Modelování kmitavých soustav s více stupni volnosti Zpracoval Doc. RNDr. Zdeněk Hlaváč, CSc
Budeme se v tomto tématu zabývat modelováním kmitavých soustav s více stupni volnosti, jejichž výsledným matematickým modelem je soustava obyčejných diferenciálních rovnic druhého řádu s konstantními maticemi a obecnou pravou stranou. Hlavním představitelem dynamických modelů takových soustav jsou tzv. diskrétní soustavy, jež jsou sestaveny z hmotných bodů, tuhých těles a nehmotných pružin a tlumičů. Tuhostní a tlumící charakteristiky elastických a tlumících prvků soustavy jsou lineární (popřípadě slabě nelineární, jež lze v okolí statické rovnovážné polohy s uspokojivou chybou linearizovat). Na analogické modely vedou i tzv. diskretizovatelné soustavy se spojitě rozloženými parametry, kdy diskretizace do vybraných uzlů je provedena např. metodou konečných prvků. Těmito typy soustav se ale v tomto tématu nebudeme zabývat. Východiskem pro sestavení zmíněných diferenciálních rovnic (tzv. pohybových rovnic soustavy) jsou Lagrangeovy rovnice druhého druhu, jež lze napsat ve tvaru d ∂Ek ∂Ek ∂R ∂Ep − + + = fj (t), j = 1, . . . , n . (1) dt ∂ q˙j ∂qj ∂ q˙j ∂qj V těchto rovnicích je Ek kinetická energie soustavy, Ep je potenciální energie konzervativních zobecněných sil (zejména tíhových a elastických, vznikajících v deformujících se pružných členech soustavy), R je Rayleighova disipační funkce zobecněných tlumících sil a fj (t) jsou (tzv. budící) zobecněné síly, jež nelze zahrnout do dvou kategorií výše zmíněných sil. Hledanými funkcemi qj (t) v těchto rovnicích jsou časové závislosti zobecněných souřadnic soustavy, jichž je n (tolik, kolik činí počet stupňů volnosti soustavy). Časové derivace zobecněných souřadnic (jež značíme tečkou nad symbolem) jsou tzv. zobecněné rychlosti. Poznámka: Připomeňme, že potenciální energie kumulovaná v deformovaném pružném členu je rovna práci potřebné na zmíněnou deformaci. Rovněž Rayleighova disipační funkce je rovna polovičnímu výkonu tlumících sil v tlumících členech. Složka fj budící síly vyplývá z prací všech pracovních sil (s výjimkou elastických a tlumících) vykonaných při virtuální změně zobecněné souřadnice qj (princip virtuálních prací). Jestliže kinetická energie nezávisí na poloze soustavy (nebo lze zmíněné závislosti s přijatelnou chybou zanedbat), má kinetická energie ve většině případů tvar kvadratické formy v zobecněných rychlostech. Matici M této kvadratické formy potom nazýváme maticí hmotnosti soustavy. Platí tedy n n X 1 1X Ek = q˙ T M q˙ = mij q˙i q˙j , 2 2 i=1 j=1
kde M = [mij ] je matice hmotnosti a q˙ T = [q˙1 , . . . , q˙n ] je vektor zobecněných rychlostí. Odtud plyne, že n n 1X 1X ∂Ek = mik q˙i + mkj q˙j . ∂ q˙k 2 i=1 2 j=1
1
Protože matice hmotnosti je (zřejmě) symetrická a časově nezávislá, plyne odtud ihned n d ∂Ek ∂Ek X − = mki q¨i , k = 1, . . . , n , dt ∂ q˙k ∂qk i=1
což lze pro všechna k najednou zapsat jako d ∂Ek ∂Ek − = M q¨ . dt ∂ q˙ ∂q
(2)
Protože kinetická energie je nezáporný skalár, jenž jest nulový právě když se soustava nepohybuje, je matice hmotnosti soustavy vždy pozitivně definitní. Poznámka: Jiná situace nastává v případě vyjádření kinetické energie soustavy, jež koná unášivý rotační pohyb konstantní úhlovou rychlostí ω. Vlivem odstředivých a Coriolisových sil je kinetická energie zapsatelná v obecnějším tvaru, ve kterém se objevují i výchylky. V dalším textu ukážeme na tento stav jednoduchý příklad, leč obecněji se jím zabývat nebudeme. Analogicky lze též Rayleighovu disipační funkci psát jako kvadratickou formu zobecněných rychlostí a potenciální energii jako kvadratickou formu zobecněných souřadnic. Matici B první kvadratické formy nazýváme maticí tlumení a matici K druhé kvadratické formy pak maticí tuhosti soustavy. Potom platí n X n 1X 1 bij q˙i q˙j , R = q˙ T B q˙ = 2 2 i=1 j=1 n X n 1 1X Ep = q T Kq = kij qi qj , 2 2 i=1 j=1
odkud derivacemi pro symetrické matice získáváme analogicky jako v případě kinetické energie ∂Ep ∂R = B q˙ ; = Kq . ∂ q˙ ∂q
(3)
Dosazením (3) a (2) do Lagrangeových rovnic (1) dostaneme model ve tvaru M q¨ + B q˙ + Kq = f (t) .
(4)
Poznámka: Matice tlumení B může být (v případě uvažování linearizovaných gyroskopických účinků při kmitání rotorů) nesymetrická. Její antisymetrická část se do rovnice (4) dostává z těch členů pro kinetickou energii soustavy, které kromě rychlostí závisejí i na výchylkách (viz příklad 8). Rovněž matice tuhosti může být (v případě uvažování linearizovaných sil působících na soustavu při obtékání kapalinou) nesymetrická. V některých speciálních případech je matice tlumení B soustavy diagonalizovatelná prostřednictvím modální transformace přidružené konzervativní soustavy (bez tlumení). Jestliže V je M −normou normovaná modální matice přidružené konzervativní soustavy (viz příslušné téma), platí v těchto případech V T BV = diag[ai ]. Pak je účelné, v analogii se soustavami s jedním stupněm volnosti, diagonální prvky ai transformované matice tlumení označovat ai = 2Di Ωi , kde Ωi jsou vlastní frekvence přidružené konzervativní soustavy a Di jsou tzv. poměrné útlumy i−tého tvaru kmitání. Soustavy s takovou maticí tlumení se nazývají slabě nekonzervativní. Poznamenejme, že v takovém případě jsou modální transformací přidružené konzervativní soustavy diagonalizovatelné 2
všechny tři koeficientové matice na levé straně pohybové rovnice (4). Normalizace vlastních vektorů pomocí M −normy totiž znamená, že platí V T M V = E, kde E je jednotková matice. Z matematického zápisu problému vlastních hodnot potom plyne, že V T KV = Λ, kde Λ je diagonální spektrální matice přidružené konzervativní soustavy s kvadráty vlastních frekvencí na diagonále (viz příslušné téma). Ukážeme na nejobecnější postačující podmínku pro slabě nekonzervativní soustavy. Tvrzení: Jestliže pro matice v rovnici (4) platí KM −1 B = BM −1 K,
(5)
je soustava slabě nekonzervativní. Poznámka: Vlastnosti (5) se někdy říká komutativita matice tlumení. Ověření tvrzení: Za účelem ověření předchozího tvrzení vyjádříme nejprve inverzní matici hmotnosti prostřednictvím modální matice V (přidružené konzervativní soustavy). Protože pro případ navzájem různých vlastních frekvencí jsou vlastní vektory lineárně nezávislé (viz příslušné téma), existuje inverzní matice V −1 . Potom existuje i inverzní matice k transponované matici a platí (V T )−1 = (V −1 )T . Označme tuto matici stručně V −T . Násobme nyní diagonalizační vztah V T M V zleva maticí V −T a zprava maticí V −1 . Vzhledem k definici inverzní matice odtud dostáváme vztah M = V −T V −1 = (V V T )−1 , odkud inverzí máme M −1 = V V T .
(6)
Dosazením (6) do (5) dostaneme pro komutativní matici tlumení vztah BV V T K = KV V T B . Násobme nyní tento vztah zleva maticí V T a zprava maticí V . Dostaneme V T BV V T KV = V T KV V T BV . Ovšem vzhledem k diagonalizačním vztahu V T KV = Λ pro matici tuhosti odtud dostáváme V T BV Λ = ΛV T BV .
(7)
Ověření nyní dokončíme sporem. Kdyby matice V T BV měla byť jediný mimodiagonální prvek, pak jejím přenásobením diagonální maticí Λ zleva vznikne výsledek, v němž se prvky na diagonále matice Λ budou násobit řádky matice V T BV a při násobení zprava se ve výsledku budou násobit sloupce matice V T BV . V žádném případě by neplatila rovnost (7), neboť pro mimodiagonální prvek je index řádku vždy odlišný od indexu sloupce. To je spor a tvrzení je ověřeno. Vlastnost komutativity matice tlumení (5) se v praxi obtížně ověřuje, pročež odvodíme silnější postačující podmínku diagonalizovatelnosti matice tlumení modální transformací (přidružené konzervativní soustavy). Odvodíme ji jako postačující podmínku komutativity matice tlumení. Tvrzení: Nechť existuje přirozené číslo N a konstanty cj , j = 0, . . . , N − 1 , že pro matici tlumení platí 3
B=
N −1 X
cj M (M −1 K)j .
(8)
j=0
Pak je matice tlumení komutativní (splňuje vztah (5) a tedy je pomocí modální transformace přidružené konzervativní soustavy diagonalizovatelná). Ověření tvrzení: Dosaďme nejprve vztah (8) do levé strany výrazu (5). Vznikne vzhledem k distributivnosti maticového násobení a k vlastnosti inverzní matice KM −1 B = KM −1
N −1 X
cj M (M −1 K)j =
j=0
N −1 X
cj K(M −1 K)j .
j=0
Dosaďme nyní vztah (8) do pravé strany výrazu (5). Vznikne postupně BM −1 K =
N −1 X
cj M (M −1 K)j M −1 K =
j=0
=
N −1 X
N −1 X
cj M (M −1 K)j+1 =
j=0
cj M M
−1
K(M
−1
j
K) =
N −1 X
cj K(M −1 K)j .
j=0
j=0
Protože výrazy vpravo posledních dvou rovností se rovnají, rovnají se i jejich výrazy vlevo a tvrzení je ověřeno. Uvedeme nyní určení poměrných útlumů a matice tlumení pro různé hodnoty přirozeného čísla N . 1. Případ N = 1 dává pro matici tlumení vztah B = c0 M . Konstantu c0 určíme zadáním poměrného útlumu jediného, tzv. dominantního tvaru kmitání. Nechť se jedná např. o r−tý tvar o zadaném poměrném útlumu Dr . Pak provedeme-li ve vztahu pro matici B násobení zleva maticí V T a zprava maticí V , dostaneme vzhledem k diagonalizačním (i předpokládaným) vztahům, že diag[2Di Ωi ] = c0 diag[1] . Pro i = r pak odtud plyne c0 = 2Dr Ωr . Útlum Dr jsme zadali a vlastní frekvenci (přidružené konzervativní soustavy) známe. Ostatní poměrné útlumy pak určíme z předchozí rovnosti pro obecné i. Dostaneme 2Di Ωi = c0 = 2Dr Ωr , odkud Di = = Dr ΩΩri , i = 1, . . . , n (počet stupňů volnosti soustavy). 2. Případ N = 2 dává pro matici tlumení vztah B = c0 M + c1 K. Konstanty c0 a c1 určíme zadáním dvou dominantních poměrných útlumů Dr a Ds , pořadových čísel r a s. Provedeme-li ve vztahu pro matici B násobení zleva maticí V T a zprava maticí V , dostaneme vzhledem k diagonalizačním vztahům, že diag[2Di Ωi ] = c0 diag[1] + c1 diag[Ω2i ] . Pro i = r a i = s odtud dostaneme 2Dr Ωr = c0 + c1 Ω2r ; 2Ds Ωs = c0 + c1 Ω2s . Jedná se o soustavu dvou lineárních algebraických rovnic pro neznámé konstanty c0 a c1 . Ostatní poměrné útlumy pak opět určíme z předchozí rovnosti pro obecné i. 4
3. Případ N = 3 dává pro matici tlumení vztah B = c0 M + c1 K + c2 KM −1 K .
(9)
Konstanty c0 , c1 a c2 určíme zadáním tří dominantních poměrných útlumů Dr , Ds a Dt , pořadových čísel r, s a t. Provedeme-li ve vztahu (9) násobení násobení zleva maticí V T a zprava maticí V a za matici M −1 dáme vyjádření (6), dostaneme vzhledem k diagonalizačním vztahům, že diag[2Di Ωi ] = c0 diag[1] + c1 diag[Ω2i ] + c2 diag[Ω4i ] . Pro i = r, i = s a i = t odtud dostaneme
2Dr Ωr = c0 + c1 Ω2r + c2 Ω4r ; 2Ds Ωs = c0 + c1 Ω2s + c2 Ω4s ; 2Dt Ωt = c0 + c1 Ω2t + c2 Ω4t . Jedná se o soustavu tří lineárních algebraických rovnic pro neznámé konstanty c0 , c1 a c2 . Ostatní poměrné útlumy pak opět určíme z předchozí rovnosti pro obecné i. 4. Pro případ N = n (počet stupňů volnosti soustavy) dostaneme analogickým postupem B = c0 M + c1 K +
n−2 X
cj+1 K(M −1 K)j .
(10)
j=1
Konstanty c0 , . . . , cn−1 určíme zadáním všech poměrných útlumů D1 , . . . , Dn . Násobením (10) zleva maticí V T a zprava maticí V a dosazením z (6) dostaneme vzhledem k diagonalizačním vztahům, že 2(n−1)
2D1 Ω1 = c0 + c1 Ω21 + c2 Ω41 + · · · + cn−1 Ω1 c1 Ω22
c2 Ω42
2(n−1) cn−1 Ω2
,
2D2 Ω2 = c0 + + + ··· + , ··· . 2Dn Ωn = c0 + c1 Ω2n + c2 Ω4n + · · · + cn−1 Ω2(n−1) n
(11)
Jedná se o soustavu n lineárních algebraických rovnic pro neznámé konstanty c0 , . . . , cn−1 . Všechny poměrné útlumy už jsou v tomto případě zadány. Poznámky: 1. Z předchozích případů má největší význam případ ad 2., kdy matice tlumení je lineární kombinací matic hmostnosti a tuhosti soustavy. V tom případě říkáme, matice tlumení (stručně jen tlumení) je proporcionální. Z předchozího tedy plyne, že soustava s proporcionálním tlumením je slabě nekonzervativní. Podmínka proporcionality tlumení je nejsilnější (ale zároveň nejsnáze ověřitelnou) podmínkou slabé nekonzervativity soustavy. 2. Soustava (11) má determinant soustavy jako jistý druh Vandermondova determinantu. Soustava je proto lineárně nezávislá a podle Frobeniovy věty jednoznačně řešitelná. 5
Ostatní soustavy, kdy neplatí (5) jsou silně nekonzervativní. Matice tlumení u nich není modální transformací přidružené konzervativní soustavy diagonalizovatelná a soustava diferenciálních rovnic se po této transformaci nerozpadá na n rovnic, jež lze separátně řešit. V takovém případě je nutno přecházet do stavového prostoru (viz příslušné téma). Zejména případy, kdy v soustavě jsou zařazeny tlumiče o daných tlumících konstantách, generují silně nekonzervativní soustavy. V následujících partiích ukážeme některé příklady na konstrukci matematických modelů soustav s větším počtem stupňů volnosti.
Příklady Příklad 1: Mějme soustavu tří hmot mi , i = 1, 2, 3 (hmotných bodů) spojených lineárními pružinami o tuhostech ki , i = 0, 1, 2, 3 (obr.1). Určíme matematický model nejprve konzervativní soustavy. k2
k1
k0 m1 q1
k3 m3
m2 q2
q3
Obrázek 1: Za zobecněné souřadnice volíme (absolutní) výchylky qi jednotlivých hmot ze statické rovnovážné polohy. Kinetická energie má potom tvar Ek = 21 (m1 q˙12 +m2 q˙22 +m3 q˙32 ). Odtud ihned plyne d ∂Ek ∂Ek = mi q¨i ; = 0 ; i = 1, 2, 3 . dt ∂ q˙i ∂qi Jestliže volíme nulovou potenciální energii kumulovanou v deformovaných pružinách ve statické rovnovážné poloze, je tato energie v obecné poloze dána vztahem 1 Ep = [k0 q12 + k1 (q2 − q1 )2 + k2 (q3 − q2 )2 + k3 q32 ] . 2 Odtud ihned plyne ∂Ep ∂Ep ∂Ep = k0 q1 − k1 (q2 − q1 ); = k1 (q2 − q1 ) − k2 (q3 − q2 ); = k2 (q3 − q2 ) + k3 q3 . ∂q1 ∂q2 ∂q3 Dosazením předchozích výsledků do Lagrangeových rovnic pro konzervativní soustavy (Rayleighova disipační funkce i zobecněné síly jsou nulové) obdržíme soustavu tří pohybových rovnic tvaru m1 q¨1 + (k0 + k1 )q1 − k1 q2 = 0 , m2 q¨2 − k1 q1 + (k1 + k2 )q2 − k2 q3 = 0 , m3 q¨3 − k2 q2 + (k2 + k3 )q3 = 0 . Zavedením vektoru zobecněných souřadnic q T = [q1 , q2 , q3 ] lze předchozí soustavu zapsat v maticovém tvaru 6
M q¨ + Kq = 0 , kde matice hmotnosti M a matice tuhosti K jsou k0 + k1 −k1 0 m1 0 0 k1 + k2 −k2 0 M = . = diag[mi ] ; K = −k1 0 m2 0 −k2 k2 + k3 0 0 m3
Poznámky: 1. Výše uvedený model konzervativní soustavy popisuje pro případ k0 6= 0 a k3 6= 0 tzv. oboustranně vetknutý řetězec. Jestliže právě jedna z tuhostí k0 nebo k3 , spojujících koncové hmoty s rámem, je nulová, hovoříme o jednostranně vetknutém řetězci. Jestliže je k0 = k3 = 0, a tedy soustava nemá (podélné) spojení s rámem, hovoříme o izolovaném řetězci. V takovém případě má jeho matice tuhosti tvar k1 −k1 0 K= −k1 k1 + k2 −k2 . 0 −k2 k2
Z tvaru této matice je patrno, že součtem jejích řádků (sloupců) dostaneme nulový vektor. Řádky (sloupce) jsou tedy lineárně závislé a matice tuhosti takové soustavy je singulární. Alespoň jedno vlastní číslo takové soustavy je tedy nulové. Toto jest obecná vlastnost izolovaných soustav, kdy příslušný vlastní vektor k nulovému vlastnímu číslu má všechny souřadnice stejné. Fyzikální interpretace takového tvaru ”kmitání” je pohyb celé soustavy jako tuhého tělesa. 2. Zobecníme-li řetězec tří hmot na obecný řetězec n hmot (n ≥ 2) obdržíme analogickou cestou formálně shodný matematický model, kdy pro matici hmotnosti M a matici tuhosti K je M = diag[m1 , . . . , mn ] ;
K=
k0 + k1 −k1 0 −k1 k1 + k2 −k2 ··· ··· ··· 0 0 0 0 0 0
··· ···
0 0
0 0
0 0
· · · −kn−2 kn−2 + kn−1 −kn−1 ··· 0 −kn−1 kn−1 + kn
.
Matice hmotnosti je diagonální a matice tuhosti tridiagonální (symetrická). Pro k0 = kn = 0 je matice tuhosti opět singulární. 3. Pokud by výše popisovaná soustava nebyla konzervativní, zadejme paralelně s každou pružinou viskózní tlumič o konstantě bi , i = 0, . . . , n (modelující např. materiálové tlumení vinutých pružin). Na hmotu mi nechť působí (ve směru přírůstku zobecněné souřadnice) nekonzervativní budící síla Fi , i = 1, . . . , n. Rayleighova disipační funkce má pak tvar analogický k potenciální energii, kdy místo tuhostí se vyskytují příslušné tlumící konstanty a místo souřadnic jejich derivace (rychlosti). Z principu virtuálních prací ihned plyne, že pro zobecněné síly platí 7
fi = Fi , i = 1, . . . , n. Z Lagrangeových rovnic pak plyne matematický model takové soustavy ve tvaru M q¨ + B q˙ + Kq = f (t) , kde matice tlumení B a vektor pravých stran f (t) mají tvar
B=
b0 + b1 −b1 0 −b1 b1 + b2 −b2 ··· ··· ··· 0 0 0 0 0 0
··· ···
0 0
0 0
0 0
· · · −bn−2 bn−2 + bn−1 −bn−1 ··· 0 −bn−1 bn−1 + bn
f (t) = [F1 , . . . , Fn ]T .
;
Je pochopitelné, že některé z tlumících konstant i budících sil mohou být nulové. 4. Soustavu je možno bez formální změny modelu uvažovat jako torzní. Místo hmot jsou kotouče o osových momentech setrvačnosti Ii , i = 1, . . . , n, jež jsou spojené spirálovými pružinami (resp. nehmotnými hřídeli) o torzních tuhostech kti , i = = 0, . . . , n a konstantách torzního tlumení bti , i = 0, . . . , n. Soustava je buzena silovými dvojicemi o momentech Mi , i = 1, . . . , n působícími na každý kotouč. Při zavedení vektoru q T = [ϕ1 , . . . , ϕn ], kde ϕi je úhel natočení i−tého kotouče ze statické rovnovážné polohy tak dostáváme formálně stejný matematický model soustavy při náhradě veličin podle následující tabulky. Podélná soustava Torzní soustava
m[kg] b[Ns/m] k[N/m] F [N] I[kg m2 ] bt [Nms/rad] kt [Nm/rad] M [Nm]
5. Ve všech případech jsou hmotné členy dokonale tuhé a tuhostní a tlumící členy nehmotné. Pokud by tyto podmínky nebyly splněny, je nejvýhodnější metodou konstrukce matematického modelu takové soustavy metoda konečných prvků, která však není obsahem stávajícího tématu. Příklad 2: Nechť kotouče o osových momentech setrvačnosti I1 a I2 jsou vázány nehmotnými torzně poddajnými hřídeli o torzních tuhostech k1 a k2 přes jeden pár spoluzabírajících ozubených kol (jednostupňová převodovka) s tuhými zuby. Pastorek má z1 zubů a osový moment setrvačnosti Ip , zatímco protější kolo má z2 zubů a osový moment setrvačnosti Ik . Vstupní kotouč rozbíháme silovou dvojicí o momentu M1 a z výstupního kotouče odebíráme moment M2 (obr.2). Utvoříme matematický model této soustavy. Protože soustava jest torzně izolovaná, může se otáčet jmenovitou úhlovou rychlostí ω0 vstupního kotouče. Za zobecněné souřadnice volme přídavné úhly natočení ϕ1 a ϕ3 obou kotoučů a ϕ2 pastorku, redukované na vstupní hřídel (to jest jako by převod byl roven jedné). Protože zuby jsou tuhé, jest tím pohyb druhého ozubeného kola už určen. Soustava má tedy tři stupně volnosti. Úhel natočení vstupního kotouče je tedy ωt + ϕ1 , úhel natočení pastorku je ωt + ϕ2 , protějšího ozubeného kola (ωt + ϕ2 ) zz12 a výstupního kotouče (ωt + ϕ3 ) zz21 . Jsou-li ozubená kola ve vnějším záběru, otáčí se výstupní větev v opačném smyslu než vstupní. Pro kinetickou energii soustavy zřejmě platí Ek =
i 1h I1 (ω + ϕ˙1 )2 + Ip (ω + ϕ˙2 )2 + Ik (ω + ϕ˙2 )2 p2 + I2 (ω + ϕ˙3 )2 p2 , 2
8
z1 M1
k1
I1
Ip
ωt + ϕ2
Ik
k2
ωt + ϕ1 I2
z (ωt + ϕ2 ) 1 z
2
M2 z1 (ωt + ϕ 3 ) z 2
z2 Obrázek 2: kde p = zz12 je převod zubového záběru. Pro potenciální energii kumulovanou v nakroucených hřídelích máme 1 Ep = [k1 (ϕ2 − ϕ1 )2 + k2 (ϕ3 − ϕ2 )2 p2 ] . 2 Derivacemi odtud vyplyne d ∂Ek ∂Ek = I1 (ω + ϕ˙1 ) ; = I1 ϕ¨1 ; ∂ ϕ˙1 dt ∂ ϕ˙1 ∂Ek d ∂Ek = Ip (ω + ϕ˙2 ) + Ik (ω + ϕ˙2 )p2 ; = (Ip + Ik p2 )ϕ¨2 ; ∂ ϕ˙2 dt ∂ ϕ˙1 d ∂Ek ∂Ek = I2 (ω + ϕ˙3 )p2 ; = I2 p2 ϕ¨3 ; ∂ ϕ˙3 dt ∂ ϕ˙3 ∂Ep ∂Ep ∂Ep = −k1 (ϕ2 − ϕ1 ) ; = k1 (ϕ2 − ϕ1 ) − k2 (ϕ3 − ϕ2 )p2 ; = k2 (ϕ3 − ϕ2 )p2 . ∂ϕ1 ∂ϕ2 ∂ϕ3 Udělíme-li soustavě postupně virtuální pohyby charakterizované změnami jednotlivých zobecněných souřadnic, dostaneme f1 δϕ1 = M1 δϕ1 , f2 δϕ2 = 0, f3 δϕ3 = −M2 pδϕ3 , odkud ihned plyne f1 = M1 , f2 = 0, f3 = −M2 p. Dosadíme-li získané výsledky do Lagrangeových rovnic, dostaneme tři pohybové rovnice ve tvaru I1 ϕ¨1 + k1 ϕ1 − k1 ϕ2 = M1 , (Ip + Ik p )ϕ¨2 − k1 ϕ1 + (k1 + k2 p2 )ϕ2 − k2 p2 ϕ3 = 0 , I2 p2 ϕ¨3 − k2 p2 ϕ2 + k2 p2 ϕ3 = −M2 p . 2
Zavedením vektoru zobecněných souřadnic q = [ϕ1 , ϕ2 , ϕ3 ]T přepíšeme matematický model soustavy do známého tvaru M q¨ + Kq = f (t) , kde pro matici hmotnosti M , matici tuhosti K a vektor pravých stran f (t) platí I1 0 0 k1 −k1 0 2 2 0 ; K = −k1 k1 + k2 p −k2 p2 M = 0 Ip + Ik p 0 0 I2 p 2 0 −k2 p2 k2 p2 ;
f (t) = [M1 , 0, −M2 p]T . 9
Srovnejme získaný matematický model s modelem izolovaného řetězce se třemi stupni volnosti (viz příklad 1) o parametrech Iir , i = 1, 2, 3 a kir , i = 1, 2 s momenty Mir , i = = 1, 2, 3 působícími na jednotlivé kotouče (obr.3). Dostaneme kvalitativně stejný model, položíme-li I1r = I1 , I2r = Ip + Ik p2 , I3r = I2 p2 , k1r = k1 , k2r = k2 p2 , M1r = M1 , M2r = 0, M3r = −M2 p2 . V této náhradě je tedy naše soustava nahrazena třemi kotouči (hmotami), kdy prostřední kotouč nahrazuje obě v záběru se nacházející kola. Parametry, jež se nacházejí ”před zubovým záběrem”, se do náhradního řetězce přenesou v původní velikosti. Hmotové a tuhostní parametry, jež se nacházejí ”za zubovým záběrem” se přenásobí kvadrátem převodu a silové parametry ”za zubovým záběrem” se přenásobí převodem.
M 1r
k1r
I 1r
k 2r
I 2r
I 3r
M 3r
M 2r Obrázek 3: Poznámky:
1. Pokud by hřídele byly charakterizovány navíc viskózním tlumením o konstantách ˙ přičemž matice b1 a b2 , byl by matematický model zřejmě doplněn o člen B q, tlumení B by měla analogický tvar jako matice tuhosti K, kde místo konstant tuhosti k by byly konstanty tlumení b. 2. Analogickou cestou náhrady zubových záběrů vždy jediným kotoučem (hmotou) lze řešit i složitější soustavy s větším počtem zubových záběrů. Parametry, jež se budou nacházet ”za více zubovými záběry”, budeme v redukované soustavě násobit (první mocninou nebo kvadrátem, podle typu veličiny) součinem převodů. Příklad 3: Mějme soustavu se dvěma zubovými záběry o převodech p1 = zz21 a p2 = zz34 podle obr.4. Vstupní kotouč osového momentu setrvačnosti I1 , na který působí silová dvojice o momentu M1 pohání dva výstupní kotouče o parametrech I2 a I3 , na které působí (v zadaných smyslech) silové dvojice o momentech M2 a M3 . Momenty setrvačnosti pastorku a kola prvního záběru jsou (po řadě) Ip1 , Ik1 a druhého záběru Ip2 a Ik2 . Hřídele mají (torzní) tuhosti k1 až k4 (obr.4). z1 M1
I1
k1
I p1
I k1
k2
z3 Ip2
z2
k3
I2
k4 I k2 z4
Obrázek 4: 10
M2
I3
M3
Každá spoluzabírající ozubená kola nahradíme jedním kotoučem, čímž vznikne soustava kotoučů topologické struktury znázorněné na obr.5 včetně tam očíslovaných redukovaných hmotových, tuhostních a silových parametrů. Podle výše uvedených poznatků zřejmě platí I1r = I1 ; I2r = Ip1 + Ik1 p21 ; I3r = Ip2 p21 + Ik2 p21 p22 ; I4r = I2 p21 ; I5r = I3 p21 p22 ; k1r = k1 ; k2r = k2 p21 ; k3r = k3 p21 ; k4r = k4 p21 p22 ; M1r = M1 ; M2r = −M2 p1 ; M3r = M3 p1 p2 .
k 3r M 1r
I1r
k 1r
I 2r
k 2r
I 4r
M 2r
I 3r k 4r
M 3r
I 5r
Obrázek 5: Nyní utvoříme matematický model příslušející ke zmíněnému redukovanému dynamickému (fyzikálnímu) modelu. Kinetická energie je zřejmě Ek =
1 2
5 X
Iir ϕ2i , takže
i=1
d ∂Ek dt ∂ ϕ˙i
= Iir ϕ¨i a
∂Ek ∂ϕi
= 0, i = 1, . . . , 5. Pro potenciální energii pak platí
1 Ep = [k1 (ϕ2 − ϕ1 )2 + k2 (ϕ3 − ϕ2 )2 + k3 (ϕ4 − ϕ3 )2 + k4 (ϕ5 − ϕ3 )2 ] . 2 Proto ∂Ep ∂Ep = −k1 (ϕ2 − ϕ1 ) ; = k1 (ϕ2 − ϕ1 ) − k2 (ϕ3 − ϕ2 ) ; ∂ϕ1 ∂ϕ2 ∂Ep = k2 (ϕ3 − ϕ2 ) − k3 (ϕ4 − ϕ3 ) − k4 (ϕ5 − ϕ3 ) ; ∂ϕ3 ∂Ep ∂Ep = k3 (ϕ4 − ϕ3 ) ; = k4 (ϕ5 − ϕ3 ) . ∂ϕ4 ∂ϕ5 Po dosazení do Lagrangeových rovnic dostaneme jako matematický model soustavy diferenciální rovnice I1r ϕ¨1 + k1 ϕ1 − k1 ϕ2 I2r ϕ¨1 − k1 ϕ1 + (k1 + k2 )ϕ2 − k2 ϕ3 I3r ϕ¨1 − k2 ϕ2 + (k2 + k3 + k4 )ϕ3 − k3 ϕ4 − k4 ϕ5 I4r ϕ¨1 − k3 ϕ3 + k3 ϕ4 I5r ϕ¨1 − k4 ϕ3 + k4 ϕ5
= = = = =
0, 0, 0, 0, 0.
Při zavedení vektoru zobecněných souřadnic q = [ϕ1 , . . . , ϕ5 ]T zapíšeme matematický model opět ve známém tvaru 11
M q¨ + Kq = f (t) , kde M = diag[I1r , . . . , I5r ] ; f (t) = [M1r , 0, 0, M2r , M3r ]T ;
K=
k1r −k1r 0 0 0 −k1r k1r + k2r −k2r 0 0 0 −k2r k2r + k3r + k4r −k3r −k4r 0 0 −k3r k3r 0 0 0 −k4r 0 k4r
.
Poznámka: Všimněme si speciální struktury matice tuhosti předchozí soustavy. Každé ze čtyř tuhostí kir dynamického modelu odpovídá v matici tuhosti obsazení maticí řádu # " kir −kir řádků a sloupců matice tuhosti, jejichž pořadová čísla oddva tvaru −kir kir povídají pořadovým číslům kotoučů (hmot), jež daná tuhost spojuje. Tato skutečnost není náhodná, nýbrž platí obecně. Topologickou strukturu soustavy lze popsat tzv. incidenční maticí I = [ijk ]. Tato matice má dva řádky a tolik sloupců, kolik jest v soustavě tuhostí. Jednotlivé sloupce incidenční matice obsahují (vzestupně řazená) pořadová čísla kotoučů (hmot), jež tuhost, odpovídající těmto sloupcům, spojuje. Matici tuhosti takové soustavy lze už bez použití Lagrangeových rovnic psát ve tvaru
K= klr l=1 L X
··· ··· 1 · · · −1 · · · ··· · · · −1 · · · 1 ··· ···
,
kde L je počet tuhostí (poddajných hřídelů) soustavy. Na nevyplněných místech matic (řádu rovnému počtu stupňů volnosti soustavy) se nacházejí nulové prvky. Obsazené řádky a sloupce mají pořadová čísla i1l a i2l . Pokud by soustava nebyla izolovaná, přičítaly by se na hlavní diagonálu matice tuhosti ještě tuhosti spojující kotouč (hmotu) příslušného pořadí s rámem. Příslušný sloupec incidenční matice by na prvním místě obsahoval nulu, jakožto pořadové číslo rámu. Vzhledem k tomu, že nulové řádky ani sloupce matice tuhosti neobsahuje, je příspěvek této tuhosti pouze na diagonále v prvku pořadového čísla i2l . Incidenční matice náhradní soustavy z příkladu 3 by měla tvar I=
"
1 2 3 3 2 3 4 5
#
.
Prostřednictvím informace dané incidenční maticí se matice tuhosti soustavy snadno konstruuje pomocí programu na počítači. Příklad 4: Homogenní válec hmotnosti m, poloměru r a osového momentu setrvačnosti I2 k ose symetrie se valí po vnitřním obvodě rotačně k rámu uloženého prstence poloměru R a osového momentu setrvačnosti I1 k ose symetrie (obr.6). Sestavíme pro malé úhlové výchylky středu vnitřního válce od stabilní ”dolní” rovnovážné polohy linearizovaný matematický model této soustavy. Za zobecněné souřadnice zvolme úhel natočení ϕ vnějšího prstence a úhel natočení ψ středu vnitřního válce (obr.6). Pohyb vnějšího prstence je rotační. Pohyb vnitřního válce je obecný rovinný, který rozložíme základním rozkladem ve středu hmotnosti (jež je geometrickým středem) na unášivý pohyb po kružnici poloměru R − r a příslušnou 12
R C ψ
ϕ
S r A
υ
S0 A0 Obrázek 6:
druhotnou rotaci. Rotace vnitřního válce je od pohyblivé spojnice bodu dotyku válců popsána úhlem natočení ϑ (obr.6). Od os unášivého souřadnicového systému je tedy tato rotace charakterizována úhlem natočení ϑ − ψ. Kinetickou energii vnitřního válce proto vyjádříme podle Königovy věty jako 1 ˙ 2] . Ek = [m(R − r)2 ψ˙ 2 + I2 (ϑ˙ − ψ) 2 Kinetická energie celé soustavy je potom 1 ˙ 2] . Ek = [I1 ϕ˙ 21 + m(R − r)2 ψ˙ 2 + I2 (ϑ˙ − ψ) 2 Podmínka valení má zřejmě tvar rϑ = R(ψ − ϕ) a derivací z ní plyne R ˙ . ϑ˙ = (ψ˙ − ϕ) r Dosazením do vztahu pro kinetickou energii pak dostaneme R ˙ 1 I1 ϕ˙ 2 + m(R − r)2 ψ˙ 2 + I2 (ψ − ϕ) ˙ − ψ˙ Ek = 2 r (
2 )
.
Derivacemi odtud ∂Ek R R ˙ d ∂Ek R = I1 ϕ˙ − I2 (ψ − ϕ) ˙ − ψ˙ ⇒ = I1 + ∂ ϕ˙ r r dt ∂ ϕ˙ r "
R ∂Ek = m(R − r)2 ψ˙ + I2 −1 ˙ r ∂ψ
2
"
R R − 1 I2 ψ¨ , ϕ¨ − r r
R ˙ (ψ − ϕ) ˙ − ψ˙ ⇒ r
2 #
d ∂Ek R R R ⇒ − 1 I2 ϕ¨ + m(R − r)2 + I2 −1 =− ˙ dt ∂ ψ r r r
I2
#
∂Ek ∂Ek ψ¨ , = = 0. ∂ϕ ∂ψ
Uvažujeme-li nulovou hladinu potenciální energie ve spodní poloze vnitřního válce, platí pro ni 13
Ep = mg(R − r)(1 − cos ψ) ⇒
∂Ep ∂Ep = 0, mg(R − r) sin ψ . ∂ϕ ∂ψ
p = mg(R − r)ψ. Dosazením do Pro malé úhly ψ linearizujeme sin ψ ≈ ψ, takže ∂E ∂ψ Lagrangeových rovnic dostaneme dvě pohybové diferenciální rovnice tvaru
R 2 R R I1 + − 1 I2 ψ¨ = 0 , I2 ϕ¨ − r r r " 2 # R R R 2 ψ¨ + mg(R − r)ψ = 0 . − 1 I2 ϕ¨ + m(R − r) + I2 −1 − r r r "
#
V maticovém zápisu při definici vektoru zobecněných souřadnic q = [ϕ, ψ]T pak model je tvaru M q¨ + Kq = 0 , kde matice hmotnosti
M =
I1 + − Rr
"
2
R r
R r
− Rr
I2
R r
− 1 I2
− 1 I2 m(R − r) + I2 2
#
R r
2
−1
0 0 a matice tuhosti K = . 0 mg(R − r) Poznámka: Matice tuhosti je singulární, což je příznak izolovanosti soustavy. Příklad 5: Utvořme linearizovaný matematický model matematického trojkyvadla podle obr.7. Délky závěsů jsou li a hmotnosti hmotných bodů Li jsou mi (i = 1, 2, 3). x l1 ϕ1 m1 L1 ϕ 2
l2 m2
L2 ϕ3
l3 m3
L3
y
Obrázek 7: Volme za zobecněné souřadnice úhly ϕi , i = 1, 2, 3 závěsů od svislého směru. V obrázku zavedeném souřadnicovém systému mají v obecné poloze jednotlivé hmotné body souřadnice L1 = [l1 sin ϕ1 , l1 cos ϕ1 ] ; L2 = [l1 sin ϕ1 + l2 sin ϕ2 , l1 cos ϕ1 + l2 cos ϕ2 ] ; 14
L3 = [l1 sin ϕ1 + l2 sin ϕ2 + l3 sin ϕ3 , l1 cos ϕ1 + l2 cos ϕ2 + l3 cos ϕ3 ] . Časovými derivacemi získáme složky rychlostí zmíněných hmotných bodů jako ~v1 = l1 [cos ϕ1 , − sin ϕ1 ]ϕ˙1 ; ~v2 = [l1 ϕ˙1 cos ϕ1 + l2 ϕ˙2 cos ϕ2 , −l1 ϕ˙1 sin ϕ1 − l2 ϕ˙2 sin ϕ2 ] ; ~v3 = [l1 ϕ˙1 cos ϕ1 + l2 ϕ˙2 cos ϕ2 + l3 ϕ˙3 cos ϕ3 , −l1 ϕ˙1 sin ϕ1 − l2 ϕ˙2 sin ϕ2 − l3 ϕ˙3 sin ϕ3 ] .
Protože kvadrát (velikosti) rychlosti je dán součtem kvadrátů souřadnic, dostáváme pro kinetickou energii soustavy vztah Ek=
1n 1 m1 v12+m2 v22+m3 v32 = m1 l12 ϕ˙1 2 (cos2 ϕ1+sin2 ϕ1 )+m2 [(l1 ϕ˙1 cos ϕ1+l2 ϕ˙2 cos ϕ2 )2+ 2 2
+(l1 ϕ˙1 sin ϕ1 + l2 ϕ˙2 sin ϕ2 )2 ] + m3 [(l1 ϕ˙1 cos ϕ1 + l2 ϕ˙2 cos ϕ2 + l3 ϕ˙3 cos ϕ3 )2 + o
+(l1 ϕ˙1 sin ϕ1 + l2 ϕ˙2 sin ϕ2 + l3 ϕ˙3 sin ϕ3 )2 ] . Užitím goniometrických vztahů
cos2 α + sin2 α = 1 ; cos α cos β + sin α sin β = cos(α − β)
platných pro libovolné argumenty α a β kinetickou energii přepíšeme na tvar 1n m1 l12 ϕ˙ 21 + m2 [l12 ϕ˙ 21 + l22 ϕ˙ 22 + 2l1 l2 ϕ˙1 ϕ˙2 cos(ϕ1 − ϕ2 )]+ 2 +m3 [l12 ϕ˙ 21 + l22 ϕ˙ 22 + l32 ϕ˙ 23 + 2l1 l2 ϕ˙1 ϕ˙2 cos(ϕ1 − ϕ2 ) + 2l1 l3 ϕ˙1 ϕ˙3 cos(ϕ1 − ϕ3 )+ Ek =
+2l2 l3 ϕ˙2 ϕ˙3 cos(ϕ2 − ϕ3 )]} .
Uvažujeme-li malé výchylky, lze kinetickou energii uvažováním cos(ϕ1 − ϕ2 ) ≈ 1, cos(ϕ1 − ϕ3 ) ≈ 1 a cos(ϕ2 − ϕ3 ) ≈ 1 přepsat do tvaru i 1h m1 l12 ϕ˙1 2+m2 (l1 ϕ˙1+l2 ϕ˙2 )2+m3 (l1 ϕ˙1+l2 ϕ˙2+l3 ϕ˙3 )2 ] . 2 Odtud derivacemi dostaneme
Ek=
d ∂Ek = m1 l12 ϕ¨1 + m2 l1 (l1 ϕ¨1 + l2 ϕ¨2 ) + m3 l1 (l1 ϕ¨1 + l2 ϕ¨2 + l3 ϕ¨3 ) = dt ∂ ϕ˙1 = l1 [(m1 + m2 + m3 )l1 ϕ¨1 + (m2 + m3 )l2 ϕ¨2 + m3 l3 ϕ¨3 ] , d ∂Ek = m2 l2 (l1 ϕ¨1 + l2 ϕ¨2 ) + m3 l2 (l1 ϕ¨1 + l2 ϕ¨2 + m3 ϕ¨3 ) = dt ∂ ϕ˙2 = l2 [(m2 + m3 )l1 ϕ¨1 + (m2 + m3 )l2 ϕ¨2 + m3 l3 ϕ¨3 ] , d ∂Ek = m3 l3 (l1 ϕ¨1 + l2 ϕ¨2 + l3 ϕ¨3 ) , dt ∂ ϕ˙3 ∂Ek = 0 , i = 1, 2, 3 . ∂ϕi Vezmeme-li nulovou hladinu potenciální energie ve stabilní rovnovážné poloze, kdy ϕ1 = ϕ2 = ϕ3 = 0, dostáváme pro potenciální energii v obecné poloze vztah Ep = m1 gl1 (1 − cos ϕ1 ) + m2 g[l1 (1 − cos ϕ1 ) + l2 (1 − cos ϕ2 )]+ +m3 g[l1 (1 − cos ϕ1 ) + l2 (1 − cos ϕ2 ) + l3 (1 − cos ϕ3 )] . 15
Odtud derivacemi ∂Ep ∂Ep ∂Ep = (m1 + m2 + m3 )gl1 sin ϕ1 ; = (m2 + m3 )gl2 sin ϕ2 ; = m3 gl3 sin ϕ3 . ∂ϕ1 ∂ϕ2 ∂ϕ3 Pro malé výchylky derivace linearizujeme sin ϕi ≈ ϕi i = 1, 2, 3 a dostaneme ∂Ep ∂Ep ∂Ep = (m1 + m2 + m3 )gl1 ϕ1 ; = (m2 + m3 )gl2 ϕ2 ; = m3 gl3 ϕ3 . ∂ϕ1 ∂ϕ2 ∂ϕ3 Dosazením do Lagrangeových rovnic dostaneme tři pohybové diferenciální rovnice tvaru (m1 + m2 + m3 )l12 ϕ¨1 + (m2 + m3 )l1 l2 ϕ¨2 + m3 l1 l3 ϕ¨3 + (m1 + m2 + m3 )gl1 ϕ1 = 0 , (m2 + m3 )l1 l2 ϕ¨1 + (m2 + m3 )l22 ϕ¨2 + m3 l2 l3 ϕ¨3 + (m2 + m3 )gl2 ϕ2 = 0 , m3 l1 l3 ϕ¨1 + m3 l2 l3 ϕ¨2 + m3 l32 ϕ¨3 + m3 gl3 ϕ3 = 0 . V maticovém zápisu při definici vektoru zobecněných souřadnic q = [ϕ1 , ϕ2 , ϕ3 ]T pak model je tvaru M q¨ + Kq = 0 , kde matice hmotnosti (m1 + m2 + m3 )l12 (m2 + m3 )l1 l2 m3 l1 l3 (m2 + m3 )l1 l2 (m2 + m3 )l22 m3 l2 l3 M = 2 m3 l1 l3 m3 l2 l3 m3 l3
a matice tuhosti
(m1 + m2 + m3 )gl1 0 0 0 (m2 + m3 )gl2 0 K= . 0 0 m3 gl3
Příklad 6: Utvořme linearizovaný matematický model rovinného pohybu tuhého tělesa hmotnosti m o osovém momentu setrvačnosti I k ose procházející středem hmotnosti kolmo k rovině pohybu. Těleso je pružně uloženo k rámu celkem N dvojicemi pružin. Každá dvojice pružin má kolmé osy a osy všech příslušných pružin jsou právě dvou směrů (obr.8). Ve statické rovnovážné poloze jsou tyto směry vodorovný a svislý, což budou i směry os souřadnicového systému x, y s počátkem v těžišti tělesa ve statické rovnovážné poloze. Tuhosti těchto lineárních pružin nechť jsou kxi (vodorovné osy) a kyi (svislé osy). Body uchycení pružin na tělese v tomto souřadnicovém systému mají souřadnice [ξi , ηi ], i = 1, . . . , N . Na těleso působí v bodě o souřadnicích [a, b] síla F skloněná o úhel β od osy x. Rovinný pohyb tělesa má tři stupně volnosti. Za zobecněné souřadnice volme výchylky x a y těžiště a úhel natočení ϕ kolem osy z. Rozložíme-li rovinný pohyb v těžišti tělesa na unášivý posuv rychlostí ~v = [vx , vy ] a druhotnou rotaci úhlovou rychlostí ω = ϕ, ˙ máme podle Königovy věty pro kinetickou energii vztah 1 1 1 Ek = (mv 2 + Iω 2 ) = [m(vx2 + vy2 ) + Iω 2 ] = [m(x˙ 2 + y˙ 2 ) + I ϕ˙ 2 ] . 2 2 2 Derivacemi odtud dostaneme 16
y F A = a, b kxi
Li = ξ i , ηi β
S
x ϕ
k yi
Obrázek 8:
d ∂Ek d ∂Ek d ∂Ek ∂Ek ∂Ek ∂Ek = m¨ x; = m¨ y; = I ϕ¨ ; = = = 0. dt ∂ x˙ dt ∂ y˙ dt ∂ ϕ˙ ∂x ∂y ∂ϕ Pro určení potenciální energie nejprve odvodíme vztah pro změny souřadnic bodů uchycení pružin při natočení tělesa o úhel ϕ kolem osy z. Na obr.9 máme původní souřadnicový systém x, y a polohový vektor ~r = [ξ, η], jakož i natočený souřadnicový systém o úhel natočení ϕ a polohový vektor ~r, se souřadnicemi v původním systému [ξ ′ , η ′ ]. Vektory ~ex a ~ey , jakož i ~e,x a ~e,y jsou bázové vektory jednotlivých os souřadnicových systémů. Potom zřejmě platí
y
,
y
r
ϕ , ey
, L
L = ξ, η
,
ϕ ey
∆r
, ex
x
,
r ϕ
x
ex Obrázek 9: ~e,x = cos ϕe~x + sin ϕe~y ; ~e,y = − sin ϕe~x + cos ϕe~y ′ , , ~r, = ξ~e,x + η~e,y .
Dosazením prvních dvou rovnic do třetí a sdružením členů se stejnými bázovými vektory původního systému vznikne ~r, = (ξ cos ϕ − η sin ϕ)e~x + (ξ sin ϕ + η cos ϕ)e~y . 17
Protože ~r = ξ e~x + η e~y , dostáváme pro rozdílový vektor ∆~r = r~, − ~r = (ξ cos ϕ − η sin ϕ − ξ)e~x + (ξ sin ϕ + η cos ϕ − η)e~y .
Jestliže úhel natočení souřadnicových systémů ϕ je malý, lze linearizovat sin ϕ ≈ ϕ a cos ϕ ≈ 1. Potom předchozí výraz vejde do tvaru ∆~r = −ηϕe~x + ξϕe~y . Rozdílový vektor má v původním systému souřadnice ∆~r = [−η, ξ]ϕ. Tyto souřadnice udávají změny délek pružin příslušných os při malém úhlu natočení tělesa kolem osy procházející kolmo na rovinu pohybu těžištěm tělesa. Při posuvu těžiště tělesa ve vodorovném směru o x, ve svislém směru o y a při malém natočení ϕ kolem osy z dojde (pro pružiny dostatečných délek) k deformaci vodorovných pružin o x − ηi ϕ a u svislých pružin o y + ξi ϕ, i = 1, . . . , N . Jestliže nulovou hladinu potenciální energie volíme ve statické rovnovážné poloze, je v obecné poloze, dané výchylkami x, y a ϕ potenciální energie Ep = Derivacemi odtud získáme
N 1X [kxi (x − ηi ϕ)2 + kyi (y + ξi ϕ)2 ] . 2 i=1
N N ∂Ep X ∂Ep X = [kxi (x − ηi ϕ)] ; = [kyi (y + ξi ϕ)] ; ∂x ∂y i=1 i=1 N ∂Ep X = [−kxi ηi (x − ηi ϕ) + kyi ξi (y + ξi ϕ)] . ∂ϕ i=1
Udělíme-li postupně soustavě virtuální pohyby při změnách souřadnic x, y a ϕ, dostaneme z principu virtuálních prací f1 = −F cos β ; f2 = −F sin β ; f3 = F (b cos β − a sin β) .
Dosazením do Lagrangeových rovnic dostáváme pohybové rovnice ve tvaru
m¨ x+ m¨ y+ I ϕ¨ −
N X
kxi ηi x +
i=1
N X i=1
N X
i=1 N X
kyi ξi y +
kxi x − kyi y +
i=1 N X i=1
N X
i=1 N X i=1
kxi ηi ϕ = −F cos β , kyi ξi ϕ = −F sin β ,
(kxi ηi2 + kyi ξi2 )ϕ = F (b cos β − a sin β) .
V maticovém zápisu při definici vektoru zobecněných souřadnic q = [x, y, ϕ]T pak model je tvaru M q¨ + Kq = f , kde matice hmotnosti m 0 0 M = 0 m 0 0 0 I
a matice tuhosti
18
N X K= i=1
Vektor buzení má tvar
kxi 0 −kxi ηi 0 kyi kyi ξi . −kxi ηi kyi ξi kxi ηi2 + kyi ξi2
f T = [−F cos β, −F sin β, F (b cos β − a sin β)] .
Nahraďme soustavu N pružin vedle sebe o tuhostech kxi jedinou pružinou o tuhosti kx =
N X
kxi v bodě o souřadnici yC , pro kterou platí
i=1
N X
kxi ηi = kx yC .
i=1
Analogicky nahraďme soustavu N pružin vedle sebe o tuhostech kyi jedinou pružinou o tuhosti ky =
N X
kyi v bodě o souřadnici xC , pro kterou platí
i=1
N X
kyi ξi = ky xC .
i=1
Poznámka: Jedná se o analogickou situaci k definici střediska soustavy rovnoběžných sil, popřípadě těžiště soustavy hmotných bodů, jakožto středisko jejich rovnoběžných tíh. Dále označme
N X
(kxi ηi2 + kyi ξi2 ) = kϕ . Jedná se o celkovou rotační tuhost soustavy
i=1
pružin. Při natočení tělesa kolem osy z o (malý) úhel ϕ totiž tyto deformované pružiny vykazují vratnou silovou dvojici o momentu M = kϕ ϕ. Veličina ξi ϕ totiž odpovídá deformaci pružiny o tuhosti kxi a veličina ηi ϕ pak odpovídá deformaci pružiny o tuhosti kyi . Po násobení příslušnými tuhostmi získáváme vratné síly v těchto pružinách působící a posléze násobením příslušným ramenem ξi (pro pružiny o svislé ose) resp. ηi (pro pružiny o vodorovné ose) dostáváme vratný moment. Matice tuhosti soustavy, zapsaná pomocí zavedených pojmů, má potom tvar kx 0 −kx yC 0 ky ky xC K= . −kx yC ky xC kϕ
Poznámka: Bod C= [xC , yC ] nazýváme středem pružnosti soustavy pružin. Jestliže ve speciálním případě je C= [0, 0] (tedy střed pružnosti a střed hmotnosti jest tentýž bod), má matice tuhosti diagonální tvar kx 0 0 K = 0 ky 0 . 0 0 kϕ
Protože matice hmotnosti i tuhosti je v tomto případě diagonální, rozpadá se soustava tří pohybových rovnic na tři separátní rovnice, kdy každou lze řešit nezávisle na zbylých dvou. Tyto rovnice mají tvar m¨ x + kx x = −F cos β ; m¨ y + ky y = −F sin β ; I ϕ¨ + kϕ ϕ = F (b cos β − a sin β) . 19
q
q
q
Odtud plyne, že např. vlastní frekvence soustavy jsou Ω1 = kmx , Ω2 = kmy a Ω3 = kIϕ . Jestliže platí C= [xC , 0] (tedy střed pružnosti a střed hmotnosti leží na společné vodorovné přímce), má matice tuhosti tvar kx 0 0 ky ky xC K= 0 . 0 ky xC kϕ
Odtud plyne, že soustava tří pohybových rovnic se tentokráte rozpadá na jednu rovnici tvaru m¨ x + kx x = −F cos β řešitelnou nezávisle na zbylých dvou a soustavu dvou rovnic tvaru "
m 0 I 0
#"
y¨ ϕ¨
#
+
"
ky ky xC ky xC kϕ
#"
y ϕ
#
=
"
−F sin β F (−a sin β + b cos β)
#
,
jež ovšem nutno řešit jako soustavu. Analogická situace by nastala, kdyby platilo C= = [0, yC ]. Poznámka: Jestliže každé pružině soustavy byl přiřazen příslušný koeficient viskózního tlumení bxi a byi , i = 1, . . . , N , bude mít Rayleighova disipační funkce analogický tvar jako potenciální energie, kde místo tuhostí budou figurovat koeficienty viskózního tlumení a místo zobecněných souřadnic zobecněné rychlosti. Vzhledem ke tvaru Lagrangeových rovnic bude matice tlumení mít tvar bxi 0 −bxi ηi 0 byi byi ξi B= . 2 2 i=1 −bxi ηi byi ξi bxi ηi + byi ξi N X
Zavedením středu tlumení B o souřadnicích [xB , yB ], pro které platí N X i=1
bxi · yB =
N X
bxi ηi ;
N X i=1
i=1
byi · xB =
a zavedením celkových koeficientů viskózního tlumení bx =
N X
bxi ; by =
i=1
N X
byi ; bϕ =
i=1
získáme matici tlumení ve tvaru
N X
N X
byi ξi ,
i=1
(bxi ηi2 + byi ξi2 )
i=1
bx 0 −bx yB 0 by by xB B= . −bx yB by xB bϕ
Příklad 7: Utvořme matematický model řetězce s n stupni volnosti (obr.10) při kinematickém buzení daném předepsaným pohybem základu u(t). Hmotnosti řetězce jsou mi a tuhosti pružin ki , i = 1, . . . , n. Řetězec si představíme ve tvaru s listovými pružinami (při malých výchylkách ze svislé polohy), abychom mohli snáze nahlédnout jednotlivé typy zobecněných souřadnic. 1. Volme za zobecněné souřadnice absolutní výchylky xi od nepohyblivého rámu. Pak zřejmě pro kinetickou energii soustavy máme Ek =
1 2
n X
mi x˙ 2i , odkud
i=1
∂Ek d ∂Ek = mi x¨i ; = 0 , i = 1, . . . , n . dt ∂ x˙ i ∂xi 20
yn
xn
mn zn kn 2
y2
x2
kn 2
m2 z2 y1
x1
k2 2
k2 2
m1 z1 k1 2
k1 2
u(t) Obrázek 10: Pro potenciální energii kumulovanou v deformovaných pružinách (nulová hladina ve svislé poloze) dostáváme
odkud
n 1 1X Ep = k1 (x1 − u)2 + ki (xi − xi−1 )2 , 2 2 i=2
∂Ep ∂Ep = k1 (x1 −u)−k2 (x2 −x1 ) ; = ki (xi −xi−1 )−ki+1 (xi+1 −xi ) , i = 2, . . . , n−1 ; ∂x1 ∂xi ∂Ep = kn (xn − xn−1 ) . ∂xn Dosazením do Lagrangeových rovnic dostaneme pohybové rovnice
m1 x¨1 + (k1 + k2 )x1 − k2 x2 m2 x¨2 − k2 x1 + (k2 + k3 )x2 − k3 x3 ··· mn−1 x¨n−1 − kn−1 xn−2 + (kn−1 + kn )xn−1 − kn xn mn x¨n − kn xn−1 + kn xn
= k1 u(t) , = 0, = 0, = 0.
V maticovém zápisu pro vektor zobecněných souřadnic q T = [x1 , . . . , xn ] máme pohybové rovnice ve tvaru 21
M q¨ + Kq = f (t) , kde M = diag[m1 , . . . , mn ] ; f (t) = k1 [u(t), 0, . . . , 0]T ;
K=
k1 + k2 −k2 0 −k2 k2 + k3 −k3 ··· 0 0 0 0 0 0
··· ···
0 0
0 0
0 0
· · · −kn−1 kn−1 + kn −kn ··· 0 −kn kn
.
2. Volme za zobecněné souřadnice relativní výchylky yi od pohyblivého základu. Pak zřejmě pro kinetickou energii soustavy máme Ek =
1 2
n X
2 mi (y˙ i + u(t)) ˙ , odkud
i=1
∂Ek d ∂Ek = mi (¨ yi + u¨(t)) ; = 0 , i = 1, . . . , n . dt ∂ y˙ i ∂yi Pro potenciální energii kumulovanou v deformovaných pružinách (nulová hladina ve svislé poloze) dostáváme n 1 1X 2 Ep = k1 y1 + ki (yi − yi−1 )2 , 2 2 i=2
odkud
∂Ep ∂Ep = k1 y1 − k2 (y2 − y1 ) ; = ki (yi − yi−1 ) − ki+1 (yi+1 − yi ) , i = 2, . . . , n − 1 ; ∂y1 ∂yi ∂Ep = kn (yn − yn−1 ) . ∂yn Vidíme, že parciální derivace potenciální energie jsou naprosto stejné jako v předchozím případě. Proto i matice tuhosti soustavy je formálně stejná jako výše. Z derivací kinetické energie vyplývá převedením členů s funkcí u(t) na pravou stranu, že matice hmotnosti M a vektor pravé strany f (t) mají tvar M = diag[m1 , . . . , mn ] ; f (t) = −¨ u(t)[m1 , . . . , mn ]T . 3. Volme za zobecněné souřadnice relativní výchylky zi tělesa i−tého od tělesa (i − − 1)−tého pro i = 2, . . . , n a z1 = y1 . Pak zřejmě pro kinetickou energii soustavy máme
!2 ,
n X 1 2 2 z˙i + u(t) ˙ ˙ + m2 (z˙1 + z˙2 + u(t)) ˙ + · · · + mn Ek = m1 (z˙1 + u(t)) 2 i=1
odkud
d ∂Ek = dt ∂ z˙i
n X j=i
mj
j X
k=1
z¨k + u¨ ; 22
∂Ek = 0 , i = 1, . . . , n . ∂zi
Pro potenciální energii kumulovanou v deformovaných pružinách (nulová hladina ve svislé poloze) dostáváme Ep = odkud
n 1X ki z 2 , 2 i=1 i
∂Ep = ki zi . ∂zi Matice tuhosti je tedy diagonální K = diag[ki ]. Z derivací kinetické energie vyplývá převedením členů s funkcí u(t) na pravou stranu, že matice hmotnosti M a vektor pravé strany f (t) mají tvar
mi i=1 n X mi i=2 n X M = mi i=3 .. . mn−1 + mn mn
T
n X
n X
f (t) = −¨ u(t)
"
i=2 n X
i=2 n X
n X
mi
i=3 n X
mi
i=3 n X
mi
mi
. . . mn−1 + mn mn
mi
. . . mn−1 + mn mn
mi
. . . mn−1 + mn mn
i=3
i=3
.. .. .. .. . . . . zn−1 + mn mn−1 + mn . . . mn−1 + mn mn mn mn ... mn mn n X
mi
n X
mi
mi . . . mn−1 + mn mn
i=3
i=2
i=1
n X
#
;
.
Poznámka: Na této úloze je patrno, jak volba souřadnic ovlivňuje matematický model soustavy. Obecně je možno říci, že volba absolutních souřadnic vede k jednodušší matici hmotnosti a složitější matici tuhosti, zatímco u relativních souřadnic jest tomu naopak. Je samozřejmé, že všechny matematické modely popisují jednu fyzikální úlohu, takže jejich vlastní frekvence musí být stejné. O vlastních vektorech se to ale už říci nedá. V nich je zohledněna volba souřadnic. Příklad 8: Prstenec poloměru r rotuje v horizontální rovině konstantní úhlovou rychlostí ω (obr.11). K němu jsou připojeny dvě pružiny o tuhostech kx a ky s kolmými osami o volných délkách r, jež současně spojují hmotný bod o hmotnosti m. Popíšeme linearizovaný matematický model bodu v rotujícím prostoru zobecněných souřadnic q T = [x, y]. se nachází v obecné poloze L=[x, y], takže jeho vzdálenost od středu prstence S √Bod 2 je x + y 2 . Jeho rychlost je vektorovým součtem unášivé rychlosti ~vt kolmé na průvodič bodu a relativních rychlostí √ velikostí x˙ a y˙ směrů příslušných souřadnicových os. Velikost unášivé rychlosti je vt = ω x2 + y 2 a promítá se do os x a y prostřednictvím úhlu β (viz obr.11-jedná se o úhly s kolmými rameny). Proto složky vx a vy výsledné rychlosti jsou
Dále zřejmě platí
vx = x˙ − vt sin β ; vy = y˙ + vt cos β . sin β = √
y x ; cos β = √ 2 . 2 +y x + y2
x2
23
Y y x
vt
L = x, y m ωt
kx
β S ky
A
X
r
B Obrázek 11: Dosazením do předchozího výrazu vznikne vx = x˙ − ωy a vy = y˙ + ωx. Kinetická energie bodu proto je 1 Ek = m[(x˙ − ωy)2 + (y˙ + ωx)2 ] . 2 Derivacemi odtud získáme postupně ∂Ek ∂Ek = m(x˙ − ωy) ; = m(y˙ + ωx) ; ∂ x˙ ∂ y˙ d ∂Ek d ∂Ek = m(¨ x − ω y) ˙ ; = m(¨ y + ω x) ˙ ; dt ∂ x˙ dt ∂ xy ˙ ∂Ek ∂Ek = mω(y˙ + ωx) ; = −mω(x˙ − ωy) . ∂x ∂y Pro určení potenciální energie určíme okamžité délky pružin. Aplikací kosínové věty v trojúhelníku ASL dostaneme pro pružinu o tuhosti kx q
2
AL = lx2 = r2 + x2 + y 2 + 2r x2 + y 2 cos β = r2 + x2 + y 2 + 2rx . Analogicky aplikací kosínové věty v trojúhelníku BSL dostaneme pro pružinu o tuhosti ky q
2
BL = ly2 = r2 + x2 + y 2 + 2r x2 + y 2 sin β = r2 + x2 + y 2 + 2ry . Protože volná délka obou pružin byla r, dostáváme pro deformaci dz (z = x, y) pružin vztah dz = lz − r =
q
r2 + x2 + y 2 + 2rz − r , z = x, y .
Potenciální energie kumulovaná v deformovaných pružinách potom je 24
q 1 1 Ep = (kx d2x + ky d2y ) = kx 2r2 + x2 + y 2 + 2rx − 2r r2 + x2 + y 2 + 2rx + 2 2
2
2
2
+ky 2r + x + y + 2ry − 2r
q
r2
+
x2
+
y2
+ 2ry
.
(12)
Výrazy s odmocninami nyní upravíme pro malé výchylky x a y aplikací Taylorova rozvoje √ funkce f (u) = 1 + u v okolí nuly a zahrnutím pouze členů s maximálně druhými mocninami poměrů xr resp. yr . Zřejmě platí
tudíž f (0) = 1,
df (0) du
df d2 f 1 1 q , ; (u) = √ (u) = − du 2 1 + u du2 4 (1 + u)3 =
1 2
d2 f (0) du2
a
= − 41 , a proto
1 d2 f u u2 1 df 2 (0)u + − . (13) (0)u = 1 + 1! du 2! du2 2 8 Upravme nyní první sčítanec s odmocninou ve vyjádření potenciální energie. Dostaneme f (u) ≈ f (0) +
2r
q
r2
+
x2
+
y2
+ 2rx = 2r
2
s
2
x x 1+2 + r r
+
2
y r
.
Druhý člen Taylorova rozvoje (13) použijeme pro x x 2 y 2 u=2 + + r r r x a třetí člen pak ještě pro u = 2 r . Ostatní výrazy by už obsahovaly členy s třetí a vyšší mocninou poměru xr . Tím poslední vztah upravíme na tvar
q
2r r2 + x2 + y 2 + 2rx ≈ 2r
2
x 1 x 1+ + r 2 r
"
2
1 y + 2 r
2
1 x − 2 r
2 #
Analogicky upravíme i druhý výraz s odmocninou v (12) jako q
2r r2 + x2 + y 2 + 2ry ≈ 2r2 + 2ry + x2 .
Dosazením do (12) získáme potenciální energii v jednoduchém tvaru 1 Ep = (kx x2 + ky y 2 ) , 2 takže
∂Ep ∂z
= kz z (z = x, y). Dosazením do Lagrangeových rovnic
d ∂Ek ∂Ek ∂Ep − + = 0 , z = x, y dt ∂ z˙ ∂z ∂z dostaneme pohybové rovnice bodu ve tvaru m¨ x − 2mω y˙ − mω 2 x + kx x = 0 , m¨ y + 2mω x˙ − mω 2 y + ky y = 0 .
Tyto rovnice přepíšeme do maticového tvaru 25
= 2r2 + 2rx + y 2 .
M q¨ + ωGq˙ + Kq = 0 , kde M=
"
m 0 0 m
#
; G=
"
0 −2m 2m 0
#
; K=
"
kx − mω 2 0 0 ky − mω 2
#
.
Poznámky: 1. Oproti nerotujícímu prstenci (ω = 0), kdy by matice hmotnosti i tuhosti byla diagonální a každá ze dvou pohybových rovnic by se dala řešit separátně, je tato soustava provázaná antisymetrickou maticí ωG linearizovaných gyroskopických účinků. Kromě toho dochází vlivem odstředivých sil ke změkčení soustavy q k , (prvky matice tuhosti jsou menší než v případě ω = 0). Zřejmě pro ω > m kde k = min{kx , ky } by alespoň jeden prvek matice tuhosti byl záporný. Matice tuhosti by potom byla negativně definitní, což vede k nestabilitě systému. 2. Pokud by pružiny měly svoje vlastní vnitřní tlumení charakterizované konstantami tlumení bx a by , odvodili bychom analogickou cestou jako u potenciální energie i linearizovanou disipační funkci R = 12 (bx x˙ 2 + by y˙ 2 ). Tento stav by se v pohybových ˙ kde pro matici tlumení by platilo B = rovnicích projevil připojením členu B q, = diag[bx , by ]. Příklad 9 Sestavíme matematický model příčného kmitání homogenního prizmatického nosníku na dvou podpěrách (obr.12), na který působí svislé síly Fi (t) v místech určených parametry li od ”levé” podpěry. Hmotnost nosníku soustředíme do bodů působení sil (tzv. míst diskretizace), kde budou představovat hmotné body o hmotnostech mi , i = 1, . . . , n.
m1
l1
F1
y1
Fn
F2 m2
mn
111 000 000 111 11 00
yn
y2
l2 ln l Obrázek 12: Úlohu budeme řešit pomocí tzv. příčinkových součinitelů, známých z teorie pružnosti. Příčinkový součinitel αij vyjadřuje průhyb nosníku v místě j, jestliže v místě i působí jednotková síla. Vzhledem k předpokládané platnosti lineární teorie pružnosti, pro celkový průhyb nosníku v místě i od působení sil fj v místech j = 1, . . . , n platí yi =
n X
αij fj .
j=1
26
Kótujeme-li výchylky podle obrázku, jsou výsledné síly dány rozdílem vnějších a setrvačných sil působících na hmotné body. Proto jest yi =
n X
j=1
αij [Fj (t) − mj y¨j ] , i = 1, . . . , n .
Zavedením diagonální matice hmotnosti M = diag[mj ] a symetrické matice příčinkových součinitelů G = [αij ], lze předchozí rovnici zapsat v maticovém tvaru ¨] , y = G[F (t) − M y
kde jsme označili y = [yi ] vektor průhybů a F (t) vektor vnějších sil. Oba vektory jsou dimenze n a matice řádu n. Je-li matice příčinkových součinitelů regulární, dostáváme násobením poslední rovnice zleva inverzní maticí G−1 matematický model ve tvaru ¨ + G−1 y = F (t) . My Matice tuhosti je tedy inverzní maticí příčinkových součinitelů. Poznámka: V teorii pružnosti se dokazuje, že pro nosník na dvou podpěrách pro příčinkové součinitele platí li (l − lj )[l2 − li2 − (l − lj )2 ] , 6EJl kde l je celková délka nosníku, E [Pa] modul pružnosti v tahu materiálu nosníku a J[m4 ] kvadratický moment průřezu nosníku. Ze vztahu pro příčinkové součinitele je ihned patrno, že αij = αji , takže matice G je symetrická. αij =
27
