Debreceni Baross Gábor Középiskola, Szakiskola és Kollégium 4030 Debrecen, Budai Ézsaiás u. 8/A. OM azonosító: 031242
Pedagógiai program Matematika A nevelőtestület véleményezte: 2014. 08. 29. Érvénybe lépésének ideje: 2014. 09. 01.
Debrecen 2014.
1
MATEMATIKA TANTERV Szakközépiskola (középszintű érettségi) Ez a tanterv tartalmazza a kerettanterv által meghatározott tananyagot és annak az órakeret kb. 20%-át kitöltő kiegészítését és részletezését. A kiegészítéseket az egyes évfolyamok tananyagában dőlt betűs írásmóddal emeltük ki. A kerettanterv kiegészítésekor törekedtünk arra, hogy a tananyag spirális felépítése fokozottan érvényesüljön. Emellett fontosnak tartjuk a fogalmak kialakításában az induktív módszer alkalmazását. Az alábbi táblázat az egyes témakörökre felhasználható óraszámokat tartalmazza. Ezek a tanmenet elkészítése során, ahol szakmailag indokolt, átcsoportosíthatók a hozzá tartozó anyagrészekkel együtt. A szabadon tervezhető órakeret alapján minden évfolyamon heti négy órával számoltunk. A tizenegyedik és tizenkettedik évfolyamon az oktatást csoportbontásban tervezzük. 9. évfolyam
10. évfolyam
11. évfolyam
12. évfolyam
Gondolkodási módszerek Számtan, algebra
8
8
11
12
52
53
48
26
Függvények, sorozatok
23
18
18
25
Geometria Valószínűség, statisztika Év végi ismétlés
52
54
54
45
7
9
11
10
6
6
6
10
Összesen
148
148
148
128
Célok és feladatok A matematikatanítás célja a tanulók önálló, rendszerezett, logikus gondolkodásának kialakítása, fejlesztése. Mindezt az a folyamat biztosítja, amelynek során fokozatosan kiépítjük a matematika belső struktúráját (fogalmak, axiómák, tételek, bizonyítások elsajátítása), és a tanultakat változatos területeken alkalmazzuk. A problémák felvetése tegye indokolttá a tanulók számára a pontos fogalomalkotást. Ezek a folyamatok váljanak a tanulók belső, felfedező tanulási tevékenységének részévé. Mindez fejleszti a tanulók absztrakciós és szintetizáló képességét. A célszerű, új fogalmak alkotása, az összefüggések felfedezése és az ismeretek feladatokban való alkalmazása fejleszti a kombinatív készséget, a kreativitást, a problémahelyzetek önálló, megfelelő önbizalommal történő megközelítését, megoldását. A matematikai nevelés sokoldalú eszközökkel fejleszti a tanulók matematizáló, modellalkotó tevékenységét, kialakítja a megfogalmazott összefüggések, hipotézisek bizonyításának igényét, megmutatja a matematika hasznosságát, belső szépségét, az emberi kultúrában betöltött szerepét. Fejleszti a tanulók térbeli tájékozódását, esztétikai érzékét.
2
A matematika a maga hagyományos és modern eszközeivel segítséget ad a természettudományok, az informatika, a technikai, a humán műveltségterületek, szakközépiskolákban a választott szakma ismeretanyagának tanulmányozásához, a mindennapi problémák értelmezéséhez, leírásához és kezeléséhez. A lehetőségekhez igazodva támogassa az elektronikus eszközök (zsebszámológép, számítógép, grafikus kalkulátor, Internet stb.) célszerű felhasználásának megismerését, alkalmazásukat. Fontos, hogy a tanulók képessé váljanak a pontos, kitartó, fegyelmezett munkára, törekedjenek az önellenőrzésre, legyenek képesek várható eredmények becslésére. Törekedni kell a tanulók pozitív motiváltságának biztosítására, önállóságuk fejlesztésére. Ebben a törekvésben fontos terület a matematika alkalmazásának, eszköz jellegének sokoldalú bemutatása, és a tanításban való érvényesítése. Az általános iskolai tanításhoz képest egyre inkább hangsúlyt kap a tárgy deduktív jellege, de továbbra sem nélkülözhető a szemléletre és tevékenységre épülő feldolgozás sem. A tanulók váljanak képessé a középszintű érettségi vizsga sikeres letételére. A matematika kerettantervének új vonásai: a)a modellalkotás, matematizálás jelentőségének növekedése; b)a matematika alkalmazási terének növekedése; c)egyensúly a matematika belső struktúrájának kiépítése és a tanultaknak a mindennapi életben, más tárgyakban való felhasználása, eszközként való alkalmazása között; d) a modern oktatási, tanulási technológiák beépítése a mindennapi iskolai oktatási, nevelési tevékenységbe. Fejlesztési követelmények Az elsajátított matematikai fogalmak alkalmazása, a matematikai szemlélet fejlesztése A középiskolai tanulmányok során a korábban szemléletesen, tevékenységek segítségével kialakított fogalmak megerősítésére, bizonyos fogalmak definiálására, általánosítására kerül sor. A különböző témakörökben megismert összefüggések feladatokban, gyakorlati problémákban való alkalmazása, más témakörökben való felhasználhatóságának felismerése, alkalmazásképes tudása fejleszti a tanulók matematizáló tevékenységét. Az időszak végére szükség van a valós számkör biztos ismeretére, e számkörben megismert műveletek gyakorlati és elvontabb feladatokban való alkalmazására is. A tananyag különböző fejezeteiben a számításoknál fontos a zsebszámológép, a számítógép biztos használata, a számítógép alkalmazása. Műveleteket az algebrai kifejezések és a vektorok körében is értelmezünk és használunk. Elengedhetetlen az elemi függvények ábrázolása koordináta-rendszerben és a legfontosabb függvénytulajdonságok meghatározása nemcsak a matematika, hanem a természettudományos tárgyak megértése miatt, különböző gyakorlati helyzetek leírásának érdekében is. A geometriai ismeretek bővülése, a megismert geometriai transzformációk rendszerezettebb tárgyalása fejleszti a dinamikus geometriai szemléletet. A trigonometriai számítások a gyakorlat szempontjából fontosak (távolságok, szögek meghatározása számítás útján). A sík- és térgeometriai fogalmak és tételek mind a térszemlélet, mind az analógiás gondolkodás fejlesztése szempontjából lényegesek. A terület-, felszín-, térfogatszámítás más tantárgyakban is elengedhetetlen. A koordináta-geometria elemeinek tanításával a matematika különböző területeinek összefüggéseit s így a matematika komplexitását mutatjuk meg. A következtetési, a bizonyítási készség fejlesztése hangsúlyos ennél a korosztálynál. A “ha ..., akkor ...” az “akkor és csak akkor” helyes használata az élet számos területén (nem csak a matematikában) fontos. Gyakorlottság a matematikai problémák megoldásában, jártasság a logikus gondolkodásban
3
A problémaérzékenységre, a problémamegoldásra nevelés fontos feladatunk. Ehhez elengedhetetlen egyszerű matematikai szövegek értelmezése, elemzése, s az hogy a tanulók minél többször önállóan oldjanak meg feladatokat. Aktívan vegyenek részt a tanítási, tanulási folyamatban. A diszkussziós képesség fejlesztése, a többféle megoldás keresése, megtalálása és megbeszélése a logikus gondolkodást is fejleszti. Hasznos az élet és a különböző tudományok megértéséhez (a társadalomtudományokéhoz is) a gyakorlatban fontos témák megismerése, pl. a geometriai számítások, a leíró statisztika és valószínűség-számítás elemeinek alkalmazása. Ez megmutatja a tanulók számára a matematika használhatóságát. El kell érnünk, hogy az érettségi előtt állók e területen bizonyos gyakorlottságra tegyenek szert. Az elsajátított megismerési módszerek és gondolkodási műveletek alkalmazása A 9–12. évfolyam matematikatanításában az induktív módszer mellett nagyobb szerepet kapnak a deduktív következtetések is. A tanítandó anyagban sejtéseket fogalmazunk (fogalmaztatunk) meg, melyek néhány lépésben bizonyíthatók vagy megcáfolhatók. Tanításunkban fontos a bizonyítás iránti igény felkeltése. Sor kerül néhány egyszerű tétel bizonyítására, bizonyítási módszerek megismerésére, valamint a fogalmak, szabályok pontos megfogalmazására. A matematikatanításban alapvetően fontos az absztrakciós képesség fejlesztése. Az érettségi előtti rendszerező összefoglaláskor a matematika komplexitását mutatja meg az elemi halmazelméleti és logikai ismeretek alkalmazása különböző témakörökben, valamint egyszerű modellek (pl. gráfok) szerepeltetése. A logikus gondolkodás a problémamegoldásban, az algoritmikus eljárások során és az alkalmazásokban egyaránt lényeges. A matematika különböző területein néhány lépéses algoritmus készítése az informatika tanulmányozásához is fontos. Természetesen ezen időszakban is elengedhetetlen a szemléltető ábrák és egyéb eszközök alkalmazása nemcsak a geometriában (trigonometriában), hanem a kombinatorikában és a statisztikában is. Az adatsokaságok különböző jellemzési lehetőségeinek megismertetésével ezen a téren is fejlesztjük az alkalmazásképes tudást. Helyes tanulási szokások fejlesztése A gyakorlati számítások során alkalmazott újabb ismeretek egyre fontosabbá teszik az elektronikus eszközök célszerű használatát. A közelítő értékekkel való számoláshoz különösen elengedhetetlen a becslés, a kerekítés, az ellenőrzés különböző módjainak alkalmazása, az eredmény realitásának eldöntése. A tanulóktól megkívánjuk a szaknyelv pontos használatát, a jelölésrendszer helyes alkalmazását. A matematikai szöveg értő olvasása, tankönyvek, lexikonok használata, szövegekből a lényeg kiemelése, a helyes jegyzeteléshez szoktatás a felsőfokú tanulást is segíti. A helyes érvelésre szoktatással sokat tehet (és tesz is) a matematikatanítás a kommunikációs készség fejlesztéséért. Fontos elérnünk, hogy a tanulók meg tudják különböztetni a definíciót, a sejtést és a tételt. Matematikatudásról akkor beszélhetünk, ha a definíciókat, tételeket alkalmazni is tudja a tanuló. Nem hagyhatjuk figyelmen kívül, hogy a matematika a kultúrtörténet része. Komoly motiváció lehet tanításunkban a matematikatörténet egy-egy mozzanatának megismertetése, a máig meg
4
nem oldott egyszerűnek tűnő matematikai sejtések megfogalmazása, nagy matematikusok élete, munkássága. Ehhez segítséget ad a könyvtár és az Internet használata is. Fontosnak tartjuk, hogy a matematikát oktató tanárok, elsősorban a számítástechnika szakkal is rendelkezők, fokozottan használják ki a számítógép nyújtotta lehetőségeket munkájuk során. (Demonstráció: függvények ábrázolása, függvények transzformációja, testek, térgeometriai ismeretek. Tesztek, feladatlapok összeállítása)
9. évfolyam Évi óraszám: 148 Gondolkodási módszerek (8 óra) Fejlesztési Tartalom feladatok, tevékenységek A szemléletes A megismert számhalmazok (természetes fogalmak definiálása, számok, egész számok, racionális számok, tudatosítása. valós számok), ponthalmazok áttekintése, véges és végtelen halmazok, az intervallum fogalma (nyitott, zárt). Tájékozódás a számegyenesen. Halmazműveletek: unió, metszet, részhalmaz képzés, két halmaz különbsége. Alaphalmaz, üres halmaz fogalma. Egyszerű azonosságok szemléletes bizonyítása (Venn-diagram). Egyszerű feladatok a logikai szita-formulára. Módszer keresése az Kombinatorikai feladatok, az összes eset összes eset áttekintése. áttekintéséhez. A szükséges és Az “akkor és csak akkor” használata – elégséges feltétel (folyamatos) megkülönböztetése. Tétel és megfordítása (folyamatos).
Minimum követelmények, a továbbhaladás feltételei Tájékozottság a racionális számkörben.
Részhalmaz, unió, metszet, két halmaz különbsége.
Számtan, algebra (52 óra) Fejlesztési Minimum követelmények, a Tartalom feladatok, továbbhaladás feltételei tevékenységek A fogalom célszerű Betűk használata a matematikában, Az azonosságok ismerete és kiterjesztése, a műveletek betűs kifejezésekkel. Egytagú, alkalmazásuk. számok többtagú kifejezések; kifejezések fokszáma. nagyságrendjének A hatványozás értelmezése 0 és negatív egész tudása. kitevőre, a hatványozás azonosságai; számok abszolút értéke, normál alakja.
5
Fejlesztési Tartalom feladatok, tevékenységek Kombinatív készség Nevezetes azonosságok: kommutativitás, fejlesztése. asszociativitás, disztributivitás; (a ± b)2, a2 – b2 szorzat alakja, (a ± b)3, a3 ± b3 szorzat alakja. Szorzattá alakítás módszerei: kiemelés, csoportosítás, nevezetes azonosságok alkalmazása. Műveletek végzése Ezen azonosságok alkalmazása egyszerű számokkal és algebrai algebrai törtekkel végzett műveleteknél. kifejezésekkel, a (Egyszerűsítés, szorzás, osztás, összevonás.) szaknyelv használata. Egyes változók kifejezése fizikai, kémiai képletekben.A lineáris egyenletek megoldásának áttekintése. Egyenletek megoldása mérlegelvvel, szorzattá alakítással, értelmezési tartomány és értékkészlet vizsgálatával. Paraméteres egyenletek. Gyakorlati, mindennapi életbeli problémák megoldása egyenletekkel. Algoritmikus Elsőfokú kétismeretlenes egyenletrendszer gondolkodás és a megoldása (behelyettesítő módszer, egyenlő gyakorlati problémák együtthatók módszere, grafikus módszer). modellezése, értő Egyenletrendszerre vezető szöveges szövegolvasás. feladatok, százalékszámítás, kamatszámítás, példák többismeretlenes egyenletrendszerre. A rendszerező-képes- Abszolútértékes egyenletek. ség fejlesztése. A matematika iránti Relatív prímek, oszthatósági feladatok érdeklődés erősítése (számolás maradékokkal, oszthatósági az elemi számelmélet szabályok: 2-vel, 3-mal, 4-gyel, 5-tel, 9-cel alapvető problévaló oszthatóság), a prímszámok száma. máival és Prímtényezős felbontás, legnagyobb közös matematikatörténeti osztó, legkisebb közös többszörös. Példa vonatkozásaival. számrendszerekre. Számrendszerek közötti Induktív gondolkodás konverzió fejlesztése (próbálgatás, általánosítás). Függvények, sorozatok (23 óra) Fejlesztési feladatok, tevékenységek
Tartalom
Minimum követelmények, a továbbhaladás feltételei Számok abszolútértéke, normál alakja. A másodfokú azonosságok alkalmazása. A négy alapművelet egyszerű algebrai törtekkel.
Egyszerű egyenletrendszerek biztos megoldása. A százalékszámítás alkalmazása a gyakorlatban.
3-mal, 9-cel való oszthatóság ismerete. Számok prímtényezőkre való bontása.
Minimum követelmények, a továbbhaladás feltételei
6
A függvényszemlélet fejlesztése: a hozzárendelések szabályként való értelmezése.
A függvény fogalma, elemi tulajdonságai; a lineáris függvény, abszolútérték függvény, másodfokú függvény, a négyzetgyök függvény, gyakorlati példák további függvényekre (egészrész-, törtrész-, előjelfüggvény), a fordított arány,
Az alapfüggvények tulajdonságainak ismerete. Képlettel megadott függvény ábrázolása értéktáblázat segítségével.
a x
.A A megfelelő modell vizsgált függvények elemi tulajdonságai: megkeresése. értékkészlet, zérushely, monotonitás, korlátosság, szélsőértékek. Célszerű Függvénytranszformációk. Egyszerű példák Az alapfüggvények eszközhasználat. változó és értéktranszformációkra (eltolás az transzformációja egy lépés x illetve y tengely mentén). esetén. Kétismeretlenes egyenletrendszer grafikus megoldása. Geometria (52 óra) Fejlesztési feladatok, tevékenységek Tájékozottság a megismert síkidomok tulajdonságaiban. Sejtések megfogalmazása, új összefüggések felfedezése, bizonyítási igény kialakítása.
A transzformációk, mint függvények értelmezése, a matematika különböző területei közötti kapcsolatok keresése.
Tartalom
x a
Minimum követelmények, a továbbhaladás feltételei
Geometriai alapfogalmak (pontok, egyenesek Speciális háromszögek, és síkok kölcsönös helyzete), háromszögekkel, négyszögek és szabályos négyszögekkel, sokszögekkel kapcsolatos sokszögek tulajdonságainak ismeretek kiegészítése, rendszerezése. ismerete. Nevezetes ponthalmazok a síkban és a térben. A nevezetes vonalak ismerete, A háromszög nevezetes vonalai, beírt köre, a háromszög beírt és köréírt körülírt körre. körének ismerete.
Thalész tétele, néhány alkalmazása, a kör és A körrel kapcsolatos fogalmak érintői, érintősokszög fogalma. és az érintő tulajdonságának ismerete. A geometriai transzformáció fogalma, példák A megismert transzformációk geometriai transzformációkra. tulajdonságainak felhasználása A tengelyes és középpontos tükrözés, ezek egyszerű, konkrét esetekben. tulajdonságai, néhány alkalmazása (tengelyes és középpontos szimmetria; a paralelogramma, a háromszög és a trapéz középvonala, a háromszög súlypontja). Az eltolás áttekintése, rendszerezése, a vektor fogalma. Példa további egybevágósági transzformációra (pont körüli elforgatás, forgásszimmetria). Az egybevágóság mint reláció; alakzatok egybevágósága; háromszögek egybevágóságának alapesetei.
7
Fejlesztési Tartalom feladatok, tevékenységek Síkbeli tájékozódás, A forgásszög fogalma, ívmérték, a kör tervezés, a középponti szöge, körív hossza, körcikk konstrukciós, kerülete, területe. analizáló képesség és a diszkussziós igény Egyszerű szerkesztési feladatok. kialakítása, sokoldalú szemléltetés, szerkesztőprogramok megismerése.
Minimum követelmények, a továbbhaladás feltételei
Valószínűség, statisztika (7 óra) Fejlesztési Minimum követelmények, a Tartalom feladatok, továbbhaladás feltételei tevékenységek A statisztikai adatok Statisztikai adatok és ábrázolásuk Számsokaság számtani helyes értelmezése. A (kördiagram, oszlopdiagram stb.), számtani közepének kiszámítása, a hétköznapi életben közép, medián, módusz; adatok szóródásának középső érték (medián) és a megjelenő statisztikai mérése. Súlyozott számtani közép. leggyakoribb érték (módusz) adatok elemzése. ismerete. Kördiagram, oszlopdiagram adatainak értelmezése. Év végi ismétlés és rendszerező összefoglalás (6 óra)
10. évfolyam Évi óraszám: 148 Gondolkodási módszerek (8 óra) Fejlesztési Minimum követelmények, a Tartalom feladatok, továbbhaladás feltételei tevékenységek A köznapi Tétel és megfordítása. (folyamatos) A csak kimondott, illetve be is gondolkodás és a Bizonyítási módszerek, jellegzetes bizonyított összefüggések matematikai gondolatmenetek (indirekt módszer, skatulya- megkülönböztetése. gondolkodás elv konkrét példákon keresztül). megkülönböztetése. A bizonyítási igény további fejlesztése. Változatos kombinatorikai feladatok a Egyszerű sorbarendezési és hétköznapi életből. kiválasztási feladatok konkrét elemszám esetén. Számtan algebra (53 óra) Fejlesztési feladatok, tevékenységek
Tartalom
Minimum követelmények, a továbbhaladás feltételei
8
Fejlesztési Tartalom feladatok, tevékenységek A permanencia elve a A valós szám szemléletes fogalma, számfogalom kapcsolata a számegyenessel, a valós számok bővítésében. tizedestört alakja. Kapcsolat a racionális számok (közönséges) tört és tizedes tört alakja között. Példák irracionális számokra ( 2 , szakaszok összemérhetetlensége). A négyzetgyökvonás azonosságai. Gyökjel alól kihozatal, gyökjel alá bevitel, törtek nevezőjének gyöktelenítése. Az n-edik gyök fogalma, azonosságai. A megoldás keresése többféle úton, tanulói felfedezések, önálló eljárások keresése. Az algoritmikus gondolkodás fejlesztése.
A másodfokú egyenlet megoldása (teljes négyzetté kiegészítés), a megoldóképlet (a megoldhatóság vizsgálata, a diszkrimináns szerepe), gyöktényezős alak, gyökök és együtthatók összefüggése. A másodfokú egyenlet és a másodfokú függvény kapcsolata. Paraméteres másodfokú egyenletek. Összefüggés két pozitív szám számtani és mértani közepe között. Egyszerű szélsőérték-feladatok megoldása.
Minimum követelmények, a továbbhaladás feltételei Tájékozottság a valós számok halmazán, a racionális és irracionális számok tizedestört alakja, nevezetes irracionális számok ismerete. A négyzetgyökvonás azonosságainak alkalmazása egyszerű esetekben. A megoldóképlet biztos ismerete és alkalmazása. Két pozitív szám számtani és mértani közepének fogalma.
A matematika Másodfokú egyenletre vezető szöveges eszközként való feladatok. felhasználása gyakorlati és természettudományos problémák megoldásában.
Különböző típusú egyszerű szöveges feladatok megoldása.
Diszkussziós igény az Ekvivalens és nem ekvivalens lépések algebrai feladatoknál. egyenletek átalakításánál, egyszerű négyzetgyökös egyenletek. Az értelmezési tartomány és az értékkészlet vizsgálata.
Egyszerű négyzetgyökös egyenlet megoldása. A megoldások ellenőrzése.
Az algebrai és Másodfokú egyenlőtlenség megoldása. A grafikus módszerek megoldások ábrázolása számegyenesen. együttes alkalmazása a problémamegoldásba n. Függvények, sorozatok (18 óra) Fejlesztési feladatok, tevékenységek
Tartalom
Minimum követelmények, a továbbhaladás feltételei
9
Fejlesztési feladatok, Tartalom tevékenységek Új A szögfüggvényfogalom kiterjesztése, a függvénytulajdonságo forgásszög szögfüggvényeinek értelmezése, k megismerése, összefüggések a szög szögfüggvényei között függvénytranszformá (sin2a + cos2a = 1, pótszögek ciók további szögfüggvényei közötti kapcsolat, kiegészítő alkalmazása. szögek szögfüggvényei közötti kapcsolat, A négyjegyű szögek ellentettjének szögfüggvényei). függvénytáblázatok A trigonometrikus függvények tulajdonságai és matematikai (értelmezési tartomány, monotonitás, összefüggések zérushelyek, szélsőértékek, periodicitás, célszerű használata. értékkészlet), a függvények ábrázolása. Egyszerű trigonometrikus egyenletek megoldása.
Minimum követelmények, a továbbhaladás feltételei A szögfüggvények definíciójának ismerete, az sinx és cosx függvények ábrázolása és tulajdonságai.
Geometria (54 óra) Fejlesztési Minimum követelmények, a Tartalom feladatok, továbbhaladás feltételei tevékenységek A transzformációs A körrel kapcsolatos ismeretek bővítése: A hasonlóság szemléletes szemlélet fejlesztése. kerületi és középponti szög fogalma, kerületi tartalmának ismerete, a szögek tétele; húrnégyszög fogalma, középpontos nagyítás és húrnégyszögek tétele. kicsinyítés alkalmazása Párhuzamos szelők és szelőszakaszok tétele. egyszerű gyakorlati A szögfelezőtétel. feladatokban. A középpontos hasonlósági transzformáció fogalma és tulajdonságai. A hasonlósági transzformáció fogalma, síkidomok hasonlósága. Kreatív A háromszögek hasonlóságának alapesetei. Az alapesetek ismerete. problémamegoldás. A hasonlóság alkalmazásai: háromszög A felsorolt tételek ismerete és Geometriai ismeretek súlyvonalai, súlypontja, arányossági tételek a alkalmazása egy vagy két alkalmazása, biztos derékszögű háromszögben (befogótétel, lépéssel megoldható számítási számolási készség, magasságtétel), körhöz húzott érintő és feladatoknál. zsebszámológép szelőszakaszok tétele. célszerű használata. Hasonló síkidomok területének aránya, hasonló testek térfogatának aránya. Pitagorasz tételének alkalmazása. Hegyesszögek szögfüggvényeinek értelmezése, szögfüggvények alkalmazása derékszögű háromszög hiányzó adatainak kiszámítására, gyakorlati feladatok. Síkbeli és térbeli számítások (pl. háromszögek, négyszögek, sokszögek területének meghatározása szögfüggvények segítségével). Nevezetes szögek szögfüggvény-értékeinek kiszámítása.
10
Fejlesztési feladatok, tevékenységek A vektorok további alkalmazása.
Tartalom
Minimum követelmények, a továbbhaladás feltételei
A vektorok összege, szorzása számmal, vektor felbontása különböző irányú összetevőkre a síkban. Vektorok a koordinátarendszerben.
Valószínűség, statisztika (9 óra) Fejlesztési feladatok, Minimum követelmények, a Tartalom tevékenységek továbbhaladás feltételei A valós helyzetek További valószínűségi kísérletek, Egyszerű problémák értelmezése, a valószínűség becslése, kiszámítása megoldása a klasszikus megértése és egyszerű esetekben. valószínűségi modell alapján. értékelése. A valószínűség szemléletes fogalma (esemény, lehetetlen esemény, biztos esemény, komplementer esemény fogalma, valószínűsége). A valószínűség kiszámítása konkrét esetekben. Év végi ismétlés, rendszerező összefoglalás (6 óra)
11. évfolyam Évi óraszám: 148 Gondolkodási módszerek (11 óra) Fejlesztési Tartalom feladatok, tevékenységek A kombinatív, Véges halmaz permutációi, variációi, rendszerezési készség kombinációi számának meghatározása fejlesztése. egyszerű esetekben. A többféle megoldási Binomiális együtthatók, Pascal-háromszög. mód lehetőségének Véges halmaz részhalmazainak száma. keresése. Vegyes kombinatorikai feladatok. Előzetes becsléshez szoktatás, a becslés összevetése a számításokkal. A gráf modellként való felhasználása.
Gráfelméleti alapfogalmak, alkalmazásuk. Feladatok megoldása gráfokkal.
Számtan, algebra (48 óra) Fejlesztési feladatok, tevékenységek
Tartalom
Minimum követelmények, a továbbhaladás feltételei Egyszerű kombinatorikai feladatok megoldása.
A gráf szemléletes fogalma, egyszerű alkalmazásai.
Minimum követelmények, a továbbhaladás feltételei
11
Fejlesztési feladatok, tevékenységek
Tartalom
Minimum követelmények, a továbbhaladás feltételei
Másodfokúra visszavezethető magasabb fokú egyenletek, egyenletrendszerek megoldása új ismeretlen bevezetésével. A matematikai fogalom célszerű kiterjesztése, a fogalmak általánosításánál a permanencia elv felhasználása.
A hatványozás kiterjesztése pozitív alap esetén racionális kitevőkre. A hatványozási azonosságok.
A hatványozás definíciója, műveletek, azonosságok ismerete egész kitevő esetén.
Bizonyítás iránti igény mélyítése. Matematikatörténeti vonatkozások megismerése (könyvtár- és internethasználat).
A logaritmus értelmezése. A logaritmus, mint a hatványozás inverz művelete. A logaritmus azonosságai. Áttérés más alapú logartmusra.
A logaritmus fogalmának ismerete, azonosságainak alkalmazása egyszerűbb esetekben.
Az absztrakciós és Exponenciális és logaritmikus egyenletek, szintetizáló képesség egyenlőtlenségek. fejlesztése. Az önellenőrzés igényének fejlesztése. Függvények, sorozatok (18 óra) Fejlesztési feladatok, tevékenységek A függvényfogalom fejlesztése. Összefüggések felismerése a matematika különböző területei között. A bizonyításra való törekvés fejlesztése.
Tartalom
A definíció és az azonosságok egyszerű alkalmazása exponenciális és logaritmusos egyenlet, egyenlőtlenség esetén.
Minimum követelmények, a továbbhaladás feltételei
A 2x, a 10x függvény, az exponenciális függvény vizsgálata, exponenciális folyamatok a természetben. A logaritmus függvény, mint az exponenciális függvény inverze.
Számítógép A szögfüggvényekről tanultak áttekintése. használata a A tanult függvények tulajdonságai függvényvizsgálatokb (értelmezési-tartomány, értékkészlet, an és a zérushely, szélsőérték, monotonitás, transzformációkban. periodicitás, paritás). A szögfüggvények transzformációi: f(x) + c; f(x + c); c f(x); f(cx).
Az alapfüggvények ábrái és legfontosabb tulajdonságainak vizsgálata (értelmezésitartomány, értékkészlet, zérushely, szélsőérték).
12
Geometria, mérés (54 óra) Fejlesztési Minimum követelmények, a Tartalom feladatok, továbbhaladás feltételei tevékenységek A térszemlélet A vektorokról tanultak áttekintése, Vektorműveletek és fejlesztése. rendszerezése. tulajdonságaik (összeadás, Pontos A vektorműveletek tulajdonságai. kivonás, skalárral való fogalomalkotásra Vektorok a koordinátarendszerben. szorzás). törekvés. Két vektor skaláris szorzata. Vektorok alkalmazásai. Bizonyítás iránti A skaláris szorzat tulajdonságainak igény felsorolása. A skaláris szorzat koordinátákkal továbbfejlesztése. kifejezve. A skaláris szorzat alkalmazásai; A fizika és a addíciós tételek (sin(a ± b), cos(a ± b), sin2a, matematika cos2a). termékeny kapcsolatának megmutatása. Tervszerű munkára Szinusztétel, koszinusztétel. Az A szinusztétel és nevelés. alkalmazásukhoz szükséges egyszerű a koszinusztétel alkalmazása Az esztétikai érzék trigonometrikus egyenletek. alapfeladatok megoldásában (a fejlesztése. háromszög hiányzó adatainak meghatározása). A matematika Távolság, magasság és szög meghatározása gyakorlati gyakorlati feladatokban és a fizikában. felhasználása. A zsebszámológép és a számítógép alkalmazása. Az eredmények realitásának és pontosságának eldöntése. Geometriai feladatok Helyvektor. Vektorok koordinátáinak biztos megoldása algebrai Műveletek koordinátákkal adott vektorokkal. használata. eszközökkel. A bizonyítási készség Szakasz osztópontja. A háromszög Szakasz felezőpontja fejlesztése. súlypontja. koordinátáinak kiszámítása. Két pont távolsága, szakasz hossza. A kör középponti egyenletének A kör egyenlete. A kétismeretlenes ismerete. másodfokú egyenlet és a kör egyenletének kapcsolata.
13
Fejlesztési feladatok, tevékenységek Adott probléma többféle megközelítése.
Tartalom
Minimum követelmények, a továbbhaladás feltételei
Az egyenes irányára jellemző adatok: az irányvektor, a normálvektor, az iránytangens fogalma, kapcsolatuk. Az egyenes egyenlete, különböző alakjai. Két egyenes párhuzamosságának, merőlegességének feltétele, két egyenes metszéspontja. Kör és egyenes kölcsönös helyzete. A kör érintője. A parabola mint ponthalmaz. A parabola tengelyponti egyenlete.
Az egyenes egy szabadon választott egyenletének tudása.
Valószínűség, statisztika (11 óra) Fejlesztési Tartalom feladatok, tevékenységek A körülmények kellő Egyszerű valószínűség-számítási problémák. figyelembevétele. Néhány konkrét eloszlás vizsgálata. Előzetes becslés Műveletek eseményekkel konkrét összevetése a valószínűségszámítási példák esetén (“és”, számításokkal. “vagy”, “nem”). Modellalkotásra Relatív gyakoriság. nevelés. Modell és A valószínűség klasszikus modellje. valóság kapcsolata.
Két egyenes metszéspontjának meghatározása. Kör és egyenes kölcsönös helyzetének vizsgálata.
Minimum követelmények, a továbbhaladás feltételei
A relatív gyakoriság és a valószínűség közötti szemléletes kapcsolat ismerete, egyszerű valószínűségi feladatok megoldása.
A számítógép Statisztikai mintavétel. (Visszatevéses és alkalkazása visszatevés nélküli mintavétel.) statisztikai adatok, illetve véletlen jelenségek vizsgálatára. A mindennapi problémák értelmezése, a statisztikai zsebkönyvek, a napi sajtó adatainak elemzése. Év végi ismétlés, rendszerező összefoglalás (6 óra)
14
12. évfolyam Évi óraszám: 128 Gondolkodási módszerek (12 óra) Fejlesztési Minimum követelmények, a Tartalom feladatok, továbbhaladás feltételei tevékenységek Az ismeretek Kijelentés fogalma, műveletek Az előző években felsorolt rendszerezése: kijelentésekkel: konjunkció, diszjunkció, továbbhaladási feltételek. A matematika negáció, ekvivalencia, implikáció. A logikai különböző területei műveletekre vonatkozó egyszerű közti azonosságok. összefüggéseinek A halmazelméleti és logikai ismeretek tudatosítása. kapcsolata, rendszerezése. A deduktív gondolkodás fejlesztése.
A megismert bizonyítási módszerek összefoglalása. Néhány példa a teljes indukció megismertetésére. A kombinatorikai és gráfokkal kapcsolatos ismeretek áttekintése.
Számtan, algebra (26 óra) Fejlesztési feladatok, Tartalom tevékenységek Rendszerező összefoglalás Számhalmazok
Minimum követelmények, a továbbhaladás feltételei Az előző években felsorolt továbbhaladási feltételek.
Matematikatörténeti Számelméleti összefoglalás. ismeretek (könyvtár- és A valós számok és részhalmazai. internethasználat). Szám- és A műveletek értelmezése, műveleti műveletfogalom biztos tulajdonságok. alkalmazása. Közelítő értékek. Egyenletek Tervszerű, pontos és Nevezetes másod- és harmadfokú algebrai fegyelmezett munkára azonosságok. nevelés. Az egyenletmegoldás módszerei. Az önellenőrzés Az alaphalmaz szerepe (értelmezési fontossága. tartomány és értékkészlet vizsgálata). Egyenlőtlenségek. Egyenlet-, illetve egyenlőtlenségrendszerek. Másodfokú kifejezések. Másodfokú egyenletek, Viete formulák. Négyzetgyökös kifejezések és egyenletek. Exponenciális, logaritmikus és trigonometrikus kifejezések, egyszerű egyenletek.
15
Fejlesztési feladatok, Tartalom tevékenységek A problémamegoldó Szöveges feladatok. Paraméteres gondolkodás, feladatok. a szövegértés, a szövegelemzés fejlesztése.
Minimum követelmények, a továbbhaladás feltételei
Függvények, sorozatok (25 óra) Fejlesztési Minimum követelmények, a Tartalom feladatok, továbbhaladás feltételei tevékenységek A sorozat fogalma. Számtani és mértani sorozat A matematika Számtani és mértani sorozat, az n. tag, az első esetén az n-dik tag, és az első n alkalmazása a n elem összege. elem összegének kiszámítása gyakorlati életben. Kamatoskamat-számítás. feladatokban. Matematikatörténeti Példák egyéb sorozatokra (rekurzió, pl. a Kamatoskamat-számítás feladatok. Fibonacci-sorozat). alkalmazása egyszerű gyakorlati feladatokban. Rendszerező összefoglalás Az előző években felsorolt továbbhaladási feltételek. Az absztrakciós A függvényekről tanultak áttekintése, készség fejlesztése. rendszerezése. A függvényszemlélet Az alapfüggvények ábrázolása. fejlesztése. Függvénytranszformációk. A függvények f(x) + c; f(x + c); c f(x); f(cx). alkalmazása a Függvényvizsgálat a függvények gyakorlatban és a grafikonjainak segítségével. természettudományok ban. Geometria, mérés (45 óra) Fejlesztési Tartalom feladatok, tevékenységek A térszemlélet Térelemek kölcsönös helyzete, távolsága, fejlesztése. szöge. Egyszerű kombinatorikus geometriai Az esztétikai érzék problémák vizsgálata. fejlesztése. A síkra merőleges egyenes tételének ismerete. Egyszerű poliéderek.
Minimum követelmények, a továbbhaladás feltételei Az előző években felsorolt továbbhaladási feltételeken kívül: térelemek kölcsönös helyzetének, távolságuk, hajlásszögük definíciójának ismerete.
16
Fejlesztési feladatok, tevékenységek
Tartalom
A terület- és kerületszámítással kapcsolatos ismeretek összefoglalása. A terület és a A matematika térfogat fogalma. gyakorlati A poliéderek felszíne, térfogata. alkalmazásai a A hengerszerű testek, a henger felszíne és térgeometriában. térfogata. Sík- és térgeometriai Kúpszerű testek. ismeretek A Cavalieri-elv. összekapcsolása, A kúpszerű testek felszíne és térfogata. analógiák A csonkagúla, csonkakúp térfogata, felszíne. felismerése. A gömb felszíne, térfogata. Poliéderek és forgástestek körülírt és beírt gömbjei. Rendszerező összefoglalás Geometriai alapfogalmak, ponthalmazok. A függvényszemlélet fejlesztése. A deduktív gondolkodás fejlesztése.
Minimum követelmények, a továbbhaladás feltételei
A megismert felszín- és térfogat számítási képletek alkalmazása egyszerű feladatokban.
A geometriai transzformációk áttekintése. Háromszögekre vonatkozó tételek és alkalmazásaik. Négyszögekre vonatkozó tételek és alkalmazásaik. Körre vonatkozó tételek és alkalmazásaik.
A matematika Vektorok, vektorok koordinátái. különböző területei Vektorműveletek, műveleti tulajdonságok, közötti összefüggések alkalmazások. felhasználása. Derékszögű koordináta-rendszer. Alakzatok egyenlete. Trigonometrikus összefüggések és alkalmazásaik. Valószínűség, statisztika (10 óra) Fejlesztési Minimum követelmények, a Tartalom feladatok, továbbhaladás feltételei tevékenységek A leíró statisztika és a Statisztikai és mintavételi adatok vizsgálata Az előző években felsorolt valószínűségszámítás (közvélemény-kutatás, minőség ellenőrzés). továbbhaladási feltételek. gyakorlati szerepe, alkalmazása. A számítógép felhasználása statisztikai adatok kezelésére, véletlen jelenségek vizsgálatára.
17
Fejlesztési feladatok, tevékenységek Geometriai modell szerepeltetése a valószínűség meghatározására.
Minimum követelmények, a továbbhaladás feltételei
Tartalom A valószínűség meghatározása geometriai mérték segítségével. A geometriai modellre visszavezethető feladatok. A véletlen paradoxonai. Összefoglalás: Adathalmazok jellemzői: számtani közép, mértani középsúlyozott közép, medián, módusz, szórás. Gyakoriság, relatív gyakoriság. A klasszikus valószínűségi modell.
Egyszerű klasszikus valószínűség-számítási feladatok megoldása.
Felkészülés az érettségire (10 óra) A szabadon tervezhető órakeret 1-1 óráját az egyes anyagrészek között a tananyag mennyiségének arányában osztottuk el a következő módon:
Gondolkodási Módszerek Számtan, algebra Függvények, Sorozatok Geometria Valószínűség, Statisztika Összesen
9. évfolyam
10. évfolyam
11. évfolyam
12. évfolyam
2
2
1
2
13
13
17
8
7
5
4
8
13
15
14
12
2
1
1
2
37
37
37
32
Az így megnövelt óraszámot a tananyag részletesebb, gyakorlati példákhoz kapcsolódó kibontására, a megértés és az alkalmazás több gyakorlással történő elmélyítésére és a számonkérés (elsősorban szóbeli) gyakoriságának növelésére kívánjuk felhasználni.
Ellenőrzés, értékelés, minősítés A szabadon tervezhető keret alapján megnövelt óraszám lehetőséget ad arra, hogy az elsajátított ismereteket folyamatosan számonkérve, az írásbeli feladatok mellett előtérbe kerüljön a szóbeli feleltetés is, fejlesztve a tanulók szóbeli kifejező készségét, a matematikai kifejezések, fogalmak pontos, szabatos alkalmazását. Az eddigi gyakorlatnak megfelelően az egyes témakörökben a tanult ismereteket és alkalmazásukat témazáró dolgozattal kell számonkérni. Az értékelt írásbeli munkákba a tanulók betekintést nyernek, melyekben minden hibát kijavítunk és javíttatunk (a helyesírást is). Az osztályzatokat minden esetben szóban is, konkrétan, tárgyszerűen szöveges indoklással egészítsük ki, hogy a tanuló tudja, értse, milyen teljesítményt nyújtott, mire képes, mik a hiányosságai, hogyan tudja ezeket megszüntetni.
18
Az osztályzatot a szaktanár az osztálynaplóba és a tanuló ellenőrző könyvébe beírja. Az értékelés, minősítés a témazáró dolgozatokban, félévkor és év végén, egységesen kidolgozott rendszer szerint történik. Az értékelés módjai: Szóbeli: az előző tanítási órákon feldolgozott ismeretek rendszeres ellenőrzése önálló feleletek és kérdésekre adott válaszok alapján. Írásbeli: feladatlapok, tesztlapok, önálló írásbeli dolgozatok alapján, előre közölve az elérhető eredmények ponthatárait illetve az előző egy-két órán tanultak elsajátítását ellenőrző néhány rövid kérdést, feladatot tartalmazó rövid írásbeli számonkérés formájában. Az értékelés súlypontjai: A továbbhaladáshoz szükséges legfontosabb jelenségek, fogalmak, összefüggések, törvények ismerete, értelmezése.
Az ismeretek alkalmazásában elért jártasság, gyakorlottság ellenőrzése.
A továbbhaladás feltétele a minimum követelmények teljesítése.
Kiinduló pontok:
A tanuló a két értékelés között mennyit fejlődött vagy hanyatlott.
Az adott teljesítményének mi az objektív értéke.
Az érdemjegyek és osztályzatok: - jeles(5), jó(4), közepes(3) elégséges(2) elégtelen(1) Jeles (5): ha a tantervi követelményeknek kifogástalanul eleget tesz a tanuló, ismeri, érti, tudja a tananyagot, mindazt alkalmazni is képes. Szóban és írásban szabatosan fogalmaz, lényegre mutatóan definiál, saját szavaival is visszaadja a szabályt, az összefüggéseket. Jó (4): ha a tantervi követelményeknek megbízhatóan, csak kevés és jelentéktelen hibával tesz eleget. Apró bizonytalanságai vannak, kisebb hibákat vét. Közepes (3): ha a tantervi követelményeknek pontatlanul, néhány hibával eleget tesz. Segítségre, javításra kiegészítésre szorul többször is. Ismeretei felszínesek. Kevésbé tud önállóan dolgozni, gyakorlati tevékenységében kissé bizonytalan. Elégséges (2): ha a tantervi követelményeknek csak tanári útbaigazításokkal, hiányosságokkal tesz eleget, de a továbbhaladáshoz szükséges minimális ismeretekkel, jártasságokkal rendelkezik. Csak egyszavas, vagy tőmondatos válaszokat ad, képtelen önálló feladatvégzésre. Elégtelen (1): ha a tantervi követelményeket tanári útbaigazítással sem teljesíti. A minimum követelményeket nem tudja. Az iskola magasabb évfolyamába lépés feltétele: A tantervi minimum követelmények elsajátítása
A tanterv végrehajtásához szükséges tankönyvek, taneszközök, segédletek kiválasztásának elvei: A tankönyvek a tanulók otthoni felkészülését segítendő a lehető legnagyobb mértékben tartalmazzák az adott évfolyam tananyagát
19
A példatárak megfelelő számú, különböző nehézségű, a felkészülést segítő feladatot tartalmazzanak, s lehetőleg hozzáférhető legyen az otthoni gyakorlást segítő megoldási útmatató is A taneszközök segítsék a tananyag könnyebb megértését, alaposabb elsajátítását, tegyék lehetővé változatos módszerek alkalmazását. Reális áron beszerezhetők legyenek Kiválasztásuk a munkaközösség véleménye alapján történjen
Ajánlott irodalom: Hajdu tankönyvcsalád középiskolák részére o Matematika 9. MK-2798-5 o Matematika 10 MK-2823-X o Matematika 11. MK-2965-1 o Matematika 12. MK-4024-8
Sokszínű matematika tankönyvcsalád o Sokszínű matematika - tankönyv 9.o. MS-2309 o Sokszínű matematika - tankönyv 10.o. MS-2310 o Sokszínű matematika - tankönyv 11.o. MS-2311 o Sokszínű matematika - tankönyv 12.o. MS-2312
Feladatgyűjtemények o Egységes érettségi feladatgyűjtemény. Matematika I. KT-0320 o Egységes érettségi feladatgyűjtemény. Matematika II. KT-0321 o Matematikai feladatgyűjtemény I. a középiskolák tanulói számára 13135/I o Matematikai feladatgyűjtemény I. a középiskolák tanulói számára 13135/I I o Geometriai feladatok gyűjteménye I. 10127/I o Geometriai feladatok gyűjteménye II. 10127/II
Függvénytáblázatok o Négyjegyű függvénytáblázatok Matematikai, összefüggések 13129/1 o Négyjegyű függvénytáblázatok, összefüggések és informatika, fizika, csillagászat, földrajz, kémia 16129/1
fizikai, adatok.
kémiai Matematika,
A kerettanterv végrehajtásához szükséges eszközök: Írásvetítő 2 db Vetítővászon 2 db Műanyag geometriai testek 3 készlet Demonstrációs fólia sorozatok folyamatos beszerzés Táblai körző 15 db o Derékszögű vonalzó (45 -os) 15 db Derékszög vonalzó (30o-os) 15 db Táblai szögmérő 15 db Laptop 3 db Oktató programok folyamatos beszerzés Projektor 3 db
20
