SPOLEHLIVOST KONSTRUKCÍ

VYSOKÉ U ENÍ TECHNICKÉ V BRN FAKULTA STAVEBNÍ

Prof. Ing. DRAHOMÍR NOVÁK, DrSc.

SPOLEHLIVOST KONSTRUKCÍ MODUL P01 PR VODCE P EDM TEM CD04, CD06

STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

Teorie spolehlivosti

© Drahomír Novák, 2007

- 2 (16) -

Obsah

OBSAH 1 Úvod 5 1.1 Cíle ........................................................................................................5 1.2 Požadované znalosti ..............................................................................5 1.3 Doba pot ebná ke studiu .......................................................................5 1.4 Klí ová slova.........................................................................................5 2 Teorie spolehlivosti.......................................................................................7 2.1 Nejistoty, náhodnost v koncepci návrhu ...............................................7 2.2 Sou asný stav teorie spolehlivosti ........................................................7 2.3 Podmínka spolehlivosti, rezerva spolehlivosti......................................8 2.4 Pravd podobnost poruchy.....................................................................9 2.5 Index spolehlivosti ................................................................................9 3 Metody ešení spolehlivosti........................................................................10 3.1 Simula ní metody typu Monte Carlo ..................................................10 3.2 Aproxima ní metoda FORM ..............................................................11 4 Software.......................................................................................................13 4.1 Obecné poznámky...............................................................................13 4.2 FReET .................................................................................................13 5 Záv r ............................................................................................................14 5.1 Shrnutí.................................................................................................14 5.2 P íklady ..............................................................................................14 6 Studijní prameny ........................................................................................16 6.1 Seznam použité literatury....................................................................16 6.2 Seznam dopl kové studijní literatury .................................................16 6.3 Odkazy na další studijní zdroje a prameny .........................................16 6.4 Legislativa, normy ..............................................................................16

1

- 3 (16) -


- 4 (16) -

Úvod

2

Úvod

2.1

Cíle

Cílem tohoto pr vodce p edm tem je seznámit studenty se základy teorie spolehlivosti a poskytnout jim v ucelené a kompaktní podob ty nejnutn jší informace, jako základ k další studijní literatu e. Pr vodce p edpokládá další studium problematiky ve skriptu Spolehlivost stavebních konstrukcí, autor B. Teplý a D. Novák, vydalo nakladatelství CERM, Brno, 2005. Pr vodce poskytuje základní pot ebnou znalost problematiky nutnou pro ešení úloh spolehlivosti a vytvá í p edpoklady k širšímu pochopení souvislostí. Prostudování tohoto modulu je základním p edpokladem k úsp šnému použití spolehlivostního software na vybrané problémy z teorie konstrukcí.

2.2

Požadované znalosti

P ed studiem tohoto modulu je t eba zvládnout problematiku Matematické statistiky a teorie pravd podobnosti, Základ stavební mechaniky, Pružnosti a plasticity I. Poslední dva uvedené p edm ty jsou nezbytné ke zvládnutí numerických p íklad a k širšímu pochopení souvislostí v rámci navrhování a posuzování stavebních konstrukcí.

2.3

Doba pot ebná ke studiu

Tento modul p edpokládá p ibližn 10 hodin intenzivního studia.

2.4

Klí ová slova

Spolehlivost, bezpe nost, mezní stavy, podmínka spolehlivosti, rezerva spolehlivosti, nejistoty, náhodné veli iny, pravd podobnost poruchy, index spolehlivosti, simula ní metody typu Monte Carlo, Latin Hypercube Sampling, statistická závislost.

- 5 (16) -


3


3.1

Nejistoty, náhodnost v koncepci návrhu

Skute nost, že p i analýze a návrhu inženýrských systém je t eba zohled ovat nejistoty a náhodnost nebyla nikdy zpochyb ována. Náhodnost se uplat uje u každé ásti systému Konstrukce – Zatížení – Prost edí (nap . vlastnosti materiálu, geometrické imperfekce, stálé zatížení, nahodilé zatížení, vítr, sníh, vlhkost, koroze, atd.). Tradi ní p ístupy problém zjednodušují, zohled ují náhodnost pomocí empirických sou initel bezpe nosti, s náhodnými parametry je tak nakládáno jako s deterministickými veli inami. Sou initelé bezpe nosti jsou zpravidla ur eny na základ zkušenosti. Návrh konstrukce se obecn zakládá na dimenzování prvk konstrukce p i p sobení zatížení tak, že je spln na ada požadavk na bezpe nost, použitelnost a trvanlivost. Jinými slovy, konstrukce by m la být navržena tak, že má vyšší pevnost, resp. odolnost, než odpovídá vlivu zatížení. Schematický Obr. 2.1 ukazuje dv prom nné, zatížení E a odolnost R . Ob veli iny jsou náhodné; jejich náhodnost je charakterizována odpovídající hustotou pravd podobnosti fE(e) a fR(r). Obrázek rovn ž ukazuje deterministické (návrhové) hodnoty t chto základních parametr , EN, a RN, které jsou používány v klasickém p ístupu díl ích sou initel spolehlivosti. Vyšrafovaná plocha p ekrývajících se ástí hustot pravd podobnosti p edstavuje oblast k výpo tu základní veli iny kvantifikující nespolehlivost – pravd podobnosti poruchy. Tato plocha závisí na relativní poloze k ivek (dána st edními hodnotami µE a µR), rozptylech veli in (sm rodatnými odchylkami σE a σR) a tvaru obou k ivek. f

fR(r )

fE(e) E

EN RN

R,E

R

Obr. 2.1: Odolnost konstrukce R a ú inek zatížení E - dv náhodné veli iny.

3.2

Sou asný stav teorie spolehlivosti

Výpo et pravd podobnosti poruchy v uzav ené form není obecn možný, proto byla vyvinuta v minulých letech celá ada ú inných stochastických metod. Je možné rozlišovat t i hlavní kategorie metod: • Statistická analýza: Postupy jsou zam eny na odhad statistických moment parametr odezvy, jako jsou st ední hodnoty, rozptyly, apod. Nejistoty vstupují do funkce odezvy.

- 7 (16) -


• Citlivostní analýza: Kvantifikace citlivosti výstupu (odezva, pravd podobnost poruchy) na prom nlivost vstupních veli in. • Spolehlivostní analýza: Postupy jsou zam eny na výpo et teoretické pravd podobnosti poruchy. Nejistoty vstupují do funkce poruchy. ada r zných metod pokrývajících zmín né kategorie má jedno spole né: Zpravidla vyžadují opakované vy íslení (simulaci) funkce odezvy nebo funkce poruchy. Z historického pohledu lze rozvoj r zných metod charakterizovat jako úsilí snížit velký po et simulací na minimum. Prostou simulaci Monte Carlo není možné aplikovat na výpo tov náro né problémy, nebo vyžaduje velký po et simulací (opakovaný výpo et odezvy konstrukce). Tento problém byl celkem úsp šn vy ešen aproxima ními metodami FORM, SORM, nap . [Hasofer a Lind, 1974], [Madsen a kol., 1986]. Navzdory n kterým problém m s dosažením p esnosti jsou tyto metody v sou asné dob p ijaty odbornou veejností a staly se v n kterých p ípadech standardními nástroji p i kalibraci norem. Výzkum byl dále zam en na rozvoj pokro ilých simula ních metod, které koncentrují simulace do oblasti poruchy [Schuëller, 1998]. Z mnoha ú inných metod vyvinutých v posledních desetiletích, Latin hypercube sampling a metody plochy odezvy jsou asto používány pro ešení výpo tov náro ných problém mechaniky kontinua. Rozvoj ady spolehlivostních metod, více i mén ú inných, p esných a vhodných pro ur ité t ídy problém , je dokumentován ve sbornících ze st žejních konferencí oboru teorie spolehlivosti, nap . [ICOSSAR, 1997; 2001; 2005] a [ICASP, 1995; 1999; 2003].

3.3 Podmínka spolehlivosti, rezerva spolehlivosti Základní koncepci klasické teorie spolehlivosti lze uvést matematicky formáln ji ve tvaru odezvy (nap . p etvo ení, nap tí, mezní únosnost, apod.) nebo rezervy spolehlivosti (v p ípad , že funkce p edstavuje podmínku spolehlivosti) jako funkci základních náhodných veli in (nebo náhodných polí) X = X 1 , X 2 ,..., X n Z = g ( X 1 , X 2 ,..., X n ),

(2.1)

kde funkce g (X ) p edstavuje funk ní závislost mezi složkami vektoru X (výpo tový model). Prvky vektoru X mohou být statisticky závislé. V p ípad že g (X ) p edstavuje podmínku spolehlivosti pak je funkce nazývána funkce mezního stavu nebo funkce poruchy. Konstrukce se považuje za spolehlivou jestliže platí: g ( X) = g ( X 1 , X 2 ,....., X n ) > 0.

(2.2)

Funkce poruchy m že být explicitní nebo implicitní funkcí základních náhodných veli in a m že být velmi jednoduchá nebo velmi komplikovaná. Obvykle se pracuje s konvencí Z ≤ 0 (porucha) a Z > 0 (bezpe ná konstrukce). Chování systému a jeho prvk je zpravidla nutno popsat adou mezních stav (násobné funkce poruchy).

- 8 (16) -


3.4

Pravd podobnost poruchy

Cíl analýzy spolehlivosti p edstavuje odhad pravd podobnosti zvané teoretická pravd podobnost poruchy: (2.3)

p f = P (Z ≤ 0 ).

Formáln ji je tato pravd podobnost definována: (2.4)

f ( X 1 , X 2 ,..., X n ) dX 1 , dX 2 ,..., dX n

pf = Df

kde Df p edstavuje oblast poruchy, kde platí g (X ) ≤ 0 a f ( X 1 , X 2 ,

,Xn)

p edstavuje funkci sdružené hustoty pravd podobnosti náhodných veli in.

3.5

Index spolehlivosti

Teoretická pravd podobnost poruchy není jediným používaným m ítkem spolehlivosti. Velmi asto se používá tzv. indexu spolehlivosti, který je uvád n v sou asných normových p edpisech. Index spolehlivosti (podle Cornella), který je všeobecn znám a rozší en, lze nejlépe ukázat na funkci poruchy Z = R – E. Jestliže R a E jsou náhodné veli iny s normálním rozd lením pravd podobnosti (a statisticky nezávislé), pak také rezerva spolehlivosti Z má normální rozd lení. Situace je názorn ukázána na Chyba! Nenalezen zdroj odkaz ..2. První dva statistické momenty rezervy spolehlivosti Z je možné ur it jednoduše jako

µZ = µR − µE

(1)

σ Z2 = σ R2 + σ E2

(2)

Index spolehlivosti je pak definován vztahem

β=

µZ σZ

(3)

tedy jako p evrácená hodnota varia ního koeficientu rezervy spolehlivosti. Z Chyba! Nenalezen zdroj odkaz ..2 je z ejmé, že index spolehlivosti nám íká, kolikrát je možno umístit sm rodatnou odchylku rezervy spolehlivost mezi nulu a st ední hodnotu. Pravd podobnost poruchy zde odpovídá pravd podobnosti, že rezerva spolehlivosti je záporná a protože Z je normáln rozložená, pak ji lze snadno ur it jako hodnotu distribu ní funkce normálního rozd lení pravd podobnosti:

p f = Φ N (− β )

(48)

Tento index spolehlivosti je omezen na rezervu spolehlivosti s normálním rozd lením pravd podobnosti. Index spolehlivosti podle Hasofera a Linda je spjat

- 9 (16) -


s aproxima ní metodou výpo tu pravd podobnosti poruchy doposud asto používanou a budeme se jím proto v této souvislosti zabývat v kap. 3.2.

Obr. 2.2:Rezerva spolehlivosti, index spolehlivosti, pravd podobnost poruchy, a) rezerva nenormovaná,b) rezerva normovaná.

4

Metody ešení spolehlivosti

4.1

Simula ní metody typu Monte Carlo

Metoda Monte Carlo ve své p vodní podob (ozna ovaná jako klasická, p ímá, elementární, jednouchá apod.) je metodou velmi jednoduchou a názornou a proto pom rn asto používanou. Její názornost je blízká inženýrskému myšlení, nebo ur itým zp sobem simuluje reálné chování konstrukcí. Postup metody spo ívá v numerické simulaci ešeného problému - v opakovaném ešení funkce poruchy vždy s jiným náhodn generovaným vektorem vstupních náhodných veli in X. Jednotlivé kroky jsou následující (popisujeme obecn j-tou simulaci, j=1, 2, …, N, kde N je celkový po et simulací):

•

Nejd íve se generují jednotlivé realizace vektoru X – realizace náhodných veli in podle podle svých p íslušných rozd lení pravd podobnosti.

•

S pomocí t chto vygenerovaných realizací je vypo tena hodnota funkce poruchy a je tak získána hodnota rezervy spolehlivosti pro j-tou simulaci:

z j = g (x1, j , x 2, j ,

xi , j ,

xn, j )

(3.1)

•

Po provedení všech simulací máme statistický soubor veli iny Z. Tento soubor je možno statisticky vyhodnotit a získat tak odhad st ední hodnoty, sm rodatné odchylky, p ípadn vyšších statistických moment b žnými postupy matematické statistiky.

•

V p ípad , že

zj ≤ 0

, nastává porucha a celkový po et t chto p ípad , které N nastanou v pr b hu všech N simulací, ozna me f . Pak podle elementární definice pravd podobnosti ji lze odhadnout jako podíl pf =

Nf N

- 10 (16) -

(3.2)

Simula ní metoda Monte Carlo pro výpo et pravd podobnosti poruchy je zobrazena pro dvourozm rný p ípad (n = 2) na Obr. 3.1, kde jsou pomocí bod znázorn ny jednotlivé realizace funkce poruchy.

Obr. 3.1: Simulace Monte Carlo – dvourozm rný p ípad. Je z ejmé, že p esnost odhadu pravd podobnosti poruchy závisí na celkovém po tu N simulací a ádu odhadované pravd podobnosti. ím v tší je po et simulací a také po et realizací v oblasti poruchy, tím realisti t jší odhad obdržíme. Je t eba si uv domit, že pravd podobnost poruchy je také náhodná veli ina, její odhad p edstavuje ur itou realizaci této náhodné veli iny. Zm níme-li zdrojová ísla generátor pro generování náhodných veli in obdržíme trochu jiný odhad. Varia ní koeficient pravd podobnosti poruchy lze pro malé pravd podobnosti napsat ve tvaru

vpf =

1 N pf

(3.3)

−4 Jestliže nap . odhadujeme pravd podobnost poruchy ádu 10 a použijeme N = 10 6 , je varia ní koeficient pravd podobnosti poruchy 10%, což je pom r4 n p ijatelná hodnota. Je z ejmé, že nap . po et simulací N = 10 by byl v tomto p ípad naprosto nedosta ující.

4.2 Aproxima ní metoda FORM Po obecném Spolehlivostní metoda 1. ádu (FORM - First Order Reliability Method) je založena na linearizaci funkce poruchy. Vstupní náhodné veli iny X je nutné nejprve transformovat na nekorelované normované normální veliiny U podle vztahu: Ui =

X i − µi

(3.4)

σi

Funkce poruchy je aproximována lineární funkcí v bod maximálního p ísp vku k pravd podobnosti poruchy, v tzv. návrhovém bod . Z hlediska geometrické interpretace v prostoru normovaných normálních veli in U je návrhový bod - 11 (16) -


bodem ležícím na funkci poruchy s nejmenší vzdáleností k po átku, viz 3.2. P ipome me, že tato nejmenší vzdálenost je ozna ována jako index spolehli-

vosti β resp. Hasofer – Lind v index spolehlivosti [5]. Nalezení návrhového bodu je možno realizovat jakýmkoliv nelineárním optimaliza ním postupem, Na základ linearizace funkce poruchy je pak p ibližn teoretická pravd podobnost poruchy dána vztahem

p f ≈ 1 − Φ N (− β )

(3.5)

ve kterém Φ N (.) je distribu ní funkce normovaného normálního rozd lení pravd podobnosti. Nevýhodou postupu FORM je skute nost, že nalezení návrhového bodu m že být problematické, m že existovat n kolik lokálních minim vzdáleností k poátku sou adnic, p ísp vek k výsledné pravd podobnosti poruchy nemusí být dominantní pouze z oblasti návrhového bodu. To se stává v p ípad siln nelineárních funkcí mezního stavu.

Obr. 3.2: Návrhový bod a index spolehlivosti.

- 12 (16) -

5

Software

5.1

Obecné poznámky

Spolehlivostní metody jsou v r zných modifikacích implementovány ve spolehlivostním software, nap . COMREL, COSSAN, CRYSTALL BALL, FREET, M-STAR, PHIMECA, PROBAN, SARA, SLANG, VAP. Tento software zpravidla umož uje pracovat s funkcí poruchy definovanou uživatelem (obecn použitelný) nebo je pln integrován se specifickým programem FEM.

5.2

FReET

Pravd podobnostní software FReET p edstavuje simula ní nástroj k ešení spolehlivostních problém [2]. Software ilustruje n kolik zde uvedených panel prost edí programu. Nejistoty výpo tového modelu jsou modelovány jako náhodné veli iny s ur itým teoretickým rozd lením pravd podobnosti (normální, lognormální, Weibullovo aj.), Obr. 4.1. Statistická závislost mezi nimi je popsána korela ní maticí, Obr. 4.2, zavedení do simulace je realizováno metodou simulovaného žíhání, Obr. 4.3. Pomocí stratifikované simulace jsou realizovány tyto náhodné veli iny a poté použity ve výpo etním modelu analyzovaného problému, následuje ást spolehlivostního vyhodnocení, Obr. 4.4.

Obr. 4.1: Zadávání vstupních veli in

Obr. 4. 3: Simulované žíhání

Obr. 4.2: Statistická závislost

Obr. 4.4: Statistické vyhodnocení funkce

- 13 (16) -


6

Záv r

6.1

Shrnutí

Tento text slouží k prvotní informaci do p edm tu, studenta orientuje v problematice a umož uje mu snadn jší studium z dalších studijních pramen . Následující p íklady ukazují typy jednoduchých p íklad , které se p edpokládají k procvi ování v po íta ové u ebn pomocí software FReET.

6.2

P íklady

P íklad 1: Zatížení sloup výškové budovy se skládá ze stálého zatížení D (vlastní tíha), nahodilého zatížení L (osoby, nábytek, za ízení) a zatížené v trem W. Zatížení lze uvažovat jako statisticky nezávislé náhodné veli iny: Veli ina St ední hodnota [t] Sm.odchylka [t] Rozd lení pravd podobnosti D

4,2

0,3

normální

L

6,5

0,8

lognormální

W

3,4

0,7

extrémních hodnot Type I

Kombinace zatížení na jeden sloup je E = D + L + W . Únosnost R sloupu má st ední hodnotu 21,15 tun s lognormálním rozd lením pravd podobnosti a varia ním koeficientem 0,15. Ur ete odhad statistických parametr celkového zatížení E v etn nejvhodn jšího rozd lení pravd podobnosti a pravd podobnost, že únosnost sloupu R bude menší než E (pravd podobnost poruchy). Použijte simula ní metodu Monte Carlo a aproxima ní FORM.

P íklad 2: Balkonový železobetonový nosník je zatížen rovnom rným zatížením o intenzit q. Ur ete pravd podobnost poruchy nosníku, náhodné veli iny jsou dány dle tabulky a funkce poruchy je ve tvaru:

g ( E , R ) = R − E.

(

) [

(

)

]

R = θ R n πφ 2 / 4 f y h − c − φ / 2 − 0,5n πφ 2 / 4 f y / f c . E = θ E (ρ + p )L2 / 2.

- 14 (16) -

Veli ina

Jednotky

Rozd lení

St ední hodnota

Odchylka

Pevnost bet. v tlaku

fc

MPa

Lognormální

24

4

Mez kluzu oceli

fc

MPa

Lognormální

240

15

Délka nosníku

L

m

Normální

0,9

0,005

m

Deterministické 0,008

-

Pr m r výztuže Po et profil na 1m

n

-

Deterministické 20

-

Tlouš ka nosníku

h

m

Lognormální

0,12

0,01

Krytí výztuže

c

m

Beta

0,026

0,009

Faktor nejistoty u R

R

-

Lognormální

1,1

0,05

Faktor nejistoty u E

E

-

Lognormální

1

0,05

MN/m3

Normální

0,024

0,06

MN/m2

Gamma (2 par.) 0,0008

Hustota betonu Zatížení

p

- 15 (16) -

0,00048


7

Studijní prameny

7.1

Seznam použité literatury

[1]

7.2 [2]

7.3

Teplý, B. – Novák, D. 2005. Spolehlivost stavebních konstrukcí (skriptum), Brno, vydavatelství CERM.

Seznam dopl kové studijní literatury Novák, D., Vo echovský, M. and Rusina, R. 2007. FREET - Feasible Reliability Engineering Efficient Tool, User’s and Theory guides. Brno/Cervenka Consulting, Czech Republic, http://www.freet.cz.

Odkazy na další studijní zdroje a prameny

[3]

ICASP (1995; 1999; 2003, 2007). Proceedings from Int. Conf. on Application of Statistics and Probability (Paris, France; Sydney, Australia; San Francisco, USA; Tokyo, Japan)

[4]

ICOSSAR (1997; 2001; 2005). Proceedings from Int. Conf. on Structural Safety and Reliability (Kyoto, Japan; Newport Beach, USA; Rome, Italy)

[5]

Hasofer, A. M., Lind, N. C. 1974. Exact and invariant second-moment code format. Journal of Eng. Mech. ASCE 100 (EM1), 1, 111-121

[6]

Madsen, H. O., Krenk, S., Lind, N. 1986. Methods of Structural Safety. Prentice Hall, Englewood Cliffs.

[7]

Schuëller, G. I. 1998. Structural reliability – recent advances (Frudenthal lecture). In.: Proc. of Icossar´97, Vol. I. Balkema, Rotterdam, 3-35

7.4

Legislativa, normy

[8]

EN 1990, Basis of structural design: Brussels, CEN 2002.

[9]

JCSS Probabilistic Model Code: Joint Committee on Structural Safety httt://www.jcss.ethz.ch, 2001.

[10]

ISO 2394 General Principles on Reliability for Structures, 1998.

- 16 (16) -

SPOLEHLIVOST KONSTRUKCÍ

Recommend Documents