30
4. Mocniny a odmocniny 4.1 Mocninv s prirozenÝm exponentem S mocninami s prirozeným exponentem jste se již sesnámili na základní škole. V této kapitole si zopakujeme definici a základní pravidla pro pocítání s mocninami s prirozeným exponentem. Definice: N
-tou mocninou císla a rozumíme císlo d, kde
a je reálné císlo~zvané základ,
n je prirozenécíslo,zvanéexponent(moC1Utel). PnceIDŽplatí: d = a. a. a. ... . a. Napr.: 24 = 2. 2 . 2 . 2 = 16
(~r =~.~.~
= :7
~
(-3)- = (-3). (-3). (-3). (-3) . (-3) = -243 Základní pravidla pro pocítání s mocninami s prirozeným exponentem: Pro každé reálné císlo a :1= O, b O a pro každé prirozené císlo r, s platí: :1=
I. ar. d = ar',v
o" Mocniny se stejným základem násobme tak, že základ umocnime
..
souctem
exponentu.
(Napr.
23.
=
25
28 =256)
U. ar : d = ar-.. ... Mocniny se"stejným základem delime tak, že základ umocnime rozdílem exponentu. (27 : 25 = 22 = 4) m. (ar)' = ar.s 0.0 Mocniny umocnime tak, že jejich základ umocnime soucinem
exponentu.(Napr;(22t =
26
= 64)
IV. (a. br = ar. br o.. Soucin mocnin umocnime tak, že zvlášt umocníme každého cinitele. (Napr. (2 . 3)3 = 23. 33 = 8. 27 = 216) r a ar V -b - b" ... Zlomek umocnime tak, že umocnime zvlášt citatele ijmenovatele.
. ()
(Napr.
2 3
3
()
23
8
=-=-) 33 27
Poznámka: Scítání a odcítání lze provést jen pro mocniny se stejným základem i exponentem. (Napr. 4X2+ 5~ = 9~)
POZOR!!! d
.
+ d
(a +
:1=d+s
br
::j;
32+33::j;
d + br
(2
+
3i
::j;
32+3
22 -j! 32
Príklad 34: Vypoctete za predpokladu, že žádné z císelnení rovno nule:
a) (x' .
:J .[C)'J
b) (2a3 b4t
"
1313-
Rešení: a) (x' . x')
.[
U]
: (2abt
3 316
131
= (~) .U ~x'. x' :. = x' ~
b)(2a3b4t : (2ab)3 = (16aI2bI6) : (Sa3b3) = 2d bI3 Príklad 35: Rozložte císla na soucin prvocísel: a) 98, b) 124 Rešení: a) 98 = 2.49 = 2.72 ., b) 124 = 2. 62 = 2. 2 o31 = 2- . 31
31
4.2 Mocninv s celocíselným exponentem V predcházející kapitole jsme si zopakovali definici a základní pravidla pro pocítání s mocninami s prirozeným exponentem. V této kapitole pojem mocniny s prirozeným exponentem rozšíríme tak, že exponentem mohou být i císla opacná k prirozeným císlum a císlo nula. Príklad 36: Vydelte: a) 27 : 25, b) 25 : 27, c) 25 : 25. Rešeni: a) 27 : i; = 27-5 = 22 = 4
~27
b) 25 : 27 =
5
=
-7
nebo = 2
"
"
~22 = ~4 1
-2
"
-
1
()
=2 = 2
=
1
22
-
4
25
c) 2- : 2-
..
=""5 = 1 2 nebo = 25- 5 = 2° = 1
Z príkladu 36 b) => T2 = (~)2
... I zobecnení: dm = (~)m platí \i a E R -{O}, mEZ
<-
Z príkladu 36 c)
:::::;>
2° = 1
...1 zobecnení: aO = 1 platí \i a E R -{O}
I
POZllámka:Mocninu se zápo_;tmexponentem lze prevést na mocninu s kladným exponentem a to tak, že hodnotu",základumocniny prevrátíme. 1 3 13 1 ,
Napr.
(4r3 =:t
()
=
(~r =,[il O 5-1
,
= ~
() 05 ,
1
43
=
=
(~r
-
{O}, mEZ:;
:
=
.
1
=
O,5 =
m
Zobecnení: \i a, bER
64
()
2 b
=
-m
(a)
32
Základní pravidla pro pocítání s moctrinami s éelocíselnýmexponentem:
t.
aU
=
1
2. a-ni = (~)m, 3. ar, d = ar + ""
(~)m = (:)-m, a,b *
O
4. ar : d = ar-s 5. (a,' "br =,. ar,s br
.
6 (a ) = a' r
a
()
7.
-
b
ar
=-
,
br
b :;f::.O
Príklad 37: Zjednodušte:
Rešení:
a) (2:C y-3 Z-I) . (-5X5 y-3 z) b) (3X3y-Z zr2 c) (24~ y-1Oz): (-6xl Z=3)
a)(2x2 y-3 Z-I). (-5x5 y-3 z) = _JOX7 y-6 ZO = -lOX7 y6 4
..
C-.
~9X6Z2
b) (3x3 y-2 zr2 = r2 X~)'4 z=2 =
...
c)(24x5 y-IOz) : (-6x
(- ~)
Príklad 38: Vypoctete ~
~
,
Resenz:
1 2
2
2
2
-3
(- ) +"3( ) -
-1
6
I
+
Z-3)
=
(~)-3 -
-4x4 y-12 Z4
_4X4Z4
=
y
u
6-1
3 3 1 1 27 1 = -+--= 4 + 2) - 6" 4 8
(
1 6+81-4 = 6 24
83 24
=-
152.93.16 Príklad 39: Vypoctete 123.252 I 52. 93, 16 v,
Rešelll:
123,25-
..,
2
(3, 5}2,~)3.
24
=3
(22.3)3. (52l
52 36 2 4 ,
-
26.33,54
-
,
,
2
4
38 52 . , 26.33.54
- -
35
22,52
2 43
--
-
- 100 -
243
,
Poznámka: Zavedení moctrin s celocÍSelným exponentem umožnuje také strucnejší a prehlednejší zápis cÍSelve tvaru a, IOn,kde 1 :5;a < IDa n E Z, Príklad 40: Zapište následující císla ve tvaru a. IOn,kde 1 :5;a < IDa n E Z: a) 0,0002 b) 3 500000 Rešení: a) O,000 2 = 2. 10-4 b) 3 500000 = 3,5 . 106 Príklad 41: Vypoctete co nejjednodušeji:
a) 0,00000024 : 6000 b) 18000000 . 0,002 Rešení: a} 0,00000024 : 6000 = (24,10-8) : (6.103) = 4, 10-8-3 = 4. lO-1l b) 18000000 , 0,002 = 18, 106 . 2. 10-3 = 36. 10 6-3 = 36, 103 = 36000
33
4.3 Druhá a tretí odmocnina Definice: Druhá odmocnina libovolného nezáporného císla a je takové nezáporné císlo x, pro ' '> ' k.tere plati x- = a. zapisujeme:
~
Napr.: J25 = 5, protože 52 = 25 Vlastnosti druhé odmocniny:
G
1
1. -va- = la
... pro a E R
1
2. (~r = a 3.~.Jh =
... pro a ~ O
0
~
J;;
4. Jh = Vb ' POZOR!!! ..
pro b * O
~ +.Jh * .Ja+b .r;; - Jh * .Ja-b.
Príklad 42: Vypoctete: a) Z . (.J2 - .J3) + 3 . (2J3 + 3.J2 )
b) J2 .(.J3- ./5)- J3 . (zJ2 -,[3) c) (z.J3-.J2)2 -(3.J2 +.J3)2 Rešení:
a) Z . (J2 -,[3) +3. (2J3 + 3.J2) = zJ2 - z,[3 + 6,[3 + 9J2 = IIJ2 + 4.J3 b) J2 .(.J3-./5)-J3.(z.J2-,[3) = -I6--J1O-Z../6+3=3--I6--J1O
c) (2J3-J2)2_(3J2+J3f
= (2,[3Y-z.zJ3.J2+(J2f
-(3J2Y-
-Z. 3J2 .,[3 -(J3r = 12- 4../6+ 2-18- 6-16- 3 = -7 -10-16 Pokud se ve jmenovat. zlomku vyskytují odmocniny, je treba je odstranit. Tento postup se nazývá usmernováni zlomku. Usmernování je vlastne rozširování zlomku, jak jej znáte ze základní školy. Zlomky se usmernují proto, že se tím ulehcí numerický výpocet. Tak napr. k
.
~
približnému vycísleni zlomku
ve tvaru desetinného císla bychom museli provést delení
I : 1,732, usmernime-li tento zlomek vynásobením citatele i jmenovatele císlem J3 lI .J3 .J3 v .. V' v . vv' v , v, d D eIcm' treIll1Je I 1 732 . ostaneme r:::= r:::' r::: = . urclte Je dno dUSSlnez de}cm CISem, ,,3 ,,3 -- ,,3 3 V
V
Príklad 43: Odstrante v následujících zlomcích ze jmenovatele odmocniny: 2
a) J2
b
1
) J2-J3
l-J3
c) 1+J3
34
~J2
Rešení: a)
~..Ji = z-12=J2 J2.Ji Z
=
b) Abychom se zbavili odmocnin ve jmenovateli musíme zlomek rozširit ..[2 + J3 a lim potom využili vzorce (a - b). (a + b) = a2 - b2 1
J2 +J3
1
Ji -/3
J2 +J3
Ji +J3
- .Ji - /3 . ..[2+/3 = (.Ji -/3). (..[2+/3) = (Ji)2 _(/3)2
= J2 +J) = J2 +J) :;;-J2-J) 2-3 -1 c) I-J)
= 1-J3
I+J3
l-J)
1+/3'
I-J)
= 4- ZJ) = -Z .(-Z+J3)
-2
..
-2
=
(1-J)2
(1+J).(I-J)
= l-ZJ3+3
= 4-ZJ)
e-(/3i
1-3
=
= -Z+/3 = /3- Z
Cástecné odmocnování Pri cástecném odmocnování se sn~e o to, aby byl základ odmocniny co možná nejmenší prirozené císlo. Dosáhneme toho tak, že císlo pod odmocninou rozložíme na soucin dvou cinitelu,pricemž jeden z nich lze odmocnit. Príklad 44: Cástecne odmocnete:
....
a)
J8
b)ffi
c) -JIZ5
J8 =F2 =.J4.Ji = z.Ji
Rešení: a)
b)
.J4i,= J4:1i =.J4.m =2m = ,jZ5. 5 =.J25 ..J5 = 5.J5
c) .J125
Príklad 45: Vypoctete .J24 - .J63 +.J54 - J28 . Rešení: Tyto odmocniny nelze secíst, protože mají ruzný základ. Cástecným odmocnením se pokusíme odmocniny zjednodušit. .J24-.J63+J54 [28 = F:6 - J9:7 +..[9:6-.J47i = z-16 - 3..[7+ . + 3.J6
-
z..[7
= 5-16 - sJ7 = 5.(-16- ..[7)
.
Príklad 46: Vyjádrete jedinou odmocninou: a)
Rešení: a) 3../8 b)
3J8
b) 2.J5
c)4~
= .J9.../8= J72
zJ5 = .J4.J5=J20 [3
c) 4
Vi =
(3
~
.J16'Vi = ~16'i = J6
Definice: Treli odmocnina libovolného nezáporného císla a je takové nezáporné císlo x, pro vv 3 nez p1atí x = a. zapisujeme: if;; T
Napr. V27 = 3, protože 33 = Z7
I
I I I I I i I i I '--1 I
[
35
Vlastnosti tretí odmocniny: . a -> O 1. 3/3 "a- -- a... prQ
2. V;; . Vb = Va. b V;;
t
3. 3r; =3 b ~b -
0'0
pro b"* O
3\15 Príklad
47: Usmernete
v?,'
zlomek
Rešeni: 3V5 = YJ5 . if32 V?, V?,
W
= 3~
= YJ45 = YJ45 = V45
V3.32
Príklad 48: Cástecne odmocnete:
a)
if33
3
Vi4
b) V7 000
Rešení: a) V24 = V8. 3 = VS. V?,::=2v?' b) V 7 000 = V 1000 . 7 = VI 000 . V3 = lOV?
.t 4.4 N - tá odmocnina Definice:N - tá odmocnina z.nezáporného reálného císla a je takové nezáporné reálné císlo x; pro které platí x" = a. zapisujeme: V;; a... odmocnenec,n ... odmocnitel Napr.: - Vl6 = 2, protože 24 = 16 Vlastnosti n - té odmocnmy: 1. V;; . 9Jb = if;J;
V a. b E Ru+, V m, n, pEr:
if;;
r
.
r
4.
~
5. n_-flam.p
2. Vb = Vb b"*O
3.{V;;r
~~ =n.~ = '{jam
~
::=
POZOR !!! Scítat a odecítat lze jen odmocniny se stejným odmocnencem i odmocnitelem.
r r
Príklad49:Zjednodušte: a) 2V4+ 3.fi - if4 - .Ji Rešení:a) 2V4+ 3.Ji - if4 -.Ji b) ~ +VY-4VY+5~
r r
r
b) ~ +VY - 4VY+ sVX
= (2if4 - V4)+ (3.fi -.Ji)
=V4 + 2.Ji
= (V; +sVX)+(VY-4VY) = 6~-3VY
Príklad 50: Podle vety o násobení odmocnin zjednodušte pro a, x, y ~ o: a)
U .V
Rešení: a) V;;; . if;1
b) V24. 3-2 . V2 .3-3
= Va15 = V(a3)4. a3 = V(a3)4 . if;l
c) 7Jx2y5 . 7Jx3y . 7Jx9y
= a3 if;l
