SZUPERFINISELŐ BERENDEZÉS DINAMIKAI

MISKOLCI EGYETEM

GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR

SZUPERFINISELŐ BERENDEZÉS DINAMIKAI VIZSGÁLATA PhD értekezés KÉSZÍTETTE: Szilágyi Attila okleveles gépészmérnök

SÁLYI ISTVÁN GÉPÉSZETI TUDOMÁNYOK DOKTORI ISKOLA, GÉPEK ÉS SZERKEZETEK TERVEZÉSE TÉMATERÜLET, SZERSZÁMGÉPEK TERVEZÉSE TÉMACSOPORT

DOKTORI ISKOLA VEZETŐ: Dr. habil Tisza Miklós egyetemi tanár a műszaki tudomány doktora TÉMATERÜLET VEZETŐ: Dr. habil Döbröczöni Ádám egyetemi tanár TÉMACSOPORT VEZETŐ: Prof. Emeritus Tajnafői József a műszaki tudomány doktora TÉMAVEZETŐ: Dr. habil Patkó Gyula egyetemi tanár Miskolc, 2011

Tartalomjegyzék 1.

BEVEZETÉS ..............................................................................................................................................................1

2.

ELŐZMÉNYEK, CÉLKITŰZÉSEK......................................................................................................................2

3.

2.1.

AZ ÉRTEKEZÉS SZAKMAI ELŐZMÉNYEI ..............................................................................................................2

2.2.

A PROTOTÍPUS BERENDEZÉS ...............................................................................................................................3

2.3.

AZ ÉRTEKEZÉS TUDOMÁNYOS ELŐZMÉNYEI ......................................................................................................5

2.4.

AZ ÚJ TÍPUSÚ BERENDEZÉS ALAPELVE, CÉLKITŰZÉSEK ................................................................................. 12

A DINAMIKAI MODELL .................................................................................................................................... 14 3.1.

4.

MECHANIKUS REZGÉSKELTŐ BERENDEZÉSEK ................................................................................................ 14

3.1.1.

Útgerjesztéses mechanizmusok.................................................................................................................. 14

3.1.2.

Erőgerjesztést alkalmazó berendezések.................................................................................................... 14

3.1.2.1.

Rugós rezgéskeltő ................................................................................................................................................. 14

3.1.2.2.

Tehetetlenségi erővel történő gerjesztés.............................................................................................................. 15

3.1.2.3.

Centrifugális rezgéskeltő ...................................................................................................................................... 15

3.2.

HIDRAULIKUS ÉS PNEUMATIKUS REZGÉSKELTŐ BERENDEZÉSEK .................................................................. 16

3.3.

VILLAMOS ELVEN MŰKÖDŐ REZGÉSKELTŐ BERENDEZÉSEK.......................................................................... 16

3.3.1.

Elektromágneses rezgéskeltő..................................................................................................................... 16

3.3.2.

Elektrodinamikus rezgéskeltő.................................................................................................................... 17

ÁLTALÁNOS ELVEK ÉS ÖSSZEFÜGGÉSEK............................................................................................... 19 4.1.

A MOZGÁSEGYENLET-RENDSZER FELÍRÁSA ................................................................................................... 19

4.2.

AZ ENERGETIKAI VISZONYOK VIZSGÁLATA .................................................................................................... 19

4.2.1.

Az energetikai állapot megítélésének szempontjai................................................................................... 19

4.2.2.

Kapcsolódó fogalmak, összefüggések ....................................................................................................... 20

5.

A LINEÁRIS MOZGÁSEGYENLET-RENDSZER ......................................................................................... 22

6.

A LINEÁRIS MODELL VIZSGÁLATA............................................................................................................ 27 6.1.

A PROTOTÍPUS BERENDEZÉS VIZSGÁLATA ...................................................................................................... 27

6.1.1.

Az egyenletrendszer megoldása................................................................................................................. 27

6.1.2.

Energetikai viszonyok ................................................................................................................................ 31

6.2.

AZ ÚJ TÍPUSÚ BERENDEZÉS MOZGÁSEGYENLET-RENDSZERE ......................................................................... 37

6.2.1.

Az egyenletrendszer megoldása................................................................................................................. 37

6.2.2.

Energetikai viszonyok ................................................................................................................................ 40

i

6.3. 7.

AZ ÚJ TÍPUSÚ ÉS A PROTOTÍPUS BERENDEZÉSEK ENERGETIKAI VISZONYAINAK ÖSSZEVETÉSE .................... 48

A NEMLINEÁRIS MODELL VIZSGÁLATA.................................................................................................. 50 7.1.

A NEMLINEÁRIS MOZGÁSEGYENLET-RENDSZER ............................................................................................. 50

7.2.

A FÁZISGÖRBE FELETTI LINEARIZÁLÁS MÓDSZERE ........................................................................................ 52

7.3.

A LINEÁRIS KÖZELÍTÉS PONTOSSÁGÁNAK ELŐZETES MEGÍTÉLÉSE ............................................................... 57

7.4.

A LINEARIZÁLT MOZGÁSEGYENLET-RENDSZER ............................................................................................. 59

7.5.

A LINEARIZÁLT MOZGÁSEGYENLET-RENDSZER MEGOLDÁSA ........................................................................ 60

7.5.1.

A megoldások előállítása........................................................................................................................... 60

7.5.2.

Az amplitúdó-gerjesztő körfrekvencia görbék függvényvizsgálata ......................................................... 62

7.6.

A LINEÁRIS KÖZELÍTÉS PONTOSSÁGÁNAK VIZSGÁLATA ................................................................................ 67

7.6.1.

A közelítés pontosságának „a priori” becslése........................................................................................ 67

7.6.2.

A közelítés pontosságának numerikus ellenőrzése................................................................................... 68

7.7.

AZ AMPLITÚDÓ-FREKVENCIA GÖRBÉK STABILITÁSVIZSGÁLATA................................................................... 72

7.7.1.

A pozitív görbeág függvényvizsgálata ..................................................................................................... 74

7.7.2.

A negatív görbeág függvényvizsgálata .................................................................................................... 77

7.7.3.

A stabilitás numerikus ellenőrzése............................................................................................................ 80

7.7.4.

A numerikus ellenőrzés értékelése ............................................................................................................ 89

7.8.

AZ ENERGETIKAI VISZONYOK VIZSGÁLATA .................................................................................................... 89

7.8.1.

Az összefüggések felírása........................................................................................................................... 89

7.8.2.

Numerikus ellenőrzés ................................................................................................................................. 94

7.8.2.1.

A kis teljesítményű rendszer ................................................................................................................................ 95

7.8.2.2.

A közepes teljesítményű rendszer........................................................................................................................ 97

7.8.2.3.

A nagy teljesítményű rendszer ............................................................................................................................. 98

7.8.3.

Értékelés.................................................................................................................................................... 100

7.8.4.

A prototípus és a közepes teljesítményű berendezések energetikai viszonyainak összevetése ............ 100

8.

ÖSSZEFOGLALÁS.............................................................................................................................................. 102

9.

ÚJ TUDOMÁNYOS EREDMÉNYEK .............................................................................................................. 104

10.

TOVÁBBFEJLESZTÉSI IRÁNYOK........................................................................................................... 105

11.

SUMMARY....................................................................................................................................................... 106

ii

Ábrajegyzék 1. ÁBRA. AZ ALAPGÉPRE SZERELT PROTOTÍPUS BERENDEZÉS ..................................................................................................3 2. ÁBRA. KÜLSŐ HENGERES FELÜLET SZUPERFINISELŐ MEGMUNKÁLÁSA ................................................................................3 3. ÁBRA. A KŐTARTÓ EGYSÉG (JOBBRA ) MOZGATÁSA ...............................................................................................................4 4. ÁBRA. A PROTOTÍPUS BERENDEZÉS......................................................................................................................................4 5. ÁBRA. ÚTGERJESZTÉSES MEREV KINEMATIKA ................................................................................................................... 14 6. ÁBRA. ERŐGERJESZTÉS RUGÓ SEGÍTSÉGÉVEL ................................................................................................................... 15 7. ÁBRA. GERJESZTÉS TEHETETLENSÉGI ERŐVEL .................................................................................................................. 15 8. ÁBRA. REZGÉSKELTÉS CENTRIFUGÁLIS ERŐVEL................................................................................................................ 16 9. ÁBRA. S ZUPERFINISELŐ PNEUMATIKUS REZGÉSKELTŐVEL ............................................................................................... 16 10. ÁBRA. ELEKTROMÁGNESES REZGÉSKELTŐ A HANGSZÓRÓBAN ........................................................................................ 17 11. ÁBRA. AZ ELEKTRODINAMIKUS REZGÉSKELTŐ FELÉPÍTÉSE ............................................................................................ 17 12. ÁBRA. AZ ÚJTÍPUSÚ FINISELŐ BERENDEZÉS MECHANIKAI MODELLJE ............................................................................. 22 13. ÁBRA. AZ ÁRAMERŐSSÉG-AMPLITÚDÓ SZÉLSŐÉRTÉKE .................................................................................................... 30 14. ÁBRA. A RENDSZER ÖSSZENERGIA-FELVÉTELE ................................................................................................................ 32 15. ÁBRA. A VILLAMOS EGYSÉG ENERGIAFELVÉTELE ............................................................................................................ 32 16. ÁBRA. A CSILLAPÍTÁS ENERGIAFELVÉTELE...................................................................................................................... 34 17. ÁBRA. A VILLAMOS EGYSÉG VILLAMOS VESZTESÉGÉNEK HATÁSFOKGÖRBÉJE ................................................................. 34 18. ÁBRA. A MECHANIKAI CSILLAPÍTÁS HATÁSFOKGÖRBÉJE ................................................................................................. 35 19. ÁBRA. A FELVETT ENERGIAMENNYISÉG MEGOSZLÁSA ..................................................................................................... 36 20. ÁBRA. AZ ÁRAMERŐSSÉG-AMPLITÚDÓ MINIMUMA REZONANCIA FREKVENCIA KÖZELÉBEN ............................................. 39 21. ÁBRA. E R

MINIMUMA REZONANCIA FREKVENCIA KÖZELÉBEN ....................................................................................... 43

22. ÁBRA. Ebe

MINIMUMA REZONANCIA FREKVENCIA KÖZELÉBEN ...................................................................................... 44

23. ÁBRA. A TELJESÍTMÉNYTÉNYEZŐ MAXIMUMA REZONANCIA FREKVENCIÁNÁL .................................................................. 45 24. ÁBRA. AZ i0

FÜGGVÉNY 

25. ÁBRA. AZ E R

FÜGGVÉNY

1

KÖRNYEZETÉBEN......................................................................................................... 46

  1 KÖRNYEZETÉBEN ...................................................................................................... 46

26. ÁBRA. A COULOMB-FÉLE SÚRLÓDÁSI MODELL ............................................................................................................... 50 27. ÁBRA. NUMERIKUSAN ELŐÁLLÍTOTT DOMINÁNS REZGÉSKÉPEK ...................................................................................... 51 28. ÁBRA. A DOMINÁNS REZGÉSEK ZÁRT HATÁRCIKLUS GÖRBÉI ........................................................................................... 51 29. ÁBRA. SPEKTRUMDIAGRAM A DOMINÁNS FREKVENCIÁVAL ............................................................................................. 52

iii

30. ÁBRA. A SPEKTRUM MÁSODIK LEGNAGYOBB

ÉS A DOMINÁNS FREKVENCIA AMPLITÚDÓINAK HÁNYADOSA ................... 52

31. ÁBRA. JELLEGFELÜLET ÉS KIEGYENLÍTŐ SÍK A FÁZISGÖRBE FELETT............................................................................... 55 32. ÁBRA. A VIZSGÁLT JELLEGFELÜLET ÉS A KIEGYENLÍTŐ SÍK A FÁZISGÖRBE FELETT ......................................................... 56 33. ÁBRA. A CSILLAPÍTÁS NÉLKÜLI RENDSZER AMPLITÚDÓ-FREKVENCIA FÜGGVÉNYE ......................................................... 62 34. ÁBRA. A COULOMB-FÉLE CSILLAPÍTÁS HATÁSA .............................................................................................................. 63 

35. ÁBRA. A HATÁRGÖRBÉK ÉS AZ a1 

36. ÁBRA. AZ a1

GÖRBÉK .................................................................................................................. 66

GÖRBÉK ÉRTELMEZÉSI TARTOMÁNYÁNAK FELSŐ HATÁRA ......................................................................... 67

37. ÁBRA. A NEMLINEARITÁS MÉRTÉKÉNEK MINIMUMA   1 -NÉL .................................................................................... 68 38. ÁBRA. A NUMERIKUS ÉS AZ ANALITIKUS AMPLITÚDÓ-FREKVENCIA GÖRBÉK ÖSSZEVETÉSE ............................................. 70 39. ÁBRA. A RELATÍV HIBÁNAK ÉS A NEMLINEARITÁS MÉRTÉKÉNEK MINIMUMA REZONANCIA FREKVENCIÁNÁL .................... 71 40. ÁBRA. AZ AKADOZÓ CSÚSZÁS JELENSÉGE NUMERIKUS SZÁMÍTÁSOKNÁL ......................................................................... 72 41. ÁBRA. A CSILLAPÍTÁS AMPLITÚDÓ-FREKVENCIA FÜGGVÉNYEKRE GYAKOROLT HATÁSA .................................................. 73 42. ÁBRA. A

0    1 ,   1 ,   1 ESETEKHEZ TARTOZÓ GÖRBEÁGAK ................................................................... 80 

43. ÁBRA. AZ a1

GÖRBEPÁR A

0;FSH 

INTERVALLUMON ............................................................................................... 81

44. ÁBRA. AZ EGYES TERHELÉSEKHEZ TARTOZÓ FÁZISGÖRBÉK ............................................................................................ 82 45. ÁBRA. A STABIL REZGÉSEK HATÁRCIKLUSAI .................................................................................................................... 82 46. ÁBRA. A NUMERIKUS ÉS AZ ANALITIKUS EREDMÉNYEK ÖSSZEVETÉSE ............................................................................. 83 

47. ÁBRA. AZ a1

GÖRBEPÁR A

0;FSH 

INTERVALLUMON ............................................................................................... 84

48. ÁBRA. DOMINÁNS LENGÉSKÉP ZÁRT HATÁRCIKLUS GÖRBÉVEL ....................................................................................... 84 49. ÁBRA. HATÁRCIKLUS GÖRBÉK ........................................................................................................................................ 85 50. ÁBRA. A NUMERIKUS ÉS AZ ANALITIKUS EREDMÉNYEK ÖSSZEVETÉSE ............................................................................. 86 

51. ÁBRA. AZ a1

GÖRBEPÁR A

0;FSH 

INTERVALLUMON ............................................................................................... 87

52. ÁBRA. DOMINÁNS LENGÉSKÉP ZÁRT HATÁRCIKLUS GÖRBÉVEL ....................................................................................... 87 53. ÁBRA. A STABIL REZGÉSEK HATÁRCIKLUS GÖRBÉI .......................................................................................................... 88 54. ÁBRA. RUNGE-KUTTA MÓDSZERREL ÉS LINEARIZÁLÁS ÚTJÁN KISZÁMÍTOTT EREDMÉNYEK ÖSSZEVETÉSE ....................... 88 55. ÁBRA. A TELJESÍTMÉNYTÉNYEZŐ MAXIMUMA REZONANCIA FREKVENCIÁNÁL .................................................................. 95 56. ÁBRA. A HATÁSFOK MENNYISÉGEK SZÉLSŐÉRTÉKEI REZONANCIA FREKVENCIÁNÁL ........................................................ 95 57. ÁBRA. AZ ENERGIAMENNYISÉGEK SZÉLSŐÉRTÉKEI ......................................................................................................... 96 58. ÁBRA. A HATÁSFOK MENNYISÉGEK SZÉLSŐÉRTÉKEI REZONANCIA FREKVENCIÁNÁL ........................................................ 97 59. ÁBRA. AZ ELMOZDULÁS AMPLITÚDÓ ÉS AZ ENERGIAMENNYISÉGEK SZÉLSŐÉRTÉKEI REZONANCIA FREKVENCIÁNÁL ...... 97 60. ÁBRA. A TELJESÍTMÉNYTÉNYEZŐ SZÉLSŐÉRTÉKE REZONANCIA FREKVENCIA KÖRNYEZETÉBEN ...................................... 98 61. ÁBRA. A HATÁSFOK MENNYISÉGEK SZÉLSŐÉRTÉKEI REZONANCIA FREKVENCIÁNÁL ........................................................ 99 62. ÁBRA. AZ ELMOZDULÁS AMPLITÚDÓ ÉS AZ ENERGIAMENNYISÉGEK SZÉLSŐÉRTÉKEI REZONANCIA FREKVENCIÁNÁL ...... 99

iv

Táblázatok jegyzéke 1. TÁBLÁZAT. SZÉLSŐÉRTÉKHELY-FREKVENCIÁK ................................................................................................................. 36 2. TÁBLÁZAT. A TÉNYLEGES ÉS KÖZELÍTŐ SZÉLSŐÉRTÉKHELYEK ÖSSZEVETÉSE ................................................................... 47 3. TÁBLÁZAT. A PROTOTÍPUS ÉS AZ ÚJ TÍPUSÚ BERENDEZÉS LINEÁRIS MODELLJEINEK ENERGETIKAI ÁLLAPOTA ................. 49 4. TÁBLÁZAT. RUNGE -KUTTA MÓDSZERREL ÉS LINEARIZÁLÁS ÚTJÁN KISZÁMOLT AMPLITÚDÓ ÉRTÉKEK ............................. 70 5. TÁBLÁZAT. A TÉNYLEGES ÉS KÖZELÍTŐ SZÉLSŐÉRTÉKHELYEK ÖSSZEVETÉSE ................................................................... 96 6. TÁBLÁZAT. A TÉNYLEGES ÉS KÖZELÍTŐ SZÉLSŐÉRTÉKHELYEK ÖSSZEVETÉSE ................................................................... 98 7. TÁBLÁZAT. A TÉNYLEGES ÉS KÖZELÍTŐ SZÉLSŐÉRTÉKHELYEK ÖSSZEVETÉSE ................................................................. 100 8. TÁBLÁZAT. A PROTOTÍPUS ÉS AZ ÚJ TÍPUSÚ BERENDEZÉS NEMLINEÁRIS MODELLJEINEK ENERGETIKAI ÁLLAPOTA ........ 101

v

Jelölések jegyzéke Latin betűs jelölés A, a1

elmozdulás-amplitúdó

b, c, d D e E Ebe Eh ER f  f  x,x

a kiegyenlítő sík paraméterei disszipációs függvény az f(x, x ) jellegfelület és a kiegyenlítő sík közötti eltérés kinetikai energia a rendszer által felvett villamos energia a mechanikai csillapítás által felvett energia

F0 Fg

lineáris motor vonóerő amplitúdója gerjesztő erő

F , u

általános erőkoordináta

FS i

súrlódási erő abszolút értéke

I 0 , i0 I eff

áramerősség amplitúdó effektív áram

Im j k L m M p Ph , Pm , PS q Q

meddő áram képzetes egység rugóállandó önindukciós tényező tömeg kölcsönös indukciós tényező pillanatnyi teljesítmény hatásos-, meddő- és látszólagos teljesítmény paraméter villamos töltés koordináta

r, rF R s

paraméterek ohmos ellenállás ívhossz

az ohmos csillapítás által felvett villamos energia frekvencia nemlineáris jellegfelület

áramerősség koordináta

vi

S t T U U0 U1 u2 U eff

v w W x

súrlódási erő időkoordináta periódusidő potenciális energia villamos feszültség amplitúdója egyenfeszültség váltakozó feszültség effektív feszültség sebesség sebességkoordináta egyfázisú váltakozó áram munkája elmozdulás koordináta

Görög betűs jelölés 

erőkonstans

 ,     , ,  1  ,  ,     R ,  h ,  Rh A i   A i 

nemlinearitás mértéke paraméterek sebességkonstans relatív hiba az értelmezési tartomány egy pontjának kis környezete paraméter dimenziótlanított frekvenciák Lehr-féle csillapítás fázisszög lineáris csillapítás együtthatója indexek saját-körfrekvencia dimenziótlanított időkoordináta hatásfok mennyiségek az elmozdulás-amplitúdó fázisszöge nemlineáris rendszernél az áramerősség-amplitúdó fázisszöge nemlineáris rendszernél paraméter dimenziótlanított időkoordináta az elmozdulás-amplitúdó fázisszöge lineáris rendszernél az áramerősség-amplitúdó fázisszöge lineáris rendszernél gerjesztő körfrekvencia

Alkalmazott matematikai jelölések 

időszerinti deriválás



dimenziótlanított időkoordináta szerinti deriválás komplex mennyiség



vii

  ...

eleme a  ... intervallumnak

 ...   ...  ...  ...

 ... és  ... a  ... és a  ... mennyiségek azonos nagyságrendűek

Arc arctg const Re  ... sgn th

komplexszám arkusza arkusz tangens állandó mennyiség (konstans) a  ... komplex mennyiség valós része szignum függvény tangens hiperbólikusz

A felsorolásban nem szereplő jelöléseket a szövegben értelmezzük.

viii

Köszönetnyilvánítás Az értekezés a Miskolci Egyetem Szerszámgépek Tanszékén 2005-ben kezdett kutatómunkám eredményeit foglalja össze. A téma illeszkedik a tanszéken évtizedek óta a koncepcionális géptervezés és a gépek dinamikája terén folyó kutatásokhoz, valamint ezeken a területeken kifejtett oktatási tevékenységhez. Dinamikai rendszerek stabilitásvizsgálatán keresztül azonban szorosabban kapcsolódik a tanszéken előbb DR. FARAGÓ KÁROLY egyetemi docens, majd később DR. PATKÓ GYULA egyetemi tanár vezetésével folyó programhoz, ami szíjhajtású szerszámgép fő- és mellékhajtóművek dinamikai vizsgálatával foglalkozik. Ezúton szeretnék köszönetet mondani mindazoknak, akik a disszertáció elkészültét támogatták, illetve ahhoz segítséget nyújtottak. Külön köszönet illeti DR. PATKÓ GYULA egyetemi tanárt, témavezetőmet, aki kutatásaimat irányította és rendszeresen konzultálta, és DR. TAKÁCS GYÖRGY tanszékvezető egyetemi docenst, aki PATKÓ Professzor Úrral együtt bíztatott egyetemi oktatói pályafutásom folytatására, útmutatást nyújtottak szűkebb kutatási területem kiválasztásához, bevezettek engem a tudományos életbe, és folyamatos biztatásukkal hozzájárultak az értekezés elkészítéséhez. Külön köszönet illeti egykori oktatóimat DR. TAJNAFŐI JÓZSEF professzor emeritust a szerszámgépek témacsoport vezetőjét, és DR. MOLNÁR LÁSZLÓ főiskolai docenst nagyfokú támogatásukért. Köszönöm továbbá DR. MAKÓ ILDIKÓ és DR. CSÁKI TIBOR kollégáim szakmai segítségét és folyamatos bíztatását, valamint közvetlen kollégáim, DEMETER PÉTER és HEGEDŰS GYÖRGY egyetemi adjunktusok és B ARAK ANTAL tanszéki mérnök hardver- és szoftveralkalmazások területén nyújtott segítségét. Köszönetemet fejezem ki a Szerszámgépek Tanszéke valamennyi munkatársának, akik támogatásukkal, biztatásukkal, értékes megjegyzéseikkel hozzájárultak az értekezés elkészítéséhez. Köszönetemet szeretném kifejezni DR. SZABÓ TAMÁS egyetemi docensnek, a Robert Bosch Mechatronikai Tanszék vezetőjének, DR. KOVÁCS ERNŐ egyetemi docensnek, az Elektrotechnikai-Elektronikai Tanszék vezetőjének és VÁRADINÉ DR. SZARKA ANGÉLA egyetemi docensnek az értekezés írása során nyújtott értékes kritikai észrevételekért. Köszönet illeti a szerző családját, akik folyamatos érdeklődésükkel, biztatásukkal és „türelmetlenségükkel” segítették az értekezés megírását. Nem utolsó sorban pedig köszönöm feleségemnek, Szilviának a türelmet és az értekezés folyamatos nyelvi lektorálását.

A bemutatott kutató munka a TÁMOP-4.2.1-08/1-2008-0006, „A Miskolci Egyetem Technológia- és Tudástranszfer Centrumának Kialakítása és Működtetése” című, valamint a TÁMOP 4.2.1.B-10/2/KONV, „A Felsőoktatás Minőségének Javítása a Kutatás-FejlesztésInnováció-Oktatás fejlesztésén keresztül” című projektek részeként valósul meg.

ix

1. Bevezetés A szuperfiniselés – más néven tükörsimítás – befejező finomfelületi megmunkálás, általában hengeres felületek, például tengelyek, dugattyúk, szelepek, gördülőcsapágyak futófelületeinek megmunkálására használják. A műveleti ráhagyást a csiszolókövek szemcseélei távolítják el: ennek következtében javul a felület minősége, miközben a munkadarab mérete lényegesen nem változik. Tükörsimítással Ra  0,05  m -es felületi érdesség is elérhető. A tükörsimítást egy erre a célra készített célgép vagy esztergára, ritkábban palástköszörűre szerelt finiselő berendezés végzi, amely általában pótlólagosan kerül az alapgépre. Ilyenkor a felület simaságát az alapgépbe fogott gyártmány forgatásával és a kövek rövid löketű rezgőmozgásával érik el. A kövek mozgatása történhet közvetett módon: mozgásátalakító merev kinematikával, vagy közvetlenül: pneumatikus, hidraulikus, valamint villamos hajtás segítségével. A szuperfiniselés rezgés- és hőmérsékleti zavaroktól mentes megmunkálói környezetet igényel, ezért ilyen berendezéseknél már tervezési fázisban gondolni kell a rezgésmentes működést befolyásoló dinamikai problémák, például a tömegkiegyensúlyozás megoldására. Az adaptálhatóság következtében – a rezgő egységek tömege mellett – a berendezés befoglaló méreteit is körültekintően kell megválasztani. Ezeket alapvetően a hajtás jellege és annak energetikai viszonyai határozzák meg, melyek feltárását szintén a dinamikai vizsgálat teszi lehetővé. Ultraprecíz – a továbbiakban UP – megmunkálás során, ahol a munkatér viszonylag kicsi, és követelmény a nagy alak- és méretpontosság, az előző szempontok figyelembevétele különösen fontos. A berendezés dinamikai vizsgálatát sokféle modell alapján végezhetjük. A gépészmérnöki gyakorlatban megszokott módon először a lineáris modell vizsgálatát végezzük el. Sok esetben már ez is lényeges dinamikai jelenségekre irányítja rá a figyelmet. Ehhez képest nemlineáris modellek segítségével dinamikai jelenségek jóval szélesebb körét tárhatjuk fel: előre jelezhetünk és elkerülhetünk káros rezgéstani jelenségeket, pontosabbá és gazdaságosabbá tehetjük a berendezés működését. A nemlineáris mozgásegyenlet-rendszert – általános elmélet hiányában – valamilyen közelítő analitikus vagy numerikus módszer segítségével oldjuk meg. A megoldások ismeretében megfogalmazhatjuk a stabil működés feltételeit, feltárhatjuk az energetikai viszonyokat, majd körvonalazhatjuk a berendezés főbb méreteit Jelen értekezés egy UP keményesztergáló berendezésre pótlólagosan felszerelhető egyfázisú, villamos hajtású szuperfiniselő berendezés lineáris, és egy lehetséges nemlineáris modelljének energetikai viszonyaival, és ebből eredő konstrukciós kérdéseivel foglalkozik.

1

2. Előzmények, célkitűzések 2.1. Az értekezés szakmai előzményei A Miskolci Egyetem az elmúlt évek során konzorciumi tagként részt vett egy új típusú, kombinált szuperfiniselési eljárás és az azt megvalósító berendezés kifejlesztésében. Az eljárás azért újszerű, mert a szuperfiniselést és az azt megelőző keményesztergálást ugyanazon alapgépen, egy felfogásban végzi. A nemzetközi konzorciumban, amely az EU6-os program keretében alakult, a német CEROBEAR és a HWG Wälzlager csapágygyártó, a holland székhelyű Hembrug és a román Diasfin cégekkel együtt az Aacheni Fraunhofer Intézet Gépgyártás-technológiai Osztálya és a Miskolci Egyetem Szerszámgépek Tanszéke is helyet kapott. A CEROBEAR és a HWG Wälzlager cégek acél vagy kerámia alapanyagú csapágytermékei extrém körülmények között – például Forma-1-es gépjárművekbe, űrtechnikai eszközökbe építve – üzemelnek: ebből fakadó különleges felhasználói igények indokolták a téma létjogosultságát. Ezek közül néhány [134] mélyen a szubmikronos felületi érdesség nagyságrendjébe sorolva írja elő ilyen csapágygyűrűk futófelület-minőségét, melynek – sorozatnagyságtól függetlenül – minden egyes darabra teljesülni kell [61]. Emellett a gyártástechnológia termelékenységének növelése is állandó kihívást jelent a gyártó felé. Az előző követelmények egyidejű megvalósítása és ipari alkalmazhatóságának vizsgálata jelentette a két évet áthidaló keretprogram fő célkitűzését. A konzorcium az új típusú eljárás optimális paramétereit egy kísérleti szuperfiniselő berendezés segítségével kívánta feltárni. A berendezés megtervezése és kivitelezése a Miskolci Egyetem Szerszámgépek Tanszékének feladata volt. A prototípus berendezést úgy kellett megtervezni, hogy adaptálható legyen egy Hembrug 50CNC típusú UP keményeszterga-gépre, valamint széles frekvencia és amplitúdó tartományt tegyen lehetővé a megmunkálási kísérletsorozathoz. A prototípus berendezés a gyártását követően az Aacheni Fraunhofer Intézetbe került. A keményesztergáló-berendezést a holland Hembrug, a különböző minőségű szuperfiniselő köveket a bukaresti Diasfin, a kellő mennyiségű próbadarabot pedig a fent említett csapágygyártó cégek biztosították. A részleteiben is aprólékosan megtervezett kísérletsorozat egy éves időtartamot ölelt fel. A kísérletsorozat eredményei [124], [125] igazolták a kombinált szuperfiniselő eljárással, valamint a prototípus berendezéssel szembeni előzetes elvárásokat [123], vagyis:  a Miskolci Egyetem Szerszámgépek Tanszékén tervezett és gyártott berendezés maradéktalanul alkalmas volt a kombinált eljárás legkedvezőbb megmunkálási paramétereinek széles frekvencia és amplitúdó sávon belüli feltárására,  a feltárt paraméterekkel elvégzett kísérletsorozat elérhető pontosság és gazdaságosság tekintetében jobbnak bizonyult a jelenleg csak több felfogásban végezhető finiselő eljárásokhoz képest.

2

2.2. A prototípus berendezés A szuperfiniselő egységet radiális hengergörgős csapágygyűrűk külső és belső futófelületeinek megmunkálására használják. A berendezést sík lineáris villamos motor működteti, és az alapgépre építve, befogásváltás nélkül végzi az esztergálást követő finiselő műveletet (1. ábra).

1. ábra. Az alapgépre szerelt prototípus berendezés A csiszoló kövek a berendezés kőtartó egységén, egymással szemben helyezkednek el (2. ábra).

2. ábra. Külső hengeres felület szuperfiniselő megmunkálása 3

A külső vagy belső hengeres felületnek megfelelően bevágott köveket pneumatikus hengerek állandó nyomóerővel szorítják a megmunkálandó felületre. A felületminőség az esztergagép forgó mozgásának, valamint a kövek ezzel egy időben végzett – a megmunkálandó felület alkotóival párhuzamos irányú – rezgő mozgásának az eredménye. A kőtartó egység a dinamikus kiegyensúlyozást is megvalósítja; mozgatását billenőkaros mechanizmus végzi (3. ábra). A prototípus berendezés viszonylag széles – f  0  72 Hz – frekvenciatartományt biztosított az aacheni kísérletsorozat elvégzéséhez.

3. ábra. A kőtartó egység (jobbra) mozgatása A rezgő tömegek gyorsítását és lassítását jelentős teljesítmény és energia felhasználása mellett kizárólag a lineáris motor végzi. Az energiafelhasználást tovább növeli a hengeres vezetékek mentén fellépő, jelentős mértékű súrlódási erő, amely jóval nagyobb a szuperfiniseléshez szükséges erőnél. A megnövekedett teljesítményigény miatt nagy méretű és tömegű lineáris motort kellett választani. Emiatt, valamint a tömegkiegyensúlyozás következtében a kőtartó egység tömege, és így az egész berendezés mérete megnőtt. (4. ábra).

4. ábra. A prototípus berendezés

4

A nemzetközi projekt záró értekezletén a konzorcium további – jellemzően piaci szempontú – elvárásokat fogalmazott meg, melyek a szuperfiniselő berendezés befoglaló méretének, tömegének és energiafelhasználásának csökkentésével kapcsolatosak. A legkedvezőbb megmunkálási paraméterek ismeretében, valamint az értekezésben foglalt elméleti megfontolások alapján a megfogalmazott követelmények teljesíthetőnek látszanak.

2.3. Az értekezés tudományos előzményei Az értekezésben felhasznált irodalom a téma jellegéből adódóan számos területre bontható. Általános elméleti vonatkozásban a matematikai irodalom közönséges differenciálegyenletekkel és ezek megoldásával foglalkozó [15], [35], [38], [43], [46], [50], [69], [70], [95], [97], [107] műveit vesszük alapul. Alapvető fizikai és mechanikai elvek alkalmazásakor, valamint mozgásegyenlet-rendszerek felírásakor a [10], [16], [17], [23], [24], [27], [75], [96], [114] művekre támaszkodunk. Az elektrotechnikának a mozgási indukcióval, valamint a váltakozó áramok teljesítményviszonyaival foglalkozó [1], [16], [27], [31], [54], [63], [72], [77], [100], [119], [122], [127], [129] művei, a műszaki rezgéstannak pedig a [11], [14], [22], [29], [30], [32], [37], [52], [56], [57], [82], [83], [86], [106], [115] művei kapcsolódnak az értekezéshez. Az értekezésben előforduló általános gépészeti fogalmakhoz a [9], [11], [33], [103], [132] művek jelentettek támpontot. A numerikus analízishez használt szoftvert az [53], [87] művek alapján tanulmányoztuk. Az elektromechanikai berendezések közös jellemzője, hogy villamos és mechanikai elemeket egyaránt tartalmaznak [49], [77], [82]. Egy ilyen berendezésben egy időben lépnek fel egymással kölcsönható villamos és mechanikai jelenségek, a rendszer üzemviszonyait a villamos és mechanikai jellemzők együttesen határozzák meg. Ezek szabatos vizsgálatakor a mechanika törvényei mellett a villamos törvényeket is fel kell írni, és a kapcsolatok figyelembevételével kell előállítani a rendszer mozgásegyenleteit [43], [77], [82]. Elektromechanikai rendszernek tekintjük például a mechanikai és villamos elemet egyaránt tartalmazó mérőműszereket, a villamosenergia-termelő berendezéseket, valamint a mechatronikai rendszerek széles körét. Egyszerűbb rendszerek – például a Deprez-jellegű műszerek – villamos körének állapota függetlennek tekinthető a mechanikai elemekétől. Ezzel szemben a villamos – köztük a lineáris – motorok jelenségeinek szabatos tárgyalása a mozgásegyenletek mellett a hurokegyenletek felírását is megköveteli [18], [21], [36], [43], [49], [77], [82], [104]. A villamos motorok – köztük a lineáris motorok – szakirodalma rendkívül kiterjedt. Ezek közül csak olyan művekre hivatkozunk, amelyek a mozgásegyenlet-rendszer közlése mellett azok levezetését is ismertetik [23], [24], [77], [82]. A [70], [77], [82] művekhez hasonlóan mi is a Lagrange-féle másodfajú mozgásegyenletekből származtatjuk az elektromechanikai modell először lineáris, majd később nemlineáris mozgásegyenlet-rendszerét. Az egyenletek felírásához szükséges általános koordinátákat a [82], [100], [119], [129] művekben is előforduló mennyiségek közül választjuk. Kis elmozdulásokat tételezünk fel, ezért a mozgásegyenletek felírása során egyszerűsítő feltevésekkel élünk. Látni fogjuk, hogy az így felírt egyenletrendszer – a benne szereplő rugalmas tagtól eltekintve – alakilag megegyezik egy külsőgerjesztésű villamos motor mozgásegyenlet-rendszerével, és ezt – a rövid löket miatt – lineáris motornál is érvényesnek tekintjük [10], [23], [24], [36], [43], [82], [100]. A berendezés energetikai viszonyainak feltárásához szükséges fogalomrendszert és számításmódot a [13], [16], [21], [27], [48], [49], [54], [63], [66], [77], [91], [100], [104], [118], [122], [129] művekre támaszkodva alkalmazzuk. A csillapítások figyelembevétele során különbséget teszünk mechanikai és villamos csillapítás között. Ennek megfelelően a mozgásegyenlet-rendszer felírása során a rendszer ohmos 5

ellenállását villamos csillapításnak tekintjük, melynek disszipációs függvénye a villamos kör ohmos ellenállását és áramerősségét tartalmazza [70], [77], [82]. Mechanikai csillapítás a szuperfiniselés során fellépő súrlódási erő. Azért hangsúlyozzuk a két csillapítás közötti különbséget, mert a finiselési folyamatból származót hasznos munkavégzésként vesszük figyelembe. A mozgó tömegekre ható közegellenállástól és a rugalmas elemek belső csillapításától a továbbiakban eltekintünk. A gépészmérnöki gyakorlatban előforduló problémák nagy része sebességgel arányos, lineáris mechanikai csillapítást tételez fel: ez jelentősen megkönnyíti a számítás menetét [10], [23], [24], [43]. E miatt a finiselésből származó csillapításról első közelítésben mi is feltételezzük, hogy lineáris. Jobb közelítést érhetünk el nemlineáris csillapítási modellek használatával. Az [55], [76], [82], [112] művek átfogóan tárgyalják ezeket a modelleket. [76] az egyes csillapítási típusok mellett azok gyakorlati alkalmazásait is felsorolja. Az [55], [82] művek a csillapítások mellett egyéb, a rendszer nemlineáris viselkedését előidéző elemet – geometria, rugó karakterisztika, gerjesztés – is bemutatnak. Egy nemlineáris csillapítási modell karakterisztikája rendszerint a sebesség nemlineáris függvénye (v.ö. pl. [29] 373-376.o., [52] 4.20-4.27.o., [57] 473.o. [76] I. táblázat, [82] 66-67.o., [112] 15.o.). Súrlódási modellek csillapítási karakterisztikájában egymáson elcsúszó merev felületek relatív sebessége fordul elő [76]. Ilyen csillapításokra a frictional damping mellett a slip damping elnevezés is használatos [112]. Mi a továbbiakban a „súrlódásos csillapítás” elnevezést alkalmazzuk. Mivel a súrlódás mechanizmusának jelenleg még nincs egységes leírási módja, ezért számos eltérő modell fordul elő a műszaki gyakorlatban. E miatt a súrlódásos csillapítású rezgőrendszerek vizsgálatának bő szakirodalma van. A [2], [4], [5], [6], [12], [39], [41], [47], [64], [65], [98], [112] művek részletesen áttekintik ezeket a modelleket. A [12], [39], [64] művek fenomenológiai és kvantitatív módon, érintkezés mechanikai, tribológiai, valamint nemlineáris dinamikai szempontból foglalják össze a jelenleg alkalmazott súrlódási mechanizmusok eltérő típusait. A [39] tanulmány a súrlódási modellek mellett a súrlódás fogalmának és alkalmazásának tudománytörténeti fejlődését is bemutatja. Az idézett művekben számos példát találunk eltérő csillapítási modellek jelleggörbe szerinti rendszerezésére. A dinamikus súrlódási modellek karakterisztikája a sebesség mellett annak – rendszerint idő vagy elmozdulás szerinti – deriváltját is tartalmazza. Amikor a karakterisztikában változóként csak a sebesség fordul elő, statikus súrlódási modellről beszélnek [2], [6]. Más szerzők a jelleggörbe folytonos vagy szakadásos jellege alapján tesznek különbséget súrlódási modellek között. A szakadásos rendszereket a szakirodalom más néven Filippovrendszerként is említi [25]. Létezik a műszaki szemlélethez közelebb álló, inkább fenomenológiai szempontú rendszerezés is: ez nyugvó és mozgó, valamint száraz és nedves súrlódási modelleket különböztet meg. Egyes szerzők a nyugalmi súrlódási modelleket „statikus”, míg a mozgókat „kinetikus” jelzőkkel látják el. FERRI [41]-ben sgn típusú és hiszterézises száraz súrlódási modelleket különböztet meg. Az utóbbi modelltípus a megcsúszás előtti deformációkról is számot ad. Végül olyan példa is említhető, amikor a szerző az elmozdulás nagyságának függvényében rendszerezi a súrlódásos csillapítások karakterisztikáit és egyúttal javaslatot tesz alkalmazási területekre is [2]. A továbbiakban a statikus és dinamikus, valamint a szakadásos és folytonos karakterisztikával rendelkező súrlódási modellek szakirodalmát vizsgáljuk. A [2], [4], [5], [6], [34], [47], [73], [98] dolgozatokban számos példát találunk ilyen rendszerekre, valamint ezek kombinációira is. 6

A [2], [4], [6], [34], [45], [47], [98], [99] művek eltérő karakterisztikájú dinamikus súrlódási modelleket és azok alkalmazási területét mutatják be. Ezeket a modelleket a megcsúszás előtti pillanatok – más néven presliding tartomány – vizsgálatakor alkalmazzák. [6]ban ilyen modellt alkalmaznak szervoautomatika esetén; a modell az érintkező felületek deformációit is figyelembe veszi. Vizsgálataink során eltekintünk a presliding hatásoktól, és feltételezzük, hogy a sebességirány-váltás zérus időtartamú. Ilyenkor célszerűbb a gépészmérnöki gyakorlatban elterjedt statikus súrlódási modellek egyikét alkalmazni. Megjelenésük időrendi sorrendjét tekintve először a Coulomb-féle súrlódási modellt említjük meg. Ez a modell feltételezi, hogy a súrlódási erő független az érintkező felületek nagyságától, és a kontaktfelületek relatív sebességének is csak az irányától függ. Karakterisztikája az  FS , ha v  0  S  v     FS , ha v  0  0 , ha v  0 

(2.1)

függvényekkel adható meg, ahol S a súrlódási erő, FS annak abszolút értéke, v pedig az egymással érintkező felületek relatív sebessége. A Coulomb-féle csillapítási modellt gyakran kombinálják lineáris csillapítással. A kombinált modell karakterisztikája az

S  v     FS   v  sgn  v 

(2.2)

alakban írható fel, ahol FS a Coulomb-féle súrlódási erő abszolút értéke,  a lineáris csillapítási együttható, v pedig az érintkező felületpár relatív sebessége [6], [98], [99]. Jobb közelítés érdekében a (2.2)-ben előforduló  v helyett szokás a  v amelyben  az alkalmazott geometriától függő konstans.



exponenciális alakot használni,

A fenti modellek nem tesznek különbséget nyugvó és mozgó súrlódás között [82]. Ezek megkülönböztetését elsőként MORIN javasolta az 1830-as években [89]. Az angolszász szakirodalom stiction-ként említi azt a modellt, amely ezt a megkülönböztetést figyelembe veszi. Ennek karakterisztikája az  FE , ha v  0  FE  FC  S  FE      FS sgn  FE  , ha v  0  FE  FC

(2.3)

alakban adható meg, ahol FC a nyugalmi súrlódási erő, FE pedig a külső erő. Ez a karakterisztika csak a nyugalmi súrlódási állapotra érvényes: első sora a tartós nyugalmi állapotra, a második pedig az elmozdulást közvetlenül megelőző pillanatra vonatkozik, amikor a külső erő éppen meghaladja a nyugalmi súrlódási erőt. Ha (2.3)-et a

 F v  , ha  S v    FE , ha   F sgn  F  , ha E  S

v0 v  0  FE  FC v  0  FE  FC

(2.4)

kifejezésnek megfelelően kiegészítjük, akkor a csúszási állapot is figyelembe vehető. A (2.1)(2.4) modelleket száraz súrlódási modelleknek is nevezik. Ha a (2.4)-ben előforduló F  v  helyére az ún. Stribeck-görbe függvényét helyettesítjük, a Stribeck-féle klasszikus súrlódási 7

modell karakterisztikáját kapjuk. A Stribeck-görbét – részben az előző karakterisztikák felírása során alkalmazott mennyiségek felhasználásával – az 

v    v F  v     FS   FC  FS  e S   v     

(2.5)

alakban szokás közelíteni, ahol vS a Stribeck-féle sebesség. A (2.5)-ben szereplő paramétereket mérések útján határozzák meg [98]. Ez a modell kenőanyag jelenlétét is figyelembe veszi. Az előző jelleggörbék közös jellemzője, hogy értékük v  0 -nál zérus vagy függvényük ugyanitt többértékű. Zérus esetén a (2.1)-(2.4) kifejezések v  0 -nál szakadással rendelkezhetnek. A szakadás és a többértékűség problémáját küszöböli ki a KARNOPP-féle statikus súrlódási modell, amely a v  0 környezetben definiál egy T0 zérussebesség-tartományt. Ha v  T , a rendszer belső állapota változhat ugyan, a tartomány outputsávja mégis zérus. Ilyen tartomány valós súrlódásos rendszerekben nem létezik, szimulációs szempontból azonban előnyős és hatékony [71]. Az imént bemutatott modellekkel szemben ARMSTRONG 7-paraméteres statikus modellje figyelembe veszi a pillanatnyi nyugalmi állapot, valamint a Stribeck-jelenség hatását is [98]. Tanulmányában ARMSTRONG eltérő karakterisztikákat alkalmaz nyugalmi és mozgó állapotokra, de nem vesz figyelembe presliding tartományt. Az Armstrong-modellt egyes szerzők – a karakterisztikában előforduló időszerinti sebességderivált miatt – dinamikus súrlódási modellként említik [45], [99]. Láttuk, hogy a statikus modellek karakterisztikája a sebesség folytonos vagy szakadásos, egy vagy több értékű, esetenként bonyolult függvénye; megoldásuk az ismert matematikai nehézségekbe ütközik. Az általunk vizsgált nemlineáris modell Coulomb-féle súrlódás formájában veszi figyelembe a szuperfiniselésből származó csillapítást. Úgy véljük, hogy ez az egyszerű statikus súrlódási modell is fontos dinamikai problémákra irányítja rá figyelmünket. A gépészmérnöki gyakorlat két jellegzetes problémája vezethet Coulomb-féle csillapítással ellátott dinamikai rendszer vizsgálatára. Az egyik a súrlódást kihasználó csillapító berendezések modellezésével kapcsolatos. Tipikus alkalmazási területe a repülőgépipar, valamint az energetikai ipar [40], [109]. A másik az egymással érintkező alkatrészek relatív elmozdulása során – nemkívánatos hatásként – fellépő súrlódás vizsgálatához kapcsolódik. Ennek keretében tárgyalják az egy- vagy többszabadságfokú, periodikusan gerjesztett rezgőrendszerek, valamint a öngerjesztett (self-excited) vagy más néven súrlódásgerjesztésű (friction-induced) rezgőrendszerek (pl. [2], [6], [65]) dinamikai viszonyait. Az értekezésben egy harmonikusan gerjesztett, több szabadságfokú, Coulomb-féle csillapítással ellátott rezgőrendszer vizsgálatát mutatjuk be, így a továbbiakban az ezekkel kapcsolatos szakirodalmat tekintjük át, kezdve az egyszabadságfokúval. Ennek mozgásegyenlete az

  FS sgn x   kx  Acos  t mx

(2.6)

alakban írható fel, ahol FS az állandó nagyságúnak feltételezett súrlódási erő abszolút értéke, m , k , A ,  pedig rendre a tömeg, a rugóállandó, a gerjesztő erő amplitúdója és a gerjesztő körfrekvencia. [25], [26], [117] alapján látható, hogy (2.6) analitikus vizsgálata jóval körülményesebb, mint a lineáris egyenletrendszereké, ezért (2.6) vizsgálatát analitikus módszerek mellett rendszerint kísérleti vagy numerikus módszerekre, valamint ezek kombinációjára 8

támaszkodva szokták végezni [3]. A nem egységes vizsgálati módszereknek köszönhetően (2.6) vizsgálatával igen kiterjedt szakirodalom foglalkozik. Mi ezek közül csak azokat emeljük ki, amelyek (2.6) vizsgálatát egzakt és közelítő analitikus eszközökre támaszkodva végzik. (2.6) egzakt megoldásainak előállítása során az eredeti mozgásegyenletet az

  FS  kx  Acos  t, ha x  0 mx   FS  kx  Acos  t, ha x  0 mx

(2.7)

mozgásegyenlet-rendszer alakjában írják fel, majd ezeket megoldva állítják elő (2.6) szakaszonként folytonos függvények sorozatából álló egzakt megoldását (v.ö. pl. [14], [29], [115] és [41] 198.o.). A (2.7)-tel kapcsolatos első mélyreható, igényes leírás az 1930-as évek elejéről, J. P. den HARTOG tollából származik [28]. Tanulmányában den HARTOG olyan harmonikusan gerjesztett rezgőrendszert vizsgál, amely Coulomb-féle súrlódás mellett viszkózus csillapítást is tartalmaz. A megoldás során első közelítésben figyelmen kívül hagyja a letapadást, és feltételezi, hogy a megoldásfüggvény periodikus úgy, hogy frekvenciája megegyezik a gerjesztés frekvenciájával. Vizsgálja továbbá periódusonként legfeljebb kettő, véges ideig tartó irányváltás hatását, és szakaszonként előállítja (2.6) egzakt, állandósult állapotához tartozó megoldását. A szakaszonként folytonos megoldások időbeli csatolása mindig transzcendens egyenletek megoldására vezet. A den HARTOG által bemutatott módszert alkalmazza LEVITAN [80]-ban egy egyszabadságfokú, Coulomb-féle súrlódással csillapított, harmonikus útgerjesztést tartalmazó rezgőrendszer vizsgálatára. den HARTOGHOZ hasonlóan előállítja a mozgásegyenlet-rendszer egzakt megoldását, valamint az amplitúdó-frekvencia függvényt. A modellben előforduló súrlódási erő az útgerjesztés és a tömegpont között helyezkedik el. A súrlódási erőt Fourier-sor alakjában veszi figyelembe, miközben a letapadást figyelmen kívül hagyja. Ugyancsak den HARTOG módszerét alkalmazza YEH [137]-ben egy LEVITAN-féle útgerjesztéses, kétszabadságfokú rezgőrendszer vizsgálata során. YEH modelljében csak az egyik tömegpontra hat Coulomb-féle súrlódásos csillapítás. LEVITANÉHOZ hasonló rendszert vizsgál HUNDAL [62]-ben. A súrlódást LEVITANTÓL eltérően a tömegpont és talajfelszín között tételezi fel. Vizsgálatai során folyamatos és letapadásos mozgások egzakt megoldásait állítja elő. PRATT és WILLIAMS [110]-ben kétszabadságfokú, harmonikus útgerjesztéssel rendelkező rezgőrendszert vizsgálnak. Modelljükben a Coulomb-féle súrlódás két tömegpont között ébred. Vizsgálataik során periódusonként több véges idejű nyugalmi ciklust tételeznek fel. A nyugalmi és mozgó ciklusokra előállított egzakt megoldások illesztését numerikusan oldják meg. Az imént bemutatott irodalom olyan szempontból egységes, hogy a hangsúlyt a mozgásegyenlet egzakt megoldására és az amplitúdó-frekvencia függvény meghatározására helyezi. Ehhez viszonyítva SHAW [117] műve jelentős mérföldkőnek tekinthető. Munkájának jelentősége kettős: egyrészt mozgó és nyugvásbeli súrlódást különböztet meg, másrészt stabilitásvizsgálaton keresztül megmutatja, hogy az állandósult állapothoz tartozó megoldás aszimptotikusan stabil. Megállapítja továbbá, hogy negatív viszkózus csillapítás esetén lebegés, pozitív viszkózus csillapítás esetén pedig stabil, aszimmetrikusan periodikus megoldások jelenhetnek meg. Megfogalmazza továbbá tapadásos és tapadás nélküli rendszerek instabil viselkedésének egyes feltételeit. SHAW módszerét alkalmazza NATSIAVAS [93]-ban olyan rendszer vizsgálatára, amelyben egyidejűleg van jelen Coulomb-féle és viszkózus csillapítás. Az eddigiektől eltérően 9

aszimmetrikus jelleggörbét tételez fel. E mellett tetszőleges számú letapadást vesz figyelembe periódusonként. A nyugalmi és mozgási időintervallumokra előállított egzakt megoldásokat numerikusan illeszti, és ennek révén állítja elő szakaszonként a rendszer mozgásegyenletének megoldását, melynek aszimptotikus stabilitását egy alkalmasan felírt mátrix vizsgálatán keresztül igazolja. Elméletének alkalmazhatóságát többszabadságfokú rendszerek vizsgálatára is felveti. den HARTOG eredményeire támaszkodva – sajátjait azokkal összevetve – vizsgálja Coulomb-csillapítással ellátott rezgőrendszerek stick-slip állapotait HONG [58]-ban. Ciklusonként változó számú, véges idejű letapadási intervallumot feltételez, és a paraméterek függvényében kategóriákat állít fel a letapadás jellegére vonatkozóan. Különbséget tesz normális és abnormális zérusidejű letapadások között is. HONG más szempontból is megvizsgálja den HARTOG rendszerét [59]. A vizsgálatok részben alátámasztják den HARTOG eredményeit, részben pedig túlmutatnak azon: zárt formulát ad meg arra az időtartamra vonatkozóan, amely alatt a tömegpont eléri maximális sebességét; közelítő formulát állít elő, amellyel megbecsülhető a tiszta csúszási súrlódáshoz szükséges minimális vonóerő értéke; igazolja, hogy létezik olyan gerjesztő frekvencia, amely mellett a vonóerő egy periódusra vonatkozó disszipációs energiája maximális. Tanulmányukban STÉPÁN és CSERNÁK bizonyítják (2.7) mozgásállapotának idő- és térbeli szimmetriáját szinte a teljes frekvencia tartományon [26]. A vizsgálat során tisztán csúszást és ciklusonként két zérus idejű irányváltást feltételeznek. Az analitikus eredményeket numerikusan ellenőrzik. A szerzőpáros (2.6) szubharmonikus megoldásait is előállítja, majd elvégzi azok nemlineáris stabilitásvizsgálatát 3-ad fokú tagig bezárólag, és igazolják a megoldások határstabilitását [25]. Az analitikus eredményeket numerikusan ellenőrzik. Ennek során olyan – a letapadási jelenséget is magába foglaló – megoldásokat tárnak fel, melyeket analitikus vizsgálatok előre nem jeleztek. Az imént hivatkozott művek egységesek abban a tekintetben, hogy (2.6) megoldását szakaszonként állítják elő, és ezeken keresztül tárják fel a rendszer lényeges viselkedését. E megoldások alkalmazása a gépészmérnöki gyakorlat számára mégis bonyolultnak tűnik, mivel a paraméterekben beállt változások rezgő rendszerre gyakorolt hatása nehezen követhető. Ezek a nehézségek kettőnél több szabadságfokú rendszerek vizsgálatakor fokozottan jelentkeznek. Ezért – a gépészmérnöki szemmel esetenként – nehézkes elméletek helyett célszerű a mérnöki gondolkodáshoz jobban illeszkedő és könnyebben kezelhető analitikus közelítő módszereket alkalmazni. Ezek segítségével (2.6) és a hozzá hasonló egy- vagy többszabadságfokú rendszerek megoldásait a paraméterek egyenletesen folytonos függvényében állíthatjuk elő. Az egyik ilyen eljárás során a rendszer mozgásegyenletében, egyenletrendszerében előforduló szakadásokat folytonos függvények bevezetésével közelítjük. Számos közelítő analitikus módszer – perturbációszámítás különböző típusai, különféle átlagoló (averaging) módszerek, lassan változó paraméterek módszere, aszimptotikus módszerek – mellett egyes numerikus módszerek alkalmazása is igényli a szakadások egyenletesen folytonos függvényekkel történő megszüntetését (pl. [12], [40], [130]). Más eljárások a mozgásegyenletben előforduló szakadásos karakterisztika helyett a megoldást tételezik fel folytonos függvény alakjában (pl. [20], [92], [116]). A szakadások megszüntetését célzó eljárásokat egyes művek összefoglalóan simításként (smoothing) említik [12], [79], [108]. Elsőként a csillapítási karakterisztika simítására vonatkozó szakirodalmat tekintjük át. Szakadásos csillapítási karakterisztikák közelítésére általában trigonometrikus vagy hiperbólikus függvényt alkalmaznak. VRANDTE [130] tanulmányában arctg -alakú közelítést alkalmaz egy- és többszabadságfokú autonóm rendszer torziós rezgéseinek vizsgálatára. Ezt az általa alkalmazott numerikus eljárás követeli meg. A simítás használatát heteronom rendszerek vizsgálatához is 10

javasolja. B ERGER is megállapítja, hogy a csillapítási karakterisztika arc tg -alakú közelítése biztosíthatja a numerikus megoldás stabilitását [12]. Szakadásos rendszerek bifurkációs jellemzőit tárgyalják LEINE és szerzőtársai [79]-ben. Megállapítják, hogy az arc tg -alakú helyettesítés komplett bifurkációs diagram előállítására alkalmatlan, mert a diagram egyes instabil tartományokat nem jelez előre. DUPONT és szerzőtársai arc tg helyett th -alakú karakterisztikát alkalmaznak a szakadás közelítésére [34]. Megállapítják, hogy az a közelítés a letapadás mellett a megcsúszást megelőző (presliding) állapotot sem veszi figyelembe. Így ez a modelljük meglehetősen pontatlanul viselkedik, szemben a szintén általuk bevezetett elaszto-plasztikus modellel. STEIN és társai szintén th -típusú karakterisztikát vizsgálnak [121], melyről megállapítják, hogy csak kis Coulomb-féle súrlódási erő és nagy gerjesztő erő amplitúdó mellett ad jó közelítést. MAKKAR és szerzőtársai több tagból álló th -alakú karakterisztikát alkalmaznak [84], [85]ben. Ez a karakterisztika többféle súrlódási környezetben is alkalmazható, mivel a viszkózus, a Coulomb- és a Stribeck-féle csillapításokat egyaránt tartalmazza. MOSTAGHEL a csillapítási karakterisztika mellett a szakadást tartalmazó gerjesztő erőt is th alakban közelíti [90]. Megállapítja, hogy ilyenkor a megoldás érzékennyé válik a gerjesztő függvényben előforduló paraméterekre. Az előzőekben bemutatott, és elterjedten használt közelítő függvényalakok mellett kevésbé gyakoriakat is említhetünk. WIERCIGROCH [133] például exponenciális alakú közelítő függvényt alkalmaz vibroimpakt rendszerek rugókarakterisztikájának helyettesítésére. GUO [51] művében egy differenciálegyenlet megoldásfüggvényével közelít sgn jellegű csillapítási karakterisztikát. Ezzel kapcsolatban megjegyezzük, hogy a statikus súrlódási modellek tárgyalása során említett KARNOPP-féle modell szintén a v  0 környezetben végzett simítási módszerek közé sorolható [12]. A fellelt irodalom alapján elmondható, hogy a szakadásos karakterisztika egyenletesen folytonos függvénnyel történő helyettesítése a szakadási hely környezetében viszonylag pontatlan, mivel az itt előforduló letapadás jelenségét teljes mértékben figyelmen kívül hagyja. Ennek következtében előfordulhat, hogy az így előállított analitikus közelítő megoldások nem jelzik előre az összes instabil tartományt. A továbbiakban azon simítási technikák szakirodalmát tekintjük át, amelyek meghagyják a karakterisztikában előforduló szakadást, és egyenletesen folytonos függvény alakjában tételezik fel a mozgásegyenlet megoldását. Ilyenek például azok a fokozatos közelítő módszerek, amelyek a megoldás feltételezett függvénysorát helyettesítik az eredeti nemlineáris mozgásegyenletbe, majd a függvénysorban előforduló ismeretlen együtthatókat valamilyen minimalizálási elv segítségével határozzák meg. Ebbe a csoportba sorolhatjuk például a Galjorkin- és Ritz-módszereket, a harmonikus egyensúly módszerét, a különféle trigonometrikus kollokációs módszereket. Manapság leginkább a harmonikus egyensúly módszerének különböző típusai terjedtek el: hagyományos harmonikus egyensúly módszere (harmonic balance method) [41], [94], [121], többszörös harmonikus egyensúly módszere (multi harmonic balance method) [19], [74] és az inkrementális harmonikus egyensúly módszere (incremental harmonic balance method) [42], [78], [105]. Ilyenkor a közelítő megoldás véges tagból álló függvénysorként adódik, ezért időigényessé válhat a sor ismeretlen együtthatóinak meghatározása. Emiatt sokszor már a sorozatos közelítés első tagjának figyelembevételével is megelégszünk, mivel gyakran már ez a közelítő megoldás is viszonylag pontos eredményt szolgáltat. 11

A fokozatos közelítő módszerek első közelítése sok esetben egy linearizálással egyenértékű eredményre vezet. A linearizálási módszerek nem törekszenek pontos megoldásra, csupán a megoldásoknak a gyakorlatban jól hasznosítható első közelítéseit kívánják előállítani úgy, hogy az eredeti nemlineáris mozgásegyenlethez valamilyen meggondolással egy ekvivalens lineáris egyenletet rendelnek hozzá [101], [102]. Linearizálás során a nemlineáris mozgásegyenletrendszerhez úgy rendelünk hozzá egy ekvivalens lineáris egyenletrendszert, hogy a két rendszer közötti eltérést valamilyen elv szerint minimalizáljuk [55], [67], [68], [81], [88], [111], [113]. Az így linearizált egyenletrendszer megoldásait tekintjük az eredeti nemlineáris probléma közelítő megoldásainak. A linearizálás egyik előnye az, hogy a linearizált modell hagyományos analitikus eszközökkel jól kezelhető. Emellett – a gépészmérnöki gyakorlatban elvárt módon – többszabadságfokú rendszerek esetén is gyorsan analitikus összefüggéseket biztosít, amely a konstrukciós paraméterek befolyását könnyen áttekinthetővé teszi. Az ilyen linearizálási módszerek viszonylagos egyszerűsége és szemléletessége illeszkedik a mérnöki gondolkodásmódhoz. A [6], [55], [111] művek szakaszosan folytonos rendszerek linearizálására mutatnak példát. Jelen értekezés egy, a [101], [102] művekben részletezett linearizálási eljárásra, a fázisgörbe feletti linearizálás módszerére – mint szemléletes mérnöki módszerre – támaszkodva állítja elő a Coulomb-súrlódással csillapított, kétszabadságfokú elektromechanikai rezgőrendszer ekvivalens lineáris egyenletrendszerét. Ezt követően hagyományos analitikai eszközökkel meghatározza a rendszer amplitúdó-gerjesztő körfrekvencia függvényeit. Az amplitúdó-gerjesztő körfrekvencia görbék stabilis szakaszainak feltárását a [14] (170-172.o.), valamint a [69] (167170.o.) művekben is megtalálható módszer segítségével végezzük: függvényvizsgálat alapján megnézzük, hogy a súrlódási erő értékének kicsiny megváltozása az amplitúdó-gerjesztő körfrekvencia függvény milyen változását idézi elő. Az általunk alkalmazott Coulomb-féle súrlódási modell hűtő-kenőanyag jelenlétét nem veszi figyelembe, és eltekint a súrlódási erő szuperfiniselési folyamat közben történő változásától.

2.4. Az új típusú berendezés alapelve, célkitűzések A rezgő rendszerek általában rezgő tömegeket, rugalmas elemeket, valamint legalább egy gerjesztő egységet tartalmaznak. Amennyiben a rezgő tömegek mozgási energiája a rugalmas elemekben felhalmozódó potenciális energiává, majd ismét mozgási energiává alakul, és ez az átalakulás periodikusan megy végbe, akkor a rendszer rezgőmozgást végez [14]. Az energiaátalakulás ütemét csillapítatlan rendszernél annak sajátfrekvenciája, gerjesztett rezgéseknél pedig a gerjesztő hatás frekvenciája szabja meg. Csillapított rendszerek állandósult rezgése már külső energia bevezetését igényli: a rendszert külső erő alkalmazásával periodikusan kell gerjeszteni. Ilyen csillapított gerjesztett rezgőrendszernek tekintjük az értekezésben vizsgált szuperfiniselő berendezéseket. Kimutatható, hogy adott frekvenciára hangolt és ehhez közeli frekvenciával gerjesztett rendszer kedvező energetikai viszonyok mellett működhet. A fentiek szerint tehát, a prototípus berendezést alkalmasan megválasztott rugalmas taggal kiegészítve az a kísérletsorozat eredményeként feltárt munkapontra hangolható, melytől a legkedvezőbb energetikai viszonyok kialakulását várjuk. Jelen értekezés a szuperfiniselő berendezés ilyen irányú továbbfejlesztésének dinamikai vizsgálatát, energetikai viszonyainak feltárását tűzi ki céljául. A vizsgálat szempontjából lényeges dinamikai és energetikai tulajdonságok feltárását az elektrodinamikus rezgéskeltő berendezés modelljét felhasználva végezzük [82]. A vizsgált modellek mozgásegyenlet-rendszerét a Lagrange-féle másodfajú mozgásegyenletekből származtatjuk [70], [77], [82]. 12

A gépészmérnöki gyakorlatban megszokott módon első lépésben a szuperfiniselő berendezés lineáris modelljét alkotjuk meg. Ennek megfelelően a szuperfiniselési folyamatot sebességgel arányos, lineáris csillapításként vesszük figyelembe. A lineáris modell segítségével – állandósult rezgésállapotot figyelembe véve – először elvégezzük a prototípus, majd azt követően az új típusú berendezés dinamikai vizsgálatát, energetikai viszonyainak feltárását. Ennek során igazoljuk az alkalmasan megválasztott rugalmas elem energetikai viszonyokra gyakorolt kedvező hatását. Második lépésben a lineáris modellt finomítjuk: feltételezzük, hogy a kövek és a munkadarab között Coulomb-féle csillapítás ébred. Figyelmen kívül hagyjuk a mozgás- és nyugvásbeli súrlódás közötti különbséget és a stick-slip jelenségét. A súrlódási erő nagyságát a szuperfiniselési folyamat időtartama alatt végig állandónak tételezzük fel. Feltételezzük továbbá, hogy a mozgó tömegek elmozdulása a berendezés méretéhez képest kicsi. A nemlineáris mozgásegyenlet-rendszer megoldását a fázisgörbe feletti linearizálás módszerével közelítjük. Elvégezzük a közelítés eredményeként adódó amplitúdó-frekvencia függvények stabilitás vizsgálatát. A stabil görbeág ismeretében megvizsgáljuk a nemlineáris rendszer energetikai viszonyait. A kapott analitikus eredményeket néhány esetben numerikus kísérletekkel ellenőrizzük. Megvizsgáljuk, melyik gerjesztő frekvencia esetén kedvezőbb a nemlineáris modell viselkedése. Megvizsgáljuk továbbá, milyen lehetőség adódik egy olyan szuperfiniselő berendezés tervezésére, amely a prototípuséhoz képest kisebb teljesítményű lineáris motorral is működtethető. A vizsgálatoktól azt várjuk, hogy a kísérletek során meghatározott megmunkálási paraméterek mellett a prototípushoz képest kisebb méretű és tömegű, gazdaságosabban működő, az alapgép munkaterében kedvező pozícióban elhelyezhető szuperfiniselő berendezés megépítésére nyílik lehetőség.

13

3. A dinamikai modell A szuperfiniselő berendezés dinamikai viselkedésének és energetikai viszonyainak vizsgálatára olyan modellt alkotunk meg, amely megegyezik a gépészmérnöki gyakorlatban alkalmazott elektrodinamikus rezgéskeltő modelljével. Az alábbiakban [82] alapján működési módjuk szerint csoportosítva áttekintjük a rezgéskeltő berendezések fontosabb típusait. Ezt követően részletesebben ismertetjük az elektrodinamikus rezgéskeltő berendezés működési elvét, és vázoljuk egy lehetséges felépítését.

3.1. Mechanikus rezgéskeltő berendezések 3.1.1. Útgerjesztéses mechanizmusok Ilyen esetekben motorral hajtott karos vagy bütykös mechanizmus alkalmazásával, útgerjesztésen keresztül valósul meg a rezgéskeltés (5. ábra). Ilyen mechanizmust alkalmaznak például rezgő sziták vagy belsőégésű motorral működtetett kézi talajtömörítő munkagépek esetén.

5. ábra. Útgerjesztéses merev kinematika Megjegyezzük, hogy a prototípus berendezés tervezésekor, a megoldásváltozatok feltárása során ilyen mechanizmust javasoltunk egy lehetséges változatként [124].

3.1.2. Erőgerjesztést alkalmazó berendezések 3.1.2.1.

Rugós rezgéskeltő

Ilyenkor a periodikus mozgást létrehozó forgattyús hajtómű hajtórúdja és a rezgő tömeg közé rugót iktatnak, és ezzel erőgerjesztést adnak a rezgőrendszer tömegére. Jó közelítéssel 14

harmonikus erőgerjesztés érhető el abban az esetben, amikor a hajtórúd jóval hosszabb a hajtókartól. A gépi kovácsolás berendezései közül az Ajax-kalapácsban (6. ábra [136]), kisméretű előgyártmányok esetén pedig az előgyártmányok továbbítására szolgáló rezgő adagoló berendezésekben lelhető fel ez az elv.

6. ábra. Erőgerjesztés rugó segítségével

3.1.2.2.

Tehetetlenségi erővel történő gerjesztés

Ez a típus a lendület-megmaradás elvén működik. A rezgő tömeg méretéhez kicsi rezgető a tömegen elhelyezkedve, azzal együtt elmozdulva gerjeszt (7. ábra [82]). Ilyen rezgéskeltő található például a fémes előgyártmányok felületének megmunkálására szolgáló vibrocsiszoló berendezésekben.

7. ábra. Gerjesztés tehetetlenségi erővel

3.1.2.3.

Centrifugális rezgéskeltő

Ez az elv a tehetetlenségi erővel történő gerjesztés egyik változata. A gerjesztést egy tengelycsonkra erősített, statikusan kiegyensúlyozatlan forgó elem biztosítja. Sok esetben közvetlenül a motor tengelyére rögzítik excentrikusan a tömeget, így a gerjesztő erő a forgó motoron keresztül adódik át a rendszerre (8. ábra [135]). Főleg szerkezetek fárasztóvizsgálatára használják, emellett szita- és rostaberendezésekben is előfordul.

15

8. ábra. Rezgéskeltés centrifugális erővel

3.2. Hidraulikus és pneumatikus rezgéskeltő berendezések Ebben az esetben munkahengerek adják a gerjesztő erőt, és szeleprendszer vezérli a dugattyú két oldalára beáramló folyadék vagy levegő mennyiségét. A szeleprendszert elektronikus vezérlés működteti. Fő előnyük, hogy kisméretű munkahenger alkalmazásával is igen nagy gerjesztő erő és teljesítmény érhető el. Pneumatikus gerjesztésű rezgéskeltő például a SUPFINA cég által gyártott, hagyományos esztergagépre adaptálható szuperfiniselő egység. Egy ilyen berendezés található a Miskolci Egyetem Gépgyártás-technológiai Tanszékén, melyet szétszerelt állapotban a 9. ábra mutat. Elektronikusan vezérelt hidraulikus rezgéskeltő található például nagyteljesítményű anyagvizsgáló berendezésekben vagy szeizmikus földtani, mélyszerkezeti kutatásokhoz használt vibrátorjárművekben.

9. ábra. Szuperfiniselő pneumatikus rezgéskeltővel

3.3. Villamos elven működő rezgéskeltő berendezések Ez a típus tükrözi leginkább az értekezésben bemutatásra kerülő szuperfiniselő berendezés működési elvét. Két altípust különböztetünk meg: az elektromágneses és az elektrodinamikus berendezéseket [82]. Mindkettő az elektromágneses kölcsönhatás elvén működik.

3.3.1. Elektromágneses rezgéskeltő Gerjesztő áram hatására az elektromágnes vasmagjának mágneses tere erőt fejt ki a közelében elhelyezett mozgó lágyvasra. Ha a gerjesztő áram idő függvényét helyesen választjuk meg, akkor elérhetjük a lágy vasmag általunk kívánt időbeli elmozdulását. Az elektromágnes 16

húzóereje függ a gerjesztő áramtól, valamint az elektromágnes vasmagja és a mozgó lágyvas közötti légrés nagyságától. Az összefüggések nem lineárisak. Ezen az elven működnek például a hifi berendezések hangszórói (10. ábra [60]) vagy fejhallgató egységei. A [31], [72] művekben számos egyéb alkalmazási példa található.

10. ábra. Elektromágneses rezgéskeltő a hangszóróban

3.3.2. Elektrodinamikus rezgéskeltő Ez az altípus két darab, egymáshoz közel elhelyezkedő tekercset tartalmaz. A tekercsek egymáshoz képest – adott irányban – elmozdulhatnak. Gerjesztő áram esetén a tekercsek környezetében mágneses mező alakul ki; a tekercsek – mágneses mezőjükön keresztül – kölcsönhatásba kerülnek egymással. Ismeretes, hogy mágneses mezőben elhelyezett áramjárta tekercsre erő hat. Esetünkben ez az erő igyekszik a tekercseket egymáshoz képest elmozdítani. A tekercsek relatív elmozdulásának időfüggése a tekercseket gerjesztő áram beállításával vezérelhető. A gyakorlatban ezeket a rendszereket az alábbiak szerint valósítják meg: a két tekercs közül az egyik rögzített helyzetű, egyenárammal gerjesztett lég- vagy vasmagos elektromágnesnek tekinthető. Ha ennek stacionárius mágneses terébe helyezzük a váltakozó árammal gerjesztett kisebb tekercset, akkor az mozgásba jön. Kisebb méretű berendezések esetén az egyenárammal gerjesztett tekercset permanens mágnessel helyettesítik.

11. ábra. Az elektrodinamikus rezgéskeltő felépítése 17

Elektrodinamikus rezgéskeltő berendezés egy lehetséges változatát mutatja az 11. ábra. Az 1  4 alkatrészek ferromágneses anyagból készülnek és a v gyűrű alakú légréssel együtt mágneses kört alkotnak. Ezt a mágneses kört az 5 rögzített helyzetű tekercs egyenárama gerjeszti. A v légrésben kialakuló mágneses mező homogénnek tekinthető, indukciós vektorának iránya radiális, nagysága a gerjesztő árammal arányos. A rezgető áramot a légrésben koncentrikusan elhelyezkedő 6 tekercsbe vezetik. A mágneses mezőbe helyezett áramjárta tekercs a rá ható erő következtében mozgásba jön. A 7 rezgőtekercs visszatérítését a 8 rugalmas membrán segíti elő. Ilyen berendezést alkalmazunk például szerszámgépek dinamikus merevségvizsgálatakor [11]. Az imént bemutatott elektrodinamikus rezgéskeltő működési elvét alkalmazzuk majd a prototípus és az új típusú, lineáris motorral hajtott, rövid löketű szuperfiniselő berendezések modellezése során. A vázolt berendezés 1  5 alkatrészei a finiselő berendezésekben található lineárismotor primer, míg a 7 mozgó tekercs a motor szekunder egységének felel meg.

18

4. Általános elvek és összefüggések A továbbiakban rátérünk az elektrodinamikus rezgéskeltő berendezésekhez rendelhető mechanikai modellek vizsgálatára. Az elektrodinamikus rezgéskeltő berendezés – mivel villamos és mechanikai elemeket egyaránt tartalmaznak – elektromechanikai rendszer [77], [82]. Felírjuk az elektromechanikai rendszerek mozgásegyenlet-rendszerének általános alakját, majd azt követően megadjuk a rendszer energetikai állapotának megítélésére vonatkozó szempontokat és az alkalmazott mennyiségek értelmezését, végül felírjuk a mennyiségi összefüggéseket.

4.1. A mozgásegyenlet-rendszer felírása A dinamikai modell mozgásegyenlet-rendszerét a Lagrange-féle másodfajú mozgásegyenletekből kiindulva írjuk fel [23], [43], [82]. Egyes szakirodalmak kihangsúlyozzák az egyenletekben előforduló villamos és mechanikai jellegű általános koordináták közötti különbséget [77], [82]. A mozgásegyenletek felírása során mi is alkalmazzuk ezt a megkülönböztetést. Ennek megfelelően egy N számú mechanikai és M számú villamos szabadsági fokot tartalmazó elektromechanikai rendszer Lagrange-féle másodfajú mozgásegyenlet-rendszere az alábbi d  E  dt  x

 E U D    F  t    1...N  ,   x x x d  E  E U D     u  t    1...M      dt  Q Q Q Q   

(4.1) (4.2)

egyenletek alakjában írható fel, ahol a pont az idő szerinti deriválás jele, E a rendszer kinetikai, U a potenciális energiája, D a disszipációs függvénye, x és Q a rendszer általános koordinátái, F  t  és u  t  pedig általános erőkoordináták [17], [75], [82], [114]. A későbbiekben látni fogjuk, hogy (4.1)-ből a mechanikai elemek mozgásegyenletei, (4.2)-ből pedig a villamos körök hurokegyenletei származnak.

4.2. Az energetikai viszonyok vizsgálata 4.2.1. Az energetikai állapot megítélésének szempontjai Energetikai viszonyok vizsgálatán a rendszer elemeiben a teljesítmény időbeli lefolyásának, a teljesítmények idő szerinti – mindig egy rezgési periódusra vonatkozó – integráljából kiszámított energiáknak, valamint az ebből származó hatásfok mennyiségeknek a felírását, szélsőértékeik előállítását, ezeknek előre definiált szempontokkal történő összevetését, valamint ezek alapján a legkedvezőbb munkapont meghatározását értjük [54]. A legkedvezőbb munkapont 19

megítélésére vonatkozó szempontok köre igen tág [63]. Jelen értekezésben [63] alapján olyan munkapont kialakítására törekszünk, amelynél 1. a rendszer villamos energia felvétele minimális; 2. az elektromechanikai rendszer villamos egységének vesztesége minimális. Ezt a szempontot követjük akkor, amikor a lineáris motor rendelkezésére álló hely korlátozott, vagy kerülni kell annak hőleadását a környezet felé. Ennek során azt is megvizsgáljuk, hogy a rendszer által felvett villamos energia milyen arányban oszlik meg az ohmos és mechanikai csillapítások között; 3. a villamos kör áramfelvétele minimális. Ennek akkor van jelentősége, amikor a túlzott hőleadás elkerülése mellett az adaptáló berendezés – jelen esetben egy UP keményesztergáló berendezés – elosztóhálózatának terhelhetőségét, veszteségeit is figyelembe kell venni. Az áramfelvétel csökkentése például több fogyasztó energiaellátását teszi lehetővé az elosztóhálózat bővítése nélkül; 4. a rendszer meddőteljesítménye elhanyagolható. Mivel a villamos kör feszültségforrásának U eff feszültséget kell szolgáltatnia, és a vezetékeknek az I eff áram okozta melegedést kell kibírniuk, a feszültségforrást és a villamos körben jelenlévő gerjesztő tekercset PS látszólagos teljesítményre kell méretezni [16]. Kis meddőteljesítmény esetén a gerjesztő tekercsek jelentős túlméretezése elkerülhető, ezért a villamos gerjesztő egység és a berendezés egészének mérete és tömege is csökkenthető. Emellett alacsony meddőteljesítmény esetén a fogyasztó alacsony felárat fizet a wattos fogyasztás százalékában, és ez nagysorozatban készülő termékek, pl. csapágyalkatrészek gyártása esetén különösen fontos. A továbbiakban [16], [27], [54], [129] alapján az 1-4. szempontokhoz köthető alapvető összefüggéseket ismertetjük.

4.2.2. Kapcsolódó fogalmak, összefüggések Egy villamos körben folyó egyfázisú váltakozó áram elemi munkáját a dW  u  t  i  t  dt

(4.3)

kifejezés alapján értelmezzük (pl. [27]), melyből dW  p t   u t  i t  dt

(4.4)

összefüggéssel számítható a villamos kör pillanatnyi teljesítménye. (4.4)-ben i  t  a villamos kör áramerőssége, u  t  pedig a villamos kör kapocsfeszültsége. Egyfázisú áramkör villamos teljesítménye – harmonikus gerjesztés esetén – a p  t   u  t  i  t   U 0 cos  t  I 0 cos   t  0 

(4.5)

összefüggés alapján számítható, ahol U 0 a hálózatot tápláló váltakozó feszültség amplitúdója, I 0 a körben folyó váltakozó áram amplitúdója és  0 a fáziskülönbség. (4.5)-ből az egyfázisú váltakozó áram pillanatnyi teljesítményére a 20

1 1 p  t   U 0 I 0 cos  0  1  cos 2 t   U 0 I 0 sin  0 sin 2 t 2 2

(4.6)

összefüggés adódik. A kifejezés jobb oldalának első tagja egy 2 körfrekvenciával és 1 U 0 I 0 cos0 amplitúdóval rezgő koszinusz függvény, melynek szimmetriatengelye az időtengely 2 1 felett U 0 I 0 cos0 értéknél van. A görbe időtengely feletti átlaga megegyezik a villamos kör 2

1 Ph  U 0 I 0 cos  0 2

(4.7)

hatásos teljesítményével, ahol cos 0 a kör teljesítménytényezője. Látható, hogy egyfázisú, váltakozó áramú villamos kör hatásos teljesítménye adott U 0 és I 0 értékek mellett akkor a legnagyobb, ha a kör teljesítménytényezője éppen 1.  0  90 esetén bármekkora is az áram- és amplitúdó értéke, Ph  0 . (4.6) jobboldalának második tagja egy 2 1 körfrekvenciával és U 0 I 0 sin0 amplitúdóval rezgő szinusz függvény. Ez a kifejezés a villamos 2 kör meddő teljesítményét adja meg. Mivel ennek átlagértéke nulla, ezért ezt a mennyiséget a feszültség

1 Pm  U 0 I 0 sin  0 2

(4.8)

amplitúdójával jellemezzük. Ismeretes, hogy a váltakozó áramú villamos körben – például egy soros RLC-körben – található kondenzátorok és tekercsek meddő energiát tárolnak elektromos és mágneses energia formájában. Ezek az energiák egy periódus alatt az egyes áramköri elemekben többször is felépülnek [10], [16], [54], [122]. (4.8)-ból az is látszik, hogy  0  0 esetén a meddőteljesítmény amplitúdója zérus. Ekkor a villamos kör meddőenergiát nem tárol. Mivel ilyenkor cos 0  1 , így az elektromos hálózat teljesítménye teljes egészében hatásos teljesítmény. Ekkor a villamos kör által az elektromos hálózatból felvett energia kizárólag a körben jelenlévő disszipatív jellegű áramköri egységek energiáinak fedezésére szolgál. (4.7) és (4.8) felhasználásával PS  Ph2  Pm2

(4.9)

definiálja a látszólagos teljesítményt. Az energetikai viszonyok leírására teljesítményjellegű mennyiségek mellett energia, valamint ezekből származtatható hatásfok mennyiségeket is alkalmazunk. Ezeket mindig az éppen vizsgált rendszer energiamérleg-egyenlete alapján állítjuk elő. Az energiamérlegegyenletben szereplő integráltagok az elektromechanikai rendszerben előforduló egységek – gerjesztő tekercs, ohmos ellenállás, mechanikai csillapítás – 1 periódusra vonatkozó energiafelhasználásának felelnek meg. Az így meghatározott függvényeket és azok esetleges szélsőértékhelyeit diagramok segítségével tesszük szemléletesebbé. A szélsőérték-vizsgálatot az egzakt és a közelítő összefüggések felírásán és vizsgálatán keresztül részben analitikus, részben numerikus eszközökkel végezzük. Az analitikus módon előállított közelítő összefüggéseket minden esetben numerikusan is ellenőrizzük. 21

5. A lineáris mozgásegyenlet-rendszer A 12. ábra az elektrodinamikus rezgéskeltő és egyben az új típusú szuperfiniselő berendezés mechanikai modelljét mutatja.

12. ábra. Az újtípusú finiselő berendezés mechanikai modellje Az ábrán m a mozgó tekercs és a hozzá kapcsolódó rezgő alkatrészek együttes tömegét, k a rugóállandót,  pedig a szuperfiniselési folyamatból származó, első közelítésben lineárisnak feltételezett csillapítás együtthatóját jelöli. Az áramköri elemek közül R1 , R2 a villamos körök teljes ohmos ellenállását, L1 , L2 a tekercsek önindukciós, M 12 pedig a tekercsek kölcsönös indukciós együtthatóit jelöli. U 1 és u2 jelöli a megfelelő tekercsek egyen, valamint időben változó tápfeszültségeit. Feltételezzük, hogy a feszültséggenerátorok ideálisak, így belső ellenállásaiktól eltekintünk. A vázolt mechanikai modell 1 villamos köre a finiselő berendezésben található lineárismotor primer, míg a 2 mozgó tekercs a motor szekunder egységének felel meg. Megjegyezzük, hogy a 12. ábra alapján k  0 esetben a prototípus berendezés lineáris mechanikai modelljét kapjuk Mivel csak a 2 kör végezhet x irányú elmozdulást, ezért a modell egy mechanikai szabadságfokot tartalmaz. Jelöljük ennek általános koordinátáját x2 -vel. A berendezést két 22

egymástól függetlenül táplált villamos kör működteti, így a villamos szabadságfokok száma kettő. Jelöljük ezek általános koordinátáit Q1 -gyel és Q2 -vel: ezek az egyes körök villamos töltését jelentik. Az előzőek alapján (4.1), (4.2) a d  E  E U D    F2  t    dt  x2  x2 x2 x2

(5.1)

d  E  E U D       1  U1 dt  Q Q1 Q1 Q 1 

(5.2)

d  E  E U D     u2  t     dt  Q2  Q2 Q2 Q2

(5.3)

alakban adódik. Az egyenletekben előforduló energiamennyiségek a paraméterek és az általános koordináták függvényében az 2 1 2 1 2    2 , E   LQ mx   M 12Q1Q2  2  1 2   1 2 U  kx2 ,  2  1 2 2 1 2  D   x   RQ  2  1 2 

(5.4)

összefüggések alakjában adhatók meg, melyeket részletesen kiírva az

E

1 2 1 2 1 2  Q  2 L1Q1  L2Q2  M 12Q mx 1 2  2 2 2  1  U  kx22  2  1 2 1 2 1 2  D  R1Q1  R2Q2   x2  2 2 2

 i kifejezéseket kapjuk (v.ö. pl. [44], [82]). Bevezetve a Q   egyenletrendszert az E

  1,2 

(5.5)

áramerősségeket, az (5.5)

1 2 1 2 1 2 2 L1i1  L2i2  M 12i1i2  mx 2 2 2  1  U  kx22  2  1 2 1 2 1 2  D  R1i1  R2i2   x2  2 2 2

(5.6)

alakban is felírhatjuk. (5.6) kifejezéseket a (5.1), (5.2) és (5.3) egyenletekbe helyettesítve, az

 2   x2  kx2  mx

1 dL1 2 1 dL2 2 dM 12 i1  i2  i1i2  0 2 dx2 2 dx 2 dx2 23

(5.7)

dL1 dx2 di dM 12 dx2 di i1  L1 1  i2  M 12 2  R1i1  U 1 dx2 dt dt dx2 dt dt dL2 dx2 di dM 12 dx2 di i2  L2 2  i1  M 12 1  R2i2  u2  t  dx2 dt dt dx2 dt dt

(5.8) (5.9)

összefüggéseket kapjuk. Feltételezzük, hogy a tekercsek önindukciós együtthatói állandóak, ezért (5.8)-ban (5.9)-ben pedig

dL1 0, dx2

dL2  0 , így (5.7)-(5.9)-ből dx2 dM 12 i1i2  0 dx2 di dM 12 dx2 di L1 1  i2  M 12 2  R1i1  U 1 dt dx2 dt dt di dM 12 dx2 di L2 2  i1  M 12 1  R2i2  u2  t  dt dx2 dt dt

 2   x2  kx2  mx

(5.10) (5.11) (5.12)

adódik. Az (5.10)-(5.12) egyenletrendszer mindhárom egyenlete tartalmazza az általános koordináták mindegyikét: a felírt differenciálegyenletek csatoltak. E mellett a differenciálegyenletek nemlineárisak, az alábbi feltevések segítségével azonban egyszerűbb alakra hozhatók. Tételezzük fel, hogy a mozgótekercs

x2

elmozdulása kicsi. Linearizáljuk az

M 12  M 12  x2  függvényt x2  0 kis környezetében. Sorfejtést alkalmazva, majd figyelmen kívül hagyva a másod- és annál magasabb rendűen kicsiny tagokat, a kölcsönös indukcióra az dM 12 M 12  x2   x2 kifejezést kapjuk, melyből dx2 x 0

dM 12 dx2

K

(5.13)

x2 0

adódik, ahol K állandó (v. ö. [23]). Másrészt az 1 áramkör egy külső gerjesztésű villamos motor gerjesztő egységeként is felfogható, melynek állapota – mint ismeretes – független a di forgórész állapotától [23], [24], [129]. Ekkor jó közelítéssel igaz, hogy i1  const és 1  0 , dt di2 dM 12 dx2 továbbá (5.11)-ben i2  0 és M 12  0 . Az előbbi feltevéseket, valamint (5.13)-at dt dx2 dt figyelembe véve, (5.10)-(5.12) az

 2   x2  kx2  Ki1i2  0 mx R1i1  U 1

24

(5.14) (5.15)

L2

di2  Ki1x2  R2i2  u2  t  dt

(5.16)

alakra egyszerűsödik. Mivel (5.15) a független gerjesztő kör hurokegyenlete, ezért további vizsgálataink során figyelmen kívül hagyhatjuk azt, így a vizsgált mechanikai modell mozgásegyenlet-rendszere az

 2   x2  kx2  Ki1i2  0 mx di L2 2  Ki1x2  R2i2  u2  t  dt

(5.17) (5.18)

egyenletekre módosul. A továbbiakban villamos körön a mozgó tekercs áramkörét értjük. Vezessük be a Ki1   jelölést. Mivel i1  const , ezért  is állandónak tekinthető, így (5.17) és (5.18)-ból az

 2   x2  kx2   i2  0 mx di L2 2  x2  R2i2  u2  t  dt

(5.19) (5.20)

lineáris, állandó együtthatós, inhomogén differenciálegyenlet-rendszert kapjuk. Mivel a modell szabadságfokainak száma kettőre – egy mechanikai és egy villamos jellegűre – csökkent, ezért a továbbiakban az indexelést elhagyhatjuk. A (5.20) egyenlet esetében vezessük be az

 

(5.21)

jelölést. Ekkor a (5.19)-(5.20) egyenletrendszer az

   x  kx   i  0 mx di L  Ri   x  u  t  dt

(5.22) (5.23)

formát ölti. A továbbiakban (5.22)-re mozgásegyenletként, (5.23)-ra pedig hurokegyenletként fogunk hivatkozni. Ennek értelmében, valamint a szakirodalom alapján az (5.22)-ben előforduló -t erő-, az (5.23)-ban előforduló  -t sebességkonstansnak nevezzük; értékük a villamos körök kialakításától függ [36], [43], [77]. (5.10) alapján mind az erő-, mind a sebességkonstans Vs mértékegysége , azonban az erőkonstans esetén [66]-hoz és [118]-hoz hasonlóan inkább a m N szemléletesebb -t alkalmazzuk. Az (5.23)-ban előforduló  x tag a csatolt mezőkben létrejövő A feszültségcsökkenés [21], [49], [54], [77]. A (5.22)-(5.23) differenciálegyenlet-rendszer – eltekintve a x és a kx tagoktól – formailag megegyezik az egyenáramú villamos gépek állapotát leíró mozgásegyenlet-rendszerrel. Hasonló rendszerek lelhetők fel a [10], [18], [23], [24], [36], [43], [77], [82] művekben. Ezek alapján a (5.22)-(5.23) mozgásegyenlet-rendszer lehetőséget nyújt egy olyan szuperfiniselő berendezés dinamikai és energetikai viszonyainak közelítő leírására, melynek lineáris motorja a külső gerjesztést biztosító állandó mágnes mellett egy kis elmozdulást végző tekercset tartalmaz. Feltételezzük továbbá, hogy a 2 áramkör időben

25

váltakozó gerjesztő feszültsége harmonikus, u  t   U 0 cos  t alakú, ahol U 0 a gerjesztő feszültség amplitúdója,  pedig a gerjesztő körfrekvencia. Ennek következtében (5.22)-(5.23)

   x  kx   i  0 mx di L   x  Ri  U 0 cos  t dt

(5.24) (5.25)

formát ölti. (5.24)-(5.25)-öt tekintjük az új típusú szuperfiniselő berendezés lineáris mozgásegyenlet-rendszerének. Ebből k -t elhagyva adódik a prototípus berendezés

   x   i  0 mx L

di   x  Ri  U 0 cos  t dt

(5.26) (5.27)

mozgásegyenlet-rendszere. A továbbiakban megvizsgáljuk a lineáris modellek dinamikai és energetikai viszonyait.

26

6. A lineáris modell vizsgálata (5.24)-(5.25) és (5.26)-(5.27) alapján először a prototípus, majd az új típusú berendezés modelljének dinamikai és energetikai viszonyait vizsgáljuk. Ezt követően a 4.2.1. fejezetben megfogalmazott szempontok alapján összevetjük a berendezések energetikai viszonyait. Ennek eredményeként azt várjuk, hogy alkalmasan megválasztott rugalmas tag beépítésével a rendszer rezonancia frekvenciánál – az említett szempontokat kielégítve – közel a legkedvezőbb energetikai viszonyok között működik, ami lehetővé teszi egy, a prototípuséhoz képest jóval kisebb méretű és gazdaságosabban működő berendezés megépítését [118], [123]. Mivel [82] egy hasonló lineáris modell numerikus vizsgálatát mutatja be, ezért az energetikai viszonyok feltárását és a modellek egymással történő összevetését az abban előforduló számadatokra támaszkodva végezzük (v. ö.: [82] 322-328.o.).

6.1. A prototípus berendezés vizsgálata A szuperfiniselési folyamatból származó csillapítást lineáris jellegűnek tételezzük fel, és az általa felemésztett disszipációs energiát a rendszer hasznos munkájaként vesszük figyelembe, miközben egyéb mechanikai csillapításoktól eltekintünk. Mivel a prototípus berendezés rugalmas elemet nem tartalmaz ezért ebben az esetben k  0 .

6.1.1. Az egyenletrendszer megoldása Új w változó, valamint komplex mennyiségek bevezetésével (5.26)-(5.27) a

ˆ  xˆ w ˆ   w ˆ   iˆ  0 mw diˆ L   xˆ  Riˆ  U 0 e j t dt

(6.1) (6.2) (6.3)

alakban írható fel. (6.1)-(6.3) állandósult rezgéseit az

ˆ j t , xˆ  t   j Ae ˆ j t , xˆ  t   Ae ˆ  t   j Be ˆ j t , w ˆ j t , ˆ  t   Be w

(6.4)

ˆi  t   iˆ e j t , ˆi  t   j iˆ e j t 0 0 komplex függvények alakjában keressük. A megoldásalakok (6.1)-(6.3)-ba történő helyettesítését és a kifejezés egyszerűsítését követően, majd alkalmazva a mátrixos felírást, az egyelőre ˆ ˆ ˆ – komplex együtthatókra a ismeretlen – A,B,i 0 27

  j   0  j

ˆ 0 A 0  ˆ       B   0   R  j L   iˆ0  U 0 

1   j m  0

(6.5)

lineáris, inhomogén egyenletrendszert kapjuk. A Cramer-szabály alapján (6.5)-ből az elmozdulás koordináta komplex amplitúdóját az 0

1

0

0

  j m 



0

 R  j L 

ˆ     DA     U 0 A D    j

1

0

0

  j m 



j

0

 R  j L 

(6.6)

hányados segítségével számíthatjuk. A determinánsok kifejtését, majd a valós és a képzetes tagok ˆ amplitúdóra az szerinti rendezést követően az A

ˆ      U 0 A 

1  

2

 mR   L 

2

  R    mL

e j A

2 2

(6.7)

 

kifejezést kapjuk, ahol  A az elmozdulás és a gerjesztő feszültség fázisszöge. (6.4) és (6.7) alapján a rezgő tömeg valós elmozdulás-idő függvénye az

Re  xˆ  t    x  t   

U 0 

1  2  mR   L  2   R    mL 2 2   

cos   t   A  (6.8)

alakban adódik. Hasonló módon állíthatjuk elő az áramerősség komplex amplitúdóját, valamint valós állandósult időfüggvényét. Ekkor a Cramer-szabály alapján

ˆi     0

Di0    D  



 j

1

0

0

  j m 

0

0 1

U0 0

0

   j m 



j

0

 R  j L 

j  j

.

(6.9)

adódik, melyből a determinánsok kifejtését, majd algebrai rendezést követően az ˆi     U 0 0

m  j   L  mR   j  R    mL 2 

28

(6.10)

összefüggés formájában kapjuk az áramerősség komplex amplitúdóját. Ennek exponenciális alakja az

ˆi     U 0 0

 2   m 

2

2

  L  mR    R    mL 2

2 2



e j i  I 0 e j i

(6.11)

alakban írható fel, ahol  i a villamos körben folyó áram gerjesztő feszültséghez képesti fázisszöge, I 0 pedig az áramerősség valós amplitúdója. A  i fázisszöget – (6.10) segítségével – a tg i 

 m   mL 2    2 L 

(6.12)

m 2 R 2    R   

alakban is felírhatjuk. A rendszer teljesítménytényezőjét (6.12)-ből – ismert trigonometriai azonosság felhasználásával – a

1

cos i 

1  tg 2 i

m 2 R 2    R   



2

 m 2 R 2    R       2  m   mL 2    2 L 

2

(6.13)

összefüggés segítségével számíthatjuk. (6.13)-at pozitív előjellel kell figyelembe venni, mivel a    fázisszög tartománya a   ;  intervallum. Ennek igazolásához írjuk fel (6.10)-et az  2 2

ˆi0     U 0

m 2 R 2    R     j m   mL 2    2 L  2

 2  L  mR    R    mL 2 

2

(6.14)

alakban. Látható, hogy (6.14) valós része csak pozitív értéket, képzetes része viszont pozitív és negatív értéket is felvehet, így a komplex mennyiség argumentuma a komplex számsík első vagy negyedik síknegyedében helyezkedik el. (6.4) és (6.11) alapján a villamos körben folyó áramerősség valós időfüggvényét az

Re ˆi  t    i  t   U 0

 2   m  2

2

 2  L  mR    R    mL 2 

2

cos   t   i 

(6.15)

kifejezés adja meg. Vizsgáljuk az imént előállított áramerősség-amplitúdó függvénygörbéjét a gerjesztő frekvencia függvényében a

m  0,5 kg ,   0,5

Ns N Vs , L  0,0088 H , R  2  ,   24,5 ,   24,5 , U 0  8 V (6.16) m A m

29

számadatok esetén ([82] 323.o.). A diagramok vízszintes tengelyén a gerjesztő frekvencia Hz-ben  kifejezett értékei helyezkednek el, ahol f  . A görbe maximuma – a pontos számítások 2 szerint – az

fi0 max 

1 2

1  R    mL

gerjesztő frekvenciánál található (13. ábra).

13. ábra. Az áramerősség-amplitúdó szélsőértéke (6.13) alapján könnyen belátható, hogy f cos i max  f sin i min 

1 2

1    2    m  L m

gerjesztő frekvenciánál a rendszer teljesítménytényezője 1, vagyis ilyenkor meddőenergia nem keletkezik. A frekvencia-kifejezésekből látható, hogy kis csillapítások és elég nagy motorkonstansok esetén az f i0 max és az f cos i max  f sin i min frekvenciaértékek igen közel esnek egymáshoz. Esetünkben ezek a frekvenciák f i0 max  58,8 Hz, f cos i max  f sin i min  58,7 Hz .

Indexként azt a mennyiséget tüntetjük fel, amelynek éppen az adott frekvenciánál van szélsőértéke.

30

6.1.2. Energetikai viszonyok Induljunk ki az (5.25) hurokegyenletből, melynek mindkét oldalát i -vel megszorozva és figyelembe véve a (4.4) definíciót, megkapjuk a rendszer áramköri elemeinek L

di i  Ri 2   xi  iU 0 cos  t dt

(6.17)

pillanatnyi teljesítménymérleg-egyenletét. (4.3) alapján (6.17) egy teljes periódusra vonatkozó integrálja megadja a rendszer által az elektromos hálózatból egy periódus alatt felvett villamos energiát. Erre (6.8) és (6.15) alapján a T

T

T

1 2 Li0   sin 2   t   i dt  Ri02  cos 2   t   i  dt   i0 w0  sin   t   A  cos   t   i dt  2 0 0 0 T

(6.18)

 i0U 0  cos  t cos   t   i  dt 0

egyenlet adódik. Az egyenletben előforduló w0 mennyiség a (6.4) függvényekben szereplő Bˆ komplex együttható abszolút értéke. (6.18) első tagja a gerjesztő tekercs energia viszonyait írja le. A tekercs félperiódusnyi idő alatt energiát vesz fel a hálózatból a tekercsen belüli mágneses mező felépítésére, majd ugyanennyi idő alatt ezt az energiamennyiséget visszajuttatja a hálózatba. Így a teljes periódusra vonatkozó – meddő – energia fogyasztása zérus, ezért a további számítások során ez a tag elhagyható. Az egyenlet baloldalán álló második és harmadik tag az ohmos, valamint a mechanikai csillapítás disszipációs energiáinak összege. A rendszer által az elektromos hálózatból egy periódus alatt felvett energiát az egyenlet jobb oldalán lévő T T T   1 Ebe  i0U 0  cos  t cos   t   i  dt  i0U 0  cos i  cos 2  tdt  sin i  sin 2 tdt  (6.19) 2 0  0 0 

integrál segítségével számítjuk ki. A számítást elvégezve és felhasználva (6.12) és (6.15) kifejezéseket, (6.19)-re az 2 2   U 02 m  L  mR     R    mL  Ebe  i0U 0  cos  t cos   t   i   i0U 0 cos i     2  L  mR  2   R    mL 2 2 0 (6.20) T

összefüggés adódik. Mivel az összefüggés bonyolult, szélsőértékhelyeit – továbbra is a (6.16) számadatok alapján – numerikus módszerre támaszkodva határozzuk meg. Ennek alapján a minimumhely f Ebe min  3,8 Hz , a maximum f Ebe max  56 ,0 Hz -nél áll elő. (6.20) függvénygörbéjét a gerjesztő frekvencia függvényében a 14. ábra mutatja. A görbével kapcsolatban megjegyezzük, hogy lim Ebe   . f 0

31

14. ábra. A rendszer összenergia-felvétele Az ohmos csillapítás 1 periódusra vonatkozó fogyasztása (6.18) alapján az 2

 2   m    RU 02 ER  Ri02     2  L  mR  2   R    mL 2 2 összefüggés segítségével számítható. A függvénygörbét a 15. ábra diagramja szemlélteti.

15. ábra. A villamos egység energiafelvétele

32

(6.21)

Ennek szélsőértékeit ismét numerikus módszer segítségével határozzuk meg. A számítások szerint (6.21)-nek maximuma van, és ez az f ER max  56,0 Hz -nél helyezkedik el; pontosan annál a frekvenciánál, amely a rendszer által felvett villamos energiának is maximumhelye. A továbbiakban vizsgáljuk meg a mechanikai csillapítás energiáját, melyet az T

Eh   FCS xdt

(6.22)

0

integrál segítségével számíthatunk ki. A kifejezésben FCS a lineáris csillapító erő, x pedig a rezgő tömeg sebessége. A lineáris csillapító erő az FCS   x

(6.23)

alakban írható fel. Ez, valamint (6.8) alapján (6.22) az T

T

T

Eh   FCSxdt   x dt    w 2dt 2

0

0

(6.24)

0

alakúra módosul. (6.8)-ból és (6.24)-ből a hasznos munkavégzésre az T

T

Eh    w 2dt    x 2dt   0

kifejezés

adódik,

0

melyből

U 0   a

2

 mR   L 

2

2

T 2

  R    Lm

sin 2   t   A  

2 2



 sin   t    dt (6.25) A

0

1 1 1  cos 2 A cos 2 t  sin 2 A sin 2 t 2 2 2

trigonometriai azonosság alapján (6.25)-re az T

Eh    x 2dt  0

2

 U 0   2 2    mR   L    R    Lm 2  2

(6.26)

kifejezést kapjuk. Megjegyezzük, hogy (6.18) alapján – Eh  Ebe  ER következtében – ugyancsak (6.26)-ra jutunk. (6.26) függvénygörbéjét a 16. ábra mutatja. A görbe szélsőértékhelyeit (6.26) nevezőjéből

1;2 

3  2CmL  D 2   9D 4  36 D 2CmL  16  CmL  10  mL 

2

2

2

alapján számíthatjuk, ahol C   R   , D 2   L  mR  ,    2 . Ez alapján a mechanikai csillapítás által disszipált energiamennyiség szélsőértékeihez tartozó gerjesztő frekvenciák f Eh min  32,0 Hz , f Eh max  48,3 Hz . Ezek az értékek jelentős mértékben eltérnek az előzőekben meghatározott frekvenciaértékektől.

33

16. ábra. A csillapítás energiafelvétele Térjünk rá a hatásfok jellegű mennyiségek meghatározására. Definiálja a 2

 2   m  ER R  R Ebe m 2  L  mR     R    mL 2 

(6.27)

hányados az ohmos ellenálláson megjelenő villamos veszteség hatásfokát, melynek görbéjét a gerjesztő frekvencia függvényében a 17. ábra mutatja.

17. ábra. A villamos egység villamos veszteségének hatásfokgörbéje 34

Látható, hogy ez a hatásfok kis frekvenciák esetén nullához, nagy frekvenciák esetén pedig 1-hez tart. Nagy frekvenciák esetén tehát a rendszer által felvett energia az ohmos ellenálláson szinte teljes egészében Joule-hővé alakul, és veszteség formájában távozik a rendszerből. A (6.20) és (6.26) alapján a mechanikai csillapítás egy periódusra vonatkozó hatásfokát a

Eh  2 h   Ebe m 2  L  mR     R    mL 2 

(6.28)

alakban írhatjuk fel. Ennek függvénygörbéjét a 18. ábra mutatja.

18. ábra. A mechanikai csillapítás hatásfokgörbéje Látható, hogy ez a hatásfok – az ohmoséval ellentétben (17. ábra) – csak igen alacsony gerjesztő frekvencia tartományban magas, egyébként a gerjesztő frekvencia növelésével rohamosan csökken. Végül határozzuk meg, milyen arányban oszlik meg a rendszer által felvett Ebe energiamennyiség az ohmos E R és a mechanikai Eh csillapítások között. Ehhez – (6.21) és (6.26) alapján – definiáljuk a

 Rh

 2   m  E  R R Eh  2

2

(6.29)

hányadost. Ennek képe másodfokú parabola, amely – növelve a frekvenciát – szigorúan monoton tart végtelenhez (19. ábra), így jellegzetes – szélsőértéket kijelölő – gerjesztő frekvencia most sincs.

35

19. ábra. A felvett energiamennyiség megoszlása Az 1. táblázat az imént meghatározott jellegzetes frekvenciaértékeket foglalja össze. Indexként azt az energetikai mennyiséget tüntetjük fel, amelyre az adott szélsőértékhely vonatkozik. 1. táblázat. Szélsőértékhely-frekvenciák Gerjesztő frekvencia [Hz] f cos i max

Szélsőértékhely

58,7

f i0 max

58,8

f R min

0

f Rh min

0

f h max

0

f Ebe min

3,8

f Ebe max

56,0

f ER max

56,0

f Eh min

32,0

f Eh max

48,3

A kiemelt frekvenciák indexében előforduló szélsőértékek vethetők össze az 4.2.1. fejezet egyes szempontjaival. Látható azonban, hogy nincs olyan kitüntetett gerjesztő frekvencia, amelynél az energetikai szempontokban megfogalmazott szélsőértékhelyek egyidejűleg fordulnának elő. A táblázatból kiolvasható, hogy a hatásfok jellegű mennyiségek kedvező jellegű szélsőértékei igen alacsony gerjesztő frekvenciák esetén jelentkeznek. Egy másik kitüntetett frekvenciaérték 58 Hz . Ennek környezetében a rendszer meddőteljesítménye hanyagolható el, 36

azonban az áram-, a villamos energia, valamint az ohmos csillapítás energia felvétele ugyanitt maximummal rendelkezik, így emiatt ez a munkapont sem tekinthető kedvezőnek. Ugyanitt a rendszer által felvett villamos energiának csak hatásos összetevője van, és ez teljes egészében az ohmos csillapításon disszipálódik Joule-hő formájában. Ez pedig jelentős hőmennyiséggel terheli meg a megmunkálási környezetet és a berendezést, különösen annak gerjesztő tekercsét. Megállapítjuk, hogy ebben az esetben a 4.2.1 fejezetben felsorolt szempontok között nincs legalább kettő, amelyek egyidejűleg teljesülnének. Ezzel kapcsolatban megjegyezzük, hogy a prototípus berendezés kialakítása során nem is törekedhettünk konkrét munkapont meghatározására, mivel a szükséges adatok – megmunkálási frekvencia és amplitúdó – a szuperfiniselési kísérletsorozat lezárásáig ismeretlenek voltak. Arra kellett törekednünk, hogy a berendezés minél szélesebb frekvencia és amplitúdó sávban legyen alkalmas a megmunkálási kísérletsorozat elvégzésére. A továbbiakban a prototípus berendezés modelljét alkalmasan megválasztott rugalmas taggal kiegészítve megvizsgáljuk, hogyan módosulnak az energetikai viszonyok.

6.2. Az új típusú berendezés mozgásegyenlet-rendszere Ebben a fejezetben az új típusú szuperfiniselő berendezés 4.1 fejezetben megalkotott lineáris dinamikai modelljének vizsgálatát végezzük el.

6.2.1. Az egyenletrendszer megoldása Új w változó, valamint komplex mennyiségek bevezetésével (5.24)-(5.25) a

ˆ  xˆ w

  ˆ   w ˆ  kxˆ  ˆi  0  mw   Liˆ  Riˆ   xˆ  U 0 e j t 

(6.30)

alakúra módosul. A partikuláris megoldásokat most is a (6.4) függvények alakjában keressük. A ˆ B, ˆ ˆi amplitúdókra a mátrixos felírásmódot alkalmazva, az egyelőre ismeretlen A, 0

  j   k  j

ˆ 0 A 0  ˆ       B   0   R  j L   iˆ0  U 0 

1   j m  0

(6.31)

ˆ amplitúdót – a Cramer-szabály segítségével inhomogén lineáris egyenletrendszert kapjuk. Az A – az 0 0 U0

ˆ     DA     A  j D   k j 37

1   j m  0

0   R  j L 

1   j m 

0 

0

 R  j L 

(6.32)

hányadosból határozhatjuk meg. A determinánsok kifejtését, majd a valós és képzetes tagok ˆ exponenciális alakjára az összevonását követően A

U 0

ˆ    A

2

 R  k  m 2    L 2    2    R  L  k  m 2      

2

e j A

(6.33)

kifejezést adódik, ahol  A az elmozdulás- és a gerjesztő feszültség amplitúdó fáziskülönbsége, és amely a tg A  

    R  L  k  m 2 

(6.34)

R  k  m 2    L 2

összefüggésből számítható ki. (6.4) és (6.33) alapján

x  t   Re  xˆ  t   

U 0  R  k  m 

2

   L

2

2

      R  L  k  m     2

2

2

cos   t   A  (6.35)

alakban írható fel a rezgő tömeg valós elmozdulás-idő függvénye. Állítsuk elő az ˆi0 áramerősség-amplitúdót a gerjesztő körfrekvencia függvényében. Ez az

ˆi     0

Di0    D  



 j

1

0

k

  j m 

0

0 1

U0 0

k

   j m 



j

0

 R  j L 

j  j

(6.36)

hányadosból számítható. A hányadosban szereplő determinánsok kifejtését, valamint a valós és képzetes tagok rendezését követően először az ˆi0 amplitúdó

ˆi     0

U0 2

 R  k  m 2    L 2    2    R  L  k  m 2      

R  k  m    2 2

2

   R   j  L  2

2

  k  m

2

2

(6.37)

   L  k  m   2

algebrai alakját kapjuk meg, amely ˆi0     i0 e j i exponenciális alakban is felírható, ahol 2 2

i0     U 0

 k  m     2

2

 R  k  m 2    L 2    2  R    L  k  m 2      38

2

(6.38)

a valós áramerősség-amplitúdó,  i fáziskülönbsége.  i -t (6.37) alapján a

tg i  

pedig az áramerősség és a gerjesztő feszültség



 L 2 2   k  m 2    L  k  m 2  R  k  m

2 2





  2    R 

(6.39)

   összefüggésből számíthatjuk ki. (6.37) alapján azt is könnyen beláthatjuk, hogy  i a   ;   2 2 1 intervallumba esik, ezért a cos i  trigonometrikus azonosság felhasználásával a 1  tg 2 i teljesítménytényezőre 2

cos i 

R  k  m 2    2    R  2

2

 R  k  m 2  2   2    R     2 L 2 2   k  m 2    L  k  m 2       (6.40)





N m rugóállandójával [82], vizsgáljuk meg a (6.38) kifejezés függvénygörbéjét. A görbét a gerjesztő frekvencia függvényében a 20. ábra mutatja. adódik. A (6.16) számadatok esetén, melyet kiegészítünk a rugalmas tag k  1250

20. ábra. Az áramerősség-amplitúdó minimuma rezonancia frekvencia közelében Megfigyelhető, hogy körülbelül f h  8 Hz gerjesztő frekvencia esetén a gerjesztő tekercsben folyó áramerősség amplitúdójának minimuma van. Ez az f h frekvencia megegyezik a rendszer

1 k sajátfrekvenciájával. A továbbiakban megmutatjuk, hogy f s -nél egyes energetikai 2 m mennyiségek – paramétertől függetlenül – egzakt, más mennyiségek – bizonyos paraméterkombinációk mellett – közelítő szélsőértékkel rendelkeznek. Megmutatjuk továbbá, fs 

39

hogy e szélsőértékek jellege olyan, hogy a 4.2.1 fejezetben megfogalmazott energetikai szempontok f s -nél jó közelítéssel egyszerre teljesülnek.

6.2.2. Energetikai viszonyok Az energetikai mennyiségek áttekinthetőbb formában történő felírásához vezessük be a

k  2  2,   , 2 2   m 2m 

(6.41)

új paramétereket, ahol  a rendszer saját-körfrekvenciája,  az ún. Lehr-féle csillapítás [14], [29], [82], [83],  és  pedig dimenziótlanított frekvenciaváltozók. (6.41) segítségével (6.38) a i0     U 0

1   

2

 4 2

    R  1     2L     2R   L 1     k  

2

,

(6.42)

2

(6.43)

2

2 2

i0    U 0

1   

 4 2 2

   R 1     2L     2R   L 1   2     k  2

2

2

2

alakokban is felírható. Az energetikai mennyiségek kifejezéseinek felírását most is a hurokegyenlet alapján adódó L

di i   xi  Ri 2  iU 0 cos  t dt

(6.44)

teljesítménymérleg-egyenletből kiindulva végezzük. Képezzük (6.44) T

T

T

1 2 Li0   sin 2   t   i dt  Ri02  cos 2   t   i  dt   i0 w0  cos   t   i  sin   t   A dt  2 0 0 0 T

 i0U 0  cos  t cos   t   i  dt 0

(6.45) 1 periódusra vonatkozó határozott integrálját, amely a rendszer energiamérleg-egyenlete. Ez T

 sin 2   t   dt  0 következtében i

0

T

T

T

Ri02  cos 2   t   i  dt   i0 w0  cos   t   i  sin   t   A dt  i0U 0  cos  t cos   t   i  dt 0

0

0

(6.46)

40

alakúra módosul. (6.46) bal oldalán a villamos és a mechanikai csillapítások által disszipált ER , és Eh energiamennyiségek állnak. Ezek összege adja a teljes rendszer által felvett Ebe energiamennyiséget. Ennek megfelelően (6.46) röviden az (6.47)

ER  Eh  Ebe alakban is felírható. (6.40), (6.41) és (6.43) segítségével Ebe -re az

    4 2 2  1   U  R   (6.48) Ebe  i0U 0 cos i  2 2  R  L   L       2 2 2 2  1     2 R      2  1   R   R  1       2 2

1   

2 0

kifejezés adódik. (6.43) és (6.46) alapján ER -re az 2

1   2   4 2 2   R 2  U 02 ER  i0  2 2  R  L    L 2 2 2 2  1     2 R      2  1   R   R 1     

(6.49)

T

kifejezést kapjuk. Eh a (6.46)-ban szereplő integrál mellett az Eh    x 2dt kifejezésből 0

kiindulva is meghatározható, melyre (6.35) és (6.41) alapján az 2

 U   Eh      0  2 2  Rk   L    L 2 2 2 2  1     2 R      2  1   R   R 1     

(6.50)

kifejezés adódik. (6.48), (6.49) és (6.50) alapján felírhatjuk a (6.27), (6.28) és (6.29) alatt definiált  R ,  h és  Rh hatásfok mennyiségeket, melyekre – (5.21)-et és (6.41)-et is figyelembe véve – a

E  R    R  Ebe

 h   

Eh  Ebe

2

 4 2 ,   2 2 1     4  1    R   1

1   

R  m  1  2

2

1   

2

 4 2

(6.51)

(6.52)



és a R  m  E   Rh     R  R  Eh  h  2

41

2

1   

2



 4 2

(6.53)

összefüggések adódnak. (6.40) és (6.41) alapján felírjuk még a  i fázisszögre vonatkozó, a rendszer meddőteljesítményét jellemző sin i 

 L 2 2  m 1   2     R  kL 1   2  2

2

 m 2 2 R 1   2 2   2    R     2 2 L 2 2  m 1   2     R  kL 1   2      (6.54)





összefüggést. A továbbiakban (6.51)-(6.53) mennyiségekről kimutatjuk, hogy   1 -nél szélsőértékkel rendelkeznek. Megmutatjuk továbbá, hogy sin i 1  0

(6.55)

i0  1  0 ,

(6.56)

és

azaz elhanyagolható meddőteljesítmény és kis áramerősség esetén   1 -nél a (6.42), (6.48) és (6.49) mennyiségeknek is közelítőleg szélsőértéke van. Az egzakt és közelítő szélsőértékeket összevetjük az 4.2.1. fejezetben megadott feltételekkel, és látni fogjuk hogy a (6.55) és (6.56) feltételek mellett jó közelítéssel a rendszer legkedvezőbb energetikai állapota valósul meg. Ezt követően megvizsgáljuk, hogy a (6.55), (6.56) feltételek milyen paraméterkombinációk esetén teljesülhetnek jó közelítéssel. (6.51)-ből szélsőérték-számítást követően az 1   2  0 összefüggés adódik. Mivel 4  R 1  2  0 , így   2  R    

 R 1  min imum.

(6.57)

Ennek levezetése során figyelembe vettük (5.21)-et. (6.52) lehetséges szélsőértékhelyeinek előállítása egyenértékű feladat a nevezőben előforduló

1    f   

2

 4 2



(6.58)

kifejezés szélsőértékhelyeinek meghatározásával. Ennek megfelelően képezzük (6.58)  szerinti első deriváltját. Ezt zérussal egyenlővé téve a    1   1  0 összefüggést kapjuk. Ez alapján azonnal látható, hogy rezonancia frekvencia esetén a hatásfoknak szélsőértékhelye lehet. Nem részletezve a számítás menetét, ugyanezen a helyen a (6.58) kifejezés második deriváltjára f  1  2  0 adódik, ezért (6.58)-nak a   1 helyen minimuma, (6.52)-nek pedig ugyanott maximuma van,

 h 1  max imum. (6.53), (6.57) és (6.59) alapján pedig már könnyen belátható, hogy 42

(6.59)

 Rh  1  min imum.

(6.60)

Megállapítjuk tehát, hogy rezonancia frekvenciánál a rendszer által felvett Ebe energiamennyiség a legkedvezőbb módon oszlik meg az ohmos és a mechanikai csillapítások között. Ilyenkor tehát a rendszer minimális villamos veszteség mellett működik. Térjünk rá ezek után az áramerősség és az energia mennyiségek vizsgálatára. (6.48) és (6.49) alapján felírhatjuk a

R 

ER R i0  Ebe U 0 cos i

(6.61)

összefüggést. Korábban már kimutattuk, hogy  R 1  min imum , és mivel (6.55) alapján cos i  1  1 , ezért (6.61)-ből i0 -ra adódik, hogy

i0  1  min imum ,

(6.62)

vagyis (6.55) esetén a rendszer áramfelvétele közel minimális. A továbbiakhoz képezzük (6.49)

ER   

R 2i i  i02  2  0 0 

(6.63)

R 2 i 1 . Amennyiben tehát – (6.56) 0 nak megfelelően – i0 1 elég kicsi, úgy – i02 1  0 következtében – ER 1 is elég kicsi lesz, így (6.49)   1 -nél jó közelítéssel szélsőértékkel rendelkezhet. (6.51) értelmében deriváltját, amely (6.62) következtében   1 -nél ER 1 

 E  E  E  E E   R   R   R be 2 R be , melyből   1 -nél  R 1  min imum következtében az Ebe  Ebe  ER Ebe  ER Ebe  0 összefüggés adódik. Mivel az ER  1 mennyiségről feltételezzük, hogy elég

  1  0 is jó közelítéssel kicsi, ezért – ER  1  0 következtében – azt is feltételezzük, hogy az Ebe teljesül. Az imént feltételezett szélsőértékeket a 21. ábra és a 22. ábra diagramjai szemléltetik.

21. ábra. ER minimuma rezonancia frekvencia közelében 43

22. ábra. Ebe minimuma rezonancia frekvencia közelében A továbbiakban megvizsgáljuk, hogy a (6.55) és (6.56) közelítések milyen paraméterkombinációk mellett teljesülnek kellő pontossággal. (6.55)-höz tekintsük a (6.54)-ből adódó L 2 2  m 1   2     R  kL  1   2   0

(6.64)

összefüggést. (6.41) alapján (6.64)-et a

   R       R  2  2   4 2     1  0 kL kL    

(6.65)

alakban is felírhatjuk, melynek megoldásaira a 2

1;2

   R    R         R   4 2    2   4 2   4  1  2  kL kL kL       2

értékek adódnak.   1 esetén 2 

(6.66)

   R    R , melyet figyelembe véve  4 2  2  kL kL

(6.65) megoldásaira a

1  1; 2  1 

   R kL

(6.67)

értékek adódnak. (6.41) alapján a 1 megoldás azt jelenti, hogy rezonancia frekvencián gerjesztve a rendszert, annak villamos körében meddőenergia gyakorlatilag nem képződik. Mivel ilyenkor sin i 1  0 mellett cos i 1  1 is teljesül, ezért 1 esetén a körnek jó közelítéssel csak hatásos teljesítménye van, amely a 23. ábra diagramjaiból is kiolvasható. 44

23. ábra. A teljesítménytényező maximuma rezonancia frekvenciánál (6.42) alapján könnyen belátható, hogy   1 esetén – mivel i0  1 igen kicsivé válik – (6.56) is jó közelítéssel teljesül. Megállapítjuk tehát, hogy   1 esetén a (6.55), (6.56) feltételek mellett az energia mennyiségekre imént kimutatott szélsőértékek is jó közelítéssel teljesülnek. A továbbiakban numerikusan is igazoljuk a (6.42), (6.48) és (6.49) mennyiségek közelítő szélsőértékhelyeit. Numerikus becslésre támaszkodva megmutatjuk, hogy ezek a szélsőértékhelyek rezonancia frekvenciától csak kis mértékben térnek el. Ehhez az alábbi, az f    0 alakban adott nemlineáris egyenlet numerikus megoldásával kapcsolatos – bizonyítás nélkül közölt – tételeket alkalmazzuk [97]:  Ha az f

folytonos valós függvény helyettesítési értékei az

végpontjaiban különböző előjelűek, azaz

 a;b

f  a  f  b   0 , akkor az

intervallum f    0

egyenletnek az  a;b intervallumban legalább egy  p gyöke van.  Ha f    létezik és előjeltaró az  a;b  intervallumon, akkor  p az egyetlen gyök ugyanezen az intervallumon.  Ha  p az f    0 egyenlet  a;b intervallumba eső gyöke, k ugyanitt közelítő gyöke, valamint ugyanezen az intervallumon min f     m , akkor az k közelítő gyök k   p hibakorlátja a k   p 

f k  m

egyenlőtlenség alapján becsülhető.

Esetünkben f    i0   és k  1 . Legyen a vizsgált intervallum I  k   ;k    , ahol  elég kicsi, például   10 3 . Mivel az intervallum végpontjaiban vett függvényértékekre igaz, hogy i0  0,999   i0 1,001  0,066  0,066  0 , ezért az első tétel értelmében az I intervallum biztosan tartalmazza i0    0 egyenlet egy gyökét. Állítsuk elő az i0   függvényt, majd ábrázoljuk I -n (24. ábra). 45

24. ábra. Az i0 függvény   1 környezetében Látható, hogy i0   I -n előjeltartó, ezért a második tétel értelmében f    i0   -nek az I intervallumban csak egy gyöke van. Mivel I -n min i0    m  i0 1     65,35 , ezért a harmadik

tétel i0 k 

értelmében

az

k  1

közelítő

gyök

hibakorlátjára

a

2,43  10 4  3,71  10 6 érték adódik. Ez alapján pedig nyilvánvaló, hogy az m 65,35  p szélsőértékhely valóban   1 kicsiny környezetében található. Térjünk rá az E R mennyiség vizsgálatára. Alkalmazzuk ismét az imént bemutatott becslési módszert. Ebben az esetben is   k  1 kicsiny környezetében keressük a szélsőértékhelyet. Most

k   p 



f    E R   

R  2i i  i02   0  2 0 0

(6.68)

a vizsgálandó egyenlet, az intervallum pedig legyen ismét I  k   ;k    , ahol   10 3 . Az

I intervallum végpontjaiban most is teljesül az ER 0,999   ER 1,001  0,00011  0,00010  0 feltétel, így I tartalmazza (6.68) legalább egy gyökét.

25. ábra. Az E R függvény   1 környezetében 46

Látható, hogy ER   előjeltaró I -n (25. ábra), ezért (6.68)-nak csak egy gyöke fordul elő ebben az intervallumban. Mivel I -n min ER    ER  1     0,1106  m , és ER k   5,15  10 6 ezért

a

harmadik ER k 

tétel

értelmében

k  1

a

közelítő

gyök

hibakorlátjára

a

5,15  10 6  4,66  10 5 érték adódik, és e szerint az  p szélsőértékhely m 0,1106 ezúttal is   k  1 kicsiny környezetében található. Hasonlóképpen látható be, hogy az Ebe mennyiségnek is   k  1 kicsiny környezetében létezik szélsőértéke. A 2. táblázat foglalja össze az imént elvégzett analitikus és numerikus számítások eredményeit, azok relatív hibáit1.

k   p 



2. táblázat. A tényleges és közelítő szélsőértékhelyek összevetése A tényleges t Jellemző függvényértékek szélsőértékhely sin  i  0 1,000

Függvényérték a t helyen

Függvényérték a   1 helyen

Relatív hiba %

0

0,000

0

cos  i  1

1,000

1

0,999

0.1

i0  min . [A]

0,999

0,006

0,006

0

R  Rh ER  min . [J] Ebe  min . [J]

1

0,001

0,001

0

1

0,001

0,001

0

1,000

0,000

0,000

0

1,028

0,003

0,003

0

A táblázatból kiolvasható, hogy a feltárt szélsőértékhelyek valóban  2    1 -hez közel, annak – egyes esetekben numerikus becslés által is előre jelzett – kicsiny környezetében helyezkednek el. A továbbiakban megvizsgáljuk, hogy ezek a szélsőértékek hogyan elégítik ki a berendezés legkedvezőbb munkapontjára vonatkozó 4.2.1 fejezetbeli szempontokat. Minden egyes megállapítást követően zárójelben tüntetjük fel annak a szempontnak a sorszámát, amelynek az állítás megfelel.  Kimutattuk, hogy alkalmasan megválasztott lineáris rugó alkalmazása esetén a vizsgált modell rezonancia frekvencián gerjesztve minimális villamos energiát és áramot vesz fel az elektromos hálózatból (1, 3).  Ugyanekkor a rendszer meddőteljesítménye – kis Lehr-féle csillapítások mellett, egyéb rendszerparamétertől függetlenül – gyakorlatilag zérus, az elektromos hálózatból felvett villamos energiának kizárólag hatásos teljesítménye van (4).  Ilyenkor a hatásos teljesítmény által végzett munka a legkedvezőbb módon oszlik meg az ohmos, valamint a szuperfiniselési folyamatból származó csillapítás között (2).  Megmutattuk, hogy eközben az ohmos csillapítás által disszipált energiamennyiségnek minimuma van (2).

1

A relatív hibát az

E t   E 1 E t 

100% kifejezéssel értelmezzük. 47

A fenti értékelés alapján látható, hogy a  2    1 esetén a rendszer energetikai állapota egyidejűleg tesz eleget a 4.2.1 fejezetben megfogalmazott legkedvezőbb munkaponti szempontoknak. Megállapítjuk tehát, hogy a lineáris modell energetikai szempontból legkedvezőbb munkapontját a modell saját-körfrekvenciájának környezetében érdemes kialakítani. Ez a munkapont az Aacheni Fraunhofer Intézet által megállapított szuperfiniselési paraméterek felhasználásával és egy alkalmasan megválasztott rugóelem beépítésével az új típusú szuperfiniselő berendezés esetében megvalósítható.

6.3. Az új típusú és a prototípus berendezések energetikai viszonyainak összevetése Az előző fejezet végén elvégzett értékelés alapján a   1 helyet tekintjük az új típusú berendezés energetikai szempontból legkedvezőbb munkapontjának. A továbbiakban a prototípus és az új típusú berendezés modelljeinek a   1 munkapontban meghatározott energetikai jellemzőit vetjük össze. Ennek során a két modell esetében azonos gerjesztő körfrekvencia és elmozdulás amplitúdók mellett kiszámított energetikai mennyiségek értékeit hasonlítjuk össze. A vizsgálatok során alkalmazott energetikai mennyiségeket a vonóerő-amplitúdó, valamint a látszólagos teljesítmény értékeivel egészítjük ki. A vonóerő-amplitúdót az áramerősség-amplitúdó felhasználásával az F0   i0 összefüggés segítségével határozzuk meg. A látszólagos teljesítményt (4.9) alatt definiáltuk. A számítások k 1 során a gerjesztő körfrekvencia egyezzen meg az imént vizsgált rendszer  02   2500 2 m s saját-körfrekvenciájával, az elmozdulás amplitúdó pedig legyen A  5 mm . Az új típusú berendezéshez tartozó modell esetén az  0 gerjesztő körfrekvenciának a   1 dimenziótlanított frekvenciaérték felel meg. Az előzőekhez hasonlóan a kísérleti vizsgálóberendezés lineáris modelljének számadatait az m  0,5 kg ,   0,5

Ns N Vs , L  0,0088 H , R  2  ,   24,5 ,   24,5 , U 0  6 ,00 V m A m

értékek szerint, a rugalmas taggal kiegészített új típusú berendezését pedig az

m  0,5 kg , k  1250

  24,5

N Ns N ,   0,5 , L  0,0088 H , R  2  ,   24,5 , m m A

Vs , U 0  6,12 V m

értékek szerint vesszük figyelembe. Az így elvégzett számítások eredményeit a 3. táblázat foglalja össze. Összevetve az értékeket látható, hogy a két modell megfelelő energetikai jellemzői jelentős mértékben eltérnek egymástól. Az eltérések okait az alábbiak szerint magyarázhatjuk. A prototípus modellnél a rezgő tömeg gyorsítását kizárólag a rendszer villamos köre végzi, míg az új típusú modell esetén a villamos kör mellett a rendszerben található rugalmas tag potenciális energiája is hozzájárul ehhez. Így az új típusú modell esetén – amint arra a 2.2. fejezetben már

48

utaltunk – a hálózatból felvett villamos energia mennyiség jó közelítéssel kizárólag a mechanikai csillapítás által disszipált energia fedezésére szolgál. 3. táblázat. A prototípus és az új típusú berendezés lineáris modelljeinek energetikai állapota Energetikai mennyiségek sin  i cos  i

Az energetikai mennyiségek értékei Prototípus berendezés modellje Új típusú berendezés modellje rad ( k  0 , saját-körfrekvenciára ( k  0 ,    0  50 ) hangolt:   1 ) s 0,994 0,000366 0,104

0,999999

5

5

A

[mm]

i0

[A]

0,253

0,005

F0

[N]

6,200

0,122

Pm

[VAr]

0,755

0,000056

Ph

[W]

0,079

0,015

Ps

[VA]

0,759

0,015

R

0,806

0,001663

 Rh

4,166

0,001665

ER

[J]

0,008

0,000003254

Ebe

[J]

0,010

0,001957

Az is látható, hogy az új típusú rendszer rezgő tömegének előírt elmozdulásához kisebb vonóerő szükséges, ezért a rendszer áramfelvétele is jóval kisebb a rugalmas tagot nem tartalmazó rendszeréhez képest. Emiatt az új típusú rendszer meddőteljesítménye, így meddőárama is elhanyagolható a hatásos jellemzők mellett, így az ezekből eredő villamos túlméretezés szintén szükségtelen. Ez pedig a prototípushoz képest kisebb méretű és tömegű, valamint gazdaságosabb hűtőrendszert tartalmazó berendezés kialakítását teszi lehetővé. Az előzőekben – a gépészmérnöki gyakorlatban megszokott módon – először az elektromechanikai rezgőrendszer lineáris modelljét vizsgáltuk. A továbbiakban ezt a vizsgálati módszert alkalmazzuk egy, a valóságos finiselési folyamatot jobban közelítő nemlineáris modell esetén. Ennek eredményeként azt várjuk, hogy a lineáris vizsgálatok eredményein túlmutatva lehetővé válik a stabil-instabil működési tartományok feltárása, valamint a nemlineáris rendszer esetén is létezik olyan kitüntetett gerjesztő frekvencia, amelynél a legkedvezőbb energetikai viszonyok valósulnak meg.

49

7. A nemlineáris modell vizsgálata A szuperfiniselési folyamat valósághűbb közelítését kapjuk, ha az abból eredő csillapítást nemlineáris Coulomb-féle súrlódás formájában vesszük figyelembe. Ennek jelleggörbéjét a 26. ábra mutatja, ahol S a súrlódási erőt, FS pedig annak abszolút értékét jelöli. S FS

x FS

26. ábra. A Coulomb-féle súrlódási modell A Coulomb-féle súrlódási modellt a [14], [29], [52], [69], [82], [86], [95], [126] művekhez hasonlóan S   FS sgn x 

(7.1)

alakban is felírhatjuk, melyet a továbbiakban is alkalmazunk az egyenletek felírásakor. Egyéb mechanikai csillapításoktól, valamint a stick-slip jelenségétől eltekintünk. A továbbiakban felírjuk a nemlineáris modell mozgásegyenlet-rendszerét, majd a fázisgörbe feletti linearizálás módszerére támaszkodva előállítjuk annak közelítő periodikus megoldásait. Ezt követően meghatározzuk az amplitúdó-frekvencia függvényeket, melyek közül stabilitásvizsgálattal választjuk ki a ténylegesen megvalósuló görbeágat. Végül ennek ismeretében elvégezzük a rendszer energetikai vizsgálatát.

7.1. A nemlineáris mozgásegyenlet-rendszer Az előzőeknek megfelelően (5.24)-(5.25) az

  FS sgn x   kx  i  0 mx L

di   x  Ri  U 0 cos  t dt

50

(7.2) (7.3)

alakúra módosul. (2.6) kapcsán utaltunk rá, hogy ennek szakaszosan folytonos megoldásai analitikusan nehezen kezelhetők. A ma már nagy pontossággal elvégezhető numerikus eljárások pedig csak konkrét paraméterek esetén adnak egy konkrét megoldást. Így a paraméterek változtatásának hatása nehezen áttekinthető. Ezért közelítő eljárásra, jelen esetben a fázisgörbe feletti linearizálás módszerére támaszkodva (7.2)-(7.3) közelítő megoldásait állítjuk elő. Mivel ezek már a paraméterek folytonos függvényei, így a rendszer stabilitás- és energetikai vizsgálata is áttekinthetőbbé válik. A fázisgörbe feletti linearizálás módszere feltételezi, hogy (7.2)-(7.3) rezgései egy domináns sajátfrekvenciával és egy ahhoz hozzátartozó domináns lengésképpel rendelkeznek. Először ennek a feltevésnek a jogosságát kívánjuk numerikus vizsgálatok alapján belátni. A számítást a Runge-Kutta módszerre támaszkodva végezzük, és ennek során az új típusú szuperfiniselő berendezés

N 1 ; f  30 Hz;   2 f  188,5 ; L  0,0035 H ; m s (7.4) N Vs R  6 ,8  ;   20,4 ;   20,4 ; U 0  47 V A m FS  60 N ; m  6 kg; k  213183

tervezett számadatait vesszük figyelembe (v.ö.: [66] 190.o.). E számadatok mellett a rendszer f  30 Hz -es gerjesztő frekvenciára hangolt. A 27. ábra és a 28. ábra a numerikusan előállított elmozdulás-idő és áramerősség-idő diagramokat, valamint az azokhoz tartozó határciklusgörbéket mutatja.

27. ábra. Numerikusan előállított domináns rezgésképek

28. ábra. A domináns rezgések zárt határciklus görbéi 51

A 29. ábra az FFT-analízis eredményeként adódó spektrumdiagramokat ábrázolja.

29. ábra. Spektrumdiagram a domináns frekvenciával A 29. ábra diagramjai azt mutatják, hogy (7.2)-(7.3) harmonikus gerjesztésekor a kialakuló rezgés domináns frekvenciával és rezgésképpel rendelkezik, és a domináns frekvencia megegyezik a gerjesztés frekvenciájával. A 30. ábra alapján pedig az látszik, hogy a domináns frekvenciához tartozó amplitúdó  a1  mellett a spektrum második legnagyobb amplitúdója  a2  elhanyagolható az ábrázolt intervallumon.

30. ábra. A spektrum második legnagyobb és a domináns frekvencia amplitúdóinak hányadosa

7.2. A fázisgörbe feletti linearizálás módszere Linearizálás során az eredeti, nemlineáris mozgásegyenlethez – valamilyen meggondolás alapján – egy ekvivalens lineáris egyenletet rendelünk. A hozzárendelés célja, hogy a nemlineáris differenciálegyenlet keresett megoldását a hozzárendelt ekvivalens differenciálegyenlet megoldásával lehetőség szerint jól közelítsük. A linearizálási módszereknek számos változata alakult ki. Ezek egyike a Miskolci Egyetem Mechanika Tanszékén majd a 52

Szerszámgépek Tanszékén PATKÓ által kidolgozott fázisgörbe feletti linearizálás módszere [101], [102]. Jelen értekezés keretein belül megelégszünk a fázisgörbe feletti linearizálás módszerének gerjesztett rezgések esetére való bemutatásával. Egy periodikusan gerjesztett, egyszabadságfokú, nemlineáris mozgásegyenlet az

  f  x,x    F t  mx

(7.5)

általános alakban írható fel, ahol m  0 állandó, F  t  pedig a periodikus gerjesztő tag, amely t -

  kifejezést nemlineáris ben periodikus T periódussal, azaz F  t   F  t  T  . Az f  f  x,x jellegfelületnek nevezzük, amelynek x , x szerinti parciális differenciálhányadosait folytonosnak tételezzük fel a vizsgált tartományon. A továbbiakban periodikus gerjesztésként tisztán harmonikus tagot tételezünk fel, így (7.5) az   f  x,x    Fg cos  t mx

(7.6)

alakúra módosul, ahol   0 állandó, a gerjesztés körfrekvenciája. (7.6)-hoz rendeljük hozzá az

  bx   cx  d  Fg cos  t mx

(7.7)

ekvivalens lineáris egyenletet oly módon, hogy a két mozgásegyenletnek  legyen megegyező periodikus megoldása vagy  (7.7) periodikus megoldása (7.6) periodikus megoldását elég jól közelítse. A (7.7) állandósult rezgéseit leíró partikuláris megoldást keressük az x  t   a0  a1 cos   t  1 

(7.8)

alakban, ahol az egyelőre ismeretlen a0 , a1 és 1 állandók a b , c és d együtthatók ismeretében az a0  

d , c

a1 

Fg 2 2

 c  m    b 

tg1 

, 2

b c  m 2

(7.9)

összefüggések alapján számíthatók.

  nemlineáris jellegfelületet – annak bizonyos értelmezési Linearizálás során az f  x,x   cx  d , ún. kiegyenlítő síkkal közelítjük, így a közelítés a sík tartománya felett – a z  bx ismeretlen b , c és d együtthatóinak meghatározásából áll. Az egyes linearizálási módszerek a fenti közelítés megvalósítására és az értelmezési tartomány kijelölésére szolgáló utasításhalmazokban különböznek egymástól. Az általunk alkalmazott módszer a rezgő rendszer s fázisgörbéje mentén az alábbi feltételnek megfelelően hajtja végre a jellegfelület kiegyenlítő     bx   cx  d  eltérés fázisgörbe felett síkkal történő közelítését: írjuk elő, hogy az e  f  x,x vett négyzetintegrálja legyen minimális, azaz 2

2

J1    e ds    f  x,x    bx  cx  d  ds  min . s

s

53

(7.10)

A (7.10) szélsőérték feladat megoldása szolgáltatja a kiegyenlítő sík egyelőre ismeretlen b , c és d paramétereit. A megoldás menete jelentősen egyszerűsödik, amennyiben koordináta transzformációkat követően áttérünk a fázissíkra. Vezessük be a    t dimenziótlanított időkoordinátát, melynek következtében (7.5) m 2 x  f  x, x  Fg cos  ,

(7.11)

az ekvivalens linearizált egyenlet pedig m 2 x  b x   cx  Fg cos 

(7.12)

alakúra módosul, ahol  a  szerinti deriválást jelöli. (7.12) állandósult rezgését x    a0  a1 cos   1 

(7.13)

x    a1 sin   1 

(7.14)

írja le, melyből

adódik. (7.13) és (7.14) alapján látható, hogy (7.12)  x,x  fázissíkon elhelyezkedő fázisgörbéje egy, az x -tengely mentén elhelyezkedő a0 középpontú, a1 sugarú kör. Mivel (7.13) és (7.14) azonos dimenziójú, a kör alakú fázisgörbe mentén értelmezhető a ds ívelem, így (7.10) szélsőértékfeladat a 2

J 1    f  x, x    b x  cx  d   ds  min

(7.15)

s

kifejezéssel is megadható. Vezessük be a     1 jelölést, melynek alapján a ds ívelem a ds  a1d , (7.15) pedig a 2

J 1    f  x, x    b x  cx  d   a 1 d  min

(7.16)

s

alakúra módosul. A (7.16)-ból származó

J 1 J J  0, 1  0, 1  0 egyenletrendszert a b , c és b c d

d ismeretlen együtthatókra megoldva a 1 b  a1 c d

1  a1

2

1 2

2

2

 f a

0

 a1 cos ;  a1 sin  sin d ,

0

 f a

0

 a1 cos ;  a1 sin  cos d ,

0



f  a0  a1 cos ;  a1 sin d 

0

a0  a1

2

 f a

0

 a1 cos ;  a1 sin  cos d

0

(7.17) összefüggésekre jutunk. A fentiekben ismertetett módszert a 31. ábra teszi szemléletessé [102]. 54

31. ábra. Jellegfelület és kiegyenlítő sík a fázisgörbe felett Folytonos görbe jeleníti meg a fázisgörbére állított henger és a nemlineáris jellegfelület metszékét, míg pontvonallal ugyanezen hengerfelület és a kiegyenlítő sík metszékét ábrázoljuk. A kiegyenlítő síkot a (7.16) feltételnek megfelelően választjuk meg. Abban az esetben, amikor az   jellegfelület a koordinátarendszer origójára szimmetrikus, vagyis eleget tesz az f  x,x

    f   x, x  f  x,x

(7.18)

feltételnek, akkor a0  0 . Ilyenkor (7.17) a 1 b  a1 1 c  a1

2

 f a

0

 a1 cos ;  a1 sin  sin d ,

0

(7.19)

2

 f a

0

 a1 cos ;  a1 sin  cos d

0

összefüggésekre egyszerűsödik. Alkalmazzuk most a fentiekben ismertetett linearizálási módszert egy egyszabadságfokú, Coulomb-féle száraz súrlódással csillapított, harmonikusan gerjesztett mechanikai rezgőrendszerre. Ennek mozgásegyenlete (7.1) és (7.5) alapján

  FS sgn x  kx  Fg cos  t , mx

(7.20)

 )  FS sgn x   kx , f  f ( x,x

(7.21)

melynek nemlineáris jellegfelülete

ekvivalens linearizált egyenlete pedig

55

  bx   cx  d  Fg cos  t . mx

(7.22)

A (7.21) jellegfelület és a kiegyenlítő sík helyzetét a 32. ábra mutatja. Folytonos görbe jeleníti meg a fázisgörbére állított henger és a nemlineáris jellegfelület metszékét, míg pontvonallal ugyanezen hengerfelület és a kiegyenlítő sík metszékét ábrázoljuk.

z

x

k FS x’

s FS

32. ábra. A vizsgált jellegfelület és a kiegyenlítő sík a fázisgörbe felett Könnyen belátható, hogy a (7.21) jellegfelület a vonatkoztatási rendszer origójára szimmetrikus. Ilyenkor az ekvivalens linearizált egyenlet d együtthatója zérus, a másik két együtthatót pedig a (7.19) összefüggések segítségével határozhatjuk meg. (7.20) állandósult rezgéseit keressük (7.8) alakjában, melynek a0 együtthatója (7.18)-ból adódóan zérus. A fenti koordináta transzformációkat alkalmazva a feltételezett megoldás az x    a1 cos   1  ,

(7.23)

x    a1 sin   1 

alakban írható fel, a megoldandó szélsőérték probléma pedig 2

2

J1     f  x; x  b x  cx  d  ds   kx  FS sgn   x  b x  cx  ds  min (s)

(s)

(7.24) 56

alakban adódik. Az s integrációs zárt görbe egy, az x  x fázissíkon elhelyezkedő, origó középpontú, a1 sugarú kört jelent. Ebből kiindulva   1 helyett vezessük be a  új változót, melynek következtében (7.23)-at

x    a1 cos ,

(7.25)

x    a1 sin

alakban írhatjuk fel, és az ívelemet ismét ds  a1d alakban vesszük figyelembe. Ezek alapján a (7.24) integrál 2

J 1  a1    ka1 cos  FS sgn  a1 sin   ba1 sin  ca1 cos  d  min

(7.26)

(s)

alakú, melynek szélsőértéke ott lehet, ahol J 1  2a1    ka1 cos  FS sgn  a1 sin   ba1 sin  ca1 cos  a1 sin d  0 b (S) J 1  2a1   ka1 cos  FS sgn  a1 sin   ba1 sin  ca1 cos  a1 cos d  0. c (S)

(7.27)

Mivel az integrálban szereplő szignum függvény az integrációs tartományon  F ,ha 0     FS sgn( a1 sin )   S   FS ,ha     2

szerint

szakaszosan 2



folytonos,

0

0

az

integrációs

tartományt

célszerű

az

2

 ...ds   ...d   ...d   ...d (s)

ezért

(7.28)

módon felosztani, és (7.27)-et ennek megfelelően kiszámítani.



A számítás eredményeként a b és c paraméterekre b

4FS  a1

(7.29)

ck

adódik, így az eredeti (7.20) nemlineáris egyenlet ekvivalens linearizált egyenlete – (7.8) alatti megoldásalakok feltételezése mellett –

  mx

4FS x  kx  Fg cos  t  a1

(7.30)

alakú. (7.29)-et a (7.2)-(7.3) mozgásegyenlet-rendszer linearizálása során használjuk fel.

7.3. A lineáris közelítés pontosságának előzetes megítélése Egy nemlineáris differenciálegyenlet vagy egyenletrendszer linearizálását követően érdemes megvizsgálni azt, hogy az adott meggondolás útján létrehozott ekvivalens lineáris 57

egyenlet vagy egyenletrendszer milyen mértékben tér el az eredeti nemlineáristól. Ennek megítéléséhez PATKÓ egy skalár mennyiség bevezetését javasolja, melyet a nemlinearitás mértékének tekint [102]. Ezzel azt juttatja kifejezésre, hogy a szóban forgó nemlineáris rezgő rendszer milyen mértékben hasonlít vagy nem hasonlít az ekvivalens lineáris rezgő rendszerhez. PATKÓ szerint a nemlinearitás mértéke fontos szerepet tölthet be a vizsgált nemlineáris jelenség előzetes vizsgálatában, így például a linearizálás során alkalmazott közelítő megoldás pontosságának „a priori” megítélésében (v.ö. [102] 74.o). Jelen értekezés is ebből a megfigyelésből, valamint a kapcsolódó elméleti háttérből kiindulva kívánja megítélni a nemlineáris és az ekvivalens lineáris mozgásegyenlet-rendszerek eltérésének mértékét. Az így kapott paraméter a fázisgörbe feletti linearizálás módszere alapján, a gerjesztő frekvencia és az elmozdulás amplitúdó függvényében nyújt egyfajta első tájékoztatást a nemlineáris és az ekvivalens lineáris egyenletek eltérésének mértékéről. Ennek teljes elméleti hátterét [102] közli. Jelen értekezés keretében – terjedelmi okok miatt – megelégszünk az értelmezés rövid bemutatásával. A nemlinearitás mértékét meghatározó skalár mennyiséget jelöljük  -val. Ez a paraméter egyfajta mértéke a nemlineáris jellegfelület és a hozzárendelt kiegyenlítő sík között, a fázisgörbe mentén mért eltérések nagyságának. Definiáljuk  értékét úgy, hogy az egy négyzetes integrálközépérték relatív hibájaként adódjon, és amely megmondja, hogy az s fázisgörbe felett mekkora az f  x, x  nemlineáris jellegfelületnek a kiegyenlítő síktól való eltérése. Ennek megfelelően a 2



Js  Jn

  f  x, x   b x  cx  d  ds s



(7.31)

f 2  x, x ds

s

kifejezést értelmezzük a nemlinearitás mértékeként, amely az eredeti nemlineáris differenciálegyenlet vagy egyenletrendszer nemlinearitását minősíti. A későbbiekben látni fogjuk, hogy egy nemlineáris rezgőrendszer bizonyos gerjesztő frekvenciákon és amplitúdókon kis mértékben nemlineáris, más munkapontokon pedig nagymértékben nemlineáris is lehet. Példaként tekintsük a (7.20) mozgásegyenletet. Mivel (7.24) alapján 2

2

Js     f  x, x   b x  cx  d  ds  s

 0

2

 4FS    sin  FS sgn  a1 sin   a1d , (7.32)

ahol  F ,ha 0     , FS sgn( a1 sin )   S   FS ,ha     2 2

így az integrációs tartományt most is a



2

 ...ds   ...d   ...d   ...d (s)

0

0

(7.33)

részintervallumoknak



megfelelően bontjuk fel. A számítást elvégezve a számlálóra

8  J s  2a1 FS2     ,   58

(7.34)

a nevezőre pedig 2 J n   a1  2FS   ka1    

(7.35)

adódik. (7.34) és (7.35) alapján (7.31)-re a



8  8 2a1 FS2     1 2 Js       2 2 Jn    a1 2FS   ka1  1  ka1    1   2  FS 

(7.36)

kifejezést kapjuk. Látható, hogy igen kis amplitúdók és nagy súrlódási erő esetén a nemlinearitás mértéke 8 8 2 1  2  0,43 , 2   1  ka  1  1  2  FS  1

lim   lim

ka1 0 FS

ka1 0 FS

amely igen erős nemlinearitást jelent. (7.36)-ról könnyen belátható, hogy ahol a1 -nek maximuma van, ott  minimummal rendelkezik. Később látni fogjuk, hogy (7.36)-nak bizonyos paramétekombinációk teljesülése esetén éppen sajátfrekvencia környezetében lehet minimuma. Látni fogjuk továbbá, hogy a lineáris közelítés pontosságának (7.36) alapján történő „a priori” becslését a numerikus ellenőrzések is alátámasztják.

7.4. A linearizált mozgásegyenlet-rendszer Felhasználva (7.20) linearizálása során nyert

FS sgn x  

4FS  a1

(7.37)

eredményt, (7.2)-(7.3) linearizált egyenletrendszere az

  mx

4FS x  kx   i  0  a1

di L  Ri   x  U  t   U 0 cos  t dt

(7.38)

alakban írható fel, ahol a1 a periodikus elmozdulás amplitúdója. A mozgásegyenletben 4FS megjelenő „együttható” a lineáris rendszer (5.24) mozgásegyenletében előforduló   a1 csillapítási együtthatónak felel meg azzal a különbséggel, hogy míg  állandó, addig b a 59

mindenkori elmozdulás-amplitúdó és gerjesztő körfrekvencia függvénye. (7.38) partikuláris megoldásait – (7.18)-at figyelembe véve – az

x  t   a1 cos   t   A  ,

(7.39)

i  t   i0 cos   t   i 

függvények alakjában tételezzük fel. Ha (7.39)-et (7.2)-be helyettesítjük, majd alkalmazzuk a    t transzformációt látható, hogy (7.2) (7.20)-szal azonossá válik, ezért (7.37) a (7.2)-(7.3) ekvivalens lineáris egyenletrendszerének felírása során is alkalmazható.

7.5. A linearizált mozgásegyenlet-rendszer megoldása A továbbiakban előállítjuk (7.38) megoldásait, majd megvizsgáljuk azok tulajdonságait.

7.5.1. A megoldások előállítása Komplex mennyiségek bevezetését követően (7.38) az

ˆ  mx

4FS  ˆx  kxˆ  ˆi  0  a1

(7.40)

diˆ L  Riˆ   xˆ  uˆ  t   U 0 e j t dt alakúra módosul. Ennek megoldásait most is az

ˆx  t   Ae j t  a1e j A e j t , ˆi  t   Ce j t  i0 e ji e j t

(7.41)

függvények alakjában keressük. Behelyettesítve a (7.41) megoldásokat (7.40)-be, majd e j t -vel történő egyszerűsítést követően a

4FS  j A  j i 2  k  m  a1  j   e   i0 e

 R  j L  i0e j

(7.42) 

i

 j a1e j A  U 0 e j0

(7.43)

egyenletrendszerre jutunk. (7.42)-ből kifejezve az áramerősség e ji arkuszát, majd azt behelyettesítve (7.43)-ba, rendezést követően adódik (7.43) 4 FS   R   L k  m 2    a1     j  A  arctg   4 F   R k  m 2 a1  S L   



2

2

4FS    4FS  2 2    R  k  m  a1   L     R   L  k  m      a1  e









 U0 e j0

exponenciális alakja, amely az 2

2

4FS 2    4FS  2 2    R  k  m  a1   L     R   L  k  m      a1   U 0  , (7.44)

60

valamint az 4F S R   L k  m 2     a   1   arctg   0. A 4F 2 R k  m a  S L 1 







(7.45)



összefüggésekre vezet. (7.44)-ből a1 -re az



2 2 8F 16 FS2 2 2 R 2  k  m 2    L  k  m 2      2 a12  S  R a1  R  L2 2   U 0   0 2    (7.46)



másodfokú egyenletet kapjuk, melynek megoldásait a

k   2,  , 2   m 

(7.47)

új változók bevezetését követően az 8FS  R  a ( )    2 2 2  mR 2  1   2     2 2  mL 2  1   2      1





2



(7.48) 2

 4F   R  L     U   2  mR 1       mL 1       

2 2  8FS  2 2 2 2 2 2    R   4  mR  1         mL  1        



2

2

2

2

2

2

S

2

2

2

2

2

0

2

2

alakban kapjuk, ahol a1 a négyzetgyök jel előtt álló pozitív előjelnek, a1 pedig a negatív előjelnek megfelelő görbeágat jelöli. Amint azt később látni fogjuk, a két görbe közül tartósan csak az egyik valósul meg. (7.42), (7.45) és (7.47) alapján kiszámíthatjuk a

 4FS 2 2   R  a1   mL  1     A  arctg  4F  mR 2 1   2  a1  S L     4FS    i    arctg   A 2 2   m 1   a1   

 





  



(7.49)

(7.50)

fáziskülönbségeket, valamint az elektromos áram 1 i0    

 4FS    

2

2  2 2 a2   k 1  1  





amplitúdóját is, melyekre majd az energetikai viszonyok vizsgálata során térünk vissza. 61

(7.51)

7.5.2. Az amplitúdó-gerjesztő körfrekvencia görbék függvényvizsgálata A (7.48) görbepárt az 1. FS , R=0 2. FS  0, R=0

(7.52)

3. FS =0, R  0 határgörbékből kiindulva vázoljuk. Az ábrázolás során a (7.4) számadatokat vesszük figyelembe. Tekintsük először a csillapítatlan esetet. Ekkor (7.48) az

a1   1 

U 0  mL  1   2    2

(7.53)

alakban adódik. A görbe   0 értelmezési tartományának egyetlen pontjában sem rendelkezik zérushellyel. Pólushelye az

P  1 

 kL

(7.54)

helyen van, továbbá lim a1    0 , valamint lim a1     . Szélsőértéke az  

 0

 SZ 

  mL 2 1   1 2 3mL mL 2 3

(7.55)

helyen lehet, melyről könnyen belátható, hogy minimumhely. A (7.54) és (7.55) jellegzetes függvénypontok alapján (7.53) már könnyen ábrázolható, a görbét a 33. ábra mutatja.

33. ábra. A csillapítás nélküli rendszer amplitúdó-frekvencia függvénye

62

A következő esetben az ohmos csillapítástól továbbra is eltekintünk, feltételezzük azonban, hogy Coulomb-csillapítás hat a rezgőrendszerre  FS  0  . Ekkor (7.48)

16 FS2 2 2 2 L  2   mL 2 1   2   

U0 

a1   2

2



(7.56)

alakúra módosul, melynek

z 

U 0 4FS L

(7.57)

értéknél zérushelye van. Ez egyben (7.56) értelmezési tartományának felső határát is kijelöli:    0; z  . Mivel (7.53) és (7.56) nevezői azonosak, ezért pólushelyeik is megegyeznek. Alakítsuk át (7.56)-ot az

a1   2

U 0  2  mL  1   2   

 4F  L  1 S    U 0 

2

(7.58)

kifejezésnek megfelelően: ebből már látható, hogy (7.58) szorzat első tagja éppen (7.53). Könnyen belátható, hogy a négyzetgyökjel alatt álló kifejezés bármely    0; z  esetén 2

 4F  L  0  1 S   1 , ezért (7.58)-ra érvényes, hogy a1   2  a1   1 . Ez azt jelenti, hogy a   U 0  (7.56) görbe értelmezési tartományán mindig a (7.53) görbe alatt fut, és a közös pólus-, valamint zérushely környezetében egymáshoz simulnak. (7.53) és (7.56) görbéit a 34. ábra jeleníti meg.

34. ábra. A Coulomb-féle csillapítás hatása 63

Látható, hogy a rezgőrendszer hiába tartalmaz Coulomb-jellegű csillapítást, bizonyos gerjesztő körfrekvencia esetén a gerjesztett rezgés amplitúdója minden határon túl növekszik. Végül tekintsük azt az esetet, amikor csak ohmos csillapítás hat a rendszerre. Ekkor (7.48) –    2 -t is figyelembe véve – az

U 0

a1   3 

2 2

 Rm  1   

2

2

   mL

2

1      

(7.59)

2

alakban adódik. Ennek értelmezési tartománya   0 , és könnyen belátható, hogy nincs sem zérus-, sem pedig pólushelye. Az is belátható, hogy értelmezési tartományának minden pontjában U 0 folytonos, és lim a1   3  , lim a1   3  0 . (7.59) szélsőérték vizsgálatánál elég csak az  0 kR   2

f    R 2m 2 4 1      2  mL 2  1      

2

(7.60)

R  ,   1 paraméterek L kL bevezetését követően (7.60) – az m 2 L2 6  0 szorzótényezőt figyelmen kívül hagyva – az k  m 2 ,  

nevező szélsőérték helyeit meghatározni. A

2

f     2  1         

2

(7.61)

alakban írható. A szélsőértékhely létezésének szükséges 2 2 2 2 f     3  2    2      2   0 . Ezt  -re megoldva a

1,2

 

2

 2  3





2

feltétele,

hogy

2

 2   3  2  2  2 

(7.62)

3

értékek adódnak. (7.59)-nek nem létezik szélsőértékhelye, ha



2

2

 2   3  2  2  2   0 ,

(7.63)

inflexiós pontja van, ha 2



2

 2   3  2  2  2   0 ,



2

 2   3  2  2  2   0 .

(7.64)

és két szélsőértékhelye lehet, ha 2



Könnyen ellenőrizhető, hogy (7.65) esetén f   2   következtében

1   2

 

2

 2  3





2

2

(7.65) 2

 2   3  2  2  2  3

 0 , így ennek

2

 2   3  2  2  2  3

64

maximumhely.

Ennek

jelentőségére (7.38) energetikai viszonyainak vizsgálata során térünk vissza. Látható továbbá, hogy R  0 esetén (7.59) görbéje (7.53) kifejezés görbéjévé fajul, azaz lim a1   3  a1   1 . R 0

Ebből következik, hogy kicsiny R értékek esetén (7.59) a pólus- és a zérushely környezetében az a1   1 görbéhez simul, a pólushelyeken azonban véges marad.   1 -nél a (7.53) és (7.59) kifejezések helyettesítési értékei egymással megegyeznek, és ebben a pontban a két görbe – R től függetlenül – érinti egymást, egyébként a1   3  a1   1 (35. ábra). Térjünk rá ezek után a (7.48) függvénygörbék vizsgálatára. Könnyen belátható, hogy 2

4F R 2 U0    S     . lim a1    0 kR Értelmezési tartományuk felső korlátjának meghatározásához diszkriminánsát. A    2 alapján a diszkrimináns a 2

2 2  8F  D(  )   S  R    4  mR 2  1       2  mL 2 1         





(7.66) vizsgáljuk

meg

(7.48)

 4FS  2 2 2  (7.67) 2 2    R  L     U 0      

alakban írható fel, melyet rendezve  -re a D      ...  4   ...  3   ...  2   ...    ... teljes negyedfokú kifejezést kapjuk. Ennek gyökei döntik el az értelmezési tartomány felső korlátjának létezését. Egyfajta határfrekvenciának tekinthetjük azon  értékeket, amelyeknél (7.67) zérussá válik. Több ilyen  érték is létezhet. Jelöljük ezeket  Zi -vel, és legyen  ZF a valós pozitív gyökök közül a legnagyobb.  ZF a (7.48) kifejezések értelmezési tartományának felső korlátja, ha    ZF esetén D    0 és közben szigorúan monoton csökkenő. Amennyiben (7.67)-nek csak egy valós pozitív gyöke van, akkor ez megfelel  ZF -nek, ilyenkor tehát (7.48) értelmezési



tartománya az   0;  ZF  intervallum. Megemlítjük még azt az esetet, amikor (7.67) két eltérő  valós pozitív gyökkel rendelkezik (  Z 1 ,  ZF , ahol  Z 1 <  ZF ). Ekkor (7.48) értelmezési tartománya az     Z 1 ;  ZF  intervallumra korlátozódna. A továbbiakban feltételezzük, hogy a mindenkori diszkrimináns értelmezési tartománya az 0;  ZF  intervallum. Abban az esetben,



amikor a gerjesztő körfrekvencia  ZF , a diszkrimináns zérussá válik, és az amplitúdó (7.48)

8FS  R  a1v (  )   2 2 2  mR 2  1   2     2 2  mL 2  1   2    





(7.68)

ún. vázgörbéjén helyezkedik el. (7.48) amplitúdó-frekvencia görbéi tehát a (7.68) vázgörbe a1v (  ZF ) pontjában érnek véget. Az értelmezési tartomány után vizsgáljuk meg (7.48) értékkészletét, külön az a1 és a1 görbeágakra. a1 -ről könnyen belátható, hogy értelmezési tartományának bármely pontjában negatív, ezért a továbbiakban majd „negatív” görbeágként 65

hivatkozunk rá. a1 értelmezési tartományának egy egész kicsiny szakasza mentén negatív értéket 2

2  4F  is felvehet akkor, ha   0 ; ZF  mellett az  S   R 2  L2 2   U 0   0 is teljesül, és ahol     0 az a1 görbeág

1   0  L 2 0

 U  2  2 0  R     4FS  

(7.69)

zérushelye. Az a1 függvényt a továbbiakban „pozitív” görbeágként említjük. Mivel a da1I ,II szélsőérték helyek megállapításához szükséges  0 polinom kifejezés még a    2 új d változó bevezetése esetén is ötödfokú, ezért (7.48) szélsőérték vizsgálatát mindig az adott számadathalmaz mellett, numerikus módszerre támaszkodva célszerű elvégezni. A 35. ábra diagramja a (7.53), (7.56), (7.59) alatt értelmezett a1   1 , a1   2 , a1   3 , valamint az a1 függvények görbéit ábrázolja.

35. ábra. A határgörbék és az a1 görbék

66

Az ábrán megfigyelhető, hogy a pozitív görbeág a vizsgált intervallumon végig a határgörbék alatt, a1   3 -hoz közel halad. Látható továbbá, hogy FS  0 és R  0 ellenére az a1 görbeág függvényértékei értelmezési tartományának egy részintervallumán – ellentmondva a tapasztalatnak – meghaladják a határgörbéket. Ennek magyarázatára az a1 görbék stabilitásvizsgálata során térünk vissza. Az értelmezési tartomány  ZF maximumára, valamint a pozitív görbeág zérus helyére numerikus módszerrel a  ZF  255.6683,  Z  255.6679 értékek adódnak. E pontok környezetét a 36. ábra mutatja. Látható, hogy a pozitív és negatív görbeágak értelmezési tartományuk  ZF pontjában, a vázgörbén elhelyezkedő függvényértékeknél érnek véget. Könnyen belátható, hogy  ZF -nél az amplitúdó-frekvencia függvények deriváltjai nincsenek értelmezve, ugyanitt azonban a két görbének közös, függőleges irányú érintője van.

36. ábra. Az a1 görbék értelmezési tartományának felső határa

7.6. A lineáris közelítés pontosságának vizsgálata A továbbiakban a fázisgörbe feletti linearizálás pontosságát ítéljük meg először egy analitikus becslés, majd azt követően numerikus számítás alapján.

7.6.1. A közelítés pontosságának „a priori” becslése A nemlineáris modell vizsgálatakor feltételeztük, hogy a (7.2)-(7.3) nemlineáris differenciálegyenlet-rendszer által végzett rezgések első harmonikusait a 7.2. fejezetben leírt módon, a (7.38) lineáris rendszer rezgéseivel elfogadható pontossággal közelítjük. A tapasztalat szerint ez akkor várható, ha a (7.2)-(7.3) mozgásegyenlet-rendszerben a nemlinearitás mértéke kicsi, és a rendszert rezonancia frekvencia közelében gerjesztjük (v.ö.: [102] 74. o.). Vizsgáljuk meg, hogyan változik (7.2)-(7.3) esetén a nemlinearitás mértéke az  dimenziótlanított frekvencia függvényében (37. ábra).

67

37. ábra. A nemlinearitás mértékének minimuma   1 -nél Megfigyelhető, hogy a nemlinearitás mértékének rezonancia frekvencia közelében minimuma van, melynek környezetében – megítélésünk szerint – a lineáris közelítés elfogadható pontosságú. A továbbiakban ezt a sejtést numerikusan is belátjuk.

7.6.2. A közelítés pontosságának numerikus ellenőrzése Ennek során – a (7.4) számadatok mellett – diszkrét  helyeken kiszámolt a1 , valamint ugyanitt numerikus módon, 4-ed rendű Runge-Kutta módszerrel meghatározott a1RK értékeket vetünk össze. Ezt követően az összevetést az    0;2  intervallumra is elvégezzük. Tekintsük először az

  1 esetet. Ekkor Runge-Kutta módszere az a1RK  0,0055 m  5,50 mm ,

(7.70)

a linearizálás pedig – (7.48) alapján – az a1  0,00558 m  5,58 mm a1  0,01881 m  18,81 mm

(7.71)

értékeket szolgáltatja. Látható, hogy a numerikus érték a pozitív görbeághoz tartozó értéket közelíti jól. Végezzük el a fenti összehasonlítást alá-   1 , valamint föléhangolt   1 rendszerek esetében is. Tekintsünk először egy kevésbé föléhangolt rendszert: legyen   0,83 , amely f  25 Hz frekvenciájú gerjesztésnek felel meg. Runge-Kutta módszerével az elmozdulásamplitúdóra az a1RK  0,00170 m  1,70 mm ,

linearizálással pedig az

68

(7.72)

a1  0,00161 m  1,61 mm a1  0,00194 m  1,94 mm

(7.73)

értékek adódnak. Ebben az esetben is a pozitív görbeághoz tartozó érték közelíti jobban a numerikus módon számított értéket. Most vizsgáljunk egy jelentős mértékben föléhangolt rendszert: legyen   0,44 , amely f  13,4 Hz -es gerjesztésnek felel meg. Ekkor a Runge-Kutta eljárás az a1RK  0,00077 m  0,77 mm ,

(7.74)

a linearizálás pedig az a1  0,00067 m  0,67 mm a1  0,00070 m  0,70 mm

(7.75)

értékeket szolgáltatja. Ilyenkor már viszonylag nagy – több, mint 10%-os – eltérés adódik a két különböző módon előállított amplitúdó értékek között. Vizsgáljunk most aláhangolt eseteket, legyen először   2 , amely f  60 Hz -es gerjesztésnek felel meg. A Runge-Kutta eljárás alapján számított amplitúdóra a1RK  0,00016 m  0,16 mm ,

(7.76)

linearizálással pedig az a1  0,00017 m  0,17 mm a1  0,00018 m  0,18 mm

(7.77)

értékek adódnak. Látható, hogy viszonylag jelentős mértékben aláhangolt rendszer esetén is a pozitív görbeág értéke áll közelebb a numerikus módon számított értékhez. Végül nézzünk meg egy nagy mértékben aláhangolt rendszert. Legyen   3,46 : ez f  100 Hz frekvenciájú gerjesztésnek felel meg. Runge-Kutta módszere az a1RK  0,00005 m  0,05 mm

(7.78)

értéket állítja elő, linearizálással pedig az a1  0,00004 6 m  0,046 mm a1  0,000047 m  0,047 mm

(7.79)

értékek adódnak. A numerikus és a linearizálással adódó eredmények hasonlósága most is nagyfokú, és a pozitív görbeág értéke közelíti jobban a numerikus értéket. A számítások eredményeit a 4. táblázat foglalja össze.

69

4. táblázat. Runge-Kutta módszerrel és linearizálás útján kiszámolt amplitúdó értékek Elmozdulás-amplitúdó [mm] Linearizálás Runge-Kutta

Föléhangolt Rezonancia Aláhangolt

a1

a1

  0,44

0,77

0,67

0,70

  0,83

1,70

1,61

1,94

 1

5,55

5,58

18,81

2

0,16

0,17

0,18

  3,46

0,05

0,05

0,052

Diszkrét értékek után egy szélesebb frekvenciatartományon, az    0;2  intervallumon is vizsgáljuk meg a lineáris közelítés pontosságát. A 38. ábra diagramja az egyes görbék közötti eltéréseket szemlélteti.

38. ábra. A numerikus és az analitikus amplitúdó-frekvencia görbék összevetése Az a1 és az a1RK görbeágakat összevetve látható, hogy a két görbe – a számunkra lényeges – rezonancia frekvencia környezetében jól közelítik egymást, és a közelítés mértéke még nagymértékben aláhangolt rendszerek esetén is fennáll. Viszonylag kismértékű föléhangolás esetén azonban jelentős, 5% -nál nagyobb eltérés is adódik a két görbeág között. 70

Az a1 görbeág ezzel szemben a rezonancia frekvencia környezetében tér el jelentős mértékben a másik két görbétől, azonban nagymértékű alá- és föléhangolás esetén már hozzásimul az a1 -hez. Nézzük meg, hogy az előző fejezetben elvégzett „a priori” becslés hogyan tükrözi a fenti megállapításokat. Ezt a vizsgálatot csak az a1 görbére végezzük el, mert az imént elvégzett numerikus számítások alapján ez a görbeág ad elfogadható közelítést a vizsgált intervallumon. Definiáljuk a   1 

a1 a1RK

relatív hibát, majd ábrázoljuk  -t és (7.31)-et közös diagramban 

függvényében (39. ábra). Az   0,5 intervallumtól eltekintve megfigyelhető, hogy a két görbe lefutása megegyezik, vagyis: rezonancia frekvencia környezetében, ahol a nemlinearitás mértékének minimuma van, a relatív hiba is minimummal rendelkezik. Azokon a helyeken azonban, ahol a nemlinearitás mértéke magas, és sejteti, hogy a közelítés mértéke nem elfogadható, már a relatív hiba is számottevő. Megállapítható tehát, hogy a numerikus vizsgálatok alátámasztják az „a priori” becslés során tett, és a tapasztalattal (v.ö.: [102] 74. o.) is megegyező feltevésünket.

39. ábra. A relatív hibának és a nemlinearitás mértékének minimuma rezonancia frekvenciánál A föléhangolt rendszer esetén tapasztalt nagyfokú eltérése azzal magyarázható, hogy a (7.39) közelítő megoldással szemben a Runge-Kutta módszer nem tekint el a „stick-slip” jelenségtől, amely nagymértékben föléhangolt esetekben – például   0,44 esetén – jelentkezik számottevően (40. ábra).

71

40. ábra. Az akadozó csúszás jelensége numerikus számításoknál Az imént elvégzett összevetés alapján megállapítjuk, hogy a Runge-Kutta módszer által előállított eredmények rezonancia frekvencia mellett az aláhangolt tartományban is jól korrelálnak a linearizálás során kapott értékekkel, így a fázisgörbe feletti linearizálás módszere rezonancia közeli rendszerek mellett, aláhangolt rendszerek vizsgálatához is eredményesen alkalmazható.

7.7. Az amplitúdó-frekvencia görbék stabilitásvizsgálata (7.48) kapcsán láttuk, hogy a linearizálás eredményeként két független amplitúdó-frekvencia függvény adódott. Az energetikai viszonyok pontos feltárásához célszerű megvizsgálni, hogy adott paramétertartomány esetén melyik görbe értékei felelnek meg valós amplitúdónak. A 35. ábra kapcsán már utaltunk arra, hogy a negatív görbeág a gyakorlati tapasztalattal ellentétesen viselkedik: csillapítást adva a rendszerhez, amplitúdó növekedést tapasztalunk. Az alábbiakban bemutatásra kerülő stabilitásvizsgálatot erre a megfigyelésre alapozva végezzük: egyéb paramétereket változatlanul hagyva, változtatjuk a súrlódási erő nagyságát, és megvizsgáljuk, hogy az elmozdulás amplitúdó értéke ennek hatására milyen irányba változik. Ezt grafikusan a 41. ábra szemlélteti. A diagram különböző nagyságú súrlódási erők hatását mutatja be, vastag vonallal rajzoltuk meg azokat a görbéket, amelyek a súrlódási erő kiinduló értékéhez tartoznak. A berajzolt nyilak mindkét ág esetén a csökkenő erők irányába mutatnak. Látható, hogy csökkenő súrlódási erő hatására a pozitív görbeág függvényértékei értelmezési tartományuk bármely pontjában a tapasztalatnak megfelelően megnőnek, a negatív görbeágak ezzel szemben csökkennek [14], [69]. Úgy tűnik, hogy ha a rendszer a negatív görbeágnak megfelelően működik, akkor a növekvő csillapítás energiát ad át a rendszernek: ilyenkor a rendszer viselkedését instabilnak tekintjük.

72

41. ábra. A csillapítás amplitúdó-frekvencia függvényekre gyakorolt hatása Az előzőeknek megfelelően stabilisnak tekintjük a görbeágat akkor, hogyha dFS  0 esetén az a1  da1  a1 

a1 dFS  a1 , FS

(7.80)

a1  da1  a1 

a1 dFS  a1 FS

(7.81)

vagy dFS  0 esetén az

egyenlőtlenségek teljesülnek. Ellenkező esetben, vagyis amikor dFS  0 vagy dFS  0 mellett rendre az a1  da1  a1 

vagy az

73

a1 dFS  a1 , FS

(7.82)

a1  da1  a1 

a1 dFS  a1 , FS

(7.83)

feltételek teljesülnek, akkor az adott görbeágat labilisnak tekintjük. A továbbiakban a (7.80)(7.83) feltételekből kiindulva vizsgáljuk és ítéljük meg a (7.48) görbeágak stabilitását. Áttekinthetőben végezhető a stabilitásvizsgálat, hogyha a (7.48)-ban előforduló bonyolultabb kifejezésekre bevezetjük a 2

2

q   mR 2  1       2 mL 2  1        0 2

8  r 2    R    0   2 q    2   2U 0   0 r 

(7.84)

2

q 8 q     2  R 2  L2 2   R 2  L2 2   0,  2  r    R  

változókat, ahol    2  0. Ezek alapján (7.48), amelyben FS a független változó, az

r    1    FS2  FS 2q r a1 ( FS )     1    FS2  FS 2q a1 ( FS ) 

 

 

(7.85) (7.86)

egyszerűbb formát ölti. A továbbiakban a valós függvények vizsgálatakor szokásos lépések (lásd: pl. [46], [97]) alkalmazásával állapítjuk meg a (7.85), (7.86) görbeágak tulajdonságait, majd a vázolt függvénygörbék alakjából, a (7.80)-(7.83) feltételeknek megfelelően döntjük el egy-egy görbeág stabilis vagy labilis jellegét. Mindkét görbeág vizsgálatát az  mennyiség 0    1,   1, 1   eseteinek megfelelően végezzük el.

7.7.1. A pozitív görbeág függvényvizsgálata Állapítsuk meg először (7.85) értelmezési tartományát a   1 esetre. FS  S miatt FS  0 , a négyzetgyökjel alatti mennyiségére pedig érvényes a   1    FS2  0 összefüggés, melyet FS re megoldva kapjuk a keresett értelmezési tartomány FSH 

  1

(7.87)

felső határát.   1 esetén tehát (7.85) értelmezési tartománya a 0;FSH  intervallum. Ha   1 , akkor – (7.84) alapján – (7.85) bármely FS  0 -ra értelmezve van. Mivel 0    1 esetén 0  1    1 is teljesül, ezért (7.85) ilyenkor szintén bármely FS  0 esetén értelmezve van. A görbeág zérushelyére mindhárom esetben 74

FS  FS0 

 U 0   4 R 2  L2 2

adódik. Ezt követően állítsuk elő (7.85) függvényértékeit értelmezési tartományának néhány jellegzetes pontjában. r ,  , U 0 > 0, valamint (7.84) alapján a kezdőértékre mindhárom esetben azt kapjuk, hogy

a1 ( 0 ) 

U 0 . q

  1 esetben az értelmezési tartomány felső határa FS  FS  H

 , és ekkor – (7.84)  1

alapján – a1 ( FSH )  

 1

a1 ( FS ) 

esetén

 r lim a1  lim  FS  2q 

FS 



lim a1 

FS 

r 2q



U 0  0. q    1



  FS ,

ezért

(7.88)

ilyenkor

FS  

esetén

   FS    . Abban az esetben, amikor 0    1 , az előző határérték a 



r lim 2q FS 



1    FS2  



 FS 

 r lim FS  2q FS  

1    

   1  FS2 

kifejezésnek megfelelően módosul. Mivel a fenti határérték négyzetgyökös kifejezése a kifejezéshez tart, ezért FS   esetén 0    1 miatt

1    

  1  0 , így az előző FS2

határértékre lim a1 

FS 

 r lim FS  2q FS  

1    

   1    2 FS 

adódik. Az előző vizsgálatok alapján (7.85) értelmezési tartománya  -től függően az

75

1 

   U 0 ;   , ha 0    1   q      U  a1  FS    0 ;   , ha   1   q  U 0    U 0  ;   , ha   1  q q    1    intervallumokkal adható meg. A további vizsgálatokhoz képezzük (7.85)

 da1 r  1    FS   1  dFS 2q     1    FS2   deriváltját,

amely

 1

esetén

az

értelmezési

tartomány

(7.89)

felső

határán,

vagyis

 -nél nincs értelmezve, a görbe érintője ebben a pontban függőleges.   1  1 esetben, mivel (7.89) számlálója negatív, az egész tört negatívvá válik, ezért ilyenkor a pozitív görbeágnak szélsőértéke nem létezik. Hasonló eredményre jutunk   1 esetben azzal a különbséggel, hogy ilyenkor (7.89) a FS  FS H 

da1 r   const  0 dFS 2q

(7.90)

alakúra módosul. Ekkor (7.85) képe egy negatív meredekségű egyenes. Abban az esetben, amikor  da1 r  1    FS   1 0    1, a    0 összefüggés ekvivalens átalakításait követően dFS 2q     1    FS2    a lehetséges szélsőértékhelyre kapjuk, hogy Fs2  FS2SZ  . 0    1 miatt az előbbi     1 kifejezés jobb oldala mindig negatív, tehát az egyenlet két oldala közt ellentmondás van, így ebben az esetben sem létezik szélsőértékhely. Az előzőek alapján megállapítható tehát, hogy a pozitív görbeágnak egyik esetben sincs szélsőértékhelye. Mivel   0 esetén (7.89) értelmezési tartományának minden pontjában negatív, ezért a görbeág szigorúan monoton csökkenő. A görbeág konvexitását függvénykifejezésének második deriváltja alapján dönthetjük el. (7.89) -ből állítsuk elő (7.85) FS szerinti

d 2 a1 r  2 dFS 2q

1     2 S

   1    F 

3 2

(7.91)

második deriváltját. Könnyen belátható, hogy ha 0    1 , akkor (7.91) értelmezési tartományának – amely megegyezik (7.85) értelmezési tartományával – minden pontjában pozitív, 76

ilyenkor tehát (7.85) teljes értelmezési tartományán alulról konvex.   1 esetén a vizsgált görbeág egy negatív meredekségű egyenes, ilyenkor tehát konvexitásról nem beszélhetünk.   1 esetén (7.91) részletesebb vizsgálatot igényel. Ebben az esetben 0  FS  FSH miatt (7.91) nevezője értelmezési tartományának minden pontjában pozitív. Ugyanekkor a számláló   1 miatt negatív, ezért (7.91) is negatív lesz értelmezési tartományának minden pontjában, tehát a vizsgált görbeág alulról konkáv. Az elvégzett függvényvizsgálat, valamint a (7.80)-(7.83) feltételek alapján megállapítjuk, hogy a (7.85) pozitív görbeág szigorúan monoton csökkenő jellege miatt a pozitív értékkészlethez tartozó értelmezési tartományán stabilis, a negatív értékkészlethez tartozó értelmezési tartományán pedig labilis. FS  FS0 esetén, ha az FS terhelést növeljük a rendszer labilissá, ha csökkentjük stabilissá válik (42. ábra, feketével megrajzolt görbéi).

7.7.2. A negatív görbeág függvényvizsgálata A függvényvizsgálatot most is a 0    1,   1, 1   eseteknek megfelelően végezzük el. Az értelmezési tartomány felső határát – akárcsak a pozitív görbeág esetén – (7.86)-ból  számíthatjuk, melyre a   1    FS2  0 összefüggésből FSH  adódik. 0    1  1 esetekben az értelmezési tartomány – a pozitív görbeághoz hasonlóan – felülről nem korlátos. A fentiek miatt (7.86) értelmezési tartományára az

0;   , ha 0    1  FS  0;   , ha   1     0;FSH  , ha   1 intervallumok adódnak. Mivel a vizsgált görbeág értelmezési tartományának minden pontjában negatív, ezért zérushelye nem létezik. (7.86) alapján könnyen belátható, hogy a görbék mindhárom esetben az

a1 ( FS  0 )   értékről

indulnak.

 1

esetén

az

r 1 U U 0   0 r q q helyen

FS H

vett

(7.92) helyettesítési

értékre

U 0 adódik, amely megegyezik (7.88)-al, vagyis   1 esetén a pozitív q    1 és a negatív görbeágak értelmezési tartományuk ugyanazon pontjában, azonos függvényértéknél érnek véget.   1 esetén (7.86) egy negatív meredekségű egyenessé fajul, melynek kezdő értéke  r  r (7.92), és FS   esetén lim a1  lim     FS    lim   FS   . FS  FS  2q FS   2q  0    1 esetén, amikor FS   , a a1 ( FS  FS H )  



77







lim a1  

FS 

r lim 2q FS 



1    FS2  



 FS  

 r lim FS  2q FS  

1    

   1    2 FS 

határértéket kapjuk. Térjünk át a negatív görbeág szélsőérték-vizsgálatára. Képezzük először (7.86)

 da1 r   1    FS    1 dFS 2q     1    FS2  

(7.93)

deriváltját. (7.93) alapján könnyen belátható, hogy   1 esetén (7.86) egyenessé fajul, ezért ilyenkor szélsőértékről nem beszélhetünk. Ebben az esetben (7.93) és (7.90) megegyezik, ezért   1 esetén a pozitív és negatív görbeágak egymással párhuzamosan futnak. Vizsgáljuk most a

0    1 esetet. Mivel ekkor 0  1     1 is teljesül, ezért (7.93)-ra írható, hogy

 1    FS    1    FS2 da1  0, dFS

 0 . Ebből, valamint (7.93)-ból következik, hogy bármely FS  0 esetén

így a negatív görbeágnak ebben az esetben sincs szélsőértéke. A   1 eset

részletesebb vizsgálatra szorul. Ekkor összefüggés

adódik,

 1

amelyből

összefüggésre jutunk. Ezt

da1  0 alapján (7.93)-ból a dFS következtében

az

1    FS   1    FS2

   1 FS

 1

   1    FS2

FS -re megoldva megkapjuk a negatív görbeág lehetséges

szélsőértékhelyeit. Ezek közül most csak a pozitív FSSZ 

 érték bír jelentőséggel.     1

Felhasználva (7.84) kifejezéseket, az FSSZ szélsőértéket az FSSZ 

 U 0      1 4 R 2  L2 2

1  1

(7.94)

alakban is felírhatjuk. (7.86) második deriváltjára (7.93) alapján a

 1    d 2 a1 r  2 dFS 2q   1    F 2  3 2 S  

(7.95)

kifejezés adódik. Ennek számlálója –   1 következtében – negatív, nevezője pedig F SH kivételével az értelmezési tartomány minden pontjában pozitív, így (7.95) kifejezés – a tört előtt álló negatív előjel következtében – értelmezési tartományának bármely pontjában – kivéve F SH -t – pozitív. Ennek egyik következménye az, hogy (7.94) valóban szélsőérték, mégpedig minimum, másik pedig az, hogy a negatív görbeágnak nincs inflexiós pontja. (7.94)-et behelyettesítve (7.86) -ba, kapjuk a negatív görbeág

78

a1 ( FSSZ )  

r 2q





   1    FS2SZ  FSSZ  

r  2q

 U 0   1 r

  1

(7.96)

minimumát. (7.93) – a (7.89) deriválthoz hasonlóan – értelmezési tartományának  FS  FS H  pontjában nincs értelmezve, ugyanitt azonban az érintő iránya függőleges,  1 vagyis a pozitív és negatív görbeágak közös végpontjukban függőleges irányú közös érintővel rendelkeznek. A előzőek alapján a negatív görbeág értékkészletére az     U 0 ;   ,  q    U 0  a1  FS     ;   , q    U 0   U 0  ;F  S SZ  q 4 R 2  L2 2  

ha 0    1 ha   1 1   , ha   1   1 

intervallumok adódnak. Ezek után (7.93)-at és (7.95)-öt felhasználva vizsgáljuk meg a negatív görbeág monotonitását és konvexitását. 0    1 esetén az első derivált értéke – (7.93) alapján – értelmezési tartományának minden pontjába negatív, így a görbe ezen az intervallumon szigorúan monoton csökkenő.   1 esetén láttuk, hogy (7.93) FS  FSSZ -nél előjelet vált. Ennek



következtében (7.86) értelmezési tartományának 0;FSSZ intervallumán szigorúan monoton csökkenő, FSSZ ;FSH intervallumán pedig szigorúan monoton növekvő.   1 esetén igazoltuk,





hogy (7.95) értelmezési tartományának minden pontjában pozitív. Ez azt jelenti, hogy   1 esetén a negatív görbeág – F SH -t kivéve – teljes értelmezési tartománya mentén alulról konvex.   1 esetén a negatív görbeág második deriváltja az értelmezési tartomány minden pontjában zérus, ilyenkor a görbe egyenessé fajul, tehát konvexitásról nem beszélhetünk. 0    1 esetén viszont (7.95) értelmezési tartományának minden pontjában negatív, ezért a görbeág ugyanitt alulról konkáv.



A fentiek alapján a negatív görbeágnak csak   1 esetén, az FSSZ ;FSH létezik stabilis szakasza. Itt ugyanis, ha dFS  0 vagy dFS  0 miközben



intervallumon

da1  0 , valamint ha dFS

a1 -t is előjelhelyesen vesszük figyelembe, akkor rendre az a1  da1  a1 

da1 dFS  a1 vagy dFS

da1 a  da  a  dFS  a1 adódik, amely (7.80) és (7.81) értelmében a görbeszakasz stabil dFS  1

 1

 1

da1 viselkedésére utal. 0    1 esetén, ha dFS  0 vagy dFS  0 miközben  0 , valamint ha dFS 79

da1 a -t is előjelhelyesen vesszük figyelembe, rendre az a  da  a  dFS  a1 dFS  1

 1

 1

 1

vagy

da1 dFS  a1 adódik, ezért (7.82) és (7.83) értelmében a negatív görbeág teljes dFS értelmezési tartományán labilis. A 0    1 ,   1 ,   1 eseteknek megfelelően, vázoljuk a (7.85) és a (7.86) kifejezések görbéit (42. ábra). A diagramon feketével jelöljük a pozitív, pirossal a negatív ág függvénygörbéjét. A vizsgálat szerint 0    1 esetén az a1 görbe értelmezési tartományának a1  da1  a1 





0;FS0 részintervallumán stabilis.   1 esetén az értelmezési tartomány 0;FSsz részintervallumán a pozitív, az FSsz ;FSH  részintervallumán pedig a negatív görbeág megfelelő



szakaszai adódnak stabilnak. A továbbiakban – különböző számadat-kombinációk mellett – előállítjuk (7.2)-(7.3) fázisgörbe-diagramjait, és ezek alapján igazoljuk, hogy FS  FS0 esetén a rezgés zárt határciklusgörbével rendelkezik. Kimutatjuk továbbá, hogy FS  FS0 esetén a fázisgörbe feletti linearizálás módszere jól közelítő analitikus formulákat eredményez, míg FS  FS0 esetén a lineáris közelítés már nem elfogadható

42. ábra. A 0    1 ,   1 ,   1 esetekhez tartozó görbeágak

7.7.3. A stabilitás numerikus ellenőrzése A numerikus ellenőrzéshez a

t0  0, x  t0   x0  0,

dx  x0  0, i  t0   0 dt t 0

kezdeti értékek mellett ismét a 4-ed rendű Runge-Kutta módszert alkalmazzuk. Feltételezzük, hogy a kedvező energetikai viszonyok nemlineáris esetben is rezonancia frekvenciánál vagy ahhoz közel valósulnak meg, ezért a továbbiakban csakis ilyen rezgések vizsgálatára szorítkozunk. Ennek megfelelően a (7.84) kifejezések a 80

2

q 1   

2

2

8   U 0   L  , r  1    R  ,  1    ,   1  1       4R   R  2

2

(7.97)

alakokra egyszerűsödnek. Látható, hogy   1 esetén   1 , ezért a továbbiakban a 42. ábra   1 esethez tartozó függvénygörbéit vesszük figyelembe. Ennek jellegzetes abszcissza pontjaira – (7.97) alapján – az FS H 1 

U 0 U 0 , FS0 1  4L 4L

1  R  1    L 

2

, FSSZ  1 

U 0 4L

1  L  1   R 

2

(7.98)

kifejezések adódnak. A részletes vizsgálathoz tekintsük először a (7.4) számadathalmazt. Ekkor a (7.98) abszcissza pontok az FS H   1  1141,4 N , FS0   1  110,2 N , FSSZ   1  1136 ,1 N

(7.99)

értékeket veszik fel, és az a1  FS  görbepárt a 43. ábra mutatja.

43. ábra. Az a1 görbepár a 0;FSH  intervallumon A stabilitásvizsgálat szerint 0  FS  FS0  110 N súrlódási erők esetén mindig a pozitív görbeág függvényértékei adják az állandósult rezgőmozgás elmozdulás-amplitúdóit. Ezt már a fázisgörbe feletti linearizálás módszerének bevezetése kapcsán – éppen a (7.4) számadatok esetére – megrajzolt fázisdiagramok is előre vetítették (28. ábra). Ez alapján az amplitúdóra a1RK  5,5  5,6 mm , míg a linearizálás eredményeként az

81

a1  5,58 mm a1  18,82 mm

értékek adódnak. Állítsunk elő más terhelőerő értékekhez tartozó fázisdiagramokat is. A 0  FS  FS0  110 N feltételnek megfelelően a terhelőerő nagyságát válasszuk FS 1  85 N ; FS 2  95 N ; FS 3  105 N

(7.100)

értékűre. Az alábbi diagramokon megfigyelhető, hogy a fázisgörbék ilyenkor is egy-egy határgörbéhez tartanak (44. ábra).

44. ábra. Az egyes terhelésekhez tartozó fázisgörbék A 45. ábra diagramjai az előző fázisgörbék határciklus görbéit jelenítik meg.

45. ábra. A stabil rezgések határciklusai A diagramokról leolvashatjuk, hogy a (7.100) terhelőerő értékekhez rendre az a1RK  FS 1   2,8 mm; a1RK  FS 2   1,7 mm; a1RK  FS 3   0,6 mm

(7.101)

elmozdulás-amplitúdó értékek tartoznak, míg a linearizálás eredményeként – (7.85) és (7.86) alapján – az 82

a1  FS 1   2,80 mm;

a1  FS 2   1,69 mm;

a1  FS 3   0,58 mm

(7.102)

a1  FS 1   21,57 mm; a1  FS 2   22,65 mm; a1  FS 3   23,75 mm

elmozdulás-amplitúdó értékeket kapjuk. A 46. ábra diagramjai a 0  FS  FS0 intervallumra egészére vonatkozóan tájékoztat a lineáris közelítés pontosságáról.

46. ábra. A numerikus és az analitikus eredmények összevetése FS0 kicsiny környezetétől eltekintve a vizsgált intervallum egészén megfigyelhető az a1 görbeág és a numerikusan kiszámolt amplitúdó függvény nagyfokú egyezése.

Az imént elvégzett numerikus számítások alapján megállapíthatjuk, hogy:  A stabilisnak adódó 0  FS  FS0 intervallum FS  60 N és (7.100) értékei mellett a rendszer periodikus rezgésekre jellemző határciklus görbével rendelkezik;  Ugyanezen értékek mellett a pozitív görbeághoz tartozó amplitúdó értékek mutatnak nagyfokú egyezést a numerikusan meghatározott értékekkel (v. ö.: (7.101) és (7.102));  A teljes 0  FS  FS0 intervallumra vonatkozóan szintén a stabilisnak adódó a1 görbe közelíti jól a numerikusan meghatározott amplitúdó görbét; 

FS0 kicsiny környezetében és FS0  FS esetén a lineáris közelítés pontossága rohamosan csökken.

Mivel feltételezésünk szerint az FSSZ és FS H értékek jelentős mértékben meghaladják a



szuperfiniselés során alkalmazott 0  FS  FS0 intervallumot, ezért a negatív görbeág FSsz ;FSH  szakaszának vizsgálatára ebben az esetben nem térünk ki. Végezzük most el egy kisebb tömegű és teljesítményű rendszer vizsgálatát. Ehhez tekintsük az

83

m  0,5 kg; k  1250

  24,5

N 50 N ; f  Hz; FS  20 N ; L  0,0088 H ; R  2  ;   24,5 ; m 2 A

Vs ; U0  8 V m (7.103)

számadathalmazt. Ekkor a (7.85), (7.86) görbeágak a következőképpen néznek ki (47. ábra):

47. ábra. Az a1 görbepár a 0;FSH  intervallumon (7.103) alapján FS0   1  75 N , tehát ennél kisebb terhelő erők esetén számíthatunk stabil rezgésekre. (7.103) jellegzetes diagramjait az alábbi, 48. ábra mutatja.

48. ábra. Domináns lengéskép zárt határciklus görbével A határciklus görbe alapján a rezgőrendszer amplitúdójára az a1RK  4,5 mm, míg a linearizálás eredményeként az 84

a1  4,82 mm a1  8,21 mm

értékek adódnak. Látható, hogy ezúttal is a pozitív görbeág függvényértéke közelíti jobban a numerikusan előállított amplitúdó értéket. Növeljük fokozatosan a terhelő erőt az FS 1  25 N ; FS 2  45 N ; FS 3  65 N ; értékeknek megfelelően. Ekkor – (7.85) és (7.86) alapján – az

a1  FS 1   4,40 mm;

a1  FS 2   2,65 mm;

a1  FS 3   0,90 mm;

a1  FS 1   8,63 mm; a1  FS 2   10,30 mm; a1  FS 3   11,93 mm; amplitúdó értékek adódnak, a határciklus görbék pedig az alábbiak (49. ábra):

49. ábra. Határciklus görbék Ezekből az a1RK  FS 1   4,1 mm; a1RK  FS 2   2,6 mm; a1RK  FS 3   1,3  1.4 mm

amplitúdó értékek olvashatók le. Összevetve a linearizálás, valamint a numerikus analízis szolgáltatta eredményeket megállapíthatjuk, hogy a kisebb méretű és teljesítményű berendezés esetén is rendkívül jól korrelálnak egymással a numerikus számítások valamint az a1 pozitív görbeág megfelelő függvényértékei. A 49. ábra diagramjaiból az is kiolvasható, hogy FS növelésével a határciklus-görbék egyre szaggatottabbá válnak: a numerikus számítás a stick-slip jelenségét is figyelembe veszi. Ennek következtében az analitikus és numerikus görbeágak közötti eltérés FS0 -től már viszonylag távolabb eső súrlódási erők esetén is jelentőssé válik, azonban az FS0 érték 75  80 % -ánál kisebb súrlódási erők esetén még mindig elfogadható mértékű

(50.

a1RK  FS 1   a1 a1RK  FS 1 

ábra),

100% 

például

FS 1  25 N

esetén

4,1mm  4,4 mm 100%  7,31%  10% . 4,1mm 85

a

relatív

hiba

50. ábra. A numerikus és az analitikus eredmények összevetése Az előző példa kapcsán ismertetett okok miatt a negatív görbeág

F

S sz

;FSH  szakaszának

numerikus vizsgálatára ezúttal sem térünk ki. Végül tekintsünk egy, az előzőekhez képest jóval nagyobb tömegű és teljesítményű rendszert, melynek paraméterei az

m  20 kg; k  710615

  31,4

N N ; f  30 Hz; FS  200 N ; L  0,0133 H ; R  2,7  ;   31,4 ; m A

Vs ; U 0  72 V m (7.104)

értékekkel adottak [118], [123]. A (7.104) számadatok – k kivételével – megegyeznek a 2.2. fejezetben bemutatott prototípus berendezés parméterértékeivel (v.ö.: [118] 204., 216. o.). E számadatok mellett a (7.85), (7.86) görbeágak az 51. ábra szerint alakulnak, melynek (7.98) abszcissza pontjai az FS H   1  708 N , FS0   1  481 N , FSSZ   1  519 N

(7.105)

értékeket veszik fel. Mivel most FS0 és FSSZ igen közel állnak egymáshoz, alkalmunk nyílik megvizsgálni a negatív görbeág stabilis viselkedését.

86

51. ábra. Az a1 görbepár a 0;FSH  intervallumon A (7.104) számadatok mellett elvégzett numerikus analízis eredményeként az 52. ábra diagramjai adódnak:

52. ábra. Domináns lengéskép zárt határciklus görbével A fenti határciklus alapján a rezgő tömeg elmozdulás amplitúdójára az a1RK  8 mm míg a linearizálást követően ugyanerre a mennyiségre az a1  7,96 mm a1  15,36 mm

értékeket kapjuk. Látható, hogy ebben az esetben is a pozitív görbeág függvényértéke közelíti jobban a numerikus eredményt. Növeljük fokozatosan a terhelő erő nagyságát az 87

FS 1  350 N ; FS 2  400 N ; FS 3  450 N értékeknek megfelelően. Ezekhez – (7.85) és (7.86) alapján – az

a1  FS 1   4,10 mm;

a1  FS 2   2,63 mm;

a1  FS 3   1,07 mm;

a1  FS 1   17,05 mm; a1  FS 2   17,43 mm; a1  FS 3   17,71 mm amplitúdó értékek tartoznak. A numerikus analízis alapján adódó határciklusokat az 53. ábra diagramjai mutatják.

53. ábra. A stabil rezgések határciklus görbéi A diagramokról az a1RK  FS 1   4,2 mm; a1RK  FS 2   2,6  2,7 mm; a1RK  FS 3   1,2 mm.

elmozdulás amplitúdó értékek olvashatók le. Ezeket összevetve a linearizálási módszer eredményeivel megállapíthatjuk, hogy a numerikus eredmények most is a pozitív görbeág függvényértékeihez állnak közelebb. Az 54. ábra diagramjai a teljes 0  FS  FS0 intervallumra, valamint FS0 pontosságáról.

környezetére

vonatkozóan nyújtanak

tájékoztatást a lineáris

közelítés

54. ábra. Runge-Kutta módszerrel és linearizálás útján kiszámított eredmények összevetése 88

Látható, hogy FS0 kicsiny környezetének kivételével a pozitív görbeág és a numerikusan meghatározott görbeág jól egyezik. A jobboldali ábra FS0

környezetét mutatja, amely

alátámasztja azt, hogy az analitikusan meghatározott FS0 érték a stabil-instabil tartományok határán kívül a lineáris közelítés határának is tekinthető. A diagramból az is kitűnik, hogy FS  FSSZ ,FS H esetén numerikusan kiszámolt függvényértékek – az előrejelzéstől eltérően –







nem esnek egybe a negatív görbeág FSSZ ,FSH

 intervallum feletti szakaszával. Úgy véljük, hogy

ez a linearizálás nagy csillapítások és kis kitérések esetén előálló elégtelen közelítésének az eredménye, melyet egyébként (7.36) is előrevetít.

7.7.4. A numerikus ellenőrzés értékelése Az előzőekben linearizálás során nyert eredményeket vetettünk össze numerikusan kiszámított eredményekkel rezonancia frekvenciánál. Megmutattuk, hogy FS  FS0 esetén – az előrejelzésnek megfelelően – valóban stabil rezgések alakulnak ki, és az analitikus megoldások pozitív görbeágra eső értékei nagyon jól közelítik a numerikus számítások eredményeit, így FS0 amellett, hogy kijelöli a stabil-instabil tartományok határát, egyúttal a lineáris közelítés egyfajta határának is tekinthető. Ezzel szemben a negatív görbeág FSSZ ,FSH intervallumon előre jelzett





stabilitása nem nyert igazolást. A stabilis görbeág ismeretében rátérünk az energetikai viszonyok feltárására.

7.8. Az energetikai viszonyok vizsgálata A nemlineáris rendszer energetikai állapotát – a lineáriséhoz hasonlóan – az 4.2.1. fejezetben felsorolt szempontok alapján ítéljük meg. Amennyiben ezek a szempontok valamely gerjesztő frekvenciánál egyidejűleg teljesülnek, akkor – megítélésünk szerint – a rendszer azon a frekvencián a legkedvezőbb energetikai viszonyok között működik. Az összefüggések felírása során megmutatjuk, hogy bizonyos feltételek mellett ezek a viszonyok jó közelítéssel rezonancia frekvenciánál valósulnak meg. Mivel egyes összefüggések csak közelítő jellegűek, ezért ezek érvényességét numerikus eszközökkel ellenőrizzük.

7.8.1. Az összefüggések felírása (7.38) hurokegyenletéből kiindulva, a már ismert módon (v. ö. pl. (6.17), (6.18)) előállíthatjuk a rendszer T

T

T

T

di   U 0  i cos  tdt L  i dt  R  i 2 dt    ixdt dt 0 0 0 0

(7.106) T

energiamérleg-egyenletét. Mivel – (7.39) alapján – i T szerint periodikus, ezért az

di

 i dt dt 0

integrál azonosan zérus. (7.106) jobb oldalán a rendszer által 1 periódus alatt felvett energiamennyiség áll, melyre (7.39) alapján az T

Ebe  U 0  i cos  tdt  0

  U 0i0 cos  i  U 0i0 cos i   89

(7.107)

összefüggés adódik. Az ohmos ellenállás 1 periódusra vonatkozó villamos energia fogyasztását az T

ER  R  i 2dt

(7.108)

0

integrál segítségével számíthatjuk. Mivel a rezgő tömeg (7.39) alapján négy amplitúdónyi utat tesz meg egy periódus alatt és feltételezzük, hogy a mozgás során FS  const , ezért Eh -ra (7.109)

Eh  4FS a1 T

 integrál – (5.21)-et is figyelembe véve – szintén (7.109)adódik. Megjegyezzük, hogy a   ixdt 0

re vezet. (7.107)-(7.109) alapján definiálja

ER Ri0  Ebe U 0 cos  i

(7.110)

Eh 4FS a1  Ebe  U 0i0 cos i

(7.111)

R  az ohmos,

h 

a Coulomb-féle csillapítás hatásfokát. (7.106), (7.110) és (7.111) alapján könnyen belátható, hogy a fenti hatásfok-mennyiségek között fennáll a

 h   R  1,

(7.112)

összefüggés. (6.53)-hoz hasonlóan, definiáljuk a

 Rh 

ER Eh

(7.113)

hányadost, amely a csillapításokon megoszló energiák viszonyát adja meg. A (7.106)-ban előforduló i és x változók implicit módon tartalmazzák a (7.45), (7.50) és (7.51) mennyiségeket. Ezek közül a  A és  i fázisszögek (7.42), (7.43) és (7.47) alapján a  4F   4F  A   Arc  mR 2 1   2  a1  S L   j  S R  a1   mL 2 1   2       4F    i   A  Arc  m 2 1   2  a1  j S    



alakban is felírhatók. A továbbiakban megmutatjuk, hogy amennyiben a

90

  (7.114) (7.115)

cos i  1  1

(7.116)

a1  1  max imum

(7.117)

és az

feltételek egyidejűleg teljesülnek, úgy   1 -nél jó közelítéssel a legkedvezőbb energetikai viszonyok valósulnak meg. (7.117) további következménye az, hogy a (7.36) nemlinearitás mértéke rezonancia frekvencia környezetében minimummal rendelkezik, melyet numerikusan már a 7.6. fejezetben beláttunk. (7.51)-ről könnyen belátható, hogy rezonancia frekvenciánál minimuma van, azaz i0  1  min imum

(7.118)

(7.116) és (7.118) alapján (7.110)-re adódik, hogy

 R 1  min imum,

(7.119)

melyből – (7.112)-őt is figyelembe véve – (7.111)-re kapjuk, hogy

 h 1  max imum

(7.120)

 Rh 1  min imum

(7.121)

Ebből és (7.119)-ből (7.113)-ra

adódik. Térjünk rá ezek után a (7.107)-(7.109) mennyiségek vizsgálatára. (7.121) alapján  1  0 , melyből – (7.113)-at is figyelembe véve – az feltételezzük, hogy  Rh ER 1 Eh  1  ER  1 Eh 1  0

(7.122)

közelítő összefüggést kapjuk. (7.109) és (7.117) alapján adódik, hogy Eh  1  0 , és ebből (7.122) alapján kapjuk, hogy ER 1  0.

(7.123)

(7.106) alapján írható, hogy Ebe  1  E R  1  Eh 1 , amelyből (7.123) esetén kapjuk, hogy   1  0. Ebe

(7.124)

(7.109) és (7.117) alapján (7.111)-ből és (7.120)-ból következik, hogy Ebe  1  min imum.

(7.125)

(7.110)-ből kiindulva, (7.125)-öt és (7.119)-et figyelembe véve, az előzőhöz hasonló módon látható be, hogy

91

ER 1  min imum.

(7.126)

A (7.51), (7.107)-(7.109), valamint a (7.110), (7.111) és (7.113) mennyiségek imént felírt egzakt és közelítő szélsőértékei a (7.116), (7.117) feltételek esetén jó közelítéssel egyszerre elégítik ki a 4.2.1. fejezetben megfogalmazott szempontokat   1 -nél, így megítélésünk szerint a linearizált rendszer rezonancia frekvenciánál közelítőleg a legkedvezőbb energetikai viszonyok között működik. A továbbiakban megvizsgáljuk, hogy (7.116) és (7.117) milyen paraméterkombinációk esetén teljesülnek. (7.116) vizsgálatához induljunk ki a (7.114), (7.115) összefüggésekből. (7.115)   1 -nél

 i  1   A  1 

 , 2

(7.127)

(7.114) pedig  4F  4F   A  1   Arc   S L  j  S R  a1  1   ,     

(7.128)

ahol (7.48) alapján  a1  1 

4FS R 

2

4F 2 2 U 0    S   L     . 

(7.129)

Helyettesítsük (7.129)-et (7.128)-ba, melyből így  A -ra 2      U 0   A  1   Arc  1  j   1     4FS L   

adódik. A (7.130)-ben előforduló

(7.130)

U 0 mennyiség a (7.98) alatt definiált FSH súrlódási erő, 4L

ezért (7.130) a 2   FSH     A  1   Arc  1  j   1     FS   

(7.131)

alakban is felírható. (7.98) alapján FS0 

1  R  1    L 

92

2

FSH ,

(7.132)

és mivel FS H a (7.85) pozitív görbeág értelmezési tartományának maximuma, valamint stabil rezgéseket vizsgálunk, ezért FS  FS0 . Abban az esetben, amikor R  1, L

(7.133)

akkor FS  FS0 mellett – (7.132) alapján – FS  FS0  FSH is teljesül, így a (7.130)-ban előforduló törtre igaz, hogy

U 0 FSH   1. 4FS L FS

(7.134)

Amennyiben (7.133) nem teljesül, úgy közvetlenül (7.134)-et kell megvizsgálni. (7.134) esetén (7.131)-re F     A  1   Arc  1  j SH    FS  2 

(7.135)

adódik, melyből (7.127)-re kapjuk, hogy

 i 1   A  1 

     0, 2 2 2

(7.136)

és amelyből jó közelítéssel adódik (7.116). (7.117) kapcsán utalunk a 7.5.2. fejezetben elvégzett függvényvizsgálatokra. (7.59) vizsgálata során láttuk, hogy annak (7.65) esetén létezhetnek szélsőértékei, és ezek közül az egyik maximum. A továbbiakban megvizsgáljuk, hogy (7.65) mellett a paraméterek milyen R  egyéb kombinációja szükséges ahhoz, hogy (7.117) teljesüljön. Ehhez a   ,   1 , és L kL F az rF  SH paraméterek, valamint (7.98) felhasználásával, (7.48)-ból kiindulva írjuk fel a1 -et az FS 2 2  2     1   2   1  2    2  1   2    2    2     2   2  rF2    4FS   (7.137)   a1      2 2 2 2 2 2 k   1            

alakban. Képezzük (7.137) a1   1 

da1 deriváltját, amelyre rendezést követően az d  1







2 2 2 2 2 4FS   1   1   rF  1    3  1    rF  2  rF  1 a1  1  2 k   1 rF2  1

93



(7.138)

kifejezés adódik. Tegyük fel, hogy (7.134) mellett (7.133) is teljesül. Emiatt a (7.138)-ban rF2  1  rF közelítés, és így (7.138)-ra

előforduló négyzetgyökös kifejezésre érvényes a felírható az

2   4FS   1      rF   1    3     rF   1 a1  1  2 k rF   1

(7.139)

közelítő kifejezés. Ha úgy választjuk meg a paraméterértékeket, hogy

  rF  1

(7.140)

is teljesül, akkor (7.139) az

a1  1 

4FS    rF    1     3    rF    k rF   1 2 

FSH

FS0

(7.141)

 F írható, ahol   S  0 . Ezt, FS FS  FS0 valamint a korábban bevezetett  és  paramétereket, továbbá (7.98)-at is figyelembe véve a1 1 -re az alakra egyszerűsödik. (7.133) következtében rF 

a1  1 

U0 





 1     1   3    2   

(7.142)

közelítő kifejezést kapjuk. Ebből



3    1 2 2kL

(7.143)

esetén – (7.65)-öt is figyelembe véve – (7.117) jó közelítéssel adódik. Ha (7.143) a (7.133), (7.134) és (7.140) érvényessége esetén sem teljesül egyértelműen, akkor (7.138) közvetlen kiszámításán keresztül ítéljük meg (7.117) érvényességét.

7.8.2. Numerikus ellenőrzés A numerikus számításokat különböző teljesítményű modellek vizsgálatán keresztül, a (7.4), (7.103), (7.104) számadatok mellett végezzük. Az egyes modellek vizsgálata során meghatározzuk a (7.107), (7.108), (7.110), (7.111), (7.113) és a teljesítménytényező t tényleges szélsőértékhelyeit, valamint az t és   1 helyeken vett függvényértékeket és ezek relatív hibáját2. Jelentősnek tekintjük a relatív hibát, ha annak értéke a 10 % -ot meghaladja. Ezek

2

A relatív hibát az

E t   E 1 E t 

100% kifejezéssel értelmezzük. 94

ismeretében megvizsgáljuk, hogy az   1 helyen vett – egzakt és közelítő – szélsőértékek közül mennyi elégíti ki egyidejűleg a 4.2.1. fejezetben megfogalmazott szempontokat. A számítások mellett feltüntetjük az energetikai mennyiségek függvénygörbéit is.

7.8.2.1.

A kis teljesítményű rendszer FSH

 17,5  1 , ezért (7.116) és abból adódóan a FS (7.119)-(7.121) szélsőértékek is jó közelítéssel teljesülnek (55. ábra, 56. ábra). A (7.103) számadatok mellett rF 

55. ábra. A teljesítménytényező maximuma rezonancia frekvenciánál

56. ábra. A hatásfok mennyiségek szélsőértékei rezonancia frekvenciánál

95

Mivel



2

2

 2   3  2  2  2   953  0 , ezért (7.62) és (7.63) alapján a1 -nek nincs

szélsőértéke, így ebben az esetben (7.117) biztosan nem teljesül. Ennek következtében a (7.122)(7.124) összefüggések is érvényüket vesztik, így az ER és Ebe mennyiségek szélsőértékhelyei csak grafikusan (57. ábra) és numerikusan becsülhetők.

57. ábra. Az energiamennyiségek szélsőértékei Az 5. táblázat az t tényleges szélsőértékhelyek mellett az t és az   1 helyeken vett függvényértékeket és azok relatív hibáját foglalja össze. 5. táblázat. A tényleges és közelítő szélsőértékhelyek összevetése A függvényérték t helyen

A függvényérték   1 helyen

Relatív hiba %

sin i  0

A tényleges t szélsőértékhely 1,218

0

0,0571

-

cos  i  1

1,218

1

0,9983

0,17

-

-

4,82

-

 R  min .  h  max .

1,055

0,261

0,261

0

1,055

0,739

0,739

0

 Rh  min . ER  min . [J] Eh  max . [J] Ebe  min . [J]

1,055

0,351

0,351

0

3,210

0,065

0,135

107,7

-

-

0,385

-

4,910

0,173

0,521

201

Jellemző függvényérték

a1  max . [mm]

A számítások alapján látható, hogy a teljesítménytényezőre, valamint a hatásfokokra vonatkozó szélsőértékek   1 -nél jó közelítéssel teljesülnek. Ezzel szemben Eh -nak nincs szélsőértéke, az ER és Ebe szélsőértékhelyei pedig jelentős mértékben eltérnek   1 -től. Ezek alapján – (7.118)-at is figyelembe véve – megállapítjuk, hogy a 4.2.1. szempontok közül jó 96

közelítéssel csak a 2., 3., és a 4. teljesül egyidejűleg, ezért a rendszer energetikai állapota   1 nél nem tekinthető a legkedvezőbbnek.

7.8.2.2. A

A közepes teljesítményű rendszer (7.4)

számadatok

mellett

kiszámolt



2

2

 2   3  2  2  2   11264  0,

F R  10,30  1, rF  SH  19,02  1 , és   rF  8,72  1 értékek alapján a (7.65), L FS (7.133), (7.134), (7.140) feltételek teljesülnek. A 3    2  0,35 miatt (7.143) nem teljesül, azonban (7.138) alapján a1  1  0,0035 , így (7.117)-et jó közelítéssel érvényesnek tekintjük. Ezek alapján – mivel (7.116) és (7.117) egyaránt teljesül – úgy véljük, hogy a (7.119)-(7.121), valamint a (7.125), (7.126) közelítő szélsőértékek egyidejűleg állnak elő   1 -nél. Az energetikai mennyiségek diagramjait az alábbi ábrák mutatják (58. ábra, 59. ábra).



58. ábra. A hatásfok mennyiségek szélsőértékei rezonancia frekvenciánál

59. ábra. Az elmozdulás amplitúdó és az energiamennyiségek szélsőértékei rezonancia frekvenciánál

97

A diagramokon megfigyelhetők a rezonancia frekvencia közeli szélsőértékek. A 6. táblázat a tényleges t szélsőértékhelyeket, valamint az t és   1 helyeken vett függvényértékeket és azok relatív hibáját foglalja össze. 6. táblázat. A tényleges és közelítő szélsőértékhelyek összevetése A függvényérték t helyen

A függvényérték   1 helyen

Relatív hiba %

sin i  0

A tényleges t szélsőértékhely 1,00375

0

0,0525

-

cos  i  1

1,00375

1

0,9986

0,14

a1  max . [mm]

1,00101

5,585

5,583

0,03

 R  min .  h  max .  Rh  min . ER  min . [J] Eh  max . [J] Ebe  min . [J]

1,00063

0,543

0,543

0

1,00063

0,457

0,457

0

1,00063

1,180

1,180

0

1,00051

1,590

1,590

0

1,00101

1,340

1,340

0

1,00032

2,930

2,930

0

Jellemző függvényérték

A kiszámolt adatok összhangban vannak a (7.65), (7.133), (7.134), (7.140) feltételek alapján felírt közelítő összefüggések szélsőértékekre vonatkozó előrejelzéseivel. A 6. táblázatban feltüntetett adatok, valamint (7.118) alapján látható, hogy a 4.2.1. szempontok jó közelítéssel egyszerre teljesülnek, vagyis rezonancia frekvenciánál (7.4) jó közelítéssel a legkedvezőbb energetikai viszonyok között működik.

7.8.2.3.

A nagy teljesítményű rendszer

Mivel a (7.104) számadatok mellett (7.65), (7.133), (7.134), (7.140) közül csak az első teljesül –



2

2

 2   3  2  2  2   4,40  0 –, ezért a (7.116) és (7.117) feltételekből adódó

közelítő analitikus összefüggések érvényüket vesztik, így az energetikai állapot feltárását numerikusan folytatjuk. Az alábbi diagramok az energetikai mennyiségek és a1 függvénygörbéit jelenítik meg.

60. ábra. A teljesítménytényező szélsőértéke rezonancia frekvencia környezetében 98

61. ábra. A hatásfok mennyiségek szélsőértékei rezonancia frekvenciánál

62. ábra. Az elmozdulás amplitúdó és az energiamennyiségek szélsőértékei rezonancia frekvenciánál A tényleges szélsőértékhelyekre, a szélsőértékhelyeken és az   1 helyen vett függvényértékekre, valamint a relatív hibára vonatkozó számítások eredményeit a 7. táblázat foglalja össze. A diagramok és a táblázat adatai alapján látható, hogy a tényleges szélsőértékhelyek ugyan   1 kicsiny környezetében helyezkednek el, azonban több mennyiség – sin  i , a1 , Eh – t és   1 helyeken vett függvényértékei jelentős, 10 % -ot jelentősen meghaladó mértékben térnek el egymástól, így megítélésünk szerint (7.104) nem a legkedvezőbb energetikai viszonyok között működik   1 -nél.

99

7. táblázat. A tényleges és közelítő szélsőértékhelyek összevetése Jellemző függvényérték sin i  0

cos  i  1 a1  max . [mm]

 R  min .  h  max .  Rh  min . ER  min . [J] Eh  max . [J] Ebe  min . [J]

A tényleges t szélsőértékhely 1,0096 1,04 1,0096 1,04 1,0234

A függvényérték t helyen 0 0,007 1 1 9,510

A függvényérték   1 helyen

1,0029

0,282

Relatív hiba % 3928

0,9593

4,07

7,971

16,10

0,313

0,317

1,27

1,0029

0,687

0,683

0,58

1,0029

0,455

0,464

1,97

1,00025

2,961

2,961

0

1,0234

7,610

6,370

16,29

0,992

9,072

9,337

2,92

7.8.3. Értékelés A numerikus vizsgálatok során megmutattuk, hogy a 7.8.1. fejezetben megadott és hivatkozott (7.65), (7.133), (7.134), (7.140) feltételrendszer jó közelítéssel alkalmas az energetikai viszonyok előzetes megítélésére. Kimutattuk, hogy a (7.65), (7.133), (7.134), (7.140) feltételeknek megfelelő paraméterkombinációk esetén a (7.2)-(7.3) nemlineáris rendszer – a (5.24)-(5.25) lineáris rendszerhez hasonlóan – a legkedvezőbb energetikai viszonyok között működik   1 -nél. (7.4)-ről kimutattuk, hogy működése során   1 -nél a (7.65), (7.133), (7.134), (7.140) feltételeket kielégítve a legkedvezőbb energetikai viszonyok valósulnak meg. A továbbiakban megmutatjuk, hogy a (7.4)   1 -nél tapasztalt kedvező energetikai állapota lehetővé teszi egy, a prototípushoz képest gazdaságosabb, kisebb méretű és tömegű szuperfiniselő berendezés megépítését.

7.8.4. A prototípus és a közepes teljesítményű berendezések energetikai viszonyainak összevetése Ebben a fejezetben – azonos megmunkálási és rendszerparamétereket feltételezve – a prototípus, valamint a közepes teljesítményű, új típusú berendezés energetikai viszonyait vetjük össze. Ennek eredményeként látni fogjuk a rendszerbe illesztett, alkalmasan megválasztott rugalmas tag energetikai jellemzőkre gyakorolt kedvező hatását. A (7.38) nemlineáris dinamikai modellből k  0 határátmenettel származtatható a 2.2 fejezetben bemutatott prototípus berendezés közelítő nemlineáris mozgásegyenlet-rendszere. A prototípus berendezés energetikai összefüggései az új típusú rendszer összefüggéseiből állíthatók elő szintén a k  0 határátmenetet alkalmazva. A kifejezésekben előforduló  -t ebben az esetben is az f  30 Hz rad legkedvezőbb finiselő frekvenciának megfelelő   2 f  60 értékkel vesszük s figyelembe. A prototípus modell energetikai viszonyainak feltárását és az új típusú modell energetikai jellemzőivel történő összevetését az f  30 Hz , a1  1 mm , FS  60 N megmunkálási paraméterek, valamint a prototípus berendezés esetén a

100

m  20 kg; L  0,0133 H ; R  2,7  ;   31,4

N Vs ;   31,4 ; U 0  82 V , (7.144) A m

az új típusú berendezés esetén pedig a

m  6 kg; L  0,0035 H ; R  6 ,8  ;   20,4

N Vs ;   20,4 ; U 0  29.45 V (7.145) A m

számadatok mellett végezzük el. Eltekintve a k  0 határátmenet esetére vonatkozó energetikai összefüggések felírásától, a prototípus és az új típusú berendezések energetikai jellemzőit és azok értékeit a 8. táblázat tartalmazza. 8. táblázat. A prototípus és az új típusú berendezés nemlineáris modelljeinek energetikai állapota Prototípus berendezés (k  0)

Új típusú berendezés ( k  0 , saját-körfrekvenciára hangolt:   1 ); közepes teljesítményű

sin  i

0,63

0,083

cos  i

0,77

0,996

1

1

i0 [A]

23,19

3,74

F0 [N]

728,16

76,40

Pm [VAr]

605,04

4,62

Ph [W]

733,93

54,95

P [VA]

951,17

55,15

R

0,99

0,86

 Rh

98,98

6,57

ER [J]

24,21

1,59

Ebe [J]

24,46

1,83

Energetikai mennyiségek

A [mm]

Látható, hogy alkalmasan megválasztott rugalmas tag közbeiktatásával a legkedvezőbb megmunkálási jellemzők kisebb áram- és gyakorlatilag elhanyagolható meddőteljesítmény felvétele, kisebb vonóerő, valamint kevesebb villamos energia fogyasztás mellett is biztosíthatók. Egy ilyen hajtást biztosító lineáris motor befoglaló méreteit és tömegét tekintve is jóval kisebb annál, mint amit a prototípus berendezés hajtásához alkalmaztunk. Az adatlapok szerint (v.ö. [66] 190. o., [118] 216. o., 238. o.) az új típusú, közepes teljesítményű berendezés mérete és tömege a prototípus berendezés hasonló jellemzőihez képest harmadára csökkenthető, így az adoptáló keményesztergáló berendezés munkaterében kedvezőbb pozícióba – például a szegnyeregbe – elhelyezve, jóval kevesebb helyet foglal el.

101

8. Összefoglalás Az értekezés egy szuperfiniselő prototípus berendezés továbbfejlesztésével kapcsolatos dinamikai és energetikai számítások eredményeit foglalja össze. Elméleti megfontolások alapján úgy véltük, hogy adott megmunkálási paraméterek esetén a prototípus berendezést alkalmasan megválasztott rugalmas taggal kiegészítve, és rezonancia frekvencián gerjesztve, a berendezés a legkedvezőbb energetikai viszonyok között működik, és ennek eredményeként kisebb méretű, gazdaságosabban üzemelő berendezés építhető. Az értekezés fő célja az előbbi feltételezés igazolása. Az energetikai állapot megítélését egy előzetesen rögzített szempontrendszer alapján végeztük. A vizsgálat tárgyát egy egyfázisú, villamos hajtású, rövid löketű alternáló mozgást végző szuperfiniselő – a továbbiakban: új típusú – berendezés képezi. Lineáris és nemlineáris modellek dinamikai vizsgálatán keresztül végeztük a berendezés energetikai viszonyainak feltárását és az energetikai szempontból legkedvezőbb gerjesztő frekvenciák meghatározását. A dinamikai vizsgálathoz – az elektrodinamikus rezgésgerjesztő modelljét felhasználva – megalkottuk a berendezés mechanikai modelljét. Ezt követően a Lagrange-féle másodfajú mozgásegyenletből kiindulva, a gépészmérnöki gyakorlatban megszokott módon először a modell lineáris mozgásegyenlet-rendszerét állítottuk elő. Ennek során feltételeztük, hogy a lökethossz a tekercsek méretéhez képest kicsi, az állótekercs állapota pedig független a mozgótekercsétől, feltételeztük továbbá, hogy a szuperfiniselésből adódó csillapítás lineáris. Két különböző lineáris modellt vizsgáltunk: először a prototípusét, majd azt követően az új típusú berendezését. A prototípus mozgásegyenlet-rendszere úgy adódott, hogy az eredeti lineáris mozgásegyenletben szereplő rugalmas tagot figyelmen kívül hagytuk. Az így kapott mozgásegyenlet-rendszert megoldva előállítottuk a rezgés amplitúdó-frekvencia függvényeit, valamint az energetikai állapot megítéléséhez szükséges jellemzők kifejezéseit a gerjesztő frekvencia függvényében. Ezt követően – részben analitikus, részben numerikus módon – meghatároztuk az energetikai mennyiségek szélsőértékhelyeit és szélsőértékeit. Kimutattuk, hogy a prototípus berendezés esetén nem található olyan szélsőértékhely-frekvencia, amely minden tekintetben eleget tesz a legkedvezőbb energetikai állapotot előíró szempontrendszernek. Hasonló módon vizsgáltuk az új típusú berendezés lineáris modelljének energetikai viszonyait. Ennek eredményeként kimutattuk, hogy a Lehr-féle csillapítási tényező kis értékei mellett, rezonancia frekvencián gerjesztve a rendszert, az jó közelítéssel a legkedvezőbb energetikai viszonyok között működik, és ennek köszönhetően ugyanazon megmunkálási paraméterek (amplitúdó, frekvencia, csillapítás) a prototípushoz képest gazdaságosabban üzemelő berendezéssel is elérhetők. A lineáris modellt továbbfejlesztve – finiselés során lineáris helyett Coulomb-féle csillapítást tételeztünk fel – megalkottuk az új típusú berendezés egyik legegyszerűbb nemlineáris modelljét. Közelítő eljárást – jelen esetben a fázisgörbe feletti linearizálást – alkalmazva felírtuk a rendszer linearizált mozgásegyenlet-rendszerét, melyet megoldva zárt alakban meghatároztuk a rezgés amplitúdó-frekvencia függvényeit, valamint [102] alapján zárt formula segítségével értelmeztük a nemlinearitás mértékét. Megmutattuk, hogy rezonancia frekvencia közelében a 102

linearizálás eredményeként adódó analitikus kifejezések jól közelítik a numerikusan kiszámolt értékeket. Kimutattuk továbbá, hogy a nemlinearitás mértékének ekkor minimuma van. Feltételezésünk szerint ilyenkor a nemlineáris rendszer jó közelítéssel lineárisként viselkedik, és vélhetően a linearizálásból eredő hiba is kismértékű. Ezt numerikus kísérletekkel is beláttuk. Ezt követően megvizsgáltuk a csillapításból eredő súrlódási erő amplitúdó-frekvencia függvényekre gyakorolt hatását. Zárt alakú kifejezést állítottunk elő a határ súrlódási erőre FS0 ,

 

mellyel kapcsolatban megállapítottuk, hogy:  Ennél kisebb súrlódási erő esetén stabil rezgés alakul ki, melynek amplitúdóját a pozitív görbeág függvényértékei közelítik jól, vagyis a pozitív görbeág 0  FS  FS0 szakasza valósul meg ténylegesen;  Ennél kisebb súrlódási erő esetén a linearizálás eredményeként adódó pozitív görbeág függvényértéke a határ súrlódási erő kicsiny környezetétől eltekintve jó közelíti a numerikusan kiszámolt értéket. A ténylegesen megvalósuló görbeág ismeretében megvizsgáltuk a rendszer energetikai állapotát. A nemlineáris modell esetében is igazoltuk az alkalmasan megválasztott rugalmas tag kedvező hatását: rezonancia frekvencián gerjesztve a rendszert, ugyanazon megmunkálási paraméterek a prototípushoz képest jóval kisebb méretű és tömegű, gazdaságosabban üzemelő berendezéssel is elérhetők.

103

9. Új tudományos eredmények T.1. A Lagrange-féle másodfajú mozgásegyenletből kiindulva előállítottam egy rezgéstani elven működő, rövid löketű, villamos hajtású – továbbiakban: új típusú – szuperfiniselő berendezés elektromechanikai modelljének lineáris mozgásegyenlet-rendszerét, melyből a rugalmas tag elhagyásával felírtam a Miskolci Egyetem Szerszámgépek Tanszékén megtervezett és legyártott lineáris motoros hajtású, rövid löketű szuperfiniselő – továbbiakban: prototípus – berendezés közelítő vizsgálatra alkalmas elektromechanikai modelljének mozgásegyenlet-rendszerét. Az előállított zárt alakú megoldások ismeretében részben analitikus, részben numerikus eszközökre támaszkodva megvizsgáltam az energetikai mennyiségek szélsőértékhelyeit, amelyekről megállapítottam, hogy a prototípus berendezés modellje esetén nem létezik olyan gerjesztőfrekvencia, amelynél a legkedvezőbb energetikai állapotra vonatkozó szélsőértékek egyszerre teljesülnek. T.2. Megállapítottam, hogy a Lehr-féle csillapítási tényező elég kis értéke mellett a prototípus berendezés modelljét továbbfejlesztve, alkalmasan megválasztott rugalmas taggal kiegészítve, és így előírt gerjesztő frekvenciára hangolva, a vizsgált energetikai mennyiségek rezonancia frekvenciánál olyan szélsőértékkel rendelkeznek, melyek esetén az új típusú berendezés rezonancia frekvenciánál a legkedvezőbb energetikai viszonyok között működik. A vizsgálatok során előállított egzakt és közelítő szélsőértékeket numerikusan ellenőriztem. T.3. Numerikus kísérletek segítségével megmutattam, hogy azonos megmunkálási paraméterek mellett, a rezonancia frekvencián gerjesztett új típusú berendezés az ugyanezen frekvencián gerjesztett prototípushoz képest kedvezőbb energetikai viszonyok között működik, így az előírt megmunkálási paraméterek gazdaságosabb energia felhasználás mellett teljesülnek. T.4. A lineáris mozgásegyenlet-rendszerből kiindulva, a lineáris csillapítási modell helyett Coulomb-féle súrlódást feltételezve felírtam az új típusú berendezés nemlineáris mozgásegyenlet-rendszerét. A fázisgörbe feletti linearizálás módszerére támaszkodva előállítottam a rezgések amplitúdó-frekvencia függvényeit. A fázisgörbe feletti linearizálás módszeréből kiindulva felírtam a nemlineáris rendszer nemlinearitás mértékének egy zárt alakú összefüggését, amely alapján elvégeztem a linearizálás közelítésének egy becslését, és e szerint a linearizált rendszer viselkedése rezonancia frekvencia környezetében tér el legkevésbé a nemlineáris rendszer viselkedésétől. Az analitikus közelítő számításokat numerikusan is ellenőriztem. T.5. A Coulomb-féle súrlódás amplitúdó-frekvencia függvényekre gyakorolt hatását vizsgálva megállapítottam, hogy egy, a továbbiakban határ súrlódási erőnek nevezett erőnél kisebb súrlódási erő esetén alakul ki stabil rezgés. A stabil rezgések amplitúdó-frekvencia függvényét numerikus kísérletekkel is ellenőriztem. Megmutattam, hogy rezonancia frekvencia környezetében, a határ súrlódási erőnél kisebb erő esetén a linearizálás eredményeként adódó stabil görbeág függvényértékei a vizsgált intervallumon a határ súrlódási erő kicsiny környezetétől eltekintve jól közelítik a numerikusan kiszámolt értékeket. T.6. A stabil görbeág ismeretében vizsgáltam a nemlineáris rendszer energetikai viszonyait. Megállapítottam, hogy bizonyos paraméterkombinációk esetén az új típusú berendezés rezonancia frekvencia környezetében kedvezőbb energetikai viszonyok között működik. Az is igazolást nyert, hogy ugyanezen paraméterkombinációk mellett a rendszer nemlinearitás mértékének rezonancia frekvenciánál jó közelítéssel minimuma van. T.7. A nemlineáris rendszer vizsgálata során előállított analitikus összefüggéseket felhasználva megmutattam, hogy az előírt megmunkálási paraméterek a prototípushoz viszonyítva gazdaságosabban üzemelő és kisebb méretű új típusú berendezéssel is teljesíthetők.

104

10.

Továbbfejlesztési irányok

Lineáris, majd nemlineáris rendszerek energetikai vizsgálata során igazoltuk a rezonancia frekvencia más gerjesztő frekvenciákkal szembeni előnyét. Ezt megelőzően elsőközelítés-szerű modellvizsgálatokat végeztünk, amelyek további elméleti és gyakorlati kutatások alapjául szolgálhatnak. A nemlineáris csillapítási modell fokozatos finomítása révén a dinamikai mellett az energetikai viszonyok egyre pontosabb leírása is lehetővé válik. Ilyen finomítást jelent például a stick-slip jelenségének, a nyugvó és mozgó súrlódási együtthatók különbségének, a kenőanyag jelenlétének, valamint a finiselési löketenként változó felületminőség figyelembevétele. Ezek a jelenségek a 2.3. fejezetben ismertetett bonyolultabb statikus és dinamikus súrlódási modellek segítségével vehetők figyelembe. A modell finomítása további nemlineáris jelenségekre, nem várt instabil viselkedésre irányíthatja figyelmünket. A berendezés rezonancia frekvencián üzemel, és ez keskeny frekvenciatartományt tesz lehetővé, melynek fenntartását nemlineáris adaptív szabályozással érhetjük el. Ennek megvalósítása szintén igényli a stabil-instabil tartományok pontos feltárását [7], [8], [120], [131]. Bonyolultabb csillapítási modellek mellett a finiselési folyamat részletesebb elemzése is lehetővé teszi az energetikai viszonyok mélyebb feltárását (lásd. pl. [128]). Mivel a gyakorlatban inkább a többfázisú lineáris motorok alkalmazása terjedt el [66], [118], ezért egyfázisú helyett, a két-, háromfázisú elektromechanikai modellek további vizsgálata is indokolt. Az értekezésben bemutatott elsőközelítés-szerű modellek vizsgálata alapján a stabil-instabil tartományok meghatározásakor előállított zárt alakú összefüggések – a megmunkálási paraméterek ismeretében – lehetővé teszik a tervező mérnök számára a berendezés méreteinek, tömegének és energetikai viszonyainak előzetes becslését, és ezek alapján a villamos egységek katalógusból történő kiválasztását.

105

11.

Summary

The thesis summarizes the results of some dynamic and power calculations emerging in the development process of a superfinishing prototype-device. Due to certain theoretical concepts, it is assumed that if the prototype-device is supplemented with an appropriate flexible element and thus becomes tuned to the manufacturing frequency, then it will operate under optimum power conditions, and the ‘new’ device will provide the possibility of maintaining the same manufacturing parameters in the course of the superfinishing process. As a result of the tuning, it will become possible to construct a smaller and improved device with increased power consumption efficiency than the prototype. The main objective of the thesis is to demonstrate the considerations mentioned above. A certain system of considerations is predefined and serves as the basis by which the power characteristics of the devices are judged. The subject of the investigation is a 1-phase electromechanical superfinishing device operated by electricity and performing an oscillating movement of short-stroke. Linear and non-linear models are assigned to the device, which enables us to explore the power characteristics of the device and to establish the optimum superfinishing frequencies. The model of an electrodynamical vibrator serves as the mechanical model of the devices under investigation. As usual in mechanical engineering practice, first the linear model with the linear governing equations evolved from the Lagrangian-equations of the second kind was established, where it was assumed that the maximum displacement of the moving body is considerably less than the longitudinal dimensions of the coils and the current state of the fixed coil as a separate exciter is not influenced by the moving part and, finally, the damping coming from the superfinishing process is approximated with linear characteristics. Two different linear models are examined, one of which belongs to the prototype, whilst the other one belongs to the improved device. The governing equations of the model of the improved device come from those of the prototype device by including the restoring force of the linear flexible element. By solving the equation systems, in addition to the amplitude–frequency functions, the expressions to calculate different power characteristics can be established as functions of the forced frequency, as well as their extremums, which were calculated both analytically and numerically. As regards the prototype device, it was pointed out that there is no forced frequency existing at which the power characteristics of the device meet the system of requirements that defines the optimum power status. The same calculations were performed on the model of the improved device, which resulted in proving that exciting the system at its natural frequency, whilst the Lehr–type damping is not significant, the device will operate under optimum power conditions, which enables us to construct the improved device in smaller size and of greater efficiency than the prototype one and as one that achieves the same manufacturing parameters. Considering Coulomb–type damping instead of the linear one, one of the simplest nonlinear models of the improved device is set up. Applying the linearization method over the phase curve, the equivalent linearized governing equation system of the non-linear system can be established from which closed formulae of the amplitude-frequency function and a certain kind of 106

measure of nonlinearity can be derived [102]. It was pointed out that the analytical expressions obtained by linearization support a good approximation of the values calculated numerically when the non-linear system is operated at its natural frequency. It is also proven and supported numerically that at certain technical parameters the measure of nonlinearity has a minimum at natural frequency with non-significant linearization error, thus the non-linear system can be assumed to be linear with a good approximation. Next the influence of the Coulomb-force on the amplitude-frequency functions was examined, which resulted in a closed formula of a certain limit friction force FS0 . As regards

 

the limit friction force, the following statements can be set up:  If the Coulomb-force acting on the system is smaller than the limit friction force, i.e. 0  FS  FS0 , then stable vibration develops;  If the Coulomb-force acting on the system is smaller than the limit friction force, i.e. 0  FS  FS0 , then the values of the amplitude curves obtained analytically are a good approximation of the values computed numerically. When the amplitude curve is known, the power conditions of the non-linear system were also investigated, and the positive effect of the appropriate flexible element was demonstrated, i.e. considering constant manufacturing parameters, and exciting the non-linear system at its natural frequency, it became possible to construct an improved device of a significantly smaller size and of increased power consumption efficiency than the prototype.

107

Irodalomjegyzék [1]

Anderson, P. M., Fouad, A. A.: Power system control and stability. Ames: Iowa States Univ. Pr., 1982-.

[2]

Andersson, S., Söderberg, A., Björklund, S.: Friction models for sliding dry, boundary and mixed lubricated contacts. Tribology International 40 (2007) 580-587.

[3]

Andreaus, U., Casini, P.: Dynamics of friction oscillators excited by a moving base and/or driving force. Journal of Sound and Vibration (2001) 245(4), 685-699.

[4]

Armstrong-Helouvry, B., Dupont, P., Canudas de Wit, C.: A survey of models, analysis tools and compensation methods for the control of machines with friction. Automatica 30(7) 1083-1138.

[5]

Aström, K. J.: Friction models and friction compensation. TDU, October 2005.

[6]

Awrejcewicz, J., Olejnik, P.: Analysis of dynamic systems with various friction laws. Appl. Mech. Rev. Vol. 58, November 2005.

[7]

Babitsky, V. I.: Autoresonant mechatronic systems. Mechatronics Vol. 5, No. 5, pp. 483495, 1995.

[8]

Babitsky, V.I., Kalashnikov, A.N., Molodtsov, F.V.: Autoresonant control of ultrasonically assisted cutting. Mechatronics 14 (2004) 91–114.

[9]

Bálint L.: A forgácsoló megmunkálás tervezése. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1967.

[10] Bánhidi L., dr. Oláh M.: Automatika mérnököknek. Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 1991. [11] Baráti A.: Szerszámgép vizsgálatok. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1988. [12] Berger, E. J.: Friction modelling for dynamic system simulation. Appl. Mech. Rev. Vol. 55, no. 6, November 2002. [13] Bohn, R. C., MacDonald, A. J.: Power and energy technology. Mission Hills: GlencoeMcGraw-Hill, 1991. [14] Bosznay Á.: Műszaki rezgéstan. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1962. [15] Bronstejn, I., N., Szemengyajev, K., A., Musiol, G., Mühlig, H.: Matematikai kézikönyv. Typotex Kiadó, Budapest, 2002. [16] Budó Á.: Kísérleti fizika II. Tankönyvkiadó, Budapest, 1979. [17] Budó Á.: Mechanika. Tankönyvkiadó, Budapest, 1988. [18] Busch-Vishniac, I. J.: Electromechanical sensors and actuators. Springer, 1999. 108

[19] Cardona, A., Lerusse, A., Geradin, M.: Fast Fourier nonlinear vibration analysis. Computational Mechanics 22 (1998) 128-142. [20] Cesari, L.: Functional Analysis and Galerkin’s Method. Michigan MAth. 11., 385-414. [21] Chapman, S. J.: Electric machinery fundamentals. McGraw-Hill, New York, 1985. [22] Cole, E. B.: The theory of vibrations for engineers. Crosby Lockwood & Son LTD., London, 1957. [23] Csáki F.: Fejezetek a szabályozástechnikából – Állapotegyenletek. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1973. [24] Csáki F.: Korszerű szabályozáselmélet. Akadémiai Kiadó, Budapest, 1970. [25] Csernák, G., Stépán, G., Shaw, S. W.: Sub-harmonic resonant solutions of a harmonically excited dry friction oscillator. Nonlinear Dynamics (2007) 50: 93-109. [26] Csernák, G., Stépán, G.: On the periodic response of a harmonically excited dry friction oscillator. Journal of Sound and Vibration 295 (2006) 649-658. [27] Demjén J., Takács Cs., Szótér L.: Fizika (Elektrodinamika, optika). Miskolci Egyetemi Kiadó, 2008. [28] Den Hartog, J. P.: Forced vibrations with combined Coulomb and viscous damping. Transactions of the ASME 53, 107-115, 1930. [29] Den Hartog, J. P.: Mechanical vibrations. McGraw-Hill Book Co., INC., New York, London, Toronto, 1956. [30] Dömötör F.: Rezgésdiagnosztika. Dunaújváros: Főisk. K., 2008. [31] Dr. Domonkos S., Dr. Papp Gy.: Villamos készülékek. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1980. [32] Dreisig, H.: Schwingungen Heildelberg, New York, 2001.

mechaniser

Antriebsysteme.

Springer-Verlag,

Berlin,

[33] Dudás I.: Gépgyártástechnológia I. II. Miskolci Egyetemi Kiadó, 2000. [34] Dupont, P., Armstrong, B., Hayward, V.: Elasto-plastic friction model: Contact compliance and stiction. To appear int he 2000 ACC; Chicago: AACC; June 2000. [35] Dwight, H., B.: Tables of integrals and other mathematical data. The Macmillan Co., New York, 1961. [36] Erdélyi F.: Szerszámgépek automatizálása II. Tankönyvkiadó, Budapest, 1990. [37] Faragó K.: Szíjhatású szerszámgép főorsók nemlineáris rezgései. Kandidátusi értekezés, Miskolc, 1985. [38] Farkas M.: Speciális függvények műszaki-fizikai alkalmazásokkal. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1964. [39] Feeny, B., Guran, A., Hinrichs, N., Popp, K.: A historical review on dry friction and stickslip phenomena. Appl. Mech. Rev. Vol. 51, no. 5, May 1998. [40] Ferri, A. A., Heck, B. S.: Vibration analysis of dry friction damped turbine blades using singular perturbation theory. Journal of Vibration and Acoustics, April 1998, Vol. 120.

109

[41] Ferri, A. A.: Friction damping and isolation systems. Transactions of the ASME, Vol. 117, June 1995. [42] Ferri, A. A.: On the equivalence of the incremental harmonic balance method and the harmonic balance-Newton Raphson method. Journal of Applied Mechanics, June 1986, Vol. 53. 455-458 [43] Fodor Gy.: A Laplace-transzformáció műszaki alkalmazásai. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1966. [44] Fodor Gy.: Elméleti elektrotechnika I. II. Tankönyvkiadó, Budapest, 1974. [45] Garcia, C.: Comparison of friction models applied to a control valve. Control Engineering Practice 16 (2008) 1231-1243. [46] Gáspár Gy.: Műszaki matematika I., II., IV. Tankönyvkiadó, Budapest, 1977. [47] Gaul, L., Nitsche, R.: The role of friction in mechanical joints. Appl. Mech. Rev. Vol. 54, no 2, March 2001. [48] Geszti, P. O.: Villamosenergia-rendszerek. Tankönyvk.iadó, Budapest, 1986. [49] Grainger, J. J., Stevenson, W. D.: Power system analysis. McGraw-Hill, New York, 1994. [50] Gröbner, F., Hofreiter, N.: Integraltafel I. II. Springer-Verlag, Wien und Innsbruck, 1949. [51] Guo, K., Zhang, X., Li, H., Meng, G.: Non-reversible friction modelling and identification. Arch. Appl. Mech. (2008) 78: 795-809. [52] Harris and Crede: Shock and vibration handbook. McGraw-Hill Co., Inc., 1956. [53] Heck, A.: Bevezetés a Maple használatába. Juhász Gyula Felsőoktatási Kiadó, Zenon Kft., Szeged, 1999. [54] Heumann, K.: A teljesítményelektronika alapjai. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1979. [55] Hinrichs, N., Oestreich, M., Popp, K.: On the modelling of friction oscillators. Journal of Sound and Vibration (1998) 216(3), 453-459. [56] Holzweißig, F., Dresig, H.: Lehrbuch der Maschinendynamik. Fachbuchverlag, Leipzig – Köln, 1992. [57] Holzweißig, F., Dresig, H.: Maschinendynamik. Springer, Berlin, Heildelberg, New York, 2005. [58] Hong, H. K., Liu, C. S.: Coulomb friction oscillator: Modelling and responses to harmonic loads and base excitations. Journal of Sound and Vibration, (2000) 229(5), 1171-1192. [59] Hong, H. K., Liu, C. S.: Non-sticking oscillation formulae for Coulomb friction under harmonic loading. Journal of Sound and Vibration, (2001) 244(5), 883-898. [60] http://en.wikipedia.org/wiki/Headphones [61] http://www.h-w-g.com/hwg/10_Lagertechnik [62] Hundal, M. S.: Response of a base excited system with Coulomb and viscous friction. Journal of Sound and Vibration, 64(3):371-378, 1979. [63] Hunyár M.: Energiatakarékos és hálózatbarát villamos hajtások. Műegyetemi Kiadó, Budapest, 1997.

110

[64] Ibrahim, R. A.: Friction-induced vibration, chatter, squeal and chaos Part I: Mechanics of contact and friction. Appl. Mech. Rev. Vol. 47, no. 7, July 1994. [65] Ibrahim, R. A.: Friction-induced vibration, chatter, squeal and chaos Part II: Dynamics and modelling. Appl. Mech. Rev. Vol. 47, no. 7, July 1994. [66] Industrial Linear Motors, LinMot Termékkatalógus, 14. Kiadás. [67] Iyengar, R. N., Roy, D.: Extension of the phase space linearization (PSL) technique for non-linear oscillators. Journal of Sound and Vibration (1998) 211 (5), 877-906. [68] Iyengar, R. N., Roy, D.: New approaches for the study of non-linear oscillators. Journal of Sound and Vibration (1998) 211 (5), 843-875. [69] Jordan, D. W., Smith, P.: Nonlinear ordinary differential equations. Oxford University Press, 1999. [70] Kármán T., Maurice A. Biot: Matematikai módszerek műszaki feladatok megoldására. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1967. [71] Karnopp, D.: Computer simulation of stick-slip friction in mechanical dynamic systems. Journal of Dynamical Systems, Measurement, and Control, March 1985, Vol. 107. [72] Kecskés G., Kugler Gy., Dr. Madarász Gy., Szandtner K.: Villamos készülékek szerkesztése és üzeme. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1979. [73] Kikuuwe R., Takesue, N., Sano, A., Mochiyama, H., Fujimoto, H.: Fixed-step friction simulation: From classical Coulomb model to modern continuous models. 2005 IEEE/RSJ International Conference on Intelligent Robots and Systems. [74] Kim, Y. B.: Multiple harmonic balance method for aperiodic vibration of a piecewiselinear system. Journal of vibration and Acoustics January 1998, Vol. 120. [75] Király B.: Dinamika: Kinematika, kinetika, rezgéstan. Miskolci Egyetemi Kiadó, 2006. [76] Klumpp, J. H., Lazan, B. J.: Frictional damping and resonant vibration characteristics of an axial slip lap joint. WADC Technical Report 54-64, March 1954. [77] Krause, P. C.: Analysis of electric machinery. McGraw-Hill Book Company, 1986. [78] Lau, S. L., Cheung, Y. K., Wu, S. Y.: Incremental harmonic balance method with multiple time scales for aperiodic vibration of nonlinear systems. Journal of Applied Mechanics, December 1983, Vol. 50. 871-877. [79] Leine, R. I., van Campen, D. H., van de Vrande, B. L.: Bifurcations in nonlinear discontinuous systems. Nonlinear Dynamics 23: 105-164, 2000. [80] Levitan, E. S.: Forced oscillation of a spring-mass system having combined Coulomb and viscous damping. Journal of the Acoustical Society of America 32, 1265-1269, 1960. [81] Li, W., Chang, C. W., Tseng, S.: The linearization method based on the equivalence of dissipated energies for nonlinearly damped structural systems. Journal of Sound and Vibration 295 (2006) 797-809. [82] Ludvig Gy.: Gépek dinamikája. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1973. [83] Makhult M.: Gépalapok rezgéstani méretezése. KGM Műszaki Tájékoztató és Propaganda Intézet, Budapest, 1962.

111

[84] Makkar, C., Dixon, W. E., Sawyer, W. G., Hu, G.: A new continuously differentiable friction model for control systems design. Proceedings of the 2005 IEEE/ASME International Conference on Advanced Intelligent Mechatronics, Monterey California USA, 24-28 July, 2005. [85] Makkar, C., Dixon, W. E., Sawyer, W. G., Hu, G.: Lyapunov-based tracking control int he presence of uncertain nonlinear parametrizable friction. 2005 American Control Conference June 8-10, 2005. Portland, OR USA. [86] Marguerre, K., Wölfel, K.: Mechanics of vibration. Sijthoff & Noordhoff, Alpen aan den Rijn, The Netherlands, 1979. [87] Meriam, J. L., Kraige, L. G., Harper, B. D.: Dynamics – Solving dynamics problems in Maple. John Wiley & Sons, Inc., 2007. [88] Mickens, R. E.: A combined equivalent linearization and averaging perturbation method for non-linear oscillator equations. Journal of Sound and Vibration 264 (2003) 1195-1200. [89] Morin, A. J.: New friction experiments carried out at Metz in 1831-1833. In Proceedings of the French Royal Academy of Sciences, volume 4, pages 1-128, 1833. [90] Mostaghel N.: A non-standard analysis approach to systems involving friction. Journal of Sound and Vibration 284 (2005) 583-595. [91] Nasar, S. A.: Schaum's outline of theory and problems of electric machines and electromechanics. McGraw-Hill, New York,1998. [92] Nataraj, C., Nelson, H. D.: Periodic Solutions in Rotor Dynamic Systems with NonlinearSupports: A General Approach. Journal of Vibration and Acoustics. 111., 187-193. [93] Natsiavas, S., Verros, G.: Dynamics of oscillators with strongly nonlinear asymmetric damping. Nonlinear Dynamics 20: 221-246, 1999. [94] Nayfeh, A. H., Mook, D.T.: Nonlinear oscillations. John Wiley & Sons, Inc. 1995. [95] Nayfeh, A., H.: Problems in perturbation. John Wiley & Sons, Inc., 1985. [96] NME Mechanikai Tanszék Munkaközössége: Dinamika V. Tankönyvkiadó, Budapest, 1981. [97] Obádovics J. Gy., Szarka Z.: Felsőbb matematika. Scolar Kiadó, Budapest, 1999. [98] Olsson, H., Aström, K. J., Canudas de Wit, C., Gafvert, M., Lischinsky, P.: Friction models and friction compensation. [99] Olsson, H.: Control systems with friction. PhD thesiswork, Lund 1996. Published by: Department of Automatic Control, Lund Institute of Technology, Box 118, S-221 00 LUND, Sweden. [100] Pálfi Z.: Villamos hajtások. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1979. [101] Patkó Gy.: Dinamikai eredmények és alkalmazások a gépészetben. A Miskolci Egyetem Habilitációs Füzetei, Miskolc, 1998. [102] Patkó Gy.: Közelítő módszer nemlineáris rezgések vizsgálatára. Kandidátusi értekezés, Miskolc, 1984. [103] Pattantyús Á. G.: A gépek üzemtana. Tankönyvkiadó, Budapest, 1950. [104] Pawluk, K., Szczepanski, W.: Lineáris villamos motorok. Műszaki Könyvkiadó, 1977. 112

[105] Pierre, C., Ferri, A. A., Dowell, E. H.: Multi-harmonic analysis of dry friction damped systems using an incremental harmonic balance method. Journal of applied Mechanics December 1985, Vol. 52. [106] Ponomarjov, Sz. D.: Szilárdsági számítások a gépészetben 6. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1966. [107] Pontrjagin, L., Sz.: Közönséges differenciálegyenletek. Akadémiai Kiadó, Budapest, 1972. [108] Popp, K.: Non-smooth mechanical systems – an overview. Forschung im ingenieurwesen 64 (1998) 223-229, Springer verlag 1998. [109] Poudou, O. J.: Modelling and analysis of dry-friction-damped structural systems. PhD thesiswork, The University of Michigan, 2007. [110] Pratt, T. K., Williams, R.: Non-linear analysis of stick-slip motion. Journal of Sound and Vibration, 74(4):531-542, 1981. [111] Ramos, J. I.: Piecewise-linearized methods for initial-value problems with oscillating solutions. Applied Mathematics and Computation 181 (2006) 123-146. [112] Randall, D. P.: Damping. http://physics.mercer.edu/hpage/damping.htm. [113] Roy, D.: Phase-space linearization for non-linear oscillators: deterministic and stochastic systems. Journal of Sound and Vibration (2000) 231 (2), 307-341. [114] Sályi B., Dr. Michelberger P., Dr. Sályi I.: Kinematika és kinetika. Tankönyv Kiadó, Budapest, 1991. [115] Sályi I.: Lengéstan: I-XII. fejezet. Tankönyvkiadó, Budapest, 1991. [116] Samoilenko, A. M., Rontó, M. I.: Numerical Analytic Methods of Investigating Periodic Solutions. Mir Publishers, Moscow, 1. [117] Shaw, S. W.: On the dynamic response of a system with dry friction. Journal of Sound and Vibration (1986) 108(2), 305-325. [118] Simodrive – Linearmotoren 1FN1-1FN3. SIEMENS Termékkatalógus, 2006. 02. [119] Simonyi K.: Villamosságtan. Akadémiai Kiadó, Budapest, 1973. [120] Sokolov, I. J., Babitsky, V. I., Halliwell, N. A.: Autoresonant vibro-impact system with electromagnetic excitation. Journal of Sound and Vibration 308 (2007) 375–391. [121] Stein, G. J., Zahoransky, R., Mucka, P.: On dry friction modelling and simulation in kinematically ecxited oscillatory systems. Journal of sound and Vibration 311 (2008) 74-96. [122] Szabó L.: Komplex teljesítmény, munka és tárolt energia. Landsys, 2004. [123] TAF – Turn and Finish – Development of a Combined Hardturning and Superfinishing Technology, Kick-Off Meeting of TAF. EU 6th Framework Programme. COOP – CT – 2004 – 508143. January, 28th 2005, Miskolc. [124] TAF – Turn and Finish – Development of a Combined Hardturning and Superfinishing Technology, 18-Months Meeting of TAF. EU 6th Framework Programme. COOP – CT – 2004 – 508143. July, 7th 2006, Bucharest. [125] TAF – Turn and Finish – Development of a Combined Hardturning and Superfinishing Technology, Final Meeting of TAF. EU 6 th Framework Programme. COOP – CT – 2004 – 508143. January, 31st 2007, Aachen. 113

[126] Thompson, J. M. T., Stewart, H. B.: Nonlinear dynamics and chaos. John Wiley & Sons, 2001. [127] Török M.: Elektronika. JATEPress, Szeged, 2000. [128] Tyurin, A. N.: Energy Interaction of Tool and Blank in Superfinishing. ISSN 1068-798X, Russian Engineering Research, 2008, Vol. 28, No. 5, pp. 450–453. © Allerton Press, Inc., 2008. Original Russian Text © A.N. Tyurin, 2008, published in Vestnik Mashinostroeniya, 2008, No. 5, pp. 52–55. [129] Uray V., Dr. Szabó Sz.: Elektrotechnika. Tankönyvkiadó, Budapest, 1974. [130] van de Vrande, B. L., van Campen, D. H., de Kraker, A.: An approximate analysis of dryfriction-induced stick-slip vibrations by a smoothing procedure. Nonlinear Dynamics 19: 157-169, 1999. [131] Voronina, S., Babitsky, V.: Autoresonant control strategies of loaded ultrasonic transducer for machining applications. Journal of Sound and Vibration 313 (2008) 395– 417. [132] Weck, M.: Werkzeugmaschinen Konstruktion und Berechnung. Springer, 2002. [133] Wiercigroch M.: Modelling of dynamical systems with motion dependent discontinuities. Chaos, Solitons and Fractals 11 (2000) 2429-2442. [134] www.hembrug.com [135] www.invictavibrators.co.uk/electrical-vibrators.asp [136] www.uni-miskolc.hu/~wwwfemsz/szabkov6.htm [137] Yeh, G. C. K.: Forced vibrations of a two-degree-freedom system with combined Coulomb and viscous damping. Journal of the Acoustical Society of America 32(10):14-24, 1960.

114

A jelölt tudományos közleményei TUDOMÁNYOS DOLGOZATOK P.1. Szilágyi A., Patkó Gy., Tajnafői J., Csáki T., Takács Gy., Demeter P.: Nagyfrekvenciás köszörűgép dinamikai vizsgálata. GÉP, LVI. Évfolyam, 2005. pp.: 171–174. P.2. Szilágyi A., Patkó Gy., Tajnafői J., Csáki T., Takács Gy., Demeter P.: Dynamic analysis of a grinding machine vibrating at high frequency – along slides. microCAD 2006 International Scientific Conference, Miskolc–Egyetemváros, pp: 61–66. P.3. Szilágyi A., Patkó Gy., Tajnafői J., Csáki T., Takács Gy., Demeter P.: Nagyfrekvenciás köszörűgép dinamikai vizsgálata. A Tudásintenzív Mechatronikai és Logisztikai Rendszerek Regionális Egyetemi Tudásközpont „INNOVÁCIÓ ÉS TUDÁS” című kiadványa, Miskolc 2006, ISBN 963 661 723 6, pp: 79–84. P.4. Csáki T., Szilágyi A., Patkó Gy., Tajnafői J., Takács Gy., Helbig, J.: Szuperfiniselő berendezés tervezése. MACH–TECH. GÉPGYÁRTÁS XLVII. ÉVFOLYAM, 2007. 2–3. SZÁM, pp.: 11–14. P.5. Csáki T., Szilágyi A., Patkó Gy., Tajnafői J., Takács Gy., Helbig, J.: Development of a Superfinishing Device. 8th REM2007 June 14–15, Tallin – Estonia. ISBN: 978-9985-59707-1, pp.:124–127. P.6. Szilágyi A., Patkó Gy., Takács Gy.: Improvement of a Superfinishing Device Based on Dynamical Analysis. 8th REM2007 June 14–15, Tallin – Estonia. ISBN: 978-9985-59-7071, pp.:128–130. P.7. Szilágyi A., Patkó Gy., Demeter P.: Szuperfiniselő berendezés dinamikai vizsgálata. X. Magyar Mechanikai Konferencia, 2007. augusztus 27–29, Miskolc, pp: 95. P.8. Szilágyi A., Csáki T., Patkó Gy., Tajnafői J., Takács Gy., Helbig, J.: Development of a Superfinishing Combined Process. ISSN 1215–0851 pp. 367–372. 12th ICT, Univ. of Miskolc, 6–8th Sep. 2007. P.9. Patkó Gy., Takács Gy., Szilágyi A.: A new dynamical concept of a superfinishing device driven by a linear motor unit. THE INTERNATIONAL CONFERENCE OF THE CARPATHIAN EURO-REGION SPECIALISTS IN INDUSTRIAL SYSTEMS 7 th EITION, 21–23 May, 2008, Baia Mare, Romania. ISSN: 1224–3264.

115

P.10. Patkó Gy., Tajnafői J., Takács Gy., Csáki T., Szilágyi A., Demeter P.: Integrált szuperfiniselő berendezés. Gépgyártás, XLIX. Évf., 2009. 4 – 5. sz., pp: 11–17. P.11. Patkó Gy., Takács Gy., Szilágyi A.: The dynamical behaviour of a superfinishing device of a new type. Сучасні технології в машинобудуванні [Текст]: зб. наук. праць. –Вип. 3. / редкол.: В. О. Федорович (голова) [та ін.]. – Харків : НТУ «ХПІ», 2009.–С. 69-75.

ELŐADÁSOK E.1. Szilágyi A., Patkó Gy., Tajnafői J., Csáki T., Takács Gy., Demeter P.: Nagyfrekvenciás köszörűgép dinamikai vizsgálata. Géptervezők és Termékfejlesztők XXI. Országos Szemináriuma, 2005. november 11-13, Miskolc. E.2. Szilágyi A., Patkó Gy., Tajnafői J., Csáki T., Takács Gy., Demeter P.: Dynamic analysis of a grinding machine vibrating at high frequency – along slides. microCAD 2006 International Scientific Conference. E.3. Csáki T., Szilágyi A., Patkó Gy., Tajnafői J., Takács Gy., Helbig, J.: Szuperfiniselő berendezés tervezése. „SZERSZÁMGÉPEK, SZERSZÁMOK, SZERSZÁMANYAGOK”. MACH–TECH, 2007. május 10., HUNGEXPO Budapest. E.4. Csáki T., Szilágyi A., Patkó Gy., Tajnafői J., Takács Gy., Helbig, J.: Development of a Superfinishing Device. 8th REM2007 June 14–15, Tallin – Estonia. E.5. Szilágyi A., Patkó Gy., Demeter P.: Szuperfiniselő berendezés dinamikai vizsgálata. X. Magyar Mechanikai Konferencia, 2007. augusztus 27–29., Miskolc. E.6. Szilágyi A., Csáki T., Patkó Gy., Tajnafői J., Takács Gy., Helbig, J.: Development of a Superfinishing Combined Process. 12th ICT, Univ. of Miskolc, 6–8th Sep. 2007. E.7. Patkó Gy., Takács Gy., Szilágyi A.: A new dynamical concept of a superfinishing device driven by a linear motor unit. THE INTERNATIONAL CONFERENCE OF THE CARPATHIAN EURO-REGION SPECIALISTS IN INDUSTRIAL SYSTEMS 7 th EITION, 21–23 May, 2008, Baia Mare, Romania. E.8. Szilágyi A.: Új típusú szuperfiniselő berendezés tervezése és dinamikai vizsgálata. MTA GAB–Mechanizmusok Bizottsági ülés, 2008. május 7., BME.

116