A BOLYGÓMOZGÁS LEÍRÁSA- Gravitációs erő, körmozgás dinamikai leírás KINEMATIKAI LEÍRÁS: KEPLER TÖRVÉNYEK Csillagászati megfigyelések ( Kopernikusz, Tycho-Brahe) Kepler I. Minden bolygó olyan ellipszispályán mozog a Nap körül, amelynek egyik fókuszában a Nap van.
r1 r2 áll 2a
y
r1 F1
e 0
e
esetén
r2
b
a
F2
ab
F2
Fókuszpontok
a, b,
féltengelyek
F1 x
kör
e:
lineáris excentricitás
e a
numerikus excentricitás
Kis numerikus excentricitás esetén az ellipszis hasonlóvá válik a körhöz.
1
Kepler II. A Napot és a bolygót összekötő vezérsugár egyenlő időközönként egyenlő területeket súrol. r a vezérsugár: követi a bolygó mozgását, nagysága a mozgás során változik
t
A 2
A1
t
r
Kepler II. törvénye a területi sebességgel kifejezve: A bolygók területi sebessége állandó
területi sebesség:
v ter
A t
A1 A 2 állandó t t
A bolygók nem állandó sebességgel mozognak az ellipszispályán, a Nap közelében felgyorsulnak, a kerületi sebességük megnő.
v 2 v1 2
Kepler III. Naprendszerben két bolygóra megállapított összefüggés a bolygók keringési ideje és az ellipszispálya fél nagytengelye között:
1.bolygó
a2
a1
T12 T22 3 állandó 3 a1 a 2
2.bolygó A keringési idő négyzeteinek és a fél nagytengelyek köbeinek hányadosa állandó.
T1 T2 :
: az 1-es bolygó keringési ideje a Nap körül a 2-es bolygó keringési ideje a Nap körül
Ez az összefüggés a naprendszer bármely két bolygójára igaz. 3
DINAMIKAI LEÍRÁS: NEWTON, PRINCIPIA
(100 év múlva)
Nagy kérdés volt sokáig: •mi tartja a bolygókat a Nap körüli pályájukon? • ha kölcsönhatás van a bolygók és a Nap között, az hogyan írható le? Fő probléma : •Nem érintkező testek közötti kölcsönhatás dinamóméterrel nem mérhető. (Távolhatás??) Hogyan adjuk meg az erőtörvényt? Közvetlenül kísérleti úton nem lehet. Ez a kérdés a későbbiekben is még sokszor előkerült: (elektrosztatika, mágnesség)
A választ Newton adta meg az égi és a földi mechanika összekapcsolásával. A csillagászati mérésekre alapuló kinematikai leírás (Kepler törvények) és Newton dinamikai törvényeinek együttes alkalmazása az alábbi 3 alapelv segítségével:
4
•
Newton II. törvény:
Az ismert gyorsulásból következtethetünk a két test között ható erőre: F=ma Körmozgás kinematikájának ismerete is szükséges. •
Felismerés:
A Földön eső alma gyorsulása és a Holdnak a körpályán való mozgásához szükséges centripetális gyorsulása ugyanattól az erőtől származik (gravitációs erő). A Holdat ugyanaz az erő tartja Föld körüli körpályán, amely felelős az alma Föld felé való gyorsulásáért. Ha az almát elvinnénk a Hold távolságára, akkor az almának is akkora lenne a gyorsulása a Föld felé, mint a Holdnak a centripetális gyorsulása. •
N. III. tv:
A kölcsönhatás törvényének értelmében: amekkora erővel hat a Nap a bolygóra, ugyanakkora erővel hat a bolygó is a Napra.
5
1. Mekkora a Hold centripetális gyorsulása? A Hold pályáját a kis excentricitás miatt tekintsük körnek: a Hold egyenletes körmozgást végez a Föld körül
v
R H ,F
v Hold
Körmozgás esetén a kerületi sebesség mindig érintő irányú. A Hold keringési sebességének irányát a Föld középpontja felé mutató centripetális gyorsulás változtatja meg:
a cp Föld
Centripetális gyorsulás:
a cp,H
v2 R H,F 2H R H,F
Számítsuk ki az ismert adatok segítségével, hogy mekkora a Hold centripetális gyorsulása a Föld körül:
R H,F 60R F TH 28nap
a cpH R H ,F R H ,F 2 H
R F 6378km •A Hold centripetális gyorsulása:
a cpH 0,27
•Az alma esésének gyorsulása a Földön:
4 2 cm 0 , 27 TH2 s2
cm s2
a alma g 981
cm s2
6
2. Centripetális erő Ismerjük a gyorsulást, keressük hozzá az erőt! A Hold centripetális gyorsulása:
v2 a cp R R 2
Centripetális erőnek kell ezt a gyorsulást biztosítani:
F
a cp Föld
2 F m a H cp m R
N.II. törvény:
Ha csak a Föld vonzóereje hat a Holdra, akkor ennek az erőnek kell megegyeznie a centripetális erővel:
F m H R 2
Az erővektor iránya a gyorsulásvektor irányával egyezik meg.
Az erő a Hold irányából a Föld felé mutat: vonzóerő. Newton féle gravitációs erőtörvény: (levezetés nélkül): Az alábbi erőtörvénynek megfelelő erő tudja az ilyen gyorsulást létrehozni:
F
MF mH R
2
: Gravitációs állandó 7
3.A Newton féle gravitációs törvény általánosan Egyetemes törvény, a gravitációs erő bármely két test között hat:
m 2 F12
m1 r
r m1m2 F12 r2 r
Vonzóerő: az erő iránya a helyvektor irányával ellentétes: Ezt fejezi ki a képletben a negatív előjel.
A gravitációs erő munkája általánosan: az erő nagysága az elmozdulás során változik, így a munkát integrálással lehet csak kiszámítani: rB
WAB Fgr dr rA
8
4. Gravitációs gyorsulás Gravitációs együttható meghatározása méréssel:
•
6,67 10
Cavendish, torziós ingával:
11
m3 kg s 2
Eötvös Lóránd torziós mérései, Eötvös inga •
A gravitációs gyorsulás számítása
A Föld felszínén lévő m tömegű testre ható gravitációs erő: Ha a testre nem hat más erő, akkor: N.II. tv
Fg
MF m 2 F
R
Fg
MF m RF2
m g
Ismeretében a gravitációs gyorsulás a Föld felszínén: M m g 2F 9,81 2 RF s
R F 6378km
MF 5,97 1024 kg 9
5. A gravitációs erőtörvény igazolása dinamikai úton Számítsuk ki a gravitációs erőtörvény ismeretében, hogy az almának a Hold távolságában mekkora lenne a gravitációs gyorsulása! Gravitációs gyorsulás a Föld felszínén: A Hold távolságában :
A két gyorsulás hányadosa:
MF aH 2 R HF
g
MF R 2F
Hold- Föld távolság:
R H,F 60R F
MF 2 RF R 2HF g 2 3600 M aH RF 2F R HF
Ebből a gravitációs gyorsulás a Holdon
aH
981 cm 0,27 2 3600 s
Ez az érték megegyezik a Hold Föld körüli mozgásához szükséges, kinematikai megfontolásokból meghatározott centripetális gyorsulással. Bebizonyítottuk, hogy a Holdat ugyanaz az erő tartja körpályán, amely felelős az alma leeséséért- a gravitációs erő. 10
Mekkora a gravitációs erő munkája, ha az m tömegű testet A pontból B pontba visszük?
B
rA
rB
A
rB
WAB Fgr dr rA
rB
WAB Fgr rA
WAB
rB
r
B mM 1 dr mM 2 r r rA rA
mM mM rb ra
Ha a B pontot a végtelenben helyezzük el, akkor
WA
mM ra
Az m tömegű test potenciális energiája az r pontban a végtelenhez képest.
A potenciális energia a végtelenben nulla.
11
6. Gravitációs erő és körmozgás: példák A körmozgáshoz szükséges centripetális gyorsulást gyakran a gravitációs erő biztosítja.
a cp
4 2 r r 2 T 2
Fcp m a cp
Amennyiben csak a gravitációs erő hat a centripetális gyorsulás irányába, akkor:
Fcp Fgr
mM 2 m r r2
mM 2 m r r2
Rendezés után:
M r 3 2
Látszik, hogy a keringés körfrekvenciája (periódus ideje) és a pálya sugara nem függetlenek egymástól. Ha az egyik adott, akkor a másik könnyen meghatározható. Lássunk erre két példát: •
Geo- stacionárius pálya: T= 24 óra, R=?
•
GPS: T=12 óra
•
Első kozmikus sebesség: R=Földsugár, v=?
12
Geo-stacionárius műholdak keringési távolsága Geo-stacionárius pálya: a műhold mindig a Föld ugyanazon pontja fölött van, keringési ideje 24 óra. Az egyenlítő síkjában kering, a Föld középpontjától R távolságra.
R
m
A gravitációs erő biztosítja a körmozgáshoz szükséges centripetális gyorsulást ugyanúgy, mint a Hold esetében.
Fcp m a cp mR2 A centripetális gyorsulás irányába csak a gravitációs erő mutat. A körmozgás dinamikai alapegyenlete:
Fgr Fcp
m MF 42 2 mR mR 2 R2 T 2 3 4 MF R 2 T
MF T2 R 42 3
13
A keringési távolság kiszámítása az ismert adatokkal:
MF 5,97 10 kg 24
2 M T F R3 42
6,67 10
11
m3 kg s 2
T 24h 86400s 8,6 104 s
6,67 10 11 5,97 10 24 (8,6 10 4 ) 2 R 74 10 21 m 39,43 3
R 4,2 107 m 4,2 104 km 42000km
H R R F 42000 6400 35600 km A műsorszóró műholdak a Föld felszíne fölött H=35600km magasan vannak. A keringési sebességük: •
v 0,3
km s
GPS műholdak
12 óra alatt kerülik meg a Földet, 20200 km magasságban 14
A műholdak hat, egymáshoz képest kb. 60 fokos szögben eltérő pályán mozognak.
Minden pályán 4 műhold kering. A műholdak száma, helyzete és a pályasíkok azt a célt szolgálják,hogy a Földfelszín bármely pontján adott időpillanatban a látóhatár síkja fölött 15°-kal legalább négy szatellit látható legyen.
15
A műholdak szabályos időközönként rádiójeleket bocsátanak ki, amelyben küldött adatok tartalmazzák a műhold aktuális helyzetét, és a rajta mérhető pontos időt.
Minden műholdon található egy cézium, vagy rubidium atomóra, amellyel, nagy pontossággal mérhető az idő, ami az egész rendszer működésének az alapja. A rendszer minden műholdja szinkronizáltan működik, azaz az óráik pontosan össze vannak hangolva és jeleiket is egy időben küldik a megfigyelő felé.
A felhasználók vevőkészülékei szintén tartalmaznak egy nagy pontosságú kvarcórát. Amikor a műhold kisugározza a pillanatnyi helyzetét és a fedélzeti időt, a rádiójelek némi késéssel érkeznek a vevőkészülékbe (20000 kilométeres magasságban ez a késleltetés 0,06 másodperces). A késésből így a készülék ki tudja számítani az adott műhold tőle mért távolságát. Négy műhold adataiból pedig megkaphatjuk a pontos helyzetünket. 16
Első kozmikus sebesség: körsebesség Mekkora sebességet kell adni a műholdnak a Föld felett h magasságban, hogy körpályára kerüljön? A magasságot tudjuk, keressük hozzá a sebességet!
v
v R h
Fgr Fcp
h
2
v kör mM 2 m R h m Rh R h 2
R
2
v kör M R h 2 R h
h R esetén: M g 2 R
km s
M 2 v kör R h
M 2 v kör R
behelyettesítésével:
v kör g R 8
g R v kör
2
„Első kozmikus sebesség”
Az első űrhajó 2 órát keringett a Föld Körül Egyenlítői kerület: 40 075,02 km
1961. 1 óra 48 perc
17
Második kozmikus sebesség : szökési sebesség Mekkora az a legkisebb sebesség, amivel a műhold már éppen elhagyja a Föld gravitációs erőterét? (A végtelenbe érve már ne legyen sebessége.) A gravitációs erő konzervatív, mechanikai energia megmaradást lehet használni. A végtelenben a helyzeti energia és a mozgási energia is nulla. A Föld felszínén:
E h ,F
mM RF
A mechanikai energia megmaradása miatt:
E m,F
1 2 mv sz 2
E h , F E m,F 0
1 mM 2 m v sz 0 2 RF
1 mM 2 m v sz 2 RF
v sz 2g R 11
km s
v sz 2 v kör 18
Műholdpályák különböző kezdősebességek esetén
1.
2. 3.
km s km v8 s v8
Ellipszis pálya Földkörüli pálya
km km Ellipszis pálya 8 v 11 s s
km v 11 s
Hiperbola pályák
Ekkor a műhold elhagyja a Föld gravitációs terét 19
