Modelování kmitavých soustav s jedním stupněm volnosti Zpracoval Doc. RNDr. Zdeněk Hlaváč, CSc
1. Základní model Základním modelem kmitavé soustavy s jedním stupněm volnosti je tzv. diskrétní podélně kmitající model, jenž vzniká připojením tuhého tělesa hmotnosti m nehmotnou lineární pružinou o tuhosti k se svislou osou k rámu (obr.1). Jestliže uvažujeme posuv hmotnosti po svislici vzniklý pouze působením nenulových počátečních podmínek (tzv. volné kmitání), působí na uvolněné těleso, při kótování výchylky x od volné délky pružiny, pouze setrvačná síla, vratná elastická síla a vlastní tíha tělesa (obr.1). Všechny tyto síly mají svislou nositelku, pročež pohybovou rovnici, jakožto silovou podmínku dynamické rovnováhy do svislého směru, můžeme zapsat ve tvaru m¨ x + kx − mg = 0 .
(1)
k
l0 x st
x y
m
Obrázek 1: Budeme-li osu pružiny situovat vodorovně (obr.2) dostáváme při zanedbaném tření hmoty na rámu pohybovou rovnici ve tvaru m¨ x + kx = 0 .
(2)
k m l0
x
f=0
Obrázek 2: Tíha, jakožto svislá síla, se nyní do směru pohybu nepromítá. Protože obě pohybové rovnice popisují fyzikálně stejný děj, je v rovnici (1) konstantní člen mg navíc. Situace se 1
uvede do souladu zavedením nové výchylky y, kterou v případě svislé osy pružiny kótujeme až od tzv. statické rovnovážné polohy, dané parametrem xst (obr.1). Zavěsíme-li k pružině volné délky l0 a tuhosti k těleso hmotnosti m a necháme ustálit, dojde k jejímu klidovému protažení právě o hodnotu xst , kdy je v rovnováze vratná síla takto deformované pružiny s tíhou, tedy kdy platí mg = kxst .
(3)
Z obr.1 je patrno, že x = xst + y . Protože podle (3) je xst konstanta, platí x¨ = y¨. Dosazením těchto výrazů do (1) za x a x¨ získáme m¨ y + kxst + ky − mg = 0 . Aplikací (3) však odtud dostáváme rovnici (2) ve výchylce y. Je-li tedy osa pružiny jiná než vodorovná, kótujeme výchylku od statické rovnovážné polohy a příslušnou složku tíhy do rovnováhy sil nezahrnujeme. Pohybová rovnice je vždy tvaru (2) a říkáme jí pohybová rovnice volných netlumených kmitů. Volné kmity vznikají bez přítomnosti budící síly. Vznikají z nenulových počátečních podmínek. Buď tedy pružinu deformujeme a pustíme z klidu (nenulová polohová počáteční podmínka) nebo hmotu ze statické rovnovážné polohy ”postrčíme” (nenulová rychlostní počáteční podmínka), popřípadě provedeme kombinaci obojího. Působí-li na hmotu navíc budící síla F (t), má tato v pohybové rovnici záporné znaménko (obr.1 a 2). S kladným znaménkem ji obvykle převádíme na pravou stranu. Pohybová rovnice má pak tvar m¨ x + kx = F (t) . Jestliže je k pružině paralelně řazen lineární (tzv. viskózní) tlumič, působí v něm proti pohybu tlumící síla úměrná rychlosti pohybu tělesa. Pohybová rovnice podélných tlumených (obecně buzených) kmitů má pak tvar (obr. 3) m¨ x + bx˙ + kx = F (t) .
k
kx F(t)
b l0
(4)
.. mx
m
. bx x
f=0
Obrázek 3: Konstantu b udáváme v [Ns/m] = [kg/s] a nazýváme ji konstantou vazkého tlumení. Vlivem tlumení se mechanická energie mění na energii tepelnou. Nastává tzv. disipace energie. Tlumič může být skutečně funkční, paralelně připojený k pružině jako na kinematickém schématu na obr.3. Může ale také znázorňovat materiálové tlumení drátu, ze kterého je pružina vyrobena. Model bez tlumení je vždy abstrakce, více nebo méně odlišná od skutečnosti. V případě materiálového tlumení bývá v praxi problémem číselně 2
vyjádřit konstantu b. Lze to zjistit experimentem a následným výpočtem-viz téma ”volné kmitání”. Poznámka: Výše popsané pohybové rovnice lze rovněž odvodit aplikací Lagrangeovy rovnice (druhého druhu) tvaru d dt
∂Ek ∂ q˙
!
∂Ek ∂Ep ∂R + + = Q. ∂q ∂q ∂ q˙
−
V této rovnici Ek je kinetická energie tělesa, Ep potenciální energie soustavy, R je tzv. Rayleighova disipační funkce a Q zobecněná síla příslušející k zobecněné souřadnici q. Protože těleso se posouvá, platí pro kinetickou energii při libovolném kótování výchylky (q = x nebo q = y) vztah Ek = 12 mx˙ 2 = 21 my˙ 2 . Pro disipační funkci platí R = 12 bx˙ 2 = 21 by˙ 2 (polovina výkonu tlumící síly). Potenciální energie soustavy je pro případ výchylky x rovna Ep = Ep0 + 21 kx2 − mgx, kde Ep0 je potenciální energie ′ ′ je potenciální v poloze x = 0. Pro případ výchylky y je Ep = Ep0 + 12 ky 2 , přičemž Ep0 energie v poloze y = 0. V tomto případě nezahrnujeme do výpočtu změny Ep vyvolané změnou polohy těžiště tělesa. Pro zobecněnou sílu zřejmě platí Q = F (t). První člen Lagrangeovy rovnice představuje setrvačnou sílu, druhý člen je nulový (pro kmitavé soustavy kinetická energie nezávisí na poloze), třetí člen představuje elastickou a čtvrtý člen tlumící sílu. Zobecněná síla na pravá straně představuje (nekonzervativní) budící sílu.
2. Případy převeditelné na základní model a) Tuhé těleso zavěšené na teoreticky nehmotném laně (tyči). Vlastnosti lineární pružiny má i prizmatická tyčka (lano) při namáhání na tah (obr.4). Z Hookeova zákona pro tah plyne pro deformaci tyče x pod působením osové síly F výraz Fl , (5) EA kde l je délka a A plocha průřezu nezatížené tyče, E je modul pružnosti v tahu materiálu x=
l
x F
Obrázek 4: tyče. Srovnáním (5) s výrazem lineární závislosti vratné síly v pružině na deformaci zjišťujeme, že tuhost tyče je 3
AE . (6) l Poznámka: Pohybová rovnice kmitání tyče (lana) s hmotností m na konci je tvaru (2) nebo (4) pro tuhost danou v (6) jen v tom případě, kdy hmotnost tyče (stejně jako pružiny) zanedbáme. Zahrnutí hmotnosti pružiny (tyče) do výpočtu, provedeme níže. k=
b) Spirálová pružina namáhaná silovou dvojicí. Mějme spirálovou pružinu jedním koncem vetknutou do rámu. Namáháme-li silovou dvojicí s vektorem momentu M v ose pružiny její volný konec, natočí se o úhel ϕ. Je-li pružina lineární, vztah mezi momentem M a úhlem ϕ je přímá úměrnost M = kt ϕ. Konstantu kt , jíž udáváme v [Nm/rad], nazýváme torzní tuhost pružiny. Jestliže od polohy v nezatíženém stavu kótujeme úhel natočení ϕ kotouče o osovém momentu setrvačnosti I připojeného ke spirálové pružině o torzní tuhosti kt s tím, že kotouč lze otáčet pouze kolem osy pružiny, je pohybová rovnice tohoto pohybu zřejmě tvaru I ϕ¨ + kt ϕ = 0 .
(7)
Tato rovnice vyjadřuje dynamickou rovnováhu silových dvojic k ose pružiny. Dvojice I ϕ¨ je setrvačná (kotouč se otáčí kolem hlavní centrální osy setrvačnosti) a dvojice kt ϕ je elastická dvojice. Připojíme-li silovou dvojici tlumící, modelující materiálové tlumení pružiny, a budící dvojici o momentu M (t), je pohybová rovnice tvaru I ϕ¨ + bt ϕ˙ + kt ϕ = M (t) .
(8)
Konstantu bt udáváme v [Nms/rad] a nazýváme ji konstantou torzního tlumení. Srovnáním (8) a (4) zjišťujeme matematicky stejné diferenciální rovnice s následující analogií veličin Podélné kmity Torzní kmity
m I
b bt
k kt
F (t) x M (t) ϕ
Rovnice (7) popisuje netlumené volné torzní kmity, rovnice (8) obecně tlumené, buzené torzní kmity. c) Kotouč na teoreticky nehmotném hřídeli. Vlastnosti lineární torzní pružiny má i hřídel kruhového (mezikruhového) průřezu při namáhání na krut. Z Hookeova zákona pro prostý krut plyne pro deformaci (nakroucení) hřídele pod působením torzního momentu M výraz Ml , GJp kde l je délka hřídele, G modul pružnosti jeho materiálu ve smyku a Jp je polární kvadratický moment plochy průřezu udávaný v [m4 ]. Srovnáním se vztahem pro úměrnost elastického momentu s úhlem natočení odtud dostaneme pro torzní tuhost hřídele vztah ϕ=
GJp . (9) l R Veličina Jp je definována jako Jp = (A) ρ2 dA, kde ρ je první polární souřadnice s počátkem v těžišti průřezu. Pro mezikruhový průřez o vnějším poloměru R a vnitřním poloměru r platí kt =
4
π 4 π A (R − r4 ) = (R2 − r2 )(R2 + r2 ) = (R2 + r2 ) . (10) 2 2 2 Pohybová rovnice kmitání hřídele s kotoučem na konci má tvar (7) nebo (8), kde torzní tuhost je dána v (9) a polární moment v (10) pro případ zanedbané hmotnosti hřídele. Jp =
d) Relativní kmity dvou izolovaných hmot na pružině. Mějme dvě tělesa hmotností m1 a m2 (obr. 5), které jsou spojeny pružinou tuhosti k. Zřejmě se jedná o soustavu se dvěma stupni volnosti popsanou zobecněnými souřadnicemi x1 a x2 (obr.5). Pohybové rovnice získáme například metodou uvolňování za nepodstatného předpokladu relace mezi oběma výchylkami například x2 > x1 . Pro každé těleso je v rovnováze vždy setrvačná síla od posuvu s elastickou silou (obr.5). Pohybové rovnice tedy lze formulovat ve tvaru m1 x¨1 − k(x2 − x1 ) = 0 ; m2 x¨2 + k(x2 − x1 ) = 0 .
k m1
f=0
x1
m2
x2 .. m1 x 1
k (x 2 − x1 )
.. m2 x2
k (x2 − x1 )
Obrázek 5: Tyto pohybové rovnice zřejmě zůstávají v platnosti i pro opačnou relaci x2 ≤ x1 . Pak jen druhé sčítance změní znaménko. Násobením první rovnice konstantou m2 , druhé rovnice konstantou m1 a odečtením vzniklých rovnic získáme m1 m2 (¨ x2 − x¨1 ) + k(x2 − x1 )(m1 + m2 ) = 0 . Označíme-li x = x2 − x1 (což je relativní výchylka hmoty m2 vůči pozorovateli nacházejícímu se na hmotě m1 ), je x¨ = x¨2 − x¨1 a předchozí rovnice má tvar x¨ + k
m1 + m2 x = 0. m1 m2
Označíme-li jako m hmotnost, pro kterou 1 1 m1 + m2 1 = + = , m m1 m2 m1 m2 přepíšeme (po násobení veličinou m) předchozí rovnici na tvar m¨ x + kx = 0 , 5
(11)
což je rovnice (netlumeného) volného podélného kmitání soustavy s jedním stupněm volnosti. Hmotnost m je definovaná v (11). Poznámka: Analogická situace vznikne u dvou kotoučů o osových momentech setrvačnosti I1 a I2 vázaných nehmotným hřídelem (obr.6) o torzní tuhosti kt . Zavedeme-li úhel nakroucení hřídele ϕ = ϕ2 −ϕ1 a moment setrvačnosti I vztahem I1 = I11 + I12 , dostáváme pohybovou rovnici relativních kmitů kotouče I2 vůči kotouči I1 ve tvaru I ϕ¨ + kt ϕ = 0 .
ϕ1
0000 011111 0000 10 10101111 10 1111 10 0000
I1
kt
I2
ϕ2
Obrázek 6: Důležitá poznámka: Zahrnutí hmotnosti pružin (tyčí, lan, hřídelů). Způsob zahrnutí hmotnosti pružného členu v soustavě odvodíme pro případ homogenní prizmatické tyče délky l (obr.7). Odvození provedeme za platného předpokladu lineárního nárůstu výchylky mezi vetknutím a volným koncem tyče, srovnáním kinetické energie takto se pohybující tyče s kinetickou energií tuhého tělesa nacházejícího se na volném konci nehmotné tyče. V místě popsaném polohou z od místa vetknutí (obr.7) vytkneme element tyče délky dz. Jestliže volný konec tyče má výchylku x a tyč celkovou hmotnost mt , dostáváme za uvedených předpokladů pro hmotnost tohoto elementu vztah dm = mt dzl a pro výchylku tohoto elementu vztah xz = x zl . Protože polohová proměnná z nezávisí na čase, dostáváme odtud časovou derivací x˙ z = x˙ zl . Pro kinetickou energii elementu pak platí . x z, x z
z
1 0 0 1
. x, x
dz l
Obrázek 7:
1 1 x˙ 2 1 dz z 2 dEk = dm x˙ 2z = mt x˙ 2 2 = mt 3 z 2 dz . 2 2 l l 2 l Integrací po celé délce tyče odtud pro kinetickou energii celé tyče získáme 1 mt x˙ 2 1 x˙ 2 Z l 2 z dz = . Ek = dEk = mt 3 2 l 0 2 3 Odtud plyne, že náhradou hmotnosti tyče na volném konci je tuhé těleso o hmotnosti rovné třetině hmotnosti tyče. Analogická situace bude pro homogenní hmotné pružiny i homogenní hřídele. Z
6
3. Jiné modely vedoucí na popsanou pohybovou rovnici Některé další fyzikální modely kmitavých soustav s jedním stupněm volnosti se převádějí na základní (netlumený) podélně kmitající o pohybové rovnici mr x¨ + kr x = 0 . Přitom délková souřadnice x je vhodně zvolená souřadnice, kterou najdeme na fyzikálním modelu soustavy. Redukovanou hmotnost mr získáme z bilance kinetické energie X 1 (Ek =) mr x˙ 2 = Eki , 2 i
(12)
X 1 Epj , (Ep =) kr x2 = 2 j
(13)
kde Eki je kinetická energie i−tého pohybujícího se členu soustavy. Redukovanou tuhost kr získáme z bilance potenciální energie kumulované v deformovaných pružinách (pružných členech)
kde Epj je potenciální energie j−tého deformovaného pružného členu soustavy. Příklad: Jako příklad sestavme pohybovou rovnici volných (netlumených) kmitů soustavy podle obr.8. Válec poloměru r, hmotnosti m1 a osového momentu setrvačnosti I (s těžištěm ve svém středu) se valí po vodorovné rovině. Na jeho obvod se navíjí vodorovné nehmotné lano, k němuž je pevně vázáno těleso hmotnosti m2 . Toto těleso je připojeno vodorovnou (homogenní, lineární) pružinou hmotnosti mp a tuhosti k k rámu. Formulujme pohybovou rovnici soustavy.
m2 r
k, m P
ϕ
x S m1 , I P
Obrázek 8: Řešení: Délková souřadnice x náhradního modelu nechť jest výchylka středu válce. Kinetická energie valícího se válce je podle Königovy věty 21 (m1 x˙ 2 + I ϕ˙ 2 ), kde ϕ je úhel natočení druhotné rotace při rozkladu pohybu válce v těžišti (středu). Kinematická podmínka valení dává vztah ϕ = xr . Z vlastnosti pólu pohybu válce vyplývá, že těleso hmotnosti m2 má výchylku 2x. Odtud, při uvážení hmotnosti pružiny, plyne bilance kinetické energie ve tvaru x˙ 2 1 mp 1 m1 x˙ 2 + I 2 + (m2 + mr x˙ 2 = )(2x) ˙ 2 2 2 r 3 Odtud mr = m1 +
I 4 + 4m2 + mp . 2 r 3 7
!
.
Potenciální energie se kumuluje pouze v deformované pružině o deformaci 2x (od volné délky). Bilance potenciální energie je proto triviálního tvaru 1 1 kr x2 = k(2x)2 , 2 2 odkud kr = 4k . Pohybová rovnice dané soustavy je potom tvaru mr x¨ + kr x = 0 . Poznámky: 1. Fyzikální model lze rovněž převést na torzně kmitající základní model s pohybovou rovnicí Ir ϕ¨ + ktr ϕ = 0 , kde úhlovou souřadnici ϕ nutno najít na původním fyzikálním modelu. Pro redukovaný moment setrvačnosti Ir pak platí X 1 Eki (Ek =) Ir ϕ˙ 2 = 2 i
a pro redukovanou torzní tuhost platí X 1 Epj . (Ep =) ktr ϕ2 = 2 j
Součty na pravých stranách jsou stejné jako v rovnicích (12) a (13). 2. Jestliže fyzikální model obsahuje kromě pružných členů paralelně řazené tlumící členy, přibývá k pohybovým rovnicím ještě tlumící člen tvaru br x˙ (resp. btr ϕ), ˙ přičemž redukované tlumící parametry určíme ze stejných vzorců jako redukované tuhostní parametry, když místo tuhostí píšeme příslušné tlumící konstanty. Jedná se o bilanci výkonu tlumících účinků. Na obyčejnou diferenciální rovnici druhého řádu s konstantními koeficienty, která je z hlediska matematického modelu charakteristická pro kmitavé soustavy s jedním stupněm volnosti, vedou i jiné fyzikální modely, ve kterých se vůbec nevyskytuje žádný pružný člen. Příkladem může být netlumený pohyb bóje. Mějme (kolmý) válec o ploše průřezu A, hmotnosti mt , který plave ve velké nádrži s kapalinou hustoty ρk v poloze s vodorovnými podstavami. Je tedy ve statické rovnovážné poloze, kdy jeho tíha je v rovnováze se vztlakovou silou kapaliny vytlačené objemem ponořené části válce (obr.9). Po zatlačení válce vnější silou (stejné nositelky jako tíha válce) více do kapaliny (nenulová polohová počáteční podmínka) a puštění z klidu dojde k posuvu válce. Zanedbáme-li třecí účinky kapaliny, bude při kótování výchylky x ze zmíněné statické rovnovážné polohy (obr.9) pohybovou rovnicí silová podmínka dynamické rovnováhy setrvačné a přídavné vztlakové síly Fv (do svislého směru). Tato podmínka má tvar 8
x .. mx T
FV
Obrázek 9:
mt x¨ + Fv = 0 . Pro přídavnou vztlakovou sílu však podle Archimedova zákona platí (s ohledem na velikost nádrže) Fv = gρk Ax, kde g je gravitační zrychlení. Za uvedených podmínek proto pohybová rovnice soustavy je tvaru mt x¨ + gρk A · x = 0 . To je pohybová rovnice tvaru (2) s konstantou tuhosti k = gρk A. Poznámka: Pokud bóje je homogenní těleso hustoty ρt , platí pro její hmotnost mt = = ρt Ah, kde h je vzdálenost podstav (výška válce). Po dosazení do pohybové rovnice tuto můžeme psát jako x¨ +
g ρk · · x. h ρt
Pohybovou rovnici (2) lze získat rovněž linearizací jiné (nelineární) pohybové rovnice, která je platná pro malé výchylky. Jako příklad uveďme pohybovou rovnici tzv. fyzikálního kyvadla.
A ϕ
r
T G
.. IA ϕ
Obrázek 10: Těleso hmotnosti m se středem hmotnosti v bodě T (obr.10) zavěsíme v bodě A, aby AT = r 6= 0. Bez působení vnějších účinků těleso zaujme stabilní rovnovážnou polohu, kdy výchylka ϕ = 0 (obr.10). Vychýlíme-li těleso z této polohy (nenulová polohová počáteční podmínka) eventuálně mu v této poloze udělíme počáteční úhlovou rychlost 9
(nenulová rychlostní počáteční podmínka), začne se pohybovat vratným rotačním pohybem s proměnnou výchylkou ϕ (obr.10). Pohybovou rovnicí je momentová podmínka dynamické rovnováhy k bodu závěsu, která má zřejmě tvar IA ϕ¨ + mgr sin ϕ = 0 , kde IA je osový moment setrvačnosti tělesa k ose, procházející bodem závěsu kolmo na rovinu pohybu. Pokud výchylky ϕ budou malé, lze funkci sin ϕ nahradit prvním členem jejího Taylorova rozvoje v okolí nuly. Náhrada je sin ϕ ≈ ϕ, takže linearizovaná pohybová rovnice má formu IA ϕ¨ + mgrϕ = 0 . To je pohybová rovnice tvaru (7) s konstantou torzní tuhosti kt = mgr. Poznámky: 1. Z tvaru Taylorova rozvoje sinu v okolí nuly sin ϕ =
∞ X
i+1
(−1)
i=1
ϕ2i−1 (2i − 1)!
plyne, že největší možná relativní chyba, jíž linearizací pohybové rovnice uděláme, 2 má velikost ϕ6 . Budeme-li se tedy s výchylkami pohybovat v rozmezí |ϕ| ≤ 0.1[rad], bude tato chyba menší než dvě promile. Na maximální výchylce pak tato chyba závisí kvadraticky. 2. Jestliže speciálně zavěšené těleso je homogenní tyč délky l zavěšená na svém konci, je zřejmě r = 2l a IA = 31 ml2 . V pohybové rovnici lze pak krátit výrazem ml a tato dostane formu g l ϕ¨ + ϕ = 0 . 3 2
10
