MUNGKINKAH MELAKUKAN PERUMUMAN LAIN ATURAN SIMPSON 3/8 Supriadi Putra & M. Imran Laboratorium Komputasi Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Binawidya Pekanbaru (28293)
[email protected]
ABSTRAK Dalam makalah ini akan dijelaskan perumuman aturan Simpson 1/3 yang telah dilakukan oleh Horwitz [4], yaitu dengan menggabungkan penggunaan sekaligus Aturan Trapesium dan Titik Tengah. Memanfaatkan teknik Hortwitz ini, penulis mencoba hanya dengan menggunakan Aturan Trapesium saja sehingga diperoleh perumuman lain dari Metode Simpson 3/8. Kata Kunci : Aturan Trapesium, Aturan Simpson 1/3, dan Aturan Simpson 3/8. PENDAHULUAN Dalam komputasi numerik perhitungan dengan menggunakan Aturan Trapesium dan Simpson sudah biasa digunakan [1,2,3,5]. Ide penggunaan aturan Trapesium yaitu dilakukan dengan menggunakan dua perhitungan fungsi f pada interval
dengan
menggunakan garis secant pada nilai ujung kedua fungsi. Hampiran ini eksak untuk semua fungsi linear dengan galat lokal Mengikuti pola hampiran di atas, perbaikan menggunakan hampiran fungsi kuadratik akan lebih baik. Dalam hal ini diperlukan tiga perhitungan fungsi, yaitu nilai fungsi pada kedua ujung interval dan nilai fungsi pada titik tengah interval. Aturan ini menghasilkan formula dengan galat lokal
dan dikenal dengan Aturan Simpson
1/3. Hampiran integral menggunakan empat titik perhitungan fungsi, yaitu nilai fungsi pada kedua ujung interval dan nilai fungsi pada dua titik tengah interval, menghasilkan Aturan Simpson 3/8 dengan galat lokal Eugeln-Mullges & Uhlig [3] merekomendasikan bahwa untuk mendapatkan galat global
sebaiknya digunakan penggabungan Aturan Simpson 1/3 dengan Aturan
Simpson 3/8 jika inverval [a,b] tidak mungkin dibagi dalam bentuk 2n atau 3n subinterval.
1
Mereka juga merekomendasikan Aturan Simpson 1/3 atau Aturan Simpson 3/8 untuk keakuratan yang moderat kecuali untuk fungsi yang periodik, Aturan Trapesium lebih baik. Horwitz [4] menunjukkan bahwa Aturan Simpson 1/3, S, dapat dinyatakan dalam bentuk jumlah Aturan Trapesium, T, dan Aturan Titik Tengah, M, yaitu
Yang menarik dari hasil ini adalah gabungan dari dua metode pendekatan yang masingmasingnya mempunyai galat lokal metode dengan galat lokal
, eksak untuk fungsi linear, menghasilkan suatu
yang eksak untuk polinomial berorde tiga.
Untuk ide yang sama, Sputra & Imran [6] telah menunjukkan bahwa Aturan Trapesium baru, Tbaru dapat dinyatakan dalam bentuk jumlah dua Aturan Trapesium T lain, yaitu
Bentuk baru penulisan Aturan Trapesium ini ternyata berhasil meningkatkan galat lokal Aturan Trapesium dari
ke
. Disamping itu, hasil yang didapat
juga menunjukkan cara lain bagaimana mendapatkan Aturan Simpson 3/8. Berdasarkan ide penulisan persamaan (1), Horwitz [4] telah berhasil memperumum
Aturan simpson 1/3 dengan menggunakan Polinomial Taylor sebagai pengganti Aturan Trapesium, TG dan Aturan Titik Tengah, MG. Beliau menghasilkan bentuk formula Simpson 1/3 diperluas
METODE Untuk mendapatkan perumuman lain dari Aturan Simpson 3/8 akan dianalisa penerapan aturan Trapesium seperti dalam [6] dengan melibatkan Polinomial Taylor khususnya orde 2. Kemudian dilakukan modifikasi, untuk menentukan dua konstanta yang tepat sehingga 2
diperoleh bentuk perumuman lain dari Aturan Simpson 3/8 dengan galat lokal Proses penentuan kedua konstanta ini dilakukan melalui simulasi dengan menggunakan software Matlab 5.3 Release 11 pada Notebook Pentium III 800 MHz dengan memory 256
MB.
HASIL DAN PEMBAHASAN Ide Horwitz [4] seperti yang diberikan oleh persamaan (3, 3a-b) memungkinkan untuk menyajikan Aturan Simpson 3/8 dalam bentuk jumlah dua metode metode yang lebih kecil, dalam hal ini adalah Aturan Trapesium. Selain itu juga memungkinkan untuk memperumum Aturan Simpson 3/8 dengan melibatkan polinomial Taylor sebagai fungsi yang akan dihitung. Misalkan interval [a,d] dibagi menjadi 3 subinterval dengan panjang h = ( d − a ) / 3 Selanjutnya diterapkan Perumuman Aturan Trapesium, T1G, untuk interval
utama [a,d] dan Perumuman Aturan Trapesium, T2G, untuk interval [b,c] seperti yang disajikan oleh Gambar 1 pada halaman berikut. Kemudian definisikan formula baru TG sebagai pendekatan integral fungsi f pada [a,d] sebagai :
3
Simulasi. Untuk mendapatkan kombinasi α dan β yang optimal seperti pada persamaan (4), yaitu diperolehnya galat yang kecil dari pendekatan TG terhadap integral fungsi f pada interval [a,d] dapat dilakukan dengan uji komputasi dengan menggunakan fungsi galat, erf(1) sebagaimana yang telah digunakan oleh Kahler et al. [5], yaitu :
Dalam hal ini diambil masing-masing 100 nilai α ∈ (0,1) dan β ∈ (0,5) , sehingga terdapat
sebanyak 10.000 pasangan yang mungkin. Disamping itu komputasi dilakukan untuk nilai 3n, n=1, 2, 3, 5, 10, 50, dan 100 (Tabel 1 halaman berikut). Untuk menlihat kecenderungan posisi terbaik maka pasangan α dan β yang menghasilkan galat pendekatan
yang kecilnya diurutkan.
4
Kemudian pasangan ini diplot pada bidang sehingga terlihat hasil seperti yang diberikan pada gambar 2 berikut.
5
Adapun posisi minimum terbaik untuk pasangan α dan β dapat dilihat dengan memplot log dari nilai galat pendekatan terbaik yang ditampilkan seperti di Gambar 3. Dari hasil simulasi terlihat bahwa, untuk berbagai nilai n, kombinasi nilai α=3/4 dan β=2 merupakan kombinasi terbaik untuk mendapatkan galat pendekatan yang kecil, lihat Tabel 1. Selanjutnya setelah mensubstitusikan nilai α=3/4 dan β=2 ini serta persamaan (4a) dan (4b) ke persamaan (4) akan diperoleh hasil sebagai berikut:
Dengan menyusun kembali suku-suku di ruas kanan (5) diperoleh
KESIMPULAN Ide Horwitz [4] seperti yang diberikan oleh persamaan (3,3a-b) memungkinkan untuk menuliskan dalam bentuk lain, yaitu bentuk penjumlahan dua metode berorde yang lebih kecil, dalam hal ini adalah Aturan Trapesium. Dengan menggunakan analogi seperti hasil yang telah diberikan oleh [6], persamaan terakhir yang diperoleh ini diperkirakan juga merupakan bentuk penulisan lain dari Aturan Simpson 3/8.
DAFTAR PUSTAKA 1. Atkinson, K.E. 1989. An Introduction to Numerical Analysis. New York: Wiley. 2. Davis, P.J. & Rabinowitz, P. 1984. Methods of Numerical Integrations, Seconds Edition. San Diego : Academic Press. 3. Engeln-Mullges, G. & Uhlig, F. 1996. Numerical Algorithms with C. Berlin: Springer Verlag. 4. Horwitz, A. 1993. A Generalization of Simpson’s Rule, Approx. Theory & Application. 9:71-80. 5. Kahaner, D., Moler, C., & Nash, S.1989. Numerical Methods and Software. New Jersey: Prentice Hall. 6. Putra, S. & Imran, M. 2005. Strategi Baru Penerapan Aturan Trapesium. Jurnal Nature Indonesia. 7(2): 99-102. 6
