Volné kmitání soustav s jedním stupněm volnosti Zpracoval Doc. RNDr. Zdeněk Hlaváč, CSc
1. Netlumená soustava Pohybová rovnice volných netlumených kmitů základního modelu pro podélnou výchylku x má tvar m¨ x + kx = 0 .
(1)
Jestliže rovnici (1) dělíme hmotností m a zavedeme tzv. vlastní frekvenci netlumené soustavy Ω vztahem Ω=
s
k , m
(2)
převedeme ji do tvaru x¨ + Ω2 x = 0 .
(3)
Jedná se o lineární diferenciální rovnici II. řádu s konstantními koeficienty pro neznámou funkci x(t). Řešíme ji při zadaných počátečních podmínkách x(0) = x0 (polohová) a x(0) ˙ = v0 (rychlostní). Příslušná charakteristická rovnice má zřejmě tvar λ2 + Ω2 = 0 , √ takže má dvojici ryze imaginárních kořenů λ1,2 = ±iΩ , kde i = −1 je imaginární jednotka. Obecné řešení diferenciální rovnice (3) je lineární kombinací exponenciálních funkcí (času) s exponenty, jež jsou kořeny charakteristické rovnice. Toto řešení má tedy tvar x(t) = C1 eiΩt + C2 e−iΩt . Protože podle Eulerových vztahů e±iΩt = cos Ωt±i sin Ωt, lze dosazením do obecného řešení a zavedením nových konstant A = C1 + C2 ; B = i(C1 − C2 )
přepsat obecné řešení na tvar
x(t) = A cos Ωt + B sin Ωt .
(4)
Zde A a B jsou integrační konstanty, které vyčíslíme zohledněním počátečních podmínek. Časovou derivací (4) získáme x(t) ˙ = Ω(−A sin Ωt + B cos Ωt) . Dosazením času t = 0 do (4) a (5) a zohledněním počátečních podmínek vyjde 1
(5)
x(0) = x0 = A ; x(0) ˙ = v0 = BΩ ⇒ B =
v0 Ω.
Dosazením zpět do (4) získáme konkrétní řešení pohybové rovnice, splňující zadané počáteční podmínky, ve formě x(t) = x0 cos Ωt +
v0 sin Ωt . Ω
(6)
Jedná se o lineární kombinaci harmonických funkcí s vlastní frekvencí Ω v (2). Tato frekvence je určena v rad/s. Říkáme jí úhlová frekvence. K ní příslušná frekvence Ω . Doba kmitu T (doba f v Hertzech (tedy v kmitech za sekundu) je zřejmě f = 2π periody) v sekundách je pak převrácenou hodnotou frekvence f . Tedy T =
1 m 2π = = 2π . f Ω k r
(7)
Grafem (6) je posunutá sinusoida (obr.1). Vytkneme-li v (6) tzv. amplitudu kmitání v u u v2 C = tx20 + 02 ,
(8)
Ω
získáme
v0 x0 cos Ωt + sin Ωt . x(t) = C C ΩC
Koeficienty u goniometrických funkcí v absolutní hodnotě nepřevyšují jedničku a součet jejich kvadrátů je přesně jednička. Proto existuje taková fáze γ ∈ h0; 2π), že platí x β c
x0
t
γ T/2
T/2
Obrázek 1:
sin γ =
x0 v0 ; cos γ = . C ΩC
Vztah pro časový průběh kmitání přepíšeme na tvar x(t) = C(sin Ωt cos γ + cos Ωt sin γ) = C sin(Ωt + γ) . 2
(9)
v0 . Protože veličiny C i Ω jsou kladné, vyplývá ze druhé rovnice (9) řešení γ = arccos ΩC Toto řešení ovšem leží v intervalu h0; πi. Úhel γ ale může ležet v intervalu h0; 2π). Výše určený výsledek platí pouze pro případ x0 ≥ 0 (a tedy i sin γ ≥ 0). V opačném případě v0 platí řešení γ = 2π − arccos ΩC . Označme dále γ ∗ = Ωγ . Potom jest
x(t) = C sin Ω(t + γ ∗ ) .
(10)
Tato fáze, stejně jako amplituda C, jsou na obr.1 vyznačeny. Zároveň musí být splněny počáteční podmínky. V čase t = 0 tedy graf vychází z funkční hodnoty x0 a směrnice tečny ke grafu v tomto bodě (tedy rychlostní počáteční podmínka) je v0 . Pro úhel β z obr.1 tedy platí tgβ = v0 .
2. Tlumená soustava Pohybová rovnice volných tlumených kmitů má tvar m¨ x + bx˙ + kx = 0 .
(11)
Jestliže tuto rovnici dělíme hmotností a zavedeme vlastní frekvenci přidružené netlumené soustavy výrazem (2) a poměrný útlum D vztahem 2DΩ =
b b , ⇔ D= √ m 2 mk
(12)
převedeme ji do tvaru x¨ + 2DΩ x˙ + Ω2 x = 0 .
(13)
Jedná se opět o lineární diferenciální rovnici II. řádu s konstantními koeficienty, kde však nyní nechybí člen s první derivací. Řešíme ji obecně při počátečních podmínkách x(0) = x0 (polohová) a x(0) ˙ = v0 (rychlostní). Charakteristická rovnice je λ2 + 2DΩλ + Ω2 = 0 . √ Její diskriminant má hodnotu 2Ω D2 − 1. Pro další řešení má zásadní význam relace poměrného útlumu D vůči jedničce: Soustava s podkritickým (slabým) tlumením, kdy (0 ≤)D < 1. Pak odmocnina v diskriminantu je ze záporného čísla, a tedy ryze imaginární. Řešení charakteristické rovnice jsou
Označme
√ λ1,2 = −DΩ ± iΩ 1 − D2 . √ ΩD = Ω 1 − D2
(14)
a nazveme tuto veličinu vlastní frekvencí (tlumené soustavy). Zřejmě platí ΩD ≤ Ω, pro D = 0 je ΩD = Ω a pro D → 1 je ΩD → 0. Kořeny charakteristické rovnice jsou komplexně sdružené a mají tvar λ1,2 = −DΩ ± iΩD . 3
Podobně jako v netlumeném případě obecné řešení pohybové rovnice je x(t) = C1 e(−DΩ+iΩD )t + C2 e(−DΩ−iΩD )t = e−DΩt (C1 eiΩD t + C2 e−iΩD t ) Zavedeme-li, stejně jako pro netlumenou soustavu, konstanty A = C1 + C2 a B = = i(C1 − C2 ), obdržíme x(t) = e−DΩt (A cos ΩD t + B sin ΩD t) .
(15)
Integrační konstanty A a B opět určíme z počátečních podmínek. Pro aplikaci rychlostní podmínky derivujeme rovnici (15). Dostaneme x(t) ˙ = −DΩe−DΩt (A cos ΩD t + B sin ΩD t) + ΩD e−DΩt (−A sin ΩD t + B cos ΩD t) . (16) Dosazením t = 0 do posledních dvou rovnic a zohledněním počátečních podmínek vychází pro integrační konstanty vztahy x0 = A ; v0 = −DΩA + ΩD B .
Ze druhé rovnice podle (14) plyne
v0 D 1 v0 √ +√ + Dx0 . x = 0 ΩD 1 − D2 1 − D2 Ω Dosazením do (15) máme konkrétní řešení, které splňuje předepsané počáteční podmínky, ve tvaru
B=
x(t) = e
−DΩt
"
v0 1 sin ΩD t . Dx0 + x0 cos ΩD t + √ 2 Ω 1−D #
(17)
Jedná se o lineární kombinaci harmonických funkcí s frekvencí ΩD (jíž přísluší perioda TD = Ω2πD ) graficky vepsanou mezi (v absolutní hodnotě) exponenciálně ubývající křivky tvaru ±Le−DΩt (obr.2). x
Le −DΩ t
β
L x0
t 2 t 21 γ
t 3 t 12
t 1 t 11
t
L TD / 2
TD / 2
−DΩ t
−Le
Obrázek 2: Analogicky jako v případě netlumených kmitů lze lineární kombinaci harmonických funkcí přepsat i zde pomocí amplitudy L a fáze γ na tvar x(t) = Le−DΩt sin(ΩD t + γ) = Le−DΩt sin ΩD (t + γ ∗ ) , 4
(18)
kde 2
L =
x20
+
(Dx0 + vΩ0 )2 1 − D2
cos γ = Pro fázi γ potom platí
⇔ L=
v u u t
x20
DΩx0 + v0 + ΩD
!2
,
Dx0 + vΩ0 x0 DΩx0 + v0 √ . ; sin γ = = LΩD L L 1 − D2 γ = arccos
(19) (20)
DΩx0 + v0 LΩD
v případě platnosti relace x0 ≥ 0 a γ = 2π − arccos
DΩx0 + v0 LΩD
v případě platnosti opačné relace. Pro γ ∗ platí, podobně jako výše, γ ∗ = ΩγD . Grafem volných kmitů je na obr.2 znázorněná silně vytažená křivka. Vychází z polohové počáteční podmínky a směrnice tečny v tomto bodě je rychlostní počáteční podmínka, tedy tgβ = v0 . Křivka má nekonečné množství nulových bodů vzdálených o T2D . Prostor, do něhož je křivka vepsána, je omezen křivkami ±Le−DΩt . Křivka má nekonečně mnoho lokálních extrémů, přičemž se střídají maxima (body t1 , t3 , . . . v obr.2) s minimy (body t2 , t4 , . . . v obr.2). Určíme časy nabytí zmíněných extrémů. Nutnou podmínkou extrému je nulovost derivace. Podle (18) je x(t) ˙ = Le−DΩt [−DΩ sin(ΩD t + γ) + ΩD cos(ΩD t + γ)] . Body lokálních extrémů ti , i = 1, 2, . . . proto splňují podmínku (e−DΩt > 0) √ ΩD 1 − D2 −DΩ sin(ΩD t + γ) + ΩD cos(ΩD t + γ) = 0 ⇔ tg(ΩD t + γ) = = . DΩ D √
2
+ πi , i = 0, 1, . . . (uvažujeme pouze nezáporné časy). Této Odtud ΩD t + γ = arctg 1−D D podmínce vyhovují časy √ √ ! i 1 − D2 γ 1 1 − D2 1 (πi − γ + arctg ) = TD − + arctg , i = 0, 1, . . . . ti = ΩD D 2 2π 2π D Fakt, že v těchto časech skutečně nastávají extrémy a že se se vzrůstajícím indexem i střídají maxima s minimy, jest zřejmý z tvaru (18). Nebudeme proto už zkoumat postačující podmínku z druhé derivace. Dva po sobě jdoucí časy nabytí extrémů se zřejmě od sebe liší o polovinu periody TD . Funkce sinus v těchto časech proto nabývá stejné absolutní hodnoty (ale opačného znaménka). Příslušné funkční hodnoty (extrémy) mají podle (18) poměr absolutních hodnot x(t ) x(t ) π√ D −DΩ Ωπ i i+1 D ⇔ p = =e = e 1−D2 . x(ti+1 ) x(ti )
(21)
Tato veličina rozhoduje o velikosti poměrného útlumu. Zjistíme-li experimentálně hodnotu tohoto poměru p, dostáváme z (21) 5
ln p D =√ , π 1 − D2
odkud
D=q
ln p π 4 + ln2 p
.
Protože (21) platí pro každé přirozené i, je x(t ) x(t ) x(t jπ √ D i i i+j−1 ) 1−D 2 , j = 1, 2, . . . . = · ... · =e x(ti+j ) x(ti+1 ) x(ti+j )
Pro j = 2 nazýváme logaritmus předchozího poměru logaritmickým dekrementem tlumení λ. Platí pro něj λ = ln
x(ti ) D = 2π √ . x(ti+2 ) 1 − D2
(22)
Na závěr této podkapitoly určíme ještě časy, ve kterých se graf funkce x(t) z (18) dotýká obalových křivek ±Le−DΩt . Tento případ nastane právě když platí sin(ΩD t+γ) = + 2πi (pro spodní = ±1. Tedy ΩD t + γ = π2 + 2πi (pro horní znaménko) a ΩD t + γ = 3π 2 znaménko), i = 0, 1, . . . . Tomu odpovídají časy (obr.2).
t∗1i
1 = ΩD
1 π γ − γ + 2πi = TD − + i , i = 0, 1, . . . (horní znaménko) , 2 4 2π
3 γ = TD − + i , i = 0, 1, . . . (spodní znaménko) . 4 2π Na obr.3 jsou znázorněny časové průběhy volných kmitů podkriticky tlumených, kdy vlastní frekvence přidružené netlumené soustavy je Ω = 1[rad/s], při počátečních podmínkách x0 = 1 (polohová) a v0 = 1 (rychlostní). Doba periody netlumené soustavy je tedy 2π[s]. Funkce byla vyčíslena do dvaceti sekund pro různé poměrné útlumy. Na poměrném útlumu značně závisí rychlost utlumení kmitů, velice málo doba periody (tlumené soustavy). t∗2i
Soustava s nadkritickým (silným) tlumením, kdy D > 1. Pak odmocnina v diskriminantu je z kladného čísla, a tedy ryze reálná. Řešení charakteristické rovnice jsou √ λ1,2 = −DΩ ± Ω D2 − 1 . √ Obecné řešení rovnice (11) při označení ΩD = Ω D2 − 1 pak píšeme jako x(t) = C1 e(−DΩ+ΩD )t + C2 e(−DΩ−ΩD )t = e−DΩt (C1 eΩD t + C2 e−ΩD t ) . (23) √ Protože zřejmě D2 − 1 < D pro libovolné D > 1, jsou oba exponenty v exponenciálních funkcích v lineární kombinaci v levé části (23) záporné. Odtud plyne, že pro jakékoliv počáteční podmínky je lim x(t) = 0. Derivací (23) získáme t→∞
x(t) ˙ = (ΩD − DΩ)C1 e(−DΩ+ΩD )t − (ΩD + DΩ)C2 e(−DΩ−ΩD )t . 6
Podkriticke tlumeni − zavislost na pomernem utlumu 1.5 D=0.05 D=0.1 D=0.2 D=0.5
1
0.5
x
0
−0.5
−1
−1.5
0
2
4
6
8
10 t[s]
12
14
16
18
20
Obrázek 3:
Dosazením času t = 0 do posledních dvou rovnic a zohledněním počátečních podmínek odtud dostaneme x(0) = x0 = C1 + C2 ; x(0) ˙ = v0 = (ΩD − DΩ)C1 − (ΩD + DΩ)C2 .
Řešením této soustavy lineárních algebraických rovnic získáme
v0 v0 1 D 1 (1 + D∗ )x0 + (1 − D∗ )x0 − ; C2 = ; D∗ = √ 2 C1 = 2 ΩD 2 ΩD D −1
a dosazením integračních konstant do (23) dostaneme pro konkrétní řešení, splňující předepsané počáteční podmínky, výraz e−DΩt 2
D v0 −ΩD t v0 ΩD t ; D∗ = √ 2 e + (1 − D∗ )x0 − e . ΩD ΩD D −1 (24) Jedná se o časový průběh nekmitavý. Graf této funkce má (podle velikosti počáteční rychlosti) nejvýše jeden lokální extrém a nejvýše jeden nulový bod. Graf opět splňuje počáteční podmínky pohybu. Vychází tedy z bodu [0; x0 ] a směrnice tečny v bodě t = 0 je v0 . Vzhledem k charakteru pohybu mluvíme o přetlumené soustavě. Na obr.4 jsou znázorněny časové průběhy volných ”kmitů” nadkriticky tlumených, kdy veličina Ω = 1 a polohová počáteční podmínka x0 = 1. V horní části obrázku je uvedena závislost na rychlostní počáteční podmínce pro poměrný útlum D = 2. Z obrázku je patrno, že při záporné a v absolutní hodnotě dostatečně velké rychlostní počáteční podmínce dochází k překmitnutí, takže křivka má právě jeden nulový bod a jedno minimum. Pro kladná v0 má křivka jediné maximum a žádný nulový bod. Pro v0 = 0 je maximum na startu (rovné polohové počáteční podmínce). Pro záporná, x(t) =
(1 + D∗ )x0 +
7
v absolutní hodnotě nepříliš velká v0 je funkce stále klesající bez nulových bodů. Ve spodní části obrázku je uvedena závislost na poměrném útlumu pro rychlostní počáteční podmínku v0 = 2. Z obrázku je patrno, že soustava se v daném čase utlumí tím více, čím se poměrný útlum více blíží kritické hodnotě.
Nadkriticke tlumeni − zavislost na rychlostni pocatecni podmince 1.5 v =−5 0
v =−2 0
1
v =0 0
v =2 0
x
0.5
0
−0.5
0
1
2
3
4
5 t
6
7
8
9
10
zavislost na pomernem utlumu 1.5 D=1.2 D=2 D=5
x
1
0.5
0
0
1
2
3
4
5 t[s]
6
7
8
9
10
Obrázek 4:
Soustava s kritickým (mezním) tlumením, kdy D = 1. Diskriminant charakteristické rovnice je nulový a tato má dvojnásobný kořen λ1,2 = −Ω. Obecné řešení pohybové rovnice píšeme pak jako x(t) = e−Ωt (C1 + C2 t) .
(25)
Píšeme-li řešení ve tvaru x(t) =
C1 + C2 t , eΩt
dostáváme užitím L’Hospitalova pravidla lim x(t) = lim
t→∞
t→∞
C1 + C2 t C2 = lim =0 Ωt t→∞ e ΩeΩt
zcela nezávisle na počátečních podmínkách pohybu. Časovou derivací (25) vzniká x(t) ˙ = e−Ωt [−Ω(C1 + C2 t) + C2 ] .
(26)
Dosazením času t = 0 do (25) a (26) a zohledněním počátečních podmínek dostaneme x(0) = x0 = C1 ; x(0) ˙ = v0 = −ΩC1 + C2 . 8
Řešením této soustavy vychází C1 = x0 , C2 = Ωx0 + v0 , takže po dosazení do (25) konkrétní řešení, splňující zadané počáteční podmínky, je x(t) = e−Ωt [x0 + (Ωx0 + v0 )t] .
(27)
Časový průběh výchylky je opět nekmitavý. Grafy funkcí (27) jsou kvalitativně stejné jako pro případ přetlumené soustavy. Na obr.5 jsou znázorněny časové průběhy volných ”kmitů” kriticky tlumených, kdy veličina Ω = 1 a polohová počáteční podmínka x0 = 1. Závislost na rychlostní počáteční podmínce má podobný charakter jako v případě nadkriticky tlumené soustavy v horní části obr.4. Kriticke tlumeni − zavislost na rychlostni pocatecni podmince 1.4 v =−3 0
v =−1
1.2
0
v =0 0
v =1 0
1
0.8
x
0.6
0.4
0.2
0
−0.2
−0.4
−0.6
0
1
2
3
4
5 t[s]
6
7
8
9
10
Obrázek 5:
Poznámka: V případech kritického a nadkritického tlumení parametry Ω resp. ΩD nemají (samozřejmě) význam žádných frekvencí. Jde pouze o ekvivalentní značení k případu podkritického tlumení. Přestože, pro případ podkritického tlumení, se vzrůstajícím poměrným útlumem doba utlumení kmitů pod zadané procento maximálního rozkmitu klesá, pro případ D ≥ 1 to neplatí. Nejrychleji se totiž utlumuje kriticky tlumená soustava. Ukažme si tento zajímavý poznatek na konkrétním příkladě. Příklad: Nechť základní podélně kmitající soustava splňuje podmínku m = k, tedy Ω = 1. Soustava nechť je • kriticky tlumená, • (výrazně) nadkriticky tlumená (např. D = 10).
Soustavu deformujeme ze statické rovnovážné polohy o deformaci (polohová počáteční podmínka) x0 a pustíme z klidu (nulová rychlostní počáteční podmínka). Určíme dobu t dosažení výchylky rovné p−tému dílu startovací výchylky (např. p = 0, 1). 9
Řešení: • Nejprve jej provedeme pro kriticky tlumenou soustavu. Pro zadané počáteční podmínky a Ω plyne z (27) pro časový průběh výchylky výraz x(t) = x0 (1 + t)e−t . Vzhledem k zadání úlohy řešíme rovnici x(t) = px0 ⇔ e−t (1 + t) = p
pro neznámý čas t. Jedná se o transcendentní rovnici, kterou lze řešit pouze numerickou iterační metodou. Z předchozí rovnice formálně osamostatníme t z exponenciální funkce a vyjádříme jej pomocí t ve funkci lineární. Dostaneme t = − ln
1+t p = ln . 1+t p
Při startu např. z času t0 = 1[s] bereme předchozí rovnici jako iterační proces, tedy ti+1 = ln
1 + ti , i = 0, 1, . . . . p
Proces ukončíme v případě malé relativní chyby sousedních iterací, tedy když bude splněno ti+1 − ti < ε.
ti
Pro p = 0, 1 a ε = 10−4 vychází t = 3, 89[s].
• Nyní provedeme řešení pro nadkriticky tlumenou soustavu. Označíme-li v (23) √ √ √ √ λ1 = −DΩ−Ω D2 − 1 = −D− D2 − 1 a λ2 = −DΩ+Ω D2 − 1 = −D+ D2 − 1 , plyne z (23) pro zadané počáteční podmínky pro časový průběh výchylky výraz x0 (λ2 eλ1 t − λ1 eλ2 t ) . λ2 − λ1 Vzhledem k zadání úlohy řešíme pro neznámý čas t rovnici x(t) =
1 (λ2 eλ1 t − λ1 eλ2 t ) = p . λ2 − λ1 I zde se jedná o transcendentní rovnici, kterou lze řešit pouze numerickou iterační metodou. Z předchozí rovnice formálně osamostatníme t z jedné exponenciální funkce a vyjádříme jej pomocí t ve druhé exponenciální funkci. Dostaneme √ λ1 −D − D2 − 1 1 λ2 t √ ln[p(1 − q) + qe ] ; q = = . t= λ1 λ2 −D + D2 − 1 10
Při startu např. z času t0 = 1[s] bereme předchozí rovnici jako iterační proces, tedy ti+1 =
1 ln[p(1 − q) + qeλ2 ti ] , i = 0, 1, . . . . λ1
Proces ukončíme analogickou podmínkou jako v případě kriticky tlumené soustavy. Pro p = 0, 1 ; D = 10 a ε = 10−4 vychází t = 45, 98[s]. Pro D = 2 a ostatní parametry stejné dostáváme t = 8, 87[s]. Soustava zobrazená ve stavovém prostoru. Pro jakkoliv tlumenou soustavu vycházející z jakýchkoliv počátečních podmínek lze pro libovolný čas t určit výchylku x(t) (pro podkriticky tlumenou soustavu vztah (17), pro nadkriticky tlumenou soustavu vztah (24) a pro kriticky tlumenou soustavu vztah (27)) a po její časové derivaci i příslušnou rychlost v(t). Pro každý čas lze tedy zobrazit bod v souřadnicové soustavě [x(t), v(t)]. Bereme-li časy ve zvoleném intervalu se zvoleným krokem, lze body proložit spojitou křivku. Říkáme, že jsme zobrazili pohyb soustavy ve stavovém prostoru. Na obr.6 je ukázáno takové zobrazení pro soustavu s veličinou Ω = 1[rad/s] při startu z počátečních podmínek x0 = 1 (polohová) a v0 = 1 (rychlostní). Časový interval zobrazení byl volen tak, aby se zobrazila jedna perioda netlumených kmitů, tedy pro Ω = 1 interval h0; 2πi při časovém kroku 0.1 sekundy. Poměrný útlum byl měněn po hodnotách D = 0 (netlumená soustava), D = 0.1 (podkriticky tlumená soustava), D = 1 (kriticky tlumená soustava) a D = 2 (nadkriticky tlumená soustava). Z obrázku je patrno, že křivkou pro netlumenou soustavu je kružnice. Ostatní křivky jsou složitějších průběhů. Start je z bodu P=[1;1] (počáteční podmínky). Bod Q=[0;0] označuje statickou rovnovážnou polohu. Za 2π sekund se této poloze (zdaleka) nejvíce přiblížila kriticky tlumená soustava. Víme totiž, že se tlumí nejrychleji. Pro netlumenou soustavu lze tvar křivky ve stavovém prostoru analyticky odvodit. Vycházíme z pohybové rovnice (3), kam za zrychlení x¨ dosazujeme známý vztah 1 dv 2 . 2 dx Vznikne diferenciální rovnice prvního řádu se separovatelnými proměnnými tvaru x¨ = a =
1 dv 2 = −Ω2 x . 2 dx Separací jejích proměnných a integrací mezi počáteční podmínkou a obecnou hodnotou obdržíme Z
v2
v02
2
2
dv = −2Ω
Z
x
xdx ,
x0
odkud v 2 − v02 = −Ω2 (x2 − x20 ) ⇒ v 2 + Ω2 x2 = v02 + Ω2 x20 .
Dělením celé rovnice pravou stranou dostaneme konečný tvar v2 x2 + = 1. 2 v0 v02 + Ω2 x20 + x2 Ω
11
0
Zobrazeni pohybu ve stavovem prostoru D=0 D=1 D=2 D=0.1
1
P(1,1)
rychlost
0.5
Q(0,0)
0
−0.5
−1
−1.5
−1
−0.5
0 vychylka
0.5
1
1.5
Obrázek 6:
Jedná se tedy ve stavovém prostoru o elipsu se středem ve statické rovnovážné poloze [0;0]. Velikosti jejích poloos závisejí na počátečních q podmínkách a vlastní frekvenci. Pro Ω = 1 se zřejmě jedná o kružnici poloměru R = v02 + x20 . Pro náš případ z obrázku 6 √ je tento poloměr 2.
12
