7. Základy lineární teorie kmitání s jedním stupněm volnosti Úvod V této kapitole bude ukázán přístup k sestavení pohybové rovnice s využitím Lagrangeových rovnic druhého druhu a jejich analýza. Jeden stupeň volnosti se v současné době zejména s rozšířenou aplikací metody konečných prvků může zdát velmi jednoduchá, avšak z pohledu závěrů má podstatně obecnější platnost. Navíc pro určité soustavy s mnoha stupni volnosti lze použitím speciálních metod mechaniky soustavy zredukovat na jeden stupeň volnosti.
Obr. 7.1 Na obr. 7.1 je nakresleno schéma soustavy, která kmitá s jedním stupněm volnosti. Zobecněná souřadnice může mít charakter posunutí a má v takovém případě rozměr m. V případě torzního kmitání má charakter natočení a má , nebo a zrychlení mají rozměr , nebo . Tomu rozměr rad. Dále pak rychlosti mají rozměr odpovídá i zobecněná vnější síla (buzení), která má pro první případ rozměr a ve druhém případě má charakter . Těmto dvěma nejrozšířenějším případům odpovídá i charakter setrvačného, pružného a momentu s rozměrem tlumícího členu. V prvním případě má setrvačný člen charakter hmotnosti s rozměrem kg a ve druhém případě moment setrvačnosti (v případě torzního kmitání) s rozměrem . V případě lineárního pružného členu má tuhost pružiny rozměr a ve druhém případě . Obdobná situace je také u tlumícího členu. V prvním případě má rozměr a ve druhém případě ilustrativní obrázek, nikoliv jako výpočtový model.
. Je tedy zřejmé, že obrázek 7.1 lze chápat jako
Poněkud jasnější situace je, v případě stanovení sil (momentů) v pružném a tlumícím členu. Síla v pružném členu i s uvedením zmíněných dvou případů zobecněných souřadnic je dána vztahem (7.19) Síla v tlumícím členu i s uvedením zmíněných dvou případů zobecněných souřadnic je dána vztahem (7.20)
V případě torzního kmitání se jedná o torzní pružinu a torzní tlumič. Tlumícím členům se říká viskózní, protože silové (momentové) účinky jsou lineárně závislé na rychlostech ( úhlových rychlostech). V dalším bude věnována pozornost na stanovení kinetické a potenciální energie, zatlumené funkce a práce vnějších sil, které nemají potenciál. Tyto veličiny jsou nutné pro dosazení Lagrangeových rovnic druhého druhu. Pro kinetickou energii platí vztah (7.21) Pro potenciální energii platí vztah (7.22) Pro zatlumenou funkci platí vztah
(7.23) Pro práci vnějších sil, které nemají potenciál platí vztah (7.24) a v případě výkonu (7.25) Po dosazení do Lagrangeových rovnic druhého druhu a provedení příslušných derivací se obdrží rovnice (7.26) kde je zobecněná souřadnice, zobecněné buzení.
je zobecněná hmotnost,
je zobecněné tlumení,
je zobecněná tuhost a
je
Rovnice (7.26) je nehomogenní lineární diferenciální rovnice druhého řádu s konstantními koeficienty. Její řešení, jak je známo z matematiky, se skládá z řešení homogenní části a partikulárního integrálu. Nejdříve bude věnována pozornost řešení homogenní části.
Volné tlumené kmitání Homogenní rovnice má tvar (7.27) Obecné řešení je dáno ve tvaru (7.28) a jsou integrační konstanty, které se stanoví z počátečních podmínek a kde charakteristické rovnice. Tato má tvar
a
jsou kořeny
(7.29) Odtud je řešení dáno vztahy
(7.30) Podle znaménka pod odmocninou je určen celkový charakter čísel . Tato čísla se nazývají vlastní čísla soustavy. V případě jejich reálné hodnoty výsledný pohyb nebude kmitavý, ale bude probíhat po exponenciále. V případě záporné hodnoty bude děj utlumen (stabilní pohyb) a v případě kladné hodnoty bude výchylka neustále narůstat.Výsledný pohyb bude nestabilní. pro praxi mnohem zajímavější případ nastane, když znaménko pod odmocninou bude záporné. V takovém případě je výhodnější rovnici (7.30) přepsat do tvaru
(7.31) Odtud je zřejmé, že vlastní čísla jsou komplexně sdružená. Reálná část má charakter tlumení a je často označována koeficient doznívání
(7.32) V rovnici (7.31) dále je
(7.33) vlastní frekvence volného netlumeného kmitání. Pokud je požadován výsledek frekvence v
, pro přepočet platí
vztah . Vlastní frekvence volného netlumeného kmitání je jedna z nejdůležitějších charakteristik kmitavých dynamických systémů. V případě kmitání s jedním stupněm volnosti se obdrží hodnota jedna, v případě kmitání dynamických soustav s n stupni volnosti má soustava n vlastních frekvencí. V rovnici (7.31) dále je (7.34) vlastní frekvence tlumené soustavy. Z tohoto vztahu je dále zřejmé, že tlumení snižuje vlastní frekvenci. Kritické tlumení je charakterizováno tím, že vlastní frekvence tlumeného kmitání je nulová. Úpravou vztahu (7.34) pro tento případ se obdrží pro kritické tlumení vztah (7.35) Vlastní čísla jsou tedy komplexně sdružená, jak je i zřejmé z následujícího vztahu (7.36) V případě, že reálná část vlastního čísla je záporná, výsledný děj je kmitavý s frekvencí rovnou vlastní frekvenci tlumené soustavy s postupně se snižující amplitudou (stabilní kmitání). V případě, že reálná část vlastního čísla je kladná, výsledný děj je opět kmitavý s frekvencí rovnou vlastní frekvenci tlumené soustavy s postupně narůstající amplitudou (nestabilní kmitání). Z toho je zřejmé, že reálná část komplexního vlastního čísla je jedním z významných charakteristik, na základě kterého lze charakterizovat stabilitu kmitání.
Z pohledu kmitání soustavy, které je dáno rovnicí (7.28) pro stabilní dynamický systém přechodové a po určité době odezní. Tato analýza je důležitá zejména při přechodových stavech. V technické praxi se v souvislosti s vlastními čísly zavádí pojem poměrný útlum. Ten je dán vztahem
(7.37) V této souvislosti je nutno se zmínit i o logaritmickém dekrementu tlumení. Ten je dán jako přirozený logaritmus dvou po sobě následujících amplitud, tedy vztahem
(7.38)
Vynucené ustálené kmitání Nehomogenní rovnice má tvar (7.39) Výsledná odezva, jak již bylo uvedeno je dána součtem homogenní části (přechodový děj) a ustálené složky kmitání, tedy z pohledu matematiky partikulárním integrálem. Tento integrál má tvar v závislosti na tom, jaké je buzení. V podstatě jeden způsob řešení je odhad odezvy v závislosti na tvaru pravé strany diferenciální rovnice.
Harmonické buzení Jeden nejčastější případ technické praxe je harmonické buzení, tedy pohybová rovnice má tvar (7.40) V obecném případě může být amplituda budících sil komplexní. je budící frekvence. S ohledem na pravou stranu, lze i odhadnout, že i odezva (partikulární integrál) bude mít harmonický charakter s frekvencí rovnou budící, tedy ve tvaru. (7.41) Amplituda kmitání je zde komplexní. Po dosazení do (7.40) se pro komplexní amplitudu obdrží vztah (7.42) Na základě reálné a imaginární části lze obdržet amplitudu kmitání a fázi. Pro obě veličiny platí vztahy
(7.43)
(7.44)
Fázový úhel je úhel mezi odezvou a budící silou. Oba děje jsou harmonické s různým fázovým posunutím. Nulový fázový úhel znamená, že v souladu se směrem budící síly se pohybuje i těleso.
Obr. 7.2
Obr. 7.3 Vztahy (7.43) a (7.44) jsou důležité pro sestrojení amplitudové a fázové charakteristiky (amplitudo-frekvenční a fázově-frekvenční). Na vodorovných osách se vynáší budící frekvence a na svislých amplituda a fáze. Obě charakteristiky jsou na obr. 7.2 a 7.3. V podstatě mohou nastat tři případy. Buď je vlastní frekvence v pásmu provozního buzení a dochází k tzv. rezonanci. Nebo je vlastní frekvence nižší, než je pásmo provozního buzení, tomuto stavu se říká nadrezonanční, nebo je vlastní frekvence vyšší, než je pásmo provozního buzení, tomuto stavu říkáme podrezonanční. Je zřejmé, že z hlediska provozní bezpečnosti, kdy amplitudy dosahují nejnižších hodnot je v případě podrezonančního provozu. Tyto tři typické případy jsou nakresleny na obr. 7.4.
Obr. 7.4 Pro nulovou budící frekvenci je amplitudová odezva dána vztahem (7.45) což je v podstatě případ statiky, resp. pružnosti a pevnosti. podstatné ale je, že amplituda není nulová. Maximální amplitudy je dosaženo pro netlumené kmitání a pro stav, kdy je budící frekvence rovna vlastní netlumené frekvenci. tento stav se nazývá rezonanční a v provozních podmínkách bývá jako jeden z nejnebezpečnějších. Zpravidla je snaha se mu vyhnout. I v případě tlumených soustav je amplituda vyšší, než jsou statické amplitudy. Tomuto jevu se říká dynamické zesílení. Pro nekonečně velkou budící frekvenci se amplituda kmitání blíží k nule. Poznámka •Ke stejným výsledkům lze rovněž dospět na základě řešení v reálném oboru. buzení má v tomto případě sinovou a cosinovou složku. Obdobně je to s předpokládaným řešením ve tvaru součtu obou složek. •V případě tuhostí, případně potenciálních energií je nutno vidět souvislosti s analýzou úloh pružnosti a pevnosti. Podélné kmitání má ekvivalent v tahu-tlaku, torzní kmitání v krutu. Poněkud komplikovanější situace je u ohybu, kde jak je známo, průřez se při současném posunutí i natočí. V této souvislosti nejjednodušší případ ohybového kmitání má dva stupně volnosti
Buzení nevývahou
Obr. 7.5 Další velmi častý případ technické praxe je buzení od nevývahy, tedy v podstatě buzení odstředivou silou. Z pohledu aplikace v dynamice rotorových soustav střed hřídele kmitá v rovině kolmé na spojnici ložisek. Pro zjednodušení bude uvažováno kmitání pouze v jednom směru, jak je zřejmé z obr. 7.5. Pro jednoduchost nebudou uvažovány pasivní odpory ve stykové ploše mezi tělesem a základním tělesem. Pohybová rovnice má tvar (7.46) kde člen se nazývá nevývaha a je známá z vyvažování a je odstředivá síla. Řešení zde na rozdíl od předchozího případu bude provedeno v reálném oboru. S ohledem na pravou stranu, lze i odhadnout, že i odezva (partikulární integrál) bude mít harmonický charakter s frekvencí rovnou budící, tedy ve tvaru. (7.47) Po dosazení do (7.46) se obdrží dvě rovnice pro dvě neznámé složky odezvy
(7.48) a pro amplitudu kmitání
(7.49) Vztah (7.49) slouží pro sestrojení amplitudové charakteristiky (amplitudo-frekvenční), který je na obr. 7.6.
Obr. 7.6
Kinematické buzení Poslední analyzovaný případ technické praxe je kinematické buzení, tedy buzení od základu. Konkrétním případem to může být buzení při seismické události, tedy při zemětřesení. Schéma soustavy je na obr. 7.7.
Obr. 7.7 Opět pro zjednodušení bude uvažováno kmitání s jedním stupněm volnosti. Časová závislost pohybujícího se základu je dána. Řešení lze provést dvěma způsoby. V prvním případě je výsledkem pohyb tělesa absolutně vzhledem k rámu, který se nepohybuje (absolutní souřadnice) a ve druhém případě je výsledkem relativní pohyb tělesa vzhledem k základu (relativní souřadnice). Mezi souřadnicemi platí vztah (7.50) Pro jednoduchost se bude předpokládat harmonický pohyb základu. Pohybová rovnice má tvar (7.51) přičemž není detailně analyzována potenciální energie v pružném členu a tlumící funkce, které jak je zřejmé jsou dány rozdílem absolutní souřadnice a základu. Analýza v absolutních souřadnicích Za předpokladu harmonického pohybu základu se úpravou rovnice (7.51) obdrží (7.52) což je rovnice po formální stránce shodná s rovnicí (7.40). Pro stanovení amplitudy kmitání a fáze lze použít všechny vztahy, které byly odvozeny pro harmonické buzení.
(7.53) Amplitudová charakteristika je na obr. 7.8. Odtud je zřejmé, že při budící frekvenci tlumený dynamický systém větší, než pro netlumený.
je odezva pro
Obr. 7.8 Analýza v relativních souřadnicích Za předpokladu harmonického pohybu základu se úpravou rovnice (7.51) obdrží (7.54) což je rovnice opět po formální stránce shodná s rovnicí (7.40). Pro stanovení amplitudy kmitání a fáze lze použít všechny vztahy, které byly odvozeny pro harmonické buzení.
(7.55) Amplitudová charakteristika je na obr. 7.9.
Obr. 7.9
Závěr Možnosti jak potlačit (snížit dynamickou odezvu) jsou v podstatě zřejmé z charakteru rovnic pro odezvu a lze to provést třemi způsoby 1. Snížit amplitudu budících sil. V praxi to znamená např. stroj co možná nejlépe vyvážit, maximálně omezit aerodynamické buzení atd. 2. Pokud je snížena amplituda budících sil na minimum, druhá možnost je provést změnu vlastní frekvence. Zvýšení hmotnosti má za následek snížení vlastní frekvence a zvýšení tuhosti má za následek zvýšení vlastní frekvence. Cílem je stroj tzv. přeladit tak, aby se v pásmu provozního buzení nenacházela vlastní frekvence. 3. Třetí možný případ je takový, kdy jsou amplitudy budících sil sníženy na minimální hodnotu a konstrukčními změnami není možné soustavu přeladit. V tomto případě se do soustavy přidá tlumič, aby se snížila amplituda vibrací. Tlumič je vhodné umístit do míst s maximální rychlostí vibrací, aby bylo tlumení co nejvíce účinné.
Příklad Je dána soustava těles podle obrázku 8. Kotouč o hmotnosti délky .
,
, ,
,
,
a poloměru ,
je pevně spojen s tyčí o hmotnosti ,
,
,
. Soustava se nachází ve staticky rovnovážné poloze a předpokládejte malé
kmity kolem této polohy. Pro danou soustavu řešte: 1. Stanovte vlastní frekvenci netlumeného a tlumeného kmitání a znázorněte amplitudovou charakteristiku. 2. Rozhodněte, zda v pásmu provozního buzení nastane vymezení vůle v. Rozbor úlohy
Soustava těles představuje soustavu, která má jeden stupeň volnosti. K sestavení pohybové rovnice budou využity Lagrangeovy rovnice druhého druhu. K analýze kmitání lze přistovat dvěma způsoby. Schéma prvního způsobu je na obr. 9a. Jako zobecněná souřadnice je zvoleno natočení soustavy, tedy Výsledkem bude kontrola vymezení vůle podle vztahu
.
.
Schéma druhého způsobu je na obr. 9b. Jako zobecněná souřadnice je zvoleno posunutí koncového bodu na tyčce, tedy . Výsledkem bude kontrola vymezení vůle podle vztahu . Mezi oběma přístupy, na základě kterých musí být dosaženy stejné výsledky a stejné závěry platí vztahy
V obou případech je nutno stanovit úhel
, pro která platí
a také vzdálenost , pro kterou platí
Poznámky 1. Při řešení nebudou uvažovány tíhové síly, protože soustava je v rovnovážné poloze. 2. Pro odlišení zobecněných veličin (hmotnosti, tuhosti, tlumení a vnější síly), které jsou označeny v teoretické části od označení, které je použito v příkladu, budou zde tyto veličiny označeny nahoře hvězdičkou. Řešení dle 1. přístupu Pro aplikaci Lagrangeových rovnic druhého druhu je nutno stanovit kinetickou a potenciální energii, tlumící funkci a práci ( výkon) vnějších sil, které nemají potenciál. Kinetická energie
Zobecněná hmotnost má charakter osového momentu setrvačnosti k ose kolmé na rovinu kmitání. Při jejím stanovení je nutno použít Steinerovu větu.
Potenciální energie
odkud pro zobecněnou tuhost je
Pro zatlumenou energii platí
odkud pro zobecněné tlumení je
Pro práci (výkon) vnějších sil, které nemají potenciál, přičemž bude uvažována pouze amplituda budících sil
odkud pro amplitudu zobecněné budící síly je
S ohledem na tvar kinetické energie, její parciální derivace podle zobecněné souřadnice je nulová. Výsledný tvar pohybové rovnice pak je
Vlastní frekvence volného netlumeného kmitání
Součinitel doznívání
Vlastní frekvence tlumeného kmitání
Na obr. 10 je nakreslena amplitudová charakteristika pro daný příklad. Poměrný útlum následně je
S ohledem na rozsah provozního buzení
a vlastní frekvenci tlumeného kmitání
, nastane v pásmu provozního buzení rezonanční stav, při kterém bude maximální odezva. Stačí tedy zkontrolovat amplitudu při rezonančním stavu. Obecný vztah pro odezvu je
Rezonanční stav nastane, když je
, což po dosazení
Svislé posunutí koncového bodu na tyčce je dáno vztahem
Vzhledem k tomu, že svislá amplituda kmitání koncového bodu je větší než vůle pásmu provozního buzení k vymezení vůle.
, nastane v daném
Řešení dle 2. přístupu Pro aplikaci Lagrangeových rovnic druhého druhu je nutno stanovit kinetickou a potenciální energii, tlumící funkci a práci ( výkon) vnějších sil, které nemají potenciál. Kinetická energie
Zobecněná hmotnost má rozměr jako klasická hmotnost. Při jejím stanovení je i v tomto případě nutno použít Steinerovu větu.
Potenciální energie
odkud pro zobecněnou tuhost je
Pro zatlumenou energii platí
odkud pro zobecněné tlumení je
Pro práci (výkon) vnějších sil, které nemají potenciál, přičemž bude uvažována pouze amplituda budících sil
odkud pro amplitudu zobecněné budící síly je
S ohledem na tvar kinetické energie, její parciální derivace podle zobecněné souřadnice je nulová. Výsledný tvar pohybové rovnice pak je
Vlastní frekvence volného netlumeného kmitání
Součinitel doznívání
Vlastní frekvence tlumeného kmitání
Na obr. 10 je nakreslena amplitudová charakteristika pro daný příklad. Poměrný útlum následně je
S ohledem na rozsah provozního buzení
a vlastní frekvenci tlumeného kmitání
, nastane v pásmu provozního buzení rezonanční stav, při kterém bude maximální odezva. Stačí tedy zkontrolovat amplitudu při rezonančním stavu. Obecný vztah pro odezvu je
Rezonanční stav nastane, kdy je
, což po dosazení
což je přímo svislé posunutí konce tyče
Vzhledem k tomu, že svislá amplituda kmitání koncového bodu je větší než vůle pásmu provozního buzení k vymezení vůle.
, nastane v daném
Závěr Podle obou přístupů je nutno dojít ke stejným závěrům. Volba zobecněné souřadnice nemá vliv na výsledky řešení. V rámci pochopení dané problematiky se doporučuje provést analýzu za předpokladu volby zobecněné souřadnice jako posunutí těžiště tělesa 1. Na závěr pouze pro názornost bude provedena analýza pro případ podrezonančního a nadrezonančního provozu. V případě podrezonančního provozu by muselo být pásmo budící frekvence nižší, než je vlastní frekvence. Pouze pro ilustraci se předpokládá rozsah budící frekvence tomto případě dosaženo při budící frekvenci amplitudy kmitání stanoveny pomocí vztahů
. Maximálních amplitud kmitání bude v . Pro oba případy volby zobecněné souřadnice budou
Svislé posunutí koncového bodu na tyčce je dáno vztahem
Vzhledem k tomu, že svislá amplituda kmitání koncového bodu je menší než vůle daném pásmu provozního buzení k vymezení vůle.
, nenastane v
což je přímo svislé posunutí konce tyče
Vzhledem k tomu, že svislá amplituda kmitání koncového bodu je menší než vůle daném pásmu provozního buzení k vymezení vůle.
, nenastane v
V případě nadrezonančního provozu by muselo být pásmo budící frekvence vyšší, než je vlastní frekvence. Pouze pro ilustraci se předpokládá rozsah budící frekvence v tomto případě dosaženo při budící frekvenci amplitudy kmitání stanoveny pomocí vztahů
. Maximálních amplitud kmitání bude . Pro oba případy volby zobecněné souřadnice budou
Svislé posunutí koncového bodu na tyčce je dáno vztahem
Vzhledem k tomu, že svislá amplituda kmitání koncového bodu je menší než vůle daném pásmu provozního buzení k vymezení vůle.
, nenastane v
což je přímo svislé posunutí konce tyče
Vzhledem k tomu, že svislá amplituda kmitání koncového bodu je menší než vůle daném pásmu provozního buzení k vymezení vůle.
, nenastane v
