SOROS RC-KÖR
A soros RC-kör Az átmeneti jelenségek vizsgálatakor – soros RC-körben – egyértelművé vált, hogy a kondenzátoron a feszültség késik az áramhoz képest. Váltakozóáramú körökben ez a késés, pontosan 90 fok. Ezt figyelhetjük meg az 1. ábrán. A valós terhelésen a feszültség és az áramerősség azonos fázisú. Lényegében viszonyítás kérdése, de lássuk meg, hogy a valós terhelésen (ellenálláson) eső feszültséghez képest a kondenzátoron o 90 -ot késik a feszültség (1. ábra). u, i
UR
I
ω
u, i
I
ω
UC
t, szög [rad]
t, szög [rad] π/4 π/2 3π/4
π
π/4 π/2 3π/4
5π/4 3π/2 7π/4 2π
π
5π/4 3π/2 7π/4 2π
feszültség
feszültség
áramerősség
áramerősség
1. ábra Feszültség és áramviszonyok az ellenálláson, illetve a kondenzátoron I R
UR
C
U0
UC
2. ábra a soros RC-kör kapcsolási rajza Tekintettel arra, hogy soros körről van szó, megállapítható, hogy közös az áram. Noha a soros egyenáramú köröknél megtanultuk, hogy Kirchhoff II. törvénye (huroktörvény) szerint a részfeszültségek összege egyenlő a forrás feszültségével, itt ez nem járható számítási mód, a valós ellenálláson és a reaktancián eső feszültségek által bezárt szög miatt. Tehát a Pitagorasz-tétel alkalmazása válik szükségessé. A 3. ábrán követhetjük nyomon a soros RC-kör feszültségviszonyait. A kapacitás és a valós ellenállás feszültségének vektoriális összege adja soros RC-kört tápláló forrás feszültségét (komplex feszültség). Mint említettük, a Pitagorasz-tétel alkalmazása eme helyen kap aktualitást. Egy egyszerű eltolással a (U C ) a 2. b) ábra szerinti 2 2 háromszöget kapva a művelet egyértelműen elvégezhető: |U 0|= √U R +U C . I
UR
ϕ UC
ω
I
ϕ U0
U0
a)
ω
UR
UC
b) 3. ábra
AZ ELEKTROTECHNIKA ALKALMAZÁSAI
Készítette: Mike Gábor
1/9
SOROS RC-KÖR
A feszültség-fázorábra elkészítése • • • • • •
Soros kapcsolásról beszélünk, vagyis közös az áram. Rajzoljuk fel vízszintesen a kör egyetlen közös mennyiségének – az áramnak – a fázorát (I ) . Jelöljük a fázor forgásirányát! Az ellenálláson a feszültség mindig azonos fázisú, ennek megfelelően rajzoljuk fel a fázort (U R) ! A kondenzátoron a feszültség (U C ) pontosan 90o -ot késik az áramhoz képest. Ennek megfelelően vegyük fel a fázorát! Vektoriálisan összegezzük a kondenzátor és az ellenállás feszültség-fázorát, mely által megkapjuk a soros RC-kört tápláló generátor feszültség-fázorát! A (ϕ) szög a kör áramának és a forrás feszültségének fázora között értelmezett. Jelöljük be a (ϕ) szöget!
ω
I
UR
ϕ
ω
U0
UC
ω
UR
I
ϕ
I
U0
ϕ
U0
UC
4. ábra A 4. ábra szerinti elrendezésben a következőkre lehetünk figyelmesek: • • •
•
A forrás feszültsége a két feszültség-komponens vektoriális összege; A (ϕ) szög a forrás feszültsége és a hálózat által „igényelt” áramerősség fázora között értelmezett; Az ellenálláson eső feszültség és a rajta átfolyó áramerősség mindig azonos fázisú, így a fázoraik azonos irányúak. Mindebből az következik, hogy a (ϕ) szög a forrás, valamint az ellenállás feszültségének fázora között is értelmezhető; Ha az impedancia kapacitív jellegű, akkor a forrás feszültségéhez képest az áram siet!
A 2. b) ábra szerinti eltolással kapott ábrában egy háromszöget kaptunk. A háromszög két befogója az U R és az U C feszültségkomponens, az átfogó pedig az U 0 forrásfeszültség. Trigonometriai ismereteinket felelevenítve (4. ábra) belátható, hogy az U R fázor az U 0 fázor koszinuszos vetülete: U R=U 0⋅cos ϕ , az U C fázor pedig a szinuszos vetülete: U C =U 0⋅sin ϕ . I
UR
ϕ UC
ω
U0
I
ω
UR
ϕ U0
U R =U 0⋅cos ϕ
ω
ϕ UC
U0
U C =U 0⋅sin ϕ
5. ábra AZ ELEKTROTECHNIKA ALKALMAZÁSAI
Készítette: Mike Gábor
2/9
SOROS RC-KÖR
Az impedancia-fázorábra elkészítése Ohm törvénye alapján tudjuk, hogy az ellenállás úgy számítható ki, hogy a kétpóluson eső feszültséget elosztjuk a rajta átfolyó áramerősséggel. Ez igaz valós ellenállás esetén. Hasonlóan számítható a kapacitás látszólagos ellenállása is, vagyis a reaktanciája. Ismételjünk néhány vonatkozó fogalmat! • •
•
UR ; I a kondenzátor kapacitív látszólagos ellenállása: kapacitív reaktancia, kapacitancia, az impedancia U 1 kapacitív képzetes része: X C = = C; ω⋅C I impedancia: komplex ellenállás, amely valós ellenállásból és látszólagos ellenállásból tevődik össze. Mivel az impedancia képzetes és valós része nem azonos fázisú ( 90o -os szöget zárnak be), ezért az U impedancia kiszámítása a Pitagorasz-tétel segítségével lehetséges: |Z|= √ R2 + X C 2= 0 I ellenállás: az impedancia valós része: R=
Tanulmányaink folyamán láttuk, hogy mind a kapacitív, reaktancia frekvenciafüggő. Kapacitív reaktancia: X C =
1 1 , = ω⋅C 2⋅π⋅f ⋅C
1 valamint frekvenciafüggése: X C ∼ . f
ha ω nő , akkor az
1 , vagyis X C csökken ωC
Amennyiben tehát egy adott soros RC-kapcsolás esetén változtatjuk a frekvenciát (f , ω) , úgy a kapacitív reaktancia értéke is változik, akkor is ha a forrás feszültségét (U 0 ) nem változtattuk. Ha a kapacitív reaktancia (X C ) értéke változik, s vele együtt az impedancia (Z ) értéke, az impedancia és a valós ellenállás által bezárt szög (ϕ) , valamint a köráram (I ) is változik. Ha csökkentjük a frekvenciát, akkor a kapacitív reaktancia megnő, vele együtt a (ϕ) szög és az impedancia is, az áram viszont csökken. Ha növeljük a frekvenciát, megfordul a helyzet: a kapacitív reaktancia értéke csökken, vele együtt a (ϕ) szög és az impedancia is, miközben a köráram megnő. Amennyiben a feszültség fázorábra valamennyi komponensét elosztjuk a soros RC-kör egyetlen közös mennyiségével (vagyis az árammal), akkor az impedancia komponenseket kapjuk eredményül. Lássuk meg, hogy az eredményül kapott impedancia-fázorábra a feszültség-fázorábrával arányos. Az impedancia koszinuszos vetülete az ellenállás, a szinuszos vetülete pedig a kapacitív reaktancia. R=
UR U U ; X C = C ; |Z|= 0 . I I I
|U 0|= √U R2 +U C 2 => / I => |Z|= √ R2 + X C 2 R=|Z|⋅cos ϕ és X C =|Z|⋅sin ϕ
I
UR
ϕ UC
ω
R= A feszültség fázorábra komponenseit „osszuk el” az egyetlen közös mennyiséggel, vagyis az árammal
U0
„ /I ”
UR =Z⋅cos ϕ I
ω
ϕ X C=
UC =Z⋅sin ϕ I
Z=
U0 I
6. ábra Az impedancia-fázorábra származtatása AZ ELEKTROTECHNIKA ALKALMAZÁSAI
Készítette: Mike Gábor
3/9
SOROS RC-KÖR
Foglaljuk táblázatba az eddig ismert adatokat! 2 2 Forrásfeszültség (komplex fesz.): |U 0|= √U R +U C
2 2 Impedancia (komplex ellenállás): |Z|= √ R + X C
Az ellenálláson eső feszültség: U R=|U 0|⋅cos ϕ
Az ellenállás: R=|Z|⋅cos ϕ
UR |U 0|
R Fázistényező: cos ϕ= |Z|
Fázistényező: cosϕ= A
valós
feszültség
(valamint
áram)
és UR forrásfeszültség által bezárt szög: ϕ=arccos |U 0| A kondenzátoron eső feszültség: U C =|U 0|⋅sin ϕ
a A valós ellenállás és az impedancia által bezárt szög: R ϕ=arccos |Z| A kapacitív reaktancia: X C =|Z|⋅sin ϕ 1. táblázat
A teljesítmény-fázorábra elkészítése Egyenáramú körök esetén megtanultuk, hogy egy valós terhelésen (ellenállás) hővé alakuló teljesítmény az ellenállás kapcsain mérhető feszültség, valamint a rajta átfolyó áramerősség szorzataként számítható. Hővé alakuló teljesítmény (valós) jön létre az ellenálláson váltakozó áramú körben is, ám ilyenkor a pillanatnyi teljesítményt, csúcsteljesítményt, valamint effektív teljesítményt értelmezünk. Valós teljesítmény csak valós (ohmos, rezisztív) ellenálláson tud létrejönni, amely kétpóluson eső feszültség és a rajta átfolyó áramerősség azonos fázisú. Egyenáramú teljesítmény: P=U R⋅I R
Váltakozó áramú teljesítmény: Pillanatnyi teljesítmény: p=u R⋅i R ^
^
^
Csúcsteljesítmény: P=U⋅I
^
^
^
^
^
P U⋅I U I = ⋅ =U eff⋅I eff Effektív teljesítmény: Peff = = 2 2 √ 2 √2 A kapacitív reaktancián átfolyó áramhoz képest a feszültsége pontosan 90o -ot késik. A 7. ábrán látható, hogy ebben az esetben negyed periódusig azonos irányú az áramerősség, negyed periódusig pedig ellentétes irányú. Ennek megfelelően negyed periódusig teljesítményt vesz fel a hálózatból, mely teljesítményt a következő negyed periódusban leadja. Lényegében teljes periódusra vonatkoztatva elmondható, hogy a kapacitív reaktancia teljesítménye nulla, nincs hatásos teljesítmény ( ∑ P=0) u, i
1. negyed periódus: 2. negyed periódus: 3. negyed periódus: 4. negyed periódus:
T
t, szög [rad] π/4 π/2 3π/4
felvesz
lead
π
5π/4 3π/2 7π/4 2π
felvesz
lead
P=U⋅I =(+)⋅(+)=(+) => felvesz P(2) =U⋅I =(+)⋅(-)=(- ) => lead P(3) =U⋅I =(+)⋅(+)=( +) => felvesz P(4 )=U⋅I =(+)⋅( -)=(-) => lead
ahol: |P(1)|=|P(2)| ; |P(3)|=|P(4)| és P(1) =P(3) Mindebből következik, hogy:
feszültség áramerősség
látszólag: valójában:
és P(2) =P(4 )
∑ P=P 1+ P 2+ P3 + P 4=0
P=U⋅I P=0
7. ábra A kapacitív reaktancia teljesítménye (a kondenzátor teljesítménye váltakozóáramú körben) AZ ELEKTROTECHNIKA ALKALMAZÁSAI
Készítette: Mike Gábor
4/9
SOROS RC-KÖR
A kondenzátoron (mint kapacitív reaktancián) eső feszültség és a rajta átfolyó áram szorzata tehát nem ad valós teljesítményt. Ez a teljesítmény az úgynevezett meddő teljesítmény: Q=U⋅I [var ] . Amennyiben a feszültség-fázorábra valamennyi komponensét megszorozzuk a soros RC-kör egyetlen közös mennyiségével (vagyis az árammal), akkor a kör teljesítménykomponenseit kapjuk eredményül. Megfigyelhető, hogy az eredményül kapott teljesítmény-fázorábra a feszültség-fázorábrával arányos. A kapacitív reaktancia meddő teljesítményének, valamint az ellenállás valós teljesítményének vektoriális összege a hálózatból felvett komplex teljesítmény, vagyis a látszólagos teljesítmény. Mindezek tükrében az is belátható, hogy a komplex teljesítmény (látszólagos teljesítmény, S ) koszinuszos vetülete az ellenálláson létrejövő valós, vagyis a hatásos teljesítmény ( P) , a szinuszos pedig a kapacitív reaktancia meddő teljesítménye. P=U R⋅I [ W ] ;
|U 0|= √U R2 +U C 2 => / I => |Z|= √ R2 + X C 2
QC =U C⋅I [var] ; S=U 0⋅I [VA ] .
P=|S|⋅cos ϕ és QC =|S|⋅sin ϕ Összegezzünk minden eddig megismert adatot! I
ϕ UC
ω
UR
R
ω ϕ
ϕ
U0
ω
P
S
Z
QC
XC /I xI
a) Feszültség-fázorábra
b) Impedancia-fázorábra
c) Teljesítmény-fázorábra
7. ábra A soros RC-kör fázorábrái Forrásfeszültség (komplex fesz.):
Impedancia (komplex ellenállás):
U 0= √ U R2 +U C 2
|Z|= √ R2 + X C 2
A látszólagos teljesítmény (komplex teljesítmény): |S|=√ P2 +QC 2
Az ellenálláson eső feszültség: U R=|U 0|⋅cos ϕ
Az ellenállás: R=|Z|⋅cos ϕ
A valós teljesítmény: P=|S|⋅cos ϕ
R Fázistényező: cos ϕ= |Z|
P Fázistényező: cos ϕ= |S|
UR |U 0|
Fázistényező: cos ϕ=
A valós feszültség (valamint áram) A valós ellenállás és és a forrásfeszültség által bezárt impedancia által bezárt szög: U R ϕ=arccos szög: ϕ=arccos R | Z| |U 0| A kondenzátoron eső feszültség: U C =|U 0|⋅sin ϕ
az A valós teljesítmény és a látszólagos teljesítmény által P bezárt szög: ϕ=arccos |S|
A kapacitív reaktancia (kapacitív A meddő teljesítmény: látszólagos ellenállás, kapacitancia): X C =|Z|⋅sin ϕ QC =|S|⋅sin ϕ 2. táblázat
AZ ELEKTROTECHNIKA ALKALMAZÁSAI
Készítette: Mike Gábor
5/9
SOROS RC-KÖR
Nézzünk egy számpéldát! I R
Állítsunk össze egy soros RC-kört, a következő értékek és adatok mellett!
UR U0
R=1 k Ω ; C=1μ F ; U 0=100 V ;
C
UC
1 1 f 1 =50 =50 Hz ; f 2=100 =100 Hz s s 8. ábra Készítsük el a feszültség-, az impedancia-, valamint a teljesítmény fázorábrát két különböző frekvenciájú forrás esetén! Eme feladat kidolgozása során képet kaphatunk arról, hogy állandó feszültség mellett, ámde különböző frekvenciákon hogyan változnak a feszültségek, az ellenállások, a teljesítmények, s vele együtt a fázisszög. A kondenzátor kapacitív látszólagos ellenállása, 50 Hz esetén: 1 1 1 1 106 V 104 V X C 50= = = = = = 636,62Ω=3183,01 Ω ωC 2π f C 1 1 −6 As 100 π A π A 2 π⋅50 ⋅1μ F 2 π⋅50 ⋅10 s s V 2 2 2 2 Az impedancia, 50 Hz esetén: Z =√ R + X C =√ 1000Ω + 3183,01Ω =3336,4 Ω
Az áramerősség, 50 Hz esetén: |I 50|=
U0 100 V = =30 mA Z 3336,4 Ω
A kondenzátoron eső feszültség, 50 Hz esetén: U C 50=X C⋅I =3336,4 Ω⋅30 mA=433,70 V =95,5 V Az ellenálláson eső feszültség 50 Hz esetén: U R 50 =R⋅I 50=1000 Ω⋅30 mA =30V 2 2 2 2 A forrásfeszültség ellenőrzése, 50 Hz esetén: U 0= √ U R +U C = √ (95,5 V ) +(30 V ) =100 V
A kondenzátor meddő teljesítménye, 50 Hz esetén: QC 50=U C 50⋅I 50=95,5 V⋅30 mA=2,865 var Az ellenállás hatásos teljesítménye, 50 Hz esetén: P50=U R 50⋅I 50=30 V⋅30 mA=0,9 W A látszólagos teljesítmény, 50 Hz esetén:
|S50|=√ P 2+Q C2=√ 0,9W 2+ 2,865 var 2=3 VA |S50|=U 0⋅I 0=100 V⋅30 mA =3 VA
A cos ϕ (a feszültség-fázorábrából), 50 Hz esetén: cosϕ=
U R 30 V P R 1000 Ω 0,9 W = = = = 50 = =0,3 U 0 100 V |Z 50| 3336,4 Ω |S50| 3 VA
A ϕ fázisszög (a feszültség-fázorábrából), 50 Hz esetén, : ϕ=arccos(0,3)=72,54 o
AZ ELEKTROTECHNIKA ALKALMAZÁSAI
Készítette: Mike Gábor
6/9
SOROS RC-KÖR
A kondenzátor kapacitív látszólagos ellenállása, 100 Hz esetén: 6 1 1 1 1 10 V 5000 V X C 100 = = = = = = π 636,62 Ω=1591,55Ω ωC 2πf C 1 1 −6 As 200 π A A 2 π⋅100 ⋅1μ F 2 π⋅100 ⋅10 s s V 2 2 2 2 Az impedancia, 100 Hz esetén: |Z 100|=√ R + X C = √1000 Ω +1591,55 Ω =1879,64 Ω
Az áramerősség, 100 Hz esetén: |I 100|=
U0 100 V = =53,2 mA Z 1879,64 Ω
A kondenzátoron eső feszültség, 100 Hz esetén: U C 100 =X C 100⋅I =1591,55Ω⋅53,2 mA=433,70 V =84,67 V Az ellenálláson eső feszültség, 100 Hz esetén: U R=R⋅I =1000 Ω⋅53,2mA =53,2 V 2 2 2 2 A forrásfeszültség ellenőrzése, 100 Hz esetén: |U 0|= √ U R +U C =√( 84,67 V ) +(53,2V ) =100 V
A kondenzátor meddő teljesítménye, 100 Hz esetén: QC 100 =U C 100⋅I 100 =84,67 V⋅53,2 mA=4,49 var Az ellenállás hatásos teljesítménye, 100 Hz esetén: P100 =U R 100⋅I 100 =53,2V⋅53,2mA =2,83 W A látszólagos teljesítmény, 100 Hz esetén:
|S100|=√ P2 +QC2= √2,83 W 2+ 4,49 var 2=5,32 VA |S100|=U 0⋅I 0=100 V⋅53,2 mA=5,32VA
A cos ϕ , 100 Hz esetén: cosϕ=
U R 100 53,2 V P R 1000 Ω 2,83W = = = = 100 = =0,532 U0 100 V |Z100| 1879,64 Ω |S100| 5,32VA
A ϕ fázisszög (a feszültség-fázorábrából), 100 Hz esetén, : ϕ=arccos(0.3)=72,54 o 50 Hz esetén
100 Hz esetén
Az ellenállás, R
1000 Ω
1000 Ω
A reaktancia, X C
3183,01Ω
1591,55 Ω
Az impedancia, Z
3336,04 Ω
1879,64 Ω
30 V
53,2V
A kondenzátor feszültsége, U C
95,5 V
84,67 V
A forrás feszültsége, U 0
100 V
100 V
Az áramerősség, I
30 mA
53,2 mA
A hatásos teljesítmény, P
0,9 W
2,83 W
A meddő teljesítmény, X C
2,865 var
4,49 var
3 VA
5,32VA
Az ellenállás feszültsége, U R
A látszólagos teljesítmény, S A fázisszög, ϕ
72,54
o
57,86
o
3. táblázat
AZ ELEKTROTECHNIKA ALKALMAZÁSAI
Készítette: Mike Gábor
7/9
SOROS RC-KÖR
I
ω
UR
ω
ϕ
UC
ω
ϕ
ϕ
U0
/I xI
a) feszültség-fázorábra
b) impedancia-fázorábra
c) teljesítmény-fázorábra
9. ábra Arányos fázorábrák 50 Hz-es frekvenciájú forrás esetén
I
UR
ω
R
ϕ
ω
P
ϕ
ϕ S
Z
U0 XC
UC
ω
QC
/I xI
a) feszültség-fázorábra
b) impedancia-fázorábra
c) teljesítmény-fázorábra
10. ábra Arányos fázorábrák 100 Hz-es frekvenciájú forrás esetén
AZ ELEKTROTECHNIKA ALKALMAZÁSAI
Készítette: Mike Gábor
8/9
SOROS RC-KÖR
u, i
LEAD
FELVESZ
LEAD
t, szög [rad]
FELVESZ
feszültség áramerősség
11. ábra A feladatban szereplő soros RC-kör áram- és feszültségviszonya, 50 Hz esetén u, i
LEAD
FELVESZ
t, szög [rad]
LEAD FELVESZ
feszültség áramerősség
12. ábra A feladatban szereplő soros RC-kör áram- és feszültségviszonya, 100 Hz esetén
AZ ELEKTROTECHNIKA ALKALMAZÁSAI
Készítette: Mike Gábor
9/9
