Spolehlivost soustav 1
Spolehlivost soustav
1.1
Koherentnı´ syste´my a strukturnı´ funkce
Budeme se zaby´vat modelova´nı´m spolehlivosti zrˇ´ızenı´ s ohledem na spolehlivost jeho komponent. Jednı´m z hlavnı´ch cı´lu˚ spolehlivostnı´ analy´zy je zvy´sˇenı´ spolehlivosti zarˇ´ızenı´. To lze prove´st: a) Vhodny´m na´vrhem a konstrukcı´ syste´mu (b) Zvysˇova´nı´ spolehlivosti jeho komponent c): Promysˇleny´m za´lohova´nı´m nejdu˚lezˇiteˇjsˇ´ıch prvku˚ nebo podsyste´mu˚ Budeme uvazˇovat syste´m, ktery´ sesta´va´ z n komponent, ktere´ oznacˇ´ıme C1 , C2 , . . . , Cn . Tedy i−tou komponentu znacˇ´ıme Ci a prˇedpokla´da´me, zˇe tato komponenta se mu˚zˇe nacha´zet v jednom ze dvou operacˇnı´ch stavu˚: „komponenta je funkcˇnı´ “ nebo „komponenta nenı´ funkcˇnı´ “. Stav komponent popisujeme pomocı´ indika´torove´ funkce. Indika´torovou funkci (strucˇneˇ indika´tor), kterou prˇirˇadı´me komponenteˇ Ci oznacˇ´ıme Xi pro i = 1, 2, . . . , n a zavedeme ji prˇedpisem: Xi = 1, kdyzˇ Ci je funkcˇnı´ Xi = 0, kdyzˇ Ci je funkcˇnı´ Strukturnı´ funkce syste´mu Strukturnı´ funkcı´ φ cele´ho syste´mu o n komponenta´ch s indika´tory X1 , X2 , . . . , Xn definujeme vztahem φ(X1 , X2 , . . . , Xn ) = 1 kdyzˇ syste´m je funkcˇnı´ φ(X1 , X2 , . . . , Xn ) = 0 kdyzˇ syste´m nenı´ funkcˇnı´ Da´le cˇ´ıslo n uda´vajı´cı´ pocˇet komponent syste´mu nazy´va´me rˇa´dem syste´mu.
1.2
Prˇ´ıklady syste´mu˚ a jejich strukturnı´ch funkcı´
Prˇ´ıklad se´riove´ho syste´mu je na obra´zku: C1
C2
Cn
Obr. 1: Se´riovy´ syste´m Komponenty syste´mu jsou rˇazeny do se´rie. Pro u´speˇsˇnou funkcˇnost syste´mu je trˇeba, aby byly funkcˇnı´ vsˇechny komponenty. Kdyzˇ jedna z komponent nebude funkcˇnı´, bude to mı´t za na´sledek, zˇe cely´ syste´m nebude funkcˇnı´. Strukturnı´ funkce se´riove´ho syste´mu je rovna φ(X1 , X2 , . . . , Xn ) = min{X1 , X2 , . . . , Xn }
Operacˇnı´ program Vzdeˇla´va´nı´ pro konkurenceschopnost Na´zev projektu: Inovace magisterske´ho studijnı´ho programu Fakulty ekonomiky a managementu Registracˇnı´ cˇı´slo projektu: CZ.1.07/2.2.00/28.0326 ˇ TEM C ˇ ESKE´ REPUBLIKY. ´ LNI´M FONDEM A STA´TNI´M ROZPOC PROJEKT JE SPOLUFINANCOVA´N EVROPSKY´M SOCIA
Lze ji take´ zapsat ve tvaru φ(X1 , X2 , . . . , Xn ) =
n Y
Xi .
i=1
Prˇ´ıklad paralelnı´ho syste´mu je na obra´zku: C1
C2
Cn Obr. 2: Paralelnı´ syste´m Komponenty syste´mu jsou rˇazeny paralelneˇ vedle sebe. Pro u´speˇsˇnou funkcˇnost syste´mu je trˇeba, aby byla funkcˇnı´ asponˇ jedna z n komponent. Cely´ syste´m bude funkcˇnı´, kdyzˇ bude funkcˇnı´ asponˇ jedna komponenta. Strukturnı´ funkce se´riove´ho syste´mu je rovna φ(X1 , X2 , . . . , Xn ) = max{X1 , X2 , . . . , Xn } Lze ji take´ zapsat ve tvaru φ(X1 , X2 , . . . , Xn ) = 1 −
n Y (1 − Xi ). i=1
Na obra´zku 3 je graficky zna´zorneˇna jednoducha´ pocˇ´ıtacˇova´ sı´t’sesta´vajı´cı´ z n = 6 prvku˚ : C1 C5 C2
C4 C6
C3 Obr. 3: Jednoducha´ pocˇ´ıtacˇova´ sı´t’– prˇ´ıklad Komponenty C1 , C2 , C3 mohou prˇedstavovat termina´ly, C4 pocˇ´ıtacˇ - centra´lnı´ jednotku a komponenty C5 a C6 loka´lnı´ a centra´lnı´ tiska´rny. V te´to sı´ti jsou komponenty C1 , C2 , C3 rˇazeny paralelneˇ a take´ komponenty C5 , C6 jsou rˇazeny paralelneˇ a bloky C1 , C2 , C3 , C4 a C5 , C6 jsou rˇazeny se´rioveˇ. Proto strukturnı´ funkce syste´mu bude soucˇinem strukturnı´ch funkcı´ jednotlivy´ch bloku˚ v se´rii. Lze ji vyja´drˇit ve tvaru φ(X1 , X2 , . . . , Xn ) = [1 − (1 − X1 )(1 − X2 )(1 − X3 )][X4 ][1 − (1 − X5 )(1 − X6 )] 2
nebo ekvivalentneˇ ve tvaru φ(X1 , X2 , . . . , Xn ) = min{max{X1 , X2 X3 }, X4 , max{X5 , X6 }} Komponentu Ci syste´mu rˇa´du n nazveme irelevantnı´ komponentou, kdyzˇ pro vsˇechny stavy ostatnı´ch komponent syste´mu (tedy kdyzˇ pro vsˇechny hodnoty indika´toru˚ Xj , j 6= i) platı´ φ(X1 , X2 , . . . , Xi−1 , 0, Xi+1 , . . . , Xn ) = φ(X1 , X2 , . . . , Xi−1 , 1, Xi+1 , . . . , Xn ) Komponentu nazy´va´me relevantnı´, kdyzˇ nenı´ irelevantnı´. Tedy komponenta, jejı´zˇ funkcˇnost nenı´ du˚lezˇita´ pro funkcˇnost syste´mu, je irelevantnı´. Budeme se zajı´mat o syste´m, ve ktere´m nahrazenı´ libovolne´ nefunkcˇnı´ komponenty funkcˇnı´ komponentou nezhorsˇ´ı fungova´nı´ syste´mu. V takove´m syste´mu platı´ φ(X1 , X2 , . . . , Xi−1 , 0, Xi+1 , . . . , Xn ) ≤ φ(X1 , X2 , . . . , Xi−1 , 1, Xi+1 , . . . , Xn ). Tedy strukturnı´ funkce je neklesajı´cı´ funkcı´ v argumentu Xi . Kdyzˇ je strukturnı´ funkce syste´mu neklesajı´cı´ v kazˇde´m argumentu Xi prˇi pevneˇ dany´ch libovolny´ch hodnota´ch ostatnı´ch argumentu˚ pro i = 1, 2, . . . , n, nazy´va´me strukturnı´ funkci neklesajı´cı´ funkcı´. Stav cele´ho syste´mu mu˚zˇeme popsat pomocı´ stavu jednotlivy´ch komponent, tedy ve vektorove´m oznacˇenı´ pomocı´ vektoru indika´tor; vsˇech komponent X = (X1 , X2 , . . . , Xn ). Da´le pouzˇijeme pro dva stavy cele´ho syste´mu X = (X1 , X2 , . . . , Xn ) a Y = (Y1 , Y2 , . . . , Yn ) oznacˇenı´ X ≤ Y kdyzˇ Xi ≤ Yi , prˇicˇemzˇ asponˇ pro jedno i ∈ {1, 2, . . . , n} platı´ ostra´ nerovnost. Potom pro neklesajı´cı´ strukturnı´ funkci φ platı´ X ≤ X ⇒ φ(X) ≤ φ(Y) Definice. Syste´m nazy´va´me koherentnı´m, kdyzˇ jeho strukturnı´ funkce je neklesajı´cı´ a kazˇda´ jeho komponenta je relevantnı´. Veˇta. Pro strukturnı´ funkci φ koherentnı´ho syste´mu o n komponenta´ch ve stavu X = (X1 , X2 , . . . , Xn ) platı´ n Y i=1
Xi ≤ φ(X) ≤ 1 −
n Y
(1 − Xi ).
i=1
Uvedenou veˇtu lze snadno zapsat pomocı´ strukturnı´ funkce φserie (X) se´riove´ho syste´mu a pomocı´ strukturnı´ funkce φparalell (X) paralelnı´ho syste´mu φserie (X) ≤ φ(X) ≤ φparalell (X) Pravdeˇpodobnost, zˇe dana´ komponenta uvazˇovane´ho syste´mu je funkcˇnı´ (nebo jednodusˇeji spolehlivost te´to komponenty) lze jednodusˇe zave´st pomocı´ indika´toru Xi , ktery´ reprezentuje stav te´to komponenty. Indika´tor Xi povazˇujeme za na´hodnou velicˇinu, ktera´ ma´ alternativnı´ rozdeˇlenı´ A(θi ). Tedy Xi je rovna 1 s pravdeˇpodobnostı´ θi a rovna 0 s pravdeˇpodobnostı´ 1 − θi . Pak definujeme spolehlivost komponenty Ci jako strˇednı´ hodnotu E(Xi ) = θi , prˇedpokla´da´me, zˇe platı´ 0 ≤ θi ≤ 1. Jiny´mi slovy, je spolehlivost komponenty Ci rovna pravdeˇpodobnosti, zˇe tato komponenta je funkcˇnı´. Da´le, kdyzˇ vyjdeme z vektoru indika´toru˚ vsˇech komponent X = (X1 , X2 , . . . , Xn ) a oznacˇ´ıme θ = (θ1 , θ2 , . . . , θn ) vektor spolehlivostı´ jednotlivy´ch komponent, mu˚zˇeme zave´st spolehlivost syste´mu pomocı´ spolehlivostı´ jednotlivy´ch komponent θ = (θ1 , θ2 , . . . , θn ) jako funkci h(θ) = E([φ(X)]). 3
Budeme rˇ´ıkat, zˇe komponenty pracujı´ neza´visle, kdyzˇ jejich indika´tory X1 , X2 , . . . , Xn jsou vza´jemneˇ neza´visle´ na´hodne´ velicˇiny. Tato definice znamena´, zˇe skutecˇnost, zˇe komponenta Cj je cˇi nenı´ funkcˇnı´ neovlivnı´ funkcˇnost ktere´koliv jine´ komponenty Ci . Veˇta. Spolehlivost h syste´mu s neza´visly´mi komponentami a s hodnotami indika´toru˚ X1 = x1 , X2 = = x2 , . . . , Xn = xn a se strukturnı´ funkcı´ φ je rovna h(θ) = Σx Πi=1n [θixi (1 − θi )1−xi ], kde se scˇ´ıta´ prˇes vsˇechny mozˇne´ hodnoty x = (x1 , x2 , . . . , xn ) vektoru indika´toru˚ X = (X1 , X2 , . . . , Xn ). Uvazˇujme se´riovy´ syste´m s n neza´visly´mi komponentami a vektorem spolehlivosti komponent θ = (θ1 , θ2 , . . . , θn ). Pak jeho spolehlivost je h(θ) = h(θ1 , θ2 , . . . , θn ) = Πni=1 θi . Uvazˇujme paralelnı´ syste´m s n neza´visly´mi komponentami a vektorem spolehlivosti komponent θ = (θ1 , θ2 , . . . , θn ). Pak jeho spolehlivost je h(θ) = h(θ1 , θ2 , . . . , θn ) = 1 − Πni=1 (1 − θi ). Prˇ´ıklad. Uzˇitı´m prˇedchozı´ch vy´sledku˚ lze snadno nahle´dnout, zˇe spolehlivost syste´mu z obra´zku 3 lze za prˇedpokladu neza´vislosti komponent zapsat ve tvaru h(θ) = [1 − (1 − θ1 )(1 − θ2 )(1 − θ3 )][θ4 ][1 − (1 − θ5 )(1 − θ6 )]. Uvazˇujme syste´m n komponent a prˇedpokla´dejme, zˇe zˇivotnost (doba do poruchy) komponenty Ci je na´hodna´ velicˇina Yi , prˇicˇemzˇ na´hodne´ velicˇiny Y1 , Y2 , ..., Yn jsou neza´visle´. Pak spolehlivost komponenty Ci v libovolne´m cˇase y mu˚zˇeme definovat jako Si (y) = P (Yi > y) pro i = 1, 2 . . . , n. Tedy identifika´tor Xi komponenty Ci za´visı´ na cˇase a platı´, zˇe Xi = 1 pra´veˇ kdyzˇ Yi > y, jinak je Xi = 0. Spolehlivost S(y) syste´mu s n komponentami v cˇase y pak definujeme jako pravdeˇpodobnost, zˇe tento syste´m je v cˇase y funkcˇnı´. Pro se´riovy´ syste´m s n neza´visly´mi komponentami platı´ S(y) = S1 (y)S2 (y) . . . Sn (y) a pro syste´m s n paralelneˇ spojeny´mi komponentami platı´ S(y) = 1 − [1 − S1 (y)][1 − S2 (y)] . . . [1 − Sn (y)]. Prˇ´ıklad. Prˇedpokla´dejme, zˇe v syste´mu s neza´visly´mi komponentami majı´ doby do poruchy Yi exponencia´lnı´ rozdeˇlenı´, tedy spolehlivost komponenty Ci v cˇase y je pro i = 1, 2 . . . , n da´na vztahem y
Si (y) = P (Yi > y) = e− λ pro y > 0, kde parametr λ > 0. Pak spolehlivost se´riove´ho syste´mu v cˇase y je rovna y
S(y) = P (min{Y1 , Y2 , . . . , Yn } ≥ y) = S1 (y)S2 (y) . . . Sn (y) = e−n λ . a pro spolehlivost paralelnı´ho syste´mu v cˇase y dostaneme S(y) = P (max{Y1 , Y2 , . . . , Yn } ≥ y) = y
= 1 − P (max{Y1 , Y2 , . . . , Yn } ≤ y) = 1 − (1 − e− λ )n . 4
Prˇ´ıklady k procvicˇenı´ 1. Ukazˇte, zˇe indika´tory X1 , X2 , . . . , Xn pro syste´m o n komponenta´ch splnˇujı´ vztahy: max{X1 , X2 , . . . , Xn } =
n Y
Xi
i=1
min{X1 , X2 , . . . , Xn } = 1 −
n Y
(1 − Xi )
i=1
2. Uvazˇujme identicke´ komponenty C1 , C2 , C3 , C4 , C5 ktere´ pracujı´ neza´visle. Da´le konstruujeme syste´my K1 jako syste´m, kdy C1 a C2 pracujı´ v se´rii; K2 jako syste´m, kdy C3 a C4 pracujı´ paralelneˇ; K3 syste´m sesta´vajı´cı´ z C5 ; K syste´m sesta´vajı´cı´ z K1 , K2 a K3 , ktere´ pracujı´ v se´rii. Nakreslete diagram syste´mu K, urcˇete strukturnı´ funkci syste´mu K a da´le stanovte spolehlivost syste´mu˚ K1 , K2 , K3 a K, kdyzˇ θi je pravdeˇpodobnost, zˇe komponenta Ci je funkcˇnı´. 3. Prˇedpokla´dejme, zˇe dveˇ elektronicke´ komponenty majı´ zˇivotnosti Y1 a Y2 , prˇicˇemzˇ Y1 a Y2 , jsou neza´visle´ na´hodne´ velicˇiny a Yi ma´ exponencia´lnı´ rozdeˇlenı´ s parametrem λi , i = 1, 2. Stanovte pravdeˇpodobnost P (Y1 > Y2 ). 4. Elektronicka´ jednotka sesta´va´ ze dvou komponent C1 a C2 pracujı´cı´ch paralelneˇ. Prˇedpokla´dejme, zˇe Y1 znacˇ´ı zˇivotnost C1 a Y2 znacˇ´ı zˇivotnost C2 Prˇedpokla´dejme, zˇe Y1 a Y2 pracujı´ neza´visle. a) Kdyzˇ Y1 a Y2 majı´ stejne´ exponencia´lnı´ rozdeˇlenı´ s parametrem λ, stanovte hustotu zˇivotnosti elektronicke´ jednotky. b) Kdyzˇ Y1 ma´ exponencia´lnı´ rozdeˇlenı´ s parametrem λ1 , a Y2 ma´ exponencia´lnı´ rozdeˇlenı´ s parametrem λ1 2, stanovte hustotu zˇivotnosti elektronicke´ jednotky. c) Kdyzˇ Y1 a Y2 majı´ stejne´ exponencia´lnı´ rozdeˇlenı´ s parametrem λ, a dveˇ takove´ jednotky pracujı´ se´rioveˇ, stanovte hustotu zˇivotnosti vy´sledne´ho syste´mu teˇchto dvou elektronicky´ch jednotek. c) jak by bylo mozˇne´ zobecnit prˇedchozı´ vy´sledky na n komponent?
5
