4. Statika hmotných objektů 4.1 Stupně volnosti • konstrukci (jako celek nebo její části) idealizujme jako hmotné body, tuhá tělesa nebo tuhé desky (viz 1. a 2. přednáška)
foto:Godden Structural Engineering Slide Library Courtesy National Information Service for Earthquake Engineering, University of California, Berkeley
• k popisu možné změny polohy těchto objektů zavádíme kinematické 1 veličiny, tzv. stupně volnosti (m) © Petr Kabele 2005
Pozn. - souřadnicový systém volíme tak, že kladná poloosa z směřuje ve směru působení zemské tíže. x
x y z
z
2 © Petr Kabele 2005
Stupně volnosti hmotného bodu
v prostoru
v rovině x
x ux
ux y
uy
uz
z m = 3 (posuny ux, uy, uz)
uz
z m = 2 (posuny ux, uz)
3 © Petr Kabele 2005
Stupně volnosti tělesa v prostoru pootočení: ϕx
posuny:
x
x ux
y
y
ϕy
uy
=
uz
+ ϕz
z
z
m = 6 (3 posuny ux, uy, uz + 3 pootočení ϕx, ϕy, ϕz) 4 © Petr Kabele 2005
Stupně volnosti desky v rovině
posuny: x
pootočení:
x ux
= z
uz
z
+ ϕy
m = 3 (2 posuny ux, uz + 1 pootočení ϕy) 5 © Petr Kabele 2005
4.2 Vazby • zařízení, která spojují části konstrukce nebo ji připojují k podkladu • zamezují volnému pohybu objektů, t.j. odebírají stupně volnosti (r)
foto:Godden Structural Engineering Slide Library Courtesy National Information Service for Earthquake Engineering, University of California, Berkeley
6 © Petr Kabele 2005
4.2.1 Vazby hmotného bodu a tuhého tělesa v prostoru
Vedení po ploše/rovině
r=1
Kyvný prut
r=1
Vedení po křivce/přímce
r=2
7 © Petr Kabele 2005
Kulový kloub
Vetknutí (nepouž. pro hm. bod)
r=6
r=3
8 © Petr Kabele 2005
Posuvný válcový kloub (nepouž. pro hm. bod)
r=4
Neposuvný válcový kloub (nepouž. pro hm. bod)
r=5
9 © Petr Kabele 2005
4.2.2 Vazby hmotného bodu a tuhého desky v rovině
Vedení po křivce/přímce
Kyvný prut
n
n t
r=1
r=1
r=1
10 © Petr Kabele 2005
Kloub
Vetknutí (nepouž. pro hm. bod)
r=3 r=2
11 © Petr Kabele 2005
kyvný prut
hmotný bod
kloub
vetknutí zdroj fotografií www.tripyramid.com
12 © Petr Kabele 2005
kyvný prut
výsledná konstrukce složená z kyvných prutů (příhradová konstrukce) zdroj fotografií www.tripyramid.com 13 © Petr Kabele 2005
National Information Service for Earthquake Engineering nisee University of California, Berkeley
Godden Structural Engineering Slide Library http://nisee.berkeley.edu/godden/ Set A: Continuous beams: constant depth I-beams Set A: Continuous beams: variable depth I-beams Set A: Box girders: variable depth Set B: Three-hinged arches: bridges Set B: Two-hinged arches Set B: Tied arches: bridges Set B: Fixed arches: historic Set B: Fixed arches: modern Set D: Bridge trusses: Pin-jointed Set F: Columns: Hinged at both ends Set F: Columns: Hinged at one end, fixed at the other 14 © Petr Kabele 2005
4.3 Kinematická/statická určitost
Stupně volnosti m=r a není výjimkový případ m
r nebo výjimkový případ
Podepření staticky
Podepření kinematicky
Pozn.
určité
určité
kce. pevně podepřena
neurčité
přeurčité
kce. pevně podepřena
přeurčité
neurčité
kce. může smovolně změnit polohu
15 © Petr Kabele 2005
Výjimkový případ podepření: • Přestože počet vazeb je dostatečný k odebrání všech stupňů volnosti konstrukce (m ≤ r) , jejich nevhodné uspořádání nezabraňuje skutečným či nekonečně malým posunům/pootočením.
• Není možné najít takové reakce ve vazbách, které by uvedly zatížení konstrukce do rovnováhy.
• Determinant soustavy podmínek rovnováhy je nulový. 16 © Petr Kabele 2005
4.4 Účinky vazeb
• účinky vazeb vyjadřujeme (nahrazujeme) silami a statickými momenty -- reakcemi, které působí ve směru odebraných stupňů volnosti • orientace reakcí (konvence): • kladná reakce způsobuje tah ve vazbě (je-li směr reakce vazbou dán) • kladné reakce jsou orientovány shodně s kladnými poloosami souřadnicového systému (není-li směr výsledné reakce dán)
17 © Petr Kabele 2005
4.4.1 Vazby hmotného bodu a tuhého tělesa v prostoru
Vedení po ploše/rovině
R
Kyvný prut
R
Vedení po křivce/přímce
Rξ
Rη 18 © Petr Kabele 2005
Kulový kloub
Vetknutí (nepouž. pro hm. bod)
MRz Ry MRy
Rz
Rx
MRx
Rx
Ry Rz
19 © Petr Kabele 2005
Posuvný válcový kloub (nepouž. pro hm. bod)
Neposuvný válcový kloub (nepouž. pro hm. bod)
MRz MRy
MRz
Ry Rz
Ry MRy
Rx
Rz
20 © Petr Kabele 2005
4.4.2 Vazby hmotného bodu a tuhého desky v rovině
Vedení po křivce/přímce
Kyvný prut
n
n t R
R
R
21 © Petr Kabele 2005
Kloub
Vetknutí (nepouž. pro hm. bod)
MR Rx Rx
Rz
Rz
22 © Petr Kabele 2005
Tento dokument je určen výhradně jako doplněk k přednáškám z předmětu Stavební mechanika 1 pro studenty Stavební fakulty ČVUT v Praze. Dokument je průběžně doplňován, opravován a aktualizován a i přes veškerou snahu autora může obsahovat nepřesnosti a chyby.
Datum poslední revize: 2.11.2005
23 © Petr Kabele 2005
