65 *Het Terrell-effect: schijnbare rotatie ten gevolge van lengtecontractie

65

* H e t Terrell-effect: schijnbare rotatie ten gevolge van lengtecontractie

Een v i e r k a n t g a a t m e t snellneid v v o o r b i j aan een s t i l s t a a n d e w a a r n e m e r die zich in de v e r t e op de n e g a t i e v e y - a s b e v i n d t als a a n g e g e v e n in o n d e r s t a a n d e f i g u u r 5 . 7 . Dit s p e e l t zich dus af in een p l a t v l a k .

Waarnemer Figuur

5.10 Het Terrell

vierkant

als geroteerd

effect:

een waarnemer

over een hoek

(p -

ziet een

bewegend

arcsin /?

Alle p u n t e n v a n de z i j k a n t v a n het v i e r k a n t z e n d e n l i c h t s i g n a l e n n a a r de w a a r n e m e r . Op een g e g e v e n t i j d s t i p ziet d e w a a r n e m e r dus de p u n t e n o p een positie d a t ze e v e n v e r w e g v a n de w a a r n e m e r w a r e n . H e t h o e k p u n t links b o v e n ligt v e r d e r w e g d a n het h o e k p u n t a a n de v o o r z i j d e . Als w e a a n n e m e n d a t de w a a r n e m e r heel v e r w e g is, g e l d t d a t de w a a r n e m e r d e l i n k e r b o v e n h o e k dus w a a r n e e m t op een plaats die c o r r e s p o n d e e r t m e t een e e r der tijdstip. a. Hoe g r o o t is het t i j d v e r s c h i l t u s s e n de s i g n a l e n die de w a a r n e m e r v a n l i n k e r b o v e n en ondergelegen hoekpunten ontvangt? b. H o e v e r is de v e r p l a a t s i n g v a n h e t v i e r k a n t in d a t t i j d s v e r l o o p ? c.

De z i j d e a v a n h e t v i e r k a n t d a t in de b e w e g i n g s r i c h t i n g ligt o n d e r v i n d t v o o r de s t i l s t a a n d e w a a r n e m e r een L o r e n t z - c o n t r a c t i e . Hoe lang is de l e n g t e v a n die zijde v o o r de waarnemer?

d . De a a n b l i k die het b e w e g e n d e v i e r k a n t b i e d t c o r r e s p o n d e e r t d u s m e t een g e r o t e e r d v i e r k a n t zoals a a n g e g e v e n aan de l i n k e r z i j d e v a n de f i g u u r . W a t is de h o e k w a a r o v e r h e t v i e r k a n t g e r o t e e r d is? e. Hoe ziet een b e w e g e n d e r o n d e s c h i j f e r u i t v o o r de w a a r n e m e r ?

Terreü-effect

simulatie

V a n het T e r r e l l - e f f e c t is een s i m u l a t i e b e s c h i k b a a r op i n t e r n e t . www.voutube.com/watch?v=JOnHTKZBTI4 V o o r m e e r visuele e f f e c t e n en de b o v e n s t a a n d e s i m u l a t i e in b e t e r e k w a l i t e i t kun j e k i j k e n op www.anu.edu.au/Phvsics/Searle/

85

§5.5

66

*Invariantie onderzoeken

Laat zien d a t bij de o v e r g a n g v a n het z w a r t e n a a r h e t r o d e stelsel

i n v a r i a n t is. D a t wil

z e g g e n : v u l v o o r w de uit de L o r e n t z t r a n s f o r m a t i e v e r k r e g e n u i t d r u k k i n g v o o r w' 2

h e t z e l f d e v o o r x en t o o n dan aan d a t w

67

2

- x

=

w'

in, doe

2

-

x'

.

Ruimtetijdinterval voor fotonen

Welke waarde heeft

68

9

v o o r h e t licht in v a c u i j m ?

l^ogrnaaSs: P a u l t j e h e e f t h e t n i e t g e d a a n ...

Figuur

5.11

Voor wie reist,

ioopt

de tijd

langzamer

Zie het b e g i n v a n h o o f d s t u k 3 ; k i j k n a a r f i g u u r 3 . 1 . P a u l t j e s c h i e t en e v e n l a t e r v a l t S i d o nia. B e r e k e n de w a a r d e v a n .s^ v o o r de r u i m t e t i j d a f s t a n d t u s s e n d e z e t w e e g e b e u r t e n i s s e n . T r e k een c o n c l u s i e .

Met de f o r m u l e

= w^ - x ^ k u n n e n w e nu een n i e u w licht w e r p e n op t i j d r e k en l e n g t e -

k r i m p . V o o r alle w a a r n e m e r s h e e f t

=w^

-

d e z e l f d e w a a r d e . N e e m een z w a r t en een

r o o d s t e l s e l . I n f i g u u r 5 . 1 1 is d a t g e t e k e n d . T e v e n s is de h y p e r b o o l kend.

w'^ - x ^ = 1

ingete-

Kijk n a a r de r u i m t e t i j d p u n t e n die m e t b l a u w e r o n d j e s z i j n a a n g e g e v e n . De w a a r n e m e r in h e t z w a r t e stelsel m e e t een g r o t e r e v e r p l a a t s i n g d a n die in h e t r o d e s t e l sel ( d i e l a a t s t e m e e t n a m e l i j k g e e n v e r p l a a t s i n g ) . Een g r o t e r e x eist v o l g e n s - x^ = 1 een g r o t e r e w - w a a r d e . De z w a r t e w a a r n e m e r k e n t aan h e t b o v e n s t e b l a u w e p u n t d u s e e n g r o t e r e t i j d s w a a r d e t o e d a n de r o d e d i t d o e t . De z w a r t e z e g t d a t de t i j d v a n d e r o d e l a n g z a m e r l o o p t . B o v e n d i e n is z o , o p n i e u w , in t e zien d a t bij kleine o n d e r l i n g e s n e l h e d e n {w'-as v a l t v r i j w e l s a m e n m e t de w-as) d i t e f f e c t v e r w a a r l o o s b a a r is.

69

* G e l i j k e behandeling v a n ruimte en tijd

Kun j e zelf een v e r g e l i j k b a r e r e d e n a t i e o p s t e l l e n v o o r l e n g t e k r i m p ? A a n w i j z i n g : m e t w e l k e h y p e r b o o l j e in d a t geval v a n d o e n h e b t .

86

bedenk

70 De s n e l s t e tijd I n het ruststelsel b e s c h o u w e n w e t w e e g e b e u r t e n i s s e n (w^,xjen

(w^,x^).

a. B e r e k e n h e t i n t e r v a l t u s s e n beide g e b e u r t e n i s s e n . b. I n w e l k stelsel is het t i j d s v e r s c h i l t u s s e n beide g e b e u r t e n i s s e n h e t kleinst?

71

Nogmaals: herschaling van assen

I n f i g u u r 5 . 1 1 b e w e e g t h e t rode stelsel m e t g r o t e s n e l h e i d t e n o p z i c h t e v a n h e t z w a r t e . W a t k u n j e o p m e r k e n , n a a r m a t e de o n d e r l i n g e s n e l h e i d t o e n e e m t , o v e r de t i j d - a s i n d e l i n g v a n het r o d e s t e l s e l , bezien v a n u i t het z w a r t e stelsel?

72 Opnieuw: een voetbalveld De v r a a g o v e r het v o e t b a l v e l d ( o p g a v e 5 8 ) , k u n j e o o k m e t b e h u l p v a n de tel<entool o p l o s s e n . De t o o i kan h y p e r b o l e n v o o r j e t e k e n e n , als j e bij ' V o r m ' h e t k r o m m e l i j n t j e s e l e c teert. N e e m v o o r de l e n g t e v a n het v o e t b a l v e l d 4 l e n g t e - e e n h e d e n . Hoe snel m o e t j e b e w e g e n o m die als 2 l e n g t e - e e n h e d e n w a a r t e n e m e n ? T e k e n d a a r t o e d e h y p e r b o o l die t w e e l e n g t e - e e n h e d e n v a n de x - a s a f s n i j d t . Alle x ' - w a a r d e n die h o r e n b i j een p u n t op de h y p e r b o o l z i j n g e l i j k aan 2 . V i n d h e t s n i j p u n t v a n die h y p e r b o o l m e t de lijn x=4. Lees nu de g e v r a a g d e s n e l h e i d af en v e r g e l i j k deze m e t w a t j e in o p g a v e 58 b e r e k e n d e .

73

* Het ruimtetijdinterval en de Lorentztransformatie.

G e g e v e n zijn de r u i m t e t i j d i n t e r v a l l e n w^-x^=81 en w2-x2=-81. I n f i g u u r 5.12 z i j n de ( d e l e n v a n ) h y p e r b o l e n g e t e k e n d die h i e r b i j h o r e n . Een r e i z i g e r h e e f t s n e l h e i d 0,8 c en g a a t o p t = 0 d o o r de o o r s p r o n g in de p o s i tieve x-richting. a. Bepaal uit f i g u u r 5 . 1 2 w a t de z w a r t e k l o k a a n w i j s t op het t i j d s t i p d a t de rode 9 a a n g e e f t . b. Laat d o o r b e r e k e n i n g v a n de g a m m a f a c t o r v o o r t i j d r e k zien d a t deze in o v e r e e n s t e m m i n g is m e t j e a n t w o o r d op v r a a g a. De r o d e reiziger h e e f t een m e e t l a t bij zich die in h e t r o d e stelsel een l e n g t e v a n 9 l i c h t s e c o n d e n heeft. c. G e e f in de f i g u u r de l e n g t e aan die de z w a r t e waarnemer voor deze bewegende meetlat waarneemt.

I

Z

Figuur

t 5.12

E

S D I w2-x2=81

en

w2-x^=-81.

Een a n d e r e reiziger b l i j k t zich in d e z e l f d e l a n g e t r e i n te b e v i n d e n als de r e i z i g e r uit v r a a g a t o t en m e t c. Hij b e v i n d t z i c h , in h e t r o d e stelsel g e m e t e n , in h e t p u n t x ' = 4 . Hij k l a p t o p h e t r o d e t i j d s t i p t ' = 10 s in zijn h a n d e n . d . B e r e k e n de p l a a t s - en t i j d c o ö r d i n a t e n v a n deze g e b e u r t e n i s in h e t z w a r t e s t e l s e l .

87

Antwoorden tekstvragen T.25 a. Op de w ' - a s is x ' = 0. De LT g e e f t d a n O m d a t x/w

=p, g e l d t d a n d a t x = p.y.w'

.

b. Deze u i t d r u k k i n g g e e f t aan w e l k z w a r t t i j d s t i p w bij het r o d e t i j d s t i p w ' h o o r t , o f als j e w i l t : w e l k r o o d t i j d s t i p w ' bij het z w a r t e t i j d s t i p w h o o r t . c.

Elk p u n t o p de z w a r t e w - a s h e e f t x - c o ö r d i n a a t 0. O m bij v r a a g a. als u i t k o m s t v a n de LT ( w ' , 0 ) te k r i j g e n , m o e t e n we d a a r o m het z w a r t e p u n t (w/y,0) nemen.

d . Het p u n t ( 0 , x ' ) (p.y.x', y.x').

transformeert

naar

T.26 a. De liniaal is t e n o p z i c h t e v a n j o u in r u s t en d a a r o m m e e t j e g e w o o n 30 cm. b. L ' = y . L . IVlet L ' = 3 0 c m en L = 20 c m , v i n d j e y = 1,5. H i e r u i t v o l g t d a t j e s n e l h e i d v = 0,75 c. T.27 A n t w o o r d b. T.28 Het r u i m t e t i j d i n t e r v a l is i n v a r i a n t , dus g e l d t Weob^ - XBob^ = W 'charl^ - X 'charl^. XBob^ > x'chari^. Omdat C h a r l o t t e w e l t e n o p z i c h t e v a n Bob b e w e e g t , m a a r n i e t t e n o p z i c h t e v a n zichzelf (x'chari = 0 ) . Dan g e l d t d a t Wgob^ > w'chari^b Bob k e n t een g r o t e r g e t a l aan een t i j d s t i p op C h a r l o t t e s k l o k t o e d a n C h a r l o t t e zelf: Bob is v a n m e n i n g d a t zijn klok het snelst loopt. T.29 Wi^ - Xi2 = - X2^ 522 . 252 = ^2 . W2^ = 2 7 0 4 - 6 2 5 + 1 7 6 4 = 3 8 4 3 ; W2 = 62 nis.

88

6

Energie en impuls

Als we onze beperkingen

eenmaal

accepteren,

kunnen

we ze

overwinnen.

Wat zijn de energie en impuls van een snel bewegend deeltje?

Sol

EmpyDs

W e b e g i n n e n m e t de i m p u l s v a n een b e w e g e n d d e e l t j e en b e k i j k e n de v e r s c h i l l e n t u s s e n de klassiek n e w t o n i a a n s e t h e o r i e en de speciale r e l a t i v i t e i t s t h e o r i e . I n de m e c h a n i c a v a n N e w t o n w o r d t de b e w e g i n g s t o e s t a n d v a n een d e e l t j e b e p a a l d d o o r t e n e e r s t e zijn m a s s a m en t e n t w e e d e z i j n s n e l h e i d ö of i m p u l s p

= m - ï ; , die o o k wel

' h o e v e e l h e i d b e w e g i n g ' w o r d t g e n o e m d (zie a p p e n d i x 7 . 3 ) . S n e l h e i d en i m p u l s z i j n , net als k r a c h t en v e r s n e l l i n g , v e c t o r e n : ze h e b b e n een r i c h t i n g en een g r o o t t e . I n een w e r e l d m e t d r i e r u i m t e l i j k e d i m e n s i e s is z o ' n v e c t o r een pijl m e t c o m p o n e n t e n langs de x - , y - , en z - a s . I n onze m i n i w e r e l d , die slechts één r u i m t e l i j k e d i m e n s i e h e e f t , k u n n e n deze v e c t o r e n a l leen langs de p o s i t i e v e of n e g a t i e v e x - a s g e r i c h t z i j n :

=^m-v

of

^-m-v

.

Je z u l t e r i n m i d d e l s v a n d o o r d r o n g e n z i j n d a t r u i m t e en t i j d in de r e l a t i v i t e i t s t h e o r i e n a u w m e t e l k a a r v e r w e v e n z i j n . O m r e c h t t e d o e n a a n h e t b e g r i p V u i m t e t i j d ' m o e t e n w e een n a t u u r l i j k e t i j d c o m p o n e n t , die w e zullen n o t e r e n als po, v o o r de i m p u l s v e c t o r d e f i n i ë r e n , z o d a t w e een r u i m t e t i j d v e c t o r {po,Px) k r i j g e n a n a l o o g a a n de p o s i t i e v e c t o r iw,x). Er is hierv o o r een zeer n a t u u r l i j k e k e u z e t e d o e n . Als h e t d e e l t j e een pad d o o r de r u i m t e a f l e g t is de i m p u l s v e c t o r op een g e g e v e n m o m e n t a l t i j d g e r i c h t langs de r a a k l i j n aan h e t pad d o o r de r u i m t e in h e t p u n t w a a r d a t d e e l t j e op d a t m o m e n t is. I n de r u i m t e t i j d b e w e e g t h e t d e e l t j e zoals we w e t e n langs e e n w e r e l d l i j n en j e v e r w a c h t d a t de r u i m t e t i j d i m p u l s v e c t o r g e r i c h t is langs de r a a k l i j n aan de w e r e l d l i j n . O m d a t het pad in de r u i m t e n i e t s a n d e r s is d a n de p r o j e c t i e v a n de w e r e l d l i j n op d e r u i m t e , m o e t het zo zijn d a t de p r o j e c t i e v a n de r u i m t e t i j d i m p u l s v e c t o r de r u i m t e l i j k e i m p u l s v e c t o r g e e f t . De t i j d c o m p o n e n t v a n de r u i m t e t i j d i m p u l s v e c t o r k a n d a a r u i t e i g e n l i j k al b e p a a l d w o r d e n zoals u i t e e n e e n v o u d i g v o o r b e e l d m o g e b l i j k e n .

i

..

,p f

-

^

\ 1 1

i Figuur 6.1a Positievector componenten

met zijn

Figuur 6.1b Impulsvector componenten

89

met

zijn

We b e s c h o u w e n als v o o r h e e n h e t geval v a n een d e e l t j e d a t m e t e e n c o n s t a n t e s n e l h e i d v in de p o s i t i e v e x - r i c h t i n g b e w e e g t . De w e r e l d l i j n v a n het d e e l t j e is de b e k e n d e lijn die een h o e k a m e t de t i j d a s m a a k t en de p r o j e c t i e d a a r v a n is i n d e r d a a d g e w o o n h e t p a d w a a r langs h e t d e e l t j e zich in de r u i m t e b e w e e g t . Dan l i g t de r u i m t e l i j k e c o m p o n e n t v a n de i m p u l s v e c t o r n a t u u r l i j k langs de positieve x - a s en deze h e e f t p e r d e f i n i t i e de g r o o t t e P x = r n v . V o o r de w e r e l d l i j n g e l d t d a t tan a = p = v/c , maar d a n g e l d t o o k d a t tan a = Px/Po = fiW e k u n n e n d a a r u i t c o n c l u d e r e n d a t de g r o o t t e v a n de t i j d c o m p o n e n t po v a n de i m p u l s v e c tor gegeven wordt door Po =

Pj/^

= mc

H i e r m e e is de r u i m t e t i j d i m p u l s v e c t o r v o l l e d i g b e p a a l d zo l i j k t h e t . M e r k e c h t e r o p d a t a l l e e n de v e r h o u d i n g Px/Po is v a s t g e l e g d . Als w e z o w e l po als p^ m e t d e z e l f d e f a c t o r v e r m e n i g v u l d i g e n b l i j f t de v e r h o u d i n g h e t z e l f d e .

6.2

IRelatövisÈiisclrae SmpyBsvector

We b e k i j k e n nu hoe de n i e u w e i m p u l s v e c t o r v e r a n d e r t o n d e r de Galileï- d a n wel L o r e n t z t r a n s f o r m a t i e s . O m het v e r h a a l zo d u i d e l i j k m o g e l i j k te h o u d e n , z u l l e n w e de t w e e g e v a l l e n op a n a l o g e w i j z e b e h a n d e l e n . W e g a a n uit v a n een s t i l s t a a n d d e e l t j e . H i e r o n d e r zie j e hoe d a t g e v a l e r v o l g e n s N e w t o n (en Galileï) u i t z i e t v a n u i t een b e w e g e n d s t e l s e l . I n f i g u u r 6 . 1 s t a a t de t o e s t a n d v a n h e t d e e l t j e a f g e b e e l d in t e r m e n v a n de t w e e p a r a m e t e r s die z i j n b e w e g i n g s t o e s t a n d ( o p een b e p a a l d m o m e n t ) b e s c h r i j v e n : de m a s s a en i m p u l s . Langs de v e r t i c a l e as s t a a t mc, een m a s s a p a r a m e t e r , en langs de h o r i z o n t a l e as s t a a t de i m p u l s p^ = -m-v = -p-mc. Een d e e l t j e m e t massa m d a t s t i l s t a a t ( w a a r v o o r g e l d t p^ = 0 ) , w o r d t d a n v o o r g e s t e l d d o o r een v e c t o r ( p i j l ) langs de v e r t i c a l e as.

1

1

1

1

1

/ / 1

/mc

../.

/

1

/ /

//

1

/

———

, j

/ //

A mc

f

^

1

1

Figuur 6.2a Massa en impuis volgens ton voor een stilstaand deeltje

New-

Figuur 6.2b Massa en impuls voor een bewegend deeltje

volgens

Newton

I n f i g u u r 6.2a is o o k een r o o d stelsel g e t e k e n d , d a t e e n n e w t o n i a a n s e w a a r n e m e r v o o r s t e l t die zich v o o r t b e w e e g t m e t s n e l h e i d v. I n d a t stelsel h e e f t h e t d e e l t j e e e n s n e l h e i d -v en e e n i m p u l s ~mv. Merk o p d a t f i g u u r 6.2a e r precies zo u i t z i e t als die v o o r de c o ö r d i n a t e n w en X in f i g u u r 2 . 1 0 . D a t k o m t o m d a t die op e x a c t d e z e l f d e v e r a n d e r e n o n d e r de Galileït r a n s f o r m a t i e : v o o r een p o s i t i e v e c t o r in de r u i m t e t i j d ( w , x ) w e t e n w e d a t bij N e w t o n w' = 14/ e n x ' = x-vt = x-pw, t e r w i j l v o o r de i m p u l s v e c t o r in de r u i m t e t i j d {mc, p j g e l d t d a t

(jncy = m.c ( o m d a t de m a s s a n i e t v e r a n d e r t ) en

' =

- mv = - yömc

( o m d a t P x = 0 ) . I n f i g u u r 6 . 2 b zie j e hoe de i m p u l s v e c t o r e r in h e t b e w e g e n d e stelsel u i t z i e t .

90

O m h e t verschil t e zien d o e n w e d e z e l f d e e x e r c i t i e n o g m a a l s , m a a r d a n v a n u i t h e t r e l a t i v i s t i s c h perspectief. I n f i g u u r 6 . 3 a zie j e h e t s t i l s t a a n d e d e e l t j e , d a t in h e t r u s t s t e l s e l w o r d t g e k a r a k t e r i s e e r d d o o r een v e c t o r m e t een t i j d c o m p o n e n t mc en een r u i m t e c o m p o n e n t Px = 0. Nu w i l l e n w e de g r o o t t e v a n de c o m p o n e n t e n in h e t r o d e stelsel t e w e t e n k o m e n . W e z o u d e n de L o r e n t z - t r a n s f o r m a t i e s k u n n e n t o e p a s s e n , m a a r in d i t g e v a l w e t e n w e al d a t (mc)'

=

/mc

en p,'=

-jSymc

o m d a t de assen h e r s c h a a l d z i j n m e t de r e l a t i v i s t i s c h e s n e l h e i d s f a c t o r y . Figuur 6 . 3 b t o o n t de s i t u a t i e v a n u i t h e t b e w e g e n d e s t e l s e l , w a a r i n de r e l a t i v i s t i s c h e i m p u l s v e c t o r in d e r u i m t e t i j d een h o r i z o n t a l e c o m p o n e n t h e e f t v a n -/3ymc en een v e r t i c a l e c o m p o n e n t v a n y/Dc. Deze u i t d r u k k i n g e n v e r s c h i l l e n v a n die v a n N e w t o n d o o r de e x t r a f a c t o r y , h e t g e e n o n d e r m e e r i m p l i c e e r t d a t z o w e l de h o r i z o n t a l e als de v e r t i c a l e c o m p o n e n t v a n de i m p u l s v e c t o r o n b e g r e n s d t o e n e m e n als de s n e l h e i d v a n de w a a r n e m e r d i c h t e r bij c k o m t . Ook in de f i g u u r 6.3 is d a t m o o i te z i e n : d a a r k o m e n de c o m p o n e n t e n s t e e d s m e e r in e i k a a r s v e r lengde te liggen.

U .... I

\ \\

1 mc y

'

1

i 1 l 1 1 1

1 1

'

1

1 /

"

j

X

-pjlTH

Figuur 6.3a Massa en impuls volgens stein voor een stilstaand deeltje

Ein-

/ mc

i

—

\

/ f j—r—

1

x'

• -|l','mc 1 Figuur 6.3b Massa en impuls volgens stein voor een bewegend deeltje

Ein-

I n b o v e n s t a a n d e r e d e n e r i n g b e w e e g t de w a a r n e m e r m e t s n e l h e i d + v en h e t d e e l t j e m e t -V. Hetzelfde g e l d t v o o r een w a a r n e m e r m e t s n e l h e i d -v en een d e e l t j e m e t s n e l h e i d v. Een d e e l t j e d a t m e t s n e l h e i d v b e w e e g t h e e f t e e n r e l a t i v i s t i s c h e i m p u l s v e c t o r m e t Px' = Pymc als r u i m t e c o m p o n e n t . De t i j d c o m p o n e n t b l i j f t ymc.

Relativistische impulsvector De r e l a t i v i s t i s c h e i m p u l s v e c t o r v o o r een d e e t j e m e t m a s s a m en snelheic\ V h e e f t V u i m t e tijd' componenten ( { p ^ , p j = {ymc,

pymc)

> mc

=

^4i-v' Waarin

ft-vj

mv

le'

4i-v^

Ic^)

C . De u i t d r u k k i n g v e r s c h i l t v a n die v a n N e w t o n d o o r de e x t r a r e l a t i v i s t i -

sche s n e l h e i d s f a c t o r y.

91

Massaloze deeltjes Een f o t o n of l i c h t d e e l t j e v e r p l a a t s t zich p e r d e f i n i t i e a l t i j d m e t d e l i c h t s n e l h e i d . De r u i m t e t i j d i m p u l s e r v a n ligt in de r i c h t i n g v a n de b i j b e h o r e n d e w e r e l d l i j n en h e e f t d a a r d o o r v o o r alle w a a r n e m e r s een e v e n g r o t e r u i m t e - als t i j d s c o m p o n e n t . De fysica v a n het e l e k t r o m a g n e t i s m e leert d a t w e o o k a a n licht e e n e n e r g i e E en i m p u l s p k u n n e n t o e k e n n e n , die een c o n s t a n t e v e r h o u d i n g h e b b e n v a n E

— = c P g e l i j k d u s aan de l i c h t s n e l h e i d . Die v e r h o u d i n g is d a a r d o o r h e t z e l f d e v o o r alle w a a r n e m e r s . H i e r u i t v o l g t d a t de t i j d s c o m p o n e n t v a n de i m p u l s v e c t o r v a n een f o t o n g e l i j k m o e t z i j n aan E/c. Een f o t o n g a a t m e t de l i c h t s n e l h e i d , m a a r k a n w e l een w e l b e p a a l d e e i n d i g e i m p u l s ( e n e n e r g i e ) h e b b e n , in t e g e n s t e l l i n g t o t de d e e l t j e s d i e w e h i e r v o o r b e s p r a k e n . I^Iateriedeelt j e s z o u d e n bij de l i c h t s n e l h e i d een o n e i n d i g e e n e r g i e en i m p u l s b e z i t t e n , h e t g e e n o n m o g e l i j k is - d i t v e r k l a a r t d a t zij de l i c h t s n e l h e i d n o o i t b e r e i k e n . I n de f i g u u r 6.4 is z o ' n e i n d i ge ' e n e r g i e - i m p u l s v e c t o r ' v a n een f o t o n w e e r g e g e v e n . I^lerk op d a t de c o m p o n e n t e n v a n de v e c t o r in de v e r s c h i l l e n d e b e w e g e n d e stelsels a l l e m a a l o p een r e c h t e lijn l o o d r e c h t op de w e r e l d l i j n t e r e c h t k o m e n . I n t e g e n s t e l l i n g t o t e e n m a s s i e f d e e l t j e , w a a r v a n de i m p u l s o n b e p e r k t t o e n e e m t , g e d r a a g t licht zich k e u r i g . Als w e het f o t o n w i l l e n i n t e r p r e t e r e n als een d e e l t j e w a a r v a n beide i m p u l s c o m p o n e n t e n e e n e i n d i g e w a a r d e h o u d e n t e r w i j l y o n e i n d i g g r o o t is, k a n d a t a l l e e n als we eisen d a t de f o t o n m a s s a n a a r nul g a a t , z o d a t y m c k a n w o r d e n v e r v a n g e n d o o r de e n e r g i e E/c. W e m o e t e n h e t f o t o n als e e n m a s s a l o o s d e e l t j e o p v a t t e n . Ook h e t g r a v i t o n , w a a r v a n Einstein h e t b e s t a a n v o o r s p e l d e in z i j n a l g e m e n e r e l a t i v i t e i t s t h e o r i e , m a a r w a a r v a n h e t b e s t a a n nog s t e e d s n i e t is a a n g e t o o n d , is z o ' n m a s s a l o o s d e e l t j e . A l g e m e e n g e l d t d a t alle d e e l t j e s die m e t de l i c h t s n e l h e i d b e w e g e n m a s s a l o o s z i j n , en omgekeerd!

E/c

1 1 1 1

, »»" '

§

^

* 1 » 1

* "

f

i

f

—f—

/E'/c

t

rE7c t

1

t

1 1

i''

IJ p Figuur

6.4 Impuls

en energie

van een

92

foton

(5=3

Srinpyllslbehoy®]

We w i l l e n nu b e k i j k e n hoe het zit m e t d e w e t v a n b e h o u d v a n i m p u l s . Eerst in d e E u c l i d i sche r u i m t e w a a r die n a t u u r l i j k als g e v o l g v a n d e w e t t e n v a n N e w t o n g e l d i g is in de a f w e z i g h e i d v a n e x t e r n e k r a c h t e n (zie a p p e n d i x 7 . 3 ) , en v e r v o l g e n s naar de g e n e r a l i s a t i e d a a r v a n in de iviinkowski r u i m t e t i j d . We b e s c h o u w e n een s i m p e l b o t s i n g s e x p e r i m e n t , w a a r b i j er v a n links en v a n r e c h t s een d e e l t j e m e t m a s s a m en s n e l h e i d v n a a r e l k a a r t o e b e w e g e n die botsen in de o o r s p r o n g . W e n e m e n aan d a t ze inelastisch b o t s e n en e r dus een d e e l t j e m e t massa M= 2m in r u s t ( m e t V=0) in de o o r s p r o n g o v e r b l i j f t . H e t stelsel w a a r i n w e d i t w a a r n e m e n n o e m e n w e h e t ruststelsel. ^'^vo^r^^^^' b o t s i n g h e b b e n w e p^^^ = mv en p2,x = -mv d u s de r u i m t e l i j k e i m p u l s Px^°°' = Pi,x+P2,x = O, en o o k na de b o t s i n g h e b b e n w e e e n r u i m t e l i j k e i m p u l s Pf^=MV=0. Het b e h o u d v a n i m p u l s v o o r de r u i m t e l i j k e c o m p o n e n t is dus g e l d i g . V o o r de t i j d c o m p o n e n t h e b b e n v o o r de b o t s i n g : Pi^o+P2,o = 2mc ,en na de b o t s i n g : Po=Mc. V e r g e l i j k i n g v a n de t i j d c o m p o n e n t v o o r en na d e b o t s i n g l e v e r t dus h e t b e h o u d v a n massa o p , n.l. d a t M = 2m en de t o t a l e m a s s a ' s v o o r en na de b o t s i n g g e l i j k z i j n . Je zou d e n k e n d a t w e nu k l a a r z i j n en h e t p r o b l e e m h e b b e n o p g e l o s t , m a a r w e m o e t e n niet t e v r o e g j u i c h e n . Laten w e e e r s t eens k i j k e n hoe dit e x p e r i m e n t er r e l a t i v i s t i s c h in een a n d e r , b e w e g e n d stelsel u i t z i e t . W e kiezen een b e w e g e n d e w a a r n e m e r die in h e t stelsel v a n h e t r e c h t e r d e e l t j e zit ( e n die zich dus n a a r links b e w e e g t m e t een s n e l h e i d -v t . o . v . het r u s t s t e l s e l ) . V o o r d e b e w e g e n d e w a a r n e m e r g e l d t d a t w i j ons b e w e g e n m e t e e n s n e l h e i d +v. O m de s n e l h e i d u v a n h e t n a a r r e c h t s b e w e g e n d e d e e l t j e te b e p a l e n in h e t b e w e g e n d e stelsel m o e t e n w i j d e o p t e l f o r m u l e v a n s n e l h e d e n t o e p a s s e n (zoals b e s p r o k e n in par. 3 . 3 ) , w a a r we h e b b e n l a t e n zien dat

u'+v

u = i +

u'-v/c''

Hierin is u de s n e l h e i d v a n het l i n k e r d e e l t j e t e n o p z i c h t e v a n de b e w e g e n d e w a a r n e m e r , u' de s n e l h e i d v a n het l i n k e r d e e l t j e t e n o p z i c h t e v a n het r u s t s t e l s e l en v de s n e l h e i d v a n 'het r u s t s t e l s e l t e n o p z i c h t e v a n de b e w e g e n d e w a a r n e m e r . I n ons v o o r b e e l d g e l d t b o v e n d i e n dat u' = V z o d a t 2V

u = Dus v o o r de b o t s i n g gezien v a n u i t het b e w e g e n d e stelsel h e b b e n w e : ^v™"'=

+ P.,.v =

O + m-u

=

2m-v/ii

Na de b o t s i n g is er alleen het z w a r e d e e l t j e m e t massa M=2m

+ v ' / e ) dat m e t snelheid v (ten op-

z i c h t e v a n de r o d e w a a r n e m e r ) b e w e e g t , dus

H e l p ! We zien d a t in d i t stelsel P/°°' n i e t g e l i j k is aan P / ^ ! I m p u l s l i j k t niet l a n g e r b e h o u d e n ! W a t is h i e r g a a n d e ? I m p u l s b e h o u d w a s g e l d i g in het r u s t s t e l s e l m a a r niet in h e t b e w e g e n d e stelsel? Een s c h e n d i n g v a n h e t r e l a t i v i t e i t s p o s t u l a a t , een n a t u u r w e t die w a a r is in het ene i n e r t i a a l s t e l s e l m a a r n i e t in een a n d e r e ? [vjerk op d a t in de N e w t o n i a a n s e m e c h a n i ca de o p t e l f o r m u l e v o o r s n e l h e d e n g e e f t d a t w = v+v = 2v e n d a n k l o p t de w e t v a n i m p u l s b e h o u d j u i s t w e l in beide stelsels. M a a r we h e b b e n iets v e r g e t e n ! I n de r e l a t i v i t e i t s t h e o r i e is d e massa

afhankelijk

van de grootte

van zijn snelheid,

dus m(v)=/{v)

van

een

m, mety{v)

deeltje

de r e l a t i -

v i s t i s c h e s n e l h e i d s f a c t o r . V o o r de b e h o u d s w e t v a n i m p u l s in h e t b e w e g e n d e stelsel m o e t e n w e dus s c h i j v e n : P , ™ " = m(u)

• u =M(v)

93

•V

=Pf'^

De massa v a n het b e w e g e n d e d e e l t j e zoals gezien d o o r de b e w e g e n d e w a a r n e m e r is en de m a s s a v a n het z w a r e d e e l t j e M is g e l i j k a a n M(v)

= rdv)

•M

= r(v) •

m(u)

2miv)

en dus niet g e l i j k aan 2m. De v e r s c h i l l e n d e s i t u a t i e s v o o r beide stelsels zijn in d e o n d e r staande relativistische r u i m t e t i j d d i a g r a m m e n weergegeven:

M.c =2m(v).

m(w).d

f

1,0

2.0

= m(v c V m(v).c m.c

•m(v)

m.c

/ 1

m(v)

V

.V

I

Figuur 6.5a Impulsbetioud Einstein, in het ruststelsel

volgens

Figuur 6.5a Impulsbehoud volgens Einstein, in h e t b e w e g e n d e stelsel

Met een b e r e k e n i n g k u n n e n we nu n a g a a n of i n d e r d a a d aan i m p u l s b e h o u d is v o l d a a n . We v u l l e n in de v e r g e l i j k i n g v o o r u zoals h i e r b o v e n g e g e v e n : Tl voor

r

\

1

^X)

= m{u) •u = m--

PJ

2m-vDit is i n d e r d a a d g e l i j k aan

Pf''=M(v)-v=2m-vi~v'/c' Er is d u s v o l d a a n aan i m p u l s b e h o u d in de r e l a t i v i t e i t s t h e o r i e als w e a c c e p t e r e n d a t de m a s s a a f h a n g t v a n de s n e l h e i d . De m a s s a m=m(0) v a n een d e e l t j e d a t s t i l s t a a t w o r d t w e l de r u s t m a s s a g e n o e m d . M a a r w e leren uit deze exercitie o o k d a t in de r e l a t i v i t e i t s t h e o r i e h e t b e h o u d v a n r u s t m a s sa n i e t l a n g e r g e l d i g i s ; deze b e h o u d s w e t w o r d t v e r v a n g e n d o o r het b e h o u d v a n d e t i j d c o m p o n e n t v a n de i m p u l s v e c t o r . Die v e r t e l t ons d a t de t o t a l e r e l a t i v i s t i s c h e m a s s a , die s n e l h e i d s a f h a n k e l i j k is, b e h o u d e n b l i j f t . V o o r de r o d e w a a r n e m e r is de v e r g e l i j k i n g :

PJ"°' = m-c + m(u) • c =M(v)

• c =P„""

Net als v o o r de i m p u l s k u n n e n w e d o o r b e r e k e n i n g c o n t r o l e r e n d a t dit i n d e r d a a d e e n g e l i j k h e i d is. T.30 B e k i j k h e t s i m p e l e b o t s i n g s e x p e r i m e n t in het r u s t s t e l s e l . a.

Hoe l u i d t de b e h o u d s w e t v o o r de t o t a l e i m p u l s ?

b.

Hoe l u i d t de b e h o u d s w e t v o o r de t i j d c o m p o n e n t ?

94

6„4 In de v o r i g e p a r a g r a a f h e b b e n w e een V u i m t e t i j d ' - i m p u l s v e c t o r ( y m c , /Hymc) v o o r m a s s i e ve d e e l t j e s g e ï n t r o d u c e e r d , die op n a t u u r l i j k e w i j z e v o l g d e uit d e r e l a t i v i s t i s c h e r e l a t i e t u s sen v e r s c h i l l e n d e stelsels. De r u i m t e c o m p o n e n t (Symc k u n n e n w e b e s c h o u w e n als de f y s i sche i m p u l s p , o m d a t in h e t l i m i e t g e v a l /S = v/c ^ O g e l d t d a t y ^ 1 , z o d a t

P/mc

Pmc = mv

De c o m p o n e n t Po=ymc k u n n e n w e m e t een s o o r t g e l i j k a r g u m e n t i n t e r p r e t e r e n als de r e l a t i v i s t i s c h e g e n e r a l i s a t i e v a n de m a s s a p a r a m e t e r mc, en d a t is precies w a t Einstein v o o r s t e l d e . Hij d e f i n i e e r d e een r e l a t i v i s t i s c h e m a s s a als

ym. (die zoals j e ziet a f h a n k e l i j k is v a n de s n e l h e i d ) . We h e b b e n h i e r b o v e n gezien d a t d e t o t a l e r e l a t i v i s t i s c h e m a s s a , die s n e l h e i d s a f h a n k e l i j k is, b e h o u d e n b l i j f t . Einstein c o n c l u d e e r d e h i e r u i t d a t de r e l a t i v i s t i s c h e e n e r g i e v a n een m a s s i e f d e e l t j e zal w o r d e n g e g e v e n d o o r de r e l a t i e

E

~=m^^^c = ymc c D a a r m e e k o m e n w e t o t de o p z i e n b a r e n d e conclusie die Einstein als e e r s t e t r o k , n a m e l i j k d a t e r e e n v e r b a n d is t u s s e n de e n e r g i e en de massa v a n een d e e l t j e . Dit is de a l o m g e l a u w e r d e v e r g e l i j k i n g die de e q u i v a l e n t i e v a n e n e r g i e en massa t o t u i t d r u k k i n g b r e n g t , en die g e k e n m e r k t w o r d t d o o r e e n niet t e e v e n a r e n e e n v o u d , k r a c h t en s c h o o n h e i d .

Equivalentie van energie en massa De r e l a t i v i t e i t s t h e o r i e g e e f t h e t v e r b a n d

E = m^.^^c^ = ymc"" =mc t u s s e n de e n e r g i e en de m a s s a v a n een d e e l t j e .

Zo z i j n w e m e t een c o n s e q u e n t d o o r g e v o e r d e logische r e d e n e r i n g - die wel uit een r e s p e c t a b e l a a n t a l s t a p p e n b e s t o n d - d o o r g e d r o n g e n t o t het r e v o l u t i o n a i r e i n z i c h t d a t m a s s a e e n b e p a a l d e v o r m v a n e n e r g i e is. O m de g e d a c h t e n te b e p a l e n ; één g r a m v a n een w i l l e k e u r i g g e k o z e n s o o r t m a t e r i e k o m t d a a r b i j o v e r e e n m e t zo'n lO^'* J o u l e s , w a t v e r g e l i j k b a a r is m e t de e n e r g i e die v r i j k w a m bij de k e r n b o m op H i r o s h i m a .

O m b e t e r te b e g r i j p e n d a t ymc^

m^^^f,

i n d e r d a a d e e n e n e r g i e is, h e l p t het o m de u i t d r u k k i n g

t e b e k i j k e n v o o r lage s n e l h e i d . Als w e a a n n e m e n d a t p = v/c z e e r klein is, k u n n e n

we e e n b e n a d e r i n g g e v e n v o o r de u i t d r u k k i n g 1 V' 1 We passen de f o r m u l e t o e , b e s p r o k e n in de a p p e n d i x 1 + --X 2

+ .

Dan v i n d e n we v o o r de e e r s t e t w e e t e r m e n 1

V

2 C V o o r de r e l a t i v i s t i s c h e e n e r g i e l e v e r t d i t zo o p ;

m^gjC

=^ymc xmc +-mv 95

+...

De m e e s t r e c h t s e t e r m is de bel<ende uitdrukl
.

W a t m a g dit b e t e k e n e n ? Het a n t w o o r d v a n Einstein w a s : aan de r e c h t e r k a n t s t a a n e n e r g i e ë n . Ook de l i n k e r k a n t m o e t d a n een e n e r g i e v o o r s t e l l e n . Deze e n e r g i e b e s t a a t uit t w e e b i j d r a g e n . De b e k e n d e k i n e t i s c h e e n e r g i e , m a a r o o k een n i e u w e t e r m , de i - u s f c e n e r g i e mc^, die niets m e t de s n e l h e i d v a n h e t v o o r w e r p v a n d o e n h e e f t . Deze e n e r g i e is a l t i j d in een v o o r w e r p a a n w e z i g en h a n g t m e t de m a s s a v a n h e t v o o r w e r p s a m e n . We k u n n e n z e g g e n d a t het de e n e r g i e is die h e t h e e f t g e k o s t o m deze m a s s a t e m a k e n . Deze e n e r g i e zit o p g e s l a g e n in iedere m a s s a . Einstein n o e m d e

w^^, = ym

de r e l a t i v i s t i s c h e m a s s a v a n h e t l i c h a a m ; deze h a n g t via

y

wèl v a n de s n e l h e i d af. De m a s s a rn h a n g t n i e t af v a n de s n e l h e i d en w o r d t de r u s t m a s s a g e n o e m d , o m d a t dit de w a a r d e v a n 777^.^1 is v o o r een s t i l s t a a n d d e e l t j e .

]LEivair5ante l e n g t e

^

T e g e n w o o r d i g d r u k k e n n a t u u r k u n d i g e n h e t v e r b a n d t u s s e n m a s s a en e n e r g i e v a a k a n d e r s u i t : ze z e g g e n d a t de i n v a r i a n t e m a s s a ( o f r u s t m a s s a ) m c o r r e s p o n d e e r t m e t d e i n v a r i a n t e ' l e n g t e ' v a n de r e l a t i v i s t i s c h e e n e r g i e - i m p u l s v e c t o r {E,pc). I n f o r m u l e v o r m :

E'-p'c^=

{ymey -(Pymcfc^

=nfc'

Deze u i t d r u k k i n g b e s c h r i j f t o o k f o t o n e n en a n d e r e m a s s a l o z e d e e l t j e s , w a n t v o o r m = O v i n d e n we E = ±pc. Zoals j e w e e t z i j n r u s t m a s s a en l i c h t s n e l h e i d v o o r alle i n e r t i ë l e w a a r n e m e r s e v e n g r o o t . B e r e k e n i n g v a n de i n v a r i a n t e l e n g t e is d a a r o m o n a f h a n k e l i j k v a n de s n e l h e i d v a n de w a a r n e m e r , n e t zoals in h e t v o r i g e h o o f d s t u k h e t r u i m t e t i j d i n t e r v a l s d a t w a s .

Fiijuur

ó.ó IiivdfictiiLe

ItiiicjLe'VdH

Üiè

96

ëUërtjie-iinpulSVBClüF'

S„3

E=Diiiic^ in het ©siderzoeks h&t ATLASescperimeini'c Mj CEKW

EBemerataire deeltjes W a a r b e s t a a t m a t e r i e uit? Het a n t w o o r d " u i t a t o m e n " is al 2 5 0 0 j a a r g e l e d e n g e g e v e n . K u n n e n w e ool< nog z e g g e n w a a r a t o m e n uit b e s t a a n ? Pas r u i m 100 j a a r g e l e d e n w e r d d u i d e l i j k d a t in a t o m e n nog kleinere d e e l t j e s v o o r k o m e n : het e l e k t r o n w e r d d o o r J . J . T h o m s o n in 1 8 9 7 o n t d e k t . IMiet lang d a a r n a w e r d uit b o t s i n g s p r o e v e n m e t a l f a d e e l t j e s op e e n g o u d f o l i e d o o r Ernest R u t h e r f o r d ( 1 9 0 7 ) , d u i d e l i j k d a t in h e t a t o o m b e h a l v e de e l e k t r o n e n o o k een k e r n a a n w e z i g is die h e t g r o o t s t e deel v a n de m a s s a b e z i t . W e e r l a t e r v o n d m e n d a t de k e r n uit p r o t o n e n en n e u t r o n e n b e s t a a t . Er w a r e n t o e n v i e r e l e m e n t a i r e d e e l t j e s b e k e n d : e l e k t r o n , p r o t o n , n e u t r o n en h e t f o t o n . H e t o n d e r z o e k had dus een s t r u c t u u r v a n m a t e r i e o p g e l e v e r d die é é n laag d i e p e r l i g t d a n h e t n i v e a u v a n d e a t o m e n . Een v r a a g is d a n n a t u u r l i j k : is d i t de d i e p s t e laag? Bij t o e v a l s t u i t t e m e n op het b e s t a a n v a n nog een v i j f d e e l e m e n t a i r d e e l t j e , het m u o n . Dit w e r d o n t d e k t t i j d e n s ( o n b e m a n d e ) b a l l o n e x p e r i m e n t e n , h o o g in de a t m o s f e e r . S t r a l i n g uit h e t h e e l a l , m e t z e e r h o g e e n e r g i e , c r e ë e r t m u o n e n bij b o t s i n g e n m e t a t m o s f e r i s c h e d e e l t j e s op e n i g e t i e n t a l l e n k i l o m e t e r h o o g t e . V o o r v e r d e r e s t u d i e w i l d e m e n d i t o n d e r l a b o r a t o r i u m o m s t a n d i g h e d e n n a b o o t s e n : er w a r e n v e r s n e l l e r s n o d i g die de h o o g - e n e r g e t i s c h e deeltjes konden produceren. Er z i j n t w e e t y p e s v e r s n e l l e r s die h i e r v o o r g e b r u i k t w o r d e n : de lineaire v e r s n e l l e r , b e s p r o ken in p a r a g r a a f 5.5 en c i r k e l v o r m i g e v e r s n e l l e r s w a a r b i j de d e e l t j e s een ( g r o o t ) a a n t a l m a l e n h e t z e l f d e t r a j e c t a f l e g g e n , elke k e e r m e t m e e r e n e r g i e d a n de v o r i g e . De v e r s n e l l e r s bij h e t o n d e r z o e k s c e n t r u m CERN bij G e n è v e zijn v o l g e n s d a t p r i n c i p e g e b o u w d . Het o n d e r z o e k n a a r n i e u w e d e e l t j e s v i n d t p l a a t s d o o r m i d d e l v a n b o t s i n g s p r o e v e n . O m een zo k r a c h t i g m o g e l i j k e b o t s i n g t e k r i j g e n n e e m t m e n t w e e b u n d e l s v e r s n e l d e d e e l t j e s die m e n f r o n t a a l laat b o t s e n . De massa v a n de b o t s e n d e d e e l t j e s w o r d t h i e r b i j o m g e z e t in e n e r g i e , v o l g e n s E = mc^, en d e z e l f d e w e t b e s c h r i j f t het o n t s t a a n v a n n i e u w e d e e l t j e s .

Figuur 6.7 Luclitfoto aangebracht.

van CERN bij Genève;

de installaties

97

zijn in tunnels

onder

de

grond

C E R N Accelerators (not to scale)

Start the protons out hëre Figuur 6.8 Overziclit van de ringen, waarin sing van de verschillende detectoren.

de versnelling

plaats

vindt,

met de

plaat-

Standaardmodel Bij p r o e v e n m e t d e r g e l i j k e v e r s n e l l e r s k w a m h e t b e s t a a n v a n nog veel m e e r t o t d a n t o e o n b e k e n d e d e e l t j e s a a n het licht. Het e e n v o u d i g e beeld d a t alle m a t e r i e b e s t a a t uit p r o t o n e n , n e u t r o n e n en e l e k t r o n e n m o e s t v e r l a t e n w o r d e n . P r o b l e e m was d a t h e t a a n t a l ' e l e m e n t a i r e ' d e e l t j e s zo e n o r m g r o o t w a s , d a t m e n zich n i e t k o n v o o r s t e l l e n d a t deze e c h t e l e m e n t a i r w a r e n . De z o e k t o c h t n a a r d e e l t j e s die zich n o g een laag d i e p e r b e v o n d e n , w a s begonnen. Uit b o t s i n g s p r o e v e n bij zeer h o g e e n e r g i e bleek d a t b i j v o o r b e e l d in p r o t o n e n d r i e h a r d e ' p i t t e n ' a a n w e z i g z i j n . i^en n o e m d e die q u a r k s . T w e e i d e n t i e k e , ' u p ' g e n o e m d en één a n d e r e , ' d o w n ' . Ook n e u t r o n e n b l e k e n o p g e b o u w d uit d r i e q u a r k s , l x up en 2 x d o w n . H e t b l e e k m o g e l i j k alle b e k e n d e s a m e n g e s t e l d e d e e l t j e s o p t e b o u w e n uit 6 e l e m e n t a i r e d e e l t j e s : 6 q u a r k s die in d r i e f a m i l i e s g e r a n g s c h i k t w o r d e n , elk m e t h u n e i g e n t y p e niets a m e n g e s t e l d e d e e l t j e s als e l e k t r o n e n en n e u t r i n o ' s . D a a r b u i t e n b e s t a a t nog een stel d e e l -

98

t j e s die g e a c h t w o r d e n d r a g e r s t e zijn v a n alle b e k e n d e k r a c h t w e r k i n g e n . Het b e k e n d s t d a a r v a n zijn het f o t o n , de d r a g e r v a n de e l e k t r o m a g n e t i s c h e k r a c h t en h e t g r a v i t o n , o v e r b r e n g e r v a n de g r a v i t a t i e k r a c h t . Het g r a v i t o n o v e r i g e n s is nog n i e t a a n g e t o o n d . Het s y s t e e m w a a r i n al deze d e e l t j e s en de k r a c h t e n e r t u s s e n m e t g r o t e precisie b e s c h r e v e n w o r d e n h e e t h e t S t a n d a a r d m o d e l . De m a n i e r w a a r o p d a t w e r d i n g e v u l d m e t de r e s u l t a t e n v a n de e x p e r i m e n t e n , leek e r g op w a t zich een e e u w e e r d e r had a f g e s p e e l d bij h e t Periodiek S y s t e e m v a n M e n d e l e j e w : uit b e h a a l d e r e s u l t a t e n w e r d e e n s c h e m a o p g e b o u w d , d a t g a t e n bleek t e b e v a t t e n . D o o r a n a l o g i e ë n k o n m e n v o o r s p e l l i n g e n d o e n o v e r d e e i g e n s c h a p p e n v a n de d e e l t j e s die de g a t e n m o e s t e n o p v u l l e n , h e t g e e n h e t z o e k e n d a a r n a a r zeer vergemakkelijkte. 3 MeV

1.24 GeV

SU chanm 9i MeV

0

L

Vl

up 6MeV

172.5 GeV

top 4.2 GéV

photon 0

-Vi

15

Vl €town

a

:

^

Strange

hottom

g gluon

Q z

90.2 GeV

Ml Hi.H[-ln:i-i nei.itrino

muon HA-, •-lü'.'

Ui

miinn

Figuur

6.9 Overziclit

: tau iieuLririci

l

weak fcrce

OJ

30.4 GeV

T f W weak force

liiij

van de elementaire

deeltjes

O m Q

fi

volgens

het

Standaardmodel

Nu is m e n z o v e r d a t alle d e e l t j e s u i t h e t S t a n d a a r d m o d e l a a n g e t o o n d z i j n , op één n a : het Higgsdeeltje.

Higgsdeeltje Alle m a t e r i e d e e l t j e s l i j k e n zeer s t e r k op e l k a a r , als j e k i j k t n a a r l a d i n g , spin ( z o i e t s als d r a a i i n g r o n d de as) en a n d e r e f u n d a m e n t e l e e i g e n s c h a p p e n , m a a r d e e l t j e s v e r s c h i l l e n e n o r m in m a s s a . R u i m 4 0 j a a r g e l e d e n o n t s t o n d h e t idee d a t d i t v e r o o r z a a k t w e r d d o o r é é n , nu n o g h y p o t h e t i s c h d e e l t j e , b e d a c h t d o o r de n a t u u r k u n d i g e Peter Higgs ( 1 9 6 0 ) . Dit d e e l t j e zou r u i m t e t i j d b e ï n v l o e d e n e n een H i g g s v e l d c r e ë r e n , en alle m a t e r i e d e e l t j e s z o u d e n d a a r a a n s t e r k e r o f z w a k k e r g e k o p p e l d z i j n . De z w a k g e k o p p e l d e d e e l t j e s b e w e g e n g e m a k k e l i j k e r d o o r h e t H i g g s v e l d , en z i j n d a n d e e l t j e s die een k l e i n e t r a a g h e i d ( m a s s a ) h e b b e n ; de d e e l t j e s die s t e r k e r k o p p e l e n h e b b e n g r o t e r e t r a a g h e i d . O o k z i j n e r d e e l t j e s die n i e t k o p p e l e n ; deze z i j n m a s s a l o o s , zoals h e t f o t o n en het g r a v i t o n , en b e w e g e n d a a r d o o r a l t i j d m e t de l i c h t s n e l h e i d . Op deze m a n i e r is te b e g r i j p e n w a a r o m d e e l t j e s zo s t e r k u i t e e n lopende massa's kunnen hebben. V a n h e t H i g g s d e e l t j e k u n n e n w e e r e e n heel stel e i g e n s c h a p p e n v o o r s p e l d w o r d e n , h e t g e e n h e t m o g e l i j k m a a k t g e r i c h t e r n a a r t e z o e k e n . Deze z o e k t o c h t is m o m e n t e e l op t w e e p l a a t sen a a n de g a n g : in h e t F e r m i l a b in de V S , w a a r m e n h e t d e e l t j e a l l e e n k a n v i n d e n als h e t n i e t t e z w a a r is, en bij CERN, w a a r m e n , zo is de v e r w a c h t i n g , het d e e l t j e in elk g e v a l k a n v i n d e n . Bij CERN is m e d e v o o r d i t doel een n i e u w e d e e l t j e s v e r s n e l l e r g e b o u w d , de Large H a d r o n Collider ( L H C ) , die in 2 0 0 9 o p e r a t i o n e e l is g e w o r d e n . De LHC is een 2 7 k i l o m e t e r

99

lange c i r k e l v o r m i g e v e r s n e l l e r , w a a r i n d e v e r s n e l l i n g t o t s t a n d g e b r a c h t w o r d t d o o r zo'n 1 3 0 0 s u p e r g e l e i d e n d e m a g n e t e n . De e n e r g i e ë n w a a r b i j de b o t s i n g e n p l a a t s v i n d e n is 10 T e V , d . w . z h e t e q u i v a l e n t v a n 1 0 . 0 0 0 p r o t o n m a s s a ' s . D a t zijn de h o o g s t e e n e r g i e ë n die o o i t in e e n v e r s n e l l e r g e r e a l i s e e r d z i j n . D o o r de e n e r g i e v a n de b o t s e n d e b u n d e l s op t e v o e r e n h o o p t m e n zeer z w a r e d e e l t j e s als het H i g g s d e e l t j e t e k u n n e n p r o d u c e r e n . H i e r b i j is h e t o p s p o r e n v a n zo'n d e e l t j e in de l a w i ne a a n d e e l t j e s die bij elke b o t s i n g o n t s t a a t t e r w i j l e r o o k een g i g a n t i s c h a a n t a l b o t s i n g e n per s e c o n d e o p t r e d e n een g r o t e u i t d a g i n g op het g e b i e d v a n d a t a a n a l y s e .

Figuur

6.10 ATLAS moet

een lawine

aan sporen

als deze

analyseren.

Umt A T L A S e K p e r ö m e n t De o p s p o r i n g g e b e u r t m e t b e h u l p v a n ATLAS , e e n speciaal o n t w o r p e n d e t e c t o r , w a a r a a n o o k N e d e r l a n d s e n a t u u r k u n d i g e n een b i j d r a g e l e v e r e n . De d e t e c t o r h e e f t de g r o o t t e v a n een f a b r i e k : 25 m h o o g , en is in s t a a t de baan v a n d e e l t j e s m e t een n a u w k e u r i g h e i d v a n 1 / 1 0 0 0 c m t e v o l g e n . Het is een a p p a r a a t d a t de g r e n s v a n h e t t e c h n i s c h k u n n e n v e r s c h u i f t : h e t b e v a t m e e r t r a n s i s t o r s d a n er in de M e l k w e g aan s t e r r e n z i j n , m o e t per s e c o n de e e n m i l j a r d b o t s i n g e n a n a l y s e r e n ( e e n g e g e v e n s s t r o o m die e v e n g r o o t is als w a n n e e r e l k m e n s op a a r d e 20 t e l e f o o n g e s p r e k k e n t e g e l i j k e r t i j d v o e r t ) . Van die m i l j a r d b o t s i n g e n p e r s e c o n d e p r o d u c e r e n o n g e v e e r 50 n i e u w e v e r s c h i j n s e l e n en de kans d a t d a a r een H i g g s d e e l t j e bij zit is w e e r 1 op m i l j o e n . O m g e r e k e n d k o m t dit n e e r op de p r o d u c t i e v a n één H i g g s d e e l t j e p e r dag en het is de t a a k v a n de 2 8 0 0 fysici e n t e c h n i c i die b e t r o k k e n z i j n bij h e t ATLAS e x p e r i m e n t o m d i t u n i e k e v o o r v a l uit het kolossaal a a n t a l g e g e v e n s t e f i l t e ren. M u o n Detectors

Tlle Calorimeter

Torold Magnets

Figuur

6.11Doorsnede

Uquld A r g o n Calorimeter

Solenoid M a g n e t

door de

SOT Tracker

ATLASdetector 100

Pixel Detector

TRT Tracker

A t l a s k e n t drie d e t e c t i e l a g e n , die v a n b i n n e n n a a r b u i t e n l o p e n . I n de b i n n e n s t e w o r d e n de posities v a n e l e k t r i s c h g e l a d e n d e e l t j e s n a u w k e u r i g v a s t g e l e g d , w a a r d o o r c o m p u t e r s in s t a a t zijn de g e v o l g d e b a n e n t e b e r e k e n e n . Men laat d a a r t o e de ( g e l a d e n ) d e e l t j e s een s t e r k m a g n e e t v e l d d o o r l o p e n ; de b a a n k r o m m i n g is a f h a n k e l i j k v a n h u n i m p u l s . Het m a g n e e t v e l d w o r d t o p g e w e k t in s u p e r g e l e i d e n d e s p o e l e n m e t s t r o o m s t e r k t e s v a n 2 0 . 0 0 0 A. In h e t m i d d e l s t e deel w o r d t de e n e r g i e v a n de d e e l t j e s g e m e t e n , d o o r ze e n e r g i e o v e r t e l a t e n d r a g e n aan h e t m a t e r i a a l v a n deze c a l o r i m e t e r s . Het H i g g s d e e l t j e is instabiel e n v e r v a l t , w a a r b i j h o o g s t w a a r s c h i j n l i j k m u o n e n g e v o r m d w o r d e n . Bij d e i n t e r a c t i e v a n z w a r e d e e l t j e s m e t de c a l o r i m e t e r s o n t s t a a n o.a. m u o n e n die in de b u i t e n s t e laag g e d e t e c t e e r d worden.

ATLAS V i d e o s en e - t o u r s zijn t e v i n d e n op h t t p : / / a t l a s . c h /

W a a r is d i t g o e d v o o r ? H e t o n d e r z o e k n a a r de f u n d a m e n t e n v a n de m a t e r i e h e e f t de a f g e l o p e n 100 j a a r r e s u l t a t e n o p g e l e v e r d die de w e r e l d v e r a n d e r d h e b b e n . Van R ö n t g e n s t r a l i n g en r a d i o t h e r a p i e v i a a n n i h i l a t i e v a n m a t e r i e in PET-scanners in z i e k e n h u i z e n t o t de o p l o s s i n g v a n h e t p r o b l e e m t e c o m m u n i c e r e n m e t al die w e t e n s c h a p p e r s en t e c h n i c i w e r k z a a m b i j het CERIM: h e t o n t s t a a n v a n het W o r l d Wide W e b . O o k nu d i e n t zich w e e r e e n v o l g e n d e s t a p a a n : h e t o n t s t a a n v a n het Grid ( h e t n e t w e r k ) , w a a r b i j v e r g e l e k e n het w w w n o g slechts een v o o r z i c h t i ge s t a r t is. W o r d t h e t w w w g e b r u i k t o m i n f o r m a t i e uit t e w i s s e l e n , h e t Grid w o r d t g e b r u i k t o m r e k e n k r a c h t en d a t a o p s l a g t e b u n d e l e n . Bij CERN zou z o n d e r g e b r u i k t e m a k e n v a n h e t Grid wel l O O d u i z e n d pc's m o e t e n o p g e s t e l d o m de s t r o o m aan g e g e v e n s t e b e h e r e n en door te rekenen. Is d i t o n d e r d e e l v a n de n a t u u r k u n d e ' a f ' als h e t H i g g s d e e l t j e g e v o n d e n is? Er is e e n p r o b l e e m d a t het S t a n d a a r d m o d e l n i e t aan k a n : h e t g r a v i t o n en d a a r m e e de g r a v i t a t i e k r a c h t l a a t zich er n i e t m e e b e s c h r i j v e n . T h e o r e t i c i w e r k e n d a a r o m al een t i j d aan een n o g f u n d a m e n t e l e r m o d e l : de s n a r e n t h e o r i e , w a a r b i n n e n w e l e e n p l a a t s is v o o r alle d e e l t j e s . Deze t h e o r i e is e c h t e r o n b e w e z e n en de fysici s t u d e r e n nog op m o g e l i j k e e x p e r i m e n t e n - via b o t s i n g s p r o e v e n als b o v e n b e s c h r e v e n h e t b e s t a a n v a n s n a r e n a a n t o n e n v e r e i s t e e n v e r s n e l l e r die zo g r o o t is d a t die n i e t eens in o n s z o n n e s t e l s e l p a s t .

@.4

E = m c ^ ioTi a c t i e s het

ETEGlproJect

ECersispliJtirig en Kernfusie T o e n Einstein in 1 9 0 5 u i t k w a m o p E=mc^ zag m e n in d a t m a s s a e q u i v a l e n t is m e t e e n z e e r g r o t e h o e v e e l h e i d e n e r g i e . Hoe m e n die uit de m a t e r i e v r i j k o n m a k e n w a s in e e r s t e i n s t a n t i e o n d u i d e l i j k . Circa 15 j a a r l a t e r w e r d een t o e s t e l o n t w o r p e n w a a r m e e h e t m o g e l i j k was m e t zeer grote nauwkeurigheid atoommassa's te m e t e n . Tot de verbazing van de w e t e n s c h a p p e r s die dit d e d e n b l e e k , b i j v o o r b e e l d , een H e l i u m a t o o m l i c h t e r t e zijn d a n de o n d e r d e l e n w a a r u i t h e t is o p g e b o u w d , n a m e l i j k 2 p r o t o n e n , 2 n e u t r o n e n en 2 e l e k t r o n e n . Hoe k o n het g e h e e l nu l i c h t e r z i j n d a n de s o m v a n zijn o n d e r d e l e n ? Al snel w e r d b e d a c h t d a t bij s a m e n v o e g i n g v a n de g e n o e m d e losse o n d e r d e l e n t o t H e l i u m , het m a s s a v e r s c h i l e n e r g i e v r i j zou m a k e n v o l g e n s de f o r m u l e E=md. We n o e m e n d i t proces k e r n f u s i e . Het w a s in 1 9 3 8 de Duitse fysicus Hans B e t h e die b e r e k e n d e d a t op deze m a n i e r de s t e r r e n hun enorme energie opwekken. V a n z e l f k w a m de v r a a g n a a r v o r e n of h e t m o g e l i j k was een m a c h i n e t e m a k e n o m d o o r m a s s a o m z e t t i n g e n e r g i e op te w e k k e n . Er d i e n d e n zich t w e e m o g e l i j k h e d e n a a n . Het is m o g e l i j k e n e r g i e uit g r o t e k e r n e n v r i j t e m a k e n d o o r ze in k l e i n e r e t e s p l i t s e n ( k e r n s p l i j t i n g ) , of e r kan e n e r g i e w o r d e n v r i j g e m a a k t d o o r j u i s t lichte k e r n e n t e l a t e n f u s e r e n t o t m i d d e l g r o t e k e r n e n ( k e r n f u s i e ) . Figuur 6 . 1 2 g e e f t d i t a a n (fission b e t e k e n t s p l i t s i n g ) .

101

D 3He

Energy released In Fusion

T li tHe U

Deuterium Helium 3 Tritium Lithium Helium 4 Uranium

ion

Atomic mass Figuur 6.12 Energie uit l<ernen l
Fusiereactor Uit f i g u u r 6 . 1 2 v a l t a f t e lezen d a t e r e n e r g i e v r i j k o m t bij de fusie v a n D e u t e r i u m k e r n e n t o t b i j v o o r b e e l d H e l i u m . D e u t e r i u m is e e n i s o t o o p v a n w a t e r s t o f m e t een k e r n die b e s t a a t uit een p r o t o n en een n e u t r o n . D e u t e r i u m f u s i e is t e c h n i s c h erg l a s t i g . Een v o l g e n d e k a n d i d a a t die zich d a n a a n d i e n t is ^ H e ; d a a r v a n is e c h t e r op A a r d e slechts 2 0 0 kg v a n a a n w e z i g . Het k o m t w e l veel o p de Maan v o o r , m a a r v o o r l o p i g is o o k ^He als f u s i e k a n d i d a a t a f g e w e z e n . Men p o o g t nu e n e r g i e te w i n n e n d o o r D e u t e r i u m m e t T r i t i u m t e f u s e r e n . T r i t i u m is een r a d i o a c t i e v e i s o t o o p v a n w a t e r s t o f , m e t een k e r n die b e s t a a t uit 1 p r o t o n en 2 n e u t r o n e n . T r i t i u m is v r i j e e n v o u d i g t e m a k e n d o o r b e s c h i e t i n g v a n L i t h i u m m e t n e u t r o n e n . D e u t e r i u m k o m t v e e l v o o r in z e e w a t e r - v o o r h e t b e o o g d e f u s i e p r o c e s is er op A a r d e v o l d o e n d e b r a n d s t o f v o o r h a n d e n . De r e a c t i e die plaats v i n d t is g e t e k e n d in f i g u u r 6 . 1 3 .

102

Tritium Figuur

cx-particle ("He)

6.13 Fusie van deuterium

en

tritium

W a a r het h i e r o m g a a t is, d a t de s o m m a s s a v a n de g e v o r m d e r e a c t i e p r o d u c t e n , d u s het n e u t r o n en h e t a - d e e l t j e of ' ' H e - k e r n , k l e i n e r is d a n de massa v a n d e k e r n e n v o o r de r e a c t i e , dus D en T.

D-kern T-kern Som-massa, voor

IMassa ( u ) 2,0135534 3,0155014 5,0290548

He-kern n S o m - m a s s a , na

Massa ( u ) 4,0015058 1,0086650 5,0101708

Dit m a s s a v e r s c h i l w o r d t v o l g e n s E = m c ^ o m g e z e t in e n e r g i e . V o o r het g r o o t s t e deel is d i t k i n e t i s c h e e n e r g i e v a n h e t n e u t r o n , d a t d o o r m i d d e l v a n een b o t s i n g die e n e r g i e o v e r d r a a g t a a n de w a n d v a n h e t v a t . De t e m p e r a t u u r s t i j g i n g d a a r v a n k a n w o r d e n g e b r u i k t o m s t o o m te p r o d u c e r e n . I n d i t proces r a k e n de ' b r a n d s t o f f e n ' D en T o p . Met een h a n d i g h e i d j e kan T w e e r w o r d e n a a n g e v u l d : in de w a n d v a n h e t v a t b r e n g t m e n Li a a n . Bij de b o t s i n g v a n e e n n e u t r o n t e g e n de w a n d w o r d t d a n Li o m g e z e t in He en T, w a a r b i j o o k nog eens e x t r a e n e r g i e v r i j k o m t . Op deze m a n i e r h o e f t t i j d e n s de w e r k i n g v a n de r e a c t o r g e e n r a d i o a c t i e v e s t o f te w o r d e n t o e g e v o e r d , w a t b i j d r a a g t aan de v e i l i g h e i d . K e r n e n f u s e r e n n i e t z o m a a r v a n z e l f . O m d a t a t o o m k e r n e n alle p o s i t i e f g e l a d e n z i j n , s t o t e n ze e l k a a r e l e k t r i s c h af. De a f s t o t e n d e k r a c h t e n k u n n e n o v e r w o n n e n w o r d e n d o o r de k e r n e n g r o t e s n e l h e i d te g e v e n ; d i t g e b e u r t d o o r de t e m p e r a t u u r t o t g r o t e h o o g t e op t e v o e r e n . Je m o e t d a n d e n k e n aan zeer e x t r e m e t e m p e r a t u r e n v a n m e e r d a n 100 m i l j o e n K. Bij die t e m p e r a t u r e n z i j n alle a t o o m k e r n e n ' k a a l ' , d . w . z . alle a t o m e n z i j n v o l l e d i g g e ï o n i s e e r d : elektronen hebben losgelaten. We spreken van een plasma.

Figuur

6.14 Het vat van een 103

fusiereactor

Figuur

6.15 Drie manieren

om liet plasma

te

verhitten

Het p l a s m a w o r d t op drie m a n i e r e n v e r h i t t o t g e n o e m d e t e m p e r a t u r e n . Eerst w o r d t h e t al o p g e w a r m d d o o r h e t p l a s m a te g e b r u i k e n als O h m s e w e e r s t a n d in de s e c u n d a i r e k e t e n v a n een t r a n s f o r m a t o r - e r z i j n dus s p o e l e n n o d i g w a a r d o o r h e e n s t e r k e s t r o m e n l o p e n . O m t e v o o r k o m e n d a t die spoelen zelf d o o r de g r o t e s t r o o m s t e r k t e h e e t w o r d e n , w o r d e n ze g e koeld m e t v l o e i b a a r H e l i u m - ze z i j n d a n s u p e r g e l e i d e n d , v e r t o n e n g e e n w e e r s t a n d en w o r d e n dus o o k niet w a r m . Op die m a n i e r w o r d t h e t p l a s m a t o t ca. 30 m i l j o e n K v e r h i t . Daarna w o r d t , n e t als bij een m a g n e t r o n , via e l e k t r o m a g n e t i s c h e g o l v e n een v e r d e r e v e r h i t t i n g g e r e a l i s e e r d - t o t ca. 100 m i l j o e n K. T o t slot w o r d t D, d a t in de r e a c t i e w o r d t v e r b r u i k t en dus a a n g e v u l d m o e t w o r d e n , m e t g r o t e s n e l h e i d h e t p l a s m a i n g e s c h o t e n , l e i d e n d t o t een v e r d e r t e m p e r a t u u r s t i j g i n g . Je z u l t j e nu m i s s c h i e n a f v r a g e n w a a r o m h e t v a t w a a r i n het p l a s m a zich b e v i n d t , n i e t s m e l t bij d e r g e l i j k e t e m p e r a t u r e n . Dit is t e d a n k e n a a n de o p s l u i t i n g v a n h e t p l a s m a in m a g n e t i sche v e l d e n . Het p l a s m a r a a k t de w a n d e n v a n het v a t niet a a n , op de n e u t r o n e n na die t e g e n de w a n d e n b o t s e n en z o , g e c o n t r o l e e r d , h u n k i n e t i s c h e e n e r g i e d a a r a a n o v e r d r a g e n .

Figuur sluiten

6.16 Grote het plasma

spoelen op

Hierin zit ool< e e n heel b e l a n g r i j k v e i l i g h e i d s a s p e c t v a n z o ' n k e r n f u s i e r e a c t o r . Op e l k m o m e n t b e v i n d t zich m a a r een p a a r g r a m f u s i e m a t e r i e in d e r e a c t o r . W e l i s w a a r zeer h e e t , m a a r d o o r d e g e r i n g e massa m e t w e i n i g w a r m t e d a a r i n o p g e s l a g e n . Als d i e w a r m t e in é é n klap ( b i j een s t o r i n g b i j v o o r b e e l d ) o v e r g e d r a g e n zou w o r d e n a a n h e t z w a r e , m e t a l e n v a t , z o u d a t niet eens veel in t e m p e r a t u u r s t i j g e n . En in h e t slechte g e v a l d a t die w a r m t e op é é n p l e k t e r e c h t zou k o m e n , is d e n k b a a r d a t h e t v a t p l a a t s e l i j k s m e l t - e e n f i n a n c i ë l e s c h a d e p o s t , m a a r n o g s t e e d s g e e n r a m p . De k e r n e n z o u d e n e l e k t r o n e n o p p i k k e n en v e r a n d e r e n in a t o m e n . V a n die a t o m e n is alleen h e t T r a d i o a c t i e f , w a a r b i j h e t o m m i n d e r d a n 1 g r a m g a a t . D i t z o u o p g e v a n g e n w o r d e n in h e t b e t o n n e n o m h u l s e l d a t h e t v a t o m s l u i t . O n g e l u k k e n k o m e n v a a k n i e t a l l e e n . Dus zelfs als h e t T in d e o m g e v i n g t e r e c h t k o m t , zal h e t niet veel schade a a n k u n n e n r i c h t e n . Het is 1 g r a m g a s d a t zich in d e a t m o s f e e r v e r s p r e i d t e n d a t b o v e n d i e n a l l e e n bij i n a d e m i n g s c h a d e l i j k k a n z i j n . W i e niet n e t n a a s t de c e n t r a l e s t a a t als h e t f o u t l o o p t , h e e f t zelfs v a n zo e e n o n g e l u k n i e t s t e d u c h t e n . ITER-project A a n e n e r g i e c e n t r a l e s die o p fossiele b r a n d s t o f f e n of u r a n i u m d r a a i e n , k l e v e n g r o t e b e z w a r e n . De h o e v e e l h e i d a a r d o l i e en a a r d g a s o p A a r d e is t e klein o m de hele w e r e l d lange t i j d v a n e n e r g i e t e v o o r z i e n . B o v e n d i e n is er a f v a l in d e v o r m v a n CO2, h e t g e e n t e g e n w o o r d i g in e e n k w a d e r e u k s t a a t . O o k is h e t z o n d e o m a a r d o l i e t e v e r b r a n d e n : h e t is i m m e r s o o k e e n g r o n d s t o f v o o r allerlei k u n s t s t o f f e n als plastics e n z . V a n u r a n i u m is g e n o e g a a n w e z i g v o o r nog e e n p a a r h o n d e r d j a a r e n e r g i e p r o d u c t i e . D a a r s p e e l t geen CO2-probleem, m a a r w e l a n d e r e p r o b l e m e n : h e t r a d i o a c t i e v e a f v a l p r o b l e e m , en t w e e v e i l i g h e i d s p r o b l e m e n . Een f o u t in e e n c e n t r a l e k a n v o o r ellende z o r g e n - zo v e r o o r z a a k t e e e n reeks a a n b l u n d e r s in een c e n t r a l e v l a k bij Kiev e e n o n t p l o f f i n g w a a r b i j v e len g e z o n d h e i d s s c h a d e o p l i e p e n . O o k is h e t m o g e l i j k m e t z o ' n c e n t r a l e t e w e r k e n a a n e e n a t o o m b o m of d e p r o d u c t i e v a n h e t z e e r g i f t i g e p l u t o n i u m . O m b o v e n g e n o e m d e r e d e n e n is m e n al e e n t i j d bezig k e r n f u s i e o n d e r d e knie t e k r i j g e n . H e t l i j k t een p r a c h t i g e b i j d r a g e t e k u n n e n w o r d e n a a n d e o p l o s s i n g v a n o n s e n e r g i e p r o b l e e m : v o l d o e n d e b r a n d s t o f , g e e n CO2 u i t s t o o t , g e e n r a d i o a c t i e f a f v a l ( b e h a l v e h e t v a t op den duur - een probleem dat o o k weer oplosbaar lijkt), geen militaire toepassing. T u s s e n 2 0 0 6 en 2 0 1 8 w o r d t e e n r e a c t o r als b o v e n b e s c h r e v e n in F r a n k r i j k g e b o u w d , m e t f i n a n c i ë l e b i j d r a g e n v a n zo o n g e v e e r alle g r o t e s t a t e n : d e EU, R u s l a n d , d e V S , C h i n a , J a p a n , I n d i a , Brazilië en Z u i d - K o r e a . B l i j k t t i j d e n s d e p r o e f p e r i o d e , die z o ' n 2 0 j a a r g a a t d u r e n , d e r e a c t o r g o e d t e w e r k e n , d a n k u n n e n er e c h t e e n e r g i e c e n t r a l e s g e b o u w d g a a n w o r d e n . De i n s c h a t t i n g is d a t h e t n o g z o ' n 4 0 j a a r g a a t d u r e n v o o r d a t die in b e d r i j f z i j n !

ÏTEK project V o o r de details v a n h e t I T E R - p r o j e c t zie w w w . i t e r . o r a

105

Samenvatting •

Relativistische snelheidsfactor Relativistische impuls Relativistische massa Rustmassa Rustenergie Equivalentie van energie en massa

Einstein k w a m d o o r de b e g r i p p e n r u i m t e en t i j d o p n i e u w t e o v e r d e n k e n , t o t de conclusie d a t de massa v a n e e n l i c h a a m g e e n c o n s t a n t e is. Was b i j N e w t o n de m a s s a v a n een l i c h a a m nog u i t s l u i t e n d een m a a t v o o r de h o e v e e l h e i d m a t e r i e die in h e t l i c h a a m zit o p g e s l o t e n , bij Einstein is die massa s n e l h e i d s a f h a n k e l i j k g e w o r d e n . De r e l a t i v i s t i s c h e massa

is de u i t d r u k k i n g v a n deze g e d a c h t e . O m d a t y in de b u u r t v a n de l i c h t s n e l h e i d z e e r g r o o t kan w o r d e n , h e e f t de r e l a t i v i s t i s c h e m a s s a d e z e l f d e e i g e n schap. •

V o o r s n e l h e i d v=0 is de r e l a t i v i s t i s c h e m a s s a g e l i j k a a n de r u s t m a s s a - de m a s s a m v a n een s t i l s t a a n d d e e l t j e .

•

De e q u i v a l e n t i e v a n e n e r g i e e n m a s s a w o r d t u i t g e d r u k t in d e b e r o e m d e f o r m u l e

mj.gj de r e l a t i v i s t i s c h e massa die v a n de s n e l h e i d a f h a n g t . •

Benadering

van

de

relativistische

snelheidsfactor;K voor

lage s n e l h e d e n l e v e r t op d a t j e k u n t s c h r i j v e n m

rel

•c

=m

-m-v

Al d e z e t e r m e n h e b b e n de e e n h e i d v a n e n e r g i e , w a a r m e e de b e t e k e n i s v a n E = m^^-^C^ wordt,

d a t in een l i c h a a m b e -

halve de b e w e g i n g s e n e r g i e o o k nog r u s t e n e r g i e a a n w e z i g is. Deze e n e r g i e is h e t die m e n v i a k e r n s p l i t s i n g of k e r n f u sie wil b e n u t t e n . V o l g e n s N e w t o n is i m p u l s h e t p r o d u c t v a n m a s s a e n s n e l heid v a n een l i c h a a m . De r e l a t i v i s t i s c h e i m p u l s is p =

ymv

Wat je moet kunnen. Je m o e t e e n r e l a t i v i s t i s c h e i m p u l s v e c t o r k u n n e n t e k e n e n in een r u i m t e t i j d d i a g r a m . Je m o e t k u n n e n u i t l e g g e n w a t b e d o e l d w o r d t m e t het f e i t d a t massa en e n e r g i e ' e q u i valent'zijn Je m o e t k u n n e n u i t l e g g e n hoe r e l a t i v i s t i s c h e massa v e r s c h i l t v a n ( g e w o n e ) m a s s a .

106

© p g a w e i n ] §6.2

74

* Impulsbehoud - relativistisch algebraïsch

Zie f i g u u r 6.5 a en b. i^erl< op d a t de ruimtelijl<e c o m p o n e n t v a n d e g r o e n e en b l a u w e i m p u l s v e c t o r e n g e l i j k z i j n ; d a t k o m t in f e i t e d o o r d a t w e de c o r r e c t e o p t e l f o r m u l e v o o r s n e l h e d e n h e b b e n g e b r u i k t . B e r e k e n nu e e r s t m(u) m e t u = 2v/(l+/ï^)) en l a a t v e r v o l g e n s d o o r een b e r e k e n i n g zien d a t i n d e r d a a d : M(v) v = 2 m(u)u. D a a r m e e h e b b e n w e op een a l g e b r a ï s c h e m a n i e r l a t e n zien d a t h e t m e e t k u n d i g e r u i m t e tijddiagram inderdaad klopt. (Je v i n d t : m(u)=mo relatie)

, en M(v)=yMo=

2 ym(v),

i n v u l l e n b e w i j s t de g e w e n s t e

§6.2

75 V a n r o o d n a a r z w a r t - p l a a t s v e c t o r

w

X Figuur

6.17a

Zie f i g u u r 6 . 1 7 a . De L o r e n t z t r a n s f o r m a t i e s l a t e n de g r o o t h e i d w ^ -

invariant.

a. Hoe g r o o t is deze in het r o d e stelsel? b. Laat zien d a t deze in h e t z w a r t e stelsel e v e n g r o o t is (zie o o k T . 2 5 ) .

107

76 Van r o o d naar z w a r t -

impulsvector

p'

il

1

I - V

Figuur

6.17b

De g e t e k e n d e v e c t o r h e e f t in h e t r o d e stelsel l e n g t e p ' . a. B e r e k e n z i j n t i j d - en x - c o m p o n e n t in h e t z w a r t e s t e l s e l . b. Laat zien d a t z i j n l e n g t e in h e t r o d e stelsel e v e n g r o o t is als in h e t z w a r t e . c. Wijs een t w e e d e v e c t o r aan die e v e n lang is als de rode v e c t o r .

77

Heeft impuls een m a x i m u m ?

Als t w e e d e e l t j e s op e l k a a r b o t s e n , is h u n r e l a t i e v e s n e l h e i d n o o i t g r o t e r d a n c, e n dus b e p e r k t . Is h u n r e l a t i e v e i m p u l s d a a r m e e o o k b e p e r k t of kan d i e , in t h e o r i e , een o n e i n d i g e w a a r d e b e n a d e r e n ? Zo j a , o n d e r w e l k e o m s t a n d i g h e d e n ?

7 8 W a t is m e e r : k i n e t i s c h e e n e r g i e o f m c ^ ?

I n de u i t d r u k k i n g pnc^

»mc'^

+ ^mv^

s t a a n a a n de r e c h t e r k a n t t w e e e n e r g i e ë n . Leg uit 1

2

d a t v o o r een r i j d e n d e a u t o de w a a r d e v a n mc

veel g r o t e r is d a n de w a a r d e v a n —mv

2

.

2 7 9 W a t g e b e u r t e r m e t mrei i n d e b u u r t v a n e? W a t k u n j e o p m e r k e n o v e r de w a a r d e v a n de r e l a t i v i s t i s c h e m a s s a , als een l i c h a a m de lichtsnelheid benadert?

80

m c ^ is o o k v e e l g r o t e r d a n c h e m i s c h e e n e r g i e .

B e r e k e n de w a a r d e v a n mc"' v o o r 1 l i t e r b e n z i n e en v e r g e l i j k die m e t de e n e r g i e die v r i j k o m t bij de v e r b r a n d i n g v a n 1 l i t e r b e n z i n e .

81

mc^ in het d a g e l i j k s g e b r u i k

I n e e n k e r n c e n t r a l e w o r d t , d o o r s p l i t s i n g v a n u r a n i u m , m a s s a o m g e z e t in e n e r g i e . V a n de u r a n i u m m a s s a w o r d t 0,8 p r o m i l l e o m g e z e t in e n e r g i e . N e e m nu e e n r e a c t o r m e t 1 0 0 kg uranium.

108

d . H o e v e e l e n e r g i e , in J u i t g e d r u k t , kan d a a r uit v r i j k o m e n ? e. Hoeveel liter b e n z i n e j e zou m o e t e n v e r b r a n d e n o m e v e n v e e l e n e r g i e v r i j t e k r i j g e n ?

82

* I s er voor een deeltje een maximale energie?

E = m..^,c^ mc^+V2 mv^ Wikt

De u i t d r u k k i n g

t e s u g g e r e r e n d a t e r een m a x i m u m

e n e r g i e v o o r een d e e l t j e b e s t a a t . De s u g g e s t i e is:

Ej^^ = )^mc^.

aan

I n w e r k e l i j k h e i d k a n de

e n e r g i e v a n een d e e l t j e b o v e n alle g r e n z e n u i t g r o e i e n ( n a a r ' o n e i n d i g ' g a a n ) .

E

Hoe is d i t t e r i j m e n m e t

83

=

m^.^,c^ « mc^ + ¥2 mv^ 7

* F o t o n e n e r g i e in v e r s c h i l l e n d e s t e l s e l s

T o o n a a n d a t als de e n e r g i e v a n een f o t o n in een s t i l s t a a n d s t e l s e l E is, deze in e e n b e w e g e n d stelsel g e l i j k is a a n

84

*

- p V

Laat zien d a t

85

-

E' = {l — j8)]rE.

Maak h i e r v o o r g e b r u i k v a n f i g u u r 6 . 5 .

m V

-p^c^

=

m^c^.

Een relativistische klap

Als een b i l j a r t b a l A t e g e n een a n d e r e , s t i l s t a a n d e (B) b o t s t , h e e f t A een z e k e r e i m p u l s , h e t g e e n a a n l e i d i n g g e e f t t o t k r a c h t e n bij de b o t s i n g . Z o u B nu o o k e e n e v e n g r o t e s n e l h e i d h e b b e n en op A a f r o l l e n , d a n bezit A een t w e e m a a l zo g r o t e i m p u l s in h e t stelsel v a n B als e e r s t , h e t g e e n leidt t o t een t w e e m a a l zo h a r d e k l a p . We g a a n na of d i t r e l a t i v i s t i s c h o o k zo is. Een p r o t o n A v l i e g t m e t s n e l h e i d 0 , 9 9 c op een s t i l s t a a n d p r o t o n B af. f.

B e r e k e n de r u i m t e l i j k e i m p u l s v a n A in het stelsel v a n B, u i t g e d r u k t in m en c, w a a r b i j m de r u s t m a s s a is. Nu l a t e n we B o o k m e t s n e l h e i d 0 , 9 9 c op de b e w e g e n d e A a f v l i e g e n en v r a g e n o n s af of de i m p u l s v a n A in B's stelsel t w e e m a a l zo g r o o t is als j e a n t w o o r d b i j v r a a g a. g . B e r e k e n de s n e l h e i d v a n A t e n o p z i c h t e v a n B. h. B e r e k e n h o e v e e l m a a l zo g r o o t de r u i m t e l i j k e i m p u l s v a n A is in B's stelsel in v e r g e l i j king t o t j e a n t w o o r d op v r a a g a.

86

* Handig aflezen

Laat d o o r een h a n d i g e k e u z e v a n d e w a a r d e v o o r p zien d a t de l e n g t e v a n de v e c t o r EI

c

—

d i r e c t uit f i g u u r 6 . 1 8 ( d i t is f i g u u r 6.6 uit de t e k s t ) is af t e lezen.

Bo.

Figuur

6.18 109

1

A p p e o n d i s s

Wiskundige

7.1

benaderingen,

vectoren,

impuls.

Benmêer'mgei 1

Kijk n a a r de w i s k u n d i g e u i t d r u k k i n g

; deze k u n j e v o o r 0 < x

<

1 benaderen

met

1-x b e h u l p v a n de r e e k s : 1

2

q

= 1+ X + X

+... 1-X Als w e deze reeks na een b e p a a l d a a n t a l t e r m e n a f b r e k e n , v o r m t de v e r k r e g e n v e e l t e r m een b e n a d e r i n g v a n h e t l i n k e r l i d . Dit k u n j e z i e n , als j e 1-x n a a r de a n d e r e k a n t b r e n g t : 1«

1-x

•

1 + x + x^ +x^ +...

U i t w e r k i n g v a n de p o s i t i e v e t e r m e n aan d e r e c h t e r k a n t l e v e r t ,

l + x + x^ +X^ +... t e r w i j l de n e g a t i e v e t e r m e n ( a f k o m s t i g v a n - x ) z i j n :

-x-x^

-x^

-x'^

Deze o p t e l l i n g l e v e r t 1 — x ' * ; d o o r h o g e r e m a c h t e n v a n x voor 0 < X

<

mee te nemen k o m t het product

1 w i l l e k e u r i g d i c h t bij 1 t e l i g g e n .

We m a k e n h i e r o n d e r g e b r u i k v a n d e v o l g e n d e , z o g e n a a m d e lineaire b e n a d e r i n g , w a a r b i j x steeds een g e t a l v o o r s t e l t d a t veel k l e i n e r is d a n 1 :

1

l +x

1-x 1

We k u n n e n nu o o k een b e n a d e r i n g v i n d e n v o o r de u i t d r u k k i n g

. Als o p l o s s i n g p r o -

Vï^x b e r e n w e l + a-x

+ b-x^

- f - c - x ^ + . . . , e n r e k e n e n d a n de w a a r d e n v a n de c o ë f f i c i ë n t e n

a, b, c, . . . u i t . B e d e n k d a t 1

V l - X

1

V l - X

1

1-x

en v a n de l a a t s t e u i t d r u k k i n g k e n n e n w e al de ( b e n a d e r d e ) u i t k o m s t . We b e r e k e n e n

= l + a-x + b-x^ +c-x^ +... • l + a-x + b-x^ +c-x^ +... Vl-X

l + 2ax + {2b + a^ ) x ^ + (2c + 2ab)x' = \+x+ H i e r u i t zie j e d a t a = y2, b = %,

+...

x^-fx^-l-. laat zich d a a r o m b e n a d e -

C = XQ . De u i t d r u k k i n g

v r 3

]_

ren d o o r H

x-\

2

=

V l - X

2

5

X H

3

x

+..

16

We l a t e n de h o g e r e m a c h t e n v a n X b u i t e n b e s c h o u w i n g en d o e n de b e n a d e r i n g : 1 , V l - X

1 =l-|---X-[-. 2

111

87

*

Massacreatie

Bij b e s c h i e t i n g v a n een Argonl<ern m e t een p r o t o n o n t s t a a n een l
+ b -^iqK

+ ln.

De Argonl<ern en h e t p r o t o n h e b b e n s a m e n een r u s t m a s s a v a n 4 0 , 9 5 9 7 8 u ( a t o m a i r e m a s s a - e e n h e d e n ) . De K-I<ern en het n e u t r o n h e b b e n s a m e n een r u s t m a s s a v a n 4 0 , 9 6 2 2 4 u. Stel nu d a t de m a s s a c r e a t i e die bij deze reactie o p t r e e d t g e h e e l t o e t e s c h r i j v e n is aan h e t f e i t d a t h e t p r o t o n m e t zeer g r o t e s n e l h e i d o p de A r - k e r n w o r d t g e s c h o t e n , b e r e k e n d a n d e minimale snelheid van dit proton. IMaak g e b r u i k v a n : r u s t m a s s a v a n h e t p r o t o n = 1 , 0 0 7 2 7 6 u, 1 u = 1 , 6 6 0 5 3 9 . 1 0 " " kg.

110

7.2

© v e r wecL'oreini irs d e r y i m t e en ruirifitetijd

G r o o t h e d e n m e t r i c h t i n g en g r o o t t e , zoals snelheid en k r a c h t , n o e m e n w e v e c t o r e n . Een v e c t o r k u n n e n w e o n t b i n d e n in c o m p o n e n t e n . Een v e c t o r k u n n e n w e o n t b i n d e n in c o m p o nenten;

r =

{x,y,z)

Ook k u n n e n w e 2 of m e e r v e c t o r e n bij e l k a a r o p t e l l e n . O p t e l l i n g d o e n we (zie f i g u u r 7.1) m e t b e h u l p v a n de p a r a l l e l l o g r a m m e t h o d e : de t w e e v e c t o r e n die w e bij e l k a a r willen o p t e l l e n v o r m e n t w e e z i j d e n v a n een p a r a l l e l l o g r a m ; d e s o m v e c t o r is de d i a g o n a a l die l o o p t v a n h e t p u n t w a a r d e s t a a r t e n e l k a a r r a k e n n a a r h e t d a a r tegenover liggende hoekpunt.

Figuur

7.1

Vectoropteiling

Bij het o n t b i n d e n v a n een v e c t o r in 2 c o m p o n e n t e n z o e k e n w e 2 n i e u w e v e c t o r e n d i e , bij e l k a a r o p g e t e l d , de t e o n t b i n d e n v e c t o r w e e r o p l e v e r e n . Bij de o p t e l l i n g g e b r u i k e n w e w e e r de p a r a l l e l l o g r a m m e t h o d e . Dat g a a t h e t g e m a k k e l i j k s t als j e o n t b i n d t in c o m p o n e n t e n die l o o d r e c h t op e l k a a r s t a a n ; het p a r a l l e l l o g r a m is d a n een r e c h t h o e k .

A

X

Figuur

7.2 Ontbinding

in ioodrechte

componenten

Ook als de c o m p o n e n t e n niet l o o d r e c h t op e l k a a r s t a a n , b l i j f t g e l d e n d a t zij de z i j d e n v a n e e n p a r a l l e l l o g r a m v o r m e n w a a r v a n de s o m v e c t o r een d i a g o n a a l is.

112

N e e m e e n s een g e b e u r t e n i s in de N e w t o n s e r u i m t e en t i j d . Die g e b e u r t e n i s w o r d t v a s t g e legd d o o r plaats (x) en t i j d ( f ) - We k u n n e n d i t s c h r i j v e n als (f,x) en d i t l a a t s t e o p v a t t e n als e e n v e c t o r m e t c o m p o n e n t e n t langs de t i j d - a s en x langs de p l a a t s - a s . B e k i j k e n w e d e z e l f d e g e b e u r t e n i s v a n u i t e e n stelsel (t>xO d a t b e w e e g t t e n o p z i c h t e v a n het e e r d e r g e k o z e n stelsel en w a a r v a n d e o o r s p r o n g op f = O s a m e n v a l t m e t het e e r s t e s t e l s e l , d a n zal d a t in de N e w t o n s e t h e o r i e g e e n g e v o l g e n h e b b e n v o o r de t i j d c o m p o n e n t m a a r wel v o o r de p l a a t s c o m p o n e n t . Op v e r g e l i j k b a r e m a n i e r k u n n e n we v e c t o r e n t e k e n e n m e t als c o m p o n e n t e n m ( m a s s a ) en p ( i m p u l s ) . De b e t e k e n i s v a n de lijn is d a n : bij g e g e v e n s n e l h e i d v n e e m t de i m p u l s e v e n r e d i g m e t de m a s s a t o e . De s t e i l h e i d v a n de lijn w o r d t j u i s t d o o r die s n e l h e i d b e p a a l d . De g e s t i p p e l d e lijn is g e t r o k k e n in e e n stelsel d a t b e w e e g t t e n o p z i c h t e v a n het e e r d e r g e k o z e n s t e l s e l ; de i m p u l s in d a t g e s t i p p e l d e stelsel h e e f t een a n d e r e w a a r d e o m d a t de s n e l h e i d v a n h e t l i c h a a m een a n d e r e w a a r d e h e e f t .

Figuur

7-3

7.3 Ontbinding

in niet-loodrechte

componenten

Siiinipyis en impyisbelhioyd m dm meclhianïca wami SViewtODii

Wet van impulsbei O n d e r d e i m p u l s ( p ) v a n een l i c h a a m v e r s t a a n w e h e t p r o d u c t v a n zijn m a s s a en zijn s n e l h e i d : p = m.v.

Deze g r o o t h e i d b l i j k t heel h a n d i g t e w e r k e n bij het b e s c h o u w e n v a n

botsingen. N e e m t w e e b i l j a r t b a l l e n in g e d a c h t e n , A en B. A b o t s t t e g e n B en o e f e n t zo een k r a c h t op B u i t : F^p-^.

V o l g e n s N e w t o n s 3"" w e t o e f e n t B een e v e n g r o t e , t e g e n g e s t e l d g e r i c h t e , k r a c h t

op A u i t : De k r a c h t v a n A op B g e e f t B een v e r s n e l l i n g aan B; de r e a c t i e k r a c h t v e r a n d e r t d e snelheid van A:

S c h r i j v e n we Az3 = a-Af en v e r m e n i g v u l d i g e n w e links en r e c h t s m e t A t , d a n k r i j g e n w e

Dit k u n j e o o k s c h r i j v e n als

113

o m d a t de m a s s a ' s bij de botsing n i e t v e r a n d e r e n . Hier s t a a t d a t de i m p u l s e n v a n A e n B e v e n v e e l v e r a n d e r e n , en d a t de i m p u l s t o e n a m e v a n B g e l i j k is aan de i m p u l s a f n a m e v a n A. Je m a g d a n o o k z e g g e n d a t de i m p u l s s o m o n v e r a n d e r d is g e b l e v e n

APa+APb

= o

Dit s t a a t b e k e n d o n d e r de vifet v a n b e h o u d v a n i m p u S s . Deze w e t g e l d t a l t i j d , o n d e r de voorwaarde dat er geen krachten van buiten w e r k z a a m zijn. De i m p u l s w e t g e l d t zelfs nog a l g e m e n e r dan we a f g e l e i d h e b b e n . Ook als de m a s s a v e r a n d e r d b l i j f t de i m p u l s w e t g e l d i g . IMeem als v o o r b e e l d een v l i e g t u i g d a t m a s s a v e r l i e s t d o o r v e r b r a n d i n g v a n k e r o s i n e . D a t k o m t o m d a t de t w e e d e w e t v a n N e w t o n die g e w o o n l i j k g e s c h r e v e n w o r d t als

F = m-d,

e i g e n l i j k luidt

F • Af = Ap .Voor c o n s t a n t e m a s s a is d a t

h e t z e l f d e , m a a r niet als de massa kan v e r a n d e r e n . H i e r u i t k u n n e n w e b e g r i j p e n d a t i m p u l s b e h o u d o o k g e l d t in de r e l a t i v i t e i t s t h e o r i e , h o e w e l de m a s s a d a a r g e e n c o n s t a n t e is.

ioteingeri] We o n d e r s c h e i d e n t w e e s o o r t e n : de c e n t r a l e b o t s i n g e n e n de n i e t - c e n t r a l e . Bij de c e n t r a l e l i g g e n de s n e l h e i d s v e c t o r e n v a n de b o t s e n d e d e e l t j e s v o o r en na de b o t s i n g op één l i j n . Dit zijn de e e n v o u d i g s t e b o t s i n g e n , die w e hier k o r t b e s p r e k e n . We k u n n e n deze nog in d r i e categorieën onderverdelen: •

De v o l l e d i g e l a s t i s c h e ; d a t z i j n b o t s i n g e n z o n d e r v e r l i e s aan k i n e t i s c h e e n e r g i e . Ze z i j n w i s k u n d i g op t e lossen d o o r g e b r u i k m a k i n g v a n z o w e l de w e t v a n b e h o u d v a n i m p u l s als de w e t v a n b e h o u d v a n k i n e t i s c h e e n e r g i e . Dit s o o r t b o t s i n g e n k o m t n i e t bij b i l j a r t b a l l e n v o o r , m a a r wel o p h e t m i c r o n i v e a u v a n a t o m e n en d e r g e l i j k e .

•

De v o l l e d i g i n e l a s t i s c h e : h i e r b i j p l a k k e n de d e e l t j e s na de b o t s i n g aan e l k a a r en g a a n als één g e h e e l v e r d e r . D e n k a a n b i l j a r t b a l l e n die v a n s t o p v e r f g e m a a k t z i j n . De w e t v a n b e h o u d v a n i m p u l s g a a t h i e r w e l o p , die v a n k i n e t i s c h e e n e r g i e n i e t : e r is a r b e i d v e r r i c h t bij h e t v e r v o r m e n v a n de b a l l e n h e t g e e n t e n k o s t e is g e g a a n v a n de k i n e t i s c h e e n e r g i e .

•

Alle b o t s i n g e n die d a a r t u s s e n i n l i g g e n - de b o t s i n g e n v a n reële b i l j a r t b a l l e n b i j voorbeeld.

We b e s c h o u w e n het a l l e r e e n v o u d i g s t e g e v a l : de c e n t r a l e b o t s i n g die v o l l e d i g i n e l a s t i s c h is, w a a r b i j de t w e e b o t s e n d e d e e l t j e s o o k nog e v e n z w a a r z i j n . Z i j n de s n e l h e d e n v o o r de b o t s i n g V^en

, d a n is de i m p u l s s o m v o o r de b o t s i n g

De w e t v a n b e h o u d v a n i m p u l s z e g t d a t deze s o m o n v e r a n d e r d b l i j f t . Na de b o t s i n g g e l d t d a n

O m d a t rriA = m g , g e l d t d a t ITIA+B = 2mA; d e l i n g d o o r

levert dan op:

Twee eenvoudige varianten hiervan zijn: • •

A b e w o o g , m a a r B lag s t i l . Na de b o t s i n g b e w e g e n beide (als één g e h e e l ) m e t d e h a l v e beginsnelheid van A verder. A en B b e w e g e n m e t e v e n g r o t e s n e l h e i d op e l k a a r af: g e v o r m d e combinatie stil.

114

= - U g . Na d e b o t s i n g l i g t de

L

§7.1

88

Hoe goed zijn de benaderingen?

a. B e r e k e n m e t j e r e k e n m a c h i n e — ^ — , v o o r x = 0 . 0 1 , 0 . 1 , 0.2 en

0.3.

1-x b. V e r g e l i j k deze w a a r d e n m e t de u i t k o m s t e n v a n de b e n a d e r i n g s f o r m u l e

^ 1-X

« 1+ X

c. V o o r elke w a a r d e n v a n x is de f o u t m i n d e r d a n 1 % ? d . En v o o r w e l k e w a a r d e n v a n x als o o k de t w e e d e b e n a d e r i n g s t e r m w o r d t m e e g e n o m e n ?

Q9 Z i j n o o k d e z e b e n a d e r i n g e n g e i ^ a c h t u a a r d i g d ? a. Ga na m e t j e r e k e n m a c h i n e v o o r w e l k e v a n de w a a r d e n formule

,

Vl-X

x = 0 . 0 1 , 0 . 1 , 0.2 e n 0.3

+ —-x 2

een g o e d e b e n a d e r i n g is. b. G e b r u i k de b o v e n a f g e l e i d e b e n a d e r i n g e n en b e r e d e n e e r d a t g e l d t -s/l-x

«

1 - —x

2 c. Ga dit w e e r na v o o r e n k e l e w a a r d e n v a n x .

115

de