je zobrazení H S ; , které přiřazuje: 1. bodu S bod S' = S 2. každému bodu i.
X ≠S bod X' tak, že platí:
∣SX '∣=∣∣⋅∣SX∣
ii. pro λ > 0 leží X' na polopřímce SX pro λ < 0 leží X' na polopřímce opačné k polopřímce SX H S ; : X → X' U → U' Pozn.:
… útvary U, U' jsou stejnolehlé
a) λ = 1 => jedná se o totožnost b) λ = -1 => jedná se o středovou souměrnost pro ∈{−1 ;1} se nejedná o stejnolehlost a) |λ| > 1 => obraz je větší než vzor b) |λ| < 1 => obraz je menší než vzor
Příklad stejnolehlosti:
λ>0 a |λ|>1
λ<0 a |λ|<1
3/8
15. Shodná zobrazení v rovině, podobnost a stejnolehlost, Euklidovy věty
PŘÍKLADY Sestrojte obrazy zadaných útvarů v dané stejnolehlosti 1.
H S ; 2
2.
1 H M ;− 2
3.
2 H M ;− 3
Bodem M ležícím uvnitř kružnice k veďte tětivu, jejíž délka je bodem M rozdělena v poměru 2:1. Je dán obdélník ABCD (a = 6 cm; b = 4 cm) a uvnitř něj bod L. Sestrojte všechny úsečky, které mají krajní body na stranách obdélníka a jsou bodem L děleny v poměru 2:3. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno a) va = 5 cm; a : b : c = 2 : 3 : 4 b) a : b : c = 2 : 3 : 5; poloměr kružnice vepsané ρ = 5 cm c) a : b : c = 2 : 3 : 4; poloměr kružnice vepsané ρ = 5 cm Užitím stejnolehlosti vepište čtverec do rovnostranného trojúhelníka.
4/8
15. Shodná zobrazení v rovině, podobnost a stejnolehlost, Euklidovy věty
STEJNOLEHLOST KRUŽNIC Věta 1: Obrazem libovolné kružnice k (O; r) je v každé stejnolehlosti H (s; λ) kružnice k'(O'; r') , jejíž střed O' je obrazem středu O kružnice k a pro jejíž poloměr r' platí: r ' =∣∣⋅r
PŘÍKLADY Sestrojte všechny středy stejnolehlostí, v nichž k1 se zobrazí na k2. H 1 S 1 ;
r2 , r1
H 2 S 1 ;−
r2 r1
Jsou dány dvě kružnice o různých poloměrech, které nemají žádný společný bod. Sestrojte všechny jejich společné tečny.
SPOLEČNÉ TEČNY DVOU KRUŽNIC r 1≠r 2 Možnosti:
0 společných tečen 1 společná tečna
3 tečny
4 tečny
5/8
2 tečny
15. Shodná zobrazení v rovině, podobnost a stejnolehlost, Euklidovy věty Věta 2: Jsou-li dány libovolné kružnice k1(O1; r1), k2(O2; r2) s různými poloměry, existují právě dvě stejnolehlosti zobrazující k1 na k2. Středy stejnolehlostí leží na středné obou r2 r2 kružnic a jejich koeficienty jsou čísla a − . r1 r1
Věta 3: Mají-li dvě kružnice o různých poloměrech společné tečny, prochází každá z nich vnějším nebo vnitřním středem stejnolehlosti těchto kružnic.
Věta 4: Každá přímka, která prochází středem stejnolehlosti svou kružnic a je tečnou jedné této kružnice, je tečnou i kružnice druhé.
PŘÍKLADY Jsou dány dvě různoběžky a, b a bod M ležící uvnitř jednoho jejich úhlu (ne na ose úhlu). Sestrojte kružnici procházející bodem M a dotýkající se přímek a, b. Je dána kružnice k1 se středem o1 a poloměrem r a mimo ni přímka p. Sestrojte kružnici k, která se dotýká jak přímky p v bodě P, tak kružnice k1.
6/8
15. Shodná zobrazení v rovině, podobnost a stejnolehlost, Euklidovy věty
EUKLIDOVY VĚTY Platí v pravoúhlém trojúhelníku
EUKLIDOVA VĚTA O VÝŠCE (EVV) V každém pravoúhlém trojúhelníku ABC s tradičním značením stran platí: v 2 =c a⋅c b Obsah čtverce nad výškou je roven obdélníku o stranách ca, cb.
EUKLIDOVY VĚTY O ODVĚSNĚ (EVO) 1) a2 =c⋅c a 2) b2 =c⋅c b Obsah čtverce nad odvěsnou a je roven obsahu obdélníku o stranách c a ca.
PŘÍKLADY Sestrojte čtverec, který má stejný obsah jako daný obdélník. Sestrojte čtverec, který má stejný obsah jako obdélník o stranách 3 cm a 5 cm.
7/8
15. Shodná zobrazení v rovině, podobnost a stejnolehlost, Euklidovy věty Sestrojte úsečky daných délek užitím Euklidových vět. a) l 1= 12 cm
b) l 2 = 18 cm c) l 3 =3 3 cm Nad úsečkou délky 2r je opsána půlkružnice a sestrojen obdélník, jehož druhý rozměr je r. Jaká část úhlopříčky obdélníku leží vně kružnice?
ZDROJE A DOPORUČENÉ ODKAZY http://www.karlin.mff.cuni.cz/katedry/kdm/diplomky/katerina_dobiasova/obsah.php? stranka=stejnolehlost
●
●
http://cs.wikipedia.org/wiki/Podobnost
http://mdg.vsb.cz/jdolezal/StudOpory/ZakladyGeometrie/Planimetrie/GeometrickaZobraze ni/GeometrickaZobrazeni.html
●
8/8
